新浙教版七年级数学上册学案：6.8余角和补角

新2024秋季七年级人教版数学上册第四章几何图形初步《角：余角和补角（方位角）》听课记录一、教学目标（核心素养）核心素养目标：1.空间观念：通过余角和补角的概念学习，增强学生的空间想象能力，理解角之间的互补与互余关系。

2.逻辑推理：掌握余角和补角的性质，学会运用这些性质进行角的计算和推理。

3.数学运算：提高学生的数学运算能力，尤其是在处理角的加减运算时能够准确无误。

4.问题解决：能够应用余角和补角的知识解决实际问题，如计算方位角等。

二、导入教师行为：•教师首先展示一个直角，并提问：“同学们，你们知道这个角是多少度吗？”学生回答后，教师继续引导：“如果我们从这个直角中减去一个角，得到的角与原来的角之间有什么关系呢？”•教师引入余角和补角的概念，简要说明它们各自的定义和性质。

学生活动：•学生积极思考并回答教师的问题，对直角有基本的认识。

•认真倾听教师讲解余角和补角的概念，初步理解它们之间的关系。

过程点评：•导入环节通过学生熟悉的直角入手，自然引出余角和补角的概念，激发了学生的学习兴趣和好奇心。

•教师的提问和引导有助于学生建立新旧知识之间的联系，为后续学习打下基础。

三、教学过程（一）余角和补角的概念讲解教师行为：•详细讲解余角和补角的定义，强调“和为90度”与“和为180度”的关键特征。

•通过图示和实例，帮助学生直观理解余角和补角的概念及其在空间几何中的应用。

学生活动：•认真听讲，记录关键信息，尝试用自己的话复述余角和补角的定义。

•观察图示和实例，加深对余角和补角概念的理解。

过程点评：•教师讲解清晰，图文并茂，有助于学生理解和掌握余角和补角的概念。

•学生积极参与，通过复述和观察，进一步巩固了所学知识。

（二）余角和补角的性质应用教师行为：•设计一系列练习题，包括角的加减运算、判断角的余角和补角等，让学生独立完成。

•巡视课堂，及时发现并解决学生在解题过程中遇到的问题。

•邀请学生分享解题思路和答案，进行集体讨论和纠正。

七年级数学教案余角和补角七年级数学教案余角和补角「篇一」教学目标：1．知识与技能：通过摸球游戏，了解并掌握计算一类事件发生可能性的方法，体会概率的意义。

2．过程与方法：通过本节课的学习，帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的作用，培养学生实事求是的态度及合作交流的能力。

3．情感与态度：通过环环相扣的、层层深入的问题设置，鼓励学生积极参与，培养学生自主、合作、探究的能力，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点：1．概率的定义及简单的列举法计算。

2．应用概率知识解决问题。

教学难点：灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题。

教学过程：一、复习旧知1、下面事件：①在标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾。

②掷一枚硬币，出现反面。

③三角形内角和是360°；④蚂蚁搬家，天会下雨。

不可能事件的有，必然事件有，不确定事件有。

2、任何两个偶数之和是偶数是事件；任何两个奇数之和是奇数是事件；3、欢欢和莹莹进行“剪刀、石头、布”游戏，约定“三局两胜”决定谁最终获胜，那么欢欢获胜的可能性。

4、足球比赛前裁判通过抛硬币让双方的队长猜正反来选场地，只抛了一次，而双方的队长却都没有异议，为什么？5、一个均匀的骰子，抛掷一次，它落地时向上的数可能有几种不同的结果？每一种结果的概率分别为多少？求一个随机事件概率的基本方法是通过大量的重复试验，那么能不能不进行大量的重复试验，只通过一次试验中可能出现的结果求出随机事件的概率，这就是我们今天要探究学习的“等可能事件的概率”。

二、情境导入1、任意掷一枚均匀的硬币，可能出现哪些结果？每种结果出现的可能性相同吗？正面朝上的概率是多少？2、这个袋子中有5个乒乓球，分别标有1，2，3，4，5这5个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，拿出来后再将球放回袋子中。

（1）会出现哪些可能的结果？（2）每种结果出现的可能性相同吗？它们的概率分别是多少？你是怎么得到概率的值？学生分组讨论，教师引导三、探究新知1、请大家观察前面的抛硬币、掷骰子和摸球游戏，它们有什么共同的特点？学生分组讨论，教师引导：（1）一次试验可能出现的结果是有限的；（2)每种结果出现的可能性相同。

