概率的含义

概率统计公式范文概率统计是一门研究随机事件的发生规律和数学统计方法的学科。

在概率统计中，有许多重要的公式被广泛应用于各种领域，如自然科学、社会科学、经济学等。

本文将介绍一些常用的概率统计公式，并且详细解释它们的含义和用途。

1.概率公式：-概率是表示事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A的概率，其中0≤P(A)≤1-事件的互斥性：如果事件A和事件B互斥（即A和B不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B)。

-事件的相互独立性：如果事件A和事件B是相互独立的（即A的发生不受B的发生影响），则P(A∩B)=P(A)P(B)。

2.条件概率公式：-条件概率是指在已知其中一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

-条件概率的计算方法为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B已经发生时事件A发生的概率。

3.乘法公式：-乘法公式用于计算多个事件同时发生的概率。

对于独立事件A和B，P(A∩B)=P(A)P(B)。

-对于不独立事件A和B，P(A∩B)=P(A)P(B，A)或P(A∩B)=P(B)P(A，B)，其中P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

4.全概率公式：-全概率公式用于计算一个事件的概率，通过已知该事件在多个互斥事件上的条件概率来计算。

-即P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)，其中B1、B2、..、Bn为事件的所有互斥事件。

5.贝叶斯公式：-贝叶斯公式用于计算在已知其中一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

-贝叶斯公式为P(B，A)=P(A，B)P(B)/P(A)，其中P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

6.期望公式：- 期望是描述随机变量平均值的概念，用E(X)表示，对于离散型随机变量，期望的计算方法为E(X) = ΣxP(X=x)，对于连续型随机变量，期望的计算方法为E(X) = ∫xf(x)dx，其中f(x)为概率密度函数。

