2020高考数学(理)考前题型增分特训：解答题专项8 Word版含解析

2020 届全国高考数学增分练高考展望卷（一）本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每个小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设会合 A＝ { y|y＝log3x,0<x≤9} ，B＝{ x|2 019x>1} ，则 A∩B＝()A ．(0,2)B．(0,2]C．(－∞， 2]D．R分析会合 A＝{ y|y＝ log3x,0<x≤9} ＝{ y|y≤2} ，x∴A∩ B＝ { x|0<x≤ 2} ＝(0,2] ．应选 B.答案 B2．设复数 z1， z2在复平面内对应的点对于虚轴对称，且z1＝1＋ i，则 z1z2＝()A ．－ 1＋ i B．2C．－ 2D．－ 1－ i分析因为两个复数对应的点对于虚轴对称，所以两个复数的实部互为相反数且虚部同样，所以复数 z2＝－ 1＋i ，z1z2＝(1＋ i)( －1＋i) ＝－ 2，应选 C.答案 C3.如图， A、B、C 是单位圆上的三平分点，以下说法错误的选项是()→→→＝－ (OB＋OC)A. OA→→B.OA 与 BO的夹角为 120°→→→C.OA ⊥ (OB－OC )→→ 1在 OB上的投影为－D. OA2分析对于 A ，由平行四边形法例可知→ → →→OB＋ OC＝ AO＝－ OA，正确；→→→→→→ →→ →－1－1对于 C，OA·－OC ＝·－OA·＝1×1×－1×1×＝ 0，正确；(OB ) OA OB OC2 2→→ 1对于 D，OA在 OB上的投影为－2，正确，应选 B.答案 B．数列n 的前n 项和 n 2＋n，若 b n＝－n，则 n 的最小值为()4 { a } S ＝n (n 5)a bA ．－25B．－ 12 25C．－ 8 D．－2分析当 n＝ 1 时， a1＝，2当 n≥2 时， a n＝S n－S n－1＝ n2＋n－(n－ 1)2－(n－ 1)＝2n，当 n＝1 时明显合适上式，所以 a n＝2n， n∈ N*，所以 b n＝ (n－5)a n＝ 2n(n－5)．5令 f(x)＝2x(x－ 5)，易知对称轴为 x＝2，所以 b n的最小值为2＝ 3 ＝－应选b b 12. B.答案 B5．已知 p：x≤m，q：4 <1，假如 p 是 q 的充分不用要条件，则实数 m 的取值范围是 ()x＋1A ．[2 ，＋∞ ) B．(2，＋∞ )C．(－∞，－ 1] D．(－∞，－ 1)分析设 A＝{ x|x≤m} ，B＝ x4<1 ＝{ x|x<－1 或 x>3} ．∵ p 是 q 的充分不用要条件，x＋1∴A B，∴ m<－1，∴实数 m 的取值范围是 (－∞，－ 1)．应选 D.答案 D6．从 6 人中选出 4 人参加数学、物理、化学、生物比赛，每人只好参加此中一项，每项比赛一定有人参加，此中甲、乙两人都仅能参加化学比赛，其余 4 人四项比赛都能参加，则不一样的参赛方案的种数为 ()A ．48 B．72C．144 D．480分析分红两类：(1) 甲乙均不参加比赛：共有4种状况；A4＝24(2) 甲乙有且只有一人参加比赛：共有 1 3 种状况．C A ＝ 482 4∴不一样的参赛方案共有24＋48＝72 种．应选 B.答案B7．以下图的程序框图的输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填 ()A ．x<88?B ．x ≤89?C ．x<89?D ．x ≤88?分析因为 cos 21°＋cos 22°＋ ＋cos 289°＝ 44(cos 21°＋cos 289°)＋ cos 245°＝ 44(cos 21°＋sin 21°)＋cos 245°＝44.5，所以 x ≤89.答案B18．已知数列 { a n } 中，a 1＝ 1，a 2＝ 3，a 3＝7，且{ a n ＋1－a n } 成等比数列，则知足不等式 1＋a n－ 1 ≥λ的实数 λ的最大值是 ( )1＋a n ＋ 1 1＋a n ＋2A ．2B ．3C ．5D ．6分析 由 a 2－ 1＝ ， 3－ 2＝ ，得公比 ＝ ，所以n ＋1－ n ＝ 2－ n － 1 ＝ n1 · 2.a 2 a a 4 q 2 a a (a a ) 2所以 a n ＝ 1＋ 2－ 1 ＋3－ 2 ＋ ＋ n － n － 1 ＝ ＋ ＋ 2 n －1 n＋ ＋ 2 ＝2 － 1.a (a a ) (a a ) (a a ) 1 2 2进而，由不等式 1 1 ≥ λ 1 1 λ－ 1＋ a，得 n － n ＋1≥ n ＋ 2，即 λ≤2.则 λ的最大值是 2. 1＋a 1＋a 2 2 2 2nn ＋ 1 n ＋ 答案 A9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3 ，那么这个正三棱柱的体积是 ()A ．12 3B ．23C ．6 3D ．48 3分析 由4πR 3＝4π，得球的半径 R ＝1，3 3∴正三棱柱的高等于球的直径，即 h ＝2R ＝2.设三棱柱的底面边长为 a ，13则 3× 2 a ＝1，∴ a ＝2 3，3∴该正三棱柱的体积 V ＝ 4 ×(2 3)2×2＝6 3，应选 C.答案 Cπ7π 10．已知函数 f(x)＝ 4sin(ωx＋φ) ω>0，－ 2<φ<0 的部分图像以下图，此中 A 12，2 ，13πB 12 ，－ 2 ，则函数 f(x)的单一递减区间为 ()7π 5πA. 6 ＋ k π， 3 ＋k π(k ∈Z) 5π 13πB.3 ＋ k π， 6 ＋k π(k ∈ Z)11π17πC. 12 ＋k π， 12 ＋k π(k ∈Z) 17π 23πD. 12 ＋k π， 12 ＋k π(k ∈Z)依题意， T ＝ 13π 7π π2 π 7π 7π 分析，解得 ω＝2.因为 f＝4sin＋ φ＝2，12 － ＝ ，所以 T ＝π＝ 12 6 2 12 2 ω所以 sin 7π 1，所以 7π π 7π 5π6 ＋φ＝ 6 ＋φ＝ ＋2n π(n ∈ Z)或 6 ＋φ＝ 6 ＋ 2n π(n ∈ Z)，解得 φ＝－ π＋2n π(n2 6π π π π π∈Z)或 φ＝－ ＋2n π(n ∈ Z)．因为－ φ ，所以 φ＝－ ，所以 f(x)＝4sin 2x － 3.令 ＋ 2k π<2x< <0π 3π5π 11π－ 3 < 2 ＋ 2k π(k ∈ Z) ，解得 12＋ k π<x 12 ＋ k π(k ∈ Z) ．所以函数 f(x) 的单一递减区间为 5π 11π12＋k π， 12 ＋ k π(k ∈ Z)．因为函数 f(x) 的最小正周期为 π，所以选项 D 切合题意．应选 D.答案 Dx 2 y 211．设 F 1，F 2 是双曲线 a 2－b 2＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点→ → → ＝0(O 为坐标原点 )，且 |PF 1 ＝ 2 ，则双曲线的离心率为＋ OF 2·23|PF ( )P ，使 (OP ) F P | |A. 2＋1 B ． 2＋12C. 3＋1D ． 3＋12分析 取 PF 2 的中点 ，则由 →→ →→ →→→ 在△1 2＋OF 2 ·2 ＝ 0，得 2OA ·2 ＝0，即OA ⊥F 2A (OP) F PF PP. PF F中，OA 为△ PF 1F 2 的中位线，所以 PF 1⊥PF 2，所以12＋|PF 2 2＝(2c)2又由双曲线定义知1|PF ||.|PF | － |PF 2 ＝，而1 ＝2 ，所以2 ＝ ，所以－ ＝ ，解得 ＝＋ 应选D.| 2a |PF | 3|PF||PF | c( 3 1)c 2a e 3 1.答案Dx12．已知函数 f(x)＝|x|e，对于 x 的方程 f 2(x)－2af(x)＋ a － 1＝ 0(a ∈ R)有 3 个相异的实数根，则 a 的取值范围是 ()2－12－1e，＋∞B ．－∞，eA.2e － 12e －1C. 0，e 2－1D ．e 2－1 2e －12e － 1e xx ， x>0，e x x －1分析 f(x)＝e x当 x>0 时， f ′(x)＝ x 2，当 0<x<1 时， f ′ (x)<0，函数－ x ，x<0，单一递减，当 x>1 时， f ′ (x)>0，函数单一递加，当 x ＝ 1 时，函数获得极小值 f(1)＝e.e x x －1当 x <0 时，′＝－，函数单一递加，x>0如图，画出函数的图像，设 t ＝ f(x)，当 t>e 时， t ＝ f(x)有 3 个根，当 t ＝ e 时， t ＝f(x)有 2 个实根，当 0<t<e 时， t ＝f(x)有 1 个实根，考虑到原方程的鉴别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋ a － 1＝ 0 有 2 个相异实根，此中 t 1 ＝ ， 2∈ (0 ， 或 1≤ ， 2 ，当 2－ 2ae ＋a －1＝0，解得e t e) t 0 t >et ＝e 时，ee 2－1 02－2a ×0＋a －1≤0，a ＝ 2e －1，查验知足条件；由 t 1≤0，t 2>e 得 e 2－ 2ae ＋a －1<0， 无解．应选 D.答案D第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分． 第 13～ 21 题为必考题，每个试题考生一定作答． 第 22～23 题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13．已知 l ， m 是平面 α外的两条不一样直线，给出以下三个论断：① l ⊥m ；② m ∥α；③ l ⊥α.以此中的两个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题： ________.分析 此题考察空间直线和平面间的地点关系．当 l ⊥m ，m ∥α时， l 与 α不必定垂直，可能订交，也可能平行；当 l ⊥m ， l ⊥α时， m ∥α；当 m ∥α，l ⊥α时， l ⊥m ，综上可知，正确命题是若 l ⊥m ，l ⊥α，则 m ∥α.或若 m ∥α，l ⊥α，则 l ⊥m.答案 若 l ⊥ m ， l ⊥α，则 m ∥α(答案不独一 )14．某公司对 2018 年 1－4 月份的赢利状况进行了数据统计，以下表所示：月份 x 1 2 3 4收益 y/万元13.55.58利用回归剖析思想，展望出 2018 年 12 月份的收益约为 23.5 万元，则 y 对于 x 的线性回归方程为 ________．^^^ ^^ → →＋a ，分析4.5＝2.5b设线性回归方程为 y ＝ b＋ ，∵ x ＝2.5， y ＝4.5，∴由题意得x a^^23.5＝12b ＋a ，^ ＝－ 0.5，^a解得∴线性回归方程为 y ＝2x －0.5.^ ＝2， b答案^ y ＝2x － 0.515．在 (1－ x ＋x 2)(1＋x)7 的睁开式中， x 4 的系数为 ________．分析7 的睁开式的通项公式为 T r ＋1＝ r r4的系数为 43 22(1＋ x)7·，所以xC 7－C 7＋7＝C 7＝21.C xC答案 2116．若直线 l 交抛物线 y 2＝4x 于 A 、B 两点，△OAB 内有一点 M(6,2)知足 S △ AOM ∶S △BOM ∶△ AMB＝1∶2∶3，则直线 l 的斜率为 ________．S分析解法一：设点 A ，B 到直线 OM 的距离分别为 d A ， B ，直线OM 交直线AB 于点Q ，则|QA|＝ d A ＝S＝1? S △ AMQ ＝1 d△ AMB ＝S △AOM ，故 M 为 OQ 的中点，所以 Q(12,4)．设 A(x 1 ， △AOM 3S|QB| d B S △BOM 2→→ 12－ x 2＝2 x 1－12 ，x 2＝36－ 2x 1， 21 2 2＝ 2QA?所以＝2，并结2 1 2 1 代入 y 2 y )，B(x ，y )，则BQ4x4－y ＝2 y － 4 ，y ＝12－ 2y .2x 1＝16， x 1＝0， 1Q8－41 解得或 不合题意，舍去 ．故直线的斜率 ＝ y－y＝合 y 1＝4x ( l 1y 1＝8 y 1＝0 )kQx－x 16－12＝1.解法二：设 A(x 1， 1 ， 2， 2 ，则 →＝(x 1－ ， 1 － 2) ， →＝(x 2 － ， 2－ 2) ，又 → ＝y ) B(x y ) MA 6 y MB6 y MO － ，－ ，所以由奔驰定理，得 → → → → → →( 6 2) MA ·S S S22x 1＝16， x 2＝4， 故求得 k AB ＝ ，即直2x 1＋x 2－ 36＝0，把 x 1＝y 1，x 2＝ y 2代入解得0?44y 1＝8，y 2＝－ 4.12y 1 ＋y 2－ 12＝0.线 l 的斜率为 1.结论拓展→→→奔驰定理：已知 O 为△ ABC 内一点，则有 OA ·△OBC ＋OB ·△ OAC ＋OC ·△OAB ＝SSS 0.答案 1三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～ 21 题为必考题，每个试题考生都一定作答．第22、 23 题为选考题，考生依据要求作答．(一)必考题：共 60 分17．(12 分)已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a 1 ＝m ，a n ＋1＝S n ＋2.(1)求 m 的值；若 n a n ，n 为奇数，(2) ＝求 b 1＋ 2＋ ＋ n 的值．b b blog 2a n ＋1，n 为偶数，分析(1)由 a n ＋ 1＝S n ＋2，得 a n ＝S n － 1＋ 2(n ≥2)，∴ a n ＋1－a n ＝ S n －S n － 1＝a n ，∴ a n ＋ 1＝ 2a n (n ≥ 2)．又 a 2＝ 1＋ ＝ ＋ ， n 是等比数列，∴m ＋ 2＝ 2，∴ m ＝2.(4 分)S 2 m 2 { a } mnn，∴ b n ＝ 2n， n 为奇数，(2)由(1)得， a ＝ 2 n ＋1，n 为偶数，令 b 1＋ 2＋ ＋ n ＝ n ，则b b TT 2k 1 2 2k 1 3 2k －1 2 4 2k1＋23＋ ＋22k －1＋(3＋＝b ＋ b ＋ ＋ b ＝ (b ＋b ＋ ＋b )＋ (b ＋b ＋ ＋b )＝ 21－4k 22 k 25＋ ＋2k ＋ 1)＝2·＋ k＋2k ＝ (4 －1)＋k ＋ 2k.(7 分)1－43∴当 n 为偶数时， T n ＝ 2 n －1)＋ n 2 n 2nn22 分3(422 ＋ 2·＝ · ＋ 4 ＋ n －3.(8 )2 3 2T 2k －1＝T 2k2k2 k －1)＋ k 2＋2k － (2k ＋ 1)＝2·k ＋k 2－ 5－b ＝3(4 3 43.2 n ＋1 n ＋ 1 2 5 4 n ＋ n 2n 17∴ n 为奇数时， T n＝ · 2 ＋ 2－ ＝ 4 ＋ － 12.(10 分 )343 3·222 n n 22 故 b 1＋ b 2＋ ＋ n ＝ 3·2 ＋ 4 ＋ n － 3， n 为偶数，(12 分 )b 4 n n 2 n 173·2 ＋ 4 ＋ 2－12，n 为奇数 .18．(12 分 )某公司对现有设施进行了改造，为了认识设施改造后的成效，现从设施改造前后生产的大批产品中各抽取了100 件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，不然视为不合格品．以下图是设施改造前的样本的频次散布直方图，下表是设施改造后的样本的频数散布表．页8第质量指标值频数[10,20) 2[20,30)18[30,40)48[40,50)14[50,60)16[60,70) 2表 1设施改造后样本的频数散布表(1)达成下边的 2× 2 列联表，并判断能否有 99%的掌握以为该公司生产的这类产品的质量指标值与设施改造相关：设施改造前设施改造后共计合格品不合格品共计(2)依据图 1 和表 1 供给的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设施的好坏进行比较；(3)公司将不合格品所有销毁后，依据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180 元；质量指标值落在 [20,30)或 [40,50)内的定为二等品，每件售价 150 元；其余的合格品定为三等品，每件售价120 元．依据频数散布表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频次取代从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的花费为X(单位：元 )，求X的散布列和数学希望．附：P(K2≥ k0)0.150 0.100 0.050 0.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K 2＝n ad－ bc 2a＋b c＋ d a＋c b＋ d分析(1)依据图 1 和表 1 获得 2×2 列联表：设施改造前设施改造后共计合格品86 96 182不合格品14 4 18共计100 100 200(1 分) 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算得：2＝n ad－bc 2K ＝a＋b c＋d a＋ c b＋ d200× 86×4－96×14 2 5 000182×18×100×100 ＝819 ≈ 6.105.(3分)∵6.105<6.635，∴没有 99%的掌握以为该公司生产的产品的质量指标值与设施改造相关．(4 分)(2)依据图 1 和表 1 可知，设施改造前的产品为合格品的概率约为86＝43，设施改造后产100 5096 24品为合格品的概率约为100＝25；明显设施改造后产品合格率更高，所以，改造后的设施更优． (6 分)(3)由表 1 知：1 1一等品的频次为2，即从所有合格产品中随机抽到一件一等品的概率为2；1 1二等品的频次为3，即从所有合格产品中随机抽到一件二等品的概率为3；1 1三等品的概率为6，即从所有合格产品中随机抽到一件三等品的概率为6.(7 分) 由已知得：随机变量 X 的取值为： 240,270,300,330,360.(8分)1 1 1，P(X＝ 240)＝×＝6 6361 1 1 1P(X＝ 270)＝C2 × × ＝，3 6 91 1 1 1 1 5P(X＝ 300)＝C2 × × ＋× ＝，1 1 1 1P(X＝ 330)＝C2× ×＝，2 3 31 1 1P(X＝ 360)＝×＝ .2 2 4∴随机变量 X 的散布列为：X 240 270 300 330 360P1 1 5 1 136 9 18 3 4(10 分)1151 1∴E(X)＝240×＋ 270×＋300×＋ 330×＋360×＝320.(12 分 )369183419.(12 分)如图，在几何体 ABCD-A′B′C′ D ′中，四边形 ABCD 是边长为 2 2的正方形，四边形 A′B′ C′ D′是平行四边形， AA′⊥平面 ABCD，AA′∥ BB′∥ CC′∥ DD′，DD′＝ 4，BB′＝ 1， M 是线段 CC′上一点，且 CM＝1，AM∥平面 A′B′ C′ D′.(1)求线段 AA′的长；(2)求直线 DD ′与平面 A′ D′B 所成角的正弦值．分析 (1)设 AA′＝ x，连结 A′C′，则由 AM∥平面 A′B′ C′ D′，平面 AMC′A′∩平面 A′ B′C′D′＝ A′ C′，得 AM∥A′C′，所以四边形 A′ C′ MA 是平行四边形，则C′M＝x，C′ C＝ x＋ 1.连结 B′D′交 A′C′于点 O′，连结 AC，BD 交于点 O，连结 OO′，则 OO′为梯形BB′ D′ D 的中位线，得 2OO′＝5.又易知 OO′为梯形 A′C′CA 的中位线，所以 x＋x＋1＝2OO′＝5，得 x＝ 2，即线段 AA′的长为 2.(5 分 )(2)解法一：延伸D′A′， DA 交于点 Q，由 AA′＝ 2，D′ D＝4，得 AA′是△ QD′D 的中位线．连结 BQ，则 AO 为△ DQB 的中位线， AO∥BQ，所以 BQ⊥BD，又DD ′∥AA′， AA′⊥平面 ABCD，所以 BQ⊥ D′D，所以 BQ⊥平面 BDD ′ B′，所以平面 BQD′⊥平面 BDD′ .作 DH ⊥BD′于点 H，则 DH ⊥平面 BQD′，∠ DD′B 即所求线面角．由 DB＝DD ′＝4，得∠ DD ′B＝45°，则直线 DD ′与平面 A′D′ B 所成角的正弦值为22 .(12 分)→→→解法二：以点 D 为坐标原点， DA， DC， DD ′的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，成立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，A′ (2 2，0,2)，D′ (0,0,4)，B(2 2，2→→2，0)，A′ D′＝(－2 2，0,2)，A′ B→＝(0,2 2，－ 2)， D′D＝(0,0，－ 4)．→－ 2 2a＋2c＝0，m·A′D′＝ 0，设平面 A′ D′ B 的法向量为 m＝(a，b，c)，则→所以2 2b－ 2c＝0.＝0，·′m A B令 a＝1，则 m＝(1,1， 2)为平面 A′D′B 的一个法向量． (9 分)→→2故直线 DD′与平面 A′D′B 所成角的正弦值为m·D′D|cos〈m，D′D〉|＝→＝2 .(12|m| |D·′ D|分)x2y220．(12 分)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝2x＋3 相切，点 P 在椭圆 C 上， |PF1|＝ 2，∠ F1PF2＝60°.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l ：y＝ kx＋m 与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，且 3x1x2＋ 4y1y2＝ 0，试求△AOB 的面积 (O 为坐标原点 )．分析(1)依题意有 b＝3＝3，∴ b2＝3. 2＋1由|PF1|＝2 及椭圆的定义得 |PF2|＝2a－2.由|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1| ·|PF 2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，得 a2－3a＋3＝c2.又a2－c2＝ b2＝3，解得 c＝1， a＝ 2.x2y2故椭圆的方程为4＋3＝1.(4 分)x 2 y 2 (2)联立4 ＋3＝ 1， 化简可得 (3＋ 4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， y ＝kx ＋m ，则 ＝64k 2m 2－16(3＋ 4k 2)(m 2 －3)＝48(3＋4k 2－m 2)>0，即 3＋4k 2－m 2>0，又 x 1＋x 2＝－8km2，x 1x 2＝2－34 m2 ，(6 分)3＋4k3＋ 4k3m 2－12k 2所以 y 1y 2＝ (kx 1 ＋m)(kx 2＋ m)＝k 2x 1x 2＋ km(x 1＋x 2)＋ m 2＝ 3＋4k 2.由 3x 1 2＋2 －32 －12k2分1 2＝ ，得×4 m2＋ 4×3m2 ＝ 0，即 2m 2＝ 3＋ 4k 2)x4y y 03 3＋4k3＋ 4k.(8|AB| ＝ ＋ 2|x 1 － 2| ＝＋ 2 ·1＋ 2 2－4x 1 2 ＝ ＋ 2 ·48 3＋4k 2－m 2＝ 1 k x1 kx x x1 k3＋4k 2 2＋2· 12|m| ＝ m 22，点 O 到 AB 的距离 d ＝2 ＋ 2，(10 分)1km1＋k k1所以 S △ AOB ＝ 1·· ＝1· ＋ 2· 12m 2 ＝ 3，故三角形 AOB 的面积为 3.(12 分)2 d |AB| 21 km2·1＋k 2．(12 分) 已知函数2x－ae x －xex≥ ，e 为自然对数的底数 ) ，若f(x) ≥0 对于x21f(x)＝ ae(a 0∈R 恒成立．(1)务实数 a 的值；ln 2 11(2)证明： f(x)存在独一极大值点 x 0，且 2e ＋4e 2≤f(x 0)<4.分析(1)由 f(x)＝ e x (ae x －a －x)≥0 可得 g(x)＝ ae x －a －x ≥0.∵ g(0)＝0，∴ g(x)≥ g(0)，∴ x ＝0 是 g(x)的一个极小值点，∵ g ′ (x)＝ae x －1，∴ g ′ (0)＝a －1＝0? a ＝1.(2 分)当 a ＝1 时， g(x)＝e x －1－x ，g ′(x)＝ e x－1，∵ x ∈(－∞， 0)，g ′(x)<0，g(x)在 (－∞ ，0)上单一递减；x ∈(0，＋ ∞)，g ′(x)>0，g(x)在(0，＋ ∞)上单一递加；∴ g(x)≥g(0)＝0，∴ a ＝ 1.(4 分)(2)当 a ＝1 时， f(x)＝e 2x －e x －xe x ，f ′ (x)＝e x (2e x － x － 2)．令 h(x)＝2e x －x －2，则 h ′ (x)＝ 2e x －1，∵ x ∈(－∞，－ ln 2) ，h ′(x)<0，h(x)在(－∞，－ ln 2) 上为减函数；x ∈(－ln 2，＋ ∞)， h ′ (x)>0， h(x)在(－ln 2，＋ ∞)上为增函数，∵ h(x)在(－ ∞，－ ln 2)上为减函数， ∴ x ∈(－∞， x 0)时 h(x)>0，即 f ′ (x)>0， f(x)在(－ ∞，x 0)上为增函数；x ∈(x 0，－ ln 2) 时， h(x)<0，即 f ′ (x)<0， f(x)在(x 0，－ ln 2)上为减函数．∴ f(x)在 (－∞ ，－ ln 2) 上只有一个极大值点 x 0 ，(7 分)因为 h(0)＝ 0，且 h(x)在 (－ ln 2，＋ ∞)上为增函数，∴ x ∈(－ln 2,0)时， h(x)<0，即 f ′ (x)<0， f(x)在(－ ln 2,0)上为减函数；x ∈(0，＋ ∞)时， h(x)>0，即 f ′ (x)>0， f(x)在(0，＋ ∞)上为增函数．∴ f(x)在 (－ln 2，＋ ∞)上只有一个极小值点 0.(8 分 )综上可知， f(x)存在独一的极大值点 x 0，且 x 0∈(－2，－ 1)． (9 分)∵ h(x 0)＝0，∴ 2ex 0－x 0－ 2＝ 0，x 0＋2x 0＋22 ＋2x 0∴ f(x 0 ) ＝ e2x 0－ex 0－ 0 0＝2x 0 ，x 0∈ － ，－ ， 分)－x ex22 (x ＋1)＝－4( 21) (10∵ x ∈(－2，－ 1)时，－ x 2 ＋2x 114 <4，∴ f(x )<4.∵ ln 1∈(－2，－ 1)，∴ f(x 0 ) ≥ f ln 1 ＝ln 2＋ 122e2e2e 4e.ln 211综上知， 2e ＋4e 2≤f(x 0)<4.(12 分)(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22．(10 分)选修 4－ 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x ＝1＋4t ， (t 是参数 )，以坐标原点为极点，y ＝1＋3tx 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ 3＋sin 2θ＝2 3. (1)写出 C 的直角坐标方程；(2)已知点 P(1,1)，直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，求 ||PA|－|PB||的值． 分析2 θ＝ 222 θ＝(1)ρ 3＋sin2 ρ＋ρ123? 3sin2 22x ＋ y＝ρ，x 2 y 2化简可得 C 的直角坐标方程为 4 ＋ 3 ＝1.(4 分)3(2)由 l 的参数方程可得直线 l 过点 P(1,1)，且直线 l 的斜率是 4，所以过点 P(1,1)的直线 l4x ＝1＋5t ，的参数方程为(t 是参数 )，3y ＝1＋5t4x ＝1＋5t ，x 2 y 2 将3(t 是参数 )代入 4 ＋3 ＝1，y ＝1＋5t整理得 84t 2＋240t － 125＝0，20t 1＋t 2＝－ 7 ，设 A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则125t 1t 2＝－ 84 ，20所以 ||PA|－|PB||＝|t 1＋t 2|＝ 7 .(10 分)23．(10 分)选修 4－ 5：不等式选讲已知函数 f(x)＝|x －a|－|2x －1|(1)当 a ＝2 时，解不等式 f(x)≥ 1；1(2)求证： f(x)≤ a －2 .分析(1)当 a ＝2 时， f(x)＝|x －2|－ |2x －1|.1所以 x<2， 或2－x －1＋2x ≥1，1≤x ≤ 2， x>2， 2或2－x － 2x ＋1≥1，x －2－2x ＋1≥1，22解得 0≤x ≤3，所以当 a ＝2 时，不等式 f(x)≥1 的解集为 x 0≤x ≤3 .(5 分)(2)证明： f(x)＝|x －a|－|2x －1|1＝ |x － a|－2 x －21≤ |a－ x|－ x－21 1≤a－ x ＋ x－2 ＝ a－2 .(10 分)。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项3时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，则∁R A ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：由题意，得∁R A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}，故选A. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z (2＋i)＝3＋2i ，则下列结论正确的是( ) A ．z 的共轭复数为85－15iB ．z 的虚部为－15C ．z 在复平面内对应的点在第二象限D ．|z |＝95解析：因为复数z (2＋i)＝3＋2i ，所以z ＝3＋2i 2＋i ＝(3＋2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝8＋i5，由此可得z ＝8＋i 5，选项A 错误；因为z ＝8－i 5，所以z 的虚部为－15，选项B 正确；z在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫85，－15，在第四象限，选项C 错误；|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－152＝6525＝655，选项D 错误，故选B. 答案：B3．已知向量AB →＝(1,2)，AC →＝(－3,1)，则AB →·BC →＝( ) A ．6 B ．－6 C ．－1D ．1解析：∵AB→＝(1,2)，AC →＝(－3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－1)，∴AB →·BC →＝1×(－4)＋2×(－1)＝－6，故选B.答案：B4．下列函数既是奇函数，又在[－1,1]上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|sin x | B ．f (x )＝lne －x e ＋xC ．f (x )＝12(e x －e －x )D ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )解析：对于选项A ，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )，f (x )为偶函数，排除A.对于选项B ，f (－x )＝ln e ＋xe －x ＝－ln e －xe ＋x ＝－f (x )，f (x )为奇函数，且f (x )＝ln e －xe ＋x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2e e ＋x ，易知其在[－1,1]上为减函数，排除B.对于选项C ，f (－x )＝12(e －x－e x )＝－12(e x －e －x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．又y ＝e x 与y ＝－e －x 在[－1,1]上均为增函数，所以f (x )＝12(e x －e －x )在[－1,1]上为增函数，满足条件．对于选项D ，f (－x )＋f (x )＝ln(x 2＋1＋x )＋ln(x 2＋1－x )＝ln1＝0，即f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．又f (0)＝0，f (1)＝ln(2－1)＜0＝f (0)，不满足f (x )在[－1,1]上为增函数，排除D.综上可知，选C.答案：C5．已知(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中，x 3系数为56，则实数a 的值为( ) A ．6或－1 B ．－1或4 C ．6或5D ．