【志鸿全优设计】2013-2014学年七年级数学上册 第四章 3角例题与讲解 北师大版

角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．【要点梳理】【高清课堂：角 397364 角的概念】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角和补角1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）等角的余角相等．（2）等角的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。

4.3.3余角和补角432180︒65︒46︒44︒25︒10︒《余角和补角》教案教学目标：1、通过现实情境，掌握余角和补角的概念；2、使学生能用简单的代数思想——方程思想来处理图形的数量关系；3、培养学生的识图能力、发展空间观念和知识运用能力，进一步感受学习数学的意义.教学重点：认识角的互余、互补关系．教学难点：方程思想来处理图形的数量关系．学法指导：通过学生动脑想，勤钻研，主动地学习，增加学生主动参与的机会，增加学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法．教学过程：一.创设情境，引入新课.让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔．比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工．设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜．二.探究新知.1.探究互为余角的定义：教师活动：讲解．学生活动：观察图形，得出结果：∠1+∠2=90° 定义：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角.简称互余. 其中一个角是另一个角的余角.2.探究互为补角的定义：教师活动：讲解．学生活动：观察图形，得出结果：∠3+∠4=180°． 定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角.简称互补. 其中一个角是另一个角的补角. 3.问题1.找朋友(朋友的条件：互余或互补).问题2.判断对错.小结1：互为余角、互为补角主要反映两个角之间的数量关系，与角的位置无关. 4.练习1.填表并思考问题：②一个锐角的补角与其余角之间有什么关系？小结2：1、锐角有余角，直角、钝角没有余角；锐角、直角、钝角都有补角.2、一个锐角的补角比它的余角大90°. 练习：(1)70°的余角是 ，补角是 ．(2)∠α(∠α<90°)的余角是 ，它的补角是 ．教师提醒：(如何表示一个角的余角和补角)锐角∠α的余角是(90°—∠α).∠α的补角是(180°—∠α).三.例题讲解.例1如图，点A 、O 、B 在同一条直线上，射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ．图中哪些角互为余角？解：∵射线OD 平分∠AOC ，射线OE 平分∠BOC ，∠AOC =140°，∴∠COD =21∠AOC =70°， ∠COE =21∠BOC =21(180°-∠AOC )=20°， ∴∠DOE =∠COD +∠COE =90°．所以，∠COD 和∠COE 互为余角.同理，∠AOD 和∠BOE ，角AOD 和∠COE ，角COD 和∠BOE 也互为余角.例2如下图，货轮O 在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上，同时，•在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上分别发现了客轮B 、货轮C 和海岛D ．仿照表示灯塔方位的方法，画出客轮B 、货轮C 和海岛D 方向的射线．画法：以点O 为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边O B 落在东与北之间.射线OB 的方向就是北偏东40°，即客轮B 所在的方向.请同学们自己动手画出表示货轮C 和海岛D 方向的射线.教师讲解.四.巩固练习.1、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.2、已知一个角的余角比它的补角的31还少20°，求这个角的度数.(视时间情况) 五.小结.本节课我们学习了哪些知识？这节课你有哪些收获？。

4.3 角1． 角的定义及其表示方法(1) 角的定义：有公共端点的两条射线构成的图形叫做角，这个公共端点是角的极点，这两条射线是角的两条边．角也能够看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示独自的一个角，在角内用一段弧标明；②用一个大写英文字母表示 独自的一个角，当角的极点处有两个或两个以上的角时，不可以用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示独自的一个角；④用三个大写英文字母表示随意一个角，这时表示极点的字母必定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短没关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小相关，角能够胸怀，能够比较大小，能够进行运算； (2) 假如没有特别说明，所说的角 都是指小于平角的角．【例 1－ 1】 以下说法正确的选项是( ) ．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时构成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角分析： 要做对这种题目， 必定要理解观点， 严格依据观点进行判断， 才能得出正确的结论．平角、周角都是特别角，固然它们与一般角形象不符，可是它们仍旧是角，它们都拥有 一个极点和两条边，只可是平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．答案： C【例 1－ 2】 如图，以点 B 为极点的角有几个？请分别把它们表示出来．剖析： .射线 BA 与 BD ， BA 与 BC ，BD 与 BC 各构成一个角．表示极点的字母一定写在中间． 当一个极点处有多个角时，不可以用一个表示极点的大写字母表示，因此不可以把∠ ABC 错写成 “∠ B ”． 书写力争规范，如用数字或希腊字母表示角时要在凑近极点处加弧线注上 阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号必定要用 “∠” ，而不可以用 “ ＜”．解： 以 B 为极点的角有 3 个，分别是 ∠ ABC ， ∠ ABD ， ∠DBC .2.角的胸怀与换算 (1)角度制：以度、分、秒为单位的角的胸怀制，叫做角度制． (2)角度的换算：角的胸怀单位是度、分、秒，把一个周角360 均分，每一份就是1 度的角，记作 1°；把 1 度的角 6 0 均分，每一份就是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60 均分，每一份就是 1秒的角，记作 1″ .谈要点 角度的换算(1)度、分、秒的换算是 60 进制，与时间中的时、分、秒的换算 同样；(2)角的度数的换算有两种方法：(即从高位向低位化 )，用乘法， 1°＝ 60′ ， 1′ ＝ 60″ ；① 由度化成度、分、秒的形式 ② 由度、分、秒化成度的形式 (即从低位向高位化 ),1″＝ 1 ′，1′＝ 160 60 °，用除法．度及度、分、秒之间的转变一定逐级进行转变， “越级”转变简单犯错．【例 2】 (1) 将 70.23 °用度、分、秒表示；(2)将 26°48′ 36″用度表示．剖析： (1)70.23 °际是实 70°＋ 0.23 °，这里 70°不要变，只需将0.23 °化为分，而后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23 °化为分，只需用 0.23 乘以 60′即可．(2)将 26°48′ 36″用度表示，应先将 36″化成分，而后再将分化成度就能够了．将 36″1化成分，能够用60′乘以 36.解： (1)将 0.23 °化为分，可得0.23× 60′＝ 13.8′，再把 0.8′化为秒，得 0.8×60″＝48″ .因此 70.23 °＝ 70°13′ 48″ .1′× 36＝0.6 ′，48′＋ 0.6′＝ 48.6′，把 48.6′ 化成度，(2)把 36″化成分， 36″＝60148.6′＝60°× 48.6＝ 0.81 .°因此 26°48′ 36″＝ 26.81 °.3．角的比较与运算(1)角的比较：①胸怀法：用量角度量出角的度数，而后依据度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小．②叠合法：把两个角的极点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，经过另一边的地点关系比较大小．