MATLAB改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程

为了更好地理解欧拉法求解一阶微分方程在Matlab中的应用，我们首先来了解一些背景知识。

一阶微分方程是指只含有一阶导数的方程，通常表示为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是关于x和y的函数。

欧拉法是一种常见的数值解法，用于求解微分方程的近似数值解。

它是一种基本的显式数值积分方法，通过将微分方程转化为差分方程来进行逼近。

在Matlab中，我们可以利用欧拉法求解一阶微分方程。

我们需要定义微分方程的函数表达式，然后选择合适的步长和初始条件，最后使用循环计算逼近解。

下面我们来具体讨论如何在Matlab中使用欧拉法来求解一阶微分方程。

我们假设要求解的微分方程为dy/dx=-2x+y，初始条件为y(0)=1。

我们可以通过以下步骤来实现：1. 我们需要在Matlab中定义微分方程的函数表达式。

在Matlab中，我们可以使用function关键字来定义函数。

在这个例子中，我们可以定义一个名为diff_eqn的函数，表示微分方程的右侧表达式。

在Matlab中，这个函数可以定义为：```matlabfunction dydx = diff_eqn(x, y)dydx = -2*x + y;end```2. 我们需要选择合适的步长和初始条件。

在欧拉法中，步长的选择对于数值解的精度非常重要。

通常情况下，可以先尝试较小的步长，然后根据需要进行调整。

在这个例子中，我们可以选择步长h=0.1，并设置初始条件x0=0，y0=1。

3. 接下来，我们可以使用循环来逼近微分方程的数值解。

在每一步，根据欧拉法的迭代公式y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i))，我们可以按照下面的Matlab代码计算逼近解：```matlabh = 0.1; % 步长x = 0:h:2; % 定义计算区间y = zeros(1, length(x)); % 初始化y的值y(1) = 1; % 设置初始条件for i = 1:(length(x)-1) % 欧拉法迭代y(i+1) = y(i) + h * diff_eqn(x(i), y(i));end```通过上述步骤，在Matlab中就可以用欧拉法求解一阶微分方程。

MATLAB常微分⽅程数值解——欧拉法、改进的欧拉法与四阶龙格库塔⽅法MATLAB常微分⽅程数值解作者：凯鲁嘎吉 - 博客园1.⼀阶常微分⽅程初值问题2.欧拉法3.改进的欧拉法4.四阶龙格库塔⽅法5.例题⽤欧拉法，改进的欧拉法及4阶经典Runge-Kutta⽅法在不同步长下计算初值问题。

步长分别为0.2,0.4,1.0.matlab程序：function z=f(x,y)z=-y*(1+x*y);function R_K(h)%欧拉法y=1;fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K=f(x,y);y=y+h*K;fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);endfprintf('\n');%改进的欧拉法y=1;fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K1=f(x,y);K2=f(x+h,y+h*K1);y=y+(h/2)*(K1+K2);fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);endfprintf('\n');%龙格库塔⽅法y=1;fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K1=f(x,y);K2=f(x+h/2,y+(h/2)*K1);K3=f(x+h/2,y+(h/2)*K2);K4=f(x+h,y+h*K3);y=y+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);end结果：>> R_K(0.2)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=0.200000, y=0.800000欧拉法：x=0.400000, y=0.614400欧拉法：x=0.600000, y=0.461321欧拉法：x=0.800000, y=0.343519欧拉法：x=1.000000, y=0.255934改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=0.200000, y=0.807200改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.636118改进的欧拉法：x=0.600000, y=0.495044改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.383419改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.296974龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=0.200000, y=0.804636龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631465龙格库塔法：x=0.600000, y=0.489198龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377225龙格库塔法：x=1.000000, y=0.291009>> R_K(0.4)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=0.400000, y=0.600000欧拉法：x=0.800000, y=0.302400改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.651200改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.405782龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631625龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377556>> R_K(1)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=1.000000, y=0.000000改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.500000龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=1.000000, y=0.303395注意：在步长h为0.4时，要将for i=1:1/h改为for i=1:0.8/h。

一、介绍迭龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种数值求解常微分方程（ODE）的常用方法。

它是由卡尔·迭龙格（Carl Runge）和马丁·威尔黑尔姆·库塔（Wilhelm Kutta）在20世纪初提出的，该方法以两位数值分析家的名字来命名。

二、简单描述迭龙格-库塔法是通过数值逼近的方式，来计算常微分方程的近似解。

它是一种显式求解方法，适用于解非线性常微分方程和具有较大阶数的常微分方程。

三、数学原理迭龙格-库塔法主要是通过将微分方程转化为差分方程，利用数值解的方式来逼近微分方程的解。

它是一种显式方法，通过不断迭代得到下一个时间步的近似解。

四、matlab中的应用在matlab中，可以使用ode45函数来调用迭龙格-库塔法求解常微分方程。

ode45函数是matlab中集成的一个函数，通过调用ode45函数，可以直接求解常微分方程的数值解。

五、实例演示下面通过一个简单的例子来演示如何使用matlab中的ode45函数来求解常微分方程。

我们考虑一个简单的一阶常微分方程：dy/dt = -y初始条件为y(0) = 1。

在matlab中，可以通过以下代码来求解该微分方程：```定义微分方程的函数function dydt = myode(t, y)dydt = -y;调用ode45函数求解[t, y] = ode45(myode, [0, 5], 1);plot(t, y);```运行以上代码，即可得到微分方程的数值解，并通过绘图来展示解的变化。

六、总结迭龙格-库塔法是一种常用的数值解常微分方程的方法，它在matlab中有较为方便的调用方式。

通过ode45函数，可以快速求解常微分方程的数值解，并通过绘图来展示结果。

希望本篇文章对读者有所帮助，谢谢阅读。

七、应用场景和优势在实际应用中，迭龙格-库塔法广泛应用于各种科学和工程领域，如物理学、化学、生物学、经济学等。

matlab四阶龙格库塔法解方程组【原创实用版】目录1.MATLAB 简介2.四阶龙格 - 库塔法简介3.用 MATLAB 实现四阶龙格 - 库塔法解方程组的步骤4.结论正文1.MATLAB 简介MATLAB 是一种广泛使用的数学软件，它提供了强大的数值计算和数据分析功能。

MATLAB 中有许多现成的函数和工具箱，可以方便地解决各种数学问题。

在工程、科学和金融领域等领域，MATLAB 都有着广泛的应用。

2.四阶龙格 - 库塔法简介四阶龙格 - 库塔法（RK4）是一种常用的数值积分方法，可以用于求解常微分方程组。

该方法具有较高的精度和稳定性，通常比其他低阶方法需要更少的计算步骤。

四阶龙格 - 库塔法的基本思想是将求解过程分为几个步骤，通过对各阶导数进行适当的组合和积分，最终得到方程组的解。

3.用 MATLAB 实现四阶龙格 - 库塔法解方程组的步骤下面是一个简单的示例，展示如何使用 MATLAB 实现四阶龙格 - 库塔法解方程组。

假设我们要求解如下常微分方程组：y" = x^2 + yz" = x + y我们可以按照以下步骤进行：(1) 创建一个 MATLAB 脚本，定义方程组和初始条件。

