初三专题-四点共圆

四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。

四点共圆的性质：
（1）同弧所对的圆周角相等
（2）圆内接四边形的对角互补
（3）圆内接四边形的外角等于内对角
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

四点共圆的判定定理：
方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那末这二点和线段二端点四点共圆）
方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。

那末这四点共
圆）
我们可都可以用数学中的一种方法；反证法开进行证明。

现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。

那末这四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
证明：用反证法
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，
若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。

类似地可证C不可能在圆内。

∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。

专题29 四点共圆问题【规律总结】1、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

2、判定定理：方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）【典例分析】例1．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，点P 为平面内一点，且CPB A ∠=∠，过C 作CQ CP ⊥交PB 的延长线于点Q ，则CQ 的最大值为（ ）A ．175B ．154CD 【答案】B【分析】根据题意可得A 、B 、C 、P 四点共圆，由AA 定理判定三角形相似，由此得到CQ 的值与PC 有关，当PC 最大时CQ 即取最大值．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=，CPB A ∠=∠，3BC =，4AC =∵A 、B 、C 、P 四点共圆，AB 为圆的直径，5=∵CQ CP ⊥∵90ACB PCQ ∠=∠=∵∵ABC∵∵PQC ∵AC PC BC CQ =， 43PC CQ =，即34CQ=PC ∵当PC 取得最大值时，CQ 即为最大值∵当PC=AB=5时，CQ 取得最大值为154故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．例2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，AB 是Rt ABC 和Rt ABD △的公共斜边，AC=BC ，32BAD ∠=，E 是AB 的中点，联结DE 、CE 、CD ，那么ECD ∠=___________________．【答案】13【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∵DCB与∵BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∵DCB 的度数，再证∵ECB=45°，得出结论．【详解】解：∵AB是Rt∵ABC和Rt∵ABD的公共斜边，E是AB中点，∵AE=EB=EC=ED，∵A、C、B、D在以E为圆心的圆上，∵∵BAD=32°，∵∵DCB=∵BAD=32°，又∵AC=BC，E是Rt∵ABC的中点，∵∵ECB=45°，∵∵ECD=∵ECB-∵DCB=13°．故答案为：13．【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．例3．（2020·北京市三帆中学九年级期中）已知：过O上一点A作两条弦AB、AC，且∠=︒，（AB、AC都不经过O）过A作AC的垂线AF，交O于D，直线BD，45AAC 交于点E ，直线BC ，AD 交于点F .（1）请在图1中，按要求补全图形；（2）在图2中探索线段BE 和BF 的数量关系，并证明你的结论；（3）探索线段AB 、AE 、AF 的数量关系，并直接写出你的结论________.【答案】（1）见解析；（2）BE BF =，理由见解析；（3）AE AF =【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接EF ，CD ，取EF 中点G 连接BG 、AG ，证明B 、E 、A 、F 四点共圆进而可证出结论；（3）由（2）知，点A 、B 、E 、F 四点共圆，连接CD ，交AB 于点P ，则CD 过圆心O ，由证得出∵ACB∵∵APD∵CPB ，进而可证AC AD +=，由等量代换可得出结论．