数学分析_竞赛辅导讲义
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大学数学竞赛讲义(全套)
大学数学竞赛讲义(全套)目录1. 引言2. 基础知识3. 解题技巧4. 常用公式和定理5. 典型例题分析6. 高级题目解析7. 经典题目选编8. 复与总结9. 参考资料引言本讲义旨在为大学数学竞赛的参与者提供全面且系统的资料，帮助他们更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
针对大学数学竞赛的特点，本讲义注重理论与实践相结合，从基础知识到高级题目的解析，包括了大量的典型例题和经典题目的选编。
基础知识这一部分主要介绍大学数学竞赛中常用的基础知识，包括数列与级数、函数与极限、微积分与微分方程等内容。
通过对基础知识的系统梳理和深入讲解，帮助读者打下扎实的数学基础。
解题技巧解题技巧是参加竞赛的重要因素之一。
本部分将介绍一些解题技巧和策略，包括快速推理、巧妙变形、逆向思维等手段，以帮助读者在竞赛中找到解题的突破口。
常用公式和定理在竞赛中，熟练掌握一些常用的公式和定理可以提高解题速度和准确性。
本部分将列举一些常用公式和定理，并给出简洁的证明，供读者参考和应用。
典型例题分析通过对一些典型例题的分析和解答，帮助读者更好地理解和掌握数学竞赛中的解题思路和技巧。
每个例题分析都将包括题目的背景、解题思路和详细的解答过程。
高级题目解析本部分将涉及一些较为复杂和难度较高的数学题目的解析。
这些题目通常考察更深入的数学理论和技巧，通过对高级题目的解析，读者可以提升自己的数学水平和解题能力。
经典题目选编在这一部分，我们将挑选一些经典的数学竞赛题目进行选编，并给出详细的解答和解题思路。
这些题目可以帮助读者更全面地了解和掌握数学竞赛中常见的题型和解题方法。
复与总结复和总结是巩固和提高知识的关键环节。
本部分将提供一些复和总结的方法和技巧，帮助读者全面回顾已学知识，并进行有效的复和巩固。
参考资料本讲义涵盖了大量的数学知识和解题技巧，但仍然无法穷尽数学竞赛的广度和深度。
推荐一些经典的参考资料，供读者进一步深入研究和研究。
以上为《大学数学竞赛讲义(全套)》的大致目录和简介。
大学生数学竞 赛辅导讲义
大学生数学竞赛辅导讲义（非数学类）（安徽大学数学科学学院大学数学教学中心）2016,7—8目录专题一：函数、极限与连续 (4)题型一：函数方程及其求解 (4)题型二：利用四则运算求极限 (4)题型三：利用夹逼准则与单调有界准则求极限 (4)题型四：利用两个重要极限求极限 (5)题型五：利用无穷小代换求极限 (5)题型六：利用导数定义求极限 (6)题型七：利用（定）积分的定义求极限 (6)题型八：函数的连续性 (6)专题二：一元函数微分学 (7)题型一：与导数定义有关的问题 (7)题型二：与求导法则有关的问题 (8)题型三：高阶导数问题 (9)题型四：利用泰勒（麦克劳林）公式解决的问题 (10)题型五：利用洛必达法则求极限 (11)专题三：一元函数积分学 (12)题型一：求原函数（不定积分）问题 (12)题型二：定积分的计算问题 (13)题型三：与变限定积分有关的问题 (14)题型四：关于广义（反常）积分的问题 (15)题型五：定积分的几何及物理应用 (16)题型六：定积分（不）等式的证明 (17)题型七：几类积分方程的求解 (18)专题四：（常）微分方程 (19)题型一：微分方程的基本概念 (19)题型二：一阶微分方程的五种基本类型 (19)题型三：可化为上述五种基本型的一些方程 (20)题型四：可降阶的高阶微分方程 (20)题型五：微分方程的应用 (21)题型六：高阶线性微分方程解的结构 (23)题型七：常（变）系数线性微分方程的求解 (23)题型八：常数变易法 (25)题型九：化函数方程、积分方程、偏微分方程、差分微分方程以及微分方程组为常微分方程 (25)题型十：常微分方程解的性质的简单讨论 (27)专题五：多元函数微分学 (27)题型一：空间解析几何初步 (27)题型二：二元函数的极限 (28)题型三：二元分段（片）函数的连续性、可偏导性、可微性 (29)题型四：多元复合函数、隐函数的偏导数、全微分 (29)题型五：多元函数偏导数的简单应用 (31)题型六：多元函数的极（最）值问题 (31)专题六：多元函数积分学 (33)题型一：重积分的概念与性质 (33)题型二：二次积分的次序交换 (33)题型三：二重积分的计算 (33)题型四：三次积分的次序交换 (36)题型五：利用直角坐标计算三重积分 (37)题型六：利用柱坐标、球坐标计算三重积分 (37)题型七：第一类（型）曲线积分—对弧长的曲线积分 (38)题型八：第二类（型）曲线积分—对坐标的曲线积分 (39)题型九：格林公式及其应用 (40)题型十：与路径无关的平面曲线积分与原函数求法 (42)题型十一：第一类（型）曲面积分—对面积的曲面积分 (43)题型十二：第二类（型）曲面积分—对坐标的曲面积分 (44)题型十三：斯托克斯公式及其应用 (46)专题七：无穷级数 (47)题型一：数项级数的和 (47)题型二：（正项）级数的敛散性判别 (48)题型三：幂级数的收敛半径、收敛域与和函数 (50)题型四：幂级数的应用与展开 (51)附录一:中国大学生数学竞赛大纲（初稿） (53)附录二：历届全国大学生数学竞赛初赛及决赛试题 (57)首届全国大学生数学竞赛预赛试题（2009年） (57)首届全国大学生数学竞赛决赛试题（2010年） (58)第二届全国大学生数学竞赛预赛试题（2010年） (59)第二届全国大学生数学竞赛决赛试题（2011年） (60)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题（2011年） (61)第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（2012年） (62)第四届全国大学生数学竞赛预赛试题（2012年） (63)第四届全国大学生数学竞赛决赛试题（2013年） (64)第五届全国大学生数学竞赛预赛试题（2013年） (65)第五届全国大学生数学竞赛决赛试题（2014年） (66)第六届全国大学生数学竞赛预赛试题（2014年） (67)第六届全国大学生数学竞赛决赛试题（2015年） (68)注：本讲义仓促成稿，错漏之处难免；恳请读者多多指教，联系方式：zijunyxq@。
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)讲义
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。
其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。
注：有(*)标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示设a 为实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0)0(0)0(||a a a a a a绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |，则a ＝±b ③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a ④|a ·b |＝|a |·|b |，||||||b a b a =(b ≠0) ⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |（2）实数的偶次幂是非负数如果a 为任意实数，则n a 2≥0（n 为自然数），当n ＝1时，2a ≥0（3）算术平方根是非负数，即a ≥0，其中a ≥0.算术平方根的性质：()a a =2（a ≥0）||2a a =＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0)0(0)0(a a a a a2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 3的式子，被开方数必须为非负数； 4a =5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。
高中数学竞赛讲义(免费)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
数学分析讲义(第一章)
Ⅱ 典型例题与方法
1. 利用极限定义验证极限
前提：知道数列（函数）的极限值；
关键：寻找 N (δ ) .
基本方法：
（1）求最小的 N ：从不等式 an − a < ε 直接解出 n ；
（2）适当放大法：不等式 an − a < ε 较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，
为此先将表达式 an − a 进行化简，并适当放大，使之成为关于 n 的简单函数 H (n) （仍为无
(5). lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时，有 f (x) − A < ε . x→+∞
(6) lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x < −M 时，有 f (x) − A < ε . x→−∞ 2
特别地，若函数以零为极限，则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定
义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用，熟记常用的等价无穷小量：当 x → 0
时，
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x −1，
1 − cos x ~ x2 , (1 + x)α ~ αx, a x − 1 ~ x ln a . 2
n →∞
yn xn
= ⎪⎨+ ∞， ⎪⎩− ∞.