例如：```matlabfunction dXdt = rk4(t, X, params)% 设置参数h = 0.01; % 时间步长n = 100; % 时间步数X0 = [1; 0; 0]; % 初始条件% 计算 k1, k2, k3, k4k1 = h*(params(1) + params(3));k2 = h*(params(2) + params(4));k3 = h*(params(2) + params(4));k4 = h*(params(1) + params(3));% 循环求解for i = 1:ndXdt = [k1*X(i, 1); k1*X(i, 2); k1*X(i, 3)];X(i+1, :) = X(i, :) + dXdt;dXdt = [k2*X(i+1, 1); k2*X(i+1, 2); k2*X(i+1, 3)]; X(i+1, :) = X(i+1, :) + dXdt;dXdt = [k3*X(i+1, 1); k3*X(i+1, 2); k3*X(i+1, 3)];X(i+1, :) = X(i+1, :) + dXdt;dXdt = [k4*X(i+1, 1); k4*X(i+1, 2); k4*X(i+1, 3)];X(i+1, :) = X(i+1, :) + dXdt;endend```(2) 定义求解函数，并设置时间范围、时间步长等参数。

MATLAB中的差分方程建模与求解方法引言差分方程是数学中常见的一种方程类型，是一种离散形式的微分方程。

在实际问题中，差分方程能够提供对系统的离散描述，对于动态模型的建立和求解具有重要作用。

MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，其内置了丰富的工具箱和函数，为差分方程的建模和求解提供了便利。

一、差分方程的建模差分方程的建模是将实际问题转化为数学方程的过程。

在MATLAB中，差分方程的建模可以通过定义离散系统的状态和状态转移方程来实现。

下面以一个简单的例子说明差分方程的建模过程。

假设有一个人口增长模型，人口数在每年增加10%，则差分方程可以表示为：P(n+1) = P(n) + 0.1 * P(n)，其中P(n)表示第n年的人口数，P(n+1)表示第n+1年的人口数。

在MATLAB中，可以通过定义一个函数来描述差分方程的状态转移方程，代码如下：```matlabfunction Pn = population_growth(Pn_minus_1)growth_rate = 0.1;Pn = Pn_minus_1 + growth_rate * Pn_minus_1;end```上述代码定义了一个名为"population_growth"的函数，该函数的输入参数为上一年的人口数"Pn_minus_1"，输出为当前年的人口数"Pn"。

其中，growth_rate表示人口增长率，根据差分方程的定义，将上一年的人口数乘以增长率再加上本身，即可得到当前年的人口数。

二、差分方程的求解方法在MATLAB中，差分方程的求解可以通过多种方法实现。

下面介绍两种常用的差分方程求解方法：欧拉法和四阶龙格-库塔法。

1. 欧拉法（Euler's method）欧拉法是差分方程求解中最简单直观的一种方法。

其基本思想是通过离散化的方式逐步逼近连续函数的解。

具体步骤如下：1) 将时间段分割成若干个小区间；2) 根据差分方程的状态转移方程，在每个小区间内进行计算；3) 迭代计算直到达到指定的时间点。

Matlab中欧拉法求解常微分方程初值问题一、概念介绍在数学和工程领域，常微分方程初值问题是一个广泛应用的数学概念。

它描述了一个未知函数在给定初始条件下的行为。

而欧拉法则是一种常用的数值方法，用来解决常微分方程初值问题。

在Matlab中，我们可以利用欧拉法来求解常微分方程问题，从而得到函数在给定初始条件下的近似解。

二、欧拉法的基本原理欧拉法的基本思想是通过离散化微分方程，将其转化为递推的差分方程。

考虑一个一阶常微分方程初值问题：\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 \]在欧拉法中，我们采用递推的方式，根据已知的初始条件和微分方程的性质，通过迭代来得到逼近解的数值结果。

具体地，我们首先将自变量$x$的范围进行等间距分割，得到$x_0, x_1, x_2, ..., x_n$，并将步长记为$h$。

根据微分方程的性质，我们可以根据已知的初始条件$y(x_0) = y_0$，通过迭代计算得到近似解$y(x_1), y(x_2), ..., y(x_n)$。

三、Matlab中的欧拉法求解在Matlab中，我们可以利用欧拉法来求解常微分方程初值问题。

以求解一阶常微分方程为例，假设我们需要求解以下的常微分方程初值问题：\[ \frac{dy}{dx} = -2xy, \quad y(0) = 1 \]我们可以利用欧拉法的思想，将自变量$x$的范围进行离散化，然后根据欧拉法的递推公式，利用迭代的方式得到近似解的数值结果。

具体地，在Matlab中，我们可以编写如下代码来实现欧拉法的求解过程：```matlabfunction y = euler_method(f, x0, y0, h, n)% 初始化存储结果的数组x = zeros(1, n+1);y = zeros(1, n+1);% 将初始条件存入数组x(1) = x0;y(1) = y0;% 利用欧拉法进行迭代for i = 1:nx(i+1) = x(i) + h;y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i));end% 返回近似解的数值结果plot(x, y); % 绘制解的图像end```在上述代码中，我们定义了一个名为`euler_method`的函数，其中包含了欧拉法的计算过程。

佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 常微分方程问题初值问题数值解法 专业班级 姓 名 学 号 指导教师 陈剑 成 绩 日 期一. 实验目的1、理解如何在计算机上实现用Euler 法、改进Euler 法、Runge －Kutta 算法求一阶常微分方程初值问题⎩⎨⎧=∈='1)(],[),,()(y a y b a x y x f x y 的数值解。

2、利用图形直观分析近似解和准确解之间的误差。

二、实验要求（1） 按照题目要求完成实验内容； （2） 写出相应的Matlab 程序；（3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； （4） 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。

（5） 写出实验报告。

三、实验步骤1、用Matlab 编写解常微分方程初值问题的Euler 法、改进Euler 法和经典的四阶Runge-Kutta 法。

2、给定初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-=;1)1(,21,1')1(2y x xy x y⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤++-=31)0(10,25050')2(2y x x x y y 要求：（a ）用Euler 法和改进的Euler 法(步长均取h=0.05)及经典的四阶Runge-Kutta 法(h=0.1)求（1）的数值解，并打印)10,....2,1,0(1.01=+=i i x 的值。

(b) 用经典的四阶Runge-Kutta 方法解(2)，步长分别取h=0.1, 0.05,0.025,计算并打印)10,....2,1,0(1.0==i i x 个点的值，与准确解25031)(x e x y x +=-比较，并列表写出在x=0.2,0.5,0.8处，对于不同步长h 下的误差，讨论同一节点处，误差随步长的变化规律。

