高三直线方程与圆的复习20161219czy

高三数学直线与圆知识点复习数学是高中阶段学生最让人头疼的科目之一，而高三阶段的数学更是难度系数加大。

在高三数学课程中，直线与圆是一个非常重要的知识点。

下面我们来复习一下直线与圆的相关知识。

1. 直线方程在平面直角坐标系中，直线可以用一般式或点斜式方程表示。

一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。

而点斜式方程则是y - y1 = k(x - x1)，其中(k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。

直线方程中的斜率对于直线的性质起着重要作用。

斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线为水平线，斜率不存在表示直线为竖直线。

2. 圆的方程在平面直角坐标系中，圆可以用标准方程表示。

标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

圆的方程中，圆心对圆的性质起着重要作用。

圆心坐标(a, b)表示圆心所在的位置，半径r则决定了圆的大小。

3. 直线与圆的关系直线与圆有着紧密的关系，可以分为以下几种情况：- 直线与圆相切：直线与圆相切表示直线与圆只有一个交点，此时直线的斜率与半径的斜率互为相反数。

- 直线与圆相离：直线与圆相离表示直线与圆没有交点，此时直线的斜率与半径的斜率不相等。

- 直线与圆相交：直线与圆相交表示直线与圆有两个交点。

- 直径：直径是连接圆上任意两点，并且经过圆心的线段。

直径的长度等于圆的半径的两倍。

4. 直线与圆的求解方法当我们遇到直线与圆的相交等问题时，可以通过以下几种方法求解：- 列方程求解：将直线和圆的方程列出，根据方程求解交点的坐标。

- 利用性质求解：根据直线和圆的性质，通过几何推理求解交点的坐标。

5. 直线与圆的应用直线与圆的知识在实际生活中有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们需要确定两条直线是否相交，以确保结构的稳定性。

在电子设备设计中，我们需要确定一条直线是否与一个电子元件的引脚相交，以确保电子元件的正常工作。

2016届高考数学复习——直线与圆的方程【考试要求】（1）直线与方程① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及 一般式），了解斜截式与一次函数的关系.⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（2）圆与方程① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方 程，判断两圆的位置关系.③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.【知识及公式回顾】1. 点到直线距离：__________________________（已知点（p 0(x 0,y 0)与直线L ：AX+BY+C=0） 推论：两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒d=_________________2. 对称问题：（1）点关于点对称：点P (x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称点P '（ ， ）2）点关于线的对称：设点P(a,b),则其关于直线l 的对称点P '的坐标？一般方法：Py LP 0x3. 圆的方程① 标准方程 ()22)(r b y a x =-+-，______________为圆心，_______________为半径。

② 一般方程：022=++++F Ey Dx y x ， C 圆心______________, 半径=r __________________当0422=-+F E D 时，表示一个点。

当0422<-+F E D 时，不表示任何图形。

4. 点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d ，然后与半径r 比较大小。

第七章 直线和圆的方程复习一、直线的方程：１．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条一与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小的正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．（１）倾斜角的X 围：001800<≤α，这样定义的倾斜角可以使平面上的任意一条直线都有唯一的一个倾斜角．（２）特殊位置：当︒=0α时，直线l 与x 轴平行；当︒=90α时，直线l 与x 轴垂直．２．直线的斜率．（１）斜率的概念：（见课本P34）当倾斜角不是︒90时，它的正切值叫做这条直线的斜率，记作：αtg k =．说明：当︒=90α时，直线l 没有斜率（但是有倾斜角）；当︒≠90α时，直线l 有斜率， 且是一个确定的值．由此可知斜率是用来表示倾斜角不等于︒90的直线对于x 轴的倾斜程度的量．（２）斜率公式：1212x x y y k --=，其中 ),(,),(2211y x y x 是直线l 上两点的坐标．例1：已知两点(1,5),(3,2)A B ---，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l的斜率．解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α．∵tan 2AB k α==.43)1(3)5(2=-----2tan 31tan 4αα∴=-，即 213tan 8tan 30,tan tan 33αααα+-=⇒==-或 ∵3tan 204α=>，0290α∴︒<<︒，045α︒<<︒，∴13tan α=．因此，直线l 的斜率是31． 说明：由2α的正切值确定α的X 围及由α的X 围，求α的正切值是本例解法中易忽略的地方．３．直线方程的五种形式：（１）点斜式：()11x x k y y -=-；（２）斜截式：b kx y +=； （３）两点式：121121x x x x y y y y --=--； （４）截距式：1=+by a x ； （５）一般式：0(,Ax By C A B ++=不同时为0)．例２．过点(2,1)P 作直线l 分别交,x y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．答案：（240x y +-=）４．两条直线的位置关系：（１）平行（不重合）的条件：212121,//b b k k l l ≠=⇔且；21//l l ⇔212121C C B B A A ≠=． （２）两条直线垂直的条件：12121-=⋅⇔⊥k k l l ；21l l ⊥02121=+⇔B B A A ．（３）直线1l 到直线2l 的角公式为：21121k k k k tg +-=θ． （４）直线1l 与直线2l 夹角的公式：21121k k k k tg +-=θ．)900(︒≤<︒θ （５）方程：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ称作过21l l 与交点的直线系方程．（６）点到直线的距离公式：2200B A CBy Ax d +++=．例1：直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直，求a 的值。

