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求解非线性方程问题转化为求序列极限问题
研究 内容
是否唯一 ? 定理 3.1: 解的存在与唯一性定理
根的存在与唯一性:方程有没有根？若有根,
迭代格式的收敛性:如何构造收敛的迭代格式？
收敛阶的概念及判定 收敛速度的确定； 定义3.1,定理3.2
例1 用迭代法求 f ( x) 2 x3 x 1 0 的根. 解: (1) 化为等价方程: x 3 得迭代格式:
xk 1 xk 5 104时停止计算
3 f ( xk ) xk xk 1 xk 1 xk xk 2 f ( xk ) 3xk 1
----(3.10)
至少是平方收敛，并称 上式为Newton迭代法
注意： 1)Newton迭代法的优点 :收敛速度快（至少是平 方 收 敛 的 ） 。 2)Newton 迭 代 法 的 缺 点 ： 需 要 计 算 导 数 f ( x )，如果函数f (x)比较复杂，使用Newton公式是不 方便的。为了避开导数的计算，可以用导数的近似值 来替代 f ( x ) ，得到所谓的弦截法。
2、弦截法
Newton迭代法:
x k 1 f ( xk ) xk f ( xk )
-------- (3.10)
中含有函数的导数, 不方便求. 可用导数的近似式代替，即
f ( xk ) f ( xk 1 ) f ( xk ) xk xk 1
代入 (3.10) 得
xk 1 xk f ( xk ) ( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )
3 (2) 由 2 x x 1 0 还可得等价方程:
x 2 x3 1 ( x)
得迭代格式:
xk 1 2x 1 ( xk )
3 k
取 x0 0 ,代入上式得:
x1 1, x2 3,
3
迭代法的收 敛与发散, 依赖于迭代 函数的构造!
显然,当
迭代函数要满足什么 x 55, 条件 , 迭代法才收敛？ x k
0.571 172 0.564 863 0.568 439 0.566 409 0.567 560
0.034 464 0.019 638
0.011 107 0.006 309 0.003 576 0.002 030 0.001 151
9
0.567 560
0.566 907
0.000 653
α≈0.566 907 是方程在 x = 0.5 附近的计算根.
求非线性方程 的根.
y
A
f (x) = 0
y = f(x)
-------- (3.1)
注. (1) 非线性方程一般情况下很难求得其解析解 , b α a 所以往往采用数值方法求解 . x 0
B是连续的. (2) 非线性方程中, 通常假设函数 f(x)
保证有解
求非线性方程的根, 即求曲线 y = f(x) 与 x 轴的交点α
Newton 迭代法
例3 设 f ( ) 0 , f ( ) 0 , 证明由
f ( x) x x ( x) f ( x)
-------- (3.8)
建立的迭代法至少是平方收敛的. 证明 只需证明 ( ) 0 , 见教材 p228.
3-2 Newton迭代法及其变形
2. 建立迭代格式:
xk 1 ( xk )
-------- (3.3)
称 (3.3) 为求解非线性方程的(简单)迭代法／迭代过程／ 迭代格式. 3. 从初值 x0 出发, 得到序列 {xk } (k 0,1,2,)
若当 k 时 xk , 则迭代法 (3.3) 收敛, 就是方程 (3.1)的解, 否则迭代法发散.
o
(k 0,1,2, )
L 判断迭代是否可终止的依据 1 . xk xk xk 1 (3.4) 1 L k Lห้องสมุดไป่ตู้2o. xk x1 x0 (3.5) 1 L
若迭代函数满足定理 3.1 的条件,则迭代法收敛.那么
迭代法的结束条件 xk xk 1
用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非 常重要的. 主要介绍：
1）Newton迭代法
2）弦截法
1、Newton迭代法（又称作切线法）
Newton法是求解方程 f (x)=0的一种重要的迭代法。 这种方法的基本思想是设法将非线性方程 f(x)=0逐步转 化为某种线性方程求解。
如果将非线性方程
f ( x) 0
化为等价方程
x x k ( x) f ( x) ( x)
(k ( x) 0)
（1）
那么如何确定k(x)的形式使上式成立并使其所对应的迭 代法收敛呢？ ( x) 1 k ( x) f ( x) k( x) f ( x)
, 则收敛速度越快 设为f ( x) 0的根, | ( x) | 在附近越小
注意：1）Newton法在根 附近收敛，初值应选在 附近； 初值选的不合适会导致Newton迭代法发散; 2）Newton法的收敛速度与初值、收敛阶数有关。 例4（P230） 用Newton法和弦截法分别计算方程
x3 x 1 0
在 x = 1.5 附近的根α. 解 (1) 用Newton法：
x 1 ( x) 2 xk 1 ( xk ) 2
xk 1 3
取 x0 0 ,代入上式得:
x1 0.79, x2 0.964, x3 0.994,
显然,当 k 时, xk 1,即迭代法收敛.另外 f (1) 0 即 x 1 是方程 f(x) = 0 的根.