（c ）用Matlab 绘图函数绘制（2）的精确解和近似解的图形。

四、实验结果 %Euler.mfunction y = Euler(x0,xn,y0,h) %Euler 法解方程f_xy ； %x0,y0为初始条件； %x0,xn 为求值区间； %h 为步长； %求区间个数： n = (xn-x0)/h;%矩阵x 存储n+1个节点： x = [x0:h:xn]';%矩阵y 存储节点处的值： y = [y0;zeros(n,1)];%矩阵y_存储节点处导数值： y_(1)= f_xy(x0,y0); y_ = [y_(1);zeros(n,1)];%进行迭代（欧拉法迭代；求导数）： for i = 2:n+1y (i) = y(i-1)+h*y_(i-1); y_(i) = f_xy(x(i),y(i)); end%Imp_Euler.mfunction y = Imp_Euler(x0,xn,y0,h)%改进的Euler法解方程f_xy；%x0,y0为初始条件；%x0,xn为求值区间；%h为步长；%求区间个数：n = (xn-x0)/h;%矩阵x存储n+1个节点：x = [x0:h:xn]';%矩阵y存储节点处的值：y = [y0;zeros(n,1)];%矩阵y_存储节点处导数值：y_(1)= f_xy(x0,y0);y_ = [y_(1);zeros(n,1)];%使用改进Euler法求值（欧拉法求近似；近似点导数；梯形校正；求导）：for i = 2:n+1y_l = y(i-1) + h*y_(i-1);y_l = f_xy(x(i),y_l);y(i) = y(i-1) + (h/2)*(y_(i-1)+y_l);y_(i)= f_xy(x(i),y(i));end%R_Kutta4.mfunction y = R_Kutta4(x0,xn,y0,h)%Runger_Kutta法解方程f_xy；%x0,y0为初始条件；%x0,xn为求值区间；%h为步长；%求区间个数：n = (xn-x0)/h;%矩阵x存储n+1个节点：x = [x0:h:xn]';%矩阵y存储节点处的值：y = [y0;zeros(n,1)];%矩阵k1,k2,k3,k4存储各节点（中点）数值：k1(1)= f_xy(x0,y0);k1 = [k1(1);zeros(n,1)];k2(1)= f_xy(x0+h/2,y0+h*k1(1)/2);k2 = [k2(1);zeros(n,1)];k3(1)= f_xy(x0+h/2,y0+h*k2(1)/2);k3 = [k3(1);zeros(n,1)];k4(1)= f_xy(x0+h,y0+h*k3(1));k4 = [k4(1);zeros(n,1)];for i= 2:n+1y(i) = y(i-1)+(h/6)*(k1(i-1)+2*k2(i-1)+2*k3(i-1)+k4(i-1));k1(i)= f_xy(x(i),y(i));k2(i)= f_xy(x(i)+h/2,y(i)+h*k1(i)/2);k3(i)= f_xy(x(i)+h/2,y(i)+h*k2(i)/2);k4(i)= f_xy(x(i)+h,y(i)+h*k3(i));end（a）：%f_xy.mfunction y_=f_xy(x,y)%求解第五次作业第一题的点（x,y）处的导数；y_ = 1/(x^2) - y/x;%run521.mclc,clear;x0 = 1;xn = 2;h = 0.05;y0 = 1;%便于显示出x，与y对应：x = [x0:h:xn]';y = Euler(x0,xn,y0,h);YE =[x,y];y = Imp_Euler(x0,xn,y0,h); YIE= [x,y];h = 0.1;x = [x0:h:xn]';y = R_Kutta4(x0,xn,y0,h); YRK= [x,y];(b)： %f_xy.mfunction y_=f_xy(x,y) %求第二个方程的导数： y_ = -50*y+50*(x^2)+2*x;%run522.mclc,clear; x0 = 0; xn = 1; y0 = 1/3; %步长0.1： h = 0.1; x = [x0:h:xn]';y = R_Kutta4(x0,xn,y0,h); y_r= f_Real(x); Y1 = [x,y,y_r];%步长0.05： h = 0.05; x = [x0:h:xn]';y = R_Kutta4(x0,xn,y0,h); y_r= f_Real(x); Y2 = [x,y,y_r]; %步长0.025： h = 0.025; x = [x0:h:xn]';y = R_Kutta4(x0,xn,y0,h); y_r= f_Real(x); Y3 = [x,y,y_r];五、讨论分析(a)从结果可以看出使用RK 方法，步长较大但是结果也更加精确； (b)分析求值结果的误差，可以发现当步长取0.1时，误差是超级大的（10^8数量级），但是当步长缩小一半取0.05时，误差就很小了，再缩小一半，误差就更小了。

一、介绍Matlab作为一种强大的科学计算软件，提供了众多函数和工具来解决微分方程组。

其中，四阶龙格库塔函数是一种常用的数值方法，用于求解常微分方程组。

本文将介绍如何使用Matlab中的四阶龙格库塔函数来求解微分方程组，并对该方法的原理和实现进行详细说明。

二、四阶龙格库塔方法四阶龙格库塔方法是一种常用的数值方法，用于求解常微分方程组。

它是一种显式的Runge-Kutta方法，通过逐步逼近微分方程的解，在每一步使用多个中间值来计算下一步的解。

该方法通过四个中间值来计算下一步的状态，并且具有较高的精度和稳定性。

三、在Matlab中使用四阶龙格库塔方法求解微分方程组在Matlab中，可以使用ode45函数来调用四阶龙格库塔方法来解决微分方程组的问题。

ode45函数是Matlab提供的用于求解常微分方程组的函数，可以通过指定微分方程组以及初值条件来调用四阶龙格库塔方法来进行求解。

1. 定义微分方程组我们需要定义要求解的微分方程组。

可以使用Matlab中的匿名函数来定义微分方程组，例如：```matlabf = (t, y) [y(2); -sin(y(1))];```其中，f是一个匿名函数，用于表示微分方程组。

在这个例子中，微分方程组是y' = y2, y2' = -sin(y1)。

2. 指定初值条件和求解区间接下来，我们需要指定微分方程组的初值条件和求解区间。

初值条件可以通过指定一个初始时刻的状态向量来完成，例如：```matlabtspan = [0, 10];y0 = [0, 1];```其中，tspan表示求解区间，y0表示初值条件。

3. 调用ode45函数进行求解我们可以通过调用ode45函数来求解微分方程组的数值解。

具体的调用方式如下：```matlab[t, y] = ode45(f, tspan, y0);```其中，t和y分别表示求解的时间点和对应的状态值。

四、示例下面我们通过一个具体的例子来演示如何使用Matlab中的四阶龙格库塔方法来求解微分方程组。

欧拉法是一种简单的数值积分方法，用于求解常微分方程的近似解。

然而，欧拉法是一种基本的数值方法，其误差较大。

在MATLAB 中，可以使用`ode45` 函数来求解常微分方程，该函数使用改进的欧拉法（也称为四阶-五阶龙格-库塔法）进行数值积分。

`ode45` 函数使用自适应步长控制，可以在每个步骤中自动调整步长，以减小误差。

在MATLAB 中，可以使用`abserr` 参数来设置允许的最大绝对误差。

如果`abserr` 参数设置为非零值，则`ode45` 函数将使用自适应步长控制来减小误差，并返回满足误差要求的解。

如果设置
`abserr` 为0，则函数将使用固定的步长进行计算，可能不会返回满足误差要求的解。

在某些情况下，可能无法通过自适应步长控制来减小误差。

在这种情况下，可以使用`rel容差` 参数来设置允许的最大相对误差。

如果`rel容差` 参数设置为非零值，则`ode45` 函数将使用自适应步长控制来减小误差，并返回满足误差要求的解。

如果设置`rel容差` 为0，则函数将使用固定的步长进行计算，可能不会返回满足误差要求的解。

总而言之，为了减小欧拉法的误差，建议使用MATLAB 中的
`ode45` 函数，并设置适当的`abserr` 和`rel容差` 参数。

龙格库塔法和欧拉法求解微分方程的比较龙格库塔法和欧拉法是数值解微分方程常用的两种方法，它们在求解微分方程时具有不同的特点和优劣势。

本文将对这两种方法进行比较，分析其适用范围和数值稳定性，并结合实例说明其应用。

龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种经典的数值解微分方程的方法，可以较为精确地求解一阶或高阶的常微分方程。