解技巧角的比较① 在胸怀法中，注意三点：对中、重合、度数；② 在叠合法中，要注意极点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义关于此后读图形语言有很大帮助，代数意义是此后角的运算的基础．①几何意义：如下图，∠ AOB与∠BOC的和是∠ AOC，表示为∠ AOB＋∠ BOC＝∠AOC ；∠AOC 与∠ BOC 的差为∠ AOB，表示为∠ AOC－∠ BOC＝∠ AOB.②代数意义：如已知∠ A＝23°17′ ，∠ B＝40°50′ ，∠ A＋∠ B就能够像代数加减法一样计算，即∠ A ＋∠B ＝ 23°17′＋ 40°50′＝ 64°7′，∠ B －∠A ＝ 40°50′ － 23°17′＝17°33′ .(3)角的均分线：从一个角的极点出发，把这个角分红相等的两个角的射线，叫做这个角的均分线．如图所示，射线OC是∠AOB 的均分线，则有∠1＝∠ 2＝12∠ AOB或∠ AOB ＝2∠ 1＝ 2∠ 2.警误区角的均分线的理解角的均分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它一定知足下边的条件：① 是从角的极点引出的射线，且在角的内部；② 把已知角分红了两个角，且这两个角相等．【例 3】如下图， OE 均分∠ BOC， OD 均分∠ AOC，∠ BOE＝ 20°，∠ AOD ＝ 40°，求∠ DOE 的度数．解：∵ OE 均分∠ BOC，∴∠ BOE＝∠ COE.∵OD 均分∠ AOC，∴∠ AOD＝∠COD .又∵∠ BOE＝ 20°，∠AOD ＝40°，∴∠ COE＝ 20°，∠COD ＝40°.∴∠ DOE＝∠ COE＋∠COD ＝20°＋ 40°＝ 60°.4．余角和补角(1)余角和补角的观点：①余角：假如两个角的和等于 90°(直角 )，就说这两个角互为余角，即此中一个角是另一个角的余角；②补角：假如两个角的和等于 180°(平角 )，就说这两个角互为补角，即此中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角 )的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠ 2＝90°，∠ 3＋∠ 4＝90°，又由于∠ 2＝∠ 4，因此∠ 1＝∠ 3.补角的性质：同角(等角 )的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠ 2＝ 180°，∠ 3＋∠ 4＝ 180°，又由于∠ 2＝∠ 4，因此∠ 1＝∠3.(3)方向角：在航海、航空、测绘中，常常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方向角．往常以正北、正南方向为基准，描绘物体运动的方向．往常要先写北或南，再写偏东仍是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间相互依存，只好说∠ 1的余角是∠2，∠ 2 的余角是∠1，或许说∠ 1 与∠ 2 互余，而不可以说∠ 1是余角．【例 4】如下图，直线 AB ，CD，EF 订交于点 O，且∠ AOD ＝ 90°，∠ 1＝ 40°，求∠ 2 的度数．解：由于∠ AOD ＋∠ AOC＝∠ AOD＋∠ BOD ＝ 180°，因此∠AOD ＝∠ AOC＝∠ BOD ＝ 90°.又由于∠ 1＋∠FOC ＝ 180°，∠DOF ＋∠ FOC ＝180°，因此∠DOF ＝∠ 1＝ 40°.因此∠2＝∠ BOD－∠ DOF ＝ 90°－ 40°＝ 50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是依据问题的整体构造特点，不拘泥于部分而是从整体上去掌握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体构造的剖析和改造，发现问题的整体构造特点，擅长用“集成”的目光，把某些式子或图形当作一个整体，掌握它们之间的关系，进行有目的的、存心识的整体办理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有宽泛的应用，整体代入、 整体运算、整体设元、整体办理、 几何中的补形等都是整体思想方法在解数学识题中的详细运用．【例 5】如下图，∠ AOB ＝ 90°，ON 是∠ AOC 的均分线， OM 是∠ BOC 的均分线，求 ∠MON 的大小．剖析： 解决问题的要点是把 ∠ AOC － ∠BOC 视为一个整体，代入求值． 解： 由于 ON 是 ∠AOC 的均分 线， OM 是 ∠ BOC 的均分线，因此∠ NOC ＝12∠ AOC ，∠MOC ＝ 1∠ BOC ，21 1 1 1 因此 ∠MON ＝∠NOC － ∠MOC ＝∠AOC － ∠BOC ＝ (∠AOC －∠ BOC)＝ ∠AOB ＝222212× 90°＝ 45°.6.钟表问题关于钟表问题要掌握基本的数目关系，如走一大格为 30 度，一小格为 6 度，分针每分钟转 6 度，时针每分钟转 0.5 度，分针是时针转速的 12 倍等．若已知详细时间，求时针与分针的夹角， 只需知道它们相距的格数，即可求得；假如已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要成立方程求解．【例 6】上午 9 点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经 过 x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x) °，分针转过 (6x) °，如图所示，可列方程360－ 6x － (90－ 0.5x) ＝90，解得 x ＝ 32 8.即过 32 8分钟，时针与分针再一11 11次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是最近几年来悄悄盛行的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在着手操作中找出答案．这种题目主假如能画出整个过程中的状态表示图，从而求出点的转动角度．【例 7】如图，把作图用的三角尺 (含 30°，60°的那块 )从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求 B 点转动的角度 (在点的地点没有发生变化的状况下，一律看作点没有转动 )．解： 如图，从地点 ① 到地点 ② ， B 点转过 90°；从地点 ② 到地点 ③ ，B 点转过 120°；从地点 ③ 到地点 ④ ，由题意 B 点看作不动．于是在整个过程中 B 点转过的角度为90°＋ 120°＝ 210°.8.概括猜想在角的问题中的运用概括猜想， 是一种很重要的数学思想方法， 数学史上的很多重要发现： 如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的研究、猜想、总结而获得的．学习数学一定不停地去研究、猜想，不停地总结规律，才会有新发现．运用 n(n － 1)这个式子，能解决好多近似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家擅长借2鉴的结果．在学习过程中，注意不停总结、概括规律，累积经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例 8】(1) 若在 n 个人的聚会上， 每一个人都要与此外全部的人握一次手， 问握手总次数 是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角 )?解： (1)每一个人可与此外 (n －1) 个人握一次手， n 个人就有 (n － 1) ·n 次握手，此中各重复一次，因此，握手总次数是 n(n －1) ÷2 次．(2)图 ① 中每两个点构成一条线段 (近似于两个人握一次手 )，因此共有 n(n － 1) ÷2 条线段． 图 ② 中每条射线都与此外 (n － 1)条射线构成一个角 (近似于握手 )，因此共有 n(n － 1) ÷2个角．9.方向角的应用(1)如图， 画两条相互垂直的直线 AB 和 CD 订交于点 O ，此中一条为水平线， 则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向， 详细是： 向上的射线 OA 表示正北方向， 向下的射线 OB 表示正南方向，向右的射线 OD 表示正东方向，向左的射线 OC 表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．成立这四条方向线后，关于点 P ，假如点 P 在射线 OA 上，则称点 P 在正 北方向；假如点 P 在射线 OB 上，则称点 P 在正南方向；假如点 P 在射线 OC 上，则称点 P 在正西方向；假如点 P 在射线 OD 上，则称点 P 在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分红四个直角，假如点 P 在正北方向线 OA 与正东( 或正西 )方向线 OD( 或 OC)的夹角内，且射线 OP 与正北方向线 OA 的夹角是 m °，则称点 P 在北偏东 (或西 )m °方向；假如点 P 在正南方向线 OB 与正东 (或正西 )方向线 OD( 或 OC) 的夹角内，且射线 OP 与正南方向线 OB 的夹角为 m °，则称点 P 在南偏东 (或西 )m °方向．