高数复习题 11-12上 (含答案)

《高等数学》复习题（2011——2012（1））一.计算题1.)1)1ln(1(lim 0x x x -+→ )1)1ln(1(lim 0x x x -+→ 2122x 0x 0x 0x ln(1+x)-x ln(1+x)-x 1+x lim lim lim xln(1+x)x x →→→===== 2. nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim )0,0(>>b alim 1→∞⎧⎛⎪=+ ⎨ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭n nn211lim lim lim 222→∞→∞→∞⋅=⋅+⋅n n n n n n 其中1111ln ln ln ln 1111ln lim(1)lim(1)lim lim 22222lim 2→∞→∞→∞→∞→∞=-⋅+-⋅=⋅+⋅==⎛∴= ⎝⎭a b a b n nn n n n n n nn ab e n e n n n3. nn n x nx -∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++22221lim ()lim lim 222222222222221122+-⋅⋅-+-→∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n nx x nn nx xn x n n nx x nx x e n n4. 若212lim1x x ax b x →-++=+，求a 、b lim lim ;,221122031→-→-++=⇒++=+⇒==由x x x ax b x ax x a b5.求22132x y x x -=-+的间断点，并判别间断点的类型。

()()x x y x x -+=--11, x=1是跳跃间断点,x=2是无穷间断点.6 ．并在可导处求出的可导性　，，试讨论)(,00)1ln()(sin x f x e x x k x f x '⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=011sinxsinx k+ln(1+x), x 0f(x)=e , x 0k =1f(x), x 01+x f (x)=x =0cosx e , x 0x ≥⎧⎨<⎩=⎧>⎪⎪'⎨⎪<⎪⎩当时，在连续。

复习题（一）一、选择题1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001cos)(x x xx x f 在0=x 处( )A 、连续；B 、不连续；C 、为第一类间断点；D 、为第二类间断点.2、已知2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n ( )A 、1)]([+n x f ；B 、n x f n )]([；C 、1][+n f(x)n!；D 、n x f n )]([! 3、设xe y sin =，则dy=（ ）A 、x d e 22sin ；B 、x d e x sin sin ；C 、x d e x sin 2sin ；D 、xdx e x sin 2sin . 4.函数)(x f 在0x 可导是函数)(x f 在该点连续的 （ ）A 、充分条件；B 、必要条件；C 、充要条件；D 、非充分非必要条件.5、1lim(1)n n n→∞-=( )A.2eB.1C. 1 -eD. e6. 0tan 1lim(sin )x x x x x→-=( )A. 1B. 2C. 0D. 不存在 7、 数列收敛是数列有界的（ ）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件. 8、0x →时，下列无穷小中，（ ）是等价无穷小A 、arcsin x x 与 x ；B 、1cos x -与 22x ；C 、1xe -与 2x ；D 、22x x -与 24x x -.9、设1112()1xxe f x e+=+，则0x =是()f x 的（ ）A 、可去间断点；B 、跳跃间断点；C 、无穷间断点；D 、振荡间断点. 10、函数()f x 在0x 不可导，则()f x 在0x 处（ ）A 、一定不连续；B 、一定无界；C 、不一定连续；D 、一定无定义.11、设曲线L 的参数方程是2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则曲线在2t π=处的切线方程是（ ）A 、x y π-=；B 、4x y π+=-；C 、x y π+=；D 、4x y π-=-.12、设tan ln 2y x =+，则y '=（ ）A 、1sec 2x +；B 、2sec 2x +； C 、2sec x ；D 、cot x .二、填空题1. 当)(),(),(0x x x x x γβα时，→都是无穷小，且))(o()(x x βα=,)(x β～)(x γ，则)()()(limx x x x x γβα+→=2. 21lim()xx x x→∞+= 3.设a )(=x x f 在连续，且6)1(2tan lima 0=-→xe f x x x x ，则=)a (f ； 4、过曲线xxy -+=66上点（2，2）处的切线方程为 ； 5、设)0(,)sin(ln >=x x y ，则=dy x d ln 。

兰州大学2011～2012学年第 一 学期考试试卷（卷）课程名称： 高等数学（物理类） 任课教师： 学院： 专业： 年级：姓名： 校园卡号：一 计算题（共50分）：1. 计算极限60lim 2xx x e →+=3/（1）。

（5分）2．计算极限sin tan 000limtan sin 1x xx tdttdt →+=⎰⎰。

（5分）3．计算极限11lim cos sin xx e x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