《6・8余角和补角》教学设计一、教材分析本肖课是七年级上册第六章的内容•学生在此之前已经学习了角的度戢、角的和差等内容，需要学生进一步的探索对两角之间特殊数量关系•为角的和差运算以及角相等证明提供了一种方法，并能用于解决一些简单的实际问题•因此，本节课既是对之前内容的进一步延伸，又为后续直线相交、平行线的性质和判圧作铺垫，具有承前启后的重要作用.二、教学目标：1. 知识与技能目标：认识一个角的余角和补角，并会计算一个角的余角和补角：能利用三角板画一个角的余角和补角：理解并掌握余角和补角的性质左理，并能用于解决一些简单的实际问题.2. 方法与过程目标：通过实际动手作图，探索余角和补角的性质立理，感受类比的思想：初步体会演绎推理的方法和表述，提髙学生概括能力和识图能力.3. 态度和情感目标：让学生体会数学与生活的联系，初步认识余角和补角的意义和作用.根据不同需要选择合适的方法解决问题，并培养学生观察、分析、操作的能力.三、教学重难点教学重点：余角和补角的槪念和性质.教学难点：通过作图启发学生总结出余角的性质立理，以及应用余角和补角的性质进行说理.四、教学过程1. 创设情境，引入新知师：同学们，图片上的建筑物大家认识吗？生：认识，堤坝.师：图片上建筑物是为了防止水灾而修建的堤坝.根据具体的地理位置不同，堤坝的选材和倾斜的角度都是不同的•建筑完工后，堤坝的内部是实心的，那么此时我们如何检测堤坝的倾斜角呢？生：可以测量斜而和地而的夹角，利用这两个角的和为180°，计算倾斜角的大小.师：利用两角和为180°的数量关系，测得斜而和地面的夹角，就可以得到堤坝的倾斜角.我们今天学习的主要内容就是两角和为某个特殊角的数量关系.【设计意图】：通过实际问题如何测量堤坝的倾斜角引入主题，贴近生活，激发了学生解决问题的兴趣, 同时自然而然的体会到数学与实际生活的联系.2、问题引领，探索新知师：现在，同学们的手中都有一个直角，你能利用直尺画一条射线，将直角分成两个锐角吗？并用剪刀把它们剪开.师：大家觉得自己手中的两个锐角的度数存在什么关系？生：相加等于90°•师：为什么是90°?你怎么想的？生：因为可以拼成一个直角，直角是90°•师：是不是任意的两个锐角都可以拼成一个直角呢？学生纷纷摇头回答：不是.师：也就是说，这是一种特殊的数量关系.早在很久以前，我们的数学家也如我们的同学们一样，发现了这种特殊的数量关系•给它取名为“互余” •左义：如果两个锐角的和是一个宜角，我们就说这两个角互为余角，简称互余.英中一个角是另一个角的余角•例如，现在我们白板上有两个锐角，当Z1+Z2二90。

浙教版数学七年级上册6.8《余角和补角》教学设计一. 教材分析《余角和补角》是浙教版数学七年级上册第六章第八节的内容，主要介绍了余角和补角的概念、性质及其运用。

本节内容是在学生已经掌握了角的分类、垂线的性质等知识的基础上进行学习的，是进一步研究三角形的重要基础。

通过本节内容的学习，学生能够理解余角和补角的概念，掌握求解余角和补角的方法，并能运用余角和补角解决一些实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，但对于余角和补角这类抽象的概念，仍需要通过具体的实例和操作来加深理解。

学生在学习过程中，可能对余角和补角的求解方法容易混淆，需要在实践中不断巩固。

此外，学生对于实际问题的解决，还需要教师的引导和启发。

三. 教学目标1.知识与技能：理解余角和补角的概念，掌握求解余角和补角的方法，能够运用余角和补角解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：余角和补角的概念，求解余角和补角的方法。

2.难点：余角和补角的运用，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入余角和补角的概念，让学生在具体的情境中感受和理解。

2.合作学习法：引导学生进行小组讨论和合作，共同探究余角和补角的求解方法。

3.实践操作法：让学生通过实际的操作，加深对余角和补角的理解。

六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具：三角板、直尺、铅笔。

3.教学素材：生活实例、练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活实例，如在教室里的学生在座位上的角度关系，引导学生观察和思考。

提问：这些角度之间有什么关系？学生通过观察和思考，得出余角和补角的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，呈现余角和补角的概念及其性质。

6.8余角与补角（学案）课题余角与补角单元 6 学科数学年级七年级知识目标1. 在具体的情境中了解余角与补角的概念，理解余角与补角的性质.2. 通过具体图形的操作，认识余角、补角，培养学生的观察力，能把实际问题转化为数学问题，培养学生对数学的好奇心与求知欲.3. 会利用方程思想及图形求角，能理解同角(等角)的余角(补角)相等.重点难点重点：认识角的互余、互补关系.难点：余角、补角的性质及应用.教学过程知识链接如图，两堵墙围成一个角AOB,我们如何去测量这个角的大小呢？合作探究一、教材第163页观察图，∠1+∠2与Rt∠AOB相等，∠3+∠4与Rt∠AOB相等吗？你是怎样判断的？总结：互为余角：。

二、教材第163页观察图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？你是怎样判断的？总结：互为补角：。

