华罗庚论数形结合

数形结合在高中数学各个知识模块中的应用数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。

华罗庚教授曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一。

新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想。

教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最正确解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。

下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。

一、利用数形结合解决集合问题图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时假设借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。

例1 假设I为全集，M、N I，且M∩N=N，则〔〕。

A.I M I NB.M I NC.I M I ND.M I N提示：由韦恩图可以很容易知道答案为C。

二、方程与函数中的数形结合函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。

函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为繁琐的〔如分类讨论、求参数的范围等〕问题时要充分发挥图象的直观作用，如：求解函数的值域时，可给一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度〔两点间的距离〕等，把代数中的最值问题转化为几何问题，实现数形转换。

数形结合，巧妙解题作者：李洁来源：《学校教育研究》2017年第23期华罗庚教授曾说：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

”数形结合法是一种教与学的思想，教师在教学过程中若能充分重视这一教学思想，积极引导学生去体会、理解和运用这一数学思想，将会使学生在数学学习中得益非浅。

巧用构造图形不仅可以提升学生数形互用解题的水平，而且还对培养学生探究能力和建模能力有积极作用. 而构造图形的关键在于敏锐的观察和合理的联想，通过研究其几何特征，能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来，使问题变得简单.全国各地中考数学试题中经常出现这一类试题。

1.试题呈现，激发兴趣如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值.本题第（3）问重点考查学生的图形感和阅读理解能力，可以根据第（2）问，依据题目的条件画图求解。

本题实际是考查学生对图形的直观感受，有利于学生进行观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动。

其实，本题来源于课本，但高于课本。

2.追根溯源，探究规律（1）课本例题在新人教版八年级上15.3《乘法公式》一节中出现以下思考题：分析：大正方形面积-小正方形面积=剩余面积。

剩余部分可以拼凑为一个边长为（a+b）、（a-b）的一个矩形。

证明：S剩余面积=S大 -S小=a2-b2 S剩余面积=（a+b）（a-b）因此，a2-b2=（a+b）（a-b）。

通过对公式的证明，我们可以得出结论：利用图形可以证明乘法公式。

因此，我们必须学会构造图形。

（2）小试牛刀你能运用构图法证明完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2吗？分析：构图的关键是构造边长分别为（a+b）和（a-b）的正方形，运用面积法进行证明。

数形结合------研究三角函数的主要数学思想 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。

数形结合，主要指的是数与形之间的一种对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”， 即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化。

三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学必修一中建立的函数概念以及函数的研究方法。

主要的学习内容是三角函数是概念、图象和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图象分析。

因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。

1.三角函数线作为三角函数的几何表示，它给三角函数的定义有了直观的理解，加深了学生形与数的结合。

对同角三角函数关系可予以几何解释，还能帮助学生更好地理解掌握诱导公式，三角函数的定义域及三角函数的符号规律。

三角函数线在解决许多三角问题中都起到了重要的作用。

从它的应用中让学生充分体会数形结合的思想方法，从而培养“数形结合”的良好习惯。

2. 运用数形结合的思想方法，可更好的理解三角函数的图象和性质。

如三角函数的定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性，对称性等都可以从三角函数的图象上直观的显现出来，而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质。

因此，明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法，拓宽思维空间，提高解决问题的能力。

3. 例题分析，下面列举几例来体会三角函数中的数形结合思想。

例1. 如果,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦那么函数f x x x ()cos sin =+2的最小值是多少？ 分析：y f x x x x x ==+=-++()cos sin sin sin 221从三角函数的角度来看，求y x x =-++sin sin 21的最小值是一个较难的问题，是一个比较陌生的问题。

“数形结合思想”解析（一）“数形结合”思想的内涵诠释“数形结合”的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的。

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数无形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。

“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。

我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。

（二）“数形结合思想”在教学中的作用。

数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。

1.以“形”助“数”。

“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。

a.数学概念的建立借助“形”的直观。

由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。

如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。

同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。

b.数学性质的探索依赖“形”的操作。

数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。

如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。

我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。

”。

其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，在“数”“形”之间互相转化，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路，从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题。

一、数形结合创设直观情境，培养学生发现问题的能力教学的艺术不在于传授知识的多少，而在于激励、唤醒、鼓舞。

教学中老师可以创设一种立足儿童的生活现实，贴近儿童的知识背景形象直观的情境，让学生身临其境，感受到数学的事实、实情，在情境中让学生发现问题，提出问题，从而自主地探索，提高学生解决问题的能力。