【详解】解：（1）补全图形（2）BE BF =证明：连接EF ，CD ，CD 过圆心O ，CD 为直径，取EF 中点G 连接BG 、AG ∵AF AE ⊥，∵DBF=90°，∵90EBF FAE ∠=∠=︒∵EG AG =∵EG BG AG GF ===∵B 、E 、A 、F 在圆G 上，∵∵1=∵2，∵∵DAE=90°，∵BAD=45°，∵∵2=∵BAD=45°，又∵∵EBF=90°，∵∵BEF=45°=∵1，∵BE BF =，故答案为：BE BF =；（3）由（2）知，点A 、B 、E 、F 四点共圆，连接CD ，交AB 于点P ，则CD 过圆心O ， ∵∵BEA=∵BFA ，BE BF =，∵EBC=∵DBF=∵DAE=90°，∵∵EBC∵∵FBD ，∵BC=BD ，CE=DF ，在∵ACB 和∵APD 中，∵CAB=∵DAB=45°，∵ABC=∵ADC ，∵BCD=45°，∵∵ACB∵∵APD∵CPB ， ∵,AC AB BC AB AP AD BE BC==， ∵2,AC AD AP AB BC BP AB ⋅=⋅=⋅，CD 为直径，2222==2AC AD CD BC +，∵()222+2AC AD AC AD AC AD =++⋅=222BC AC AD +⋅=22BP AB AP AB ⋅+⋅=()2AB BP AP ⋅+=22AB ，∵AC AD +=，，∵AE AF =+，故答案为：AE AF =+．【点睛】本题考查了四点共圆的证明，圆的性质以及性质应用，勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·浙江杭州市·九年级专题练习）如图，圆上有A 、B 、C 、D 四点，其中80BAD ∠=︒，若弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π，则弧BAD 的长度为（ ）A ．4πB ．8πC ．10πD ．15π【答案】C【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得100C ∠=︒，然后根据圆周角定理可得弧BAD 所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．【详解】弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π∴圆的周长为71118πππ+=80BAD ∠=︒100C ∴∠=︒（圆内接四边形的对角互补）∴弧BAD 所对圆心角的度数为2200C ∠=︒则弧BAD 的长度为2001810360ππ⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．2．（2019·浙江绍兴市·九年级期中）如图1，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC 上取一点D ，连结AD ，使得∠DAC=∠ACD ．如图3，将∠ACD 沿着AD 所在直线折叠，使得点C 落在点E 处，连结BE ，得到四边形ABED ．则BE 的长是（ ）A ．1B ．65C ．3215D ．174【答案】A【分析】只要证明ABD MBE ∆∆∽，得AB BD BM BE =，求出BM 、BD 即可解决问题． 【详解】解：AB AC =，ABC C ∴∠=∠，DAC ACD ∠=∠，DAC ABC ∴∠=∠，C C ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽， ∴CA CD CB CA ， ∴464CD =， 83CD ∴=，810633BD BC CD =-=-=， DAM DAC DBA ∠=∠=∠，ADM ADB ∠=∠，ADM BDA ∴∆∆∽，∴AD DM BD DA =，即8310833DM =， 3215DM ∴=，103263155MB BD DM =-=-=， ABM C MED ∠=∠=∠，A ∴、B 、E 、D 四点共圆，ADB BEM ∴∠=∠，EBM EAD ABD ∠=∠=∠，ABD MBE ∴∆∆∽， ∴AB BD BM BE=， 6105314BM BD BE AB ⨯∴===．故选：A ．【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题3．（2020·黑龙江哈尔滨市·）如图，等边∠ABC 中，D 在BC 上，E 在AC 上，BD ＝CE ，连BE 、AD 交于F ，T 在EF 上，且DT ＝CE ，AF＝50，TE ＝16，则FT ＝_____．【答案】17【分析】用“SAS”可判定∵ABD∵∵BCE ，得到∵AFE=60°，延长FE 至点G ，使得FG=FA ，连AG ，AT ，得到∵AFG 是等边三角形，证明A 、B 、D 、T 四点共圆，设法证明∵FAT∵∵GAE （ASA ），即可求得答案．