三、教材第164页如图（a），∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？归纳：。

（2）如图(b),∠4与∠5互余，∠4与∠6互余,那么∠5与∠6的大小有什么关系？归纳：。

四、教材第164页例1、如图，已知∠AOC =∠BOD =Rt∠.指出图中还有哪些角相等，并说明理由.五、教材第165页例2、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.自主尝试 1.下列说法正确的是( )A.一个锐角的余角是一个锐角B.任何一个角都有余角C.若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余D.一个角的补角一定大于这个角2.若∠α=90°-m°,∠β=90°+m°,则∠α与∠β的关系是( )A.互补B.互余C.和为钝角D.和为周角3.如图,A,O,B三点在一条直线上,已知∠AOD=25°,∠COD=90°,则∠BOC的度数为()A.25°B.85°C.115°D.155°【方法宝典】根据角余角与补角的概念以及性质进行解题即可.当堂检测1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上．若∠B=∠ADE，则下列结论正确的是（）A．∠A和∠B互为补角 B．∠B和∠ADE互为补角C．∠A和∠ADE互为余角 D．∠AED和∠DEB互为余角2．如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．70°3.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使∠COD=90°,当∠AOC=30°时,∠BOD的大小是()A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°4.如图,已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°,则图中与∠BOC相等的角为_______,与∠BOC互补的角为_______,与∠BOC互余的角为________.5.∠1与∠2互余，∠1=38°12′，∠2=_____，∠2的补角等于_____.6.如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的关系是________.7. 如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是．8. 互余的两个角的度数之比为3∶7,则这两个角的度数分别是多少?9.如图，已知点O 是直线上一点，OC 是任一条射线，OD ，OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线.(1)请你直接写出图中∠BOD 的补角、∠BOE 的余角；(2)当∠BOE=25°时，试求∠DOE 和∠AOD 的度数分别是多少？10.如图，射线OC ，OD 在∠AOB 的内部，∠AOC=51∠AOB ，OD 平分∠BOC ，∠BOD 与∠AOC 互余，求∠AOB 的度数.11. 按如图所示的方法折纸,然后回答问题:(1)∠2是多少度的角?为什么?(2)∠1与∠3有何关系? (3)∠1与∠AEC ,∠3和∠BEF 分别有何关系?小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？参考答案： 当堂检测：1.C2.C3.D4. ∠DOE ； ∠AOD ；∠COD 和∠AOB5. 51°48′； 128°12′6. 互余7. ∠BOC8．设这两个角的度数分别为3x °,7x °,由题意,得3x °+7x °=90°,解得x °=9°,3x °=27°,7x °=63°.答:这两个角的度数分别是27°,63°.9.(1)∠DOB 的补角：∠AOD 、∠COD.∠BOE 的余角：∠AOD 、∠COD.(2)因为OE 平分∠BOC ，所以∠BOC=2∠BOE=50°.所以∠AOC=180°-∠BOC=130°.因为OD 平分∠AOC ，所以∠AOD=∠COD=21∠AOC=65°. 所以∠DOE=∠COD+∠COE=65°+25°=90°. 10.设∠AOC=x °.因为∠AOC=51∠AOB ， 所以∠AOB=5x °，∠BOC=4x °.因为OD 平分∠BOC ，所以∠BOD=21∠BOC=2x °. 因为∠BOD 与∠AOC 互余，所以2x+x=90.解得x=30.所以5x=150.答：∠AOB 的度数为150°.11. 解:(1)∠2=90°.因为折叠,则∠1与∠3的和与∠2相等,而这三个角加起来,正好是平角∠BEC , 所以∠2=×180°=90°.(2)因为∠1与∠3组成的大角和∠2相等,且三个角加起来恰好是一个平角, 所以∠1+∠3=90°.所以∠1与∠3互余.(3)因为∠1与∠AEC 的和为180°,∠3与∠BEF 的和为180°,所以∠1与∠AEC 互补,∠3与∠BEF 互补.。

《余角和补角》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是让学生：1. 理解余角和补角的定义及其性质。

2. 掌握余角和补角的判断方法。

3. 能够运用余角和补角的知识解决简单的实际问题。

二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 基础练习：通过大量的练习题，让学生熟悉余角和补角的定义及性质，如判断两个角是否为余角或补角，计算给定角的余角或补角等。

2. 理解深化：通过例题分析，让学生理解余角和补角在实际问题中的应用，如通过余角和补角解决角度相加的问题，以及在几何图形中利用余角和补角关系求解其他角度等。

3. 实践探究：设计一些与生活实际相关的题目，让学生运用所学知识解决实际问题，如利用余角关系计算梯形的角度等。

三、作业要求针对本课时的作业内容，提出以下要求：1. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案错误。

2. 独立思考：独立完成作业，不抄袭他人答案，培养自主解决问题的能力。

3. 规范答题：书写规范，步骤清晰，答案准确，符合题目要求。

4. 及时订正：对错题进行订正，并总结错误原因，避免再次犯错。

四、作业评价本课时的作业评价将从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否准确，是否符合题目要求。

2. 规范性：书写是否规范，步骤是否清晰。

3. 独立思考能力：是否能够独立思考，独立完成作业。

4. 订正情况：对错题是否及时订正，并总结错误原因。

五、作业反馈根据学生的作业情况，进行以下反馈：1. 对优秀作业进行表扬和展示，激励学生努力学习。

2. 对错题进行讲解和纠正，帮助学生找出错误原因并改正。

3. 根据学生普遍存在的问题，进行针对性的讲解和辅导。

4. 鼓励学生提出问题，对疑问进行解答和指导。

通过以上的作业反馈，能够及时纠正学生的错误，加深学生对余角和补角的理解，同时也能提高学生的自主学习和解决问题的能力。

综上所述，本课时的作业设计方案旨在通过基础练习、理解深化和实践探究三个方面的内容，让学生掌握余角和补角的定义及其性质，并能够运用所学知识解决实际问题。

七年级数学上册余角与补角余角和补角一、教学目标1．知识目标：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，理解互余与互补的角的性质2．能力目标：学会运用类比联想的思维方法思考，并初步学会用代数方法，(主要是列方程)解决几何问题.3．情感目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力。