4或5解析：因为(x ＋1)6(ax －1)2＝(x ＋1)6(a 2x 2－2ax ＋1)，所以(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中x 3系数是C 36－2a ·C 46＋C 56a 2＝6a 2－30a ＋20，∴6a 2－30a ＋20＝56，解得a ＝6或－1，故选A.答案：A6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与圆x 2＋y 2－6y＋5＝0相切，则双曲线C 的离心率为( )A.32 B.23 C.62D.94 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即±bx －ay ＝0，圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0化为标准方程是x 2＋(y －3)2＝4，若渐近线与此圆相切，则3aa 2＋b 2＝3ac＝2，则e ＝c a ＝32，故选A.答案：A7．如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为( )A．42π2B．22π2C．52π2D．4π2解析：沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC，所以AC＝3π，展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h，则AC2＝AB2＋h2，即9π2＝π2＋h2，得h＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2，故选A.答案：A8．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是( )A．S＝2，即5个数据的方差为2B．S＝2，即5个数据的标准差为2C．S＝10，即5个数据的方差为10D．S＝10，即5个数据的标准差为10解析：由程序框图知：算法的功能是求S ＝(x 1－20)2＋(x 2－20)2＋…＋(x i －20)2的值，∵跳出循环的i 值为5，∴输出S ＝15×[(18－20)2＋(19－20)2＋(20－20)2＋(21－20)2＋(22－20)2]＝15×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，故选A.答案：A9．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p ＋2是素数，素数对(p ，p ＋2)称孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是( )A.115 B.215 C.245 D.445 解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数为(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为P ＝4C 210＝445，故选D. 答案：D10．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位后得到y ＝g (x )的图象，则下列命题中不正确的是( )A ．函数y ＝g (x )图象的两条相邻对称轴之间距离为π2B ．函数y ＝g (x )图象关于x ＝11π12对称C ．函数y ＝g (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π24，0对称D ．函数y ＝g (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，5π12内为减函数解析：由题可知，函数f (x )的最小正周期为π，其中ω>0，所以ω＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π4个单位后得到g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，对于A 项，函数g (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π2，故A 项正确．对于选项B ，令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，可得函数g (x )的对称轴为x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝2，x ＝11π12，故B 项正确．对于C 项，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，可得函数g (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋k π2，0(k ∈Z )，此时7π24不满足π6＋k π2，故C 项错误．对于选项D 项，由k π≤2x ＋π6≤(k ＋1)π(k ∈Z )，解得k π2－π12≤x ≤5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ≥0时，函数g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，5π12，故D 项正确．故选C.答案：C11．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2AD ，E 是DD 1的中点，BF ＝C 1K ＝14AB ，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线A 1D 1所成角的正切值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：延长KE，交CD延长线于点M，延长KF，交CB延长线于点N，连结MN，则MN是过点E、F、K的平面与平面ABCD的交线l，∵A1D1∥CN，∴∠MNC是直线l与直线A1D1所成角(或所成角的补角)，设AB＝AA1＝2AD＝2，∵E是DD1的中点，BF＝C1K＝14AB，∴DE＝1，BF＝C1K＝14AB＝12，∵CK＝32，∴MDMC＝DECK，NBNC＝BFCK，即MDMD＋2＝132，NBNB＋1＝1232，解得MD＝4，NB＝1 2，∴MC＝4＋2＝6，CN＝3 2，∴tan ∠MNC ＝MC NC＝632＝4， ∴直线l 与直线A 1D 1所成角的正切值为4，故选D. 答案：D12．对任意m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 2，都存在x 1，x 2(x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2)，使得ax 1－＝ax 2－＝m ln m －m ，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( )A ．(e 2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，e 2)D ．(0,1)解析：由题意可知，对任意m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 2关于x 的方程ax －e x ＝m ln m －m 总有两个不相等的实数根．令f (m )＝m ln m －m ，m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 2，则f ′(m )＝ln m ＋1－1＝ln m ，当m ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1e ，1时，f ′(m )＜0，当m ∈(1，e 2]时，f ′(m )＞0，所以f (m )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e 2]上单调递增，所以f (m )min ＝f (1)＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＝1e ln 1e －1e ＝－2e ，f (e 2)＝e 2ln e 2－e 2＝e 2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＞－1，所以f (m )的值域为[－1，e 2]，则所求问题转化为ax －e x ＝k (k ∈[－1，e 2])至少有两个实数根，即e x ＝ax －k (k ∈[－1，e 2])至少有两个实数根．考查临界情况：当k ＝e 2时，直线y ＝ax －e 2与指数函数y ＝e x 相切．由y ＝e x 得y ′＝e x ，设切点为(x 0，)，则切线斜率，y 的切线方程为y －＝(x －x 0)，切线过点(0，－e 2)，得－e 2－＝(0－x 0)，即e 2＋＝x，显然方程e 2＋＝x的根为x 0＝2，此时切线的斜率k ＝e 2，如图．由图可知，当切线的斜率a ＞e 2时，方程k ＝ax －e 2有两个不相等的实数根，所以a ＞e 2，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝13，则cos2α＋cos α＝________.解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝13，得cos α＝13，所以cos2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cosα＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132－1＋13＝－49.答案：－4914．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x ＜3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，若f (m )＝－6，则f (m －61)＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x ＜3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，f (m )＝－6，∴当m ＜3时，f (m )＝3m －2－5＝－6，无解；当m ≥3时，f (m )＝－log 2(m ＋1)＝－6， 解得m ＝63，∴f (m －61)＝f (2)＝32－2－5＝－4. 答案：－415．已知两圆x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析：由题意得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，∴4a 2＋b 2＝3，∴4a 2＋b 2＝9， ∴1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2＋1b 2×4a 2＋b 29＝59＋b 29a 2＋4a 29b 2≥59＋49＝1，当且仅当b 29a 2＝4a 29b 2时，等号成立，∴1a 2＋1b2的最小值为1.答案：116．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，点M 与F 关于坐标原点O 对称，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，使得AB ⊥BM ，又A 点在x 轴上的投影为C ，则|AF |＋|AC |－|BF |－|BC |＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于一般的抛物线方程y 2＝2px 和过焦点的直线方程x ＝my ＋p2，联立直线方程与抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，则x 1x 2＝1，又AB ⊥BM ，得B 在以MF 为直径的圆上，故x22＋y22＝1，而y22＝4x2，得1－x22＝y22＝4x2，又|AF|－|BF|＝1＋x1－(1＋x2)＝x1－x2＝1x2－x2＝1－x22x2＝4x2x2＝4.由1－x22＝4x2，可得x2＝5－2(负值舍去)，则x1＝1x2＝5＋2，从而可得A(5＋2,25＋2)，B(5－2，－25－2)，注意到C(5＋2,0)，可得|AC|2－|BC|2＝4(5＋2)－[42＋4(5－2)]＝0，则|AC|－|BC|＝0，故|AF|＋|AC|－|BF|－|BC|＝4.答案：4。

2020年高考全国卷考前冲刺演练精品密卷ⅱ数学（理）试题一、单选题1．复数()2121i z i +=+的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】先将复数()2121i z i +=+进行化简，然后求出共轭复数，再判断对应点所在象限. 【详解】 ()()()()21212422121125i i i i z i i i +-+===++-， 4255z i ∴=-. 故选：D ．【点睛】本题考查复数的除法运算，复数在复平面上对应的点的坐标，属于基础题. 2．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2|680,A x x x x Z =-+≤∈，则U A =（ ） A ．{}2,3,4B ．{}1,5,6C ．{}4,5,6D ．{}1,2,3【答案】B 【解析】解一元二次不等式并用列举法表示出集合A ，即可求得U A .【详解】 {}{}{}2|680,|24,2,3,4A x x x x Z x x x Z =-+≤∈=≤≤∈=，则{}U 1,5,6A =.故选：B【点睛】本题考查集合的补集运算，涉及一元二次不等式，属于基础题. 3．某校高二学生在一次学业水平合格考试的数学模拟测试中的成绩服从正态分布()274,7N ，若该校高二学生有1000人参加这次测试，则估计其中成绩少于60分的人数约为（ ）参考数据：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=．A ．23B ．28C ．68D ．95【答案】A【解析】根据题意，结合参考数据，根据正态分布的概率求解，即可容易求得结果.【详解】由()220.9544P Z μσμσ-<<+=，得 ()()7414600.9544P X P X -<<74+14=<<88=，所以()()()1601600.02282P X P X P X ⎡⎤<=≥88=-<<88=⎣⎦， 从而成绩少于60分的人数约为10000.022822.823⨯=≈（人），故选：A ．【点睛】本题考查正态分布中3σ原则的使用，属基础题.4．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，则向量2a b +与b 的夹角是（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】D【解析】由向量的坐标运算求得向量2a b +，再运用向量的数量积的坐标运算求得()20a b b +⋅=，可得选项.【详解】因为()21,3a b +=，()()213310a b b +⋅=⨯+⨯-=，所以向量2a b +与b 的夹角是90︒.故选：D ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示 ，属于基础题.5．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若m β⊥，αβ⊥，则//m αC ．若//αβ．m γα=，n γβ=，则//m n D ．若m αβ=，n ⊂α，m n ⊥，则n β⊥【答案】C【解析】根据面面平行、线面平行、线线平行以及线面垂直的判定，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断.【详解】因//m α，//m β，α与β可以相交，故A 错；因m 可能在α内，故B 错；因α与β不垂直时，n 与β不垂直，故D 错；根据面面平行的性质，即可由面面平行得到线线平行，故C 正确；故选：C ．【点睛】被难题考查面面平行、线面平行、线线平行以及线面垂直的判定，属综合基础题.6．函数()224,02,4,20x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨---≤≤⎪⎩的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性，再根据02x <≤时，()0f x ≥，可得答案.【详解】设20x -≤<，则02x <-≤，从而()()24f x x x f x -=--=；设02x <≤，则20x -≤-<，从而()(()2244f x x x x x f x -=---=-=； 又()()00f f -=．综上，对于22x -≤≤，都有()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则可排除A 和B ； 又当02x <≤时，()0f x ≥，则可排除D ．故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.7．已知抛物线C :()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 和B 是C 上的两个动点，且AF AB ⊥，30ABF ∠=︒，设线段AB 的中点M 在l 上的射影为点N ，则MNAB=（ ） A ．12 BC ．1 D【答案】B【解析】根据题意，设=AF a ，得到2FB a =，AB =，设A ，B 在l 上的射影分别为点1A ，1B ， 根据抛物线定义，以及梯形的性质，即可得出结果.【详解】如图，在直角三角形ABF 中，因为AF AB ⊥，30ABF ∠=︒， 设=AF a ，则2FB a =，AB =；设A ，B 在l 上的射影分别为点1A ，1B ， 则11232A BB AF BF MN A a a a +=+=+==，32MN a =，所以3aM AB N ==故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，属于常考题型.8．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，并且()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，则ω的最小值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】由题意，3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，可得61,k k Z ω=+∈.由0>ω，可得k ∈N .对k 进行赋值，结合函数()f x 的单调性，即得答案.【详解】 由题意，3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，2362k ωππππ∴+=+，即61,k k Z ω=+∈． 0ω>，k ∴∈N ．当0k =时，1ω=，()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符合题意； 当1k =时，7ω=，()sin 76f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭符合题意. ω∴的最小值为7. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性，属于基础题.9．已知双曲线C :()222210,0x y b a b α-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 的右支上的一点，1PF 与y 轴交于M 点，且2PM PF =，290MPF ∠=︒．设C 的离心率为e ，则2e =（ ）A ．322+B ．()212+C ．22+D ．222+ 【答案】C 【解析】利用双曲线定义，结合已知条件，列出方程，求得22c a，则问题得解. 【详解】根据题意，作图如下：设2PM PF n ==，则122MF MF n ==；在直角12PF F △中，2221221F F PF PF =+， 解得2222c +=， 又()12122a PF PF =-=， 所以22222c e a== 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义的应用，注意数形结合，属基础题. 10．某公司圆满完成年初制定的生产目标，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定召开年终总结联欢晚会，在联欢晚会上准备举行一个抽奖游戏，规定：每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张面值均为40元，则每位员工所获得的奖励额的数学期望是（ ）A ．80元B ．100元C ．120元D ．140元【答案】B【解析】设每位员工所获得的奖励额为X ，则X 的所有可能取值为80，120，根据古典概率公式求得随机变量每一个取值的概率，再由期望公式可得选项.【详解】设每位员工所获得的奖励额为X ，则X 的所有可能取值为80，120，则()23241802C P X C ===，()11312411202C C P X C ===， 所以员工所获得的奖励额的数学期望为()118012010022E X =⨯+⨯=（元）． 故选：B .【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BA BC =，90PBC ∠=︒，2PA =，若三棱锥P ABC -的体积为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．18πB ．24πC ．36πD ．40π 【答案】D【解析】取PC 的中点O ，由题目分析可知球心位于O 点，根据题目中的几何条件解出底面边长BA ，AC ，然后求解球体的半径，得出外接球表面积.【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥；又BC PB ⊥，PA PB P =，所以BC ⊥平面PAB ，从而BC AB ⊥，所以AC 是ABC 外接圆的直径．设PC 的中点为O ，在直角PAC 中，有OA OP OC ==；在直角PBC 中，有OP OC OB ==，所以O 是三棱锥P ABC -外接球的球心．由三棱锥P ABC -的体积为6得：2111112633233ABC S PA AB BC AB BC AB ⨯=⨯⨯⨯=⨯==△， 此时218AB =，236AC =，所以22240PC PB AC =+=，从而三棱锥外接球的半径为10=R ，所以外接球的表面积为2440R ππ=， 故选：D ．【点睛】本题考查与球体结合的相关计算问题，考查椎体的外接球半径计算，难度一般.解答时，要根据题目条件确定出球心位置是解题的关键. 12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若23sin c b A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（ ）A ．332B ．332+C ．23D ．23【答案】D【解析】根据余弦定理和23sin c b A =得222212sin 223sin cos a b A b b b A A =+-⋅，进而得2274323a A b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可得答案.【详解】解：由余弦定理，得2222cos a c b b A =+-，结合23sin c b A =，得222212sin 223sin cos a b A b b b A A =+-⋅，解得22212sin 1232a A A b=+-， 即2274323a A b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当12A π=时，222max (23)743b a ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭． max max ()23b aλ==+.故选：D ．【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.二、填空题 13．若x 、y 满足约束条件0,2,0,x y x y -≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为______．【答案】6．【解析】首先根据题意画出可行域，再根据z 的几何意义即可得到答案.【详解】满足约束条件的可行域如图所示：由2z x y =+，得到2y x z =-+，z 表示直线2y x z =-+的y 轴截距.当直线2y x z =-+过()2,2A 时，z 取得最大值，max 2226z =⨯+=.故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.14．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的终边与单位圆221x y +=交于点43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点P 沿单位圆绕原点O 按逆时针方向旋转90α+︒，得到点Q ，则点Q 的纵坐标为______．【答案】725【解析】根据三角函数的定义，以及二倍角公式，即可求出结果.【详解】 由题意得，4cos 5α=，3sin 5α=， 将点P 沿单位圆绕原点O 按逆时针方向旋转90α+︒，得到点Q ，则290α+︒是以OQ 为终边的角，则点Q 的纵坐标为()2167sin 290cos 22cos 1212525ααα+︒==-=⨯-=． 故答案为：725. 【点睛】 本题主要考查三角函数的定义的应用，涉及二倍角公式与诱导公式，属于基础题型. 15．古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此，分子是1的分数叫做埃及分数（也称为单位分数），如18，115，124，1100等都是埃及分数．现从12，13，14，15，…，120这19个分数中，找出3个不同的分数，使它们的和为12，则这3个分数的分母从小到大可以依次是______．（只写出一种情形即可）【答案】4，6，12．（答案不唯一）【解析】假设这三个分数的分母分别为x ，y ，z ()+,,x y z N ∈，若11112x y z ++=成立，则这三个数不能都小于16，取其中一个数为16，利用方程思想解出另外两数即可. 【详解】 设11112x y z ++=（2x y <<，x ，y ，z *∈N ），三个分数的和为12，平均值为16，三个分数不能都小于16（否则三个分数的和小于12），所以至少有一个是16，或15，或14，或13，若6x =，则1113y z +=，从而4y =，12z =；同理可得4，5，20；3，9，18；3，10，15等．【点睛】本题考查合情推理，属于基础题，只需要根据题目意思列出满足题目条件的方程组求解即可.三、双空题16．已知函数()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是______；若不等式()1x x a f x x+>-≥对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】1y x =- []0,1．【解析】由题意结合导数的几何意义、直线的点斜式方程即可得切线方程；易得1y x x =+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交，再作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，数形结合即可得解.【详解】由题意()10f =，()21ln xf x x-'=，()11f '=， 所以曲线1ln xy x-=在点()1,0处的切线方程为1y x =-； 由1y x x x=+>，且随着x 的增加，1x x +与x 的取值不断接近，所以1y x x=+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交； 令()()ln 1x h x x x =--，则()221ln x x h x x--'=， 当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，结合()10h =可得()0h x ≥即ln 1xx x≥-， 在坐标系中作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，如图所示，由图可知，曲线y x a =-的最低点(),0a 必须在以()0,0和()1,0为端点的线段上运动，所以01a ≤≤，故a 的取值范围是[]0,1．故答案为：1y x =-；[]0,1. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及作函数图象，考查了函数图象的应用及数形结合思想，属于中档题.四、解答题17．已知公比为正数的等比数列{}n a 的首项12a =，且满足()12343n n n a a a n --=+≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2k ≠，则4S ，2k S +，2k S 是否成等差数列？并说明理由． 【答案】（1）212n na -=；（2）不能，理由见解析.【解析】（1）设公比为q （0q >），代入已知条件可求出q 的值，从而求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据题意求出数列{}n b 以及前n 项和n s ，判断4222k k S S S ++-是否为0，可得出结果. 【详解】解：（1）设公比为q （0q >），则22n n a q a -=，12n n a qa --=， 代入1234n n n a a a --=+，得222224n n n q a qa a ---=+，因为20n a -≠，得2340q q --=，结合0q >，解得4q =． 又12a =，所以数列{}n a 的通项公式为：121242n n n a --=⨯=.（2）2log 21n n b a n ==-，则数列{}n b 是以1为首项、2为公差的等差数列， 所以()2122n n n S n n -=+⨯=．()()()22224222422222k k S S S k k k ++-=+-+=-，若2k ≠，则()2220k ->，即4222k k S S S ++>，所以，若2k ≠，则4S ，2k S +，2k S 不能组成等差数列． 【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查数列基本量的运算，考查等差数列的定义，考查学生的计算能力，属于中档题.18．市场调查员在当地一个水果批发市场收集了某短季节性水果自从上市以来，连续第x 天每公斤的销售价格y （单位：元）的一组数据，得到如下统计表：（1）根据表中和题后所给出的统计数据，求y 关于x 的线性回归方程；（2）设第x 天的销售量P （单位：吨）与x 近似地满足：0.2510.5P x =+，试预测：该产品投放市场第几天的销售收入最高？附：①对于一组数据（1u ，1v ），（2u ，2v ），…，（n u ，n v ），其回归直线ˆˆv u βα=+的斜率和截距的最小二乘估衣计分别为()()()121ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． ②参考统计量：9.7+9.6+9.5+9.5+8.8+8.6+8.6+8.5+82=81，()92160i i x x =-=∑，()()9112iii x x yy =--=-∑．【答案】（1）0.210y x =-+；（2）第4天.【解析】（1）先计算,x y 的平均数，再利用公式，结合已知数据，即可求得结果； （2）根据（1）中所求方程，建立销售收入与天数之间的函数关系，即可求得结果. 【详解】（1）设y 与x 的线性回归方程为ˆˆˆybx a =+， 12345678959x ++++++++==，8199y ==，()()()9192112ˆ0.260iii i i x x y y bx x ==---===--∑∑， ˆˆ90.2510ay bx =-=+⨯= 所以y 与x 的线性回归方程为0.210y x =-+．（2）设第x 天的销售收入为()Q x 元，对应的销售量0.2510.5x +吨， 即为()10000.2510.5x +公斤则()()()()210000.2510.50.210504105800Q x x x x =+-+=--+，当4x =时，()()max 4105800Q x Q ==．