2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五：1.1《正弦定理和余弦定理(3)》ppt(优秀课件)

正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。

其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。

所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。

2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。

3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。

必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用十分广泛。

根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”证明正弦定理，验证猜想的正确性；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。

学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

二、学情分析对高一的学生来说，已经学习平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。

根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

三、设计思想本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

四、教学目标1.知识与技能初步掌握正弦定理及其证明；会初步运用正弦定理解三角形；培养数学应用意识。

2.过程与方法(1) 通过实际问题，激发学生的学习兴趣；(2) 通过应用分析、问题解决来培养学生良好的学习思维习惯，增强学生学习的自信心。

§1.1.2余弦定理一、教学内容分析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。

第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。

本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。

正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。

余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。

纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。

在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。

1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。

“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。

”从新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单应用都呈现出变化。

旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。

基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。

新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。

在定理的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。

高一数学必修5《正弦定理》教学设计一、教学目标：1知识与能力：1）让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。

2情感、态度与价值观：1）通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

2)通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

3)培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点：正弦定理的发现与证明及正弦定理的简单应用。

三、教学难点：正弦定理的猜想提出过程。

四、教学过程：1、生活引入，激发兴趣师：(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？学生不知道。

激起学生兴趣！师：(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?师：你有什么想法？生：思考片刻，教师引导。

师：根据我们目前的知识是无法解决这个问题，我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具。

请同学们回顾一下：三角形中（1）三条边有怎样的关系？（2）三个角有什么关系？（3）边与角有什么关系？2、课堂探究，引入定理师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手！生1：直角三角形。

师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系？生2：思考交流得出，如图1，在Rt∆ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,则有=sin aAc ，=sinbBc，又sin1cCc==,BaACcb(如图1）则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==师生活动：教师：那么，在斜三角形中也成立吗？用多媒体的手段对结论加以验证！但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明哪？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，并派一个代表板书。