二、教学重点及难点重点：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念.难点：余角和补角的性质.三、教学过程（一）创设情境，自然引入先观察如图，∠1+∠2与Rt ∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？再观察如图，∠α+∠β与∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？（让学生说出自己的方法：可以测量，也可以剪下来拼等等，学生的方法只要合理就应鼓励）（二）设问质疑，探究尝试教师用多媒体演示∠1+∠2与Rt ∠AOB 重合，再移动一角，问∠1+∠2与Rt ∠AOB 相等吗？同样∠α+∠β与∠AOB 重合，再移动一角，问∠α+∠β与∠AOB 相等吗？通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是90°，有时两个角的和是180°，也就是两个角之和正好成一直角，或两个角之和正好成一平角，在这种情况下，我们给出两个新的概念：1、互为余角定义：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．简称互余．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余．反之，因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°．2、互为补角定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．简称互补．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=180°，所以∠1与∠2互补．反之，因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°．（三）归纳总结，概括知识1、试举出互余、互补角的例子．1 2 A O B α βA O B2、30°与60°是互余的两角，能说30°是余角吗？(要特别向学生指出：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置的改变)3、若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角．解：35°35′35″的余角为90°-35°35′35″=54°24′25″．(在计算过程中将90°写为89°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便)35°35′35″的补角为180°-35°35′35″=144°24′25″．(在计算过程中将180°写为179°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便，也可以将35°35′35″的余角再加上90°就是35°35′35″的补角．)4、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC = Rt∠,OD是∠BOC内的一条射线。

