高三第一轮复习讲义【6】-函数的单调性

年级高三学科数学版本人教版（文）内容标题函数的单调性编稿老师孙力【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性1. 概念：设函数)(xf的定义域为I（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf<，那么称函数)(xf在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf>，则称)(xf在这个区间上是减函数。

（3）单调区间：如果函数)(xfy=在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(xfy=在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(xfy=的单调区间。

注：①中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21xfxf≤或)()(21xfxf≥②单调性刻画的是函数的“局部”性质。

如xy1=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数，不能说xy1=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数。

③单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）（1）定义法[例1] 证明函数1)(31-=xxf在R上是增函数证：设21xx<，则3223123113212131231121)()(xxxxxxxxxfxf++-=-=-而分子021<-=xx分母043)21(3222312311322312311321>++=+⋅+=xxxxxxx故0)()(21<-xfxf得证补：讨论函数22)(x xaxf-=的单调性)10(≠<a解：设1>a时，对任Rx∈，022>-xxa，设121<<xx2112222212)()(x x x x a x f x f +--=，而)](2)[(221212211222x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增，同理在),1(+∞单减 当10<<a 时，同理在（1,∞-）单减，在（1，∞+）单增[例2] 讨论xx x f +=1)(的单调性解：设21x x <，则)11)((11)()(2112112212x x x x x x x x x f x f --=+-+=-21212112)()1)((x x x x x x x x +--=（1）当1021≤<<x x 时，1021<<x x ，0)()(12<-x f x f （2）当211x x <≤时，211x x <，0)()(12>-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数[例3] 试求函数xpx x f +=)(（p 0≠）的单调区间 分析：考虑到212112112212)()()()(x x p x x x x x px x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 （1）当p 0>时① 若p x x -≤<21，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增 ② 若021<<≤-x x p ，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减③ 若p x x ≤<<210，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减④ 若21x x p <≤，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增（2）当0<p 时① 若021<<x x ，则0)()(12>-x f x f 增 ② 若210x x <<，则0)()(12>-x f x f 增综上所述，0>p 时，)(x f 在)0,[p -或],0(p 上是减函数)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数时，在或上是增函数在)0,[p-及],0(p上分别单调递减另法，利用导数21)(xpxf-=')(122pxx-=（1）若0>p则))((1)(2pxpxxxf-+='（2）若0<p，则0)(>'xf下证高考分式函数试题类型与解法研究[例4] 讨论分式函数xbaxxf+=)(的单调性（0≠ab）以下只研究0,0>>ba与0,0<>ba两种情形对于0,0><ba与0,0<<ba可利用对称性得到。

高三一轮复习：函数的单调性第一篇：高三一轮复习：函数的单调性高三一轮复习：函数的单调性教学设计一、【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．二、【教学重点】函数单调性的概念、判断、证明及应用．函数的单调性是函数的最重要的性质之一，它在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，三、【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义或导数证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。