比如图中的射线 OA ， OB ， OC ，OD 分别称为：北偏东 40°、北偏西 65°、南偏西 45°、南偏东 20°.关于倾向 45°的方向角，有时也能够说成东南 (北 )方向或西南 (北 )方向．如图中的 OC，除了说成南偏西 45°外，还能够说是西南方向，但不要说成南西方向．【例 9】如图， OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是西偏北50°.(1)若∠ AOC ＝∠ AOB，则 OC 的方向是 ________；(2)OD 是 OB 的反向延伸线，OD 的方向是 ____；(3)∠ BOD 可看作是 OB 绕点 O 逆时针方向至OD，作∠ BOD 的均分线OE，OE 的方向是____ ；(4)在 (1) 、 (2) 、 (3)的条件下，∠ COE ＝ ____.分析： (1)∵ OB 的方向是西偏北50°，∴∠ 1＝ 90°－ 50°＝ 40°，∴∠ AOB＝ 40°＋ 15°＝ 55°∵∠ AOC＝∠ AOB，∴∠ AOC＝ 55°，∴∠ FOC＝∠ AOF＋∠ AOC＝ 15°＋ 55°＝ 70°，∴ OC 的方向是北偏东70°.(2)∵ OB 的方向是西偏北50°，∴∠ 1＝ 40°，∴∠ DOH ＝ 40°，∴ OD 的方向是南偏东40°.(3)∵ OE 是∠ BOD 的均分线，∴∠ DOE＝ 90°.∵∠ DOH ＝ 40°，∴∠ HOE＝ 50°，∴ OE 的方向是南偏西50°.(4)∵∠ AOF ＝ 15°，∠ AOC＝ 55°，∴∠ COG＝ 90°－∠AOF －∠ AOC＝ 90°－15°－ 55°＝ 20°.∵∠ EOH＝ 50°，∠HOG ＝ 90°，∴∠ COE＝∠ EOH＋∠HOG ＋∠ COG＝ 50°＋ 90°＋ 20°＝160°.答案： (1)北偏东 70°(2)南偏东 40°(3)南偏西 50°(4)160 °。

4.6 用尺规作线段与角1．尺规作图的概念几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图．(1)尺规作图与画图虽然都是指按要求画出符合条件的正确图形，但两者还是有本质上的区别．尺规作图是画图的一种特殊的表现形式，它要求只能限定用直尺和圆规这两种工具完成画图过程，而画图一般不限定工具．既可用直尺和圆规，也可以用其他的辅助工具，比如量角器、三角板、刻度尺等．(2)直尺的功能：在两点间连接一条线段；将线段向两边延长．圆规的功能：以任意一点为圆心，适当长为半径作一个圆；以任意一点为圆心，适当长为半径画一段弧．【例1】 下列说法中，正确的是( )．A ．延长射线OAB ．作直线AB 的延长线C ．延长线段AB 到C ，使AC ＝12AB D ．延长线段AB 到C ，使AC ＝2AB 解析：A 项：射线不可以延长，只能反向延长；B 项：直线没有延长线和反向延长线；C项：如果延长AB 到C ，则AC ＞AB ，不可能AC ＝12AB . 答案：D2．作一条线段等于已知线段(1)已知：线段a求作：线段AB ，使AB ＝a .作法：①作一条直线l ；②在l 上任取一点A ，以点A 为圆心，以线段a 的长度为半径画弧，交直线l 于点B . 线段AB 就是所求作的线段．(2)常用的基本作图语言有：①过点×和点×作射线××(或作直线××)；②在射线××上截取××＝××；③在射线上顺次截取××＝××＝××；④以点×为圆心，××长为半径作弧，交××于点×.谈重点作图的要求作图题的作图要求：(1)要根据问题把已知条件具体化；(2)要写明作什么图形，满足什么要求；(3)在作法中要使用规X 语句，按照作图的顺序逐一写明；(4)最后要指出结论．【例2】 已知线段a ，如图：求作：线段AB ，使AB ＝3a .分析：先作一条直线，在这条直线上连续作出三条线段都等于a 即可．作法：(1)作一条直线l ；(2)在l 上任取一点A ，以点A 为圆心，以线段a 的长度为半径作弧，交直线l 于C ；(3)以点C 为圆心，以线段a 的长度为半径作弧，在同一方向上交直线l 于D ；(4)以点D 为圆心，以线段a 的长度为半径作弧，在同一方向上交直线l 于B .所以线段AB就是所求的线段．释疑点截取线段的方法沿着某一个方向依次截取几次，结果所得到的线段就是原线段的几倍．3．作一个角等于已知角已知：∠AOB.如图所示：求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB.作法：(1)在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；(2)作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；(3)以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第(2)步中所画弧于点F；(4)作射线EF.则∠DEF即为所求作的角．【例3】如图，已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB.作法：(1)以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D；(2)作射线O′A′，以O′为圆心，以OC长为半径画弧交O′C′于点C′；(3)以C′为圆心，以CD的长为半径画弧交前弧于E点，接着以E为圆心，同样的长为半径画弧交前面弧于点B′；(4)过点B′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角．如图．辨误区作留作图痕迹作图痕迹是尺规作图必不可少的部分，不可擦去．4．作线段的和、差“作一条线段等于已知线段”是基本作图之一，它是作线段和、差的依据，因此我们要对“作一条线段等于已知线段”的过程和操作方法非常熟练．作线段的和时，是沿着某一点按照一个方向依次截取每一条线段，这条直线上的始点与终点组成的线段就是所作的几条线段的和；作线段的差时，先作被减线段，然后以这条线段的一个端点为端点，在这条线段内部作出要减的线段，其余的两个端点组成的线段就是要求作的线段．【例4】如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画线段，使它等于2a＋b－c.分析：先作2a＋b，然后再减去c.作法：(1)作射线AF；(2)在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a，CD＝b；(3)在线段AD上截取DE＝c.所以线段AE即为所求．5.作角的和、差“作一个角等于已知角”是基本作图之一，它是作角和、差的依据，因此我们要对“作一个角等于已知角”的过程和操作方法非常熟练．作角的和时，是沿着角的一边按照一个方向依次作出每一个角，这个角的始边与终边组成的角就是所作的几个角的和；作角的差时，先作被减的角，然后以这个角的一条边为一边，在这个角的内部作出要减的角，其余的两条边所组成的角就是要求作的角．【例5】如图，已知∠α和∠β(∠α＞∠β)，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β.作法：(1)作射线OA；(2)以射线OA为一边作∠AOC＝∠α；(3)以O为顶点，以射线OC为一边，在∠AOC的内部作∠BOC＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．6．“作一个角等于已知角”的应用在小学时，我们知道三角形的三个内角之和为180°，现在我们学习了“作一个角等于已知角”，我们可以利用“作一个角等于已知角”作出一个三角形的三个内角的和，利用图形来说明这一结论．析规律尺规作图步骤用尺规作图来说明问题时，根据要解决的问题先写出已知、求作，再作图并写出作法．作图要力求准确．作复杂的图形时，一般先根据题意画出草图，再写出已知、求作和作法．【例6】任意作一个三角形，用尺规作图作出它的三个内角的和，并用量角器度量出三个内角的和．解：已知如图所示，任意△ABC，求作∠MON＝∠A＋∠B＋∠C，并测量∠MON的大小．作法：(1)作∠MOD＝∠A；(2)以OD为一边，在∠MOD的外部作∠DOE＝∠B；(3)以OE为一边，在∠MOE的外部作∠EON＝∠C；则∠MON为所求作的角．用量角器度量出∠A＋∠B＋∠C＝∠MON＝180°.。