深度学习的探究作者：张仕林来源：《电子乐园·上旬刊》2019年第01期摘要：课改推进的今天，围绕我们的课堂教学，不难发现偏于满堂灌的教学方式仍有“市场”，缺乏将问题升级至问题迁移、甚至创新.本文通过探究三种课型，从三个视角剖析引向“深度学习”的问题策略：“折”中探新知，留白思关联，于关键处引向“深度学习”;“变”中出好题，变化尽相通，于共同处引向“深度学习”;“解”中有妙法，本质得呈现，于多角度引向“深度学习”.并感悟“深度学习”课堂应用的三点启示：1精心引问，感悟简洁之美;2.细心探问，探究精彩生成;3.潜心悟问，提开思维空间.关键词：深度学习;数学模型;高阶思维一、“深度学习”的含义发展学生核心素养，势必聚焦“深度学习”，笔者认为的“深度学习”，包含了教师的“深度教”与学生的“深度学”.它旨在以学生学好课本知识为前提，教师以整合知识为手段，培育高阶思维为目的，以获得知识的“浅入深出”其中“创造”是高阶思维培养的最高层次，“深度学习”剂型辐射面广，包含新授课，复习课，讲评课.通过教师课前充足预设，课堂动态生成，欲达成“空中有实，以题生题，生中留痕”的深度课堂.本文由己之见抒已之感，试为引发“深度学习”起抛砖引玉之喻二、问题探究的策略1.“折”中探新知，留白思关联，于关键处引向“深度学习”荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳，骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的.”[1]所以我们的教学必须让学生通过活动、探究，经历知识的发生、发展的过程，才能提高学习效率，那种掐头去尾烧中断、摒弃学生自主活动过程中的教学方式，势必缩减学生认知效度.【案例1】在新授课“6.8余角和补角”（七年级上册）的课前引入环节中：【教师活动1】教师出示一张白纸，如图1，长方形ABCD，让学生谈谈你对它的认识.并给与充足时间，让学生在下面折纸，能在图中出现有特殊关系的一对角，巡视课堂，发现折法1：将纸沿虚线EF折叠，使得点C落在边AD上.【学生活动1】学生看到折纸活动，积极投入其中，并能说出线（直线，射线，线段）和角的相关知识.图2中学生发现存在特殊关系的一对角，如∠ACE+∠DCF=90°∠CFE+∠CEF=90°等【设计意图】理清思路，明白知识为何而来，知识的本质是什么，引发新识的学习浙教版七上前五章内容以代数为主，用文字和符号的方式呈现.第六章在此基础上，增加了从图形的角度审视问题.为此本课试从简单图形人手.以此培养学生的读图、作图、识图能力.为今后解题证明的条理书写奠定基础.【教师活动2】老师动手操作展示，如图2，将点c’继续沿A-D方向滑动，又有什么发现？这样的例子举得完吗？若举不完，该怎么办？【学生活动2】学生发现随着角度的改变，始终有：∠ACE+∠DC'F=90°∠CFE+∠CEF=90°等.【设计意图】通过学生实验获取感知，这种特殊关系的一对角是举不完的，于是“下定义”应运而生了，揭露研究几何的本质：变中不变_有助于学生构了建模思想和培养核心素养.摆脱了以往“概念课=枯燥”的惯性思维.【教师活动3】教师继续巡视课堂，展示折法2：若将长方形ABCD继续沿EF翻折，使得点C‘恰好与点A重合（如图b）（师生互动完成操作），请画出图形，并观察图形中角与角之间的关系.（学生们通过动手操作得到图3）.∠FCE+∠DCF=90°【学生活动3】观察图3，发现出互余的角有：∠DC'F=∠BCE ∠FC'E+∠BCE=90°等，对比两条式子，不难得出：【设计意图】通过活动1，2归纳出互余的概念，活动3的设置很好的研究了互余的性质：同角的余角相等.现象存在的“道”何在？实现道的策略为“折”，直观生动的向学生揭示了互余的性质.教师适当归纳出研究互余性质的通性通法.【教师活动4】巡视学生所折白纸，提示并发现还有无特殊折法，展示折纸过程（图4和图5），提出问题：图中会有哪些互余或者相等的角？【学生活动4】根据互余的定义可知：∠NEF+∠ENF=90°，∠MEF+∠EMF=90°.通过折叠展开的两个角相等易知：∠MEF=∠NEF，∠EMF=∠ENF.【设计意图】通过上述折纸，学生在体验中收获知识，揭示出互余的另一性质：等角的余角相等（本节课的难点），同时让学生明白折叠的本质是轴对称，总结出研究一个图形的方法和套路.【练习延伸】研究完概念和性质，接下来就是巩固新知，反馈练习阶段，教师继续出示下面这种折法（图6），你能找出互余的角吗？【设计意图】本课通过一张纸“无中生有”，“一折到底”，情境一以贯之地思考问题，达到各个环节聚点成线，学生能切身感知并深刻明确研究几何对象的流程为：概念一判定一性质，应用_为引向学生“深度学习”的问题探究指明了方向、提供了范本，教学中适时留白，于“折”的关键处，适时提问，引向深度课堂的构建在课堂中预留时间，让学生用类比方法自主探究互补环节，以助力培养知识迁移能力.z.“变”中出好题，变化尽相通，于共同处引向“深度学习”数学家波利亚曾深刻地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”[2]因此，如何用好典型题，并争取一题多得，以此加深知识体系的横纵联系，变得至關重要.【案例2】在九年级复习课中，通过一道课本习题，展示了一节主题为：“一图变化尽相通”的复习课.如图7，直线AB//CD，EF是割线，平分线EG、FG交于点G.【精彩提炼1】分解原图：【设计意图】几何学习难在读图、识图、画图、作图.本题揭示一些复杂图形都由基本图形演变而来的.在常态教学中要帮助学生学会运用、提炼、分解、构造、推广基本图形，要善于培养学生对图形的综合分析和逻辑推理能力，以实现深度课堂这一美好愿景.【精彩提炼1】补全原图：【设计意图】本题通过延长、连线、作垂线（平行线）等常见辅助线，得到了一些常见数学模型，在平时教学中多让学生经历识模、求模、用模、验模的过程，达到润物细无声，这也是深度学习开展的核心所在.【精彩提炼1】变形原图：【设计意图】当图形由特殊到一般：当AB不平行于CD，得到一些常用的结论：LG=90+1/2∠M（图12），∠G2=90-1/2∠A（图13），∠G1=1/2∠A（图14），∠EDF=1/2∠B=45°，EF=AE+CF（图15）等，可见模型中提炼常用结论，帮助学生加速解题速度，提升做题乐趣.精心选择和使用例子，一个好例子胜过一千次说教，本节复习课以一道课后练习，“双平一直角”基本模型为“根基”，进而展开了一系列分解、补全，变化，组合等复合变式，帮助学生提炼基本图形，复习基本模型，并得出一些基本结论真是一图一精彩，一变一世界.3.“解”中有妙法，本质得呈现，于多角度引向“深度学习”在前两个案例：新课和复习课中，研究引向深度学习问题策略的目的何在？当然是为了能高效解题.在任何时刻都不要认为自己解过的题解出来就够了当你看到了某些已知条件，想到了哪些基本性质和常见模型，最终得到了怎样的结论.并提炼出你的解题方法和解题过程，对向题方法作探究性的总结.【案例3】出示试卷上一道题：如图，∠BAC=∠BDC=90°，∠DAC=45°，证明：BD=CD.（用尽可能多的方法解答）.【思维角度1】从已知条件出发解1：看到45°联想到等腰直角三角形，以AD为直角边构造等腰直角DADP，得到ΔABD≌ΔPCD（ASA），从而得证两边相等.解2：看到45°联想到等腰直角三角形，以AD为斜边构造两个直角三角形，得到△BDM≌ΔCDN（ASA），从而得证两边相等.【设计意图】一题多解是美好愿景，多解归一才是终极追求解法2共有如下四种方法（图18），可以归为一类：图中四个颜色的直角三角形，从矩形MDHB和矩形DCCN中各取一个直角三角形，就组成为旁边四种方法.这才是“三垂”构图解题的本质，在教学中要逐步渗透.【思维角度2】从图形出发（1）从两直角出发：构造圆（图19）（2）从共斜边出发：斜边中线（图20）【思维角度3】从求证出发（1）绕AB翻折（图21）（2）绕点A旋转（图22）【设计意图】本题从几何变化，即动态的视角解决问题.让学生理解，解题套路或模式虽好，但那是优等生或已经通过专门训练达成，更希望同学们通过常见图形（定理、例习题的图形）的位置和数量关系，及特殊一般，强化弱化，定势迁移，因果循环等的变化中发现并自然适应，那才是最好的效果.四、前面的诸多解法可用一个示意图作探究性总结：本题采用一题多解，意图启发引导学生思考的多角度性.经历体验思考问题的过程中，更要帮助学生学会多解归一：深入问题本质，总结解题规律，形成较完整的知识网络体系.这道题目虽然比前面两个图形复杂一些，但难构之图必有妙趣之术，妙趣之术必有精妙之法，精妙之法必有模型积淀，模型积淀必有思维悟“道”.遵循道法自然.狠抓问题本质，才能提升做题能力.三、“深度学习”课堂应用启示1.精心引问，感受简洁之美静则思深，行则求远.“深度学习”要关注学生思考问题的深度、广度、关联度.教师创设情境时，要因势利导地给学生创设可参与性的学习环境.在潜移默化中，让他们发现问题，并自主地产生一些认知、操作等多方面连带问题.引导学生多问“为什么要学”，带领学生领略深度课堂的魅力.比如本文第一个案例中的新授课.通过课前、课中、课后引问，在关键处设置思考关卡：为什么要学互余这一概念？如何理解互余的性质？折叠的本质是什么？怎样自学互补的内容？在“折”中让学生学会梳理，学会归纳，学会迁移.同时追求学生学法顿悟，思维感悟，是之谓核心素养也.2.细心探问.探究精彩生成.英国著名数学家怀特海说过：“教育就在于使学生通过树木而见到森林.”[3]课前教师要刘课堂做充分的预设，上课多去追问探寻问题结果的分析方法，深度挖掘以题生题，显化学生思维过程，达到教学的减负高效比如本文第二个案例中的复习课，通过一道图形的简化或组合，开放式的探究了一类题型，从中提炼了基本图形、几何模型、隐含结论.看来模型真的能提高学习效率，那在教学中如何得当的运用模型，笔者认为可用孔子的“叩其两端”理论来释义：分析问题的来龙去脉（始终、本末），搭建一座模型与本质联系的桥梁.切不可太过神化，这正符合培养学生建模思维和核心素養的教育宗旨.3.潜心悟问，提升思维空间章建跃博士曾说过：“限制课堂容量，放慢教学节奏，给学生“悟”的时间，给学生说出自己想法的机会.”[3]那在问题解决后，如何从横向的发散到纵向的挖掘，回顾解题的共性，能对数学问题深层次的理解.我们可以试着多问：主要困难在哪儿？解题过程有什么值得探讨的？体现了什么数学思想方法？哪些方法最简洁方便？慢慢的体会理解数学知识的三重境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然.由此悟得思维之“道”.例如本文中的第三个案例中的讲评课，从解法上进行提炼分析，可以在课后让学生比较各种解法的优劣，挖掘解法的通性通法，达到解一题通百题，并鼓励学生写一些反思小文章，能迅速提升学生的思维层次.总之，本文通过三个案例：学习新知时充分预设、自然生成，有了新的认知.复习旧知时突破定势、多方联系，有了新的题目.试卷讲评要感悟解法、提炼本质，有了新的解法.“闲引微泉”抬高眼，着眼核心进课堂.教无定法，引向“深度学习”的课例探究，还要基于学情作进一步研讨和开发.希望通过本文投下一粒“问题”的种子，收获一片“思考”的森林，共同将我们的课堂引向“深处”，行向远方.参考文献[1]卜以楼.让复习课留下一串串生长节[M].中学数学月刊：中旬，2013（11）：4-6.[2]郭华.深度学习及其意义[M].课程教材教法第36卷第11期.[3]张俊.基于案例分析的初中数学几何基本图形教学探索[M].兵团教育学院学报2015年第2期.[4]刘华为.回归本源，透过现象看本质[M]中学数学杂志2017年第10期.。