【详解】∵∵ABC 为等边三角形，∵AB=AC=BC ，∵ABD=∵BCE=60°，在∵ABD 和∵BCE 中，60AB BC ABD BCE BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∵∵ABD∵∵BCE （SAS ），∵∵BAD=∵CBE ，∵∵ADC=∵CBE+∵BFD=∵BAD+∵B ，∵∵BFD=∵B=∵AFE=60°；延长FE 至点G ，使得FG=FA ，连AG ，AT ，∵∵AFE=60°，∵∵AFG 是等边三角形，∵AG=AF=FG=50，∵AGF=∵FAG=60°，∵∵BAF+∵EAF =∵CAG+∵EAF =60°，∵∵BAF=∵CAG ，∵DT=CE ，∵∵DBT=∵BTD ，∵∵BAD=∵CBE ，∵∵BAD=∵BTD ，∵A 、B 、D 、T 四点共圆，∵∵BAD=∵DAT ，∵∵FAT=∵GAE ，在∵FAT 和∵GAE 中，60FAT GAE AF AG AFG AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∵∵FAT∵∵GAE （ASA ），∵FT= GE ，∵FG=50，TE=16， ∵FT=12(FG - TE)=17． 故答案为：17．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出∵FAT∵∵GAE 是解本题的关键．4．（2020·西安市铁一中学九年级二模）如图，正方形ABCD 中，9AB =，点E 为AD 上一点，且:1:2AE ED =，点P 为边AB 上一动点，连接PE ，过点E 作EF PE ⊥，交射线BC 于点F ，连接PF ，点M 为PF 中点，连接DM ，则DM 的最小值为________．【答案】10【分析】由已知可得AE=3，DE=6，又AB=9，90A ︒∠=，由勾股定理得=90PEF ︒∠=，90PBF ︒∠=，M 为PF 中点，可知M 为四边形BFEP 外接圆的圆心，BE 为圆M 的弦，故圆心M 在线段BE 的垂直平分线上，作线段BE 的垂直平分线GH 交BE 于G ，交CD 于H ，过点D 作DM GH ⊥于M ，此时的线段DM 即为所求最小值，过点E 作EN DM ⊥于N ，则四边形EGMN 为矩形，可得90GEN ︒∠=，GE=MN ，可证ABE NED ，可得AE BE DN DE =，代入数据得：，又，可得DM 的长度．【详解】∵:1:2AE ED =，AD=AB=9，∵AE=3，DE=6，又∵AB=9，90A ︒∠=，=∵90PEF ︒∠=，90PBF ︒∠=，∵B 、F 、E 、P 四点共圆，且PF 为直径，∵M 为PF 中点，∵M 为四边形BFEP 外接圆的圆心，∵E 、B 为定点，∵BE 为圆M 的弦，∵圆心M 在线段BE 的垂直平分线上，如下图，作线段BE 的垂直平分线GH 交BE 于G ，交CD 于H ，过点D 作DM GH ⊥于M ，此时的线段DM 即为所求最小值，过点E 作EN DM ⊥于N ，则四边形EGMN 为矩形，∵90GEN ︒∠=，GE=MN,∵90AEB DEN ︒∠+∠=，∵90A ︒∠=，∵90ABE AEB ︒∠+∠=，∵=DEN ABE ∠∠，又∵==90A DNE ︒∠∠，∵ABE NED ， ∵AE BE DN DE=，即3DN =解得：∵BE=∵EG= ，，+2=10．【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定四点共圆是解题的关键．三、解答题5．（2020·沭阳县修远中学九年级期中）在边长为12cm 的正方形ABCD 中，点E 从点D 出发，沿边DC 以1cm/s 的速度向点C 运动，同时，点F 从点C 出发，沿边CB 以1cm/s 的速度向点B 运动，当点E 达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE 、DF 交于点P ，设点E ． F 运动时间为t 秒．回答下列问题：(1)如图1，当t 为多少时，EF 的长等于(2)如图2，在点E 、F 运动过程中，①求证：点A 、B 、F 、P 在同一个圆(∠O)上；②是否存在这样的t 值，使得问题①中的∠O 与正方形ABCD 的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O 的运动的路径长为_________．【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm ．【分析】（1）由题意易得DE=CF=t ，则有EC=12-t ，然后利用勾股定理求解即可；（2）①由题意易证∵ADE∵∵DCF ，则有∵CDF=∵DAE ，然后根据平行线的性质可得∵APF=90°，进而可得∵B+∵APF=180°，则问题得证；②由题意可知当∵O 与正方形ABCD 的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD 相切时，一是当圆与边DC 相切时；③由动点E 、F 在特殊位置时得出圆心O 的运动轨迹，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t ，四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD=BC=AD=12cm ，∵C=∵B=∵ADC=∵DAB=90°，∴ EC=12-t ，EF 的长等于，∴在Rt∵CEF 中，222EF EC CF =+，即(()22212t t =-+解得124,8t t ==；（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm ，∵C=∵B=∵ADC=∵DAB=90°，DE=CF=t ， ∴∵ADE∵∵DCF ，∴∵CDF=∵DAE ，∵CDF+∵PDA=90°，∴∵DAE+∵PDA=90°，∴∵ADP=∵APF=90°，∴∵APF+∵B=180°，由四边形APFB 内角和为360°可得：∵PAB+∵PFB=180°，∴点A 、B 、F 、P 在同一个圆(∵O)上；②由题意易得：当∵O 与正方形ABCD 的一边相切时，只有两种情况；a 、当∵O 与正方形ABCD 的边AD 相切时，如图所示：由题意可得AB 为∵O 的直径，∴t=12；b 、当∵O 与正方形ABCD 的边DC 相切于点G 时，连接OG 并延长交AB 于点M ，过点O 作OH∵BC 交BC 于点H ，连接OF ，如图所示：∴OG∵DC ，GM∵AB ，HF=HB ，∴四边形OMBH 、GOHC 是矩形，∴OH=BM=GC ，OG=HC ，AB=BC=12cm ，∴OH=6，CF=t ，BF=12-t ， ∴126,662222t t t t HF CH OG OF t -==-===+-=+， 在Rt∵FOH 中，222OF OH FH =+，即2226+6622t t ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3t =；综上所述：当3t =或t=12时，∵O 与正方形ABCD 的边相切；③由（1）（2）可得：当点E 与点D 重合及点F 与点C 重合时，圆心在正方形的中心上；当点E 与点C 重合及点F 与点B 重合时，圆心在AB 的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：∴OP 即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm ．故答案为6cm ．【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．6．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）已知AD 为锐角ABC ∆的高，G 为AC 中点，DE AB ⊥于点E ，延长ED 至F ，使得GF GD =．（1）证明：AED AFC ∆∆；（2）证明：22AE CF BE AF ⋅=⋅；（3）若6,7,8AB BC CA ===，求四边形ACFD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）16【分析】（1）通过GA GD GC GF ===得A ，D ，F ，C 四点共圆，得到ADE ACF ∠=∠，结合90AED AFC ︒∠=∠=，证得AEDAFC ∆∆； （2）通过Rt AED Rt AFC ∆∆，Rt AED Rt DEB ∆∆证得22AE CF BE AF ⋅=⋅； （3）利用勾股定理求得AD ，BD ，CD ，在Rt ADB ∆中，求出DE ，AE ，得出ADE S ∆，借助2()ACF ADE S AC S AD∆∆=，求得ACF S ∆，再用Rt AEF Rt ADC ∆∆，得到2()AEF ADC AE S S AD ∆∆=⋅，最后ACFD AEF ACF AED S S S S ∆∆∆∆=+-．【详解】解：（1）∵GA GD GC GF ===∵,,,A D F C 四点共圆∵90AFC ADC ︒∠=∠=又∵ADE ACF ∠=∠∵Rt AED Rt AFC ∆∆（2）由（1）Rt AEDRt AFC ∆∆ ∵AF AE CF ED= 又∵Rt AEDRt DEB ∆∆ ∵AF AE DE CF ED EB== ∵2()AF AE DE AE CF ED EB EB =⋅= 即22AE CF BE AF ⋅=⋅（3）∵222236(7)64AD BD AD BD ⎧+=⎨+-=⎩∵311,22AD BD CD === ∵Rt ADB ∆中，2458AD BD AD DE AE AB AB ⋅====∵128ADE S ∆=而2()ACF ADE S AC S AD∆∆=∵ACF S ∆=同理利用Rt AEF Rt ADC ∆∆得到2()AEF ADC AE S S AD ∆∆=⋅=∵ACFD AEF ACF AED S S S S ∆∆∆∆=+-=． 【点睛】本题考查了四点共圆的判断，圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的证明，不规则图形的面积的求法，熟练掌握其中的联系，是解题的关键．。