例如多媒体出示（泡沫地垫）：3块彩色小正方形表示27，大正方形的表示180根据以上信息，你能提出哪些数学问题？能解决这些问题吗？生1：每块彩色小正方形代表多少？27÷3=9生2：整个大正方形里共有几块小正方形？180÷（27÷3）=20生3：9个小正方形表示多少？27÷3×9=81从贴近学生生活中熟悉的直观图形入手，在富有开放性的问题情境中，通过数形结合，学生的思维开阔了，思维的火花闪现了，利用原有的知识结构去探究该情境中存在的数学问题，并积极地从多角度去思考问题、发现问题。

这样既培养学生的提问能力，又让抽象的数量关系、思考思路形象地外显出来，非常直观，易于小学生理解，提高了学生解决问题的能力。

二、数形结合展现思维过程，帮助学生理清数量关系在课堂教学中，我们经常发现由于年龄、知识、能力等多方面的因素影响，小学生在解决问题的时候，往往遇到这样或那样的困难或障碍。

如何突破障碍和困难呢？可以引导小学生充分利用直观的“形”，把抽象的数量关系形象具体地表示出来。

通过一些看得见、摸得着的集合图、线段图等，抽取出实际问题中的数量，并用简单图形表达这些数量之间的关系，帮助小学生理清数量关系，使复杂的数学问题直观化，为列式建造了一座“桥”。

华罗庚数形结合的名言
说到华罗庚数形结合，想到的第一句话就是“形之原理，数之子，结合就是科学”。

这句话可以简单地认为是华罗庚数形结合的核心所在，它说明了华罗庚数形结合的重要性。

它要求我们将形式上的知识和数学上的知识相结合，从而为人们满足现实中非凡复杂的需
求提供有效的解决方案。

以华罗庚数形结合为中心，许多研究者提出了许多理论，道香氏说：“数量的变化和
形式的变化是相互联系的，是无穷无尽的变化。

”其实，数量和形式的变化是华罗庚数形
结合的核心理念，其实也是相互联系的，从而为人们带来无限的希望。

此外，为了促进知识的交流和传播，研究者们也提出了许多有助于提高我们丰富自身
知识面的建议，马太·马克思霍夫斯基曾说：“只有当数学和自然科学、技术和社会学以
及经济学知识结合在一起，才能真正发挥出它们真正的作用。

”马克思霍夫斯基为华罗庚
数形结合提出了宝贵的研究和见解，提醒我们加强跨学科的整合，才能真正地发挥科学的
作用。

华罗庚数形结合也是贝尔斯特的重要理论支柱，他曾说：“只有通过形式和数学结
合来推动人类的思维和行动，才踏上一条可以走得更远的道路。

”贝尔斯特在此强调
了将形式和数学结合的重要性，并且从天文学和历史上的事实指出，数学和形式的结合，
加上不断的实验和研究，可以带来前所未有的突破；因此，学习数学和形式有助于更好地
分析和解决实际问题。

总而言之，华罗庚数形结合的建议和论点一直充满着科学的力量，它鼓励和激励我们
要开拓思维，综合分析；不断关注新发展，深入探索；并且做好准备，勇于迎接未来，从
而实现我们更美好的未来。

华罗庚数形结合的题目可能涉及数学中的代数与几何的结合，特别是在解析几何和代数几何等领域。

这些题目通常要求学生能够将数学问题中的数值与相应的几何图形结合起来，以便更直观地理解和解决问题。

以下是一些华罗庚数形结合思想的题目示例：
1. 已知直线y = 2x + 3 与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B。

求线段AB 的中点坐标。

2. 在直角坐标系中，点P(2, -3) 关于x 轴的对称点Q 的坐标是什么？
3. 设直线l 的斜率为k，且经过点P(a, b)。

求直线l 的方程。

4. 已知圆的半径为r，圆心在原点(0, 0)。

求该圆的方程。

5. 平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，且AB = 3, BC = 4。

求平行四边形的高。

6. 在直角三角形中，两个锐角的正切值分别是3 和4。

求这个三角形的面积。

7. 已知椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

求椭圆的标准方程。

8. 在空间直角坐标系中，点A(1, 2, 3) 到原点O(0, 0, 0) 的距离是多少？
9. 已知双曲线的实轴长度为2a，虚轴长度为2b。

求双曲线的标准方程。

10. 平行线l1: 2x + 3y + 1 = 0 和l2: 2x - 3y + c = 0 之间的距离是多少？
这些题目要求学生能够将数学中的数值与几何图形相结合，从而更直观地理解问题和解题过程中的几何意义。