53 6.8 余角和补角
班级某某学号
（一）我预学
1、如果两个锐角的和是，则这两个角互为余角，
如果两个角的和是，则这两个角互为补角。

2、若∠α=50º，则它的余角是度，它的补角是度。

3、32º的余角为 ，120º的补角是
（二）我达标
4、、137º45’的补角是
5、若∠β=110º，则它的补角是，它的补角的余角是 。

6、若∠1与∠2互余，∠3和∠2互补，且∠3=120º，那么∠1= 。

7、若一个角的度数为X ，则它的余角度数为，补角度数为
8、如图，∠AOD=∠DOB=∠COE=90º，其中共有互余的角
( ） A 、2对 B 、3对 C 、4对 D 、6对
9、已知一个角的余角比它的补角的4/9还少6º，求这个角。

10、已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角。

（三）我巩固
11、已知互余两个角的差是30º，求这两个角的度数？
O
E
D
C
B
A
12、如图，∠AOC=∠BOD=90º，∠AOD=130º，求∠BOC 的度数。

（四）我攀登
13、如图，O 是直线AB 上的一点，OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线，
（1）图中互余的角有几对？
（2）图中互补的角有几对？
D
C
B
A O N
M C B O A。

余角和补角教学设计作为一名教学工作者，就不得不需要编写教学设计，借助教学设计可以提高教学质量，收到预期的教学效果。

那么什么样的教学设计才是好的呢？下面是小编帮大家整理的余角和补角教学设计，欢迎大家分享。

余角和补角教学设计1教学目标1、在具体情境中认识余角和补角的概念，并会运用解题;2、经历观察、操作、探究、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力;3、体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的信心。

教学重点与难点1、教学重点：互为余角、互为补角的概念;2、教学难点：应用方程的思想解决有关余角和补角的问题。

教学准备多媒体课件、纸板、三角尺教学过程一、情境引入1、带领同学们领略意大利的比萨斜塔的壮观景象，并思考：斜塔与地面所成的角度和它与竖直方向所成的角度相加为多少度?(课件演示)2、(动手操作1)拿出一个直角纸板，将直角剪成两个角，∠1和∠2，问：∠1和∠2的和为多少度呢?∠1+∠2=90o，我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互余，其中∠1叫做∠2的余角，∠2叫做∠1的余角。

请同学们根据老师的演示试着说出余角的定义。

(设计意图：通过比萨斜塔的现实情境和剪纸这一实际操作引出余角概念，既调起学生的兴趣，又直观易懂。

)二、新知探究1、余角的定义：如果两个角的和为90o(直角)，我们就称这两个角互为余角，简称互余。

2、(动手操作2)(1)拿出和的两个角的纸板拼成一个直角，问：“这两个角互余吗?”把其中一个角移开，“这两个角还互余吗?”注意事项1：两角互余只与度数有关，与位置无关。

继续提问：直角三角板的和的两个角互为余角吗?老师在前面黑板上画一个的角，班长在后面黑板上画一个的角，这两个角互为余角吗?(2)拿出一个直角纸板，将其剪成三个角，分别标上∠1、∠2、∠3，问：“∠1、∠2、∠3是互为余角吗?为什么?”注意事项2：互余是两角间的关系。