所以该产品投放市场第4天的销售收入最高，且最高可达105800元． 【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解，以及用回归方程对总体进行估计，属综合基础题. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥上底面ABCD ，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，4AB =．（1）在棱PD 上是否存在点E ，使得//PB 平面EAC ？并说明理由． （2）若E 为棱PD 的中点，求二面角C AE D --的余弦值． 【答案】（1）存在，理由见解析；（2）1111. 【解析】（1）E 为PD 中点时满足题意，根据线线平行，即可证明；（2）以AD 中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得平面的法向量，即可求得夹角的余弦值. 【详解】（1）当E 为PD 的中点时，//PB 平面EAC ，证明如下 连结AC ，BD 相交于点F ，因为F 为BD 的中点，E 为PD 的中点， 所以//EF PB ，又PB ⊄平面EAC ，EF ⊂平面EAC ， 所以//PB 平面EAC ．所以在棱PD 上存在PD 的中点E ，使得//PB 平面EAC ．（2）取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ， 则OP AD ⊥，OM AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，所以OP ⊥平面ABCD ，即OM ，OD ，OP 两两垂直.以OM ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：()002P ,,，()0,2,0A -，()4,2,0C ，()0,1,1E ．因为OM OD ⊥，OM OP ⊥， 所以OM ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量为1n ()1,0,0OM ==；()0,3,1AE =，()4,4,0AC =，设平面PAC 的法向量为2n ()222,,x y z =，则111130,440,y z x y +=⎧⎨+=⎩取1x =，可得2n ()1,1,3=-．故cos 21122111cos ,11n n n n n n ⋅=== 故二面角C AE D --的平面角的余弦值为1111．【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角的求解，涉及空间向量的应用，属中档题. 20．已知函数()ln 2f x a x x a =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设点A （1x ，()1f x ）和B （2x ，()2f x ）是曲线()y f x =上不同的两点，且()()12f x f x =，若12ak x x <+恒成立，求正数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）(]0,2. 【解析】（1）求函数导数()a xf x x-'=，讨论0a ≤和0a >即可得解； （2）由条件得1212ln ln x x a x x -=-，代入12ak x x <+，整理得1211221ln 01x x xk x x x -⋅-<+，设()121x t t x =>，研究()()1ln 11t g t k t t t -=⋅->+的函数单调性即可得解. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1a a xf x x x-'=-=． 若0a ≤，()0f x '<，则()f x 在()0,∞+上为减函数；若0a >，当0x a <<时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,a 上为增函数，在(),a +∞上为减函数， 综上，0a ≤时，()f x 在()0,∞+上为减函数，0a >时，()f x 在()0,a 上为增函数，在(),a +∞上为减函数．（2）不妨设120x x >>，由（1）可知，0a >，由1122ln 2ln 2a x x a a x x a -+=-+， 得1212ln ln x x a x x -=-．由12ak x x <+，得121212ln ln x x k x x x x -⋅<+-，即1211221ln 01x x xk x x x -⋅-<+． 设()121x t t x =>，()()1ln 11t g t k t t t -=⋅->+，则()()()()2222112111t k t kg t t t t t --+'=-=-++． 记()()()22111h t t k t t =--+>，()()241442k k k ∆=--=-．（i ）当02k <≤时，0∆≤，则()0h t ≥恒成立，从而()()()201h t g t t t '=-≤+，所以()g t 在()1,+∞上是减函数，于是()()10g t g <=，此时适合题意． （ii ）当2k >时，对称轴方程为1t k =-，且()1420h k =-<， 又()2410h k k =+>，所以()h t 在()1,k -+∞内只有一个零点0t ， 所以存在()01,2t k k ∈-，使得()00h t =， 所以当01t t <<时，()0h t <，从而()()()201h t g t t t '=>+，所以()g t 在()01,t 上是增函数，于是当()01,t t ∈时，()()10g t g >=，此时不适合题意． 综上，正数k 的取值范围是(]0,2． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，考查了换元的思想，解题的关键是设()121x t t x =>，属于难题. 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C :2212x y +=，过1C 上的一点P （0x ，0y ）（000x y ≠）的直线l 的方程为0022x x y y +=．（1）设直线l 和OP 的斜率分别为k 和1k ，求证：1k k ⋅为定值；（2）设直线l 与椭圆2C :22142x y +=交于M 、N 两点，试求OP MN ⋅的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】（1）根据题意，求得1,k k ，通过计算即可证明；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式，求得,MN OP 关于0y 的函数关系式，利用基本不等式求其最值即可. 【详解】（1）由题意，得002x k y =-，010y k x =，则00100122x y k k y x ⋅=-⋅=-， 所以1k k ⋅为定值．（2）由()00,P x y 在1C 上，得220022x y +=，即220022x y =-，所以OP === 由00222224x x y y x y +=⎧⎨+=⎩消去y ，并结合220022x y +=x+2%=2整理，得22002240x x x y -+-=．由点P 在2C 的内部，得>0∆；设()11,M x y ，()22,N x y N （x2，y2），则1202x x x +=，212024x x y =-，所以MN =====所以22232OP MN +⋅=≤⨯=．=即2012y =时，()max3OP MN ⋅=．【点睛】本题考查椭圆中的定值问题，以及范围问题，涉及韦达定理，以及基本不等式，属综合中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3sin 2ρθβ+=（β为常数，02πβ<<）．（1）当6πβ=时，判定直线l 与圆C 的位置关系； （2）设直线l 分别与射线0θ=（0ρ≥）、3πθ=（0ρ≥）、23πθ=（0ρ≥）交于点P 、Q 、R ，求证：111OP OR OQ+=． 【答案】（1）直线l 与C 相切；（2）证明见解析.【解析】（1）首先得到直线和圆的直角坐标方程，再求圆心到直线的距离，即可得到直线与圆的位置关系. （2）首先将0θ=、3πθ=、23πθ=分别代入()3sin 2ρθβ+=，从而得到OP ，OQ ，OR ，再利用三角函数的性质化简即可证明.【详解】 （1）当6πβ=时，直线l 的极坐标方程为3sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，13sin cos 222+=ρθρθ. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得l的直角坐标方程为3x +=． 圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， 因为圆心()1,0C 到直线l1=，所以直线l 与C 相切．（2）当0θ=，3πθ=，23πθ=时，32sin OP β=，32sin 3OQ πβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，322sin 3OR πβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 1122sin sin 33OP OR πββ⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2121sin cos sin sin 322322βββββ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin 33OQπβ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 即证：111OP OR OQ+=. 【点睛】本题主要考查直线的极坐标方程，同时考查了圆的参数方程和直线与圆的位置关系，属于中档题.23．函数()12f x x x =-++，()21g x x ax =--（a ∈R ）．（1）求()7f x ≤的解集； （2）当[]2,1x ∈-时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）[]4,3-；（2）[]3,0-.【解析】（1）分类讨论得函数()f x 的解析式，再分段求解不等式可得答案. （2）由（1）知， ()3f x =，根据不等式恒成立的思想得231x ax ≥--在[]2,1-上恒成立．可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）()12f x x x =-++，所以()21,2,3,21,21, 1.x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以解不等式组2172x x --≤⎧⎨<-⎩或2137x -≤≤⎧⎨≤⎩或1217x x >⎧⎨+≤⎩，解得42x -≤<-或21x -≤≤或13x <≤，∴()7f x ≤的解集是[]4,3-（2）由（1）知，当21x -≤≤时，()3f x =，21 由()()f x g x ≥知，231x ax ≥--．故240x ax --≤在[]2,1-上恒成立.令()24h x x ax =--，则()()20,10,h h ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，即4240,140,a a +-≤⎧⎨--≤⎩解得30a -≤≤，故a 的取值范围为[]3,0-.【点睛】本题考查分类讨论含绝对值符号的分段函数解析式，以及不等式的恒成立的问题，关键在于得出函数的最值，建立关于参数的不等式，属于中档题.。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项8时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(3－4i)z ＝|3－4i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B.45 C ．4D ．－45解析：因为(3－4i)z ＝|3－4i|，所以z ＝|3－4i|3－4i ＝32＋423－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5，所以z 的虚部为45，故选B. 答案：B2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R解析：由x 2－2x ＞0，得x ＞2或x ＜0，则A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，又B ＝{x |－5＜x ＜5}，所以A ∪B ＝R ，故选D.答案：D3．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%)，根据该图，以下结论中一定正确的是( )A ．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B ．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C ．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D ．华为的全年销量最大解析：对于选项A ，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A 错误；对于选项B ，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B 错误；对于选项C ，第一季度销量最大的是华为，故C 错误；对于选项D ，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D 正确，故选D.答案：D4．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13解析：因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7，故选C.答案：C5．过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．± 2C ．±3D ．±2解析：由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1，故选A. 答案：A6．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( )A.2324B.524 C.1124D.124 解析：由题意可知三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×14＝1124. 答案：C7．双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G 满足GF 1⊥GF 2，线段GF 1与另一条渐近线的交点为H ，H 恰好为线段GF 1的中点，则双曲线C 的离心率为( )A.2B ．2C ．3D ．4解析：由题意得双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，不妨令G 在渐近线y ＝b a x 上，则H 在y ＝－ba x 上，设G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ，b a x ，由GF 1⊥GF 2得kGF 1·kGF 2＝－1，即bax x ＋c ·b ax x －c＝－1，解得x ＝a ，所以G (a ，b )，又H 恰好为线段GF 1的中点，所以H ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －c 2，b 2，因H 在y ＝－b a x 上，所以b 2＝－b a ×a －c 2，因此c ＝2a ，故离心率为2，故选B.答案：B8．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是( )A.π6或2π3B.π3C.2π3D.π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3bc 2bc＝32. 由0＜A ＜π，可得A ＝π6.∵bc ＝3a 2，∴sin B sin C ＝3sin 2A ＝34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－C sin C ＝34，即12sin C cos C ＋34(1－cos2C )＝34， 解得tan2C ＝3.又0＜C ＜5π6，∴2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π3，故选A.答案：A9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 为BB 1上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是( )A ．平面AC 1E ⊥平面A 1BDB ．AE ∥平面CDD 1C 1C ．当E 为BB 1的中点时，△AEC 1的周长取得最小值D ．三棱锥A 1－AEC 1的体积不是定值解析：AC 1⊥平面A 1BD 是始终成立的，又AC 1⊂平面AC 1E ，所以平面AC 1E ⊥平面A 1BD ，故选项A 正确；平面AB 1∥平面C 1D ，所以选项B 正确；平面BCC 1B 1展开到与平面ABB 1A 1在同一个平面上，则当E 为BB 1的中点时，AE ＋EC 1最小，故选项C 正确；，故选项D 不正确，故选D.答案：D10．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列关于函数g (x )的说法中正确的是( )A ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋5π12(k ∈Z )B ．函数g (x )的最大值为2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线y ＝－3x ＋1平行D ．若函数h (x )＝g (x )＋2的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为π2解析：根据函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象知，A ＝2，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，ω＝2πT＝1， 根据五点法画图知，当x ＝π6时，ωx ＋φ＝π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴f ′(x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12.令x ＋π12＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－π12(k ∈Z )，∴函数g (x )的对称轴方程为x ＝k π－π12，k ∈Z ，A 错误； 当x ＋π12＝2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π－π12时，k ∈Z ，函数g (x )取得最大值22，B 错误；g ′(x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12，假设函数g (x )的图象上存在点P (x 0，y 0)，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋1平行，则k ＝g ′(x 0)＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝322＞1，显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g (x )＝－2，则22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－22，∴x ＋π12＝3π4＋2k π或x ＋π12＝5π4＋2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π＋23π或x ＝2k π＋76π，k ∈Z ；所以方程的两个不同的解分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|最小值为π2，故选D.答案：D11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤1，32B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，52C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3 D ．[2,3)解析：①作出x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1的图象．②由f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点对称，作出x ∈[－1,0]时，f (x )的图象．③由f (x )＝f (2－x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由此作出函数f (x )在(1,3)内的图象，如图所示．④作出f (x )＝1的图象．由f (x )＝1及x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1可得4x －1＝1，解得x ＝12，从而由对称性知，在(1,3)内f (x )与y ＝1交点的横坐标为32，由图可知，在(1,3)上，f (x )≤1的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3，故选C.答案：C12．三棱锥D －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的正三角形．若球O 的表面积为16π，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A.934 B.332 C ．2 3D ．33解析：由题意得△ABC 的面积为 12×3×3×sin π3＝934.又设△ABC 的外心为O 1，则AO 1＝23×323＝3.由4πR 2＝16π，得R ＝2. ∵OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1＝1，∴球心O 在棱锥内部时，棱锥的体积最大． 此时三棱锥D －ABC 高的最大值为1＋2＝3， ∴三棱锥D －ABC 体积的最大值为 13×934×3＝934，故选A. 答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足|b |＝2|a |＝1，a ⊥(a －b )，则a 与2a ＋b 的夹角的余弦值为________．解析：由a ⊥(a －b )得a ·b ＝14，|2a ＋b |＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝3，则a 与2a＋b 的夹角的余弦值为cos 〈a,2a ＋b 〉＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝2a 2＋a ·b|a ||2a ＋b |＝32.答案：3214．若⎠⎜⎛023x 2d x ＝n ，则(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n 的展开式中x －4的系数为________．解析：由⎠⎜⎛023x 2d x ＝n 可得 n ＝8，∴(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n ＝(1＋x 3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8，二项展开式含有x －4，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8展开式中含有x －4和x －7，则二项展开式分别为C 48·24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4和C 78·21·x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 7，∴含有x －4的系数为C 48·24－C 78·21＝1104.答案：110415．已知点M(0,2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若∠AMF ＝π2，则点B 坐标为________．解析：由抛物线方程得F(1,0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4. 由∠AMF ＝π2，得AM→·MF →＝0. 又AM →＝(－x 1,2－y 1)，MF →＝(1，－2)， 所以－x 1－4＋2y 1＝0.又y 21＝4x 1，所以－y 214＋2y 1－4＝0，得y 1＝4.又y 1y 2＝－4，所以y 2＝－1.又y 22＝4x 2，所以x 2＝14，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1 16．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________． 解析：由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，则b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，b n ＝n －43.易知b 1<0，b 2>0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13. 答案：－13。

2020新课标冲刺高考理科数学必拿分题目强化第八卷3月一模精选基础卷（第8卷）1.已知集合{}{}2|20,|1A x x x B x x =-<=≤，则A B =U （ ） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．[)1,2-D ．[]1,1-【答案】C【解析】由题,因为220x x -<,解得02x <<,则{}|02A x x =<<, 因为1x ≤,解得11x -≤≤,则{}|11B x x =-≤≤, ∴{}|12A B x x =-≤<U 故选:C.2.设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ． B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1)【答案】D【解析】设z a bi =+， 因为|3|2z -=， 所以22(3)4a b -+=， 经验证(4,1)M 不满足， 故选：D.3.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则圆心(),a b 到直线0x y +=的距离等于半径=2a b +=，即2a b +=±.充分性：若直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则2a b +=±，充分性不成立； 必要性：若2a b +=，则直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，必要性成立. 故p 是q 的必要不充分条件. 故选B.4．已知双曲线2213y x m -=m 的值为（ ）A ．1B ．65C D ．9【答案】A【解析】双曲线2213y x m -=的离心率为e ==1m =. 故选A.5.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A B C D 【答案】B【解析】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 故选B.6.ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，||1a =r，||2b =r 则CD =u u u r （ ）A ．2133a b +r rB ．1233a b +rrC ．3455a b +rrD ．4355a b +r r【答案】A【解析】由题意，因为CD 平分ACB ∠，可得12BD BC AD AC ==,又因为AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r，所以222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，所以22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r ．故选A ．7.执行如图所示的程序框图，若输入的25t =-，则输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】输入25t =-,初始值1,0,1S n m ===. 第1次循环：0,2,1S m n ===,?S t >判断为“是” 第2次循环：2,4,2S m n =-==,?S t >判断为“是” 第3次循环：6,8,3S m n =-==,?S t >判断为“是” 第4次循环：14,16,4S m n =-==,?S t >判断为“是” 第5次循环：30,32,5S m n =-==,?S t >判断为“否”. 输出5n =. 故选：C8.函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2=-g x xB ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()2sin 2g x x = D ．5()2cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图像可知2A =,且周期为236πππ⎡⎤⎛⎫⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故22πωπ==,故()2cos(2)f x x φ=+. 又()23f π=可得22,3k k Z πφπ⨯+=∈,又||φπ<,故23πφ=-. 故2()2cos(2)3f x x π=-. 所以()g x 的解析式为22cos 22cos 22sin 21232x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C9.5)a 的展开式中x 项的系数为270，则12ax dx =⎰__________．【答案】1【解析】)5a 展开式的通项为5215rr r r T C xa -+=，令512r-=得3r = )5a 的展开式中x 项的系数为335270C a =，解得3a =，12ax dx =⎰123103|1x dx x==⎰，故答案为1.10.已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为截面的面积为8，则圆锥的侧面积为__________.【答案】【解析】设圆锥母线长为l ，由△SAB为等边三角形，且面积为所以21sin 23l π=l =4；又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8，得rh =8； 又2216r h +=，解得r h ==所以圆锥的侧面积4S rl ππ===g故答案为：．11.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围. 【解析】（1）∵2b ac =，21111224S ac b =⨯==，2b =， ∴21n a n =-，*n N ∈. （2）∵11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴111111111123352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ∵n T 是关于n 的增函数*n N ∈，，∴1132n T ≤<. 