其核心思想是将微分方程转化为一组差分方程，通过迭代计算逼近真实解。

龙格库塔法的主要特点是精度较高，可以达到四阶甚至更高的精度。

它的基本思路是通过计算初始点和中间点的斜率来估计下一个点的值，从而逼近真实解。

因此，龙格库塔法的计算量较大，但精度较高，适用于需要较高精度的求解问题。

欧拉法（Euler method）是最简单常用的数值解微分方程的方法，可以求解一阶常微分方程。

欧拉法的核心思想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算逼近真实解。

欧拉法的主要特点是简单易实现，计算量较小。

它的基本思路是根据初始点处的斜率来估计下一个点的值，从而逼近真实解。

然而，欧拉法的精度较低，只有一阶精度，容易积累较大的误差。

因此，欧拉法适用于对精度要求不高的简单求解问题。

对比龙格库塔法和欧拉法的特点，可以得出以下结论：1.精度比较：龙格库塔法的精度较高，可以达到四阶或更高的精度；而欧拉法的精度较低，只有一阶精度。

因此，在对精度要求较高的情况下，应优先选择龙格库塔法。

2.计算量比较：龙格库塔法的计算量较大，需要计算多个中间点的斜率；而欧拉法的计算量较小，只需要计算一个初始点的斜率。

因此，在计算量要求较高的情况下，可以选择欧拉法。

3.数值稳定性比较：龙格库塔法具有较好的数值稳定性，可以适应较大的步长；而欧拉法的数值稳定性较差，需要选取较小的步长才能保证结果的稳定性。

因此，在数值稳定性要求较高的情况下，应优先选择龙格库塔法。

下面通过一个具体的例子来说明龙格库塔法和欧拉法的应用。

假设有一个一阶常微分方程 dy/dx = x + y，初始条件为 y(0) = 1。

MATLAB是一种用于数学计算、工程和科学应用程序开发的高级技术计算语言和交互式环境。

它被广泛应用于各种领域，尤其在工程和科学领域中被用于解决复杂的数学问题。

微分方程是许多工程和科学问题的基本数学描述，求解微分方程的数值解和解析解是MATLAB算法的一个重要应用。

1. 求解微分方程数值解在MATLAB中，可以使用各种数值方法来求解微分方程的数值解。

其中，常见的方法包括欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。

这些数值方法可以通过编写MATLAB脚本来实现，从而得到微分方程的近似数值解。

以常微分方程为例，可以使用ode45函数来求解微分方程的数值解。

该函数是MATLAB中用于求解常微分方程初值问题的快速、鲁棒的数值方法，可以有效地得到微分方程的数值解。

2. 求解微分方程解析解除了求解微分方程的数值解外，MATLAB还可以用于求解微分方程的解析解。

对于一些特定类型的微分方程，可以使用符号计算工具箱中的函数来求解微分方程的解析解。

通过符号计算工具箱，可以对微分方程进行符号化处理，从而得到微分方程的解析解。

这对于研究微分方程的性质和特点非常有帮助，也有助于理论分析和验证数值解的准确性。

3. MATLAB算法应用举例在实际工程和科学应用中，MATLAB算法求解微分方程问题非常常见。

在控制系统设计中，经常需要对系统的动态特性进行分析和设计，这通常涉及到微分方程的建模和求解。

通过MATLAB算法，可以对系统的微分方程进行数值求解，从而得到系统的响应曲线和动态特性。

另外，在物理学、生物学、经济学等领域的建模和仿真中，也经常需要用到MATLAB算法来求解微分方程问题。

4. MATLAB算法优势相比于其他数学软件和编程语言，MATLAB在求解微分方程问题上具有明显的优势。

MATLAB提供了丰富的数值方法和工具，能够方便地对各种微分方程进行数值求解。

MATLAB具有直观的交互式界面和强大的绘图功能，能够直观地展示微分方程的数值解和解析解，有利于分析和理解问题。

函数功能编辑本段回目录ode是专门用于解微分方程的功能函数，他有ode23,ode45,ode23s等等，采用的是Runge-Kutta算法。

ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta单步算法,截断误差为(Δx)³。

解决的是Nonstiff(非刚性)的常微分方程.是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,换用ode23来解.使用方法编辑本段回目录[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名tspan 是区间[t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]y0 是初始值向量T 返回列向量的时间点Y 返回对应T的求解列向量[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等[T,Y,TE,YE,IE] =ode45(odefun,tspan,y0,options)在设置了事件参数后的对应输出TE 事件发生时间YE 事件解决时间IE 事件消失时间sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...)sol 结构体输出结果应用举例编辑本段回目录1 求解一阶常微分方程程序:一阶常微分方程odefun=@(t,y) (y+3*t)/t^2; %定义函数tspan=[1 4]; %求解区间y0=-2; %初值[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0);plot(t,y) %作图title('t^2y''=y+3t,y(1)=-2,1<t<4')legend('t^2y''=y+3t')xlabel('t')ylabel('y')% 精确解% dsolve('t^2*Dy=y+3*t','y(1)=-2')% ans =一阶求解结果图% (3*Ei(1) - 2*exp(1))/exp(1/t) - (3*Ei(1/t))/exp(1/t)2 求解高阶常微分方程关键是将高阶转为一阶,odefun的书写.F(y,y',y''...y(n-1),t)=0用变量替换,y1=y,y2=y'...注意odefun方程定义为列向量dxdy=[y(1),y(2)....]程序:function Testode45tspan=[3.9 4.0]; %求解区间y0=[2 8]; %初值[t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0);plot(t,x(:,1),'-o',t,x(:,2),'-*')legend('y1','y2')title('y'' ''=-t*y + e^t*y'' +3sin2t')xlabel('t')ylabel('y')function y=odefun(t,x)y=zeros(2,1); % 列向量y(1)=x(2);y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);endend高阶求解结果图相关函数编辑本段回目录ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tbMatlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现(自己写的，非直接调用)龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。

matlab四阶龙格库塔法解方程组摘要：一、引言二、龙格库塔法介绍1.龙格库塔法的基本原理2.龙格库塔法的发展历程三、MATLAB 实现四阶龙格库塔法1.MATLAB 中龙格库塔法的函数2.四阶龙格库塔法的MATLAB 实现四、龙格库塔法解方程组的应用1.线性方程组的求解2.非线性方程组的求解五、结论正文：一、引言在数学领域，求解方程组是一项基本任务。

龙格库塔法作为高效数值求解线性方程组的方法，被广泛应用于各个领域。

MATLAB 作为一款强大的数学软件，可以方便地实现龙格库塔法求解方程组。

本文将介绍MATLAB 中四阶龙格库塔法解方程组的原理、实现与应用。

二、龙格库塔法介绍1.龙格库塔法的基本原理龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种求解常微分方程初值问题的数值方法。