二 函数极限
1 定义 函数极限的六种形式：
(1)
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <
x → x0
x − x0
< δ 时，有
希望杯数学竞赛辅导讲义(1)
数学竞赛辅导讲义〔1〕（一） 抽象函数知识提要：所谓抽象函数泛指不具体的函数,然而抽象函数又以具体函数为背景,所以研究抽象函数很有应用价值.1.设()f x 是定义在R +上的增函数,且()()x f x f f y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,假设()31f =,那么使()125f x f x ⎛⎫-≥ ⎪-⎝⎭成立的x 的取值范围是 . 2.函数()f x 是定义在R 上的函数,它的图象既关于直线5x =对称,又关于直线7x =对称,那么函数()f x 的最小正周期是 .3.设函数()y f x =是在R 上有定义且在[]0,1上是单调递减的周期为2的偶函数,那么()()()1,0, 2.5f f f -由小到大的顺序为 .4.定义在R 上的函数()f x ,恒有()()()f x y f x f y +=+.假设()164f =,那么()2006f 等于 .〔二〕函数[]x 和{x }知识提要： 函数[]x 表示实数x 的整数局部〔不超过x 的最大整数〕.通常称[]y x =为取整函数,又称高斯函数.而{}x 为实数x 的小数局部.任一实数都能写成整数局部与小数局部之和, 即[]{}x x x =+.例如：当 3.71x =-时,[]3.714-=-,{3.71}0.29-=,且()()3.7140.29-=-+.5.定义符号[]x 表示不超过x 的最大整数.那么方程[][]2sin x x =()0x ≥的解集〔x 以弧度为单位〕是 .6.设[]x 表示不超过x 的最大整数,那么不等式[][]221160x x --≤的解集是 .7.自然数n 能被整除,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,那么n 的表达式为 〔用表示结果〕. 8.1x y -<是[][]x y =成立的 条件.〔选填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充分且必要〞、“既不充分也不必要〞四者之一〕〔三〕函数迭代和函数方程设f 是D D →的函数,对任意,x D ∈记()()0,fx x =定义()()()()1*,,n n f x f f x n N +=∈那么称函数()n f x 为()f x 的n 次迭代. ()n f x 的一般求法是先猜后证：先迭代几次,观察有何规律,由此猜想出()n f x 的表达式,然后证实.含有未知函数的方程称为函数方程.如果一个函数()f x 对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程,那么称()f x 为该方程的解.证实函数方程无解或寻求其解的过程就是解函数方程.一般用以下方法：〔1〕代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换〔代换时应注意使函数的定义域不发生变化〕,得到一个或几个新的函数方程,然后设法求得未知函数.〔2〕赋值法：根据所给条件,适当地对自变量赋予某些特殊值,从而简化函数方程,逐步靠近未知结果,最终解决问题.〔3〕待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时,可用此法比拟系数而求解. 〔4〕递推法：即通过初始条件和递推关系求解,例如通过数列的递推关系求通项公式等.9.自然数k 的各位数字和的平方记为()1,f k 且()()()11,n n f k f f k -⎡⎤=⎣⎦那么()11n f 的值域为 〔A 〕*N ； 〔B 〕 {2,4,7} ；〔C 〕{4,16,49,169,256} ； 〔D 〕{2,4,7,13,16}10.设()12,1f x x =+而()()*11,.n n f x f f x n N +=∈⎡⎤⎣⎦记()()21,22n n n f a f -=+那么99a 等于。
数学竞赛辅导讲义
礼县二中高中数学联赛社团培训讲义一、集合（基础）1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{02,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。
（答：8） （2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）（3）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）2.遇到A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