四点共圆的7种判定方法证明要证明四个点共圆，可以使用以下七种判定方法。

方法1：使用相交弧的性质假设四个点A、B、C、D共圆。

我们可以通过观察四个点连线所形成的相交弧的性质来进行判定。

即如果从A到B的弧和从C到D的弧的起点和终点重合，或者从B到C的弧和从D到A的弧的起点和终点重合，或者从C到D的弧和从A到B的弧的起点和终点重合，则可以证明四个点共圆。

方法2：使用余弦定理假设四个点A、B、C、D共圆，并且以A为圆心，AB为半径做圆，那么可以使用余弦定理证明。

首先，假设O为C到D的中点，我们可以根据余弦定理得出：AC² = AO² + OC² - 2 * AO * OC * cos∠AOC，同样地，我们可以得出：BD² = BO² + OD² - 2 * BO * OD * cos∠BOD。

由于共圆的性质，我们可以得到∠AOC = ∠BOD，因此AC² = BD²，从而可以证明四个点共圆。

方法3：使用向量运算假设四个点A、B、C、D共圆，我们可以使用向量运算进行证明。

首先，我们可以构建向量AB和向量AC，然后计算它们的叉乘，得到一个向量N。

同样地，我们可以构建向量AD和向量AC，并计算它们的叉乘，得到另一个向量M。

如果向量N和向量M垂直（即内积等于0），那么可以证明四个点共圆。

方法4：使用角平分线的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且AC和BD相交于点P。

那么根据角平分线的性质，我们可以得知∠APC=∠BPD。

同样地，由于共圆的性质，我们可以得到∠APC=∠BPC，因此∠BPD=∠BPC。

这意味着点P在角BPD的角平分线上，所以我们可以得出AD与BC也相交于点P，从而可以证明四个点共圆。

方法5：使用Miquel点的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且以AC为直径作圆，那么D一定在这个圆上。

同样地，以BD为直径作圆，C也一定在这个圆上。

第14课 四点共圆一、基本结论与方法：判断四点共圆的方法有：1.到定点等距离的几个点在同一个圆上；2.同斜边的直角三角形的各顶点共圆；3.同底同侧张角相等的三角形的各顶点共圆；4、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；5、如果四边形的一个外角等于它的内对角，则它的四个顶点共圆；6、四边形的对角线相交于点P ，且PA•PC=PB•PD,那么四个顶点共圆；7、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P ，若PA•PB=PC•PD, 那么四个顶点共圆.托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和，等于对角线之积。

即：如图，四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.DB二、例题与习题例1、如图，ABCD 是等腰梯形，求证：BD 2=AB•CD+BC 2.CD 例2、△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:4,:求证：BC AC AB 111=+A D例3、在边长为1的正七边形中，对角线AD=a,BG=b,求证：22)()(ab b a b a =-+.C 例4、两圆相交于A 、B,P 是BA 延长线上一点，PCD 、PEF 分别是两圆的割线，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。

F例5、由圆外定直线上任意点，引圆的两条切线，求证：两切点的连线必经过某定点。

CA例6、点P 是正三角形外接圆的劣弧AB 上一点，连接PC 交AB 于D ，求证：(1)PA+PB=PC;(2)111PA PBPD +=.例7、P为△ABC内一点，D、E、F分别在三角形的边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。

例8、设凸四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为E,证明：点E关于AB、BC、CD、DA 的对称点也共圆。

A例9、两个圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一直线上的四个点，证明：这四个点共圆。

例10、梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰围直径作圆，点K位于两圆之外，证明：由K向两圆所作的切线长度相等。

圆中的重要模型-四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。

相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。

本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。

四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。

这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。

条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。

例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°例3．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在R t A B C中，90∠A C B∠=︒，O为A B的中点，O D平分A O COF例4．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形A B C D 中，D A D B D C==，72BD C ∠=︒，则B A C∠的度数为______．模型2、定边对双直角共圆模型同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足90A B DA C D ∠=∠=︒，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆，其中AD 为直径。

2021年中考数学复习专题：四点共圆问题一、证明四点共圆1、如图，点E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 各边的中点。

求证:E 、F 、G 、H 四点共圆。

2、如图，在△ABC 中，A D ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：点B 、E 、F 、C 四点共圆。

(提示：点A 、E 、D 、F 共圆，△AEF = △ADF = △C )二、利用四点共圆解决问题1、已知：如图，AB = AC = AD ，△BAC = 2△CAD .求证：△BDC = 2△CBD .2、E FGH F E C B A DD C BA4、已知：如图，Rt△ABC 中，AB ⊥BC ，AB = 6，BC = 4 .点P 是△ABC 内部一动点，且满足△PAB = △PBC ，求线段CP 长的最小值。

PC B A 1 3、56789 101113 121415、已知：如下左图，在四边形ABCD 中，△A = 900,AB = AD, AB 上有一点E ,且CB = CD = CE = 1 , 连接DE,求△CDE 的周长。

16、如上中图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BDAC.17、已知：如上右图，BE 、CD 是△ABC 的高，连接DE 。