(设计意图：余角的两个注意事项，通过举例、现场操作，让学生说出错误观点，然后以纠错的方法得出，让学生的印象更为深刻。

运用数学思想计算角度的大小数学思想和方法是基础知识的重要组成部分，它揭示了基础知识的精神实质，是数学知识的精髓和灵魂，是研究和解决数学问题的金钥匙，通过对数学思想和方法的学习和运用，有利于提高同学们的数学素养。

现就如何运用数学思想，计算角度大小略举几例，供同学们参考：一、化归思想例1、如图，∠AOB=∠COD=900，OC 是∠AOB 的平分线，OE 是∠BOD 的三等分线，试求∠COE 的度数解析：化归思想的实质就是转化，即复杂向简单转化，未知向已知转化，一般向特殊转化，… …，观察图形，∠COE=∠BOC+∠BOE，从而求∠COE 的度数转化为求∠BOC和∠BOE 的度数，∠AOB =900，OC 是∠AOB 的平分线，故∠BOC=21∠AOB=00459021=⨯ ∠BOD=∠COD -∠BOC=900-450=450，OE 是∠BOD 的三等分线， 则∠DOE=31∠BOD=00154531=⨯，得∠BOE=∠BOD -∠DOE=450-150=300， 所以∠COE=∠BOC+∠BOE=450+300=750二、整体思想例2、如图，OC 、OE 分别是∠AOD、∠BOD 的三等分线，已知∠AOB=1500，求∠COE 的度数解析：整体思想就是将某些部分之和看成一个整体来求解 观察图形，∠COE=∠COD+∠DOE，∠COD=32∠AOD，∠DOE=32∠BOD， 而∠AOD、∠BOD 的大小不确定，从而无法单独求出∠COD 和∠DOE 的大小这时可将∠COD+∠DOE 看成一个整体，则∠COE=∠COD+∠DOE =32∠AOD+32∠BOD=32（∠AOD+∠BOD）=32∠AOB=0010015032=⨯ 三、方程思想例3、如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD 平分∠AOB，且∠COD=180，求∠AOC 的度数解析：此题比较复杂，难以理清角度之间的关系，而通过设未知数，寻找等量关系，运用方程知识，则问题可迅捷获解设∠AOC 的度数为x ，则∠BOC 的度数为2x ，∠AOB 的度数为3x ，∠AOD 的度数为21∠AOB 的度数等于x 23，根据∠AOD -∠AOC=∠COD， 得到方程1823=-x x ，解得36=x ，即∠AOC 的度数为360 四、分类思想例4、已知：∠BOC 在∠AOB 的外部，OE 平分∠AOB，OF 平分∠BOC，OD 平分∠AOC，∠AOE=300，∠BOD=200，试求∠COF 的度数解析：当题目中没有给出具体的图形，而根据题设又有可能出现多种情况，就应不遗漏、不重复的分情况加以讨论，这种思想称为分类思想。

余角与补角学案姓名____________一、学习目标1•通过操作、类比，学习余角、补角的概念；2. 总结余角和补角的性质，理解并利用余角和补角的知识解决角度计算问题。

二、探究余角和补角的概念活动内容：探究余角和补角的概念活动要求：1 •独立思考2. 小组交流分享3. 小组合作展示活动规则：1 •小组展示知识正确.表达清楚（+1）2•其他同学认真倾听、补充质疑（+1）【活动1］折一折将一张长方形纸片，沿一个角折叠后,折痕与长方形的边形成了4个角。

思考：1. Z1与Z2有什么数量关系？2. Z3与Z4有什么数量关系？比一比（1）如果两个数的和等于0,那么这两个数称为互为相反数，也可以说其中一个数是另一个数的相反数.（2妆口果两个数的积等于1,那么这两个数称为互为倒数，也可以说英中一个数是另一个数的倒数.比较“互为相反数”和“互为倒数”槪念，根据前而发现的结果，请你类似地概括出一句话如果______ 角的和等于_________ ,我们称这两个角 ___________ ,简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.如果______ 角的和等于__________ ,我们称这两个角____________ ,简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.数学语言：若Zl + Z2=90°,则Z1与Z2 ______________ ,反之，若Z1与Z2互为余角，则Zl+Z2= _____ ° :若Z3+Z4=180°,则Z3与Z4 _____________ ,反之，若Z3与Z4互为补角，则Z3+Z4= ______ °。

填一填：Za Za的余角Za的补角7°36°78°64° 27rx° (0<A<90)观察可得结论：锐角。

的余角可表示为________________锐角o的补角可表示为______________________锐角的补角比它的余角大___________ >三、探究余角和补角的性质【活动2】猜一猜如图，Z1+Z2=Z2+Z3=9O° ,试猜想Z1与Z3的大小关系？你可得到： ____________________如图，Zl + Z2=Z3+Z4=90°，且Z2=Z4.试猜想Z1与Z3之间的关系？你可得到： _______________________如图，Z1 + Z2=Z2+Z3=18O°，试猜想Z1与Z3之间的关系？你可得到：如图，Zl+Z2=Z3+Z4=180°，且Z2=Z4,试猜想Z1与Z3之间的关系？你可得到： _______________________推理说明：等角的补角相等.9Zl+Z2=180° , Z3+Z4=180°,那么Z3二Z4c如果Zl= Z3,解：余角和补角的性质^(1) ______________________ ; (2) _______________________________数学语言：(1)若Z1与Z2互余，Z2与Z3互余，则______________ = ______ ,根据是___________________________ :(2)若Z3与Z4互补，Z6与Z5互补，且Z3=Z6.则_______________根据是___________________________ >四、知识运用例1如图，久0、B在同一直线上，射线0D和射线0E分别平分ZAOC和ZBOC, 图中哪些角互为余角？例2若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。