（5分）4．计算导数cos ()(sin )x f x x =。

（5分）2cos cos ()(sin )sin ln sin sin x x f x x x x x ⎛⎫'=-⋅+/ ⎪⎝⎭5．设y x x y =，计算导数(ln )(ln )dy y x y y dx x y x x -=-。

（6分）6．设2221cos 1cos cos 2t x ty t t udu u ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰，计算导数dy t dx =。

（6分） 7．计算积分cos 2sin xdx x C x=+⎰。

（6分） 8．计算积分2arccos arccos 1xdx x x x C =--+⎰。

（6分）9．计算积分325311sin cos cos cos 53x xdx x x C =-+⎰。

（6分）二（10分）试证变量代换cos (0)x t t π=<<可将微分方程222(1)0d y dyx xy dx dx--+= 化简为220d yy dt+=。

222223221sin 1cos sin sin 0dy dydy dx dt dt dx t dt d y d y t dyd dy dx dt dx dt dx t dt t dt d yy dt==-⎛⎫==- ⎪⎝⎭+= 三（10分）求心脏线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。

222013((1cos ))22S a dx a πθπ=+=⎰ 四（10分）一几何体以椭圆面22221105x y +≤为底，且垂直于x 轴的截面都为等边三角形，试计算该几何体的体积。