（答：7）4.集合的运算性质：如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。
如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|2}M x y x ==-，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答：[4,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+， }R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
数学分析讲义
数学分析讲义.下册.第2版
数学分析讲义第2版，专注于实用数学分析方面的知识，深入理解数学形式及其在现实分析中的应用，通过有益的练习和例子，提升你的实际技能，帮助你解决复杂的现实问题。
本文讲义是数学分析讲义（第2版），是下册的笔记，以下是整理的要点：
一、函数：
1、定义及其表示方法；
2、平面直角坐标系中曲线；
3、基本分析方程；
4、函数的应用；
二、复数及基本运算：
1、拓展自然数体；
2、复数的概念及运算；
3、指数函数；
4、三角函数及其变换；
三、级数：
1、极限运算与无穷级数概念；
2、绝对级数及全局收敛性；
3、指数幂级数及其局部收敛性；
4、勒贝格级数及其解析性；
四、极限：
1、极限概念及运算法则；
2、函数极限的性质；
3、无穷和零的存在；
4、函数极限的性质；
五、微积分：
1、定积分的概念及定义；
2、不定积分的概念及定义；
3、积分变换及差分运算；
4、积分的应用；
本讲义的内容详尽全面，涵盖了数学分析的方方面面。
希望能够帮助各位一起理解，掌握数学分析的基础知识。
全国大学生数学竞赛培训讲义
第一讲O.Stolz公式一、序列的情况：例1：例2：求极限解：例3：提示：只需证明，由O.Stolz定理知从而故，()()22111112112 2.n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a ++++++−=−+==+=+→例4：二、函数极限的情况：例1：例2：例3：补充：用定义证明问题，例1：例2：证明：第二讲极限若干问题一、数列极限1、利用单调有界数列必有极限准则例1：，例2：例3：2、利用放缩法例1：例2：1、利用等价代换例1：例2：例3：例4：2、利用定积分例1：例3：求极限。
提示：例4：求极限提示：例5：求极限提示：3、利用中值定理例3：求下列极限：例4：4、其他1、例1：2、对数指数求极限法例1：由O.Stolz公式得，知，原式值为1/2。
例2：例3：3、等价无穷小量替换法例1：例2：求下列极限：（1）（2）解：第三讲函数相关问题1、函数的连续性例：2、函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
例：3、函数的最值定理例：4、函数的介值定理定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,且A≠B。
那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b)。
例：5、根的存在定理又称为零值点定理，即：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且：f(a)f(b)<0,那么在开区间(a,b)上，至少存在一点x0,使得：f(x0)=0.例：第四讲连续性例4：例5：第五讲导数例1：证明：例3：例4：例5：数。
例6：已知(sin )(1cos )x a t t y a t =−=−｛，第六讲积分1、不定积分2、定积分例1：例2：第七讲级数例1：例2：例3：例4：第八讲多元函数的积分大纲：矢量及其运算和空间解析几何，多元函数的微分及其性质和应用。
数学分析全章复习讲义
数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。
第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。
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高等数学（数学分析）竞赛辅导讲稿一、 函数函数，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。
包括函数的连续性。
闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。
问题1 试证不存在1 上的连续函数f ，使得f 在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。