3 角1．角的定义(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．角的有关概念：顶点：两条射线的公共端点．边：组成角的两条射线．(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．谈重点角的理解(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．【例1】下列说法错误的有( )．①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①×公共点与公共端点不同②√具备角的两个基本元素③×角的大小不因为两边的长短而改变④×角的两边是射线答案：C2．角的表示方法及画法角的表示方法有四种．(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．释疑点表示角时的注意事项①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O 为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC ，就不能用∠O 来表示了．否则，就会产生混乱．3．平角、周角(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，如图1.(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等于360°.(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．【例3】 下列说法是否正确，为什么？①平角是一条直线；②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．分析：可根据平角和周角的形成定义判断．解：①错．因为平角是一条射线绕着它的端点旋转到反方向位置时形成的图形，平角有顶点、边这些基本元素，而直线没有，故是错误的；②正确．因为分针经过1小时会旋转一周，所以分针经过1小时会回到初始位置，即能形成一个周角．4．度、分、秒的换算(1)角的单位及意义角的单位是度、分、秒．意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.(2)度、分、秒的进率及换算方法度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.度6060⨯÷分6060⨯÷秒(3)度、分、秒有关的计算度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的60.在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位．【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________；(2)用度表示23°9′36″为__________．解析：(1)先把0.13°化成分：60′×0.13＝7.8′，再把0.8′化成秒：60″×0.8＝48″，所以48.13°＝48°7′48″；(2)先把36″化成分：⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，再把9.6′化成度：⎝⎛⎭⎫160°×9.6＝0.16°，所以23°9′36″＝23.16°.答案：(1)48°7′48″ (2)23.16°【例4－2】 计算：(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″；(3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.分析：先将相同单位相加减，注意进位和借位；乘法要先乘低位，再乘高位；除法是先除高位，高位余数换算成低位数后，再除低位．解：(1)13°29′＋78°37″＝91°29′37″.(2)61°39′－22°5′32″＝61°38′60″－22°5′32″＝39°33′28″.(3)23°53′×3＝69°159′＝71°39′.(4)107°43′÷5＝(105°＋2°43′)÷5＝105°÷5＋163′÷5＝21°＋(160′＋180″)÷5＝21°＋160′÷5＋180″÷5＝21°32′36″.5.角的计数方法数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……【例5】如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．分析：要确定有多少个角，需要先确定始边与终边的条数．可以用始边计数法数角的个数．即先以OA为始边，则能与它组成角的边有3条，就有3个角；再以OB为始边，按逆时针数出角的个数，依次类推．解：以OA为一边的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD；以OB为一边且不重复的角有∠BOC，∠BOD；以OC为一边且不重复的角有∠COD.因此图中共有6个角，它们分别为：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD.6．角的应用角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.时针与分针的夹角的求法：先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数．特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50.②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加．③时针每分钟转30°÷60＝0.5°.【例6】如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．分析：确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数，需要先确定时针与分针形成的角中包含几个大格和小格．0°解：新闻30分：0°；今日说法：30°×5＋35×0.5°＝167.5°；电视剧：30°×4＝120°.。

4.4 角1．角的有关概念(1)钟面上的时针与分针所构成的图形、四面体中任意两条相交棱所构成的图形，都给我们以角的形象．(2)角可以看作是从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形．如图，其中，点O 叫做角的顶点，射线OA，OB叫做角的边．这个角可记作∠AOB，读作“角AOB”．∠AOB也可以看成是射线OA绕着点O旋转到OB的位置后形成的图形．射线OA，OB分别叫做这个角的始边和终边．(3)当角的终边是由始边旋转半周得到的(这时角的始边和终边互为反向延长线)，如图，这样的角叫做平角，1平角=180°.(4)当角的终边是由始边旋转一周得到的(这时角的始边和终边重合成一条射线，但它不是一条射线)，如图，这样的角叫做周角，一周角=360°.释疑点理解角的特征(1)角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，二者缺一不可；(2)由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关；(3)当角的大小一旦确定，它的大小不会因为图形的位置、图形的放大或缩小而改变；(4)平角与直线有区别，平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，这是两个不同的概念，不能说“一条直线就是平角”或“平角是一条直线”，同样不能说“一条射线是周角”；(5)没有特别说明，本书中所指的角都是指小于平角的角．【例1】下列说法：①两条射线所组成的图形叫做角；②一条射线旋转而成的图形叫做角；③角的大小与这个角的两边长短有关；④平角是一条直线．其中错误的有( )．A．1个 B．2个C．3个 D．4个释疑点概念是识别图形的依据角的概念是识别一个图形是否是角的主要依据，其他图形的识别也是如此，所以我们要十分重视对概念的正确理解．2．角的表示方法(1)用三个大写字母表示：如图，角的顶点为O，角的两边为射线OA，OB，该角可记为：∠AOB或∠BOA(顶点的大写字母写在中间)．(2)用一个大写字母表示：当以某一点为顶点的角只有一个时，可用表示这个点的字母表示这个角，如上图，这个角又可表示为∠O.(3)用数字表示：如下图中的两个角，我们可以表示为∠1和∠2，同时在原图中，需要在顶点数加上弧线．(4)用希腊字母表示：如下图中的两个角，我们可以表示为∠α和∠β，同时在原图中，需要在顶点处加上弧线．释疑点如何准确地表示角当以某个字母为顶点的角仅有一个时，才能用表示其顶点的一个大写字母来表示该角．用阿拉伯数字或小写的希腊字母表示角时，一定要在图中该角的位置上标出字母或数字，并画上弧线．【例2】如图，下列表示∠1的方法中，正确的是( )．A．∠A B．∠ABCC．∠BAD D．∠BAC解析：根据角的四种表示方法的规定，只有∠BAC与∠1表示同一个角，因此应选D.答案：D3．角的度量(1)角的度量单位：角的度量单位是度、分、秒．度、分、秒之间的进率是60.(2)把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一份是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一份是1秒的角，1秒记作1″.这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(3)角度的换算：1°＝60′，1′＝60″.由以上关系式可将度化为度、分、秒的形式，也可将度、分、秒化成度的形式．析规律正确进行角的换算用度、分、秒表示度时，要先把度的小数部分化成分，再把分的小数部分化成秒；用度表示度、分、秒时，要先把秒化成分，再把分化成秒；遇到乘法时，先乘再进位，遇到加法时，先加再进位，遇到减法时，先借位再减．