谈数形结合思想著名数学家华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。

”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。

我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到“形帮数”的目的；同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的。

在数学思维过程中，逻辑思维是核心，形象思维是先导，但具体的数学思维过程往往是两者交叉运用、浓缩升华的过程。

这就要求我们重视数形结合的数学思想方法，让我们的逻辑思维和形象思维水平得到确实的提高。

首先，让我们来认识一下数学的图形语言。

数学的图形语言是一种特殊的数学语言，它对比于符号语言具有“易于理解、便于记忆、利于思考”的特点。

不但在几何中大现身手，而且在代数里也大有作为。

1．易于理解如，不等式的解集，可以在数轴上表达出来。

用数轴表示不等式的解集，比较形象、直观。

尤其是在解不等式组时，可以将几个不等式的解集表示在同一个数轴上，这样比较容易求出这些解集的公共部分，即不等式组的解集。

例1．求不等式组 2（x+1）<3(x –1)+7 的正整数解。

4x 3 –3x-14 ≤2 解：由2（x+1）<3(x –1)+7得：x >-2由4x 3 –3x-14 ≤2 得：x ≤3.∴-2<x ≤3∵在-2<x ≤3的所有实数中，正整数有1，2，3， ∴原不等式组的正整数解是x =1，2，3。

2．便于记忆如：在二次函数的学习中我们知道，一般的抛物线y=ax 2+bx+c 都可以由抛物线y=ax 2平行移动而得。

有口诀：“上加下减，左加右减。

”但毕竟比较抽象，如-23X果你在学习时，借助下图所示来记忆，看看效果如何：现而易见，抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=ax2的形状、开口方向都是相同，只是位置不同。

（图中的a>0。

如果a<0，也有同样的结论。

）结合图形，一目了然，在记忆时起到事半功倍的作用。

数形结合思想在中学数学解题中的运用【关键词】中学数学数形结合思想解题数学家华罗庚先生曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事休。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，将数形关系淋漓尽致地表达出来。

“数形结合”作为一种重要的数学思想，在高中数学教学中占有重要的地位，这在近几年高考试卷中可见一斑。

高考题中有许多运用数形结合的题，其中大多数题是“以形助数”。

常见的是在解方程和不等式、求函数的最值、求复数和三角函数等问题中通过巧妙运用数形结合思想解题，化抽象为具体，收到事半功倍的效果。

本文针对数形结合思想在中学数学解题中的运用进行探讨。

一、数形结合思想所谓“数形结合思想”，就是利用数与形之间的对应和转化来解决数学问题。

它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，兼有数的严谨与形的直观之长。

利用它可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，是优化解题过程的重要途径之一。

二、如何运用数形结合思想解题数学家波利亚在《怎样解题》中提出，解题有四个步骤。

第一，弄清问题：你必须弄清问题；第二，拟定计划：找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划；第三，实行你的计划；第四，进行回顾，验算所得到的解。

依据这个观点，可将运用数形结合思想解决数学问题的过程大致分为四个步骤：第一，在弄清问题的基础上，将数学问题转换为一个或者几个几何图形的问题；第二，根据数与形之间的关系画出几何图形；第三，通过数与形的结合解决问题；第四，检验得到的结果，最终得到问题的正解。

下面结合实例来具体说明。

在平面直角坐标系中作出以上两个函数的图象，如图，可直观地看出在0＜x≤10的范围内两曲线有3个交点，即原方程有三个解。

三、运用数形结合思想解题需要注意的问题1.引导学生学会数与形的转化运用数形结合思想解题时，将数与形联系起来，通过解直观的几何图形，使问题的解决简单化。

应用数形结合的思想提高学生解决问题能力我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。

”所谓数形结合，是一种重要的数学思想方法。

它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。

其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，在“数”“形”之间互相转化，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路，从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题。