高等数学（一）复习参考参考书目：《高等数学》第六版上册同济大学数学系编高教出版社考试涉及范围：第一章函数与极限极限的计算（包括两个重要极限的运用）；无穷小的比较；连续性的判断、间断点的类型；利用零点定理或介值定理证明方程存在根．第二章导数与微分导数：求导法则、隐函数导数、高阶导数、参数方程导数（求一阶导数和二阶导数）；微分．第三章微分中值定理与导数的应用中值定理证明等式或不等式；洛必达法则求极限；函数的单调性与单调区间；利用单调性证明不等式；曲线的凹凸性与拐点；函数的极值与最值．第四章不定积分不定积分的计算：换元积分、分部积分；第五章定积分定积分的性质；定积分的计算：换元积分、分部积分；无穷限反常积分与敛散型．第六章定积分的应用平面图形的面积与体积．第七章微分方程特解与通解的概念及求解：可分离变量的微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；二阶常系数齐次微分方程．考试题型：一、选择题（每小题3分，共5小题，共15分）二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分）三、计算题（每小题7分，共5小题，共35分）考点：求极限；隐函数与参数方程求导；不定积分计算；定积分计算；微分方程．四、应用题（第一小题11分，第二小题7分，共18分）考点：面积；体积；最值．五、证明题（每小题7分，共2小题，共14分）考点：证明不等式；证明等式．注意：以下内容不考：泰勒公式；曲率；函数图形的描绘；方程的近似解；反常积分的审敛法；极坐标的问题；弧长的计算；定积分在物理上的应用；二阶常系数非齐次微分方程．《祝考试顺利！》高等数学（一）复习题目参考一、选择题 1．函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为（ ） A ．)1,0(∪]4,1( B ．]4,0( C ．)4,0( D ．)1,0(∪)4,1( 2．下列函数中表示相同函数的是（ ） A ．2)1ln()(x x x x f -=与||)1ln()(x x x g -= B ．2ln )(x x f =与||ln 2)(x x g =C ．)]1(ln[)(-=x x x f 与x x x g ln )1ln()(+-=D ．)1()(-=x x x f 与1)(-=x x x g3．下列函数中是有界函数的是（ ）A ．x x y sin =B ．x e y =C ．)32sin(2+-=x x y D ．11ln2+=x y 4．21+=-x e y 的反函数是（ ）A ．)1ln(-=x yB ．)2ln(-=x yC ．2)1ln(+-=x yD ．1)2ln(+-=x y 5．下列函数中是奇函数的是（ ）A.sin y x x =⋅B.2x x e e y -+=C ．2ln(1)y x =+D.ln(y x = 6．xx e 10lim →=A.0B.∞+ C ．∞- D ．不存在 7．下列等式中，正确的是( ) A.∞=∞→xx em i l B ．e x m i l xx =-→10)1(C ．11=∞→x ni s x m i l x D ．)()(a f x f m i l ax =→ 8．下列各极限正确的是（ ）A.e x x x =-∞→)11(limB.111sinlim 0=→xx x C ．e x x x =--∞→1)11(lim D ．0sin sin tan lim 30=-→xx x x9．已知2lim e x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→，则a =（ ）A.2B.1 C ．2- D ．1-10．20lim 13xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.∞ B.1 C ．6e - D ．23e-11．当0→x 时，若112-+x 与ax 是同阶无穷小，则a =（ ）A.21B.1 C ．2 D ．3 12．当0→x 时，下列无穷小量中与x 等价的是（ ）A.2100x x + B.22x x - C ．x x sin 22+ D ．x 13．当0→x 时，)1ln(x x +-是2x 的（ ）A. 低阶无穷小 B ．高阶无穷小 C ．等价无穷小 D ．同阶但非等价无穷小 14．当0→x 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？（ ）A. 2x B ．x cos 1- C ．112--x D ．x x tan -15．设xxx f sin )(=，则函数)(x f （ ） A.在0=x 处左极限不存在 B ．有跳跃间断点0=x C ．在0=x 处右极限不存在 D ．有可去间断点0=x16．函数 设11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点 C ．第二类间断点 D ．连续点17．1=x 是函数221()32x f x x x -=-+的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．振荡间断点18．函数)1(2-=x x x y 在),(∞+-∞上的间断点情形是（ ）A.有一个间断点B. 有一个可去间断点和一个不可去间断点 C ．没有间断点 D ．有两个不可去间断点19．函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处可微的（ ）条件；函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 处可导的（ ）条件；函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处连续的（ ）条件．A ．充分 B.必要 C ．充要 D ．既不充分也不必要20．设函数)(x f y =在x 处成立关系式 ,)(x o y d y ∆=-∆下列结论中错误的是（ ） A ．)(x f y =在x 处可微 B.)(x f y =在x 处可导 C ．)(x f y =在x 处连续 D ．以上都不对21．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(x x xx x f ，()f x 在0=x 处（ ）A.不连续； B ．连续但不可导；C ．可导，但导数在该点不连续；D ．导函数在该点连续22．若函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x b ax x x x f 在1=x 处连续且可导，则（ ）A ．1,2-==b a B.0,1==b a C ．3,2=-=b a D ．2,1=-=b a 23．曲线x x y 22-=上切线平行于x 轴的点是（ ） A ．)1,1(- B.)1,1( C ．)0,2( D ．)2,0(24．曲线262y x x =-+在点(1,3)-处的切线与y 轴交点的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(0,2) C ．(0,3)- D ．(0,1)- 25．设1232)(610-+-=x x xx f ，则=-)1()10(f （ ）A ．!10 B.!20 C ．!102⋅- D ．!102⋅ 26．设x x f sin )(=，则=')]([x f f （ ）A ．)sin(sin x B.)cos(sin x C ．)sin(cos x D ．)cos(sin cos x x ⋅ 27．=++)3ln 3(3x d x （ ） A ．3133ln 32++x xB.dx x x )3133ln 3(2++ C ．233ln 3x x+ D ．dx x x )33ln 3(2+28．函数 在给定区间上满足罗尔定理条件．A ．⎪⎩⎪⎨⎧=<≤---=131211)(3x x x x x f ]1,2[- B. ⎩⎨⎧=-<≤-=1111)(x x x x f ]1,1[-C ．321)(x x f -= ]1,1[-D ．x x f cos )(= ],0[π 29．在[0,+∞）内，若,0)(,0)(<''>'x f x f 则 曲线)(x f y =在[0,+∞）内是（ ） A ．