【例3】解答下列问题：(1)用度、分、秒表示57.53°；(2)用度表示36°23′45″；(3)计算53°25′28″×5；(4)已知∠α＝32.68°，∠β＝18°41′55″，求∠α－∠β.解：(1)57.53°＝57°＋0.53×60′＝57°＋31.8′＝57°＋31′＋0.8×60″＝57°＋31′＋48″＝57°31′48″；(2)因为45″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4560′＝0.75′， 23．75′＝,60)))°≈0.396°，所以36°23′45″≈36.396°；(3)53°25′28″×5＝265°125′140″＝267°7′20″；(4)因为∠α＝32.68°＝32°40′48″，所以∠α－∠β＝32°40′48″－18°41′55″＝32°39′108″－18°41′55″＝31°99′108″－18°41′55″＝13°58′53″.析规律角的加减乘除运算进行角的加减乘除运算，遇到加法时，先加再进位；遇到减法时，先借位再减；遇到乘法时，先乘再进位；遇到除法时，先借位再除．4．探索角的个数探索由一个点引出若干条射线组成的角的个数时，可按边分别按逆时针或顺时针的顺序数，先确定以一条边为始边的所有角的个数，再确定以另一条边为始边的所有角的个数，以此类推，再求和可得角的总个数，并利用这一关系求出从一个点出发若干条射线时构成的角的个数的规律．数角时，观察一定要有条理，既要防止重复，又要防止遗漏．解技巧从一个顶点出发的n 条射线组成的角的个数一般地，从点O 出发引出n 条射线，能组成(n －1)个基本角，共有角的个数为(n －1)＋(n －2)＋…＋3＋2＋1＝n (n －1)2. 【例4】 观察下列图形，并阅读相关文字：从图中的规律能知道从一个点出发10条射线时构成__________个不同的角．解析：2条射线构成角的个数为1；3条射线构成角的个数为2＋1＝3；4条射线构成角的个数为3＋2＋1＝6；5条射线构成角的个数为4＋3＋2＋1＝10；…；由此可得10条射线构成角的个数为9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45.答案：45钟表上的时针与分针如果看作两条射线，不同时刻它们组成的角大小不同，时针与分针不同时间分别旋转过的角的大小各不相同，解决这类问题的关键是判断不同时刻时针与分针的位置以及各自每分钟旋转的角度的大小，然后运用角的定义和度量解决问题．【例5】 若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大角度？解：所以分针转过的角度为360°60×(55－30)＝6°×25＝150°， 时针转过的角度为360°60×12×(55－30)＝150°×112＝12.5°.6．实际问题中的方位角的操作方位角一般以正北、正南为基准，描述物体所在的方向．如图所示的是我们常用到的一些方向，但实际上八个方向还不够用，如果要详尽准确地表示每一个方向上的角，就要借助角度来表示．(1)用射线表示的方位角一般说法是北偏东×度，北偏西×度，南偏东×度，南偏西×度．一般把南、北放在前，但东南、西南、西北、东北例外．(2)方位角是表示方向的射线与正北、正南方向的夹角，若已知条件给的不是这个角度，则需转化成与正北、正南方向的夹角．(3)通常规定上北、下南、左西、右东．【例6】 如图，在一X 某地区的地图上，原标有学校、公园和广场三个位置，由于被墨水污染，广场的具体位置已看不清了．根据记忆，广场位置在学校的北偏东60°的方向，在公园的北偏西45°的方向．根据上述信息，请找出广场的具体位置．分析：根据题意，可知广场在学校的北偏东60°的方向．画图时，应以学校所在地为测点，在此处画出上北下南，左西右东的方向，以正北方向的射线为始边，顺时针旋转60°，则广场的位置就在这条射线上，同理，在公园的位置作一条北偏西45°的射线，这两条射线的交点，即为广场的位置．解：所画的图形如图所示．。

4.2 线段、射线、直线1．线段像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段．线段有两个端点，两个方向均不延伸，线段的长度是可以测量的．线段有两种表示方法：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”．释疑点对线段的理解线段不能延伸，只能延长，延长的部分叫线段的延长线，延长线段AB是指按从A到B 的方向延长，如图(1)，延长线段BA是指按从B到A的方向延长，也可以说反向延长线段AB，如图(2)，一般延长线画成虚线．【例1】平面上有三个点A，B，C，以其中任意两个点为端点的线段有( )．A．3条B．1条C．3条或1条D．以上都不正确解析：如图，分点A，B，C三点在同一条直线上与三点不在同一条直线上两种情况，不管哪种情况下，所确定的线段均为：线段AB、线段BC、线段AC.故选A.答案：A2．射线将线段向一个方向无限延长就得到了射线．射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的．射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，如图中的射线，点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.释疑点射线的表示方法(1)表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面．如图中的射线既可以表示为“射线OA”，又可以表示“射线OB”，但不能表示为“射线AO”或“射线BO”．(2)同一条射线有不同的表示方法．如图中“射线OA”与“射线OB”表示的是同一条射线．(3)端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线．如图中，射线OA与射线OC是两条不同的射线，射线OB与射线AB也是两条不同的射线．(4)两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸的方向相同．【例2】如图，图中有几条射线？其中可以表示的是哪几条？分析：以端点和方向分类，以A为端点的左右各一条，可表示的是射线AB；以B为端点的左右各一条，可表示的是射线BA；以C为端点的左右各一条，可表示的是射线CA、射线CB；以D为端点的左右各一条，可表示的是射线DA、射线DB.解：图中有8条射线，其中可以表示的有6条，射线AB、射线BA、射线CA、射线CB、射线DA、射线DB.辨误区正确理解射线的表示方法(1)射线AB、射线BA不是同一条射线；(2)以A为端点且方向向左的射线和以B为端点且方向向右的射线只有一个端点；(3)不能把图中射线AC，AD，AB当作三条射线，它们的端点相同，方向相同，所以是同一条射线；(4)以端点为分类标准，易于观察，可保证不重复不遗漏．3．直线将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的．直线的两种表示方法：(1)一条直线可以用一个小写字母表示，如图中的直线可记作：直线a.(2)一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，如图中的直线可记作：直线AB或直线BA.线段AB、线段a 射线OM 直线AB、直线l2个无A．直线abB．直线AB与直线BA不是同一条直线C．直线aD．直线AB与直线CD一定是两条直线解析：选项A错，用两个字母表示直线时，必须大写；选项B错，直线AB与直线BA 是同一条直线；选项C对；选项D错，若A，B，C，D在同一直线上，则直线AB与直线CD 是同一条直线．答案：C说方法线段、射线、直线的表示方法表示线段、射线、直线时，都要在字母的前面标明“线段”、“射线”、“直线”；用两个大写字母表示线段或直线时，两个字母可交换位置，但表示射线的两个大写字母不能交换位置，必须把端点字母写在前面．【例3－2】已知平面上四点A，B，C，D，如图：(1)画直线AB；(2)画射线AD；(3)直线AB，CD相交于E；(4)连接AC，BD相交于点F.分析：此题考查学生对于两点确定一条直线，以及利用两条直线相交只有一个交点来进行解答，培养学生的几何作图能力．注意直线、射线、线段的不同画法．解：如图所示．说方法如何画线段、射线、直线连接两点得到的是线段；画射线，注意端点和方向，即端点不能出头，方向部分必须出头；画直线AB，两个方向直线都必须过A，B两点．4．直线的性质(1)经过两点有一条直线，并且只有一条直线．(2)两条直线相交只有一个交点．谈重点对直线的性质的理解(1)一条直线上有无数多个点．两条直线相交只有一个交点．(2)经过一点能画无数条直线，而经过两点能够画一条直线，并且只能画一条直线．(3)点与直线有两种位置关系：一是点在直线上，即直线经过这个点；二是点在直线外，即直线不经过这个点．【例4】三条直线a，b，c两两相交，交点的个数为( )．A．1 B．2C．3 D．1或3解析：三条直线a，b，c两两相交，有如图两种情况：图(1)中有3个交点，图(2)中有1个交点，所以三条直线a，b，c两两相交，有1个或3个交点．故选D.答案：D释疑点三点的位置关系对三点位置进行分类，分成如下两种情况：三点在同一条直线上；三点不在同一直线上．