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Runge —Kutta 法求解布拉修斯解
摘要
薄剪切层方程主要有三种解法，即相似解，非相似条件下对偏微分方程组的数值解和近似解。布拉修斯解是布拉修斯于1908年求出的，它是零攻角沿平板流动的相似解。本文用四阶Runge —Kutta 法求解高阶微分方程的方法，并用matlab 编程实现，求得了与实际层流边界层相符合的数值解。
关键词：布拉修斯解，相似解，Runge —Kutta 法，数值解。
1 布拉修斯近似解方程
二维定常不可压缩层流边界层的方程为：
0=∂∂+∂∂y
v
x u （1）
22y
u
v dx d y u v x u u u u e e ∂∂+=∂∂+∂∂ （2）
边界条件为
:0=y )(,0x v u v
w
=
=
:δ=y )(x u u e =
将式（1）和式（2）进行法沃克纳—斯坎变换（简称F —S 变换），将边界层方程无量纲化，
即设
y x v u e 5
.0⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=η （3）
x x = （4）
得出F —S 变换后的动量方程
()
[]()[]
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-∂'∂'='-+''++'''+x f f x
f f x f m f f m f t k
221211 （5）
其中k 为流动类型指标，横曲率项t 为
2
12
1
20cos 211⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ηφe u vx L r L t （6） m 是量纲一的压力梯度参数，定义为
x
d du u x m e
e =
（7）
其边界条件变为
:0=η 0='f
:∞=η 1='f
对于二维平面实壁流动（:0=η0=w f ）可以忽略横曲率项t 的轴对称流动，式（5）成为
()[]
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-∂'∂'='-+''++
'''x f f x
f f x f m f f m f 2
121 （8） 根据相似解的定义，方程（8）中的函数f 若式相似的，则它应只与η有关而与x 无关，即
对x 的偏导数应为零。于是方程（8）应成为
()[]
012
12
='-+''++
'''f m f f m f （9） 若f w 为常数，则方程（9）的边界条件为
:0=η 常数==w f f ； 0='='w
f f :∞=η 1='f
2 布拉修斯解
布拉修斯于1908年求出了零攻角沿平板流动的解。这时 0==m u e 常数； 因而方程（9）成为
02
1
=''+
'''f f f （10） 此即布拉修斯方程。对于实壁，0=w f ，边界条件成为
:0=η 0==w f f ； 0='='w
f f :∞=η 1='f
3 Runge —Kutta 法求解
Runge —Kutta 通过将高阶微分方程化为一阶线性方程组，从而解出高阶方程的数值解。在方程（10）中令η=0f
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧====
=ηηηηd df d f d f d df d df f f f 2
2
21
213 （11） 于是方程（10）变为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧-======313
210333321022
2321011
21
),,,(),,,(),,,(f f f f f f T d df f f f f f T d df f f f f f T d df η
ηη （12） 当区步长为h ，有四阶Runge —Kutta 的形式如下
()⎪⎪⎪⎪
⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
++++=++++=++++==++++=+)
,,,()2
,2,2,2()2,2,2,2(),,,(226
3,3,33,2,23,1,13,0,04,2,3,32,2,22,1,12,0,03
,1,3,31,2,21,1,11,0,02,,3,2,1,01,4,3,2,1,,1
,hK f hK f hK f hK f T K K h f K h f K h f K h f T K K h f K h f K h f K h f T K f f f f T K K K K K h f f i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i j i j i （13）
使用matlab 软件取步长为0.2，迭代100步视作η→无穷大。迭代到第40步左右就收敛了，迭代结果如下（本文附录有全程序源代码）
表格 1平板层流边界层方程的数值解
1.20.237950.393780.31659
1.40.322990.456270.30787
1.60.420330.516760.29667
1.80.529520.574760.28293
20.650030.629770.26675
2.20.78120.681320.24835
2.40.92230.728990.22809
2.6 1.07250.772460.20646
2.8 1.2310.811510.18401
3 1.39680.846050.16136
3.2 1.56910.876090.13913
3.4 1.7470.901770.11788
3.6 1.92950.923330.098087
3.8 2.1160.941120.080126
4 2.30580.955520.064235
4.2 2.49810.966960.050521
4.4 2.69240.975880.038974
4.6 2.88830.982690.029485
4.8 3.08530.987790.021873
5 3.28330.991550.015908
5.2 3.48190.994250.011343
5.4 3.68090.996160.007929
5.6 3.88030.997480.005434
5.8 4.07990.998380.00365
6 4.27960.998980.002403
6.2 4.47950.999370.001551
6.4 4.67940.999620.000982
6.6 4.87930.999770.000609
6.8 5.07930.999870.00037
7 5.27930.999930.000221
7.2 5.47930.999960.000129
7.4 5.67930.999987.38E-05
7.6 5.87930.99999 4.15E-05
7.8 6.07931 2.28E-05
8 6.27931 1.23E-05
8.2 6.47931 6.52E-06
8.4 6.67931 3.38E-06
8.6 6.87931 1.72E-06
8.87.079318.59E-07
97.27931 4.20E-07由上表可以看出，数值解与布拉修斯解符合程度相当好。
4 结语