12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB BC ===，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求平面11AB D 与平面1AEC 所成二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图，连AC BD 、相交于点O ，连OF ，11//,2,//,FO BB FO BB FO BE FO BE =∴=Q ，四边形BEFO 为平行四边形，可得//EF OB ，OB ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，//EF 平面ABCD .（2）以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r方向分别为x y 、、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.各点坐标分别为()()()()0,0,01,0,00,1,01,1,1D A C E 、、、，()()()()11111,0,2,1,1,2,0,1,20,0,2A B C D 、.设平面1AEC 的法向量为()()()1,,,1,1,2,0,1,1m x y z AC AE ==-=u r u u u u r u u u r， 有1200m AC x y z n AE y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=+=⎩u u u u v v u u u v v ，取1,1,1x y z =-==-，有()1,1,1m =--u r ； 设平面11AB D 的法向量为()()()111,,,1,1,0,1,0,2n a b c D B AD ⋅==-r u u u u r u u u u r，有111020n D B a b n AD a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，取2,2,1a b c ==-=，有()2,2,1n =-r ；有5,3,cos m n m n m n ⋅=-==〈⋅〉==u r r u r r u r r ， 故平面11AB D 与平面1AEC9=. 13.在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+. 以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线C 上动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值. 【解析】（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得 直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==， 曲线C 的方程为224936x y +=；（2）由（1）知曲线22:194x y C +=，故可设()3cos ,2sin P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，∴矩形的面积()()()33cos 22sin 61sin cos sin cos S θθθθθθ=--=--+，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t θθ-=，2363,S t t t ⎡=-+∈⎣，当t =max 9S =+.14.已知0a b c >>>，且231a b c ++=，求证： （1）11112348a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）2228271a b c ++< 【解析】证明：（1）111112132332123a b c b c a c a ba b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g g g48≥=； （2）由0a b c >>>，可知222,,ab b ac c bc c >>>，于是：()2222123494612a b c a b c ab ac bc =++=+++++222222222494612827a b c b c c a b c >+++++=++.。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项7时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记复数z 的虚部为Im(z )，已知z 满足i z ＝1＋2i ，则Im(z )为( ) A ．－1 B ．－i C ．2D ．2i解析：由i z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii ＝()1＋2i i i 2＝2－i ，∴Im(z )＝－1，故选A.答案：A2．已知集合A ＝{}(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0，B ＝{}(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，则A ∩B 中的元素的个数为()A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0}＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －2)2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9}，∴圆心距d ＝[3－(－1)]2＋(2－2)2＝4，得1＝|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2＝5，∴两圆的位置关系为相交，∴A ∩B 中有2个元素，故选C.答案：C3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( )A. 2B. 3 C．2 D．3解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝2x，所以ba＝2，即b2＝2a2，而a2＋b2＝c2，所以c2＝3a2⇒c＝3a⇒e＝ca＝3，故选B.答案：B4．函数f(x)＝e x－1x的大致图象为( )解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝x e x－1－e x－1x2＝e x－1(x－1)x2.当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0＜x＜1，x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，显然当x>0时，f(x)>0；当x＜0时，f(x)＜0，故选B.答案：B5．在△ABC中，D为AB的中点，点E满足EB→＝4EC→，则ED→＝( )A.56AB →－43AC →B.43AB →－56AC → C.56AB →＋43AC → D.43AB →＋56AC → 解析：因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.答案：A6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝18，a 3＝9，则a 6＝( ) A ．12 B ．15 C ．18D ．21解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝18，a 3＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝18，a 3＝a 1＋2d ＝9，解得a 1＝d ＝3，所以a 6＝a 1＋5d ＝18，故选C.答案：C7．如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABF ，AD ∥BC ∥EF ，AD ＝4，BC ＝3，AB ＝BF ＝EF ＝2，∠ABF ＝120°.则异面直线AF 与CD 所成角的余弦值为( )A.155B.156C.158D.1515解析：过点A 作CD 的平行线交CB 的延长线于点G ，连接FG ，则∠FAG 就是异面直线AF 与CD 所成的角或其补角．因为AD ∥BC ，AD ＝4，BC ＝3，所以BG ＝1.又AD ⊥平面ABF ，AD ∥BG ，所以AB ⊥BG ，BG ⊥BF ，所以AG ＝AB 2＋BG 2＝5，FG ＝FB 2＋BG 2＝ 5.由AB ＝BF ＝2，∠ABF ＝120°， 可得AF ＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝23，故在△AFG 中，由余弦定理得cos ∠FAG ＝AG 2＋AF 2－FG 22AG ·AF ＝(5)2＋(23)2－(5)22×5×23＝155.答案：A8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ，则a 的值为( )A ．2 5B ．4C ．23D ．22解析：在△ABC 中，由A ＝2B ，a sin A ＝b sin B ，b ＝3，c ＝1，可得a2sin B cos B ＝3sin B，整理得a ＝6cos B ，∴由余弦定理得a ＝6×a 2＋1－92a，解得a ＝23，故选C.答案：C9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (－3)＜f (－log 313)＜f (20.6) B ．f (－3)＜f (20.6)＜f (－log 313)C ．f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)D ．f (20.6)＜f (－3)＜f (－log 313)解析：根据题意，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－3)＝f (3)，f (－log 313)＝f (log 313)，有20.6＜2＜log 313＜log 327＝3，又由f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)，故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12 C ．x ＝π18 D ．x ＝π24 解析：由图象过点A (0，3)，得2cos φ＝3，cos φ＝32，又|φ|＜π2，则φ＝±π6.因为图象是右平移，所以φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6.再由图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πω6－π6＝0，则πω6－π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，又ω＞0，则ω的最小值为4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6，当x ＝π24时，f (x )取得最大值2，所以x ＝π24是f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6图象的一条对称轴，故选D.答案：D11．设两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24的展开式中x 2的系数为( )A ．12B ．3 C.52 D.72 解析：∵两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，∴12·(－a )＝－1，求得a ＝2，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x－24＝(x －2)816x 4，要求其展开式中x 2项，则是分子(x －2)8中展开式中的x 6项，所以它的展开式中x 2的系数为C 28·216＝72，故选D.答案：D12．已知正三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E ，F ，G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点．若O 在三棱锥A －BCD 内，且三棱锥A －BCD 的体积是三棱锥O －BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为( )A.938B.3π2C.15π4D ．4π解析：如图所示， 平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面．正三棱锥A －BCD 中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD ，HD ，依题意，得V A －BCD ＝3V O －BCD ，所以AH ＝3OH ，设球的半径为R ，在Rt △OHD 中，OD ＝R ，HD ＝3，OH ＝R2，由勾股定理得R 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫R 22，解得R ＝2.由于平面EFG ∥平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O到平面EFG 的距离为KO ，则KO ＝R 4＝12，设平面EFG 截球O 所得截面的半径为r ，在Rt △KON中，r 2＝KN 2＝ON 2－KO 2＝R 2－14＝154，所以截面圆的面积为πr 2＝154π，故选C. 答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，则cos2α1－sin2α＝________.解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，所以tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－131＋13＝12，所以cos2α1－sin2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α－sin α)2＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝1＋121－12＝3. 答案：314．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x )5的展开式中，x 2项的系数为________(用数字作答)．解析：二项式(1＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r (r ＝0,1,2,3,4,5)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x 5)的展开式中x 2项为1×C 25x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x ×C 35x 3＝10x 2－10x 2＝0.答案：015．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝12，则S 5＝________.解析：由题意可知S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )，整理得S n ＋1－2＝12(S n －2)，由于S 1－2＝－1，故S 5－2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝－116，∴S 5＝3116.答案：311616．已知圆锥的顶点为S ，O 为底面中心，A ，B ，C 为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA ＝AB ，M 为SA 的中点．设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为________．解析：以AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设SA ＝AB ＝4，则M(0，－1，3)，C(x，y,0)，如图所示，由对称性不妨设x＞0，y＜0且x2＋y2＝4，则MC→＝(x，y＋1，－3)，易知平面SAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，所以sinα＝MC→·m|MC→|×|m|＝xx2＋(y＋1)2＋3＝12×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－(y＋4)－12y＋4＋8≤4－23＝3－1，当且仅当y＝23－4时等号成立．综上，sinα的最大值为3－1.答案：3－1。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项1时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2＋x －2＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－2＜x ＜2}解析：∵A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2＋x －2＜0}＝{x |－2＜x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选C.答案：C2．若复数z 满足(1＋z )(1＋i)＝1＋2i ，i 是虚数单位，则|z |＝( ) A.22B.12C.2D.3解析：因为(1＋z )(1＋i)＝1＋2i ， 所以z ＝1＋2i 1＋i－1＝(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )－1＝3＋i 2－1＝1＋i 2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝22，故选A. 答案：A3．已知a ＝log 0.92019，b ＝20190.9，c ＝0.92019，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：因为a ＝log 0.92019<log 0.91＝0，b ＝20190.9>20190＝1,0<c ＝0.92019<0.90＝1，所以a<c<b，故选A.答案：A4．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论：①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，故选C.答案：C5．函数y＝4cos2xx2＋π的部分图象大致是( )解析：由题意，因为f(x)＝4cos2xx2＋π，所以f(－x)＝4cos(－2x)(－x)2＋π＝f(x)，所以函数f(x)＝4cos2xx2＋π是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项D；又因为当x＝0时，y＝4π，排除选项A；令x＝1，则y＝4cos2π＋1，则y＜0，故选C.答案：C6．若(1－ax＋x2)4的展开式中x5的系数为－56，则实数a的值为( ) A．－2 B．2C．3 D．4解析：解法一：(1－ax＋x2)4＝[(1－ax)＋x2]4，故展开式中x5项为C34C33(－ax)3x2＋C24C12(－ax)(x2)2＝(－4a3－12a)x5，所以－4a3－12a＝－56，解得a＝2.解法二：若a＝－2，则x5的系数不可能为负数，所以排除选项A；选项B中，若a＝2，则(1－ax＋x2)4＝(1－x)8，则x5的系数为C58×(－1)5＝－56，符合题意，故选B.答案：B7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－2b)，则a与b的夹角为( )A.34πB.23πC.π3 D.π4 解析：由题意，得(a ＋b )·(3a －2b )＝3a 2＋a ·b －2b 2＝0，则3＋a ·b －4＝0，∴a ·b ＝1，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝11×2＝22，所以a 与b 的夹角为π4，故选D.答案：D8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b sin A －a cos B＝2b －c ，则A ＝( )A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3解析：由3b sin A －a cos B ＝2b －c 及正弦定理可得，3sin B ·sin A －sin A cos B ＝2sin B －sin C ＝2sin B －sin(A ＋B )＝2sin B －sin A cos B －cos A sin B ，所以3sin B sin A ＝2sin B －cos A sin B .因为sin B ≠0，所以3sin A ＋cos A ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.答案：C9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前2 019项和为( )A.2 0182 019B.2 0182 020C.2 0192 020D.2 0172 019解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＝4，S 5＝15，∴a 1＋3d ＝4,5a 1＋5×42d＝15，联立解得a 1＝d ＝1，∴a n ＝1＋n －1＝n ，∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前2019项和S ＝1－12＋12－13＋…＋12019－12020＝1－12020＝20192020，故选C. 答案：C10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 在椭圆上，AB ⊥F 1F 2于F 2，|AB |＝4，|F 1F 2|＝23，则椭圆方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 26＝1 D.x 222＋y 29＝1 解析：椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 在椭圆上，AB ⊥F 1F 2于F 2，|AB |＝4，|F 1F 2|＝23，可得c ＝3，2b 2a＝4，c 2＝a 2－b 2，解得a ＝3，b ＝6，则所求椭圆方程为x 29＋y 26＝1，故选C.答案：C11．已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，则下列说法中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12上单调递减C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1是函数f (x )图象的一个对称中心 解析：f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝2cos 2x －3sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋1，所以T＝2π2＝π，A 正确；当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12时，2x ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，因为t ＝2x ＋π3在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12为增函数，y ＝2cos t ＋1在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上为减函数，故f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12上为减函数，B正确；函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍再向上平移1个单位得到，C 错误；令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π12，故⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1为f (x )图象的一个对称中心，D 正确，故选C.答案：C12．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且∠BAC ＝π3，AC ＝2AB ，PA＝1，BC ＝3，则该三棱锥的外接球的体积等于( )A.1313π6B.33π2C.513π6D.53π2解析：如图，设△ABC 外接圆的圆心为O 1，半径为r ，则2r ＝BC sin π3＝23，r＝3.由题意知球心O 在过O 1且与平面ABC 垂直的直线HO 1上， 令HO 1＝PA ＝1，OO 1＝d ，则OH ＝1－d . 设球半径为R ，则在Rt △OO 1B 中有R 2＝d 2＋r 2，① 在Rt △OHP 中有R 2＝(1－d )2＋r 2，② 由①②两式得d ＝12，所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋(3)2＝134，R ＝132， 所以该三棱锥的外接球的体积为V ＝43πR 3＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1323＝1313π6，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________.解析：由f (x )＝a e x ＋b ，得f ′(x )＝a e x ，因为函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是y ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1＝a ＋b f ′(0)＝2＝a解得a ＝2，b ＝－1，得a －b ＝3.答案：314．已知{a n }是等比数列，前n 项和为 S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________．解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝a 1q 2－a 1q ＝4，a 4＝a 1q 3＝16，解得a 1＝2，q ＝2，所以S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝2(1－23)1－2＝14.答案：1415．在一场对抗赛中，A ，B 两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，A 每局获胜的概率均为23，且各局比赛相互独立，则A 在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是________．解析：第1局A 失利为事实，经过5局A 获胜，第2,3,4局A 胜2局，B 胜1局，5局比赛最终获得冠军的概率是C 13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×23＝827. 答案：82716．已知直线x －3y ＝0与中心在原点的双曲线C 交于A ，B 两点，F 是C的右焦点，若FA→·FB →＝0，则C 的离心率为________．解析：因为直线x －3y ＝0经过原点，所以直线与双曲线的交点A 、B 关于原点对称，所以OA ＝OB ，即O 是AB 的中点，由FA→·FB →＝0，得FA ⊥FB ，OF ＝OB ＝c ，直线x －3y ＝0的斜率为33，所以∠BOF ＝30°，则x B ＝c ·cos30°＝32c ，y B ＝c ·sin30°＝12c ，将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2代入双曲线得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 22b 2＝1，即3c 24a 2－c 24b2＝1，因为c 2＝a 2＋b 2，得4a 4＋3c 4－8a 2c 2＝0，即(2a 2－c 2)(2a 2－3c 2)＝0，整理得2a 2－c 2＝0或2a 2－3c 2＝0.因为e ＞1，所以e ＝2.答案： 2。

2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD， 由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形， 所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==， 故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书， 丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小， 得到年龄从大到小是乙>丙>学委， 由此得到乙不是学委，故乙是班长． 故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分） （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==， 设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分） （2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分） （ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈， 在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈， 在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈， 在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈， 在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分） （2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。