（当k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x 轴的切线）③已知斜率的切线方程：设（b 待定），利用圆心到L 距离为r ，确定b kx y +=b 。

5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）6、圆系①同心圆系：，（a 、b 为常数，r 为参数）222)()(r b y a x =-+-或：（D 、E 为常数，F 为参数）022=++++F EY DX y x ②圆心在x 轴：222)(r y a x =+-③圆心在y 轴：222)(rb y x =-+④过原点的圆系方程2222)()(b a b y a x +=-+-⑤过两圆和0:111221=++++F Y E X D y x C 的交点的圆系方程为0:222222=++++F Y E X D y x C （不含C 2），其中0(2222211122=+++++++++F Y E X D y x F Y E X D y x 入入为参数若C 1与C 2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。

类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．两条切线的斜率分别是最大、最小值．1，得433±=k ．的最大值为433+，最小值为433-．，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．，得52±-=m ．5+，最小值为52--．，点在圆)0,2P )4()3(22=-+-y x按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于，B ，C 三点坐标之间的关系．)'y ，连结AH ，CH ，AB ，BC 是切线BC OC ⊥，OA ，OC OA =，是菱形．⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y 4=，)0≠即是所求轨迹方程．中，若设),(y x Q ，则,2(a x M +，)0,5(B．，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设。

【高中数学】复习直线和圆的方程一. 教学内容：直线和圆的方程二. 重点、难点：（一）点（二）重点知识反刍梳理（直线方程）1. 直线的倾斜角与斜率的概念（1）直线的倾斜角与斜率的关系：①任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

（3）平面上直线与二元一次方程是一一对应的。

2. 两条直线的位置关系：注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别。

（2）判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断；若两直线的斜率有一不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。

（3）点到直线的距离公式3. 简单的线性规划（1）在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域。

（2）简单的线性规划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数ax ＋by的最大值或最小值问题。

一些实际问题可以借助这种加以解决。

4. 圆的方程（1）曲线和方程的关系（2）圆的方程的形式确定圆方程需要有三个互相独立的条件。

圆的方程有三种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围。

半径。

（3）直线与圆的位置关系的判定方法（4）两圆的位置关系的判定方法设AC边上的高为BH的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？分析：∵O、P、Q、R四点共线，P点横坐标为a是已知的，另条件等式是线段的二次齐次，故可转化为横坐标间的二次齐次，又R点在圆周上，故设R点坐标（xR，yR）为参数，以下只需列出三个等式消参。

详解：例3.分析：已知l的斜率k即可。

由光学知识知道入射角等于反射角。

于是求k的途径之一是只需l与已知圆关于x轴的对称圆相切；途径之二是利用入射光线l与反射光线在x 轴的反射点处关于x轴的法线方向对称。

解：方法一：方法二：因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线l'所在直线的方程是：这条直线应与已知圆相切，故圆心C到它的距离等于1以下同解法一。

小结：（1）方法一是非构造性解法，方法二是构造性解法，显然解法一简捷明快，但需作深入分析才能找到入射光线与对称圆相切的关系。

直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。

理解圆的参数方程．§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。

直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：
直线方程知识点总结：
1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。