5．确定直线上的线段的条数在直线上有无数个点，每两个端点构成一条线段，构成线段的条数随着端点的个数增加而增加，确定直线上的线段的条数时，有两种思路，一是由端点的顺序依次数线段；二是由线段的顺序依次数线段；三是探究线段的条数与作为端点的个数的关系．解决这类问题时，要结合端点的个数来确定用哪一种方法来解决．析规律正确数出线段的条数在一条线段上数线段的条数时，要根据线段的实质，做到不重不漏，如果在一条线段上有n 个点，那么这个图形中共有线段的条数为(n ＋1)(n ＋2)2.【例5】 如图(1)，在线段AB 上取一点C 时，共有几条线段？ 如图(2)，在线段AB 上取两点C ，D 时，共有几条线段？如图(3)，在线段AB 上取三个点C ，D ，E 时，共有几条线段？解：观察图形，每个点都与另外的一个点确定一条线段．如在线段AB 上取一点C 时，A 点与B ，C 确定线段AB ，AC ，B 点与A ，C 确定线段BA ，BC ，C 点与A ，B 确定线段CA ，CB ，这时共有2×3条线段，但由于线段AB 与BA ，线段AC 与CA ，线段BC 与CB 是同一条线段，所以线段的条数实际为12×2×3＝3，即三条线段，由此可以推出，在线段AB 上取两点时，线段的条数为12×3×4＝6；在线段AB 上取三点时，线段的条数为12×4×5＝10.所以(1)在线段AB 上取一点C 时，共有3条线段；(2)在线段AB 上取两点C ，D 时，共有6条线段；(3)在线段AB 上取三个点C ，D ，E 时，共有10条线段．探求直线的交点个数的规律时，从简单的特例入手分析，在直线数量增加的同时，记录下交点个数的变化，在变化的数据中总结出具有一般性的规律．析规律n 条相交直线的交点个数n 条直线相交，那么交点的个数最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个．【例6】 四条直线两两相交，它们的交点的个数为( )． A ．6 B ．1或6 C ．4或6 D ．1或4或6解析：根据题意画图，有如下三种情况，由下图可知四条直线两两相交的交点的个数依次为1或4或6.答案：D7．直线上的线段的条数的实际应用生活中涉及线段的实际应用比较广泛，一些实际问题可以把它用图形来直观地加以解决，这也是数学之美妙的一个方面．我们应该注意发现现实生活中的素材，提高我们解决实际问题的能力．【例7】 从某某开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？解：当n ＝4时，有S ＝n (n －1)2＝4×(4－1)2＝6(种)，所以车票有6×2＝12(种)．答：有6种不同的票价，有12种车票．。

人教版七年级数学上册第四章 4.3 角中考试题汇编含精讲解析一．选择题（共23小题）1．（20XX?河北）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（）A．B．C．D．2．（20XX?酒泉）若∠A=34°，则∠A的补角为（）A．56° B．146° C．156° D．166°3．（20XX?北海）已知∠A=40°，则它的余角为（）A．40° B．50° C．130° D．140°4．（20XX?济南）如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．70°5．（20XX?绥化）将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（）A．B．C．D．6．（20XX?株洲）已知∠α=35°，那么∠α的余角等于（）A．35° B．55° C．65° D．145°7．（20XX?广西）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．8．（20XX?厦门）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上．若∠B=∠ADE，则下列结论正确的是（）A．∠A和∠B互为补角B．∠B和∠ADE互为补角C．∠A和∠ADE互为余角D．∠AED和∠DEB互为余角9．（20XX?金华）已知∠α=35°，则∠α的补角的度数是（）A．55° B．65° C．145° D．165°10．（20XX?玉林）下面角的图示中，能与30°角互补的是（）A．B．C．D．11．（20XX?乐山）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°12．（20XX?滨州）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．70°13．（20XX?佛山）若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（）A．15° B．30° C．45° D．75°14．（20XX?济南）如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．140° D．150°15．（20XX?黄冈）如果α与β互为余角，则（）A．α+β=180° B．α﹣β=180° C．α﹣β=90° D．α+β=90°16．（20XX?大连）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（）A．35° B．70° C．110° D．145°17．（20XX?防城港）若∠α=30°，则∠α的补角是（）A．30° B．60° C．120XXD．150°18．（20XX?贺州）如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．60°19．（20XX?重庆）已知∠A=65°，则∠A的补角等于（）A．125° B．105° C．115° D．95°20XX20XX?六盘水）直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有几个（）A．2个B．3个C．4个D．6个21．（20XX?厦门）∠A=60°，则∠A的补角是（）A．160° B．120XXC．60° D．30°22．（20XX?福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．20XXB．40° C．50° D．60°23．（20XX?百色）已知∠A=65°，则∠A的补角的度数是（）A．15° B．35° C．115° D．135°二．填空题（共6小题）24．（20XX?南昌）一个角的度数为20XX则它的补角的度数为．25．（20XX?湖州）计算：50°﹣15°30′= ．26．（20XX?辽阳）2700″= °．27．（20XX?南平）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形．已知∠CEB′=50°，则∠AEB′= °．28．（20XX?黔西南州）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF= °．29．（20XX?宁德）若∠A=30°，则∠A的补角是．三．解答题（共1小题）30．（20XX?泉州）如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，则∠AOC= °．人教版七年级数学上册第四章 4.3 角20XX-20XX中考试题汇编含精讲解析参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．（20XX?河北）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（）A．B．C．D．考点：方向角．分析：根据方向角的定义，即可解答．解答：解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．故选：D．点评：本题考查了方向角，解决本题的关键是熟记方向角的定义．2．（20XX?酒泉）若∠A=34°，则∠A的补角为（）A．56° B．146° C．156° D．166°考点：余角和补角．分析：根据互补的两角之和为180°，可得出答案．解答：解：∵∠A=34°，∴∠A的补角=180°﹣34°=146°．故选B．点评：本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补的两角之和为180°．3．（20XX?北海）已知∠A=40°，则它的余角为（）A．40° B．50° C．130° D．140°考点：余角和补角．分析：根据余角定义直接解答．解答：解：∠A的余角等于90°﹣40°=50°．故选：B．点评：本题比较容易，考查互余角的数量关系．根据余角的定义可得∠A的余角等于90°﹣40°=50度．4．（20XX?济南）如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．70°考点：余角和补角；垂线．分析：根据两个角的和为90°，可得两角互余，可得答案．解答：解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，即∠2+∠1=90°，∴∠2=55°，故选：C．