它通过求解一组线性方程来逼近微分方程的解，具有较高的数值稳定性和精度。

龙格库塔法可以分为四阶、五阶等多种形式，其中四阶龙格库塔法是较为常用的一种。

2.龙格库塔法的发展历程龙格库塔法由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）和英国数学家詹姆斯·库塔（James Kutta）分别在1900 年和1901 年独立发现。

自那时以来，龙格库塔法在数学、物理、工程等领域得到了广泛应用，并发展出了多种改进和扩展。

三、MATLAB 实现四阶龙格库塔法1.MATLAB 中龙格库塔法的函数在MATLAB 中，可以使用内置函数ode45、ode23、ode113 等实现龙格库塔法求解常微分方程。

这些函数分别对应四阶、五阶和三阶龙格库塔法。

2.四阶龙格库塔法的MATLAB 实现以下是一个使用MATLAB 实现四阶龙格库塔法求解方程组的示例：```matlabfunction [x, status] = solve_system_with_ode45(A, B, x0)% 定义方程组func = @(t, x) A * x + B;% 初始条件x0 = [1; 2];% 时间区间tspan = [0, 10];% 求解[x, status] = ode45(func, tspan, x0);end```四、龙格库塔法解方程组的应用1.线性方程组的求解线性方程组在数学、物理、工程等领域具有广泛应用。