2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。

3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和
(x2, y2) 为直线上的两点。

4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距。

5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和
B 不为 0。

圆的方程知识点总结：
1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径。

2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数。

3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。

4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。

5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。

在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。

理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。

高三复习直线与圆的方程复习教学课件一、引言在高三数学复习中，直线和圆的方程是高考的重点和难点。

为了帮助学生更好地掌握和理解这两个部分的知识，本文将重点介绍直线与圆的方程的复习教学内容，通过明确的教学步骤和实际例子，让学生在理解和应用上得到提升。

二、教学内容与目标本复习课件的教学目标是通过系统地梳理直线与圆的方程的基本概念、性质和解题方法，帮助学生建立完整的知识体系，提高解题能力和数学思维。

三、教学环节设计1、回顾基础知识：首先回顾直线和圆的基本定义、性质和方程形式。

通过基础练习，检查学生对基本概念的掌握情况。

2、重点难点解析：解析直线与圆方程中的重点和难点，包括直线的斜率、距离公式，圆的方程形式及其应用等。

通过例题解析，让学生深入理解这些知识点。

3、专题训练：设置专题训练，包括直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等，让学生在解题中巩固知识，提高应用能力。

4、综合实例解析：通过解析综合实例题，让学生学会如何运用直线和圆的方程解决实际问题，提高解题能力。

5、复习总结：总结复习内容，梳理知识框架，让学生对直线与圆的方程有更清晰的认识。

四、教学策略及方法本复习课件采用讲解、讨论、示范、练习等多种教学方法，以多媒体课件为载体，通过生动的图像、声音和动画效果，帮助学生更好地理解和记忆。

同时，在教学过程中，注重启发式教学，引导学生思考，让学生在解题过程中提高分析问题和解决问题的能力。

五、教学评价与反馈通过课堂小测验、作业和在线答疑等方式进行教学效果评价，及时发现学生的学习困难和问题，进行针对性的辅导和反馈。

同时，鼓励学生进行自我评价和相互评价，激发学习动力和兴趣。

六、结语通过本复习课件的学习，学生将能够全面掌握直线与圆的方程的基础知识和解题方法，提高解题能力和数学思维。

在教学过程中，注重培养学生的自主学习能力和合作精神，为学生的未来发展奠定良好的基础。

圆与方程复习课件一、引言在数学的世界里，圆是一种非常重要的图形。

高中数学专题复习--直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法．直线的倾角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章重点之一，点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线1l 到2l 的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点．二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大．四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算．直线【例题】例1已知点),2,16(),4,1(C B 点A 在直线033=+-y x 上，并且使,21=∆ABC S 求点A 的坐标． 例2已知直线l 的方程为,01243=-+y x 求直线1l 的方程, 使得：(1) 1l 与l 平行, 且过点(－1,3) ; (2) 1l 与l 垂直, 且1l 与两轴围成的三角形面积为4.例3过原点的两条直线把直线01232=-+y x 在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角．例4圆0622=+-++c y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点,求c 为何值时,O OQ OP (⊥为原点) ． 例5已知直线b x y +-=2与圆0152422=-+-+y x y x 相切,求b 的值和切点的坐标．例6某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a bm am (,＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？ 例7预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？例8已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各x 千克,y 千克,z 千克配成100千克混合食物,并使混合食物内至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B .，y ，z 的值，使成本最低．【直线练习】一、选择题 1．设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，则M 与N 的大小关系为 ( )A .M ＞NB .M =NC.M ＜ND.无法判断2．已知定点A (1,1)，B (3,3)，点P 在x 轴上，且∠APB 取得最大值，则P 点坐标为 （ ）A ．()02，B ．()06，C ．⎪⎭⎫⎝⎛037， D ．()04，3．圆022=++x y x 上的点到直线033=-+y x 的最短距离为 （ ）A ．23 B ．45 C ．43 D ．494．如果AC <0且BC <0, 那么直线,0=++C By Ax 不通过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若点(4, m)到直线431x y -=的距离不大于3, 则m 的取值范围是 ( )A ．(0, 10)B ．[]010,C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡331,31D ．()[)-∞+∞,,0106．原点关于直线8625x y +=的对称点坐标为 ( )A ．232,⎛⎝⎫⎭⎪B ．258256,⎛⎝⎫⎭⎪ C ．(3, 4) D ．(4, 3)7．如果直线2+=ax y 与直线b x y -=3关于直线y = x 对称, 那么 ( )A ．a b ==136,B ．a b ==-136, C ．a = 3, b = －2 D ．a = 3, b = 68．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l 的斜率是 ( )A ．-13B ．－3C ．13D ．39．设a 、b 、c 分别是△ABC 中, 角A 、B 、C 的对边, 则直线sin A x ay c ·++=0与bx B y C -+=sin sin ·0的位置关系是 ( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直二、填空题10．直线042=--y x 上有一点,P 它与两定点)4,3(),1,4(B A -的距离之差最大.则P 点坐标是___． 11．自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，则光线l 所在直线方程为_________． 12．函数2cos 1sin )(--=θθθf 的最大值为_________，最小值为_________．13．设不等式12-x ＞)1(2-x m 对一切满足||m ≤2的值均成立，则x 的范围为_________． 