（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。

在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。

因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。

它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。

专题6 函数的单调性考纲导读：考纲要求: 了解函数单调性的定义；掌握判断一些简单函数单调性的方法考纲解读: 确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用定义法、导数法,在选择题,填空题中还有数形结合法、特殊值法等等.考点精析： 考点1、求函数的单调区间这类题目主要考查单调性的定义，从增函数与减函数两方面分析，一般难度不大，为常见题型.【考例1】 (湖北模)对于正实数a ，函数y =x +xa在(43,+∞)上为增函数，则函数f (x )=log a ()x x 432-的单调递减区间为( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞，32B. ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，34C. ()0，∞-D. ⎥⎦⎤⎝⎛∞-32，解题思路：本题需要先根据函数y =x +xa的单调性确定正实数a 的取值范围,然后根据a 的范围在定义域内研究所求函数f (x )=log a ()x x 432-的单调递减区间(利用复合函数单调性判断即可).正确答案：因为x a x y +=在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,43上为增函数, 所以2143x x <<时,21y y < 即()()02121212211<--=--+x x a x x x x x a x x a x 021>-⇒a x x 21x x a <⇒恒成立, 所以169≤a 恒成立.在()()x x x f a 43log 2-=中,定义域为:()⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,340, 而11690<≤<a , 所以()x f 与x x 432-=μ在()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,340, 上的单调性相反,所以()x f 的单调减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34,故应选B.回顾与反思：判断函数单调性的具体步骤为：取值→作差→变形→定号→判断. 知识链接：函数的单调性. 一般地，设函数y =f (x )的定义域为A ，区间I A ⊆. 如果对于区间I 内任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说y =f (x )在区间I 上是单调增函数, I 称为y =f (x )的单调增区间.如果对于区间I 内任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说y =f (x )在区间I 上是单调减函数, I 称为y =f (x )的单调减区间．【考例2】 (黄冈、黄石二中联考)函数()f x 的定义域为R,对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-且(1)(3)f x f x -=-,当12x ≤≤时,2()f x x =,则()f x 的单调减区间是( )（以下Z k ∈）A ．]12,2[+k kB ．]2,12[k k -C ．]22,2[+k kD ．]2,22[k k -解题思路：函数的周期性常与函数的单调性交汇考查,此题中要找出该函数的单调减区间,只需要找出其中的一个,两边加上该函数的周期的整数倍即可.正确答案：由(1)(3)f x f x -=-可得()(2)f x f x =-, 又由(1)(3)f x f x -=-可得()()f x f x =-,∴()(2)f x f x -=-,即(2)()f x f x +=.∴函数()f x 是周期为2的函数,且2,21x k x k ==+,(Z k ∈)是它的对称轴. ∴函数()f x 在区间[0,1]上递减, 即得其单调减区间为]12,2[+k k ,故应选A.回顾与反思：判断某函数在某区间上是增函数（ 或减函数），主要是分析在区间内自变量的大小关系与相应函数值的大小关系是相同还是相反.知识链接：判断函数单调性时，有时也用作商与1 比较来分析1()f x 与2()f x 的大小.求单调区间时可以采用导数法.考点2、函数的单调性的简单应用对于给定函数的单调性问题,主要是通过增函数与减函数研究函数的性质,为中档题目. 【考例1】 (扬州二模)定义在Ｒ上的周期函数()f x ，其周期Ｔ＝２，直线2x =是它的图象的一条对称轴，且()[]3,2f x --在上是减函数．如果Ａ、Ｂ是锐角三角形的两个内角，则（ ）Ａ．()()sin cos f A f B > Ｂ．()()cos sin f B f A > Ｃ．()()sin sin f A f B > Ｄ．()()cos cos f B f A >解题思路：本题考查了函数的周期性及函数图象的对称与函数单调区间的判断.对称轴的特征是两边对称区间的单调性相反,抓住这个性质再与周期性合并,可得结论.正确答案：由周期Ｔ＝２的函数()[]3,2f x --在上是减函数,可得函数()[]1,0f x -在上是减函数,又由直线2x =是它的图象的一条对称轴得,函数()[]4,5f x 在上是增函数,再由其周期性可得函数()[]0,1f x 在上是增函数. 由Ａ、Ｂ是锐角三角形的两个内角可得2A B π+>,sin sin()cos 2A B B π>-=, ∴()()sin cos f A f B >, 故应选A.回顾与反思：函数的单调性常会和三角不等式联系起来, 此类问题的判断与求解应充分利用函数单调性定义及三角函数的有界性去求解.知识链接：注意函数单调性定义的逆向使用．事实上，若f (x )是增函数， 则x 1＜x 2⇔ f (x 1) ＜ f (x 2)；若f (x )是减函数，则x 1＜x 2⇔ f (x 1) ＞ f (x 2)；【考例2】已知函数23()1xf x x x =++ (0x >) .(1)试确定函数()f x 的单调区间,并证明你的结论; (2)若121,1x x ≥≥, 证明: 12|()()|1f x f x -<解题思路：直接应用函数单调性即可证明.(2)问的实质是求此函数的最值,从而证明不等式.正确答案：(1)函数()f x 在区间(0,1]上是增函数,在区间[1,)+∞上是减函数. 