2020年高考必刷卷08数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，然后利用交集的定义可求出集合A B I . 【详解】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺【答案】B 【解析】 【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边. 【详解】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10x -尺，由勾股定理可得：()222310x x +=-，可得 4.55x =尺. 故选：B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.5．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论. 【详解】22()11xf x x=-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C . 故选:B 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（ ） A ．16B ．12C ．23D ．56【答案】D 【解析】 【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案. 【详解】设{A =两门至少有一门被选中}，则{A =两门都没有选中}，A 包含1个基本事件，则2411()6P A C ==，所以15()166P A =-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．若向量,a b r r 满足||1,||2a b ==r r ，且||3a b -=r r，则向量,a b r r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B 【解析】 【分析】由||3a b -=r r ,平方求出a b ⋅r r,代入向量夹角公式,求出,a b r r 的夹角余弦值,即可得结果.【详解】设,a b r r的夹角为θ||3,a b -=r r 2222||()2523,a b a b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅=r r r r r r r r r r11,cos ,0,23a b a b ab πθθπθ⋅⋅=∴==≤≤∴=r rr r r r故选:B 【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D 【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -====101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.9．以n S ?,?T n 分别表示等差数列{}{}n ,?b n a 的前n 项和，若S 73n n n T n =+，则55a b 的值为 A ．7 B ．214C ．378D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的性质，当n 为奇数时，12n n s na +=，即可把55a b 转化为99S T 求解.【详解】因为数列是等差数列，所以211(21)n n S n a ++=+，故55955997921==9934a a Sb b T ⨯==+,选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和的性质，属于中档题.10．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得2a =，1b =，可得椭圆的方程．【详解】解：22||3||AF BF =Q ，2||4||AB BF ∴=， 又125BF BF =，又12||||2BF BF a +=，23||aBF ∴=， 2||AF a ∴=，1||53BF a =，12||||2AF AF a +=Q ，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=， 在△12BF F 中，由余弦定理可得222154()()33cos 223a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得21320a a a-+=，解得22a =， 222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：2212x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题．11．设函数431,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 A ．(23－2，32⎤⎥⎦B ．(－23－2，23－2)C ．(32，＋∞) D ．(23－2，＋∞)【答案】A 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，利用()f x 图像，利用换元法，将方程()()22()30fx a f x -++=恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，令()f x t =，则方程()()22()30fx a f x -++=转化为()2230t a t -++=，由图可知，要使关于x 的将方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则方程()2230t a t -++=在(]1,2内有两个不同的实数根，所以()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得32322a -<≤. 故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且AB 、AC 、AD 两两夹角都为60︒，若2BD =，则该球的体积为（ ）A ．32πB ．233π C ．34π D ．22π 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可分析四面体A BCD -是正四面体，各条棱长均为2，依据正四面体外接球半径的求法即可得解. 【详解】由题：在四面体A BCD -中，,60AB AC AD BAC BAD CAD ==∠=∠=∠=o，所以,,BAC BAD CAD ∆∆∆均为等边三角形，且边长均为2， 所以四面体A BCD -是正四面体，棱长为2，如图：根据正四面体特征，点A 在底面正投影1O 是底面正三角形的中心，外接球球心O 在线段1AO 上，设外接球半径为R ，取CD 中点E 过点,,B C D 的截面圆的半径1223623323r O B BE ===⨯⨯=， 在△1O AB 中，2211223233O A BA BO =-=-=， 则球心到截面BCD 的距离1233d OO R ==- 在△1O OB 中，22211O B OO OB +=，22262333R R ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 解得32R =， 所以球的体积3433322V ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关系求出半径即可求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届全国高考数学（理）增分练高考预测卷（一）（附解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{y|y＝log3x,0<x≤9}，B＝{x|2 019x>1}，则A∩B＝( ) A．(0,2) B．(0,2] C．(－∞，2] D．R2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1＋i，则z1z2＝( ) A．－1＋i B．2 C．－2 D．－1－i3.如图，A、B、C是单位圆上的三等分点，下列说法错误的是( )A.＝－(＋)B.与的夹角为120°C.⊥(－)D.在上的投影为－1 24．数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n，若b n＝(n－5)a n，则b n的最小值为( )A．－252 B．－12 C．－8 D．－525．已知p：x≤m，q：4x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)6．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物竞赛，每人只能参加其中一项，每项竞赛必须有人参加，其中甲、乙两人都仅能参加化学竞赛，其他4人四项竞赛都能参加，则不同的参赛方案的种数为( )A．48 B．72 C．144 D．4807．如图所示的程序框图的输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填( )A ．x <88?B ．x ≤89?C ．x <89?D ．x ≤88?8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，且{a n ＋1－a n }成等比数列，则满足不等式11＋a n －11＋a n ＋1≥λ1＋a n ＋2的实数λ的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．69．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．12 3B ．2 3C ．6 3D ．48 310．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图像如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，－2，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋k π，5π3＋k π(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋k π，13π6＋k π(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋k π，17π12＋k π(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＋k π，23π12＋k π(k ∈Z )11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使(＋)·＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.2＋12 B ．2＋1 C.3＋12 D ．3＋112．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫e 2－12e －1 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.14．某企业对2018年1－4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：23.5万元，则y 关于x 的线性回归方程为________．15．在(1－x ＋x 2)(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为________．16．若直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，△OAB 内有一点M (6,2)满足S △AOM ∶S △BOM ∶S △AMB ＝1∶2∶3，则直线l 的斜率为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m ，a n ＋1＝S n ＋2.(1)求m 的值；(2)若b n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ＋1，n 为偶数，求b 1＋b 2＋…＋b n 的值．18．(12分)某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：(2)根据图优劣进行比较；(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)19.(12分)如图，在几何体ABCDA′B′C′D′中，四边形ABCD是边长为22的正方形，四边形A′B′C′D′是平行四边形，AA′⊥平面ABCD，AA′∥BB′∥CC′∥DD′，DD′＝4，BB′＝1，M是线段CC′上一点，且CM＝1，AM∥平面A′B′C′D′.(1)求线段AA′的长；(2)求直线DD′与平面A′D′B所成角的正弦值．20．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝2x＋3相切，点P在椭圆C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且3x1x2＋4y1y2＝0，试求△AOB的面积(O为坐标原点)．21．(12分)已知函数f (x )＝a e 2x －a e x －x e x (a ≥0，e 为自然对数的底数)，若f (x )≥0对于x ∈R 恒成立．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )存在唯一极大值点x 0，且ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4t ，y ＝1＋3t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ3＋sin 2θ＝2 3.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,1)，直线l 与C 交于A ，B 两点，求||P A |－|PB ||的值．23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1| (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥1； (2)求证：f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.2020届全国高考数学（理）增分练高考预测卷（一）（解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}，B ＝{x |2 019x >1}，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，2]D ．R 解析 集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}＝{y |y ≤2}， 集合B ＝{x |2 019x >1}＝{x |x >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤2}＝(0,2]．故选B. 答案 B2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－1＋iB ．2C ．－2D ．－1－i解析 因为两个复数对应的点关于虚轴对称，所以两个复数的实部互为相反数且虚部相同，所以复数z 2＝－1＋i ，z 1z 2＝(1＋i)(－1＋i)＝－2，故选C.答案 C3.如图，A 、B 、C 是单位圆上的三等分点，下列说法错误的是( )A.＝－(＋)B.与的夹角为120°C.⊥(－)D.在上的投影为－12解析 对于A ，由平行四边形法则可知＋＝＝－，正确； 对于B ，与的夹角为60°，错误；对于C ，·(－)＝·－·＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，正确；对于D ，在上的投影为－12，正确，故选B. 答案 B4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，若b n ＝(n －5)a n ，则b n 的最小值为( )A ．－252B ．－12C ．－8D ．－52 解析 当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时显然适合上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *，所以b n ＝(n －5)a n ＝2n (n －5)．令f (x )＝2x (x －5)，易知对称轴为x ＝52， 所以b n 的最小值为b 2＝b 3＝－12.故选B. 答案 B5．已知p ：x ≤m ，q ：4x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 解析 设A ＝{x |x ≤m }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋1<1＝{x |x <－1或x >3}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴AB ，∴m <－1，∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选D.答案 D6．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物竞赛，每人只能参加其中一项，每项竞赛必须有人参加，其中甲、乙两人都仅能参加化学竞赛，其他4人四项竞赛都能参加，则不同的参赛方案的种数为( )A ．48B ．72C ．144D ．480 解析 分成两类：(1)甲乙均不参加比赛：共有A 44＝24种情况；(2)甲乙有且只有一人参加比赛：共有C 12A 34＝48种情况．∴不同的参赛方案共有24＋48＝72种．故选B. 答案 B7．如图所示的程序框图的输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填( )A ．x <88?B ．x ≤89?C ．x <89?D ．x ≤88? 解析 因为cos 21°＋cos 22°＋…＋cos 289° ＝44(cos 21°＋cos 289°)＋cos 245° ＝44(cos 21°＋sin 21°)＋cos 245°＝44.5， 所以x ≤89. 答案 B8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，且{a n ＋1－a n }成等比数列，则满足不等式11＋a n －11＋a n ＋1≥λ1＋a n ＋2的实数λ的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析 由a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，得公比q ＝2，所以a n ＋1－a n ＝(a 2－a 1)·2n －1＝2n .所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1.从而，由不等式11＋a n －11＋a n ＋1≥λ1＋a n ＋2，得12n －12n ＋1≥λ2n ＋2，即λ≤2.则λ的最大值是2.答案 A9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．12 3B ．2 3C ．6 3D ．48 3 解析 由43πR 3＝43π，得球的半径R ＝1， ∴正三棱柱的高等于球的直径，即h ＝2R ＝2. 设三棱柱的底面边长为a ， 则13×32a ＝1，∴a ＝23，∴该正三棱柱的体积V ＝34×(23)2×2＝63，故选C. 答案 C10．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图像如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，－2，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋k π，5π3＋k π(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋k π，13π6＋k π(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋k π，17π12＋k π(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＋k π，23π12＋k π(k ∈Z ) 解析 依题意，T 2＝13π12－7π12＝π2，所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝12，所以7π6＋φ＝π6＋2n π(n ∈Z )或7π6＋φ＝5π6＋2n π(n ∈Z )，解得φ＝－π＋2n π(n ∈Z )或φ＝－π3＋2n π(n ∈Z )．因为－π2<φ<0，所以φ＝－π3，所以f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令π2＋2k π<2x －π3<3π2＋2k π(k ∈Z )，解得5π12＋k π<x <11π12＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )．因为函数f (x )的最小正周期为π，所以选项D 符合题意．故选D.答案 D11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使(＋)·＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.2＋12 B ．2＋1 C.3＋12 D ．3＋1解析 取PF 2的中点A ，则由(＋)·＝0，得2·＝0，即⊥.在△PF 1F 2中，OA 为△PF 1F 2的中位线，所以PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2.又由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 2|＝c ，所以(3－1)c ＝2a ，解得e ＝3＋1.故选D.答案 D12．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫e 2－12e －1 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x ，x >0，－e xx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e.当x <0时，f ′(x )＝－e x (x －1)x 2>0，函数单调递增， 如图，画出函数的图像，设t ＝f (x )，当t >e 时，t ＝f (x )有3个根，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)或t 1≤0，t 2>e ，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a ＝e 2－12e －1，检验满足条件；由t 1≤0，t 2>e 得⎩⎪⎨⎪⎧02－2a ×0＋a －1≤0，e 2－2a e ＋a －1<0，无解．故选D.答案 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.解析 本题考查空间直线和平面间的位置关系．当l ⊥m ，m ∥α时，l 与α不一定垂直，可能相交，也可能平行；当l ⊥m ，l ⊥α时，m ∥α；当m ∥α，l ⊥α时，l ⊥m ，综上可知，正确命题是若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α.或若m ∥α，l ⊥α，则l ⊥m .答案 若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α(答案不唯一)14．某企业对2018年1－4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：23.5万元，则y 关于x 的线性回归方程为________．解析 设线性回归方程为＝x ＋，∵＝2.5，＝4.5，∴由题意得解得∴线性回归方程为＝2x －0.5.答案 ＝2x －0.515．在(1－x ＋x 2)(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为________．解析 (1＋x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·x r ，所以x 4的系数为C 47－C 37＋C 27＝C 27＝21.答案 2116．若直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，△OAB 内有一点M (6,2)满足S △AOM ∶S △BOM ∶S △AMB ＝1∶2∶3，则直线l 的斜率为________．解析 解法一：设点A ，B 到直线OM 的距离分别为d A ，d B ，直线OM 交直线AB 于点Q ，则|QA ||QB |＝d A d B ＝S △AOM S △BOM ＝12⇒S △AMQ ＝13S △AMB ＝S △AOM ，故M 为OQ 的中点，所以Q (12,4)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧12－x 2＝2(x 1－12)，4－y 2＝2(y 1－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝36－2x 1，y 2＝12－2y 1.代入y 22＝4x 2，并结合y 21＝4x 1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝16，y 1＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0(不合题意，舍去)．故直线l 的斜率k ＝y 1－y Q x 1－x Q ＝8－416－12＝1.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(x 1－6，y 1－2)，＝(x 2－6，y 2－2)，又＝(－6，－2)，所以由奔驰定理，得·S △OMB ＋·S △AMO ＋·S △BMA ＝0⇒2＋＋3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1＋x 2－36＝0，2y 1＋y 2－12＝0.把x 1＝y 214，x 2＝y 224代入解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝16，y 1＝8，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝－4.故求得k AB ＝1，即直线l 的斜率为1.结论拓展 奔驰定理：已知O 为△ABC 内一点，则有·S △OBC ＋·S △OAC ＋·S △OAB ＝0.答案 1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m ，a n ＋1＝S n ＋2.(1)求m 的值；(2)若b n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ＋1，n 为偶数，求b 1＋b 2＋…＋b n 的值．解析 (1)由a n ＋1＝S n ＋2，得a n ＝S n －1＋2(n ≥2)， ∴a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，∴a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝S 1＋2＝m ＋2，{a n }是等比数列，∴m ＋2m ＝2，∴m ＝2.(4分)(2)由(1)得，a n ＝2n ，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，令b 1＋b 2＋…＋b n ＝T n ，则T 2k ＝b 1＋b 2＋…＋b 2k ＝(b 1＋b 3＋…＋b 2k －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2k )＝21＋23＋…＋22k －1＋(3＋5＋…＋2k ＋1)＝2·1－4k 1－4＋k 2＋2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k .(7分)∴当n 为偶数时，T n ＝23(4n 2－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＋2·n 2＝23·2n ＋n 24＋n －23.(8分)T 2k －1＝T 2k －b 2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k －(2k ＋1)＝23·4k ＋k 2－53. ∴n 为奇数时，T n ＝23·4n ＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋122－53＝43·2n ＋n 24＋n 2－1712.(10分) 故b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23·2n ＋n 24＋n －23，n 为偶数，43·2n ＋n 24＋n 2－1712，n 为奇数.(12分)18．(12分)某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：(2)根据图优劣进行比较；(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解析(1)根据图1和表1得到2×2列联表：设备改造前 设备改造后 合计合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计100100200(1分)将2×2列联表中的数据代入公式计算得： K 2＝nad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d＝200×86×4－96×142182×18×100×100＝5 000819≈6.105.(3分)∵6.105<6.635，∴没有99%的把握认为该企业生产的产品的质量指标值与设备改造有关．(4分)(2)根据图1和表1可知，设备改造前的产品为合格品的概率约为86100＝4350，设备改造后产品为合格品的概率约为96100＝2425；显然设备改造后产品合格率更高，因此，改造后的设备更优．(6分)(3)由表1知：一等品的频率为12，即从所有合格产品中随机抽到一件一等品的概率为12； 二等品的频率为13，即从所有合格产品中随机抽到一件二等品的概率为13； 三等品的概率为16，即从所有合格产品中随机抽到一件三等品的概率为16.(7分)由已知得：随机变量X 的取值为：240,270,300,330,360.(8分)P (X ＝240)＝16×16＝136，P (X ＝270)＝C 12×13×16＝19，P (X ＝300)＝C 12×12×16＋13×13＝518，P (X ＝330)＝C 12×12×13＝13，P (X ＝360)＝12×12＝14. ∴随机变量X 的分布列为：(10分)∴E (X )＝240×136＋270×19＋300×518＋330×13＋360×14＝320.(12分)19.(12分)如图，在几何体ABCDA ′B ′C ′D ′中，四边形ABCD 是边长为22的正方形，四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形，AA ′⊥平面ABCD ，AA ′∥BB ′∥CC ′∥DD ′，DD ′＝4，BB ′＝1，M 是线段CC ′上一点，且CM ＝1，AM ∥平面A ′B ′C ′D ′.(1)求线段AA ′的长；(2)求直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值．解析 (1)设AA ′＝x ，连接A ′C ′，则由AM ∥平面A ′B ′C ′D ′，平面AMC ′A ′∩平面A ′B ′C ′D ′＝A ′C ′，得AM ∥A ′C ′，所以四边形A ′C ′MA 是平行四边形，则C ′M ＝x ，C ′C ＝x ＋1.连接B ′D ′交A ′C ′于点O ′，连接AC ，BD 交于点O ，连接OO ′，则OO ′为梯形BB ′D ′D 的中位线，得2OO ′＝5.又易知OO ′为梯形A ′C ′CA 的中位线，所以x ＋x ＋1＝2OO ′＝5，得x ＝2，即线段AA ′的长为2.(5分)(2)解法一：延长D ′A ′，DA 交于点Q ，由AA ′＝2，D ′D ＝4，得AA ′是△QD ′D 的中位线．连接BQ ，则AO 为△DQB 的中位线，AO ∥BQ ，所以BQ ⊥BD ， 又DD ′∥AA ′，AA ′⊥平面ABCD ，所以BQ ⊥D ′D ， 所以BQ ⊥平面BDD ′B ′，所以平面BQD ′⊥平面BDD ′.作DH ⊥BD ′于点H ，则DH ⊥平面BQD ′，∠DD ′B 即所求线面角． 由DB ＝DD ′＝4，得∠DD ′B ＝45°，则直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为22.(12分)解法二：以点D 为坐标原点，，，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A ′(22，0,2)，D ′(0,0,4)，B (22，22，0)，＝(－22，0,2)，＝(0,22，－2)，＝(0,0，－4)．设平面A ′D ′B 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则所以⎩⎪⎨⎪⎧－22a ＋2c ＝0，22b －2c ＝0.令a＝1，则m ＝(1,1，2)为平面A ′D ′B 的一个法向量．(9分)故直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为|cos 〈m ，〉|＝＝22.