隆格库塔法求解常微分方程摘要科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题，这里问题最简单的形式，是本章将着重考察的一阶方程的初值问题.虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法求解.本文着重讨论了隆格库塔法求解一阶常微分方程的初值问题，采用了精度较高的经典的四阶隆格库塔法,然后通过对实例运用Matlab编程进行计算求解，为了体现计算结果的精确性和方法的优越性，再采用了欧拉法和预估较正法对实例进行计算求解作为比较.通过比较三种方法的计算精度，发现四阶经典龙格-库塔方法的误差最小，预估较正法其次，欧拉方法误差则比较大.最后通过选取不同的步长，研究了不同的步长对隆格库塔法求解常微分方程初值问题的计算精度的影响.总之，本文全面分析了隆格库塔法在求解常微分方程的应用，相比与其他的数值解法，隆格库塔法计算精度较高，收敛性较好，其中四阶的隆格库塔法的效率最高，精度也最高.关键词：四阶隆格库塔法；欧拉法；预估较正法；一阶常微分方程；MatlabRunge Kutta Method For Solving Ordinary Differential EquationsABSTRACTProblem solving ordinary differential equations are often needed in science andtechnology. the problem in the simplest form is the initial value problem of first order equations in this chapter ,which will be discussed. Although there are various analytical methods for solving ordinary differential equations, the analytical method can only be used to solve some special types of equations.differential equations can be summed up the actual problems whichThis paper discusses the initial value problem of Runge Kutta Barclays by solving a differential equation, using the four order Runge Kutta method with high accuracy.for instance through classic Matlab programming calculation, the superiority in order to accurately and reflect the calculation result, then the Euler method and the prediction correction method for instance by calculation through the calculation precision. The comparison of three kinds of methods, found that the error of four order Runge Kutta method of minimum, prediction correction method secondly, Euler method error is relatively large. Finally, by selecting different step, study the affect the calculation accuracy of different step of Runge Kutta method to solve initial value problems of ordinary differential equations.In short, this paper comprehensively analyzes the application of Runge Kutta method for solving ordinary differential equations, compared with the numerical solution of other, higher accuracy Runge Kutta method, good convergence, the Runge Kutta method of order four of the highest efficiency and its precision is the highest.Key words: Four order Runge Kutta method; Euler method; prediction correction method; first order ordinary differential equations; Matlab目录1 问题的提出 (1)1.1 问题背景............................................... . (1)1.2 问题的具体内容 (1)2 问题假设 (2)3 符号系统 (2)4 问题的分析 (3)4.1 欧拉格式 (3)4.2 预估较正法 (3)4.3 四阶隆格库塔法的格式 (4)5 模型的建立与求解 (4)5.1 隆格库塔法的基本原理 (4)5.1.1 Taylor级数 (4)5.1.2 隆格库塔法的基本思想 (4)5.1.3 四阶的隆格库塔法 (5)5.2 其他求解常微分方程边值问题算法的简介 (6)5.3 模型求解 (8)5.3.1 运用MATLAB软件对模型求解结果及析 (8)6 模型的评价 (16)7 课程设计的总结与体会 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、问题的提出1.1 问题背景：科学技术中常常需要求常微分方程的定解问题，微分方程里最简单的方程形式莫过于一阶常微分方程的初值问题，即：0(,)()dy f x y a x b dx y a y ⎧=≤≤⎪⎨⎪=⎩ （1）其中a ，b 为常数.虽然求解此类微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用于求解一些特殊类型方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法求解.因为一阶常微分方程简单但又是求解其他方程的基础，所以发展了许多典型的解法.本文着重讨论一类高精度的单步法——隆格库塔法，并且运用四阶的隆格库塔格式来求解初值问题，并且通过实例运用四阶的隆格库塔格式来求解初值问题，同时与显式与隐式的Euler 格式求解出的结果进行精度比较.1.2 问题的具体内容实例一：在区间[0,1]上采用经典的四阶隆格库塔方法求解微分方程1(0)1dy y x dx y ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，其精确解为x y x e -=+，步长为0.5,然后用欧拉法，预估校正法分别求解，且将计算结果与精确解进行比较，对三个算法的收敛性的进行分析比较.实例二：在区间[0,1]上用经典的四阶龙格库塔方法求解初值问题 (0)1x dy xe y dx y -⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 其精确解为21(2)2xx e -+，然后用欧拉法，预估校正法分别求解，且将计算结果与精确解进行比较，对三个算法的收敛性的进行分析比较.最后在区间[0,1]上分别取步长h=0.1;0.05时进行计算，并且探究选取不同的步长对计算结果精度的影响.二、问题假设2.1 假设数值方法本身的计算是准确的.2.2 假设选取的步长趋于0时计算的结果会收敛到微分方程的准确解.2.3 假设步长的增加不会导致舍入误差的严重积累.三、符号系统3.1 符号说明符号含义h选取的步长*K平均斜率p精度的阶数∆前后两次计算结果的偏差y第n个节点的实验值n()y x第n个节点的精确值nδ实验值与精确值的绝对误差四、问题的分析问题要求运用隆格库塔算法来求解一阶微分方程的初值问题，针对前面提出的实例，本文先用经典的四阶隆格库塔法来求解上面的微分方程，为了体现隆格库塔法的优越性，同时用欧拉法，预估校正法分别求解，且将计算结果与精确解进行比较，对三个算法的收敛性的进行分析比较.最后在区间[0,1]上分别取步长h=0.1;0.05时进行计算，分析在选取不同的步长时，求解结果的精度变化如何.下面是欧拉法，预估校正法以及经典的四阶隆格库塔法的计算公式.4.1欧拉格式（1）显式欧拉格式1(,)n n n n y y hf x y +=+ （2） 局部截断误差22211()()()()22n n n h h y x y y y x o h ξ++''''-=≈= （3） （2）隐式欧拉格式111(,)n n n n y y hf x y +++=+ （4）局部截断误差2211()()()2n n n h y x y y x o h ++''-≈-= (5) 4.2 预估校正法预估 1(,)n n n n y y hf x y +=+ (6)校正 111[(,)(,)]2n n n n n n h y y f x y f x y +++=++ (7) 统一格式 1[(,)(,(,))]2n n n n n n n n h y y f x y f x h y hf x y +=++++ (8) 平均化格式 11(,),(,),1().2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++⎧⎪=+⎪=+⎨⎪⎪=+⎩ (9)4.3 四阶龙格库塔方法的格式（经典格式）112341213243(22),6(,),(,),22(,),22(,).n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩(10)五、模型的建立与模型求解5.1 隆格库塔法的基本原理隆格库塔法是一种高精度的单步法，这类方法与下述Taylor 级数法有着紧密的联系.5.1.1 Taylor 级数设初值问题 '00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩有解，按泰勒展开，有2'''1()()()()....2n n n n h y x y x hy x y x +=+++； （11） 其中()y x 的各阶导数依据所给方程可以用函数f 来表达，下面引进函数序列(,)j f x y 来描叙求导过程，即(0)(1)'(0)''(1)(1)(1)'''(2),f f y f f y f f x x f f y f f x y ∂∂=≡=+≡∂∂∂∂=+≡∂∂ （12）(2)(2)()(1)j j j j f f y f f x y ---∂∂=+≡∂∂ （13） 根据上式，结果导出下面 Taylor 格式2'''()1...2!!pp n n nn n h h y y hy y y p +=++++ （14）其中一阶Taylor 格式为： '1n n n y y hy +=+提高Taylor 格式的阶数p 即可提高计算结果的精度，显然，p 阶Taylor 格式的局部截断误差为：11(1)1(1)!p p n n h y y y p ζ+++-+=+ （15） 因此它具有p 阶精度.5.1.2 隆格库塔方法的基本思想隆格库塔法实质就是间接地使用Taylor 级数法的一种方法,考察差商1()()n n y x y x h+- 根据微分中值定理，这有'1()()()n n n y x y x y x h h θ+-=+ （16） 利用所给方程 '(,)y f x y =1()()(,())n n n n y x y x hf x h y x h θθ+=+++ （17） 设 平均斜率*(,())n n K f x h y x h θθ=++，由此可见，只要对平均斜率一种算法，便相应地可以导出一种计算格式.再考察改进的Euler 格式，它可以改写成平均化的形式：1121211()2(,)(,)n n n n n n h y y K K K f x y K f x y hK ++⎧=++⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩（18） 这个处理过程启示我们，如果设法在1(,)n n x x +内多预测几个点的斜率值，然后将它们加权平均作为平均斜率，则有可能构造具有更高精度的计算格式，这就是隆格库塔法的基本思想.5.1.3 四阶的隆格库塔法为了方便起见，本文主要运用经典的隆格库塔算法-四阶隆格库塔格式.其格式如下：112341213243(22),6(,),(,),22(,),22(,).n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩（19）下面为其具体的算法流程图：5.2 其他求解常微分边值问题算法的简介5.2.1欧拉数值算法（显式）微分方程里最简单的方程形式莫过于一阶常微分方程的初值问题，即：(,)()dyf x y a x b dx y a y ⎧=≤≤⎪⎨⎪=⎩(20) 其中a ，b 为常数.开始输入x 0,y 0,h,N x 1=x 0+hk 1=f(x 0,y 0),k 2=f(x 0+h/2,y 0+hk 1/2)k 3=f(x 0+h/2,y 0+hk 2/2),k 4=f(x 1,y 0+hk 3)y 1=y 0+h(k 1+2k 2+2k 3+k 4)/6n=1输出x 1,y 1n=N? 结束n=n+1x 0=x 1,y 0=y 1否是图5.1 龙格-库塔法流程图因为其简单但又是求解其他方程的基础，所以发展了许多典型的解法.所有算法中的f 就是代表上式中(,)f x y ，而y f 表示(,)f x y y ∂∂，x f 表示(,)f x y x∂∂. 简单欧拉法是一种单步递推算法.简单欧拉法的公式如下所示：1(,)n n n n y y hf x y +=+ (21)简单欧拉法的算法过程介绍如下:给出自变量x 的定义域[,]a b ，初始值0y 及步长h .对0,1,()/k b a h =-，计算1(,)k k k k y y hf x y +=+5.2.2欧拉数值算法（隐式）隐式欧拉法也叫退欧拉法，隐式欧拉法的公式如下所示：111(,)n n n n y y hf x y +++=+ (22)隐式欧拉法是一阶精度的方法，比它精度高的公式是：111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++ (23)隐式欧拉的算法过程介绍如下.给出自变量x 的定义域[,]a b ，初始值0y 及步长h .对0,1,()/k b a h =-，用牛顿法或其他方法求解方111(,)k k k k y y hf x y +++=+得出1k y +.5.2.3 欧拉预估-校正法改进欧拉法是一种二阶显式求解法，其计算公式如下所示：1[,(,)]22n n n n n n h h y y hf x y f x y +=+++11(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n t y hf x y h y y f x y f x t ++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩ (24)四阶龙格-库塔法有多种形式，除了改进的欧拉法外还有中点法.中点法计算公式为：1[,(,)]22n n n n n n h h y y hf x y f x y +=+++ (25)5.3 模型求解5.3.1运用MATLAB 软件对模型求解结果及分析用欧拉法、改进的欧拉格式、经典的四阶龙格库塔法来求解常微分方程的边值问题，并且比较其精度（具体的MATLAB 源程序见附录） 以下进行实例分析：实例一. 1(0)1dyy x dx y ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩由题可知精确解为：x y x e -=+，当x=0时，y(x)=0.