三、解答题14．已知过原点O 的一条直线与函数x y 8log =的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数x y 2log=的图象交于C 、D 两点．(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标． 15．设数列{a n }的前n 项和b a n b n n na S n ,),,2,1(,)1( =-+=是常数且0≠b ．(1)证明：{a n }是等差数列； (2)证明：以(a n ,nS n －1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；(3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r的取值范围．例题参考答案例1解：直线B C 方程为2x ＋5y －22 = 0,|B C| = 29，设点A 坐标(3y －3,y )，则可求A 到B C 的距离为29|2811|-y ，∵∆AB C 面积为21，∴2129|2811|2921=-∙y ，∴11141170-=或y，故点A 坐标为（1170,11177）或（1114,1175--）．例2解： (1) 由条件, 可设l ′的方程为 3x +4y +m=0, 以x =－1, y =3代入, 得 －3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l ′的方程为 3x +4y －9=0． (2) 由条件, 可设l ′的方程为4x －3y +n=0, 令y =0, 得4n x-=, 令x =0, 得3n y=, 于是由三角形面积43421=∙-∙=n n S , 得n 2=96, ∴64±=n∴直线l ′的方程是06434=+-y x 或06434=--y x ．例3解：设直线2x ＋3y －12 = 0与两坐标轴交于A ，B 两点， 则A （0，4），B （6，0），设分点C ，D ，设θ=∠COD为所求角．∵2=CA BC ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯+==+=38212402216c c y x ，∴C （2，38）.又2=DB AD ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⨯+=3421442162000y x ，∴D(4,34)，∴31,34==OD OCk k .∴139313413134|1|=⨯+-=+-=ODOC OD OC k k k k tg θ，∴139arctg=θ．例4解：解方程组消x 得5y 2－20y ＋12＋c = 0,)12(5121c y y +=∙, 消y 得5x 2＋10x ＋4c －27 = 0,)274(5121-=∙c x x , ∵OP ⊥OQ,∴12211-=∙x y x y ,∴5274512--=+c c ，解得c = 3．例5解：把y =－2x ＋b 代入x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0,整理得5x 2－4(b ＋2)x ＋b 2＋2b －15 = 0,令∆= 0得b =－7或b =13,] ∵方程有等根，5)2(2+=b x，得x =－2或x = 6，代入y = －2x －7与y = －2x ＋13得y =－3或y = 1，∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）．例6解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： k AC =t a n xCA =xa a -αcos αsin , .αcos αsin tan xb b xCB k BC-==于是t a n ACB =ACBC AC BC k k k k ⋅+-1αcos )(αsin )(αcos )(αsin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xab b a xx b a ab x b a由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则t a n ACB ≤αcos )(2αsin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab =x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳．例7解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得∴A 点的坐标为(7200，7200)由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25，275)所以满足约束条件的可行域是以)0,0(),275,25(),7200,7200(O B A 为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目标函数y x z +=在可行域内的最优解为),275,25(但x ∈N ,y ∈N *,故取y =37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择．例8解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以，40075c x y =++．（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥⎧=--⎨++≥⎩及得，463203130x y x y +≥⎧⎨-≥⎩，所以，75450.x y +≥所以，40075400450850,c x y =++≥+=当且仅当4632050, 313020x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-≥=⎩⎩即时等号成立． 所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域0463203130x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y =++最大的点．不难发现,应在点)20,50(M 处取得．【直线练习】参考答案一、选择题： ABACB DAAC1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1）与B (102001，102000）及C (102002，102001）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N . ．2．解：P 点即为过A 、B 两点且与x 轴相切的圆的切点，设圆方程为222)()(b b y a x =-+- )0,0(>>b a所以有⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-06)3()3()1()1(222222b a bb a b b a ．二、填空题：10.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 答案：P (5，6）． 11.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切． 答案：3x +4y －3=0或4x +3y +3=0 12.解析：f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率. 答案：3413.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0. 答案：213217+<<-x三、解答题：14.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1, 点A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2).因A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1）、(x 2,log 2x 2).由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,则228222118112log 3log,log 3logx x x x k x x x x k OD OC ====由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1 ∴x 2=x 13将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83).15.