(12分)20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y ＝2x ＋3相切，点P 在椭圆C 上，|PF 1|＝2，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，试求△AOB 的面积(O 为坐标原点)．解析 (1)依题意有b ＝32＋1＝3，∴b 2＝3.由|PF 1|＝2及椭圆的定义得|PF 2|＝2a －2.由|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，得a 2－3a ＋3＝c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，解得c ＝1，a ＝2. 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，化简可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＝48(3＋4k 2－m 2)>0，即3＋4k 2－m 2>0， 又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，(6分)所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. 由3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，得3×4(m 2－3)3＋4k 2＋4×3m 2－12k 23＋4k 2＝0，即2m 2＝3＋4k 2.(8分)|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k2·48(3＋4k2－m2)(3＋4k2)2＝1＋k2·12m2，点O到AB的距离d＝|m|1＋k2＝m21＋k2，(10分)所以S△AOB＝12·d·|AB|＝12·1＋k2·12m2·m21＋k2＝3，故三角形AOB的面积为 3.(12分)21．(12分)已知函数f(x)＝a e2x－a e x－x e x(a≥0，e为自然对数的底数)，若f(x)≥0对于x∈R恒成立．(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点x0，且ln 22e＋14e2≤f(x0)<14.解析(1)由f(x)＝e x(a e x－a－x)≥0可得g(x)＝a e x－a－x≥0.∵g(0)＝0，∴g(x)≥g(0)，∴x＝0是g(x)的一个极小值点，∵g′(x)＝a e x－1，∴g′(0)＝a－1＝0⇒a＝1.(2分)当a＝1时，g(x)＝e x－1－x，g′(x)＝e x－1，∵x∈(－∞，0)，g′(x)<0，g(x)在(－∞，0)上单调递减；x∈(0，＋∞)，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；∴g(x)≥g(0)＝0，∴a＝1.(4分)(2)当a＝1时，f(x)＝e2x－e x－x e x，f′(x)＝e x(2e x－x－2)．令h(x)＝2e x－x－2，则h′(x)＝2e x－1，∵x∈(－∞，－ln 2)，h′(x)<0，h(x)在(－∞，－ln 2)上为减函数；x∈(－ln 2，＋∞)，h′(x)>0，h(x)在(－ln 2，＋∞)上为增函数，∵h(－1)<0，h(－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x＝x0满足h(x0)＝0，(6分)∵h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数， ∴x ∈(－∞，x 0)时h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(－∞，x 0)上为增函数； x ∈(x 0，－ln 2)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(x 0，－ln 2)上为减函数．∴f (x )在(－∞，－ln 2)上只有一个极大值点x 0，(7分) 由于h (0)＝0，且h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数， ∴x ∈(－ln 2,0)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(－ln 2,0)上为减函数； x ∈(0，＋∞)时，h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∴f (x )在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0.(8分)综上可知，f (x )存在唯一的极大值点x 0，且x 0∈(－2，－1)．(9分) ∵h (x 0)＝0，∴2e x 0－x 0－2＝0，∴f (x 0)＝e2x 0－e x 0－x 0e x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22(x 0＋1)＝－x 20＋2x 04，x 0∈(－2，－1)，(10分)∵x ∈(－2，－1)时，－x 2＋2x 4<14，∴f (x 0)<14. ∵ln 12e ∈(－2，－1)，∴f (x 0)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12e ＝ln 22e ＋14e 2.综上知，ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.(12分)(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4t ，y ＝1＋3t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ3＋sin 2θ＝2 3.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,1)，直线l 与C 交于A ，B 两点，求||P A |－|PB ||的值． 解析 (1)ρ3＋sin 2θ＝23⇔3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，得3(x 2＋y 2)＋y 2＝12， 化简可得C 的直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由l 的参数方程可得直线l 过点P (1,1)，且直线l 的斜率是34，所以过点P (1,1)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 是参数)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 是参数)代入x 24＋y 23＝1，整理得84t 2＋240t －125＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－207，t 1t 2＝－12584，所以||P A |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝207.(10分) 23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1|(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥1； (2)求证：f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12. 解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|－|2x －1|.所以⎩⎨⎧x <12，2－x －1＋2x ≥1，或⎩⎨⎧12≤x ≤2，2－x －2x ＋1≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x －2－2x ＋1≥1，解得0≤x ≤23，所以当a ＝2时，不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤23.(5分)(2)证明：f (x )＝|x －a |－|2x －1| ＝|x －a |－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤|a －x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a －x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.(10分)。

2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟（八）数学试题（理）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.）1.12i12i+=- A. 43i 55--B. 43i 55-+C. 34i 55--D. 34i 55-+【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii Q ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2.已知集合{}{}2|02,N ,|450,N A y y y B x x x x =≤<∈=--≤∈，则A B =I （ ）A. {}1B. {}0,1C. [)0,2 D. ∅【答案】B 【解析】集合{}0,1A =，{}0,1,2,3,4,5B =，所以{}0,1A B =I .故选择B.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上， 则cos2θ＝( ) A. －45B. －35C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos θ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos θ的平方代入即可求出值．【详解】解：根据题意可知：tan θ＝2，所以cos 2θ22221115cos sin cos tan θθθθ===++， 则cos2θ＝2cos 2θ﹣1＝215⨯-135=-． 故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．【此处有视频，请去附件查看】4.曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点（1，1）处的切线的斜率k ． 【详解】解：由题意知，1x y xe-=，则()11x y x e-=+' ，∴在点（1，1）处的切线的斜率k ＝2，故选：B【点睛】本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题． 5.下列叙述正确的是（ ）A. 命题“p 且q ”为真，则,p q 恰有一个为真命题B. 命题“已知,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件”C. 命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤D. 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()0)·(f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点 【答案】C 【解析】 【分析】由p 且q 的真值表，可判断正误；由充分必要条件的定义和特值法，可判断正误；由全称命题的否定为特称命题，可判断正误；由函数零点存在定理可判断正误.【详解】解：对于A ，命题“P 且q 为真，则P ，q 均为真命题”，故错误；对于B ，“a ＞b ”推不出“a 2＞b 2”，比如a ＝1，b ＝﹣1；反之也推不出，比如a ＝﹣2，b ＝0，“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的不充分不必要条件，故错误；对于C ，命题:0p x ∀>都有e 1x >，则0:0p x ⌝∃>，使得01x e ≤，故正确； 对于D ，如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）•f （b ）＜0，由零点存在定理可得函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，故错误． 其中真命题的个数为1， 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断，考查命题的否定和充分必要条件的判断，以及函数零点存在定理和函数的单调性的判断，考查判断能力和运算能力，属于中档题．6.若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【分析】作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,根据最优解求得最大值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数化为斜截式可得:322z y x =-+, 根据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点M ,联立220x y y --=⎧⎨=⎩,解得2,0x y ==,所以(2,0)M ,将2,0x y ==代入目标函数可得z 的最大值为6. 故选:C.【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题. 7.若1a b >>，01c <<，则（ ） A. c c a b < B. c c ab ba <C. log log b a a c b c <D. log log a b c c <【答案】C【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误， 因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<Q lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<Q 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 【此处有视频，请去附件查看】8.在ABC ∆中，0,2,AB BC AB BC •===u u u r u u u r u u u r u u u r D 为AC 的中点，则BD DA •u u u r u u u r=( )A. 2B. -2C. D. -【答案】B 【解析】∵D 为AC 的中点∴1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，11()22DA CA CB BA u u u v u u u v u u u v u u u v ==+∵•0,2,AB BC AB BC ===u u u v u u u v u u u v u u u v∴221111()()()(412)22244BD DA BA BC CB BA BA BC ⋅=+⋅+=-=-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v故选B.9.函数()11xx f x e x -=++的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】当x →-∞时，120,1111xx e x x -→=-→++，所以去掉A,B; 因为21(0)0,(1),(2)3f f e f e ===+，所以(2)(1)(1)(0)f f f f ->-，因此去掉C ，选D.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．10.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A.33πB. 8πC. 6πD.433π【答案】B 【解析】几何体如图，球心为O ，半径为1+1=2，表面积为242=8ππ（），选B.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 11.不等式x e x ax ->的解集为P ,且[]0,2P ⊆,则a 的取值范围是（ ） A. (),1e -∞- B. ()1,e -+∞C. (),1e -∞+D. ()1,e ++∞【答案】A 【解析】试题分析：即不等式xe x ax ->在(0,2]是上恒成立，即min (1),(0,2]xe a x x<-∈，令(1),(0,2]x e y x x =-∈，则(1)01x e x y x x ==⇒'-=，列表分析可得1x =时(1)xe y x=-取最小值1e -，从而a 的取值范围是(),1e -∞-，选A. 考点：不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f （x ）≥a 恒成立，只需f （x ）min≥a 即可；f （x ）≤a 恒成立，只需f （x ）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若()ln ()0xf x x f x '+>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（ ） A. (0,1) B. (1,)+∞C. (,)e +∞D. (0,)e【答案】C 【解析】 【分析】令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0．x ∈（0，+∞）．xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调性，即可解出． 【详解】解：令g （x ）＝f （x ）lnx ﹣1，g （e ）＝f （e ）lne ﹣1＝0，x ∈（0，+∞）． ∵xg ′（x ）＝xf ′（x ）lnx +f （x ）＞0，在x ∈（0，+∞）上恒成立． ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．由()1f x ＜lnx ，可得()()10f x lnx f x ->，即()()0g x f x > 又()0f x > ∴g （x ）＞0=g （e ）， ∴x ＞e ．即不等式()1f x ＜lnx 的解集为{x |x ＞e }． 故选：C ．【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量(1,),(,4)a x b x ==r r ，若a r 与b r反向则x =_________【答案】2- 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式即可得到结果.【详解】∵向量(1,),(,4)a x b x ==r r ， a r 与b r反向∴240x a b ⎧=⎨⋅<⎩v v ，解得2x =-，故答案为：2-【点睛】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用． 14.函数()cos26sin 1f x x x =++的最大值为_______【答案】6 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式，转化为关于t 的一元二次函数，进而可根据二次函数的性质来解决． 【详解】解：y ＝﹣2sin 2x +6sin x +2， 设sin x ＝t ，则﹣1≤t ≤1，f （t ）＝﹣2t 2+6t +2，对称轴为x 32=，开口方向向下，在区间[﹣1，1]上单调增， ∴f （t ）max ＝f （1）＝6， 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题．解题过程中运用了函数思想和转化与化归思想．15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c ABC ABC ︒∠=∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________【答案】【解析】 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】解：由题意得12ac sin60°12=a sin30°12+c sin30°，＝a +c ，得11a c+=， 得4a +c4a +c ）（11a c +）45c a a c ⎫=++⎪⎝⎭5⎫⎪⎪⎝⎭＝， 当且仅当4c aa c=，即c ＝2a 时，取等号，故答案为：．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用与三角形的面积公式，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．16.设()f x 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当[2,3]x ∈时，()f x x =，则当[2,0]x ∈-时，()f x 的解析式为______________【答案】()3|1|f x x =-+ 【解析】 【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ，可得答案． 【详解】解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，x ∈[2，3]时，f （x ）＝x ， ∴x ∈[﹣2，﹣1]时， 2+x ∈[0，1]，4+x ∈[2，3]， 此时f （x ）＝f （4+x ）＝4+x ， x ∈[﹣1，0]时，﹣x ∈[0，1]，2﹣x ∈[2，3]，此时f （x ）＝f （﹣x ）＝f （2﹣x ）＝2﹣x ， 综上可得：x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝3﹣|x +1| 故答案为：()3|1|f x x =-+【点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知函数()22sin cos 1f x x x x =-++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)T π=，对称中心(,0),()212k k Z ππ-∈； (Ⅱ)min max ()()1,()()266f x f f x f ππ=-=-==. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先通过三角恒等变换把()f x 化简成一角一名一次式即y=sin()A x ωϕ+的形式，由正弦函数的性质求得其最小正周期和对称中心；(Ⅱ)由63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出x ωϕ+的范围，结合图象找出函数的最值点，进而求得()f x 的最值，得解.试题解析：解：（Ⅰ）()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+∴()f x 的最小正周期为， 令，则，∴()f x 的对称中心为；（Ⅱ）∵∴∴ ∴∴当时，()f x 的最小值为； 当时，()f x 的最大值为． 考点：二倍角公式、两角和与差的正弦公式及三角函数的图象与性质.【易错点晴】本题涉及到降幂公式，要注意区分两个公式，同时要注意两个特殊角的三角函数值，保证化简过程正确是得分的前提，否则一旦出错将会一错到底，一分不得，不少考生犯这样的低级错误，实在可惜；对于给定区间上的最值问题，在换元的基础上结合三角函数的图象搞清楚其单调性，找准最值点，再求最值，部分考生不考虑单调性，直接代入区间两个端点的值来求最值，说明对函数单调性对函数最值的影响认识肤浅、不到位.18.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）1n n +. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据{}n a 是等差数列，设公差为d ，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （Ⅱ）求得()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++，由裂项相消求和，化简运算可得所求和． 【详解】（Ⅰ）公差d 不为零的等差数列{}n a ，若515S =，且124,,a a a 成等比数列，可得2121451015,a d a a a +==，即21113a d a a d +=+（）（）， 解得111a d ==，．则n a n =；（Ⅱ）()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++， 可得前n 项和1111112231n T n n =-+-++-+L .1111n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．19.如图，直棱柱111ABC A B C -中，D E ，分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB ===，22AB =（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（26 【解析】【分析】（1）连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，则BC 1∥DF ，由此能证明BC 1∥平面A 1C ． （2）以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系C ﹣xyz ，利用向量法能求出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【详解】（1）如图，连接1AC 交1A C 于点F ，则点F 为1AC 的中点，连接DF .因为D 是AB 的中点，所以在1ABC ∆中，DF 是中位线，所以1//DF BC .因为1BC ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD .（2）因为22AC CB AB ==， 所以90ACB ︒∠=，即AC BC ⊥.则以C 为坐标原点，分别以CA u u u r ，u u r CB ，1CC u u u u r 为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设12AA AC CB ===，则(0,0,0)C ，(1,1,0)D ，(0,2,1)E ，1(2,0,2)A则(1,1,0)CD =u u u r ，(0,2,1)CE =u u u r ，1(2,0,2)CA =u u u r . 设111(,,)m x y z =u r 是平面1DA C 的一个法向量，则100m CD m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩， 取11x =，则11y =-，11z =-，则(1,1,1)m =--u r. 设222(,,)n x y z =r 是平面1EA C一个法向量，则100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u uv v ，即222220220y z x z +=⎧⎨+=⎩， 取22x =，则21y =，22z =-，则(2,1,2)n =-r .所以cos ,m n 〈〉==u r r ， 所以sin ,3m n 〈〉=u r r ， 即二面角1D A C E --. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos B C b c +=（1）求b 的值；（2）若cos 2B B =,求a c +的取值范围. 【答案】（1）b =（2）a c +∈⎝ 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos ,cos B C 分别用边表示，再根据正弦定理可以将sin sin A C转化为a c ，于是可以求出b 的值；（2）首先根据sin 2B B +=求出角B 的值，根据第（1）问得到的b 值，可以运用正弦定理求出ABC ∆外接圆半径R ，于是可以将a c +转化为2sin 2sin R A R C +，又因为角B 的值已经得到，所以将2sin 2sin R A R C +转化为关于A 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B 的值后，应用余弦定理及重要不等式222a c ac +≥，求出a c +的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由cos cos B C b c +=应用余弦定理，可得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=化简得2b =则b =（2）Q cos 2B B +=1cos 12B B ∴+=即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈Q 62B ππ∴+= 所以3B π=法一.Q 21sin bR B ==,则sin sin a c A C +=+ =2sin sin 3A A π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=3sin 2A A +6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭又20,3A π<<Q 2a c ∴<+≤法二因为b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得()2334a c ac =+-， 又因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时“=”成立. 所以()2334a c ac =+- ()()222324a c a c a c ++⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭a c ∴+≤2a cb +>=综上a c +∈⎝21.已知数列{}n a 中，132a =且12n a =()11n a n -++()2n n N *≥∈，． （Ⅰ）求2a ，3a ；并证明{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）925,48，证明见解析；（Ⅱ）()1122n n n +-⋅++. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出2a 和3a 的值，再根据题意将n a 的递推式代入n a n -进行计算化简最终会得到n a n -和()11n a n ---的关系，最终得证数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得n b 的通项公式，得到·21n n b n =+，由n b 通项公式的特点可根据错位相减法得到数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】（Ⅰ）由题意，可知：()211212a a =++= 13921224⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭， ()321312a a =++= 192531248⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭．①当1n =时，1311122a -=-=， ②当2n ≥时，()1112n n a n a n n --=++-= 1111222n a n n -++-= 1111222n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n --+= ()1112n a n -⎡⎤--⎣⎦． ∴数列{}n a n -是以12为首项，12为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ），可知：12nn a n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴ 12nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．*n N ∈． ∴ 1222n n n n n b a n ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 122212n n n n n n ⋅+⋅=⋅+． 123n n S b b b b ∴=++++L()()12121221=⋅++⋅++ ()()332121n n ⋅++⋅+L1231222322n n n =⋅+⋅+⋅++⋅+L ， ③2321222n S =⋅+⋅+L ()11222n n n n n ++-⋅+⋅+ ④③-④，可得： 123121212n S -=⋅+⋅+⋅+L +11222n n n n n +⋅-⋅+- 1122212n n n n ++-=-⋅-- ()1122n n n +=-⋅--，()1122n n S n n +∴=-⋅++【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前n 项和．本题属中档题．22.已知21()(2)(0)2x f x ax ax x e a =-++->． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在3个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）22(2,)(,)e e e +∞U【解析】【分析】(1)对函数求导，比较导函数的两根大小，进而得到单调性；（2）通过函数表达式可得到函数有一个零点2，要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根，即()22,0x e a x x=≠，令()2xe h x x=对函数求导研究函数单调性，结合函数的图像得到参数范围. 【详解】（1）()()()()21x x x f x ax a e x e x e a =-+++-=--' 因为0a >，由()0f x '=，得11x =或2ln x a =．（i ）当0a e <<时，1ln a >，在(),ln a -∞和()1,+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在()ln ,1a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，（ii ）当a e =时，1ln a =，在(),-∞+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，（iii ）当a e >时，ln 1a >，在(),1-∞和()ln ,a +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在()1,ln a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，（2）()()()2112222x x f x ax ax x e x ax e ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 有一个零点2x =．要使得()f x 有3个零点，即方程()1022x ax e x -+=≠有2个实数根， 又方程()()12022,02x x e ax e x a x x -+=≠⇔=≠，令()()22,0xe h x x x=≠，即函数y a =与()y h x =图像有两个交点，令()()2221220x x x e x xe e h x x x-='-==，得1x = ()h x 的单调性如表：x (),0-∞()0,1 1 ()1,2 ()2,+∞ ()h x '－ － 0 ＋ ＋ ()h x↘ ↘ 极小值 ↗ ↗当0x <时，()0h x <，又()22h e =，()h x 的大致图像如图， 所以，要使得()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围为()()222,,e e e ⋃+∞ 【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。