而在小学，学生正处在形象思维与逻辑思维并肩发展的阶段，思维发展水平还不够成熟，理解抽象的内容难度较大。

应用数形结合的思想方法去观察、分析问题，有助于学生理解数学实质，有助于拓展学生数学思维，提高解决问题的能力。

一、数形结合创设直观情境，培养学生发现问题的能力《数学课程标准》明确指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境。

”在数学课堂教学过程中，创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣和探索欲望，启发学生创新思维。

教学的艺术不在于传授知识的多少，而在于激励、唤醒、鼓舞。

教学中老师可以根据儿童的年龄特点、知识经验、能力水平、认知规律等因素，抓住学生的思维，不断创设有意义的与生活联系密切的问题情境，创设一种立足儿童的生活现实，贴近儿童的知识背景形象直观的情境，让学生身临其境，感受到数学的事实、实情，在情境中让学生发现问题，提出问题，从而自主地探索，提高学生解决问题的能力。

例如多媒体出示（泡沫地垫）：3块彩色小正方形表示27，大正方形的表示180根据以上信息，你能提出哪些数学问题？能解决这些问题吗？生1：每块彩色小正方形代表多少？27÷3=9生2：整个大正方形里共有几块小正方形？180÷（27÷3）=20生3：9个小正方形表示多少？27÷3×9=81从贴近学生生活中熟悉的直观图形入手，在富有开放性的问题情境中，通过数形结合，学生的思维开阔了，思维的火花闪现了，利用原有的知识结构去探究该情境中存在的数学问题，并积极地从多角度去思考问题、发现问题。

初三教研活动评课（正果中学初三数学备课组）2012年.3月6日我们初三备课组一起参加了教研室在新塘二中举行的一课两讲。

首先是新塘二中尹老师的数形结合思想专题复习课。

这节课尹老师做了大量的准备、教学设计比较好由易到难，选题也紧扣中考针对性强。

只是对于中下生来说两个例题难度有点大，但尹老师在例题中也做了脚手架让学生更容易做。

这节课有一点瑕疵就在时间分配上。

第二位老师的教学设计也有很多值得我们学习，目标很明确、每一段练习后有知识归纳或小结给学生指明方向。

课件开头引用数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”引起学生注意和提振学习兴趣和信心。

通过这两节课我们收获不少：数形结合是数学的重要思想方法之一.数量关系和空间图形是数学研究的两上主要方面,它们之间有密切的关系,在一定条件下,它们之间可以相互转化,相互渗透.在初中数学学习中,函数是一个难点,尤其是二次函数的问题中,由于其综合性较强,更使部分同学觉得难以理解和掌握.其实,只要掌握了正确的方法,解决问题便会事半功倍.而解决二次函数问题时,数形结合便是一种重要方法.应该在这个新知识点上归纳出它的特征，并提出一些其他的特殊点，帮助学生揭示解题规律，总结解题方法，进一步提高运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

以往的习题教学考虑的是如何使学生解题、理解答案，很枯燥无味。

但是通过这堂课后，我明白了习题教学更多的是注重在现有题目的基础上进行知识的归纳与拓展，使到学生不再局限于现有的题目中，能如同新授课一样新奇、有趣。

浅谈数形结合思想在初中数学中的应用著名数学家华罗庚说过：“形数本是两相依，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形相助双翼飞。

”这是对数形结合的完美解释，充分体现了数形结合的必要性。

由于数形的密切关系，我们常把代数式的精确刻划和几何图形的直观描述结合起来，从而使代数问题几何化，几何问题代数化，像这种由数构形，由形思数相互转化的解决数学问题的方法叫数形结合法。

它是数学思维的一种基本方法。

教师在课堂教学过程中，要恰当的在新知识的传授、题型的解答过程中运用数形结合的思想，提高课堂的效率，提高学生解决问题的准确性。

充分结合教材内容，根据学生实际，有机合理结合数学知识，采用教者有意，学者无心的方法，多向学生介绍数形结合的思想方法。

不仅要把数形结合的思想作为一种解题的方法和技巧，还要作为一种重要的教学思想传授给学生。

它不仅能使学生解决问题的能力得到提升，而且能使学生的思路开阔，发展学生的创造性思维，提高学生的思维水平有着重要的作用，所以教师要让数形结合思想渗透到日常教学中，帮助学生打下良好的学习基础。

