小学奥数：最大公约数最小公倍数

最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。

自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

　2.公倍数和最小公倍数　③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1）必须每次都用个数的公约数去除；（2）一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

求个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3）个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

最大公因数和最小公倍数基本概念1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

例题分析例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？练习提高1．一个数用3、4、5除都余1，这个数最小是多少？2．一盒钢笔，可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？3．花花、林林、和阳阳三人在一个椭圆的跑道上跑步，花花3分钟跑了一圈，林林4分钟跑了一圈，阳阳5分钟跑了一圈，她们同时从A点一起同向出发，多少分后，三人再次在A 点同时出发？4．有批书大约300到400本。

包成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本，就有7包每包各多2本，这批书有多少本？5．有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点时，既响铃又亮灯，问下一次既响铃又亮灯是几点钟？6．7月6日，宝柱从避暑山庄打电话给乾隆问好，贾六来看望乾隆，春喜在打扫房间。

如果春喜每隔3天打扫一次，宝柱每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，则至少经过多少天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生？7．一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方，将绳子剪段，共可剪成几段？8．一张长方形白纸，长1.36米,宽0.8米,要剪成同样大小的正方形,并使它们的面积尽可能的大,剪完后又正好没有剩余,可剪出多少个正方形?9．把160只铅笔、128个练习本、96册故事书最多可以分成多少份同样的奖品，每份奖品的组成怎样？10．美丽加工厂加工一批零件，每个零件需要一个螺栓，三个螺母，7个螺钉，已知每个工人每小时可完成3个螺栓或12个螺母或18个螺钉，要想能均匀生产，使每件零件都配上套，生产这三种零件各需安排多少人？抽测综合练习：1、在下面3个数中，最接近1的是（）。

最大公约数与最小公倍数用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n个数的最大公约数：（1）必须每次都用n个数的公约数去除；（2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

求n个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）n个数的公约数去除，除到n个数没有除去1以外的公约数后，在用1n-个数没有除1以外的公n-个数的公约数去除，除到1约数后，再用2n-个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n个数的商两两互质为止；（3）n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

例1：求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数。

（用因数分解法）随堂练习1：求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。

（用因数分解法）例2：求36、108、126的最大公约数和最小公倍数。

（用短除法）随堂练习2：求403、527、713的最大公约数和最小公倍数。

（用短除法）例3：有一位男同学要整理三种厚度分别为30毫米、24毫米和18毫米的一堆书，他只能将厚度相同的书叠在一起，叠成高度一样的三叠，使书得高度尽可能小。

这样的整理共用了多少本书？随堂练习3：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是月日。

例4：设a=36，b=54，证明（a，b）×[a，b]=a×b。

随堂练习4：设a=108，b=720，证明（a，b）×[a，b]=a×b。

例5：现有4个自然数，它们的和是1111,。

如果要使这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大是。

随堂练习5：有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和。

学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。

三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。

不可能是2,3,7,8。

●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。

2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

●自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

小学奥数精讲：最大公约数与最小公倍数一、知识总结：1.如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

2.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

4.常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

如求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。

如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）×[18，12]=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。

也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。

当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。

从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，（a，b）×[a，b]=a×b。

二、小试牛刀例1、用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？例2、用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？例3、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？例4、在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？例5 、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。

1．五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？2．有一个电子表，每走9分钟这一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？3．两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。

4．一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？5．一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加会餐的有多少人？6．已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。

7．两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数，8．甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。

9．已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。

10．有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？11．有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？12．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？13．把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？14．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？15．用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？16．从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？17．在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？18．每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？19．现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？20．有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？21．有一个商店今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批货，甲每隔6天来一次，乙每隔8天来一次，丙每隔9天来一次，问这三个批发商在7月1日在碰面后，再过多少天他们还在这家商店碰面？到明年7月1日，他们一共碰面多少次？五年级奥数－最大公约数与最小公倍数（3）1．两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

