高三数学二元一次不等式表示平面区域2

高考数学复习二元一次不等式组与平面区域二元一次不等式（组）与平面区域第1课时【教学目标】1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。

【教学重点】用二元一次不等式（组）表示平面区域；【教学过程】讲授新课.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？（2）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。

平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x-y=6上的点；第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3点P的纵坐标y1点A的纵坐标y2并思考：当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。

直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）【应用举例】例1 画出不等式44+<表示的平面区域。

直线把平面内不在直线上的点分成两部分，同一侧的点的坐标代入Ax+By+C中的值的符号相同，异侧的点的坐标代入Ax+By+C中的值的符号相反。

对于直线Ax+By+C=0当B≠0时，可化为：y=kx+b的形式。

对于二元一次不等式表示的平面区域是直线y=kx+b的上方（包括直线y=kx+b）.对于二元一次不等式表示的平面区域是直线y=kx+b的下方（包括直线y=kx+b）注意：二元一次不等式与二元一次不等式表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax+By+C=0,后者包括直线Ax+By+C=0.一、有关平面区域的问题例1、①画出下列不等式组表示的平面区域。

②写出图（2）表示的平面区域对应的不等式组。

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分。

①解：不等式x<3表示的平面区域是直线x=3左边的区域（不包括直线x=3）不等式表示的平面区域是直线2y=x上方的区域（包括直线2y=x）不等式的平面区域是直线3x+2y=6上方的区域（包括直线3x+2y=6）不等式3y<x+9表示的平面区域是直线3y=x+9下方的区域（不包括直线3y=x+9）（如图（1））图（1）图（2）②解：由图中的数据知：直线L1的方程是：，直线L2的方程是y=2,直线AB的方程是：。

故图中的平面区域是不等式组表示的平面区域。

注意：在由不等式（组）画平面区域的时候，要注意是实线还是虚线。

二、由平面区域研究整数点的问题例2、（1）满足线性约束条件的可行域中有多少个整点可行解？（2）求满足不等式整点（x,y）的个数及平面区域的面积。

分析：求可行域中的整点的个数常用的方法：首先作出准确的可行域，其次在可行域内找格点。

解：（1）作出可行域如图（1），由图知：可行域中的整点可行解有三个（0，0），（1，－1），（2，－2）（2）对x,y的符号进行讨论，去掉绝对值，有如下的四种情形：（i）x>0,y>0时，不等式化为：，（ii）x<0，y<0时，不等式化为：（iii）,x>0,y<0时，不等式化为：,（iv）,x<0,y>0时，不等式化为：。

高三数学二元一次不等组表示的平面区域试题答案及解析1.不等式组表示的平面区域的面积为______________.【答案】11【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，易求得C（4,0），B（4,2），D（0,3），A(2,3),所以阴影部分面积为12-=11.考点:二元一次不等式组表示的平面区域2.已知点A（a，1）与点B（a＋1，3）位于直线x－y＋1＝0的两侧，则a的取值范围是 .【答案】【解析】由已知得，即答案为.【考点】不等式表示的平面区域.3.已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【答案】C【解析】·＝－x＋y，令z＝－x＋y，做出可行域，求线性规划问题．4.若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 .【答案】3【解析】时，平面区域是一个无限区域，故.作出不等式组表示的平面区域如图所示，易得点，所以.【考点】不等式组表示的平面区域.5.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为()．A．4B．3C．4D．3【答案】C【解析】作不等式组表示的平面区域D，如图所示．又z＝·＝(x，y)·(，1)＝x＋y，∴y＝－x＋z.令l0：y＝－x，平移直线l，当过点M(，2)时，截距z有最大值．故zmax＝×＋2＝46.如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.【答案】【解析】画出可行域，如图所示的阴影部分，直线过定点（1,0），要使得其平分可行域面积，只需过线段的中点（0,3）即可，故.【考点】1、二元一次不等式组表示的平面区域；2、直线的方程.7.在平面直角坐标系中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点，则由点所形成的平面区域的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，代入得，，画出平面区域，面积为8.【考点】1、映射的概念；2、不等式组表示的平面区域.8.已知实数x,y满足，则z=2|x|+y的取值范围是_________【答案】[-1,11]【解析】作出可行域与目标函数，结合图象可得目标函数经过（0，-1）时，有最小值-1，经过点（6，-1）时有最大值11，所以取值范围是[-1,11]。

二元一次不等式表示平面区域2教学目标：能画出二元一次不等式组表示的平面区域；会把假设干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示并能解决一些有关问题。

教学重点、难点：确定二元一次不等式表示平面区域并运用。

教学过程：例1：将如图阴影部分用二元一次不等式组表示出来。

解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤00≤y ≤2x ≤0例2：画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 表示的平面区域.例3：点〔3，1〕和〔－4，6〕在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，求a 的取值X 围。

解：9－2＋a ＞0，－12－12＋a ＜0得－7＜a ＜24例4：求满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋8＞0y ＜0x ＜0的整数解 解：画出由这三个不等式所表示的区域的公共部分，即可看出所求整数解只有一个，为〔－1，1〕例5：用不等式组写出以A 〔1，2〕、B 〔4，3〕、C 〔3，5〕为顶点的三角形区域〔含三角形的三边〕。

小结：课后作业：课本P 87习题 2补充作业：1．将如图阴影部分用二元一次不等式组表示出来。

⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0y ≥－1x ≤02．如图，求PQR 内任一点〔x ，y 〕所满足的关系式。

⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞03x －2y ＋1＜0x －6y ＋27＞03．求不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0y ＞0x ＋y －3＜0所表示的平面区域内的整数点坐标。

〔1，1〕4．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤0 所表示的平面区域内的面积。

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