第1课时 正 弦 定 理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 2～P 4，回答下列问题：(1)观察教材图1.1－1，在Rt △ABC 中，根据三角函数的定义可知sin A ＝a c ，sin B ＝bc ，sin C ＝1.由此你能发现a sin A ，b sin B ，csin C之间的大小关系是什么？提示：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (2)教材图1.1－2中的△ABC 为锐角三角形，a sin A ，b sin B ，csin C 之间的大小关系是什么？提示：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (3)如图，△ABC 为钝角三角形，a sin A ，b sin B ，csin C之间又有什么样的大小关系？提示：a sin A ＝b sin B ＝c sin C． 2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即(2)解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[问题思考](1)在△ABC中sin A＝sin B，则A＝B成立吗？(2)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c成立吗？(3)在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是否成立？提示：(1)由于在△ABC中，sin_A＝sin_B，有a＝b，则A＝B，故(1)成立．(2)由正弦定理知sin_A∶sin_B∶sin_C＝a∶b∶c正确，即(2)成立．(3)∵A>B，∴a>b.又∵asin A＝bsin B，∴sin A>sin B.反之，若sin A>sin B，则a>b，即A>B.故A>B⇔sin A>sin B．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)正弦定理的内容：；(2)三角形的构成元素有：；(3)在△ABC中，已知任意两个角与一边，如何能求出其他元素？；(4)在△ABC中，已知任意两边及其中一边的对角，如何能求出其他元素？．1．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.[思考1]若已知∠A＝α，∠B＝β，c＝m，能求出∠C，a，b的值吗？如何求解？名师指津：可以．可先由三角形内角和定理A＋B＋C＝180°，求出∠C.然后利用正弦定理求出a 和b 的值．[思考2] 若已知∠A ＝α，∠B ＝β，a ＝n ，能求出三角形的其它未知元素吗？如何求解？ 名师指津：可以．由三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝180°，得C ＝180°－(A ＋B )，然后利用正弦定理求出b 和c 的值．[名师点拨] 通过以上问题思考可知，在△ABC 中，若已知任意两角及一边，能求出该三角形的其他剩余元素．(请看讲1)讲一讲1．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .(链接教材P 3－例1) [尝试解答] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°) ＝45°.由b sin B ＝a sin A 得，b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝4 6.由a sin A ＝c sin C 得，c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．练一练1．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 解：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由a sin A ＝c sin C得 a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.由b sin B ＝c sin C得 b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°，∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6.观察知识点1中的△ABC .[思考] 若已知a ＝m ，b ＝n ，A ＝α，能求出△ABC 的其他元素吗？如何求解？ 名师指津：能．先由正弦定理a sin A ＝b sin B，求出sin_B 的值，进而求出∠B .然后利用三角形内角和定理求出C ＝π－(A ＋B )，最后再用正弦定理a sin A ＝csin C求出c 的值即可．[名师点拨] 在△ABC 中，已知任意两边及一边的对角，能求出△ABC 的其他所有元素．(请看讲2)讲一讲2．在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形．(链接教材P 4－例2) [尝试解答] ∵a sin A ＝csin C ，∴sin C ＝c sin Aa＝6×sin 45°2＝32，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°， b ＝c sin Bsin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°， b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1.∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．练一练2．根据下列条件解三角形： (1)a ＝10，b ＝20，A ＝60°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.解：(1)由正弦定理得，sin B ＝b sin A a ＝20·sin 60°10＝3>1，∴三角形无解． (2)由正弦定理得，sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，∴B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°， c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B ＝120°时，C ＝30°， c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3.∴B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.讲一讲3．在△ABC 中，若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，试判断△ABC 的形状．(链接教材P 10－B 组T 2)[思路点拨] 由正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系式，得出内角关系． [尝试解答] 法一：由正弦定理， 令a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)， 得a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k ≠0)， 代入已知式子得 cos A k sin A ＝cos B k sin B ＝cos Ck sin C . ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C. ∴tan A ＝tan B ＝tan C . 又∵A 、B 、C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C .∴△ABC 为等边三角形． 法二：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 又∵cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，∴a sin A ·cos A a ＝b sin B ·cos B b ＝c sin C ·cos C c . ∴cos A sin A ＝cos B sin B ＝cos Csin C . 即sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C. ∴tan A ＝tan B ＝tan C . 又∵A 、B 、C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C .∴△ABC 为等边三角形．(1)根据边角关系判断三角形形状的途径：①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个蕴含的结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． (2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．练一练3．在△ABC 中，a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状． 解：在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝bsin B， ∴a b ＝sin A sin B .∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B.又∵a 2tan B ＝b 2tan A ， ∴a 2b 2＝tan A tan B ，∴tan A tan B ＝sin 2A sin 2B .∴sin A cos A ＝sin B cos B ．即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． ———————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导． 2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C；(4)在△ABC中，sin A>sin B⇔A>B⇔a>b.3．要掌握正弦定理的三个应用：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角，见讲1.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角，见讲2.(3)判断三角形的形状，见讲3.4．本节课的易错点有两处：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况，如讲2.(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”，如练3.第2课时余弦定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P5～P8，回答下列问题：(1)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，那么，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？提示：根据三角形全等的判定方法，可知这个三角形的大小、形状完全确定．(2)如图在△ABC 中，若a ＝m ，b ＝n ，C ＝α，能利用前一节课我们所学的正弦定理求边 AB 的长吗？提示：不能．因为应用正弦定理必须具备“一条边及其对角”的条件．(3)上述问题2能用平面向量的知识解决吗？请参照教材第5页图1.1－3的方法给出证明．2．归纳总结，核心必记 (1)余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．(2)余弦定理的推论在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.[问题思考]若△ABC 为钝角三角形，且A >90°，则三边a ，b ，c 满足什么关系？ 提示：∵a ，b ，c 为△ABC 的三边，且A >90°， ∴cos_A <0，即b 2＋c 2－a 22bc<0.∴b 2＋c 2<a 2.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)余弦定理的内容：； (2)余弦定理的推论：；(3)余弦定理和勾股定理的关系：．[思考] 余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，从方程的角度看已知其中三个量，可求第四个量，如果已知△ABC 的两边a ，b 和其夹角C ，如何求其他元素？名师指津：可先利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求角． 讲一讲1．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形．(链接教材P 7－例3)[尝试解答] 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝96＋16（3＋1）2－642×46×4（3＋1）＝22，∵0°<A <180°， ∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. 法二：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴8sin A ＝46sin 60°， ∴sin A ＝22， ∵b >a ，c >a ，∴a 最小， 即A 为锐角．因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．练一练1．在△ABC 中，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形．解：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°)＝8－43＝(6－2)2∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝（23）2＋（6－2）2－（22）22×23×（6－2）＝22.∵0°<A <180°，∴A ＝45°，从而B ＝120°. 法二：由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝22×6－246－2＝22.∵a <b ，∴A <B ，又0°<A <180°， ∴A 必为锐角， ∴A ＝45°， 从而得B ＝120°.[思考1] 已知三角形的两边及其中一边的对角，解三角形的一般思路如何？ 名师指津：先利用正弦定理求出另一边所对的角，然后利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再由正弦定理求出第三个边．[思考2] 对于[思考1]中的这一类问题能否直接利用余弦定理来解三角形？名师指津：设三角形的第三边为x ，通过余弦定理得到三边及已知角的余弦值之间的关系式，利用方程的思想，通过解方程即可得到x 的值．讲一讲2．