单调下降，凸的 B. 单调上升，凸的 C ．单调上升，凹的 D ．单调下降，凹的30．在开区间),(b a 内恒有0)(<'x f ，0)(>''x f ，则在),(b a 内曲线)(x f y =是（ ） A ．单调上升，凹的 B. 单调下降，凹的 C ．单调上升，凸的 D ．单调下降，凸的31．设R x x f x f ∈-=,)()(，在]0,(-∞内,0)(,0)(<''>'x f x f 则在[0,+∞）内曲线)(x f y =是（ ）A ．单调上升，凸的 B. 单调下降，凸的 C ．单调上升，凹的 D ．单调下降，凹的32．设)(x f 在0x 点连续但不可导，则0x （ ）A ．必是最大值点 B. 必是最小值点 C ．必是极值点 D ．可能是极值点 33．函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处都取得极大值，则a =（ ）A ．3- B. 3 C ．2- D ．2 34．已知()f x 在(,)-∞+∞上有定义，且21()(1)lim2(1)x f x f x →-=-，则(1)f 必是（ ）A ．()f x 的最小值 B.()f x 的最大值 C ．()f x 的极小值 D ．()f x 的极大值 35．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则必有（ ） A ．)()(x g x f = B. 为任意常数）C Cx g x f ()()(+= C ．⎰⎰=dx x g dxddx x f dx d )()( D ．⎰⎰=b a b a dx x g dx x f )()( 36．下列等式，正确的是( ) A ．⎰⎰=-C x d x f x d x f )()( B.⎰=x at f t d t f xd d)()(C ．⎰=)()(x f x f d D ．⎰=)()(x f x d x f d37．有关不定积分⎰xdx x cos sin 的计算结果，不正确的是（ ）A ．C x +-2cos 21 B. C x +2sin 21 C ．C x +-2cos 41 D ．C x +-2cos 2138．曲线sin y x =与x 轴在[]0,2π上围成的图形面积为（ ） A ．0 B. 2 C ．4 D ．639．4202cos xdx π=⎰（ ）A ．316π B.38π C ．34π D ．4π40．2b txd e dt dx-=⎰（ ） A ．2x e - B.2b xe e --- C ．22x xe -- D ．22x xe -41．若⎰⎰=201)2()(dx x xf k dx x xf ，则=k （ ）A ．1 B.2 C ．3 D ．4 42．下列各式中正确的是（ ） A ．⎰⎰≤13102dx x dx x B. ⎰⎰≤213212dx x dx xC ．⎰⎰≥+11)1ln(dx x dx x D ．⎰⎰+≤101)1(dx x dx e x43．下列说法，错误的是( ) A ．定积分⎰b ax d x f )(在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形的面积；B.一物体以速度)(t v 作直线运动，它在[]21,t t 这段时间内通过的路程可用定积分⎰21)(t t t d t v 来表示；C ．如果某国人口增长的速率为,)(t u 那么，定积分⎰21)(T T t d t u 表示在[]21,T T 这段时间内该国人口增加的数量； D ．定积分⎰b ax d x f )(2π在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．44．微分方程25)1(12+=+-y y x dy dx 是（ ）A ．可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C ．一阶线性微分方程 D ．贝努利方程 45．微分方程0)(22=-+xydy dx y x 是（ ）A ．可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C ．一阶线性微分方程 D ．贝努利方程 46．微分方程0=+''y y 的通解是（ ）A ．x C y cos = B. x C y sin =C ．x C x C y sin cos 21+=D ．)sin cos (21x C x C e y x += 47．微分方程02'"=-+y y y 的通解是( )A ．x x e e y 2-+= B. xxe c e c y 221-+=C ．x xe c ec y 221+=- D ．x n i s c x s o c c y 221+=二、填空题 1．21arcsin3-=x y 的定义域是 2．极限3323lim (1)x x x x →+∞-+-= ，=++-∞→301515)12()1()14(limx x x x3．极限()=+→xx x 1sin 31lim ，=+→xx x csc 30)sin 21(lim4．极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x x 2sin 2sin lim = 5．=-→xx x 20sin 12cos lim6．0tan 3sin limx x xx →-=7．已知函数⎩⎨⎧≥+=00)(x x a x e x f x 在),(∞+∞-内连续，则 =a8．函数3321()22x f x x x x -=+--的可去间断点是 9．设)(x f 在0x 点可导，且4)(0='x f ，则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x )2()3(lim00010．设)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=-→xx f tx f x )()(lim11．2ln arctan )(22-+=-x e x f x，则=')(x f12．设22sin3x xy e-=，则y '=13．曲线13+=x y 上点()9,2处的切线方程是 14．设6)10()(+=x x f ，则=''')0(f 15．设()x f 二阶可导，)(ln x f y =，则=''y16．已知方程3329(1)100y x x y -+-⋅+=确定了()y y x =，则1x dydx==17．已知x y sin ln =，则=dy18．已知)ln(22x a x y ++=，则=dy 19．已知32cos 1ln x y +=，则=dy 20．设x x y )sin 1(+=，则==0x dy21．设函数)(x y y =由方程y x xy +=2确定，则==0x dy22．设x x x f -=3)(在]3,0[上满足罗尔定理的条件，则由此确定的中值=ξ23．对函数2y px qx r =++在[1,3]-上应用拉格朗日中值定理时所得的中值ξ= 24．函数arctan y x x =-的单调递增区间是25．函数3()(1)(1)f x x x =-+的单调递增区间是 ，单调减少区间是 ，凹区间是26．曲线123223++=x x y 的拐点是 ，曲线x xe y -=的拐点为 27．函数7186223---=x x x y 在[]4,1上的最大值=M28．函数1933+-=x x y 的极大值是29．222sec 1x dx x ⎛⎫-= +⎝⎰30．22tan x x dx ⎛⎫-= ⎝⎰31．dx xx x )1112(22--+⎰= 32．dx e e x x12+⎰=33．①由定积分的几何可得，=⎰-3329dx x -②由奇偶性知，=-⎰-3324cos dx xx x34．=⎰12dx e x x35．若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=111211)(2x x x x x f ，则⎰20)(dx x f =36．设2101()11x x f x x xe x ⎧≤≤⎪=+⎨⎪>⎩，则31(1)f x dx -+=⎰37．=+⎰dt t dx d x x 3241138．