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A1E A1
证毕
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 AB 1 B1 A 1
证明 AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
AB1 B1 A1.
所以
A1 0 1. 1 2
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0. 当 A 0时,
当 A 0时,
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
一、概念的引入
在数的运算中，当数a 0 时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1,
使得
AA1 A1 A E ,
则矩阵 A1称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
A12 3
3, 3
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,
2 6 4
得
A
3
6
5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
4 5
2
1 3 1
2
3 3 1
2 5 2. 1
4
且 A 2E 1 1 A 3E 3E A .
4
4
例6 设三阶矩阵A, B满足关系 :
o 1 2
A1BA 6A BA,且A
14
求B.
o
1 7
解 A1BA BA 6A
A1 E BA 6A A1 E B 6E
B
6
A1
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n A1n
An1 An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
AA
A A
AE
A A
A
A
E,
AA
按逆矩阵的定义得
A1 A . A
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵. 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵.
推论 若AB E或BA E ,则B A1.
证明 A B E 1, 故 A 0,
因而A1存在, 于是
B EB A1A B A1AB
是
A
的逆矩阵,
则 AB 2 1 a b 1 0 1 0 c d 0 1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
3
2 2 4
3 1 3
,
B
2 5
1 , 3
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足 AXB C.
123
解
A 2
2
1 2 0,
2 B
1 1 0,
53
343
A1, B1都存在.
且
A1
1 3
2
1
3 3 1
2 5 2, 1
B1 3 5
1, 2
又由 AXB C A1 AXBB1 A1CB1
推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆,则AT亦可逆 ,且 AT 1 A1 T. 证明 AT A1 T A1A T ET E,
AT 1 A1 T .
另外, 当 A 0时,定义
A0 E, Ak A1 k .
k为正整数
当 A 0, , 为整数时,有
证明
由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.
2
A1 1 A E .
2
又由A2 A 2E 0
A 2E A 3E 4E 0
A
2E
1 4
A
3E
E
A
2E
1
A 2E 1 A 3E 1,
故A 2E可逆.
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
例 设 A 2 1, 求A的逆阵. 1 0
解
设利用B待定 a系数b 法 c d
例2
已
知A
a c
b d
求A1
.其
中ad
bc
0
1 0 0 例3 已 知A 0 2 0 求A1 .
0 0 3
解 因 A 3! 0, 故A1存在.
由伴随矩阵法得 A1 A A ,
1 3!
23 0 0
0 13 0
0 0 1 2
1
0
0 1
0
0 .
2
0
0
1 3
例4
设
1 A 2
E X A1CB1.
于是 X A1CB1
1 3 2
1
3 3 1
2 1 5 2 2 1 3
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例5 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
A A A ,
A A .
5 若A可逆,则有 A1 A 1 .
证明
AA1 E A A1 1
因此 A1 A 1 .
三、逆矩阵的求法
例1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 解 A 2 2 1 2 0, A1存在.
343
21
A11 4
2, 3
21