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a . [尝试解答] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得 sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.法二：由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sinC ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6， 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.已知两边及其中一边的对角解三角形可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．练一练2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 解析：选B 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴12＝1＋c 2－32×1×c， ∴c 2－2＝c ，∴c ＝2或c ＝－1(舍)．[思考] 在前面我们所解的三角形问题，已知条件中都至少含有一个角，若已知三角形的三边，能否解此三角形？你能给出具体解决方法吗？名师指津：可利用余弦定理的推论cos_A ＝b 2＋c 2－a 22bc 或cos_B ＝a 2＋c 2－b 22ac 或cos_C ＝a 2＋b 2－c 22ab求解． 讲一讲3．(1)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数；(链接教材P 7－例4)(2)已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角． [尝试解答] (1)由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝（22）2＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，∴A ＝60°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝（23）2＋（6＋2）2－（22）22×23×（6＋2）＝22，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°. (2)∵c >a ，c >b ， ∴角C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ， ∴cos C ＝－12，∵0°<C <180°， ∴C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． 练一练3．已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求△ABC 的最大角和sin C . 解：∵a >c >b ， ∴A 为最大角． 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°<A <180°， ∴A ＝120°. ∴sin A ＝32，由正弦定理，得 sin C ＝c ·sin A a ＝57×32＝5314.讲一讲4．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ．试判断△ABC 的形状． [思路点拨] 把已知条件中的正弦函数式化为余弦，再由余弦定理把式子化为边的关系式．[尝试解答] 将已知等式变为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理，可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2.所以b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 为直角三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 练一练4．在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状． 解：结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ， 整理得，(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， 所以a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2， 所以a 2＋b 2＝c 2或a ＝b ，故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．2．本节课要掌握的解题方法：(1)已知三角形的两边与一角，解三角形，如讲1和讲2. (2)已知三边解三角形，如讲3.(3)利用余弦定理判断三角形的形状，如讲4. 3．本节课的易错点有两处： (1)正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．[即时达标对点练]题组1 利用余弦定理解三角形1．已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A.3 B.2 C.5 D ．5 解析：选A 由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3， ∴c ＝3，故选A.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 解析：选B ∵a >b >c ， ∴C 为最小角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋（43）2－（13）22×7×43＝32，∴C ＝π6.3．已知在△ABC 中，b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 解析：选B ∵b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析：选C ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴C ＝120°.5．已知在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________． 解析：由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×12＝12，∴C ＝2 3.由正弦定理a sin A ＝csin C 得，sin A ＝a sin CC ＝2×3223＝12.∵0°<A <120°，∴A ＝30°. 答案：30°6．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.求a ，c 的值．解：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )． 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9， 解得a ＝3，c ＝3.7．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． 解：(1)∵cos A ＝2cos 2A2－1，∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12，∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝⎛⎭⎫－12， 化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去)． 题组2 利用余弦定理判断三角形的形状8．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形解析：选D ∵b 2＝ac ，B ＝60°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c .又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．9．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a, b, c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 解析：选B ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc，化简，得a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．10．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A ·sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．解：法一：(角化边) 由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A ·sin B ＝sin C ， 得cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理的推论得 cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2， ∴a ＝b .又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝3b 2， ∴4b 2－c 2＝3b 2， ∴b ＝c . ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形． 法二：(边化角) ∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴sin C ＝sin(A ＋B )．又∵2cos A ·sin B ＝sin C ，∴2cos A ·sin B ＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ， ∴sin(A －B )＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角， ∴A ＝B .又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝12，而0°<C <180°，∴C ＝60°. 又∵A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形．[能力提升综合练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析：选A 在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab . ∵c ＝2a ， ∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ， ∴a 2－b 2＝ab >0， ∴a 2>b 2，∴a >b .2．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定解析：选A 设直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，三边都增加x ，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )·x ＋x 2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．3．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 解析：选C 由题意可知c <b <a ， 或a <b <c ，不妨设c ＝2x ， 则a ＝(3＋1)x ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac.即12＝（3＋1）2x 2＋4x 2－b 22·（3＋1）x ·2x. ∴b 2＝6x 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（3＋1）2x 2＋6x 2－4x 22（3＋1）x ·6x ＝22，∴C ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.4．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________． 解析：由已知条件，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23.设AC 边上的中线长为x ， 由余弦定理，得x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，解得x ＝7， 所以所求中线长为7. 答案：75．设2a ＋1，a ，2a －1为钝角三角形的三边长，那么a 的取值范围是________． 解析：∵2a －1>0， ∴a >12，∴最大边的边长为2a ＋1.设其所对的角为A . ∵三角形为钝角三角形，∴cos A ＝a 2＋（2a －1）2－（2a ＋1）22a （2a －1）<0，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 解得0<a <8，又a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，综上得2<a <8. 答案：(2，8)6．在△ABC 中，BC ＝3，AB ＝2，且sin C sin B ＝25(6＋1)，则角A ＝________．解析：设△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .由题意得a ＝3，c ＝2， 且sin C sin B ＝25(6＋1)＝cb， ∴b ＝225（6＋1）＝6－1，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°. 答案：120°7．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得 a 2＋c 2－2ac ＝b 2， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 故cos B ＝22. 又B 为三角形的内角， 因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64. 故a ＝b sin Asin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2，2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解：(1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，版权所有:中国好课堂 ∴sin C ＝104. (2)当a ＝2，2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26， ∴⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.。