（1）求证：ΔABE ∽ ΔACD.（2）若∠BAC ＝120°,点M 是BC 的中点，若DM = 1 ,求DE 的长。

CB A DE AMDECB。

【中考数学必备专题】中考模型解题系列之四点
共圆模型
一、证明题(共2道，每道50分)
1.设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．
答案：证明：过点P作EP∥AD，且EP=AD．连接AE，EB
∴四边形AEPD是平行四边形
∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，
可得：A、E、B、P共圆．
∴∠PAB=∠BEP
又∵EP∥BC，且EP=BC
∴四边形EBCP是平行四边形
∴∠BEP=∠PCB
∴∠PAB=∠PCB．
解题思路：根据已知作出过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DP，通过倒角得出A、E、B、P四点共圆，即可得出答案．
试题难度：三颗星知识点：平行四边形的判定与性质
2.如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，CH⊥AB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为CO 上任意一点，过B作BE⊥AF于E，连接DE交BC于G．求证：∠CAF=∠CDE．
答案：（1）证明：连接OD，
∵△ABC是Rt三角形，BE⊥AF
∴∠BEA=∠ACB=90°，
∴A，B，E，C，四点共圆，且AB是此圆直径，
又∵CH⊥AB，CH=DH，
∴OC=OD
∴D在此圆上，
∴A，B，C，D，E五点共圆，
∴∠CAF=∠CDE．
解题思路：先连接OD，根据已知条件得出∠BEA=∠ACB=90°，得出A，B，E，C，四点共圆且AB是此圆直径，再根据CH⊥AB，CH=DH，确定出D也在此圆上，从而得出A，B，C，D，E五点共圆，即可证出∠CAF=∠CDE
试题难度：三颗星知识点：确定圆的条件。