小学数学中的数的最大公约数和最小公倍数一、引言在小学数学学习中，数的最大公约数和最小公倍数是一个重要的概念。

它们在解决整数的相互关系和运算中起着重要的作用。

本文将介绍最大公约数和最小公倍数的概念、性质和计算方法，并通过一些例题帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

二、最大公约数1. 概念最大公约数（Greatest Common Divisor，缩写为GCD）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

比如，对于整数12和16，它们的约数分别为1、2、3、4、6、12和1、2、4、8、16，所以它们的最大公约数为4。

2. 性质最大公约数具有以下性质：（1）最大公约数是整数的公共因数中最大的一个；（2）最大公约数至少是1；（3）最大公约数可以通过辗转相除法求得；（4）若两个数中有一个数为0，则它们的最大公约数为另一个数的绝对值。

3. 计算方法（1）辗转相除法：假设有两个整数a和b，用a除以b得到余数c，再用b除以c得到余数d，依此类推，直到两个数的余数为0。

最后一个非零余数就是这两个数的最大公约数。

（2）因式分解法：将两个数分别分解质因数，然后取相同因子的最小指数乘积即为最大公约数。

三、最小公倍数1. 概念最小公倍数（Least Common Multiple，缩写为LCM）是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。

比如，对于整数4和6，它们的倍数分别为4、8、12、16、20、24和6、12、18、24，所以它们的最小公倍数为12。

2. 性质最小公倍数具有以下性质：（1）最小公倍数是整数的公共倍数中最小的一个；（2）最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公约数得到的；（3）若两个数中有一个数为0，则它们的最小公倍数为0。

3. 计算方法（1）因式分解法：将两个数分别分解质因数，然后取相同因子的最大指数乘积乘以剩余的单个因子即为最小公倍数。

四、计算例题为了更好地理解和应用最大公约数和最小公倍数的概念，我们通过以下例题进行计算：例题1：求12和16的最大公约数和最小公倍数。

最大公约数与最小公倍数实际生活中，我们经常会碰到这样一些问题，把一张大长方形纸片平均裁成若干张小的长方形或正方形纸片而没有剩余，怎么办？这一类问题其实是最大公约数和最小公倍数在实际中的运用。

最大公约数和最小公倍数的知识在解决生活实际问题中经常用到，在数学竞赛中也占有一定的比重。

这一讲我们就来研究这个问题。

【例1】一块长96厘米，宽84厘米的铁皮，根据需要且不能浪费边角料，要剪出面积相等的最大的正方形铁皮，问：最多可以剪出这样的正方形铁皮多少块？［分析］根据题意，要求不浪费材料，并要剪成最大的正方形，可知剪出的正方形铁皮片的边长一定既是长方形铁皮片长的约数，又是这个长方形铁皮片宽的约数，也就是长方形铁皮片长和宽的公约数，因为要求最大的正方形块数，正方形的边长一定是长方形铁皮长和宽的最大公约数，进而就可求所剪正方形的块数了。

［解］解法一：（96、84）＝12所剪最大正方形面积是：12×12＝144（平方厘米）长方形铁皮的面积是：96×84＝8064（平方厘米）能剪出面积相等的最大正方形的块数是：8064÷144＝56（块）解法二：（96、84）＝12长里面有几个最大正方形的边长：96÷12＝8（个）宽里面有几个最大正方形的边长：84÷12＝7（个）8×7＝56（块）答：可剪出大小相等面积最大的正方形56块。

【例2】在一次庆祝活动中，某公司买来336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？［分析］苹果总数＝每份中苹果数×份数，因此，份数应是苹果总数的约数，同样份数也应该是桔子总数和梨总数的约数，所分礼物的份数一定是苹果、桔子、梨的总数的公约数。

即一定要是336、252、210的公约数。

题目求最多可以分多少份，就是求336、252、210的最大公约数。

［解］（336、252、210）＝42，所以这样的水果最多可以分成42份相同的礼品，并且在每份礼品中，苹果有：336÷42＝8（个）桔子有：252÷42＝6（个）梨有：210÷42＝5（个）［评析］这道题中，因为分成的是同样的礼物，所以份数是三个数量的最大公约数。