-------- (3.11)
弦截法的 收敛阶为
弦截法
p≈1.618
Newton迭代法与弦截法的几何意义
y y = f(x)
B
Newton 法 又称切线法 f (xk)
xk-1
f (xk-1) A 二者比较:
xk+1
xk+2
α
xk+2 xk+1 xk x
弦截法不需要求导, 但需要两个初始值; Newton 法虽需求导,但只需一个初始值.
xk 1 xk
0.106531 0.061 292
2 3
4 5 6 7 8
0.545 239 0.579 703
0.560 065 0.571 172 0.564 863 0.568 439 0.566 409
0.579 703 0.560 065
' ( x) 1
则存在α的某个邻域 S : x , 在S上 ( x)满足定理3.1 的条件,称这种收敛为局部收敛. 一般,在给定精度下,要求方程在某点附近的根.
例2 求 x e x 在 x 0.5 附近的一个根, 要求精度 103 .
x 解 (1) 首先化等价方程, 建立迭代格式 xk 1 e k ( xk )
时,
k
,即迭代法发散.
定理3.1(P225) 设迭代函数( x)在[a, b]上连续, 且满足
(1) 当x [a , b]时, a ( x) b;
(2) 存在正数 0 L 1, 对任意x [a, b],均有
| ( x )| L
则方程x ( x)在[a, b]内存在唯一根 ，并且对任 意初始值x0 [a, b]，迭代法 xk 1 ( xk ) 收敛于，且
(2) 利用定理3.1验证所建立迭代格式的收敛性 ① 确定迭代区间, 取 x [0.5, 0.69]
一般选择根附近的一个小区间
x ②当 x [0.5, 0.69]时， ( x) e 是单调递减函数. (0.5) 0.6065 当x [0.5, 0.69]时， ( x) [0.5, 0.69] (0.69) 0.5016
迭代过程何时结束？
(3.4)
L xk xk 1 1 L
判断迭代可终止的条件
xk
由(3.4)知,只要相邻两次计算值的差 xk xk 1 达到事先给 定的精度要求 ( xk xk 1 ) ,迭代过程可终止,即 xk 迭代法次数的确定
如何确定迭代次数？
单根区间: 方程在区间 [a, b] 只有一根
多根区间: 方程在区间 [a, b] 有多个根
有根区间
3-1 简单迭代法
思 路
1. 将 f ( x) 0 化为与它同解的方程:
迭代函数
x ( x)
-------- (3.2)
即若存在α, 使 f ( ) 0, 则有 ( ); 反之也成立.
收敛阶的概念
从定理3.1可见, 一方面, 当 L 或 ( x) 的值越小,迭代收敛的速度越快; 另一方面,当 L < 1 且接近1时,迭代虽收敛,但速度很慢.为定量描述迭 代法收敛的快慢,引进收敛阶的概念.
定义3.1 设迭代格式 xk+1= (xk), 当k→∞时, xk+1→α, 记误差 ek 1 xk 1 , ek xk 。若存在实数 p≥ 1 和 c > 0 满足
所以可以令 ( ) 0，这样就能保证(1)式对应的迭代法 至少是平方收敛的。即：
( ) 1 k ( ) f ( ) k ( ) f ( ) 0
若f ( ) 0(即 不是f ( x) 0的重根)，有 1 k ( ) f ( )
于是取
③ 当x [0.5, 0.69]时,
( x) e x e x ( x) 0.6065
所建迭代格式 xk 1 e xk 满足定理3.1的条件, 对于初始值 x0 0.5 收敛.
迭代结果:
