直线与圆的方程复习课

y
| MM1 |= ( x + a ) + y , | MM 2 |= ( x a) + y . | MM1 | 2 2 2 2 由 = m ( x + a) + y = m ( x a) + y . | MM 2 |
2 2 2 2
M1
O
M2
x
(1 m 2 ) x 2 + (1 m 2 ) y 2 + 2a (1 + m 2 ) x + (1 m 2 )a 2 = 0
1.已知点P(2,0)与Q(8,0), 点M到点P的距离是 练 1 习 是它到点 Q的距离的 , 求点 M的轨迹方程 . 5
解： 设点M的坐标为( x, y )
1 2 2 依题意得 ( x 2) + y = ( x 8) + y 5 7 2 25 2 整理得( x ) + y = . 4 16
1 故围成的三角形面积为S = × 5× | 2 |= 5. 2
L o -2 5 x
直线(3a + 2) x + (1 4a ) y + 8 = 0和(5a 2) x + (a + 4) y 7 = 0互相垂直, 求a的值. 解: 由直线垂直的充要条件得
(3a + 2)((a + 4) + (5a 2)(1 4a ) = 0
2
依题意圆心(1,1)到切线的距离为1, 1
即 =1
3 k= . 4
o
1
2
x
故所求切线方程为 3 x 4 y + 6 = 0
显然 , x = 2也是过点 P 的圆的切线方程 .
20.（本题满分8分）P为直线l:2x+3y-6＝0上一动点， 故Q点的轨迹为直线2 x + 3 y 7 = 0 M(3,1)为一定点，点Q在直线MP上，且MQ：QP＝2， 求Q点轨迹
y x (4).截距式 : + = 1(a, b ≠ 0) a b (5).一般式 : Ax + By + c = 0( A, B不同时为0)
2.直线的倾斜角α ∈ [0, π ); 斜率k = tan α (α ≠ 90 ).
0
3.确定一条直线的条件 确定一条直线的条件: 确定一条直线的条件
y 和直线上的一个点； （1）斜率 和直线上的一个点； ）斜率k和直线上的一个点 和直线在y轴上的载距 （2）斜率 和直线在 轴上的载距； ）斜率k和直线在 轴上的载距； o （3）直线上的两个点； ）直线上的两个点； 轴上的截距； （4）直线在 ，y轴上的截距； ）直线在x， 轴上的截距 4.直线l1 // l2的充要条件 : k1 = k 2 且b1 ≠ b2 ,
a = 0或a = 1.
3.求平行于直线x y 2 = 0且与它距离为2 2的直线方程.
解:
设所求直线方程为x y + C = 0
| 2 C | 由 = 2 2得, C = 2或C = 6 2
故所求直线方程为x y + 2 = 0或x y 6 = 0
4.求和直线3 x 4 y + 5 = 0关于x轴对称的直线方程. 5 解: 直线3x 4 y + 5 = 0与x轴的交点为( ,0). y L 3 5 设所求直线方程为y = k ( x + )得 o 3
作出可行域如图 在可行域的10个整 在可行域的 个整 数点中，点（5，2） 数点中， ， ） 取得最小值。 使Z取得最小值。 取得最小值
y
7 6 5 4 3 2 1
Z min = 160 × 5 + 252 × 2 = 1304.
o
1
2 3
4
5 6
7
8
9
x
练 习
2 x y 2 ≥ 0, 2 x + y 2 在x, y取何值时取得最大值, 已知 x 2 y + 4 ≥ 0, 3x y 3 ≤ 0, 最小值 ? 最大值, 最小值各是多少 ?
(1)当m = 1时, 方程为x = 0, 图形为y轴所在的直线.
1 + m2 2 4a 2 m 2 (2)当m ≠ 1时, 方程可化为为( x + a) + y 2 = . 2 2 2 1 m (1 m )
(m 2 + 1)a 2am 图形为以[ ,0]为圆心, 半径为 2 的圆. 2 m 1 | m 1 |
一 .直线 直线 1.直线方程的几种形式 直线方程的几种形式: 直线方程的几种形式
(1).点斜式 : y y1 = k ( x x1 ) (2).斜截式 : y = kx + b(b是直线在y轴上的截距) y y1 x x1 (3).两点式 : = ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) y2 y1 x2 x1
练 一条线段AB（|AB|=2a）的两个端点A和B分 习 别在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨 y 迹方程。
A
M (x ,y)
解：设点M 的坐标为（x， y） 设点 的坐标为（ ， ）
o
B x
则点A，B的坐标分别为（0， 2y)和(2x, 0)
依题意得 | AB |= (2 x) + (2 y ) = 2a
3 0 k 0 4 = 5 5
x L1
3 k = 4
3x + 4 y + 5 = 0
二.线性规划 线性规划
1.二元一次不等式Ax + By + C > 0表示直线 Ax + By + C = 0的某一侧的区域. 2.二元一次不等组表示各个不等所表示的 平面区域的共公部分(可行域)
例: 画出不等式( x + 2 y 1)( x y + 3) > 0表示的平面区域.
y
解: 作出可行域如图
z = x 2 + y 2 表示可行域内 一点与原点距离的平方.
2x y 2 ≥ 0 x 2y + 4 ≥ 0
2
x 2 y + 4 = 0 解方程组 3x y 3 = 0
1
得x = 2, y = 3, z max = 13.
-4
-2
o
-1
1
x
3x y 3 ≤ 0
练习 1.求证点A(2,12), B(1,3), C (4,6)在同一条直线上.
∵ 证明一： 证明一： k AB 3 12 6 12 = = 3, k AC = = 3. 1 (2) 4 (2)
是直线AB，AC的公共点，故AB，AC重合， 的公共点， 重合， 又A是直线 是直线 ， 的公共点 ， 重合 所以A、 、 三点共线 三点共线. 所以 、B、C三点共线 证明二： 证明二： AB = (1 + 2) 2 + (3 12) 2 = 3 10 ,
2 2
x
= 4 x0 8 x0 x + 4 x + y0 2 y0 y + y
2 2
消去x0 , y0 得 Q的轨迹方程.
解 : 设Q( x, y ), P( x1 , y1 ), 因为P为直线 : 2 x + 3 y 6 = 0 上的点, 所以2 x1 + 3 y1 6 = 0 由线段的定比分点公式 3x 3 3 + 2x x= x = 2 3 y = 3y 1 y = 1 + 2y 3 2
解: 设Q(x, y ), P(x0 , y0 ), (如图)则点Q的集合为
| MQ | {Q | = 2} | QP |
2 x + 3y 6 = 0
y
即 ( x 3) 2 + ( y 1) 2 = 2 ( x0 x) 2 + ( y0 y ) 2
0
2 2
P Q
M
x 9x + 9 + y 2x +1
x + 2 y 1 > 0 原不等式等价于 x y+3> 0 x + 2 y 1 < 0 或 x y+3< 0
y 3
表示的平面区域如图: 表示的平面区域如图
-3
o
x 1
练习: 某运输公司有 辆载重6t的 型车和4辆载 练习 某运输公司有7辆载重 的A型车和 辆载 辆载重 型车和
型车， 名驾驶员。 重10t的B型车，有9名驾驶员。要每天至少搬运 的 型车 名驾驶员 360t水坭的任务，已知每辆卡车每天往返次数为 水坭的任务， 水坭的任务 A型车 ，B型车 次。往返成本 型车 型车8， 型车 型车6次 往返成本A型车 型车160元，B 型车 元 型车252元，每天如何派车成本最低？ 型车 元 每天如何派车成本最低？
AC = (4 + 2) 2 + (6 12) 2 = 6 10 , BC = (4 1) 2 + (6 3) 2 = 3 10 ,
∵ AB + BC = AC ,∴ A, B, C三点共线.
2.求直线2 x 5 y 10 = 0和坐标轴围成的三角形的面积. 例2
解: 如图，直线在x、y轴上的截距为 、-2. 如图，直线在 、 轴上的截距为 轴上的截距为5、y
解： 设每天派A型车x辆, B型车y辆, 成本Z元.
0≤ x≤7 0≤ y ≤4 则 z = 160x + 252y.(x, y ∈ Z ) x+ y ≤9 48x + 60y ≥ 360
0≤ x≤7 故每天应派A型车 型车5辆 型车2辆 故每天应派 型车 辆，B型车 辆， 型车 0≤ y≤4 公司所花成本1304元 公司所花成本 元 上面约束条件可化简为 。 ( x, y ∈ Z ) x+ y ≤9 4 x + 5 y ≥ 30
2 2
这就是点M的轨迹方程 这就是点 的轨迹方程