设120x x << , 则12211212222211221122333()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x x x x x ---=-=++++++++. ∵22111131()024x x x ++=++> , 同理22210x x ++>又120x x << , ∴120x x -< .①当1201x x <<≤时, 121,x x <1210x x -<,即12()()0f x f x -<, ∴12()()f x f x < ∴函数()f x 在区间(0,1]上是增函数;②当121x x ≤<时, 121,x x >1210x x ->,即12()()0f x f x ->, ∴12()()f x f x > ∴函数()f x 在区间(0,1]上是减函数.综上所述函数()f x 在区间(0,1]上是增函数,在区间[1,)+∞上是减函数. (2)由(1)可知,函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数,∵121,1x x ≥≥, ∴12()(1)1,()(1)1f x f f x f ≤=≤= , 又23()01xf x x x =>++ ∴12()0,()0f x f x >> , 即得120()1,0()1f x f x <≤<≤ , ∴120()1,1()0f x f x <≤-≤-< , ∴121()()1f x f x -<-< , ∴12|()()|1f x f x -< .回顾与反思：函数的单调性常会和不等式的证明联系起来, 此类问题的证明和求解应充分利用函数单调性定义的证明及函数的值域去求解.知识链接：关于复合函数的定义域，我们有：若f (x )的定义域是集合D ，则f [g (x )]的定义域是{x ∣g (x )∈D }；若f [g (x )]的定义域是D ，则f (x )的定义域是{t ∣t =g (x )，x ∈D }，即函数g (x )的值域． 创新探究：【探究1】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货的办法增加利润.已知这种商品每件售价提高1元,销售量就要减少10件,问他将销售价每件定为多少元时,才能使得每天所赚的利润最大?创新思路：每天所获利润等于每件的利润与销售量之积,销售量随单价的提高而减少,可以根据题意把每天所获利润表示为每件提高钱数的函数,转化为求函数的最值问题.解析: 设每件提高x 元(010x ≤≤) ,即每件获利润为2x +元,则每天可销售10010x -件,每天可获总利润y 元. 由题意,有 2(2)(10010)1080200y x x x x =+-=-++ ,∵函数在04x ≤≤上为增函数,在410x ≤≤为减函数, ∴当4x =时, 总利润y 取得最大值360.所以当售价定为14元时,每天可赚利润最大为360元 .【探究2】已知函数()x f 的定义域为R ,且满足()()x f x f --=2 , 当x ＞1时,()x f 单调递增,已知m+n ＜2且()()11--n m ＜0,则()()n f m f +的值( ).A. 恒小于0B. 恒大于0C. 能够为0D. 可正可负创新思路：本题抽象地给出了()x f 与()x f -2之间的关系式,得出()01=f 后,仍需对条件m+n ＜2且()()11--n m ＜0,作更深层次的挖掘.解析: 由()()x f x f --=2可得, ()())1(121f f f -=--=即()01=f . 由x ＞1时, ()x f 单调递增得, ()x f ＞()1f =0,即x ＞1时()x f ＞0.又m+n ＜2且()()11--n m ＜0,不妨设n ＞1,则有2-m ＞n ＞1,()m f -2＞()n f ＞()01=f ,又()()m f m f -=-2.故()()n f m f +＜0.所以选A .方法归纳：1.复合函数[()]f g x 单调性判断.“同增异减法”即即()f x 与()g x 若具有相同的单调性，则[()]f g x 必为增函数；若两者单调性不同，则[()]f g x 必为减函数，求复合函数单调性的步骤为：①确定定义域；②将复合函数分解成基本初等函数：()y f u =，)(x g u =．③分别确定这两个函数的单调区间．④若这两个函数同增或同减，则[])(x g f y =为增函数，若这两个函数一增一减，则[])(x g f y =为减函数过关必练： 一、选择题: 1. 设f （x ）、g （x ）都是单调函数，有如下四个命题：①若f （x ）单调递增，g （x ）单调递增，则f （x ）－g （x ）单调递增； ②若f （x ）单调递增，g （x ）单调递减，则f （x ）－g （x ）单调递增； ③若f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，则f （x ）－g （x ）单调递减； ④若f （x ）单调递减，g （x ）单调递减，则f （x ）－g （x ）单调递减. 其中，正确的命题是（ ） A.①② B.①④ C.②③ D.②④2. 函数y =x 2+bx +c （x ∈［0，+∞））是单调函数的充要条件是（ ） A.b ≥0B.b ≤0C.b ＞0D.b ＜03. (苏、锡、常、镇二模)函数2y x x a b =+-+在区间(],0-∞上为减函数，则a 的取值范围是A ．0a ≥B ．0a ≤C ．1a ≥D ．1a ≤ 4. (北京理5)已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)75. (寿光四县期中)若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=1+x a，在区间［1，2］上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．（-1，0）∪(0,1) B.(-1,0) ∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1] 二、填空题:6. 已知2,1,(), 1.x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩ ,则函数()f x 的单调增区间为 .7. 已知函数22(2)5y x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是 .8. (安徽模)函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.9. 设函数22()82,()(2)f x x x g x f x =+-=-,则()g x 在(1,0)-上的单调性为 .10. (山西模)若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________. 三、 解答题:11. 已知函数f （x ）=x 2+2ax +2，x ∈［－5，5］（1）当a =－1时，求函数f （x ）的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使y =f （x ）在区间［－5，5］上是单调函数.12. 设函数f （x ）＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性.13. 已知函数f （x ）=a x +12+-x x （a ＞1）. （1）证明：函数f （x ）在（－1，+∞）上为增函数； （2）用反证法证明方程f （x ）=0没有负数根.14. 已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且 f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.过关必练参考答案：1. C 解析:在共同定义域上任取x 1＜x 2，当f （x ）是单调递增，则f （x 1）－f （x 2）＜0， g （x ）是单调递减，g （x 1）－g （x 2）＞0，∴F （x ）＝f （x ）－g （x ）,F （x 1）－F （x 2）=f （x 1）－f （x 2）+g （x 2）－g （x 1）＜0 , ∴在共同定义域上是单调递增，同理可得当f （x ）是单调递减，g （x ）是单调递增时，F （x ）=f （x ）－g （x ）是单调递减． ∴②③正确, 应选C.2. A 解析:作出函数y =x 2+bx +c 的大致图象如图所示. 对称轴为x =－2b∵该函数在［0，+∞］上是单调函数. （由图可知［0，+∞］上是增函数），只要对称轴横坐标位置 在区间［0，+∞)的左边，即－2b≤0，解得b ≥0.故应选A. 3. B 解析: 当0a =时, 2y x x b =++在(],0-∞上为减函数; 当1a =时1x b -+在在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数, 由此可得仅0a ≤符合条件,故应选B.4. C 解析:据题意要使原函数在定义域R 上为减函数，只需3a -1<0且0<a <1及x =1时(31)4log 1a a x a -+≥,解得a 的取值范围为11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故应选C.5. D 解析:本题考查二次函数和反比例函数性质综合运用,注意数形结合数学思想方法运用由()ax x x f 22+-=得对称轴a x =,在[]2,1上是减函数,所以1≤a .又由()1+=x ax g 在[]2,1上是减函数,所以0>a .综合得的取值范围为(]1,06. [0,)+∞解析:当1x ≤时,单调增区间为[0,1],当1x >时, 单调增区间为(1,)+∞,又01x ≤≤时()1f x ≤,1x >时()1f x >,∴函数()f x 的单调增区间为[0,)+∞.7. 2a ≥-解析:函数22(2)5y x a x =+-+的对称轴为2x a =-, 则(4,)[2,)a +∞⊆-+∞, 即得2a ≥-8. (－∞,－1]解析:令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增， ∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减.9. 单调递减解析: 设22u x =-, 在(1,0)x ∈-上是增函数,此时时(1,2)u ∈, 而()f u 在(1,2)u ∈上是减函数, 所以()g x 在(1,0)-上的单调递减.10.(－∞,0）解析:∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ，∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0.故b 的取值范围是(－∞,0）.11. 解析:（1）当a =－1时，f （x ）=x 2－2x +2=（x －1）2+1，x ∈［－5，5］∴x =1时，f （x ）的最小值为1 x =－5时，f （x ）的最大值为37（2）函数f （x ）=（x +a ）2+2－a 2图象的对称轴为x =－a ∵f （x ）在区间［－5，5］上是单调函数 ∴－a ≤－5或－a ≥5故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5. 12. 解析:在定义域内任取x 1＜x 2， ∴f （x 1）－f （x 2）＝))(())(())((2121212221b x b x a x b x b x a x b x a x b x a x ++++-++=++-++))(())((2121b x b x x x a b ++--=，∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，x 1－x 2＜0，只有当x 1＜x 2＜－b 或－b ＜x 1＜x 2时函数才单调． 当x 1＜x 2＜－b 或－b ＜x 1＜x 2时f （x 1）－f （x 2）＞0．∴f （x ）在（－b ，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b ）上是单调减函数． 13. 证明：（1）设－1＜x 1＜x 2)1)(1()(3()1()1)(1()1)(2()2)(1()1(12121212)()(121212212111221122121211211212++-+-=+++---++-=+--+-+-=+---+-+=---x x x x a a x x x x x x a a x x x x a a x x a x x a x f x f x xx x xx x x x x因为x 2－x 1＞0，又a ＞1，所以12xx a -＞1，而－1＜x 1＜x 2，所以x 1+1＞0，x 2+1＞0， 所以f （x 2）－f （x 1）＞0，∴f （x ）在（－1，+∞）上为增函数（2）设x 0为方程f （x ）=0的负根，则有012000=+-+x x ax .即1311)1(312000000++-=++-=+-=x x x x x a x 显然x 0≠－1当0＞x 0＞－1时，1＞x 0+1＞0，013x +＞3，－1+013x +＞2而a1＜0xa ＜1，这是不可能的，即不存在0＞x 0＞－1的解 x 0＜－1时，x 0+1＜0，1131,01300-<++-<+x x而0xa ＞0，矛盾，即不存在x 0＜－1的解.综上，即不存在负根14. 解析:(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1 =f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数.(2)解：f (x )=2x +1.验证过程略.。