点评：此题考查了余角的知识，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．5．（20XX?绥化）将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（）A．B．C．D．考点：余角和补角．分析：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，据此分别判断出每个选项中∠1+∠2的度数和是不是180°，即可判断出它们是否一定互补．解答：解：如图1，，∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°，∴∠1、∠2互补．如图2，，∠2=∠3，∵∠1+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，∴∠1、∠2互补．如图3，，∵∠2=60°，∠1=30°+90°=120XX∴∠1+∠2=180°，∴∠1、∠2互补．如图4，，∵∠1=90°，∠2=60°，∴∠1+∠2=90°+60°=150°，∴∠1、∠2不互补．故选：D．点评：此题主要考查了余角和补角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等角的补角相等．等角的余角相等；并能分别判断出每个选项中的∠1+∠2的度数和是不是180°．6．（20XX?株洲）已知∠α=35°，那么∠α的余角等于（）A．35° B．55° C．65° D．145°考点：余角和补角．分析：根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角计算．解答：解：∵∠α=35°，∴它的余角等于90°﹣35°=55°．故选B．点评：本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．7．（20XX?广西）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．考点：余角和补角．分析：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．解答：解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2=90°，即选项C中，∠1与∠2互为余角．故选C．点评：本题考查了余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．掌握定义并且准确识图是解题的关键．8．（20XX?厦门）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上．若∠B=∠ADE，则下列结论正确的是（）A．∠A和∠B互为补角B．∠B和∠ADE互为补角C．∠A和∠ADE互为余角D．∠AED和∠DEB互为余角考点：余角和补角．分析：根据余角的定义，即可解答．解答：解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B=∠ADE，∴∠A+∠ADE=90°，∴∠A和∠ADE互为余角．故选：C．点评：本题考查了余角和补角，解决本题的关键是熟记余角的定义．9．（20XX?金华）已知∠α=35°，则∠α的补角的度数是（）A．55° B．65° C．145° D．165°考点：余角和补角．分析：根据互补即两角的和为180°，由此即可得出∠α的补角度数．解答：解：∠α的补角=180°﹣35°=145°．故选：C．点评：本题考查了补角的知识，掌握互为补角的两角之和为180度是关键，比较简单．10．（20XX?玉林）下面角的图示中，能与30°角互补的是（）A．B．C．D．考点：余角和补角．分析：先求出30°的补角为150°，再测量度数等于150°的角即可求解．解答：解：30°角的补角=180°﹣30°=150°，是钝角，结合各图形，只有选项D是钝角，所以，能与30°角互补的是选项D．故选：D．点评：本题考查了互为补角的定义，根据补角的定义求出30°角的补角是钝角是解题的关键．11．（20XX?乐山）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°考点：方向角．分析：根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．解答：解：∵射线OB与射线OA垂直，∴∠AOB=90°，∴∠1=90°﹣30°=60°，故射线OB的方位角是北偏西60°，故选：B．点评：本题考查了方向角，方向角的表示方法是北偏东或北偏西，南偏东或南偏西．12．（20XX?滨州）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．70°考点：角的计算；角平分线的定义．专题：计算题．分析：先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出结论．解答：解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．故选：D．点评：本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．13．（20XX?佛山）若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（）A．15° B．30° C．45° D．75°考点：角的计算．分析：先画出图形，利用角的和差关系计算．解答：解：∵∠AOB=60°，∠BOD=15°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=60°﹣15°=45°，故选：C．点评：本题考查了角的计算，注意先画出图形，利用角的和差关系计算．14．（20XX?济南）如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．140° D．150°考点：余角和补角．专题：常规题型．分析：根据互补两角之和为180°，求解即可．解答：解：∵∠1=40°，∴∠2=180°﹣∠1=140°．故选：C．点评：本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．15．（20XX?黄冈）如果α与β互为余角，则（）A．α+β=180° B．α﹣β=180° C．α﹣β=90° D．α+β=90°考点：余角和补角．专题：常规题型．分析：根据互为余角的定义，可以得到答案．解答：解：如果α与β互为余角，则α+β=900．故选：D．点评：此题主要考查了互为余角的性质，正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．16．（20XX?大连）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（）A．35° B．70° C．110° D．145°考点：角平分线的定义．分析：首先根据角平分线定义可得∠BOD=2∠BOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD的度数．解答：解：∵射线OC平分∠DOB．∴∠BOD=2∠BOC，∵∠COB=35°，∴∠DOB=70°，∴∠AOD=180°﹣70°=110°，故选：C．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．17．（20XX?防城港）若∠α=30°，则∠α的补角是（）A．30° B．60° C．120XXD．150°考点：余角和补角．专题：计算题．分析：相加等于180°的两角称作互为补角，也作两角互补，即一个角是另一个角的补角．因而，求这个角的补角，就可以用180°减去这个角的度数．解答：解：180°﹣30°=150°．故选D．点评：本题主要是对补角概念的考查，是需要在学习中识记的内容．18．（20XX?贺州）如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．60°考点：余角和补角．分析：根据两个角的和为90°，可得两角互余，可得答案．解答：解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，即∠2+∠1=90°，∴∠2=35°，故选：A．点评：本题考查了余角和补角，两个角的和为90°，这两个角互余．19．（20XX?重庆）已知∠A=65°，则∠A的补角等于（）A．125° B．105° C．115° D．95°考点：余角和补角．分析：根据互补两角之和为180°求解即可．解答：解：∵∠A=65°，∴∠A的补角=180°﹣65°=115°．故选C．点评：本题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互补两角之和为180°是关键．20XX20XX?六盘水）直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有几个（）A．2个B．3个C．4个D．6个考点：余角和补角．分析：本题要注意到∠1与∠2互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．