证 若不然，则存在,a b ∈ ，使得()()f a f b L==且a b <。
设()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值分别为M和m 。
若f 在[,]a b 上取常值，则f 在无理数集上不是一一映射。
于是ML>或m L <。
不妨设()L M f c <=，a c b<<，则由()f 可数、开区间(,)L M 不可数知(,)()L M f -≠∅ 。
任取某个(,)()h L M f ∈- ，分别在[],a c 和[],c b 上应用介值性定理必有s 和t 使得a s c t b <<<<且()()f s f t h ==。
因(,)()h LM f ∈- ，故s 和t 都是无理数，这与f在无理数集上是一一映射矛盾。
问题2 若一族开区间{|}I αα∈Γ覆盖了闭区间[0,1]，则必存在一个正数0δ>，使得[0,1]中的任意两点12,x x 满足12x x δ-<时，12,x x 必属于某个开区间{}I I βα∈。
证 不妨设每个开区间都是有限区间。
（1） 作函数:[0,1]f → ，sup{(,)|}C x d x I αα∈Γ 。
（2） f 连续，且()0f x >。
而闭区间上的连续函数一定有最小值，令1m in{()|[0,1]}2f x x δ=∈。
（连续性的证明： ,[0,1]x y ∀∈，(,)inf{(,)|}CCd x I d x a a I αα=∈≤inf{(,)(,)|}(,)C d x y d y a a I d x y α+∈=+inf{(,)|}Cd y a a I α∈= (,)(,)Cd x y d y I α+，取上确界得sup{(,)|}(,)sup{(,)|}CCd x I d x y d y I αααα∈Γ≤+∈Γ即()()(,)f x f y d x y -≤，同理()()(,)f y f x d x y -≤，于是()()(,)f x f y d x y -≤，故0,ε∀>取δε=，当x y δ-<时，()()f x f y ε-<，所以()f x 是[0,1]上的连续函数。
） （3）[0,1]x ∀∈，0()f x δ<<，因此存在I α，使得(,)C d x I αδ>，从而(,)x x I αδδ-+⊂。
（4）而满足12x x δ-<的点12,x x 必在某个(,)x x δδ-+中(事实上取122x x x -=即可)，从而命题得证。
练习1 设)(x f 在[0,1]上可导，且1)1(,0)0(==f f 。
证明：对任意正数a 、b ，必存在(0,1)内的两个不同的数ξ与η，使()()a b a b f f ξη+=+''。
证 设01a b <≤<，令C 0=a a b+，则0< C 0<1。
因(0)0,(1)1f f ==且()f x 在[0, 1]上连续，由介值性定理存在(0,1)c ∈，使得()f c = C 0。
现在在[0,c]上利用拉格朗日中值定理，存在(0,)c ξ∈，有0()(0)()0()c f c f a f c c a b cξ-'===--+。
同理在[c,1]上利用拉格朗日中值定理存在(,1)c η∈，有01(1)()()11()(1)c f f c b f cca b c η--'===--+-。
于是()()(1)()()a b a b c a b c a b f f ξη+=+++-=+''。
命题得证。
二、 极限数列和函数极限的计算，以及有关问题的讨论，无穷阶的比较，实数完备性理论及其应用。
问题3 设.,2,1,),0(11 =+=>=+n a c a c c a n n 求lim n n a →∞。
证 首先证明}{n a 是递增数列.112a c c c a c a =>+=+=,假设kk a a >+1成立，则112+++=+>+=k k k k a a c a c a , 因此}{n a 是递增数列.再证明}{n a 是有界数列. c a c n +<≤1.ca n ≥显然成立. c cc c a +=++<=12121成立.设c a k +<1成立，则ccc c c a c a k k +=++<++<+=+121121,因此，c a c n +<≤1成立.根据单调有界定理知知}{n a 收敛，设n n a a ∞→=l i m ,在nn a c a +=+21两边取极限，得a c a +=2,解得2141++=c a 或2141+-=c a ，但由于ca a n =≥1, 因此0>a , 从而2141lim ++=∞→c a n n .练习2 设112,2,1,2,n n a a a n +=== ，求lim n n a →∞。