第二讲 函数的单调性1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数 当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 为最大值 M 为最小值考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间 ． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间 ．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________．【举一反三】1．下列函数中，在上单调递减的是A ．B ．C ．D ．2．函数的单调递减区间是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )【套路总结】一．函数单调性的判断方法有 ①定义法； ②图象法；③利用已知函数的单调性； ④导数法.二．复合函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞，考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a )2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c3．设，，，则A． B． C． D．4．已知，，，则x，y，z的大小关系是A． B． C． D．考向三单调性的运用二---解不等式【例3】（1）f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x －8)≤2时，x的取值范围是( )A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8)（2）已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]【举一反三】1．若，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．2．设函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．3．定义在R 上的偶函数在上单调递增，且，则满足的x 的集合为______．4．设函数,若,则实数a 的取值范围是 _______。

第二章函数与基本初等函数Ⅰ2．3 函数的单调性一．要点集结1.单调性的概念如果函数y＝f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,①都有,则称f(x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个；②都有,则称f(x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个.若函数f(x)在整个定义域I内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为.2．判断单调性的方法：(1)定义法,其步骤为：①；②；③.(2)导数法,若函数y＝f(x)在定义域内的某个区间上可导,①若,则f(x)在这个区间上是增函数；②若,则f(x)在这个区间上是减函数. 二．考点探究例1.已知函数f(x)=log a(3x2-2ax)在区间[12,1]上是减函数,求实数a的取值范围.例 2.已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R,总有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x >0时,f (x )<0,f (1)=-23.(1)判断f (x )在R 上的单调性,并加以证明; (2)解不等式:f (x 2-x )+f (3x )+2>0.例3. 已知函数()442)(≤≤-+-=a x a x x x f①求单调区间 ②若对任意[]2,1∈x ，12)(+<x x f 恒成立，求a 的范围。