一、数形结合能够使学生的数学进步从数学的历史发展长河中，容易发现数和形是共同一起发展的。

所以我们要去研究数学、学习数学就不能把二者分开，要将两者有机的结合来研究和学习，你能发现数学的真谛所在。

“数”来源于对“形”的计算，如：古人用石头记号的方法来计算过了多少天。

在过程中借助于“形”来进行记录和应用。

在数学教学过程中，当我们要解决“数”的问题时可以把“形”当作是一种工具，利用它直观的理解“数”的问题。

例如：北师大版初一数学上册对绝对值的理解，我们可以借助数轴来理解，就是一个数的绝对值是它到原点的距离。

要解决“形”的问题就可以通过“数”来理解。

例如已知△ABC 的三边长分别为为、和（、为正整数，且＞）求△ABC的面积（用含、的代数式表示）。

利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用。

华罗庚数形结合名言1. 华罗庚说的关于数与形的名言是什么数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

1、科学是实事求是的学问，来不得半点虚假。

——华罗庚2、独立思考能力，对于从事科学研究或其他任何工作，都是十分必要的。

在历史上，任何科学上的重大发明创造，都是由于发明者充分发挥了这种独创精神。

——华罗庚3、凡是较有成就的科学工作者，毫无例外地都是利用时间的能手，也都是决心在大量时间中投入大量劳动的人——华罗庚4、任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。

行路，还是要靠行路人自己。

——华罗庚5、天才是不足恃的，聪明是不可靠的，要想顺手拣来的伟大科学发明是不可想象的。

——华罗庚6、我们最好把自己的生命看做前人生命的延续，是现在共同生命的一部分，同时也后人生命的开端。

如此延续下去，科学就会一天比一天灿烂，社会就会一天比一天更美好。

——华罗庚7、聪明在于学习，天才在于积累。

……所谓天才，实际上是依靠学习。

——华罗庚8、科学上没有平坦的大道，真理的长河中有无数礁石险滩。

只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。

——华罗庚9、在寻求真理的长征中，惟有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山，跨峻岭。

——华罗庚10、我想，人有两个肩膀，应该同时发挥作用，我要用一个肩挑着送货上门的担子，把科学知识和科学工具送到工人师傅手里；另一个肩膀可以作人梯，让青年们踏着攀登科学的更高一层山峰。

——华罗庚11、时间是由分秒积成的，善于利用零星时间的人，才会做出更大的成绩来——华罗庚12、日累月积见功勋，山穷水尽惜寸阴。

——华罗庚13、自学，不怕起点低，就怕不到底。

——华罗庚14、抓住自己最有兴趣的东西，由浅入深，循序渐进地学……——华罗庚15、学习和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，企图一脚跨上四五步，平地登天，那就必须会摔跤了。

专题讲座数形结合思想数形结合是中学数学四种重要基本思想方法之一，是数学的本质特征．华罗庚先生曾指出：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图像（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图像（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线 以形助数常用的有 借助数轴；函数图像；单位圆；数式的结构特征；解析几何方法 以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；运算结果与几何定理的结合下面通过一些典型例题来说明数形结合思想在解题中的运用。

例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的人数分别为28，25，15，同时参加数、理 小组的8人，同时参加数、化 小组的6人，同时参加理、化 小组的7人，问：同时参加数、理、化 小组的有多少人？分析：我们可用圆A 、B 、C 分别表示参加数理化小组的人数，则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n 表示集合的元素，则有：48)()()()()()()(=+---++C B A n C B n C A n B A n C n B n A n即：48)(768152528=+---++C B A n∴1)(=C B A n ，即同时参加数理化小组的有1人．点评:利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素． 例2、已知集合{}{})(,3|,31|R a a x a x B x x A ∈<<=<<-=⑴ 若B A ⊆，求a 的范围. ⑵ 若A B ⊆，求a 的范围．分析：先在数轴上表示出集合A 的范围，要使B A ⊆，由包含于的关系可知集合B 应该覆盖集合A ，从而有:⎩⎨⎧≥-≤331a a ,这时a 的值不可能存在（①） 要使A B ⊆，当a >0时集合A 应该覆盖集合B,应有成立1330a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪>⎩ ，01a <≤即。