证 显然0>n a 首先证明，2<n a .221<=a , 若假设2<n a , 则2421=<=+n n a a .根据归纳法可得2<n a 成立.又由 02)2(21>+-=-=-+nn n n n n n n a a a a a a a a , 即}{n a 是递增数列且有上界, 根据单调有界定理知}{n a 收敛，设n n a a ∞→=lim , 在n n a a 221=+两边取极限，得aa 22=,解得0=a 或2=a ，但由于21=≥a a n , 因此2≥a , 从而2lim =∞→n n a . 练习3 设1111ln 23n S n n=++++- ，求证：lim n n S →∞存在。
[分析] 两个事实：1)1(1)n n+ 单调递增e →；2)11(1)n n++ 单调递减e →。
有不等式111ln(1)1n n n<+<+ 。
证 111ln1n n n S S nn ++-=-+=11ln(1)01nn +->+，故{n S }单调下降，且111ln(1)ln(1)ln(1)ln 12n S n n>++++++- =231lnln 12n n n +⋅-= 1ln(1)0n +>。
∴ lim n n S →∞存在。
注 1111ln (1)23n C o n++++=++ ，其中C 是欧拉常数。
三、 积分中值定理函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质（单调性，凹凸性等）以及导数的应用（极值、最大值和最小值等）。
问题4 设0P >是常数，求证21lim01n p nn dx x+→∞=+⎰。
解 由积分第一中值定理知(,)n n p ξ∃∈+，有221111n p ndx P xξ+=⋅++⎰故原式21lim01P ξξ→∞=⋅=+。
练习4 sin lim n p nn x dx x+→∞⎰。
解 由积分第一中值定理知(,)n n p ξ∃∈+，有sin sin n p nx dx p xξξ+=⋅⎰故原式=sin limp ξξξ→∞⋅=0。
四、 积分不定积分和定积分的计算，定积分的性质以及变上，下限的积分，定积分的应用和广义积分。
问题5 求积分22sin 1cos x x dx xπ+⎰。
解22222sin sin sin 1cos 1cos 1cos x x x x x x dx dx dx xxxππππ=++++⎰⎰⎰ （1）222sin ()sin 1cos 1cos x x t t dx dt xtππππ+=-++⎰⎰代入（1）得原式 =22sin cos arctan cos |1cos 1cos tdt d t t ttππππππ-==++⎰⎰=22π-。
练习5 证明：22sin()0x dx π>⎰。
分析：令2x u =。
练习6 证明 2004220031|sin |2003t dt <⎰。
分析：令2x u =，再利用积分第二中值定理。
定理： 设()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，则(,)[,]()a b a b αβαβ∀⊂≤<≤，0(,)x αβ∃∈使()f x 在0x x =处连续。
证明：作分划010:n x x x x nβααβ-∆=<=+<<= 。
因()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，取102βαε-=>，存在14n ≥，使1(1)(1)11()2n iii M m n βαβα=---<∑（其中1,1,(1)(1)[][]{()},inf{()}i i i i i ix x x x x x M sup f x m f x --∈∈==，以下类似定义。
）所以1(1)(1)111()22n iii n M m n =-<≤-∑，因此至少有三个i ，使(1)(1)1iiM m -<。
取110,i n <<使11(1)(1)1iiM m -<。
作区间11111[,][,]ii x x αβ-=，则()f x 在11[,]αβ上Riemann 可积。
取112202βαε-=>，存在24n ≥，使1(2)(2)111121()4n ii i M m n βαβα=---<∑于是2(2)(2)2212()42n iii n n M m =--<≤∑，因此至少有三个i ，使(2)(2)12iiM m -<。
取220,i n <<使22(2)(2)12i iM m -<。
如此继续可以得到一个闭区间套11[,][,][,]n n αβαβαβ⊃⊃⊃使得（1）4n n nβαβα--≤；（2）()f x 在[,]n n αβ上的上下确界满足()()1n n iiM m n-<。
由闭区间套定理知01[,]{}n n n x αβ∞== 。
下证()f x 在0x x =处连续。
事实上，010,[]1,n εε∀>∃=+有1n ε<。
而由上述构造过程知，0,δ∃>有000(,)[,]n n x x δδαβ-+⊂，此时00()()001()()n n iif x f x M m n ε-≤-<<故()f x 在0x x =处连续。