专题二十三四点共圆【导例】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BA延长线上，点E在BC边上，∠CAE=2∠ACD，∠BAE=60°．求证：A，E，C，D四点共圆．证明：如图，在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠DAC=2∠ACB，∵∠CAE=2∠ACD，∴∠CAD+∠CAE=2∠ACB+2∠ACD=2（∠ACB+∠ACD），∴∠DAE=2∠BCD，∵∠BAE=60°，∴∠DAE=180°-∠BAE=120°，∴∠BCD=60°，∴∠DAE+∠DCB=180°，∴点A，E，C，D四点共圆.【方法点睛】如何判断四点共圆：①四边形对角互补②借助同弦所对的圆周角相等，如：∠ADB=∠ACB，可判断ADCB四点共圆.借助四点共圆，能轻松得出构成同弦的圆周角相等.【典例精讲】【例1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABD=72°，求∠CAD 的度数.解：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠ABD=∠ACD=72°，∴∠CAD=90°-∠ACD=18°.【例2】如图，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD=2，求AE的长.解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵DE⊥AD，BE⊥AB，∴∠ADE=∠ABE=90°，∴A,D,B,E四点共圆，∴∠AED=∠ABD=45°.在△ADE中，∠ADE=90°，∠AED=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，=2√2.AE=ADsin45°【专题过关】1. 如图，已知∠ADB=∠ACB=60°，∠BAD=65°，则∠ACD=____.55°解：∵∠ADB=∠ACB=60°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ACD=∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD=180°-60°-65°=55°.2. 如图，△ABC中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且∠ADC=120°．求证：AD=DC．证明：∵∠ABC+∠ADC=60°+120°=180°∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠ABD=∠ACD，∠DBC=∠DAC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC∴∠ACD=∠DAC∴AD=DC，3. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4，D 是BC 中点，∠CAD=∠CBE ，求AE 的长度.解：如图，连接DE ，∵∠ABC=90°，AB=BC=4，∴∠C=∠BAC=45°，AC=√2AB=4√2，∵D 是BC 中点，∴CD=12BC=2，∵∠CAD=∠CBE ，∴点A ，点B ，点D ，点E 四点共圆，∴∠ABD=∠DEC=90°，∴∠C=∠EDC=45°，∴DE=CE=√22CD=√2，∴AE=AC-CE=3√2.【专题提升】4.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在线段BC ，CD 上，且CF=3，CE=2，若点M ，N 分别在线段AB ，AD 上运动，P 为线段MF 上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB=∠PFC ，则线段PN 的最小值为_____.9−√132解：如图1，∵∠PEB=∠PFC ，∠PEB+∠CEP=180°，∴∠CEP+∠CFP=180°，∴C 、E 、P 、F 四点共圆，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，∴EF 是直径，取EF 的中点为O ，以EF 为直径作圆O ，如图1，连接OP ，ON ，∵PN≥ON -OP ，∵OP 是定值，OP=12EF=12√22+32=√132， 即当O 、N 、P 三点共线，且ON ⊥AD 时，ON 最小，PN 最小，如图2，PN 最小，延长NO 交BC 于Q ，则OQ ⊥CE ，∴EQ=12EC=1， 由勾股定理得：OQ=√OE 2−EQ 2=√（√132）2−12=32， ∴PN=6-32-√132=9−√132. 即线段PN 的最小值为9−√132．5如图，在△ABC 中，∠B=75°，∠C=45°，AC=2√2，点P 是BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ．无论P 的位置如何变化，线段DE 的最小值为____.√3解：∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，即∠AEP=∠ADP=90°，∴A,E,P,D四点共圆，且AP为直径，AP中点O为圆心.连接OE,OD.∵∠DAD=180°-∠B-∠C=60°，∴∠EOD=2∠EAD=120°.∴△OED为顶角120°的等腰三角形，可得ED=√3OE.要求ED最小值，即求圆的直径AP最小，当AP⊥BC是AP最小.此时△APC为等腰直角三角形，∴AP=ACsin45°=2.AP=√3.ED=√3OE=√326.△ABC是等边三角形，点D是△ABC内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点F．当点D在如图所示的位置时.（1）求∠AFB的度数；（2）直接写出线段FD，FE，FC之间的数量关系：____________.解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠ACD+∠DCB=60°，由旋转知，CE=CD，∠DCE=60°，∴∠BCE+∠DCB=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC，∵∠ADC+∠FDC=180°，∴∠BEC+∠FDC=180°，∴C，D，F，E四点共圆，∴∠AFE+∠DCE=180°，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠AFB=∠DCE=60°.（2）由（1）知，△DCE是等边三角形，∴CE=DE，∠DFE=180°-∠DCE=120°，点C，D，F，E四点共圆，∴∠CFE=∠CDE=60°，在FC上取一点G，使FG=FE，∴△EFG是等边三角形，∴EG=FE，∠EGF=60°，∴∠CGE=120°=∠DFE，∵点C，D，F，E四点共圆，∴∠ECG=∠EDF，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG=FD，∴FC=FG+CG=FE+FD.7. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC=√5，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求AD•AF的值.解：如图，连接AE ，CF ，DE ，∵AB=AC ，∴∠ABD=∠ACB ，∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴∠BED=∠BCF ，∠AED=∠ACD=∠ACB ， ∴∠ABD=∠AED ，∴点A ，E ，B ，D 四点共圆，∴∠BED=∠BAD ，∴∠BAD=∠BCF ，∴点A ，B ，F ，C 四点共圆，∴∠AFB=∠ACB=∠ABD ，∴△AFB ∽△ABD ，∴AB AD ＝AF AB ，∴AD•AF=AB 2=（√5）2=5。

四点共圆专题（圆内接四边形）展开全文2018中考数学1.四点共圆概概念：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

2.四点共圆性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

3.四点共圆判定：（1）若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆；（2）把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

中考应用：习题：（1）四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD和∠BCD的度数。

（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P在CD的延长线上，且PA∥DB，求证：PD·BC＝AB·AD（3）如图，已知半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm 的弦，当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是否为定值？如果不是，说明理由；如果是，求出这个定角的正弦值。

（4）如图3，AB是半圆O的直径，C，D是半圆弧上的两点，∠D＝115°，则∠CAB的度数为（）（5）如图4，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F的度数为（）（6）如图8，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，且∠C＝2∠A，则BD＝________.（7）如图11，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD＋∠OCD的度数．（8）如图12，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．求证：(1)∠DCF＝∠DAB；(2)OE＝1/2CD。