《正弦定理》（第一课时）教学设计一、教学内容分析本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A 版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。

课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时更是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。

本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，形成疑问，激发学生探究欲望，提出斜三角形的边角关系的猜想；第二，带着疑问，对猜想进行验证，首先对特殊的斜三角形边角关系进行验证和实验探究验证，其次是严密的数学推导证明；第三，得到正弦定理，解决引例，首尾呼应，并学以致用，简单应用。

正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化，从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。

这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。

这其实是一个推陈出新的过程。

通过这三个层次，探索——发现——证明，从实际中来，到实际中去。

通过课堂，体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。

二、学情分析本节课内容基本上安排在高一下学期或高二上学期讲授。

(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：①勾股定理：222a b c += ②三角函数式，如：sin a A c =，cos b A c= (2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：① ②大边对大角，小边对小角 ③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型 三、教学策略与学法指导教学策略：本节课采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——实验探究验证猜想——证明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；并贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案。

第一课时 1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c bsin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b c A B C ==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==.两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C. 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===， 同理sin b B =2R ，sin cC ＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得….. ④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 ② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆==中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ） ④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b cA B C++++.2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题.第二课时 1.1.2 余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC AB BC =+，∴()()AC AC AB BC AB BC ∙=+∙+222AB AB BC BC =+∙+222||||cos(180)AB AB BC B BC =+∙-+222cos c ac B a =-+.即2222cos b c a ac B =+-，→② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？→ 余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=，…等.⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b→ 讨论：如何求A ？（两种方法）（答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边 3. 练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C . ② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 三、巩固练习：1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.第三课时 1.1 正弦定理和余弦定理（练习）教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程：一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.(i ) A ＝6π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝6π，a ＝，b ＝； (iii ) A ＝6π，ab ＝； (iiii ) A ＝6π，a ＝50，b ＝.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinAa<CH=bsinA② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.(i ) A ＝23π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝23π，a ＝25，b ＝2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角. ② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC③ 出示例4：已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？ 3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化. 三、巩固练习：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，求a bb+的值 2. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos A :cos B :cos C ＝ . 3. 作业：教材P11 B 组1、2题.。

课 题：1．1正弦定理和余弦定理（一）教学目标：知识：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

能力：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 二.讲授新课(图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（证法一）如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=，C同理可得sin sin cbC B =，b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

《正弦定理和余弦定理》教案教学目标1．掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.2．通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.3．通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系.教学重点难点1．重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；2．难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用.教法与学法1．教法选择：启发引导,讲练结合，归纳总结;2．学法指导：通过一些典型的例题来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣三、思维拓展，课堂交流四、归纳小结，课堂延展1．教材地位分析“正余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值.本节课是“正弦定理、正余弦定理”教学的第三节课，其主要任务是在课型上属于“习题教学课”.布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者.因此，做好“正余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力.2．学生现实状况分析学生已经了解正余弦定理，但是应用不熟练，容易出现的误区：（1）在已知两边及其中一边对角的条件下，求其它边角问题，对于这类问题利用正弦定理和余弦定理都可解决．解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当的选用定理运用好的方法解题．同时，使用正弦定理求角时，要特别小心，不能出现漏解或是增解的情况．（2）在利用正、余弦定理解与三角形有关的问题时,必须注意“三角形内角和为0180”、“在一个三角形中，大边对大角”等三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系对角范围的制约,以免产生错解.。