dx x ⎰∞+141= 39．曲线21x y =+与直线x y +=1所围平面图形的面积为=40．由曲线)(()(x f x f y =＞)0，直线b x a x ==,及1-=y 所围平面图形绕直线1-=y 旋转一周所得旋转体的体积是41．微分方程032=-'-''y y y 的通解是 42．微分方程0ln =-xyy dx dy x的通解是 43．微分方程0)1(=++-y d y n i s e x d y os c x满足初始条件4)0(π=y 的特解是三、计算题 1．求极限：①⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∞→x x x x x sin 32sin lim ； ②23lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭； ③3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x④)1112(lim 21---→x x x ； ⑤⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ； ⑥111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭；⑦2tan)1(lim 1xx x π-→； ⑧4)sin (tan limxduu u x x ⎰-→； 0412(sin )limxx t t dtx→-⎰；⑨323(sin )limxx x t t t dtt dt→-⎰⎰；⑩0sin 0tan limarcsin xxx tdttdt→⎰⎰；⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx td et t d em i l 02222．2．已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ，求常数a ，b 的值． 3．求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点，并判断间断点的类型． 4．3sinarctan )13cos(sin π++-=x x ey x，求y '5．x x y )ln 1(+=，求y '6．设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=2221)(2x b ax x x x f ，且)2(f '存在，求a，b 的值．7．设曲线方程为32=--y x e xy ，求此曲线在纵坐标为0=y 的点处的切线方程与法线方程．8．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=10,1101),1ln()(x x x x x x f ，讨论)(x f 在0=x 处的连续性和可导性．9．设0=+--xy ee xy确定了)(x y y =，求dxdy． 10．设32tan arctan ln 333xx x y e-=+-，求dy．11．x e x y tan arctan +=，求dy ．12．求由方程yxe y +=1所确定的隐函数的二阶导数22dx yd ．13．由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2确定了)(x y y =，求dx dy ．14．已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=01sin 232y t e t t x y 求0=t dx dy ．15．求642+-=x x y 在]10,3[-上的最大值与最小值16．求4282y x x =-+在[3,3]-上的最大、最小值． 17．求函数32()26187f x x x x =---在[]4,2-上的最大值、最小值以及拐点．18．设函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，①试确定系数b a ,的值； ②求出)(x f y =的所有极值点和拐点． 19．计算不定积分 ①⎰-++-dx x x x x)23122(22； ②221tan (1)x dx x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭⎰； ③ dx ⎰；④⎰x d x n l x 2； ⑤33tan sec x xdx ⋅⎰； ⑥dx x ⎰arctan．20．计算定积分： ①12121x dx x -++⎰； ②1-⎰； ③dx x x ⎰---112491； ④1-⎰⑤221ln x x dx ⎰；⑥⎰-2228y d y ．21．计算无穷限积分⎰∞+++02)1()1(1x d x x ．22．求微分方程x e y dxdy-=+满足初始条件20-==x y 的特解． 23．求微分方程xx x y dx dy sin =+满足初始条件1==πx y 的特解． 24．求微分方程232++=+'x x y y x 的通解．四、应用题 1．设⎰⎰+-=122)(2)()(dx x f dx x f xx x f ，求)(x f ．2．求由曲线x y =2与直线2-=x y 所围平面图形的面积．3．求抛物线x p y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积． 4．求曲线ln y x =及其在点(,1)e 处的切线与x 轴所围平面图形的面积，并求由此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．5．设直线23y x =+和抛物线2y x =所围成的平面图形为W ．(1) 求W 的面积；(2) 求W 绕y 轴旋转一周所成旋转体的体积． 6．平面图形D 是由x 轴、y 轴、1x =以及xy e =围成，求： (1) D 的面积； (2) 由D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积．7．过曲线3)(x x f =上的点)1,1(A 作切线AB l 交x 轴于点B ，设该曲线与切线AB l 及x 轴所围成的平面图形为Γ．(1) 求切线AB l 的方程； (2) 求平面图形Γ的面积S ； (3) 求Γ绕x 轴旋转一周的旋转体的体积．8．从一块半径为R 的圆铁片上上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角α取多大时，做成的漏斗的容积最大？9．一边靠墙用篱笆围成一矩形场地，现有36米长的篱笆，问能围成的最大场地面积是多少？ 10．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租定为1000元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少时可获得最大收入？11．装饮料的易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，为了安全，顶盖的厚度是罐身的厚度的三倍，假设要制造的易拉罐的容积为V ，问如何确定易拉罐的底面半径和高才能使得用料的体积最省？12．某厂为了销售一新款收音机x 台，每台的价格（单位：元）为：x p -=800．而生产x 台的总成本可以表示成x x C 102000)(+=，为使利润最大化，工厂必须生产并销售多少台？五、证明题1．证明：①2cot arctan π=+x arc x ；②当||x ≤1时，恒有arcsin arccos 2x x π+=成立． 2．证明：若函数)(x f 在),(∞+∞-内满足关系式,)()('x f x f =且,1)0(=f 则x e x f =)(．3．证明方程015=-+x x 只有一个正根． 4．证明不等式：①当1>x 时，x e e x⋅>； ②当,20π<<x 时，x x π2sin >；③当x >0时，22)1(ln )1(-≥-x x x ； ④当0>x 时，xxx +>+1arctan )1ln(；⑤当e ＜a ＜b ＜2e 时，a n l b n l 22-＞)(42a b e -． 5．