学案 6.8 余角和补角班级姓名【我们要掌握的】1.如果两个锐角的和是一个，则这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的 .如果两个角的和是一个，则这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的 .2.余角和补角的性质：或的余角相等. 或的补角相等.3.[2009·福州]已知∠1=30°，则∠l的余角度数是 ( )A.160°B.150°C.700°D.60°4.若∠a=60°，那么∠a的补角是°.5.如图，∠AOC=∠BOD=90°，图中相等的角是，依据的是 .【我们要完成的】例1、如图，点0为直线AB上一点，∠AOC=90°，0D是∠BOC内的一条射线，图中有哪几对角互补?哪几对角互余?经过这个题目，你有什么收获强化训练1、如图，∠AOD=∠BOD=LCOE=90°，找出图中互补和互余的角，和∠BOE相等的角是哪个?例2、一个锐角的余角是这个角的四分之一，则这个锐角是多少度?强化训练2、已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10度，求这个角的补角的度数.随堂自测一、选择题1.已知∠a=35°，则∠a的余角的度数是 ( )A.55°B.45°C.145°D.135°2.如图，直线AB，CD相交于点0，因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2的依据是 ( )A.同角的余角相等B.等角的余角相等C.同角的补角相等D.等角的补角相等3.如图，射线OA表示的方向是 ( )A.西北方向B.东南方向C.西偏南30°D.南偏西30°4.如图，已知直线AB，CD相交于点0，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是( )A.35°B.55°C.70°D.110°二、填空题5.已知∠A与∠B互余，若∠A=70°，则∠B的度数为 .6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足.请写出图中一对相等的锐角： .(只需写出一对即可).7.一个角的补角比这个角大90°，则这个角等于°.8.如图，由点B观测A的方向是 .三、解答题9.如下图，∠DOB为平角，∠AOC为直角，∠AOD=20°，则∠COD的补角是多少度?10.已知两角之比为7 ：3，它们的差为72°，求这两个角的度数.它们之间有什么关系?1.如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=130°，则图中互余的角共有 ( )A.5对B.4对C.3对D.2对2.若∠A 与∠C 互余，∠A 与∠B 互补，则∠C 和∠B 的关系是A.互补B.互余C. ∠C-∠B=90°D. ∠8-∠C=90°3.∠l ，∠2互为补角，且∠1>∠2，则∠2的余角是( ) A.21(∠1+∠2) B.21∠1 C.21 (∠1-∠2) D.21∠2 4.如图，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转41周. (1)指针所指的方向为(2)图中互余的角有 对，与∠BOC 互补的角有 ，相等的角有5.如图，把长方形的一角折叠，得到折痕EF ，已知∠EFB=35°，求∠BFC 的度数.6.如图，A ，B ，C 三点分别代表邮局，医院，学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中A 点应是 ，B 点应是 ，C 点应是 .【中考链接】1.如果∠a 和∠b 互补，且∠a >∠b ，则下列表示∠b 的余角的式子中：①90°-∠b ；②∠a-90°；③21(∠a+∠b)；④21(∠a-∠b).正确的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2.已知∠A=75°，则∠A 的余角的度数是 .参考答案：1.D2.D3.C4.(1)北偏西40°(2)4∠BOE ∠AOD5.110°6.邮局医院学校【中考链接】1.B2.15°。

晋城十中 七年级数学 主备人： 赵翠兰 使用时间 班级 姓名二、重点：互余、互补定义及它们的性质难点：用上述知识解决相关问题 导入新课 三、自主学习(一)阅读教材152页，试着填一填，你一定能做到的！1.①如果两个角的和等于（ ），就说这两个角互为余角。

符号语言：如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为 。

反之：如果∠α与∠β互为余角，那么∠α+∠β= 。

②如果两个角的和等于（ ），就说这两个角互为补角。

符号语言：如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为 。

反之：如果∠α与∠β互为补角，那么∠α+∠β= 。

四、合作探究展示提升 （一）我能行.试一试：你最棒！独立完成后小组内交流 1.填空结论：同一个锐角的补角比它的余角大 2. 判断1）90°的角叫余角，180°的角叫补角。

（ ）2）若∠1+∠2+∠3=90°，那么∠1 ∠2、∠3互为余角。

（ ） 3）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余。

（ ） 4）若∠ AOB 与∠ BOC 互补，则A 、O 、C 同在一直线上。

（ ） 5）一个角的补角一定是钝角（ ）6）两个角互补，那么这两个角中一个是锐角，一个是钝角。

（ ）（二）我是最棒的1、(1) 已知∠α，请利用三角板分别画∠α的余角和补角，你有何发现？αα余角的性质：。

补角的性质：。

2、∠1=120 °，∠1与∠2互补，∠3与∠2互余，则∠3= . 3、若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=____°,依据是_______晋城十中 七年级数学 主备人： 赵翠兰 使用时间 班级 姓名4、如图1： O 为直线AB 上的一点，OC 平分∠AOB ，∠DOE = 90 °，回答问题: （1）写出图中所有的直角___________________ （2）图中相等的角有___________________（3）写出图中∠ 2所有的余角___________________ （4）写出图中∠ 1所有的余角___________________ （5）图中有与∠ 3互补的角吗？___________________ （6）图中有与∠ 2互补的角吗？___________________图1 图25、如图2: OE 平分∠AOC ，OD 平分∠COB ，则∠EOD=__ ,∠2的余角为___ , ∠2的补角为______ ___。