第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理教学目标：1.掌握正弦定理的形成过程和结构特征，会用不同的方法证明正弦定理.2.明确正弦定理的功能作用，会用正弦定理解斜三角形，了解正弦定理与三角形外接圆直径的关系，能进行简单的三角形有解条件分析.3.渗透特殊与一般，数形结合，分类讨论的数学思想，培养探索意识和基本运算、推理能力.教学重点：正弦定理的形成与应用 教学难点：正弦定理的证明 教学课时：二课时 教学过程：第一课时 教学内容：正弦定理A . 问题提出1.在直角三角形中，三边a ，b ，c ，及锐角A ，B 之间有怎样的数量关系？2.三角形是最基本的几何图形，许多与测量有关的实际问题，都要通过解三角形来解决.如船在航行中测量海上两个岛屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度；测量在海上航行的轮船的航速和航向等.3.对于直角三角形，我们可利用上述原理进行有关计算.对于一般三角形中边和角的关系，我们需要建立相关理论进行沟通，这是一个有待探究的课题.B . 知识探究探究（一）：正弦定理的形成思考1：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则sinA ，sinB ，sinC 分别等于什么？思考2：将上述关系变式，边长c 有哪几种表示形式？ 由此可得什么结论？sin sin sin a b cA B C ==思考3：sin sin a bA B=可变形为sin sin a B b A =， 在锐角△ABC 中，该等式是否成立？为什么？思考4：若∠C 为钝角，sin sin a B b A =是否成立？若∠A 为钝角，sin sin a B b A =是否成立？ 若∠B 为钝角，sin sin a B b A =是否成立？思考5：在任意三角形中，同理可得sin sin b c B C=， 因此有sin sin sin a b cA B C==，该连等式称为正弦定理.如何用文字语言描述正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.CABa bc CA B abDCA B abD探究（二）：正弦定理的向量证明思考1：在△ABC 中，向量A C uuu r ，A B uuu r ，BC uuu r之间有什么关系？ 思考2：若∠A 为锐角，过点A 作单位向量i ，使i ⊥A B uuu r， 则向量i 与A C uuu r ，A B uuu r ，BC uuu r的夹角分别是什么？ 思考3：由()i A Ci A BBC ??uuu ruuu r uuu r可得什么结论？sin sin a bA B=思考4：若∠A 为钝角，上述推理过程有什么变化？所得结论如何？ 思考5：若证明sin sin b cB C=，应如何作单位向量i ？ C . 理论迁移例1 在△ABC 中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm ，解三角形.答案：C =66.2°，b ≈80.1cm ，c ≈74.1 cm .例2 在△ABC 中，已知a=20cm ，b=28cm ，A=40°，解三角形.答案：sinB ≈0.8999，B ≈64°，C =76°，c ≈30 cm ；或B ≈116°，C ≈24°，c ≈13 cm .例3在△ABC 中，已知a=60cm ，b=50cm ，A=38°，解三角形. 答案：sinB ≈0.5131，B ≈31°，C ≈111°，c ≈91 cm .D . 小结作业1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成，即sin sin a b A B =，sin sin a cA C=，sin sin b cB C=，每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系. 3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题，要注意确定解的个数.作业：P4练习：1，2.CA Bab iCA Babi。

高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形． 学习重难点1. 重点：正、余弦定理内容2. 难点：已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时的讨论一、知识链接问题1：在解三角形时，已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理．问题2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝252，b ＝502，解此三角形．二、试一试探究1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝502；② A ＝6π，a ＝5063，b ＝502；③ A ＝6π，a ＝50，b＝502.思考：解的个数情况为何会发生变化？探究2：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？ 2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 模仿练习例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b cA B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 22032ab C =，求角C ．三、总结提升 ※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解； 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．当堂检测1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a bb +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．课后作业1. 在∆ABC中，a xcm=，2b cm=，45B∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2221sin24a b cab C+-=，求角C．课后反思。

数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。