最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。

一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。

不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。

判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。

对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。

具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。

又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。

（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。

（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。

具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。

〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。

小学数学知识归纳最大公约数和最小公倍数小学数学知识归纳：最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是小学数学中非常重要的概念。

它们在解决各种数学问题时都起着至关重要的作用。

本文将对最大公约数和最小公倍数进行详细的介绍与归纳。

一、最大公约数最大公约数是指两个或多个整数中共有的、最大的约数。

在小学数学中，我们通常使用因数分解的方法求最大公约数。

下面通过几个例子来说明。

例1：求24和36的最大公约数。

首先，我们分别对24和36进行因数分解：24 = 2^3 × 336 = 2^2 × 3^2然后，我们找出两个数的公共因子，并将其相乘：公共因子：2^2 × 3 = 12因此，24和36的最大公约数为12。

例2：求16和48的最大公约数。

同样地，我们先对16和48进行因数分解：16 = 2^448 = 2^4 × 3然后，我们找出两个数的公共因子，并将其相乘：公共因子：2^4 = 16所以，16和48的最大公约数为16。

通过以上的例子，我们可以得出求最大公约数的一般方法：将两个数进行因数分解，然后找出它们的公共因子，最后将这些公共因子相乘。

这样我们就能够得到最大公约数。

二、最小公倍数最小公倍数是指两个或多个数之间能够整除的、最小的数。

同样地，我们也可以使用因数分解的方法来求最小公倍数。

下面我们来看几个例子。

例3：求5和8的最小公倍数。

首先，我们分别对5和8进行因数分解：5 = 58 = 2^3然后，我们将两个数的各个因子相乘，并重复出现的因子只取最大次数：因子：2^3 × 5 = 40因此，5和8的最小公倍数为40。

例4：求9和12的最小公倍数。

同样地，我们先对9和12进行因数分解：9 = 3^212 = 2^2 × 3然后，我们将两个数的各个因子相乘，并重复出现的因子只取最大次数：因子：2^2 × 3^2 = 36所以，9和12的最小公倍数为36。

五年级上册奥数最大公约数和最小公倍数(例题含答案)第三讲：最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，称为这几个数的公约数；其中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18.12和18的公约数有1、2、3、6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6.2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，称为这几个数的公倍数；其中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12、24、36、48、60、72、84……；18的倍数有18、36、54、72、90……。

12和18的公倍数有36、72……，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36.3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数称为互质数。

二、例题例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析：要求的数去除30、60、75都能整除，因此要求的数是30、60、75的公约数。

又因为要求符合条件的最大的数，因此就是求30、60、75的最大公约数。

解：（30，60，75）=5×3=15，这个数最大是15.例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析：由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。

解：［3，4，5］=3×4×5=60，用3、4、5除都能整除的最小的数是60.例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析：要截成相等的小段，且无剩余，因此每段长度必是120、180和300的公约数。