中考专题-四点共圆在中考应用-D-11.如图坐标系中：OA=OB，∠ACB=90°，求∠OCB.2.四边形ABCD中(1)对角线AC和BD交于点O，若∠ABD=∠ACD，求证∠CBD=∠CAD.(2)∠ABD=∠ACD，求证：∠ABC+∠ADC=180°(3)∠ABC+∠ADC=180°，求证：∠ABD=∠ACD3.如图，CD、AE为△ABC的高，∠B=45，AC=4，求DE的长。

4.如图，等腰△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD，点E为AD的中点，作DG⊥BE于点G，点F为AC的中点，连接FG，FD，求证：GF=DF．5.（2014•奉贤区二模）已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：BC•AD=DE•AC．6.（2014•崇明县二模）如图，ABCD中，∠DBC=45°，高线DE、BF交于点H，BF、AD的延长线交于点G；联结AH．（1）求证：BH=AB；（2）求证：AH•BG=AG•BD．7.如图，在矩形ABCD中，AB=AC，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC，BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。

8.如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C做CF⊥BE，垂直为F，连接OF，求OF的长9.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB与点E，点M为BD的中点，CM的延长线交AB与点F（1）求证：CM=EM（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的度数（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM10.（2017•青浦区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．（1）求证：∠ACF=∠ABD；（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．（四点共圆型）11.（2017•浦东新区一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．12.（2016•黄浦区二模）如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．13.（青浦）（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，D 是AB 的中点.以CD 为直径的⊙Q 分别交BC 、BA 于点F 、E ，点E 位于点D 下方，联结EF 交CD 于点G ．（1）如图11，如果BC=2，求DE 的长；（B+）（2）如图12，设BC=x ，=GD y GQ，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；（C+）（3）如图13，联结CE ，如果CG=CE ，求BC 的长．（D ）图11图12图1314.（2019•余姚市一模）如图1，在矩形ABCD中，点E以lcm/s的速度从点A向点D运动，运动时间为t（s），连结BE，过点E作EF⊥BE，交CD于F，以EF为直径作⊙O．（1）求证：∠1＝∠2；（2）如图2，连结BF，交⊙O于点G，并连结EG．已知AB＝4，AD＝6．①用含t的代数式表示DF的长②连结DG，若△EGD是以EG为腰的等腰三角形，求t的值；（3）连结OC，当tan∠BFC＝3时，恰有OC∥EG，请直接写出tan∠ABE的值．15.（2015•崇明县一模）已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O为边AB上一动点（不与A、B重合），以O为圆心OB为半径的圆交BC于点D，设OB＝x，DC＝y．（1）如图1，求y关于x的函数关系式及定义域；（2）当⊙O与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；（3）如图2，若⊙O与边AC交于点E（有两个交点时取靠近C的交点），联结DE，当△DEC与△ABC相似时，求x的值．16.（2018•浦东新区一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E 作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．（1）求证：△EFG∽△AEG；（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则A ，B ，C ，D 四点在以点O 为圆心、OA 为半径的圆上．模型2：对角互补共圆模型2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中， 若∠A ＋∠C ＝180°（或∠B ＋∠D ＝180°）则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．12cm 的正方形ABCD 中，点E 从点D 出发，沿边DC 以1cm/s 的速度向点C 运动，同时，点F 从点C 出发，沿边CB 以1cm/s 的速度向点B 运动，当点E 达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE 、DF 交于点P ，设点E ．F DDD运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于4√5cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(①O)上；①是否存在这样的t值，使得问题①中的①O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；①请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，则①AOB+①COD=______°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.①如图①，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）①如图①，若∠AOD=∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=12∠BAC=60°，于是BCAB=2BDAB=√3；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；①请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM 的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；①若AE=5,CE=2，求BF的长．【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形．（1）求美角∠A的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为5，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD=AC．一、解答题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB与直线CD交于点E，①AED＝60°，点F在直线CD 上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作GH⊥AB 于点H．(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长．2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0<n<90)到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP,DF⊥BP，垂足分别为点E、F．(1)求证：CE=EF；(2)联结CF，如果DPCF =13，求∠ABP的正切值；(3)联结AF，如果AF=√22AB，求n的值．3．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．。

知识点、重点、难点四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。

在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。

因此，掌握四点共圆的方法很重要。

判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．由此，我们立即可以得出1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。

将上述判定推广到一般情况，得：2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。

运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。

其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是：1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。

2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。

3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA= AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。

另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。

例题精讲例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。