在这里取步长h 为0.1， 通过MATLAB 程序的计算，相应的结果如下：表5-1 步长为0.1时各方法的预测值与精确值的比较(精确到6位小数)初值 Euler 法 相对误差 预估校正法 相对误差 经典四阶库 相对误差精确值 0 -- -- -- -- -- -- 1.00000 0.1 1.00910 0.00424 1.00500 0.00016 1.00484 0.00000 1.00484 0.2 1.02646 0.00759 1.01903 0.00029 1.01873 0.00000 1.01873 0.3 1.05134 0.01011 1.04122 0.00038 1.04082 0.00000 1.04082 0.4 1.08304 0.01189 1.07080 0.00045 1.07032 0.00000 1.07032 0.5 1.12095 0.01303 1.10708 0.00049 1.10653 0.00000 1.10653 0.6 1.16451 0.01366 1.14940 0.00052 1.14881 0.00000 1.14881 0.7 1.21319 0.01388 1.19721 0.00052 1.19659 0.00000 1.19659 0.8 1.26655 0.01378 1.24998 0.00052 1.24933 0.00000 1.24933 0.9 1.32414 0.01344 1.30723 0.00050 1.30657 0.00000 1.30657 1.01.38558 0.01294 1.36854 0.00048 1.36788 0.000001.36788步长为0.1时的精确值与预测值的比较精确值欧拉法改进欧拉格式四阶龙格库塔轴Y00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 1.1 1.2 1.3 1.4X轴图5.2 步长为0.1时各方法的预测值与精确值的比较原函数图像轴YX轴图5.3 步长为0.1时原函数图像在这里取步长h为0.05，通过MATLAB程序的计算，相应的结果如下：表5-2 h=0.05时三个方法与精确值的真值表步长Euler法相对误差预估校正法相对误差经典四阶库相对误差精确值0 -- -- -- -- -- --1.00000 0.05 1.00250 0.00911 1.00125 0.01035 1.00123 0.01037 1.00484 0.10 1.00738 0.01711 1.00488 0.01954 1.00484 0.01958 1.01873 0.15 1.01451 0.02405 1.01076 0.02765 1.01071 0.02770 1.04082 0.20 1.02378 0.03001 1.01880 0.03473 1.01873 0.03479 1.07032 0.25 1.03509 0.03507 1.02889 0.04085 1.02880 0.04093 1.10653 0.30 1.04834 0.03930 1.04092 0.04610 1.04082 0.04619 1.14881 0.35 1.06342 0.04277 1.05480 0.05053 1.05469 0.05063 1.19659 0.40 1.08025 0.04555 1.07044 0.05422 1.07032 0.05432 1.24933 0.45 1.09874 0.04772 1.08775 0.05724 1.08763 0.05734 1.30657 0.50 1.11880 0.04933 1.10666 0.05964 1.10653 0.05975 1.36788 0.55 1.14036 0.05045 1.12709 0.06150 1.12695 0.06161 1.00484 0.60 1.16334 0.05113 1.14895 0.06286 1.14881 0.06298 1.01873 0.65 1.18768 0.05143 1.17219 0.06379 1.17205 0.06391 1.04082 0.70 1.21329 0.05139 1.19674 0.06433 1.19659 0.06445 1.07032 0.75 1.24013 0.05106 1.22252 0.06453 1.22237 0.06465 1.10653 0.80 1.26812 0.05048 1.24949 0.06443 1.24933 0.06455 1.14881 0.85 1.29722 0.04969 1.27757 0.06408 1.27742 0.06419 1.19659 0.90 1.32735 0.04871 1.30673 0.06349 1.30657 0.06361 1.249330.95 1.35849 0.04759 1.33690 0.06272 1.33674 0.06283 1.306571.00 1.39056 0.04634 1.36804 0.06178 1.36788 0.06189 1.36788欧拉格式 改进欧拉格式四阶龙格库塔精确值图5.4 步长为0.05时各方法的预测值与精确值的比较11.051.11.151.21.251.31.351.4X 轴Y 轴原函数图像图5.5 步长为0.05时原函数图像实例2 (0)1xdy xe ydx y -⎧=-⎪⎨⎪=⎩由题可知精确解为：21(2)2x x e -+当x=0时，y(x)=0.在这里取步长h为0.1，通过MATLAB程序的计算，相应的结果如下：步长Euler法相对误差预估校正法相对误差经典四阶库相对误差精确值0.1 0.9000 0.0318 0.9096 0.0214 0.9094 0.0216 0.9295 0.2 0.8192 0.0611 0.8359 0.0420 0.8356 0.0424 0.8726 0.3 0.7544 0.0876 0.7761 0.0614 0.7757 0.0619 0.8268 0.4 0.7027 0.1109 0.7277 0.0793 0.7272 0.0799 0.7903 0.5 0.6617 0.1310 0.6886 0.0956 0.6881 0.0963 0.7615 0.6 0.6294 0.1480 0.6572 0.1103 0.6567 0.1110 0.7387 0.7 0.6040 0.1621 0.6320 0.1234 0.6315 0.1241 0.7209 0.8 0.5841 0.1737 0.6116 0.1349 0.6111 0.1355 0.70690.9 0.5686 0.1830 0.5951 0.1450 0.5946 0.1456 0.69591.0 0.5563 0.1905 0.5815 0.1538 0.5811 0.1544 0.6872原函数图像轴Y00.10.20.30.40.50.60.70.80.91X轴图5.6 步长为0.1时原函数图像各方法的预测值与精确值的比较欧拉格式改进的格式四阶龙格库塔精确值轴Y0.10.20.30.40.50.60.70.80.91X轴图5.7 步长为0.1时各方法的预测值与精确值的比较在这里取步长h为0.05，通过MATLAB程序的计算，相应的结果如下：表5-4 步长为0.1时各方法的预测值与精确值的比较(精确到5位小数)步长Euler法相对误差预估校正法相对误差经典四阶库相对误差精确值0.050.95000 0.01342 0.95245 0.01088 0.95242 0.01090 0.96292 0.100.90490 0.02650 0.90947 0.02158 0.90942 0.02163 0.92953 0.150.86428 0.03916 0.87067 0.03206 0.87061 0.03213 0.89951 0.200.82774 0.05137 0.83567 0.04228 0.83559 0.04237 0.87256 0.250.79491 0.06307 0.80414 0.05219 0.80405 0.05230 0.84842 0.300.76545 0.07423 0.77576 0.06176 0.77566 0.06188 0.82682 0.350.73904 0.08482 0.75023 0.07096 0.75013 0.07110 0.80754 0.40 0.71541 0.09482 0.72730 0.07977 0.72719 0.07991 0.79035 0.45 0.69427 0.10422 0.70672 0.08817 0.70660 0.08832 0.77505 0.50 0.67539 0.11302 0.68825 0.09615 0.68813 0.09630 0.76146 0.55 0.65855 0.12123 0.67168 0.10370 0.67156 0.10386 0.74940 0.60 0.64352 0.12886 0.65683 0.11084 0.65671 0.11100 0.73871 0.65 0.63012 0.13593 0.64351 0.11756 0.64340 0.11773 0.72925 0.70 0.61819 0.14245 0.63157 0.12388 0.63145 0.12405 0.72087 0.75 0.60754 0.14847 0.62085 0.12981 0.62073 0.12998 0.71347 0.80 0.59805 0.15400 0.61121 0.13537 0.61110 0.13553 0.70691 0.85 0.58957 0.15908 0.60254 0.14058 0.60243 0.14073 0.70109 0.90 0.58198 0.16374 0.59470 0.14545 0.59460 0.14560 0.695930.95 0.57517 0.16802 0.58761 0.15001 0.58751 0.15016 0.691321.00 0.56904 0.17194 0.58117 0.15429 0.58107 0.15443 0.687190.10.20.30.40.50.60.70.80.910.550.60.650.70.750.80.850.90.951X 轴Y 轴各方法下的预测值与精确值的比较欧拉格式改进欧拉格式四阶龙格库塔精确值图5.8 步长为0.05时各方法的预测值与精确值的比较六、模型的评价本文着重讨论了4阶的隆格库塔法来求解微分方程，并且通过两个实例验证了隆格库塔法在求解初值问题的优越性.从上面的实例比较可知，在计算精度上，四阶经典龙格-库塔方法的误差最小，改进欧拉方法其次，欧拉方法误差则比较大，所以四阶经典龙格-库塔方法得到最佳的精度.而在计算量上面，相应地，很明显的四阶经典龙格-库塔方法也是最大，改进欧拉方法其次，欧拉方法计算量最小.这样的结果，说明了运用以上三种方法时，其计算量的多少与精度的大小成正比.我们在实际运用与操作中，可以根据实际情况，选择这3种方法中的其中一种最适合的，追求精度的话，可以使用四阶经典龙格-库塔方法；而改进的欧拉方法，在精度上和计算量上都表现得很出色，能够满足一般情况；而欧拉方法更主要的是适用于对y的估计上，而精度则有所欠缺，以上各方法的选择，都取决于具体的情况.七、课程设计的总结与体会本文着重采用隆格库塔法运用MATLAB编程来求解微分方程，相比于欧拉法以及预估校正法，隆格库塔法在提高近似值解的精度上是非常起作用的，而且又具有计算量不大、算法组织容易.其次，每一次的课程设计总是让我学到了更多的知识，不论是C++、SPASS还是MATLAB软件，这些都让我学到了如何解决实际问题的好工具，通过这些工具，是自己能够得到突破和成长.以下是我完成此次课程设计的几点体会：（1）必须学好基础知识，在做的过程中，发现自己有很多东西都不懂，要博学必须从一点一点做起.以往训练得少只是把握的不牢靠.所以做起来感到有点吃力.所以，无论什么学科，一定要打好基础.（2）程序设计要靠多练，多见识，那样形成一种编程思维，我想对我是有很大好处的.尤其像我这种平时学得不扎实的人.（3）做事情要有恒心，遇到困难不要怕，坚决去做.如果做出来了，固然高兴，如果没有做出来也没关系，自己努力了对得起自己就好.同时，把它看做是对自己的锻炼. （4）做程序特别是做大程序是很有趣的.虽然有的问题很难，要花很多时间很多精力，但是那种解决了一个问题时的喜悦足以把付出的辛苦补偿回来.得到一种心里的慰藉.参考文献[1] 李庆杨，王能超，易大义编．数值分析（第四版）[M]：华中科技大学出版社，2006.[2] 姜启源，谢金星，叶俊编．数学模型（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2005[3] 刘琼荪，数学实验[M]，高等教育出版社，2004[4] 王建伟，MATLAB7.X程序设计[M]，中国水利水电出版社，2007[5] 王高雄，周之铭等编.常微分方程（第三版） [M]:高等教育出版社，2006[6]何坚勇编著. 运筹学基础（第二版）[M]. 北京：清华大学出版社，2008.附录附录一：显示欧拉法matlab程序%欧拉法clear allclcx=[];y=[];y1=[];h=0.1;x=0:h:1;n=length(x);for i=1:ny(i)=f1(x(i));endfigure(1)plot(x,y,'g-');hold ony1(1)=1;for j=2:ny1(j)=y1(j-1)+h*f(x(j-1),y1(j-1)); endY=[x;y1];fid=fopen('data.txt','wt');fprintf(fid,'%6.2f %12.4f\n',Y);fclose(fid);plot(x,y1,'r-');figure(2)DT=abs(y-y1);plot(x,DT)%1.建立导数函数文件function z=f(x,y)z=y-2*x/y;%2.建立原函数文件function z1=f1(x)z1=(2*x+1)^(1/2);迭代n次的后退的欧拉格式matlab程序%1.建立导数函数文件function z=f(x,y)z=y-2*x/y;%2.建立原函数文件function z1=f1(x)z1=(2*x+1)^(1/2);%迭代n次的后退的欧拉格式clear allclcN=input('请输入迭代次数:');x=[];y=[];y1=[];h=0.1;x=0:0.1:1;n=length(x);for i=1:ny(i)=f1(x(i));endfigure(1)plot(x,y,'g-');for j=2:ny1(j)=y1(j-1)+h*f(x(j-1),y1(j-1)); T=y1(j);for k=1:NT=y1(j-1)+h*f(x(j),T);endy1(j)=T;endY=[x;y1];fid=fopen('data.txt','wt');fprintf(fid,'%6.2f %12.4f\n',Y); fclose(fid);plot(x,y1,'r-');figure(2)DT=abs(y-y1);plot(x,DT)附录二：预估校正法matlab程序%1.建立导数函数文件function z=f(x,y)z=y-2*x/y;%2.建立原函数文件function z1=f1(x)z1=(2*x+1)^(1/2);%预估校正法%欧拉法clear allclcx=[];y1(1)=1;y2=[];y2(1)=1;h=0.1;x=0:0.1:1;n=length(x);for i=1:ny(i)=f1(x(i));endfigure(1)plot(x,y,'g-');hold onfor j=2:ny1(j)=y2(j-1)+h*f(x(j-1),y2(j-1));y2(j)=y2(j-1)+(h/2).*[f(x(j-1),y2(j-1))+f(x(j),y1(j))]; endY=[x;y2];fid=fopen('data.txt','wt');fprintf(fid,'%6.2f %12.4f\n',Y);fclose(fid);plot(x,y2,'r-');figure(2)DT=y-y2;plot(x,DT)附录三：四阶龙格库塔法matlab程序%四阶龙格库塔法clear allclcn=length(x);y=[];y1=[];y1(1)=1;for i=1:ny(i)=f1(x(i));endfigure(1)plot(x,y,'g-');hold onfor j=2:nK1=f(x(j-1),y1(j-1));K2=f(x(j-1)+h/2,y1(j-1)+h/2*K1);K3=f(x(j-1)+h/2,y1(j-1)+h/2*K2);K4=f(x(j-1)+h,y1(j-1)+h*K3);y1(j)=y1(j-1)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4); endY=[x;y1];fid=fopen('data1.txt','wt');fprintf(fid,'%6.2f %12.4f\n',Y);fclose(fid);plot(x,y1,'r-');figure(2)DT=abs(y-y1);plot(x,DT)。