概率互逆互斥概率是数学中一个重要的概念，它描述了事件发生的可能性大小。

而在概率论中，概率互逆和互斥是两个重要的概念。

本文将围绕这两个概念展开讨论，并探讨它们之间的关系。

我们来理解一下概率互逆的含义。

概率互逆是指两个事件的概率之和等于1。

换句话说，如果事件A的发生概率为P(A)，那么事件A 不发生的概率就是1-P(A)。

同样地，如果事件B的发生概率为P(B)，那么事件B不发生的概率就是1-P(B)。

如果事件A和事件B是互逆的，那么P(A)+P(B)等于1，即P(A)+P(B)=1。

接下来，我们来讨论互斥事件。

互斥事件是指两个事件不能同时发生。

如果事件A发生了，那么事件B就不能发生；反之亦然。

换句话说，事件A和事件B是互斥的，当且仅当它们的交集为空集，即A∩B=∅。

在互斥事件中，两个事件同时发生的概率为0。

那么，概率互逆和互斥之间有什么关系呢？我们可以通过一个例子来说明。

假设有一枚硬币，正面朝上的概率是P(H)，反面朝上的概率是P(T)。

根据概率互逆的定义，P(H)+P(T)=1。

而根据互斥事件的定义，如果硬币正面朝上，那么反面朝上的概率就是0，即P(T|H)=0；反之亦然，即P(H|T)=0。

可以看出，在这个例子中，概率互逆和互斥是相互关联的。

在实际应用中，概率互逆和互斥常常用于描述随机事件的发生情况。

例如，在一次投掷硬币的实验中，正面朝上和反面朝上是互斥事件，它们的概率之和等于1。

又例如，在一次掷骰子的实验中，出现奇数点数和出现偶数点数是互斥事件，它们的概率之和等于1。

除了概率互逆和互斥，还有一些其他的概率相关概念。

例如，概率的加法法则和乘法法则。

概率的加法法则指的是，对于两个互不相容的事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。

概率的乘法法则指的是，对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。

概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。

一、知识导学1.必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件.不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件. 2. 概率：实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和随机事件.随机事件在现实世界中是广泛存在的.在一次试验中，事件A 是否发生虽然带有偶然性，但在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数就叫做事件A 的概率.记着P （A ）. 0≤P （A ）≤13．若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件． 4．具有以下两个特点：（１）所有的基本事件只有有限个；（２）每个基本事件的发生都是等可能的．我们将满足上述条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型5．等可能事件的概率：如果一次试验中共有ｎ种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有ｍ种，那么事件A 的概率P （A ）＝nm ． 二、疑难知识导析1．必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系：必然事件是指在一定条件下必然发生的事件；不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件；随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果，理解事件的结果是相应于“一定条件”而言的，必须明确什么是事件发生的条件，什么是在此条件下产生的结果.上述三种事件都是在一定条件下的结果.2．频率与概率：随机事件A 的频率指此事件发生的次数ｍ与试验总次数ｎ的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数ｐ附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率.因此，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；而频率在大量重复试验的前提下，可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.3．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率：0＜P （A ）＜1，这里要辩证地理解它们的概率：必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端，它们虽是两类不同的事件，但在一定的情况下又可以统一起来，即任意事件A 的概率满足：0≤P （A ）≤14．等可能事件的理解：一次试验中所有可能的ｎ个基本结果出现的可能性都相等，这ｎ个结果对应着ｎ个基本事件.对等可能事件的理解，其实质在于对等可能性的理解.“等可能性”指的是结果，而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”“一反一正”这四种结果，每一种结果的可能性相等，都是0.25；而出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的.5．注意用集合的观点来看概率，运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说，一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I ，其中各基本事件均为集合I 的含有一个元素的子集，包括ｍ个基本事件的子集A ，从而从集合的角度来看：事件A 的概率是子集A 的元素的个数与集合I 的元素个数的比值，即P （A ）＝nm.因此，可以借助集合的表示法来研究事件，运用图示法弄清各事件的关系，从而做到较深刻的理解. 6．互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A 、B 、C ，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A 、B 、C 彼此互斥.当A ，B 是互斥事件时，那么事件A ＋B 发生（即A ，B 中有一个发生）的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和.P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）.如果事件A 1、A 2、…、A ｎ彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和.7．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A .对立事件的概率和等于1.P （A ）＝1－P （A ）8．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.当A ，B 是相互独立事件时，那么事件A ∙B 发生（即A ，B 同时发生）的概率，，等于事件A ，B 分别发生的概率的积.P （A ∙B ）＝P （A ）∙P （B ）.如果事件A 1、A 2、…、A ｎ相互独立，那么事件A 1∙A 2∙…∙A ｎ发生（即A 1、A 2、…、A ｎ同时发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的积.二．古典概型：概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：类型一 “非等可能”与“等可能”混同例1掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536． 类型二 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对 错误答案：A剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现以以下三个方面： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C ． 类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 2222330.80.20.70.30.169c c ⨯+⨯≈．例4 某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为O ．3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少? 错解 分别记“电话响第一、二、三、四声时被接”为事件A 1、A 2、A 3、A 4，且P(A1)=0.1， P(A 2)=0．3，P(A 3)=O ．4，P(A 4)=0．1，则电话在响前4声内被接的概率为P=P(A 1)·P(A 2)· P(A 3)·P(A 4)=0．1×0．3×0．4×0．1=0．0012．剖析 本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑．根据实际生活中的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥．所以，P=P(A 1)十P(A 2)+P(A 3)+P(A 4)=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．点评 以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同，互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同例5 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293=. 剖析 本题错误在于P(A ⋅B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ⋅B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。

沪教版（上海）八年级数学第二学期-第二十三章概率初步-教案设计第二十三章概率初步【教学目标】1．知道概率的含义，会用符号表示一个事件的概率。

2．知道各种事件发生的可能性大小有不同，能根据经验判断一些随机事件发生的可能性的大小并排出大小顺序3．会根据大数次试验所得频率估计事件的概率。

【教学重难点】1．理解随机事件发生的频率的意义；2．会根据大数次试验所得频率估计事件的概率。

体会从特殊到一般的数学思维3．正确判断确定事件和随机事件，联系实际判断事件发生的可能性的大小。

【第一课时】【教学过程】一、思考与探究。

1．复习引入“上海地区明天降水”是什么事件？结论：随机事件。

2．天气预报“上海地区明天降水概率80％”与“上海地区明天降水概率50％”它们有什么异同点？共同点：都是随机事件；不同点：降水概率80％——很有可能降水；降水概率60％——也是很有可能降水；但是可能的程度略低。

二、概率的定义：1．概率：用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率。

2．事件发生的概率的取值要求不可能事件：如果用V表示，则概率为0：P（V）＝0；必然事件：如果用U表示，则概率为1：P（U）＝1；随机事件：一般用A表示，则概率介于0到1之间；P（A）——纯小数、真分数、百分数等表示。