设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且e f f ==)0(,1)1(，试证至少存在一点)1,0(∈ξ，使)()(ξξf f -='．6．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(上可导，且1)0(=f ，0)1(=f ，求证在)1,0(内至少有一点ξ，使ξξξ)()('f f -=．7．设函数()f x 在[0,1]上可导，且1202()(1)xf x dx f =⎰，证明在(0,1)内必有一点c ，使1()()f c f c c'=-． 8．设)(x f 在],[b a 上可导，证明在),(b a 内必存在一点ξ，使)()()()(ξξξf f ba b bf a af '+=--．9．若()x f 在[]1,0上连续，证明⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f ．10．已知)(x f 是连续函数，证明：()[]dx x a b a f a b dx x f b a ⎰⎰-+-=1)()(．参考答案（此答案仅供参考，不保证100%的正确性）一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．D 11．C 12．A 13．D 14．D 15．D 16．B 17．A 18．B 19．C BA 20．D 21．B 22．A 23．A 24．A 25．D 26．D 27．D 28．A 29．B 30．B 31．B 32．D 33．D 34．C 35．B 36．A 37．C 38．C 39．B 40．C 41．D 42．B 43．A 44．C 45．B 46．C 47．B二、填空题1．[]3,1- 2．2 1 3．3e 6e 4．2 5．2- 6．2 7．1 8．1=x 9．20 10．()()01f t '- 11．42122x x ex++-- 12．3sin 422x xe x --3cos 3122x e x -+ 13．1512-=x y14．120000 15．()()3ln ln xx f x x f '-'' 16．-1 17．xdx cot 18．dx xa 221+ 19．()dx x x x 22cos 13sin 2+ 20．0 21．1-ln2 22．2 23．1 24．()+∞∞-, 25．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, ()1,-∞-()+∞⋃,026．⎪⎭⎫⎝⎛225,21-()22,2-e 27．29- 28．7 29．C x x x ++-arcsin 3arctan 2tan 30．C xx x x +++-2arcsin 3tan 2ln 2 31．()C x x +-+arcsin 1ln 2 32．C e x +arctan 33．π29 0 34．2-e 35．34ln321+ 36．4341e +π 37．81221213xx x x +-+ 38．31 39．29 40．()[]⎰+b a 21x f dx π 41．xx e C e C y 321+=-42．1ln +=Cx x y ； 43．()22sec 1=+y e x或 ()2ln 23cos ln 1ln +=+y e x三、计算题 1．求极限： ①2； ②6-e26363lim 13lim 145xx x x x x e →∞--→∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 分分；③原题目有误：将底数中分子分母之间的符号该为相同的“+”或“-”3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x （型∞1）311312lim +∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x x313131lim 21lim +∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x 3132-==e ee； 3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x （型∞1）313133lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--x x x x x 31311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x 3131lim+⋅--∞→=x x x e31e =；④)1112(lim 21---→x x x ；（P193 1（13） 略） ⑤⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ； ⑥21；212lim 21lim 1lim )1(1lim00200==-=--=---=→→→→x x xe x x e e x xe x x x x x x x x 解：原式1111111lim ln 11ln lim 1(1)ln 11lim31ln 1limln 11lim 4ln 11152x x x x x x x x x x xx x x xx x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪-⎝⎭--=--=-+-=+-=++= 分分分分⑦=-→2tan)1(lim 1xx x π=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→型002cot 1lim1x x x π=⋅--→22csc 1lim 21ππx x =→2sin lim 221x x πππ2；⑧81421.lim 4)cos 1(tan lim4sin tan lim3203030==-=-=→→→x x x x x x x x x x x x 解：原式；412(sin )limxx t t dtx →-⎰21=； （P242 例8 或 P242 9类似 略）⑨32322030200(sin )lim(sin )lim33sin lim31cos lim 59sin lim 6181718x x x x x x x t t t dtt dtx x x x x x x x x xxx →→→→→--=⋅-=-===⎰⎰分分分分 ⑩020tan lim 3cos (arcsin sin )sin lim 4cos 15x x x x x x x x →→=⋅=⋅= 原式分分分 解：⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx t d et t d emi l 02222222202x x x t x ex e t d e mi l ⎰⋅=→222x x t x ex td e mi l ⎰→=xtd e mi l x tx ⎰→=022⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+==→→x e x e e mi l e mi l x x x x x x 22122222002=． 2．已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ，求常数a ，b 的值． 解：当1→x 时，()02ln 2→-x，故02→++b ax x（否则极限不等于21-），有 01=++b a ①于是，)00()2ln(lim 221型b ax x x x ++-→a x x xx +--=→222lim 2121222lim x a x x x --⋅+=→21212-=+-=a ，得2=a ，因此由①得， 3-=b ．3．求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点，并判断间断点的类型．（P65 3（1）类似 略）答案：1=x 是第一类间断点中的可去间断点，3-=x 是第二类间断点中的无穷间断点． 4．3sinarctan )13cos(sin π++-=x x ey x，求y '。

浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷（A ）卷承诺人签名： 学号： 班级： （本试卷共四页）一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为（ ）A .极大值为8B ．极小值为0C .极小值为8D .极大值为02.二元函数(,)f x y 在点00(,)P x y 处 ①连续；②两个偏导数连续；③可微；④两个偏导数都存在，那么下面关系正确的是（ ）A ．③①④ B. ③②① C. ③④① D. ②③①3. 曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 4. 设⎰⎰σ=+Dy x d e I 22, 4:22≤+y x D , 则=I （ ）A.)1(24-πe B. )1(24-πe C. )1(4-πe D. 4e π 5. 设∑是球面2222x y z R ++=，则222dSx y z ∑++⎰⎰＝（ ） A. 24R π B. 4π C. 2R π D. π6. 若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ，则M 的坐标是 ;2. 设22z xy u -=，则u 在)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ;3. 交换积分顺序，有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy______________________ ;4. 设椭圆L：13422=+y x 的周长为l，则⎰=+Lds y x 2)23( ;5. 设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1．求过点M （4,-3,1）且与两直线：326-==zy x 和⎩⎨⎧=+-=+-+022012z x z y x 都平行的平面方程．2. 设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．3. 将函数1()f x x=展开为3x -的幂级数，并求收敛域.4. 计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.5. 求曲线积分22(2)(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是沿曲线1y =0，1）到点（2，1）的弧段.6. 计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧.四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）1. 验证2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++在整个 xoy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y .2. 求幂级数115n n n n x ∞-=∑的收敛域、和函数以及数项级数15n n n∞=∑的和.五、证明题（4分）设∑∞=12n n a 收敛，证明级数1nn a n ∞=∑绝对收敛.一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）1．A; 2．D ; 3．A; 4．C; 5．B ； 6.B 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分）1. (-1,2,-2);2. ;3.()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ;4. 12l ;5.32三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1. 1(6,2,3)s =-,2121(2,1,4)201i j ks =-=----, ………2分取平面的法向量为12623(11,30,2)214i jkn s s =⨯=-=-----………2分所以平面方程为：11(4)30(3)(1)0x y z --++--=，即1130135x y z -+-=…2分2.121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂, ……………2分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 111222231.x f xyf f f y y''''''=+-- .………4分3.解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ……………2分因为∑∞=+=-011)1(n n n xx ，)1,1(-∈x , 所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ，即60<<x . ……………3分 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ，)6,0(∈x . ………1分 4. 解：如图，选取柱面坐标系,此时⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以π112000d d d d d cos sin d xy x y z r r r r z θθθΩ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………3分=⎰⎰r r d d 2sin 213102πθθ=814)42cos (142π0=⋅-r θ. ………3分 5. 解：令22P x y =-，2(sin )Q x y =-+,则2,Py∂=-∂1,Q x ∂=-∂ ………2分 选择:1BA y =由B （2，1）到A （0，1）,则由格林公式得原式2(2L Bx y+=-⎰⎰………2分22()(2)(sin )AB DQ Pdxdy x y dx x y dy x y∂∂=--+--+∂∂⎰⎰⎰22(2)Ddxdy x dx =-+-⎰⎰⎰2208(2)423Ddxdy x dx π=-+-=-+-⎰⎰⎰. ………2分6. 解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。