三．疑点反思1.求函数的单调区间要注意先求定义域,不能用并集边接多个单调区间.2.判断函数的单调性,若用定义法,则其步骤是:取值、作差、定号、判断,取值时要注意取值的任意性,而变形是解题的关键,变形要彻底.还可以用导数法.3.函数的单调性反映了函数在区间上的函数值的变化趋势,因此可利用单调性处理许多问题,如求值域、解不等式、求参数范围等.四．热点研习1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是 . 2. 函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是 .3. 若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3 (x ∈R )是偶函数,则f (x )的单调减区间是__________．4. 函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示,则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．5. 若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围是_______________．6. 若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34,＋∞)上是单调增函数,则实数a 的取值范围___________． 7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立,则a 的取值范围是_________________．8. 若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0,a ≠1)在区间(0,12)内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为__________________．9. 已知函数f (x )＝log (a 2－3)(ax ＋4)在[－1,1]上是单调增函数，求实数a 的取值范围．10. 已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2,试证f (x )在(－∞,－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1,＋∞)内单调递减,求a 的取值范围．11. 已知定义在区间(0,＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2),且当x >1时,f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1,解不等式f (|x |)<－2.12． 已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x,x ∈(0,＋∞),是否存在实数a ,b ,使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数,(2)在[1,＋∞)上是增函数,(3)f (x )的最小值是1.若存在,求出a 、b ；若不存在,说明理由．。

Ⅰ基础巩固 一、用定义法求函数单调性：方法与步骤：令1212,x x x x <属于定义域，并且 ⇒比较()()12f x f x 与的大小⎧⎨⎩作差法，与0比较作商法，与1比较（作商时，只有同号，才能比较大小） ⇒()()()()()()1212f x f x f x f x f x f x <⇒⎧⎪⎨>⇒⎪⎩若单调递增若单调递减例1 ：用定义法证明函数()()21,1x f x x +=-+∞+在上是减函数。

证明：原函数可变形为()111f x x =++，设()1212,1,x x x x ∈-+∞<且，则()()12f x f x -=12111111x x +--++()()211211x x x x -=++ 21210x x x x >∴->121,10,20x x x >-∴+>+> ()()120f x f x ∴-> ()()12f x f x ∴>∴()()21,1x f x x +=-+∞+在上是减函数。

练习1：用定义法证明函数()23R f x x =+在定义域内单调递增。

练习2、证明函数()31f x x =-+在其定义域内是减函数。

例2、用定义方法证明()212x f x -=在定义域内是单调递增函数。

证明：设1212,R x x x x ∈<且，()0f x > ,()()()11222121212222x x x x f x f x ---∴== 1212,0x x x x <∴-< ⇒()()()()()122112221x xf x f x f x f x -∴=<⇒< ()f x ∴在定义域R 内为减函数。

练习3、()()2log 21,0,f x x x =+>已知用定义法证明函数在定义域内单调递增。

2、同特殊方法判断函数单调性。

（1） 增（减）函数图像上任意两点()()()()1122,x ,,A x f B x f x 连续的斜率()0AB K ><=、 （2）若()y f x =在区间D 上位增（减）函数，且1212,,x x D x x ∈<，则()()()()()1212f x f x f x f x<>或 （3）复合函数的单调性为‘同增异减’（4）若()f x 为增函数，则()f x -1()f x 为减函数 （5）若()(),f xg x 均为增函数，则()()f x g x +仍为增：若()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()f x g x -为增函数。