又因为每段要尽可能长，因此要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数。

解：（120，180，300）=30×2=60，每小段最长60厘米。

五年级奥数-最小公约数和最大公倍数最小公约数和最大公倍数是数学中常见的概念，同时也是五年级奥数考试中的重要内容。

了解并掌握最小公约数和最大公倍数的概念和计算方法，对于解决数学题目和提高数学能力非常有帮助。

最小公约数最小公约数是指两个或多个数共有的约数中最小的那个数。

计算最小公约数有多种方法，常用的方法是因数分解法和短除法。

因数分解法因数分解法的步骤如下：1. 对于每一个要找最小公约数的数，将其分解为质因数的乘积形式。

2. 找出所有数的质因数，并列出每个质因数的最小次数。

3. 最小公约数就是这些质因数的乘积。

例如，我们要计算最小公约数（最大公因数）15和20：15 = 3 * 520 = 2 * 2 * 5最小公约数就是两个数的质因数的公共部分，即5。

短除法短除法适用于两个数字较小的情况。

步骤如下：1. 用一个数除以另一个数，并将商和余数的结果写下来。

2. 用余数再次除以商，直到余数为0。

3. 最后一次的除数即为最小公约数。

例如，我们要计算最小公约数（最大公因数）24和36：36 ÷ 24 = 1 余数1224 ÷ 12 = 2 余数0最小公约数为12。

最大公倍数最大公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的那个数。

计算最大公倍数有多种方法，常用的方法包括因数分解法和倍数法。

因数分解法因数分解法的步骤如下：1. 对于每一个要找最大公倍数的数，将其分解为质因数的乘积形式。

2. 将所有数的质因数以最高次数的形式列出。

3. 最大公倍数就是这些质因数的乘积。

例如，我们要计算最大公倍数18和24：18 = 2 * 3 * 324 = 2 * 2 * 2 * 3最大公倍数为2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 72。

倍数法倍数法适用于两个数字较小的情况。

步骤如下：1. 找到两个数的公共倍数。

2. 最小的公共倍数即为最大公倍数。

例如，我们要计算最大公倍数15和20：15的倍数：15, 30, 45, 60, 75, ...20的倍数：20, 40, 60, 80, 100, ...最小的公共倍数即为60。

五年级奥数讲义：最大公约数与最小公倍数一、知识点b,称a是b倍数,b是a约数。

1.定义：ba,是整数,若a几个数公共的约数称为公约数,公约数的个数是有限的,其中最大的一个称为最大公约数；几个数公共的倍数称为公倍数,公倍数的个数有无限多个,其中最小的一个称为最小公倍数。

特别地, 1是所有数的公约数。

两个数ba,的最大公约数记为)a；ba,的最小公倍数记为[]b a,。

,(b若，ba称ba,互质。

(=1),2.性质（1）两个数的公约数是这两个数最大公约数的约数；两个数的公倍数是这两个数最小公倍数的倍数；（2）两个数分别除以它们的最大公约数,所得商是互质的；（3）两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

3.求最大公约数和最小公倍数的方法（1）列举法；（2）分解质因数法；（3）短除法；（4）辗转相除法。

二、例题精讲例1 24和30的公约数有____________,最大公约数是________,最小公倍数是_________。

54，。

例2 分别用短除法和分解质因数法求：）54,[]90（90,例3 利用辗转相除法求377和221的最大公约数。

例4 已知两个数的最大公约数是，6最小公倍数为，144则这两个数为___________。

例5 两个数的最大公约数是，6最小公倍数是，420这两个数相差，18则较小的数是_______。

例6 有两个正整数b a ,,已知[],280,=b a ()14,=b a ,若,70=a 则=b _________。

例7 老师给班上同学发水果,一共有59个苹果,97个梨,平均分给班上的同学,最后 剩下5个苹果,7个梨,则班级一共有___________名学生。

例8 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书,甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。

一个星期一,他们三人在图书馆相遇,至少再过多少天他们又在图书馆相遇？相遇时是星期几？三、水平测试1.[]__________=28=，（。

最大公因数（约数）与最小公倍数（2）专题分析：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，（a，b）×[a，b]=a×b。

例1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

例2、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

例3、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

例4、某幼儿园借阅图书，如借35本，平均分给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。

这个班的小朋友最多有多少人？例5、一些三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？例6、有甲、乙、丙三种溶液，分别重614千克、433千克、922千克。

现在要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

问：每瓶最多装多少千克？练习1、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。

2、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

满足条件的自然数有哪几组？3、两个数的积为5766,且它们的最大公因数为30,那么这两个数各为多少?4、以知A 数为24,A 与B 的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B 数为多少?5、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6人,如果减少一条船,正好每船坐9人,求这个班有多少人?6、两个数的最大公因数为21,最小公倍数为126,那么这两数的和为多少?7、有一批砖,长45厘米,宽为30厘米,至少用这样的砖多少块,才能铺成一个正方型?8、在一条长96米的路两侧，计划每隔4米栽一棵树，画好“记号”后发现距离过近，改为每隔6米栽一棵树，还要重新做多少个“记号”？9、有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，然后沿有记号的地方剪断。