高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。

（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。

（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。

（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

（）5. 偏导数连续必可微。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。

2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。

3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。

4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。

5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。

2. 解释复合函数求导法则。

3. 举例说明什么是隐函数。

一。

微分方程 1. 一阶微分方程(2)．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。

(3) 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解 (4) 计算满足下述方程的可导函数()y y x =，()sin 5.dy y x dx x x+=. 求微分方程的通解 (6) 求微分方程212y x y'=-的通解 (7)、 求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解.(8) 设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通(9)求微分方程 ()()2223360.64x xy dx x y y dy ++=+的通解2. 高阶微分方程 (10)* 21.2y y y'''+-求微分方程=0的通解 (11)* 求如下初值问题的解()()()2111,10yy y y y ⎧'''=+⎪⎨'==⎪⎩ 14). 微分方程430y y y '''-+=的通解为:312x x y C e C e =+(16). 求解初值问题()()2001y y xy y ''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩(17). 用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y =（ ）A 、2axB 、2ax bx c ++C 、()2x ax bx c ++D 、()22x ax bx c ++二。

空间解析几何与向量代数(1)．设有向量{}1,2,2a =- ，{}2,1,2b =-，则数量积()()a b a b -⋅+= 0。

(2)．过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是: 。

(3)．已知三点()1,1,1,(2,2,1),(2,1,2)A B C ，则向量AB与AC 的夹角θ是A ．4πB ．3πC ．6πD ．2π(4)* 曲线cos :sin x a t y a t z ct =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为(5)*. 在曲面22122z x y =+上求出切平面，使所得的切平面与平面42210x y z ---=平行。

第十一章 曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。

ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。

x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。

用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。

d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。

αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。

011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。

dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。

1．求极限： ①2； ②6-e26363lim 13lim 145xx x x x x e →∞--→∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 分分；③原题目有误：将底数中分子分母之间的符号该为相同的“+”或“-”3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x （型∞1）311312lim +∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x x313131lim 21lim +∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x 3132-==e ee； 3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x （型∞1）313133lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--x x x x x 31311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x 3131lim+⋅--∞→=x x x e31e =；④)1112(lim 21---→x x x ；（P193 1（13） 略） ⑤⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ； ⑥21；212lim 21lim 1lim )1(1lim00200==-=--=---=→→→→x x xe x x e e x xe x x x x x x x x 解：原式1111111lim ln 11ln lim 1(1)ln 11lim3ln 1limln 11lim 4ln 11152x x x x x x x x x x xx x xx x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪-⎝⎭--=--=+-=+-=++= 分分分分⑦=-→2tan)1(lim 1xx x π=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→型002cot 1lim1x x x π=⋅--→22csc 1lim 21ππx x =→2sin lim 221x x πππ2；⑧81421.lim 4)cos 1(tan lim4sin tan lim3203030==-=-=→→→x x x x x x x x x x x x 解：原式；412(sin )limxx t t dtx →-⎰21=； （P242 例8 或 P242 9类似 略）⑨32322030200(sin )lim(sin )lim33sin lim31cos lim 59sin lim 6181718x x x x x x x t t t dtt dtx x x x x x x x x xx x →→→→→--=⋅-=-===⎰⎰分分分分 ⑩020tan lim 3cos (arcsin sin )sin lim 4cos 15x x xx x x x x →→=⋅=⋅= 原式分分分 解：⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx t d et t d emi l 02222222202xx x t x ex e t d e mi l ⎰⋅=→222x x t x ex td e mi l ⎰→=xtd e mi l x tx ⎰→=022⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+==→→x e x e e mi l e mi l x x x x x x 22122222002=． 2．已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ，求常数a ，b 的值． 解：当1→x 时，()02ln 2→-x，故02→++b ax x（否则极限不等于21-），有 01=++b a ①于是，)00()2ln(lim 221型b ax x x x ++-→a x x xx +--=→222lim 2121222lim x a x x x --⋅+=→21212-=+-=a ，得 2=a ，因此由①得， 3-=b ．3．求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点，并判断间断点的类型．（P65 3（1）类似 略）答案：1=x 是第一类间断点中的可去间断点，3-=x 是第二类间断点中的无穷间断点． 4．3sinarctan )13cos(sin π++-=x x e y x ，求y '。