专题八 解析几何1、直线50x +-=的倾斜角为（ ） A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2、过点(1,0)且与直线220x y --＝平行的直线方程是 ( ) A ．210x y --＝ B ．210x y -+＝ C ．220x y +-＝D ．210x y +-＝3、坐标原点到直线3450x y ++=的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.44、已知()(4,51)6,A B ---、，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．22132)9()(x y ++－＝ B ．22132)9()(x y -++＝ C ．221311()(6)x y +-+＝D ．221311()(6)x y -++＝50y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于( )A.B.C. -D. -或6、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则椭圆E 的方程为( ) A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y +=D.221189x y +=7、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的渐近线方程为( )A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =±D.y x =±8、点(2,1)A 到抛物线2x ay =的准线的距离为3,则实数a 的值为( ) A.4B.14C.14或120- D.4或-209、已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．B ．1±C ．34±D ． 10、如图所示,已知椭圆方程为()222210,x y a b A a b+=>>为椭圆的左顶点, B C 、在椭圆上,若四边形OABC 为平行四边形,且45OAB ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.11、已知直线1l ：4230x y -+=与直线2l ：210ax y ++=垂直，则a = 。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题“12选择＋4填空”专项2时间：45分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－4＜0}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|x＜2}C．{x|－2＜x＜0} D．{x|x＞－2}解析：解不等式x2－4＜0得－2＜x＜2，所以集合A＝{x|－2＜x＜2}，解不等式2x＜1得x＜0，所以集合B＝{x|x＜0}，所以A∪B＝{x|x＜2}，故选B.答案：B2．若复数z满足z(1＋i)＝|1＋3i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由题得z＝21＋i＝2(1－i)(1＋i)(1－i)＝1－i，所以z＝1＋i，所以在复平面内z的共轭复数对应的点为(1,1)，在第一象限，故选A.答案：A3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2，x)满足(3a＋b)·c＝10，则x＝( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意，向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2，x)，则向量3a＋b＝3(1,1)＋(－1,3)＝(2,6)，所以(3a＋b)·c＝(2,6)·(2，x)＝2×2＋6x＝10，解得x＝1，故选A.答案：A4．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )A.125 B.340 C.18 D.35解析：如图，F 为月球的球心，月球半径为12×3476＝1738，依题意，|AF |＝100＋1738＝1838，|BF |＝400＋1738＝2138,2a ＝1838＋2138，a ＝1988，a ＋c ＝2138，c ＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：e ＝c a ＝1501988≈340，故选B.答案：B5．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：总体均值为2，总体方差为3D ．丁地：中位数为2，众数为3解析：A 选项，若10天内数据为：0,0,0,0,4,4,4,4,4,10，满足均值为3，中位数为4，存在超过7人的情况，不符合该标志，则A 错误；B 选项，若10天内数据为：0,0,0,0,0,0,0,0,0,10，满足均值为1，方差大于0，存在超过7人的情况，不符合该标志，则B 错误；C 选项，设10天内存在一天超过7人，为最低的超过标志的人数8人，则必有s 2＝110[(x 1－2)2＋…＋(x 9－2)2＋(8－2)2]>3，可知方差不可能为3，可知假设错误，则必符合该标志，则C 正确；D 选项，若10天内数据为0,0,1,1,2,2,3,3,3,10，满足中位数为2，众数为3，存在超过7人的情况，不符合该标志，则D 错误，故选C.答案：C6．若a >b ，ab ≠0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2>b 2 B ．lg(a －b )>0 C.1a <1bD ．2a >2b解析：对于选项A ，a 2>b 2不一定成立，如a ＝1>b ＝－2，但是a 2<b 2，所以该选项是错误的；对于选项B ，a ＝12，b ＝13，a －b ＝16，lg 16<0，所以该选项是错误的；对于选项C ，1a －1b ＝b －a ab ，因为b －a <0，ab 符号不确定，所以1a <1b不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D ，因为a >b ，所以2a >2b ，所以该选项是正确的，故选D.答案：D7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．若m ⊥α，n ⊥β，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得，当m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n 时，则必有α⊥β；反之，当α⊥β，m ⊥α，n ⊥β时，则必有m ⊥n ，所以当m ⊥α，n ⊥β时，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的充要条件，故选C.答案：C8．已知M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上的任意一点，以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)，设斜率为1的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，则线段PQ 的中点的纵坐标为( )A ．2 B. 4 C ．6D ．8解析：由于以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)，根据抛物线的定义可知N 为抛物线的焦点，所以p2＝1，p ＝2，得抛物线方程为y 2＝4x .设斜率为1的直线的方程为y ＝x ＋b ，则x ＝y －b ，代入抛物线方程得y 2＝4(y －b )，整理得y 2－4y ＋4b ＝0，所以y 1＋y 2＝4，y 1＋y 22＝42＝2，得PQ 中点的纵坐标为2，故选A.答案：A9．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，π2上有最小值－1，则a 的最大值为( )A ．－π2B ．－π3C ．－π4D ．－π6解析：函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a －π3，2π3，f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，π2上有最小值－1，根据余弦函数的性质，可得2a －π3≤－π，可得a ≤－π3，故选B.答案：B10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4，则sin2θ＝( )A.18 B.310 C.35 D.45 解析：通解：由题得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝2，∴1＋tan θ1－tan θ＝2，∴tan θ＝13. 当θ在第一象限时，sin θ＝1010，cos θ＝31010， ∴sin2θ＝2×1010×31010＝35；当θ在第三象限时，sin θ＝－1010，cos θ＝－31010，∴sin2θ＝2×－1010×－31010＝35，故选C. 另解：由题意得sin θ＋cos θ＝2(cos θ－sin θ) 两边平方，得1＋sin2θ＝4(1－sin2θ)， 所以sin2θ＝35.答案：C11．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与C 的公共点为P ，若ΔPF 1F 2是直角三角形，则C 的离心率为( )A.2－1B.5－1C.2＋1D.5＋1解析：由题意知|F 1F 2|＝2c ＝|PF 1|，若ΔPF 1F 2是直角三角形，则∠PF 1F 2＝π2，且|PF 2|＝22c ，又由双曲线的定义可知|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝2a ＋2c ＝22c ，即2a ＝(22－2)c .由e＝ca＝12－1，解得e ＝2＋1，故选C.答案：C12．设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对于任意的实数x ，都有f (x )＝6x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，2f ′(x )＋1＜12x ，若f (m ＋2)≤f (－2m )＋12m ＋12－9m 2，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－23，＋∞ B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，＋∞ C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：因为f (x )＝6x 2－f (－x )， 所以f (x )－3x 2＝－[f (－x )－3(－x )2]．记g (x )＝f (x )－3x 2，则g (x )＝－g (－x )，所以g (x )为奇函数，且g ′(x )＝f ′(x )－6x .又因为当x ∈(－∞，0)时，2f ′(x )＋1＜12x ，即f ′(x )－6x <－12，所以当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．又因为g (x )为奇函数，所以g (x )在R 上单调递减，若f (m ＋2)≤f (－2m )＋12m ＋12－9m 2，则f (m ＋2)－3(m ＋2)2≤f (－2m )－3(－2m )2，即g (m ＋2)≤g (－2m )，所以m ＋2≥－2m ，所以m ≥－23，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝1x ＋log 21＋ax1－x为奇函数，则实数a ＝________.解析：∵函数f (x )＝1x ＋log 21＋ax1－x为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0， 则－1x ＋log 21－ax 1＋x ＋1x ＋log 21＋ax1－x＝0，即log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋ax 1－x ·1－ax 1＋x ＝0，∴1＋ax 1－x ·1－ax 1＋x ＝1－a 2x 21－x 2＝1， 化简得1－a 2x 2＝1－x 2， ∴a 2＝1，解得a ＝±1. 当a ＝－1时，f (x )＝1x＋log 21－x1－x，则f (x )的定义域为{x |x ≠0且x ≠1}，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当a ＝1时，f (x )＝1x＋log 21＋x1－x，满足题意，∴a ＝1.答案：114．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”、“社会主义核心价值观”、“依法治国理念”、“中国戏剧”、“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是________．解析：由于知识竞赛有五个板块，所以共有C 25＝10种结果，某参赛队从中任选2个主题作答，选中的结果为C 14＝4种，则“中华诗词”主题被选中的概率为P (A )＝25. 答案：2515．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝2a cos B ，且a ＝2，b ＝3，则△ABC 的面积是_____．解析：由题意可知b cos C ＋c cos B ＝2a cos B ， 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B ， 又在△ABC 中，A ＝π－(B ＋C )， 所以sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，即sin A ＝2sin A cos B ，又A ∈(0，π)， 所以sinA ＞0， 所以cos B ＝12，又由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2ac ·cos B ，且a ＝2，b ＝3， 整理得c 2－2c －5＝0，解得c ＝1＋6或c ＝1－6(舍)，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.答案：3＋32216．如图1为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银钿工的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是由双曲线C ：x 23－y 29＝1的右支与直线x ＝0，y ＝4，y ＝－2围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图2，N ，P 分别为C 的渐近线与y ＝4，y ＝－2的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等)求得．据此求得该金杯的容积是________．(杯壁厚度忽略不计)图1图2解析：由双曲线C ：x 23－y 29＝1，得x 2＝3＋y 23，由祖暅原理可知，金杯的容积与曲形四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积相同，而曲形四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积为V ＝πx 2d y ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋y 23d y ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3y ＋y 39 ＝π⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋649－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6－89＝26π.∴金杯的容积是26π. 答案：26π。

2020届全国高考数学（理）增分练高考预测卷（二）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m<x<5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于( ) A．9 B．8C．7 D．6解析M＝{x|0<x<4}，又N＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，故m＝3，n＝4，∴m＋n＝7，选C.答案 C2．(2018·唐山二模)若复数z＝1＋ia－i(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为( )A．1 B．i C．2 D．2i解析设z＝1＋ia－i＝b i(b∈R且b≠0)，则1＋i＝b＋ab i，∴b＝1.选A.答案 A3．(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝|m|·|n||cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案 D4．甲、乙、丙3人参加某项测试，每人通过该测试的概率都为13，测试结束后，已知甲、乙、丙3人中至少有1人通过该测试，则甲未通过该测试的概率是( )A.12 B ．920 C.1019D ．919解析 设事件A 为“甲、乙、丙3人中至少有1人通过该测试”，事件B 为“甲未通过该测试”．则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝1927，P (AB )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝1027，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1019.答案 C5．在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，若a ＝8，b ＝7，B ＝60°，则sin C ＝( ) A.3314B ．5314 C.3314或5314D ．1114解析 通解8sin A ＝7sin60°⇒sin A ＝437⇒cos A ＝±17.因为sin B ＝32，cos B ＝12，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以当cos A ＝17时，sin C ＝5314；当cos A ＝－17时，sin C＝3314.故sin C 的值为3314或5314. 优解 设角C 的对边为c ，由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒49＝64＋c 2－8c ⇒c ＝3或c ＝5.当c ＝3时，sin C ＝c b ·sin B ＝3314；当c ＝5时，sin C ＝c b ·sin B ＝5314.故sin C 的值为3314或5314. 答案 C6．函数f (x )＝e x ＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图像大致为( )解析由题意，f(－x)＝e－x＋1－x(e－x－1)＝e x＋1－x(1－e x)＝e x＋1x(e x－1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故f(x)的图像关于y轴对称，排除B，C；又x→0＋时，e x＋1→2，x(e x－1)→0＋，所以e x＋1x(e x－1)→＋∞，排除D，故选A.答案 A7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别是2 020，1，则输出的i＝( )A．5 B．6C．7 D．8解析i＝1，a＝2 020＋1，b＝1＝1！；i＝2，a＝2 020＋3，b＝2×1＝2！；…i ＝n ，a ＝2 020＋n (n ＋1)2，b ＝n ！.当i ＝6时，a ＝2 020＋21＝2 041，b ＝6！＝720<a ； 当i ＝7时，a ＝2 020＋28＝2 048，b ＝7！＝5 040>a . 故输出的i 的值为7. 答案 C8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，官赐金依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出．下三人后入，得金三斤，持出．中间四人未到者，亦依等次更给．问各得金几何？”在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )A ．多1斤B ．少1斤C ．多13斤D ．少13斤解析 等级由高到低的十等人所得黄金由多到少依次记为a 1，a 2，…，a 10，则a 1，a 2，…，a 10成等差数列．由题意得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝4，a 2＝43，a 8＋a 9＋a 10＝3a 9＝3，a 9＝1.则a 2－a 9＝43－1＝13，即等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多13斤． 答案 C9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析 如图，当DO ⊥平面ABC 时，三棱锥D ­ABC 的体积最大．∴∠DBO 为直线BD 和平面ABC 所成的角， ∵在Rt △DOB 中，OD ＝OB ，∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°. 答案 C10．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析 如图所示，由几何概型得p 1＝1－12×12×121＝78；由几何概型得p 2＝1－12×121＝34；由几何概型得p 3＝1－∫112⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x d x1＝1＋ln 22；所以p 2<p 3<p 1.答案 B11．已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，且f(x)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，则函数f(x)的单调递增区间是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析 由题设条件可知f (x )的周期T ＝4|α－β|min ＝3π，所以ω＝2πT ＝23，又f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×π4＋φ＝0.因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋1，再由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z .答案 B12．已知函数f (x )是奇函数，且f (x )＋f ′(x )＝ln(x ＋1)－ln(1－x )＋21－x 2，则|f (2x －1)|<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16，12 解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，两边同时求导数得，－f ′(－x )＝－f ′(x )，则f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数．∴f (－x )＋f ′(－x )＝ln(－x ＋1)－ln(1＋x )＋21－x 2，则－f (x )＋f ′(x )＝ln(－x ＋1)－ln(1＋x )＋21－x 2，与f (x )＋f ′(x )＝ln(x ＋1)－ln(1－x )＋21－x 2联立可得⎩⎨⎧f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，f ′(x )＝21－x 2.又f (x )的定义域为(－1,1)，∴f ′(x )＝21－x 2>0，∴f (x )在(－1,1)上为单调递增函数．∴在(0,1)上，f (x )>f (0)＝0，∴|f (x )|为偶函数，且在(0,1)上单调递增． ∴由|f (2x －1)|<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<x ＋12<1，|2x －1|<⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，∴16<x ＜12. 答案 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n的展开式中所有项的系数和为81，则展开式的常数项为________． 解析 令x ＝1，则3n＝81⇒n ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x 4展开式的通项T r ＋1＝C r 4x 4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝2r C r 4x 4－43r ，令4－43r ＝0，得r ＝3，则展开式的常数项为23×C 34＝32. 答案 3214．如图，∠BAC ＝120°，圆M 与AB 、AC 分别切于点D 、E ，AD ＝1，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP →＝xAD →＋yAE →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．解析 如图，记平行于直线DE ，且与圆相切的直线分别为NQ 和BF ，则x ＋y 的最大值为AB AD ＝4＋23，x ＋y 的最小值为ANAD＝4－2 3.答案 [4－23，4＋23]15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥A 1­DEBC .设线段A 1C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面A 1DE ； ②三棱锥C ­A 1DE 体积的最大值为423； ③存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析 取DC 的中点为F ，连接FM ，FB ， 如图所示，可得MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，可得平面MBF ∥平面A 1DE ， 所以BM ∥平面A 1DE ，所以①正确；当平面A 1DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥C ­A 1DE 的体积取得最大值，最大值为13×12A 1D×A 1E ×EC ＝13×12×2×2×22＝432，所以②正确；假设存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°，因为DE ⊥EC ，所以DE ⊥平面A 1EC ， 可得DE ⊥A 1E ，即AE ⊥DE ，与已知条件矛盾，所以③不正确．故答案为①②. 答案 ①②16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为________．解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称，∴B (－x 1，－y 1)，∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21x 22－x 21，∵点A ，C 都在双曲线上，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，可得k 1k 2＝b 2a 2>0，对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2k 1k 2＋ln|k 1k 2|，设函数y ＝2x ＋ln x ，x >0，由y ′＝－2x2＋1x＝0，得x ＝2，当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0，∴当x ＝2时，函数y ＝2x＋ln x ，x >0取得最小值，∴当2k 1k2＋ln(k1k2)最小时，k1k2＝b2a2＝2，∴e＝1＋b2a2＝ 3.