练习1：写出下列事件的概率：（若是很可能发生的事件，填“接近1”，若是小概率事件，填“接近0”）1．用A表示“上海天天是晴天”，则P（A）：________。

2．用B表示“新买的圆珠笔写得出字”，则P（B）____。

3．用C表示“坐火车出行，遭遇出轨”，则P（C）____。

4．用D表示“当m是正整数时，2m是偶数”，则P（D）。

三、用频率估计概率。

1．介绍频数和频率：以上操作中总共摸牌的次数称为“试验总次数”，抽到红桃的次数称为这一事件发生的“频数”；“频数÷总次数”即是这一事件发生的频率。

2．【活动】全班31名同学，分为5组，每组一名组长，一名书记员，组长在一副扑克牌中取红桃、梅花、方块各一张牌混合放在一起，其他组员从中任意摸出一张牌，书记员记录摸牌的次数和各种花色出现的次数，最后计算每种花色出现的频率。

【本讲教育信息】一. 教学内容：概率的概念和含义教学目标：1. 知识与技能目标（1）明确通过试验的方法，用频率估计概率的大小，必须要求实验是在相同的条件下进行的。

（2）了解在相同条件下，实验次数越多，就越有可能得到较高的估计值，但每个人所得的值也并不一定相同。

（3）能用实验的频率估计概率的大小。

（4）通过试验，理解当试验次数足够大时，试验频率稳定于理论频率，并据此估计某一事件发生的概率。

2. 过程与方法目标（1）通过实验的方法，学会用频率估计概率的大小。

（2）通过观察比较，体会用实验解决一些实际问题的方法。

（3）经历多次试验统计的过程，初步体会概率的含义。

3. 情感态度与价值观目标（1）通过观察、实验、归纳、体验数学活动的探索性和创造性，培养学生合作学习的能力，并学会与他人交流。

（2）在试验中，进一步发展合作交流的能力，体会概率是反映现实生活中事件可能性大小的模型。

二. 重点、难点：重点：随机现象与决定性现象的区别，求随机事件的概率，理解概率的含义。

难点：求随机事件的概率，概率含义的实际应用。

知识要点归纳：1. 决定性现象和随机现象决定性：在每次实验中一定发生的现象。

随机现象：在每次实验中，有时发生，有时不发生的现象称随机现象。

2. 概率的概念在随机现象中一个事件发生的可能性大小叫做这个事件的概率。

3. 特别说明（1）概率是一个不超过1的非负实数。

（2）在随机现象中，做了大量试验后，一个事件发生的频率可以作为这个事件的概率的近似值。

（3）概率是在随机现象中一个事件发生的可能性的大小。

（4）决定性现象一定发生，随机现象不一定发生。

4. 概率的含义表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率。

说明：概率的含义必须表示在大量的反复试验中。

【典型例题】例1. 在每个事件后面的括号里填上“决定性现象”和“随机现象”。

（1）如果a ＝b ，则a b 22=。

（ ）（2）如果两个角相等，则这两个角是对顶角。

几率效应的名词解释几率效应（Probability effect）是指在决策过程中常常会受到概率的错觉影响。

这一效应意味着人们在面对概率情境时，往往会出现与逻辑相悖的判断或决策。

为了更好地理解几率效应，我们需要从概率、心理学以及行为经济学的角度对其进行解析。

一、概率的本质与特性概率是描述事件发生可能性的数值量度，常用0到1之间的概率值表示。

这一概念是在18世纪由数学家拉普拉斯提出的，其数学表示为事件发生的次数与实验次数的比值。

然而，概率并非直观可感知的量，我们需要借助概率的可视化或实例来帮助我们理解。

二、几率效应的心理学解释几率效应的存在源于人类心理对于概率判断的特殊模式。

通过心理学的研究发现，人们在面对概率时，往往会受到几种因素的影响，导致判断出现偏差。

其中，最突出的几率效应表现为人们对于概率的主观评估和实际概率之间存在较大的偏差。

例如，当人们面对一项可能性为90%的事件时，他们常常会认为该事件几乎是必然发生的。

反之，当事件的概率仅为10%时，人们往往会过于乐观地认为事件不会发生。

这种主观评估与实际概率发生偏差的现象即为几率效应。

三、几率效应的行为经济学视角行为经济学研究人们在决策中的行为模式，揭示了几率效应的深层次原因。

考虑到人们的逃避风险倾向和寻求损益平衡的心理特点，几率效应可以被解释为人们对风险的特殊态度。

具体来说，人们在面对潜在损失时更容易为此付出努力，而在可能获得收益时却相对不愿意冒风险。

这种行为模式导致了人们对于高概率事件过于乐观，对于低概率事件过于悲观的看法。

这种非理性的决策模式，在某种程度上，可能导致人们无法准确评估概率和风险，从而影响决策的质量。

四、调整几率效应的方法了解几率效应的存在以及其潜在的影响，对我们的决策而言是至关重要的。

那么，如何有效地应对几率效应呢？首先，我们需要加强概率与现实的联系。

通过分析实际数据、案例和实际情境，我们可以更好地理解概率的含义和应用，减少主观评估的偏差。

§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。

在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。

在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。

例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。

如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。

同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。

例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。

解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。

两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。

这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。

平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。

解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。