解答：解：与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4；一共3个．故选：B．点评：正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求．21．（20XX?厦门）∠A=60°，则∠A的补角是（）A．160° B．120XXC．60° D．30°考点：余角和补角．分析：根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．解答：解：∵∠A=60°，∴∠A的补角=180°﹣60°=120XX故选B．点评：本题考查了余角和补角，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．22．（20XX?福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．20XXB．40° C．50° D．60°考点：余角和补角．专题：计算题．分析：根据互余两角之和为90°即可求解．解答：解：∵OA⊥OB，∠1=40°，∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°．故选C．点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．23．（20XX?百色）已知∠A=65°，则∠A的补角的度数是（）A．15° B．35° C．115° D．135°分析：本题要注意到∠1与∠2互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．解答：解：与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4；一共3个．故选：B．点评：正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求．21．（20XX?厦门）∠A=60°，则∠A的补角是（）A．160° B．120XXC．60° D．30°考点：余角和补角．分析：根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．解答：解：∵∠A=60°，∴∠A的补角=180°﹣60°=120XX故选B．点评：本题考查了余角和补角，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．22．（20XX?福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．20XXB．40° C．50° D．60°考点：余角和补角．专题：计算题．分析：根据互余两角之和为90°即可求解．解答：解：∵OA⊥OB，∠1=40°，∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°．故选C．点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．23．（20XX?百色）已知∠A=65°，则∠A的补角的度数是（）A．15° B．35° C．115° D．135°分析：本题要注意到∠1与∠2互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．解答：解：与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4；一共3个．故选：B．点评：正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求．21．（20XX?厦门）∠A=60°，则∠A的补角是（）A．160° B．120XXC．60° D．30°考点：余角和补角．分析：根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．解答：解：∵∠A=60°，∴∠A的补角=180°﹣60°=120XX故选B．点评：本题考查了余角和补角，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．22．（20XX?福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．20XXB．40° C．50° D．60°考点：余角和补角．专题：计算题．分析：根据互余两角之和为90°即可求解．解答：解：∵OA⊥OB，∠1=40°，∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°．故选C．点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．23．（20XX?百色）已知∠A=65°，则∠A的补角的度数是（）A．15° B．35° C．115° D．135°分析：本题要注意到∠1与∠2互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．解答：解：与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4；一共3个．故选：B．点评：正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求．21．（20XX?厦门）∠A=60°，则∠A的补角是（）A．160° B．120XXC．60° D．30°考点：余角和补角．分析：根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．解答：解：∵∠A=60°，∴∠A的补角=180°﹣60°=120XX故选B．点评：本题考查了余角和补角，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的关键．22．（20XX?福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．20XXB．40° C．50° D．60°考点：余角和补角．专题：计算题．分析：根据互余两角之和为90°即可求解．解答：解：∵OA⊥OB，∠1=40°，∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°．故选C．点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．23．（20XX?百色）已知∠A=65°，则∠A的补角的度数是（）A．15° B．35° C．115° D．135°。

《角》典型例题例1.图中，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来.以D为顶点的角有几个？把它们表示出来.解：以B为顶点的角有3个，分别是：∠ABD、∠ABC、∠DBC，以D为顶点的角有4个，分别是∠ADE、∠EDC、∠ADB、∠BD C.注意：(1)也可用数字或希腊字母来表示，但需在靠近顶点处加上弧线.(2)一般我们在初中阶段研究的角是小于平角的角.例2.(1)57.32°=_____度_____分_____秒.(2)27°14′24″=_____度.分析：从大的单位化为小的单位用乘法,像(1)题，反之用除法，如(2).57.32°=57°+0.32°=57°+60′×0.32=57°+19.2′=57°+19′+0.2′=57°+19′+60″×0.2=57°19′12″27°14′24″=27°14′+24″÷60°=27°14′+0.4′=27°+14.4′=27°+14.4÷60=27°+0.24°=27.24°解：(1)57 39 12 (2)27.24例3.小亮利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，问小亮出发时和到家时时针和分针的夹角各为多少度.答案：出发时的时针和分针的夹角为120°，回到家时时针与分针的夹角为165°.例4.如图4所示的是两块三角板.（1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；（2）量出各角的度数，并把图中6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”号连接.[分析]叠合法就是把两个角的一边重合，根据另一边的位置就可以比较出角的大小.解：（1）如图所示把两块三角板叠在一起，可得∠1＜∠α，用同样的方法可得∠α＜∠2，所以∠1＜∠α∠2．（2）用量角器量出各角的度数分别是∠1＝30°, ∠2＝60°, ∠3＝90°,∠α＝45°, ∠β＝45°, ∠γ＝90°，∴∠1＜∠α＝∠β＜∠2＜∠3＝∠γ．例5. 小明从A点出发，向北偏西33°方向走33 m到B点，小林从A点出发，向北偏东20°方向走了6.6 m到C点，试画图确定A，B，C三点的位置（1cm表示3m），并从图上求出点B，C的实际距离．解：①如图所示，任取一点A，经过点A画一条东西方向的直线WE和一条南北方向的直线NS（两条直线相交成90°角）．②在∠NAW内作∠NAB＝33°，量取AB＝1.1cm．③在∠NAE内作∠NAC＝20°，量取AC＝2.2cm．④连接BC，量得BC＝1.8cm，∴BC的实际距离是5.4m．。