答案 3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2.(1)求sin∠ABD；(2)若cos∠BDC＝17，求△BCD的面积．解析(1)在△ABD中，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝9＋4－6＝7，所以BD＝7，(2分)由正弦定理，得BDsin A ＝ADsin∠ABD，(4分)所以sin∠ABD＝AD·sin ABD＝2×327＝37＝217.(6分)(2)因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝3 7，所以sin∠DBC＝27 .因为cos∠BDC＝17，所以sin∠BDC＝437.(8分)所以sin C＝sin(π－∠BDC－∠DBC)＝sin(∠BDC＋∠DBC)＝sin∠BDC cos∠DBC＋cos∠BDC sin∠DBC＝437×37＋17×27＝27.(10分) 所以sin ∠DBC ＝sin C ，所以∠DBC ＝∠C ，所以DC ＝BD ＝7，所以S △BCD ＝12DC ·BD ·sin ∠BDC ＝12×7×7×437＝2 3.(12分)18．(12分)某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”和“区分度”两个指标．其中，难度系数＝年级总平均分总分，区分度＝实验班的平均分－普通班的平均分总分.(1)在某次数学考试(满分150分)中，从实验班和普通班各随机抽取三人，实验班三人的成绩分别为147分，142分，137分，普通班三人的成绩分别为97分，102分，113分，通过样本估算本次考试的区分度(精确到0.01)．(2)以下表格是高三年级6次考试的统计数据：算说明，能否利用线性回归模型拟合y 与x 的关系；②已知t ＝|x －0.74|，求出y 关于t 的线性回归方程，并预报x ＝0.75时y 的值(精确到0.01)．参考数据：∑i ＝16x i y i ＝0.9309，∑i ＝16 (x i －x →)2∑i ＝16 (y i －y →)2≈0.0112，∑i ＝16t i y i ＝0.0483，∑i ＝16(t i －t →)2≈0.0073.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x →)(y i －y →)∑i ＝1n (x i －x →)2∑i ＝1n(y i －y →)2＝∑i ＝1nx i y i －n x →y→∑i ＝1n (x i －x →)2∑i ＝1n(y i －y →)2，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(x i －x →)(y i －y →)∑i ＝1n(x i －x →)2＝∑i ＝1nx i y i －n x →y→∑i ＝1n(x i －x →)2，a ^＝y →－b ^x →.解析 (1)易求得实验班三人成绩的平均分为147＋142＋1373＝142(分)，普通班三人成绩的平均分为97＋102＋1133＝104(分)，所以区分度为142－104150≈0.25.(3分)(2)①由表格数据知，x →＝0.64＋0.71＋0.74＋0.76＋0.77＋0.826＝0.74，y →＝0.18＋0.23＋0.24＋0.24＋0.22＋0.156＝0.21，r ＝∑i ＝16x i y i －n x →y→∑i ＝16(x i －x →)2∑i ＝16(y i －y →)2≈0.9309－6×0.74×0.210.0112≈－0.13，故|r |<0.75，相关性较弱．(6分)综上可知，不能利用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(7分) ②y 与t 的值如下表：则b ^＝∑i＝16t i y i －n t →y →∑i ＝16t i －t→2≈0.0483－6×0.266×0.210.0073≈－0.86，a ^＝y ^－b ^t →＝0.21＋0.86×0.266≈0.25. 故所求回归方程为y ＝－0.86t ＋0.25，(11分) 当x ＝0.75时，t ＝0.01，所以y ≈0.24.(12分) 19．(12分)在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB .(1)设AC 与BD 相交于点M ，AN →＝mAP →(m >0)，且MN ∥平面PCD ，求实数m 的值；(2)若AB ＝AD ＝DP ，∠BAD ＝60°，PB ＝2AD ，且PD ⊥AD ，求二面角B ­PC ­D 的正弦值． 解析 因为AB ∥CD ， 所以AM MC ＝AB CD ＝12，即AM AC ＝13.(1分) 因为MN ∥平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PCD ＝PC ， 所以MN ∥PC .(2分)所以AN AP ＝AM AC ＝13，即m ＝13.(3分)(2)因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，可知△ABD 为等边三角形， 所以BD ＝AD ＝PD ，又BP ＝2AD ， 故BP 2＝PD 2＋DB 2，所以PD ⊥DB . 由已知PD ⊥AD ，AD ∩BD ＝D ， 所以PD ⊥平面ABCD .(5分)如图，以D 为坐标原点，DA →，DP →的方向为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则AB ＝AD ＝DP ＝1，CD ＝2， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，P (0,1,0)，C (－1,0，3)则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32，PC →＝(－1，－1，3)，(6分)设平面PBC 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0.设x 1＝1，则y 1＝2，z 1＝3， 所以m ＝(1,2，3)，(8分)设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0，n ·DP →＝0，即⎩⎨⎧x 2－3z 2＝0，y 2＝0.令z 2＝1，则x 2＝3，所以n ＝(3，0,1)．(10分)所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝64.设二面角B ­PC ­D 的平面角为θ，则sin θ＝104.(12分) 20．(12分)已知抛物线C ：y ＝－x 2，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为－12，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间(不包括点A ，点B )，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 的斜率k 的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．解析 (1)由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94，设P (x P ，－x 2P )，－12<x P <32，所以k ＝－x 2P ＋14x P ＋12＝－x P ＋12∈(－1,1)，故直线AP 的斜率k 的取值范围是(－1,1)．(4分) (2)直线AP ：y ＝kx ＋12k －14，直线BQ ：x ＋ky ＋94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k －14，x ＋ky ＋94k －32＝0，可知，点Q 的横坐标为x Q ＝3－4k －k 22k 2＋2，(5分)|PQ |＝1＋k 2(x Q －x P )＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k －k 22k 2＋2＋k －12 ＝(k －1)2(1＋k )1＋k2(6分) |PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋12＝1＋k 2(1－k )，(7分)所以|PA |·|PQ |＝(1－k )3(1＋k )，(8分) 令f (x )＝(1－x )3(1＋x )，－1<x <1，则f ′(x )＝(1－x )2(－2－4x )＝－2(1－x )2(2x ＋1)， 当－1<x <－12时，f ′(x )>0，当－12<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1上单调递减．故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2716，即|PA |·|PQ |的最大值为2716.(12分)21．(12分)已知函数f (x )＝(mx 2－x ＋m )e －x (m ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当m >0时，证明：不等式f (x )≤m x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1＋1m 上恒成立．解析 (1)由题意得f ′(x )＝－[mx －(m ＋1)](x －1)·e －x ，(1分) ①当m ＝0时，则f ′(x )＝(x －1)e －x ， 令f ′(x )>0时，则x >1；令f ′(x )<0，则x <1.∴f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2分) ②当m <0时，令f ′(x )<0，则1＋1m <x <1；令f ′(x )>0，则x <1＋1m或x >1.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋1m 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ，1上单调递减．(3分)③当m >0时，令f ′(x )<0，则x <1或x >1＋1m；令f ′(x )>0，则1<x <1＋1m.∴f (x )在(－∞，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1m 上单调递增．(4分)(2)由(1)知当m >0时，f (x )在(0,1]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1m 上单调递增，当x ∈(0,1]时，f (x )＝mx 2－x ＋m e x<mx 2＋m e x≤m (x ＋1)e x，(5分)记i (x )＝x ＋1ex，则i ′(x )＝－xex ，当x ∈(0,1]时，i ′(x )<0 ∴i (x )在(0,1]上单调递减，∴i (x )<i (0)＝1， ∴当x ∈(0,1]时，f (x )<m (x ＋1)ex<m ≤m x.当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1m 时，f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝(2m ＋1)·e －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫m x min ＝m 2m ＋1.(7分)下面证明(2m ＋1)e －⎝⎛⎭⎪⎫1＋1m ≤m 2m ＋1，即证e1＋1m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ，(8分)令g (x )＝e x －x (x ＋1)，x >1， 则g ′(x )＝e x －(2x ＋1)，令h (x )＝e x －(2x ＋1)，x >1，则h ′(x )＝e x －2>0，∴h (x )＝g ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，且g ′(1)＝e －3<0， g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e 32－4>0，∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，使得g ′(x 0)＝0，即e x 0－(2x 0＋1)＝0，∴当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，32时，g ′(x )>0，∴g (x )在(1，x 0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，32上单调递增，∴g (x )min ＝g (x 0)＝e x 0－x 20－x 0＝－x 20＋x 0＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋54>0， 当x >1时，g (x )＝e x －x (x ＋1)>0， 即e x >x (x ＋1)，∴e1＋1m ≥⎝⎛⎭⎪⎫1＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ， ∴不等式f (x )≤m x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋1m 上恒成立．(12分)(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(1)写出直线l 的参数方程的标准形式，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 到点P 的距离．解析(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t 2(t 为参数，t ∈R )．由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，得ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(5分) (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t 2代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 2－12＝2，整理得t 2＋t －1＝0，Δ＝5>0，t 1＋t 2＝－1， ∴|MP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝12.(10分) 23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝x 2－|x |＋3. (1)求不等式f (x )≥3x 的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ＋3≥3x ， 即x 2－4x ＋3≥0，解得x ≥3或x ≤1，所以x ≥3或0≤x ≤1； 当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＋3≥3x ， 此不等式x 2－2x ＋3≥0恒成立，所以x <0.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}．(5分) (2)f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即－|x |＋3≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |≥3恒成立， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2 ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a －x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2≥|a |， 当且仅当x ＝0时，等号成立， ∴|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.故实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(10分)。

2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项5时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，B ＝{x |0＜log 2x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,4) B ．(1,2) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜4}， 则A ∩B ＝(2,4)，故选A. 答案：A2．若复数z ＝cos θ＋isin θ，当θ＝4π3时，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意，当θ＝4π3时，sin θ＝－32，cos θ＝－12，所以复数z ＝－12－32i 在复平面所对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－32在第三象限，故选C. 答案：C3．已知等差数列{a n }首项为a 1，公差d ≠0，则“a 1，a 3，a 9成等比数列” 是“a 1＝d ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据题意，设数列{a n }的公差为d, 若a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，变形可得：a 1＝d, 则“a 1，a 3，a 9成等比数列”是“a 1＝d ”的充分条件；若a 1＝d ，则a 3＝a 1＋2d ＝3d ，a 9＝a 1＋8d ＝9d ，则有a 23＝a 1a 9，则“a 1，a 3，a 9成等比数列”是“a 1＝d ”的必要条件．综上可得“a 1，a 3，a 9成等比数列”是“a 1＝d ”的充要条件，故选C.答案：C4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离为22，且离心率为3，则该双曲线实轴的长为( )A ．1 B.3 C ．2D ．23解析：由题意可得，焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，故⎩⎪⎨⎪⎧e ＝ca ＝3，b ＝22，c 2＝a 2＋b 2，求解方程组可得a ＝1，则双曲线实轴的长为2a ＝2，故选C. 答案：C5．CPI 是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图为国家统计局发布的2018年2月至2019年2月全国居民消费价格指数(CPI)数据折线图(注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比；环比表示连续2个单位周期(比如连续两月)内的量的变化比，环比增长率＝(本期数－上期数)/上期数×100%)．全国居民消费价格涨跌幅下列说法错误的是( )A．2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5%B．2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%C．2018年6月份居民消费价格环比下降0.1%D．2018年11月份居民消费价格同比下降0.3%解析：选项A,2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5%，题中的说法正确；选项B,2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%，题中的说法正确；选项C,2018年6月份居民消费价格环比下降0.1%，题中的说法正确；选项D,2018年11月份居民消费价格环比下降0.3%，2018年11月份居民消费价格同比上升2.2%，题中的说法错误，故选D.答案：D6．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p，某检验员从该生产线上随机抽取50个零件，设其中优等品零件的个数为X.若D(X)＝8，P(X＝20)＜P(X＝30)，则p＝( )A．0.16 B．0.2C．0.8 D．0.84解析：∵P(X＝20)＜P(X＝30)，∴C 2050p 20(1－p )30＜C 3050p 30(1－p )20， 化简得1－p ＜p ，即p ＞12.又D (X )＝8＝50p (1－p )，解得p ＝0.2或p ＝0.8. 又p ＞12，则p ＝0.8，故选C.答案：C7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 7－a 4＝6，S 8－S 5＝45，则a 10＝( ) A ．21 B ．27 C ．32D ．56解析：设等差数列{a n }公差为d ，由a 7－a 4＝6得3d ＝6，又S 8－S 5＝45，则a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝45，∴a 7＝15，∴a 10＝a 7＋3d ＝15＋6＝21，故选A. 答案：A8．为了计算S ＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4解析：由S ＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020＝1＋13＋15＋…＋12019－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋14＋…＋12020＝N －T ，即N ＝1＋13＋15＋…＋12019，T ＝12＋14＋…＋12020，则每次循环，i 增加2个数，即i ＝i ＋2，故选B.答案：B9．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2的图象与函数g (x )的图象关于直线x ＝π8对称，则关于函数y ＝g (x )以下说法正确的是( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π8，0对称解析：设点P (x ，y )是函数y ＝g (x )图象上的任意一点，则点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋π4，y 在函数y ＝f (x )的图象上，y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋π4－π2＝－sin2x ＝g (x )，对于选项A ，函数y ＝g (x )的最大值为1，但是g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝0≠±1，所以图象不关于直线x ＝π2对称，所以该选项是错误的；对于选项B ，g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，解2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2得k π－π4≤x ≤k π＋π4，(k ∈Z )，所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4上单调递减，所以该选项是正确的；对于选项C ，由前面分析得函数y ＝g (x )的增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )，且函数y ＝g (x )不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D ，函数的周期为π，解2x ＝k π，∴x ＝k π2，k ∈Z .所以函数图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，所以该选项是错误的，故选B.答案：B10．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段AB ＝2 ，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ＝1，连接AC .以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D .以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点．如图所示，在Rt △ABC 中，扇形区域ADE 记为Ⅰ，扇形区域CBD 记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，(参考数据：5≈2.236)则( )A ．p 1＞p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＝p 2＋p 3D ．p 2＝p 1＋p 3解析：根据几何概型可知，p 1，p 2，p 3的大小关系就是区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积的大小关系，∵AB ＝2，BC ＝1，∴AC ＝5，CD ＝1，AD ＝5－1，设∠A ＝α，则∠C ＝π2－α，∵tan α＝12<33，∴α<π6.S 1＝12×AD 2×α＝(5－1)22α，S 2＝12×BC 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α，S 1－S 2≈12×1.2362α－π4＋12α<12×1.2362×π6－π4＋12×π6<0， ∴S 1<S 2，∴p 1<p 2，故选B.答案：B11．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在侧棱DA 上，DC ＝23，则四面体ABCD的体积为( )A.33 B.32C.233 D. 3解析：由AB ＝BC ＝2，AC ＝2，可知∠ABC ＝π2.取AC 的中点M ，则点M 为△ABC 外接圆的圆心，又O 为四面体ABCD 外接球球心，所以OM ⊥平面ABC ，且OM 为△ACD 的中位线，所以DC ⊥平面ABC ，所以三棱锥D －ABC 的体积为V ＝13×12×2×2×23＝233，故选C.答案：C12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5,0)，O 为坐标原点，则S △AOB ＝( )A ．2 2B.3 C.6 D ．36解析：抛物线的焦点为F (1,0)，设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，化简整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝2k ＋4k －2k ＝4k，所以AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋2k 2，2k ，AB 的垂直平分线方程为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1－2k 2，由于AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5,0)，所以0－2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5－1－2k 2，化简得k ＝±1，即直线AB 的方程为y ＝±(x －1)，点O 到直线AB 的距离d ＝|1|1＋1＝22，又|AB |＝1＋1|x 1－x 2|＝1＋1(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×36－4＝8，所以S △AOB ＝12×22×8＝22，选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y ＝x －a ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 解析：因为曲线y ＝f (x )＝x －a ln(x ＋1)，所以f ′(x )＝1－a x ＋1，因为曲线y ＝f (x )＝x －a ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，所以f ′(0)＝1－a1＝1－a ＝2，a＝－1.答案：－1 14．已知函数f (x )＝cos xx＋12x ＋1＋a 是奇函数，则实数a 的值为________． 解析：解法一：因为函数f (x )＝cos xx ＋12x ＋1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－cos xx－12x ＋1－a ＝cos (－x )－x＋12－x ＋1＋a ，即2a ＝－12－x ＋1－12x ＋1＝－2x 2x ＋1－12x ＋1＝－2x ＋12x ＋1＝－1，则a ＝－12. 解法二：因为函数f (x )＝cos xx ＋12x ＋1＋a 是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即－cos1－12＋1－a ＝－cos(－1)＋12－1＋1＋a ，解得a ＝－12.答案：－1215．设a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且sin βcos β＝1＋cos2α2cos α＋sin2α，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋2β＋π4＝________.解析：sin βcos β＝1＋cos2α2cos α＋sin2α＝2cos 2α2cos α＋2sin αcos α＝cos α1＋sin α＝cos 2α2－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin α2＋cos α22＝cos α2－sinα2sin α2＋cos α2＝1－tanα21＋tan α2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α2，故tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α2.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，π4－α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，∴β＝π4－α2，故2β＝π2－α，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋2β＋π4＝tan 3π4＝－1.答案：－116．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，且CD ＝3AD ，BD ＝2，cos ∠ABC 2＝104，则3AB ＋BC 的最大值为__________．解析：设AB ＝x ，BC ＝y ，AD ＝z ， 则CD ＝3z ，AC ＝4z ，在△ABC 中，由cos ∠ABC 2＝104得cos ∠ABC ＝14，由余弦定理得 16z 2＝x 2＋y 2－2xy ×14＝x 2＋y 2－12xy ①在△ADB 中，由余弦定理得 cos ∠ADB ＝2＋z 2－x 222z在△CDB 中，由余弦定理得 cos ∠CDB ＝2＋9z 2－y 222×3z∵∠ADB ＋∠CDB ＝π， ∴2＋z 2－x 222z ＝－2＋9z 2－y 222×3z 化简得12z 2＝3x 2＋y 2－8 ② 结合①②得32＝9x 2＋y 2＋32xy ＝(3x ＋y )2－92xy∵92xy ＝32×3x ×y ≤32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋y 22＝38(3x ＋y )2当且仅当3x ＝y 时取等号，∴32≥(3x ＋y )2－38(3x ＋y )2＝58(3x ＋y )2 ∴3x ＋y ≤1655，当且仅当3x ＝y ＝855时，3x ＋y 即3AB ＋BC 取得最大值1655. 答案：1655。