中考内容中考要求ABC事件了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义概率了解概率的意义；知道大量重复实验时，可以用频率估计概率会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义列表概率求法树状图用频率估算概率与频数的关系一、与概率有关的定义：1、必然事件：事先能肯定一定发生的事件称为必然事件.2、不可能事件：事先能肯定一定不发生的事件称为不可能事件.3、确定事件：事先能肯定它是否发生的事件称为确定事件，必然事件和不可能事件都是确定事件.4、不确定事件（随机事件）：事先不能肯定它会不会发生的事件称为不确定事件.5、概率：随机事件A 发生的可能性的大小.记为()P A .设n 为事件A 包含的可能结果数，m 为所有可能结果总数，则()nP A m=. 对于任何一个事件A ，它的概率()P A 满足0()1P A ≤≤，必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0.7、（补充）乘法原理：若一件事情需分m 个步骤完成，而且每个步骤的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =⋅⋅⋅.加法原理：若一件事情需分m 种方法完成，而且每种方法的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =+++二、求概率的方法：知识精讲中考大纲概率知识网络图1、列表2、画树状图3、用频率估计概率 列举法求概率如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为m n． 用树状图法求概率当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方便了，可采用树状图法表示出所有可能的结果，再根据()mP A n=计算概率． 利用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记作()()()01P A p P A =≤≤三、概率与频率的关系←⎧⎪↓⎨⎪⎩频率用试验的方法频率与概率（试验次数很多）理论概率1、当一次试验涉及多个因素（对象）时，常用列表法或树状图法求出事件发出的所有等可能的结果，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．2、当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关事件的概率是困难的，转换视角，从问题的对立面：反面求解，常能化简求值．3、游戏的公平性是通过概率来判断的，在得分相等的前提下，若对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘相应得分，结果相等即公平，否则不公平．1、在审题时，看拿出来的东西是否放回．2、答题时需要注意步骤．易错点辨析解题方法技巧如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（）．（2014北京中考）A．16B．14C．13D．12题型一事件【例1】下列事件中必然发生的是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．阴天就一定会下雨【例2】下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖【例3】下列事件中是必然事件的是（）A．小菊上学一定乘坐公共汽车B．某种彩票中奖率为1％，买10000张该种票一定会中奖C．一年中，大、小月份数刚好一样多D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上【例4】下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环D.若a是实数，则0a课堂练习真题链接概率习题集题型二简单概率计算【例5】从1~12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4倍数的概率是（）．（2014石景山期末）A．112B．14C．13D．12【例6】在12的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为__________．（2014昌平期末）【例7】下列说法正确的是（）．（2014朝阳期末）A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨B．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”的概率等于“点数为偶数”的概率【例8】不透明的袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余2个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于20的概率为（）．（2014大兴期末）A．12B．13C．23D．16【例9】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是（）．（2014东城期末）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【例10】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为（）．（2014房山期末）A．13B．12C．16D．23【例11】一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（）．（2014丰台期末）A．12B．13C．23D．16【例12】一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．（2014丰台期末）【例13】汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B）的概率为12，则B与A的半径之比为．BA【例14】6张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形、圆．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A．16B．13C．12D．23【例15】在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。

条件概率的通俗解释
条件概率是一种描述在某一特定条件下，某事件发生的概率。

简单来说，就是事件A在另一事件B已经发生条件下的发生概率。

条件概率表示为P(A|B)，其中"A|B" 的含义是"A 发生且B 已经发生"。

举个例子，假设有一个袋子里面有红球和蓝球，总共10个球。

现在，如果你知道里面有5个红球和5个蓝球，那么随机取出一个红球的概率是5/10，即0.5。

但是，如果你先随机取出一个蓝球，然后再从剩下的球中随机取出一个红球，这个概率就是条件概率。

这个条件概率的计算公式是：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。

其中，P(A ∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

以刚才的例子来说，P(A∩B)就是先取出一个蓝球（P(B)=1/2），然后再从剩下的球中取出一个红球（P(A∩B)=4/9），所以
P(A|B)=(4/9)/(1/2)=8/9。