m a t l a b四阶龙格-库塔法求微分方程Matlab 实现四阶龙格-库塔发求解微分方程从理论上讲，只要函数在某区间上充分光滑，那么它可以展开为泰勒级数，因此在该区间上的函数值可用各阶导数值近似地表示出来，反之其各阶导数值也可用某些函数值的线性组合近似地表示出来。

龙格-库塔法就是将待求函数)(t y 展开为泰勒级数，并用方程函数),(y f t 近似其各阶导数，从而迭代得到)(t y 的数值解。

具体来说，四阶龙格-库塔迭代公式为)22(6143211k k k k h n n ++++=+y y ),(1n n t k y f =)2/,2/(12hk h t k n n ++=y f)2/,2/(23hk h t k n n ++=y f),(33hk h t k n n ++=y f实验内容：已知二阶系统21x x= ，u x x x 5.02.04.0212+--= ，0)0()0(21==x x ，u 为单位阶跃信号。

用四阶龙格-库塔法求数值解。

分析步长对结果的影响。

实验总结：实验报告要求简要的说明实验原理；简明扼要地总结实验内容；编制m 文件，并给出运行结果。

报告格式请按实验报告模板编写。

进入matlab ，Step1：choose way1 or way2way1）：可以选择直接加载M 文件（函数M 文件）。

way2）：点击new ——function ，先将shier （函数1文本文件）复制运行;点击new——function，再将RK（函数2文本文件）运行;点击new——function，再将finiRK（函数3文本文件）运行;Step2：回到command页面输入下面四句。

[t,k]=finiRK45([0;0],150);%迭代150次，步长=20/150[t1 k1]=ode45(@shier,[0 -10],[0 0]);%调用matlab自带四阶龙格-库塔，对比结果[t2 k2]=ode45(@shier,[0 10],[0 0]);plot(t,k(1,:),'-',t1,k1(:,1),'*',t2,k2(:,1),'^')%在图形上表示出来补充：改变步长影响数据的准确性。