条件概率在实际生活中有很多应用，比如医学诊断、天气预报、保险赔率计算等。

理解并正确使用条件概率，可以帮助我们更好地理解和预测事物的发展。

简述小概率原理的含义小概率原理是一种现代统计学中的重要思想。

它强调在可能发生的事件里，即使极端情况也可能发生，而发生极端情况的概率也不完全忽略不计。

也就是说，当我们对某个概率过于乐观，以至于看起来它几乎不可能发生时，小概率原理提醒我们不要错失机会，仍然要继续为它谨慎彩票。

首先，让我们回顾统计学中概率的定义。

概率是指一个事件发生的可能性大小的度量，它的值介于0和1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

我们在计算概率时，可以采用贝叶斯公式。

该公式认为，只要我们知道两个事件A和B发生的概率，就可以计算出当A发生时，B发生的概率。

然而，小概率原理并不简单地接受上述定义。

它要求我们思考的不仅仅是一般的概率，还要考虑到一些极端的概率，即使这种概率很小，甚至是几乎不可能发生的概率。

例如，在投资和保险领域，我们可能会考虑极端自然灾害的风险，即使它们几乎不可能发生，也会为其预留空间。

此外，小概率原理可以帮助我们更好地挑战自己有关概率的认知。

例如，我们常常会犯一种错误，认为概率小于0.5的事件不可能发生，或者尚未准备好处理这种情况时。

然而，小概率原理告诉我们，在概率计算中，即使事件发生的概率很小，也不能轻视它。

此外，小概率原理也有助于我们更好地识别风险，以及必要时采取较为谨慎的措施。

例如，由于经济风险可能造成的财务损失，很多投资者都会进行风险投资，以降低投资的潜在风险。

小概率原理让投资者看到，即使可能发生的风险很小，也要留出一定的资金和时间来处理这种可能的风险。

总的来说，小概率原理是一种重要的统计学思想，它强调极端事件也可能发生，因此我们在投资或保险时也要为可能发生的极端情况留有一定的预案。

同时，小概率原理还有助于我们打破自己对概率的形象，努力更好地预测未来。

听课记录：2024秋季九年级人教版数学上册第二十五章概率初步《用列举法求概率：日常生活中的概率问题》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解概率的基本概念，掌握通过列举法求解日常生活中简单概率问题的方法。

2.过程与方法：通过分析实际生活中的概率案例，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力，以及逻辑思维和数据分析能力。

3.情感态度价值观：激发学生对概率学习的兴趣，培养其在面对不确定性问题时能够运用数学方法进行理性分析和判断的能力。

导入教师行为：•以一个贴近学生生活的概率问题作为引入，如：“在明天的天气预报中，说有60%的概率会下雨，那么你认为明天带伞出门的决策应该如何考虑？”•引导学生思考这个问题背后的概率含义，并讨论概率在日常生活中的重要性。

•提问：“你们还能举出哪些日常生活中的概率问题吗？”鼓励学生积极发言，分享自己的例子。

学生活动：•认真聆听教师的引入问题，思考并尝试回答。

•参与讨论，分享自己对概率的理解以及生活中的概率问题实例。

过程点评：导入环节通过贴近生活的实例，成功吸引了学生的注意力，激发了他们的学习兴趣和探究欲望。

同时，通过提问和讨论，引导学生关注概率在日常生活中的应用，为后续学习做好了铺垫。

教学过程教师行为：•讲解概率的基本定义和性质，强调概率是描述某一事件发生的可能性的数值度量。

•展示几个日常生活中的概率问题实例，如抽奖、游戏胜负等，引导学生分析这些问题中的随机事件和所有可能的结果。

•教授列举法求解概率的步骤：明确随机事件和所有可能的结果，计算每种结果的概率，最后根据需要求解的事件进行概率的加法或乘法运算。

•组织学生进行小组讨论，每组选择一个日常生活中的概率问题进行分析，并运用列举法求解。

•在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的解题思路和方法，及时给予帮助和纠正。

学生活动：•认真听讲，理解概率的基本概念和列举法求解概率的步骤。

•积极参与小组讨论，分析所选问题中的随机事件和所有可能的结果，并尝试运用列举法求解概率。