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b . 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b . 所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列. (2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a aa bn n na a a S n S n n∴所有的点P n (a n ,nS n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21为斜率的直线上.此直线方程为y －(a －1)= 21 (x －a ),即x －2y +a －2=0. (3)解：当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2,21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-010*******)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1 由不等式②，得r ＜25－2或r ＞25+2由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6 再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25+2＜4+6故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,25－2)∪(4+6,+∞).①② ③P nP n+1yox高中数学专题复习——圆【例题】例1设正方形AB CD 的外接圆方程为x 2+y 2–6x +a =0(a <9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l 的斜率为31,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线A C 、B D 的斜率．例2设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ．（1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；（2）当m 变化且0≠m 时,求证：2C 的圆心在一条定直线上,并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． 例3已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．例4已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围．例5已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点． （1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程．例6有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距10km ，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 例7在xoy 平面上有一系列点,),,(),,(222111⋅⋅⋅y x P y x P),,(n n n y x P 对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1()n N +∈．（1）求证：数列}1{nx 是等差数列；（2）设⊙n P 的面积为n S ，nnS S S T +⋅⋅⋅++=21,求证：23π<nT ．例8已知圆C ：22(1)1x y +-=和圆1C ：22(2)(1)1x y -+-=,现在构造一系列的圆123,,,,,n C C C C ,使圆1+n C 同时与n C 和圆C 都相切,并都与OX 轴相切.回答：(1)求圆n C 的半径n r ；(2)证明：两个相邻圆1-n C 和n C 在切点间的公切线长为21nC ；(3)求和)111(lim22322nn C C C +++∞→ .【圆·练习】1、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是 （ ）(A )直线与圆相切 (B ) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心2、点()M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点,则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交3、直线()00≠=++ab c by ax 截圆522=+y x 所得弦长等于4,则以|a |、|b |、|c |为边长确定的∆一定是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不存在4、已知两点A (–2,0),B (0,2), 点C 是圆x 2+y 2–2x =0上的任意一点,则△AB C 面积的最小值是 （ ）(A )23-(B ) 23+(C)226- (D)223-5、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--==R y x x y y x p 、,25),(2及{}Φ≠∈+==Q P R y x b x y y x Q 若、,,),(，则实数b 的取值范围是 （ ） （Ａ）[–5,5] （Ｂ）)5,25(- （Ｃ）]5,25[- （Ｄ）]25,25[-6、若曲线x 2+y 2+a 2x =(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ ）． （Ａ）21±（Ｂ）22±（Ｃ）2221-或 （Ｄ）2221或-7、若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离为1，则R 的取值范围为（ ）． （A ）R >1 （B ）R <3 （C ）1<R <3 （D ）R ≠28、已知圆50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆：交于A 、B 两点,则AB 所在的直线方程是_ _．9、直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离是_ _． 10、已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为_ _．11、过P （－2，4）及Q （3，－1）两点，且在X 轴上截得的弦长为6的圆方程是_ _． 12、半径为5的圆过点A (－2, 6)，且以M (5, 4)为中点的弦长为25，求此圆的方程． 13、已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB ．求m 的值．14、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+yx 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程．例题参考答案：例1解：由(x –3)2+y 2=9－a (a <9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0） 依题意：.31,4==∠=∠AB k BAM ABM πM A ,M B 的斜率k 满足:113131=+-kk 解得:k A C =2,21=-BD k例2解：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2），设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ）则⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=+--2222231223m a b m a m b 解得：⎩⎨⎧+=+=112m b m a∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+--（2）由⎩⎨⎧+=+=112m b m a 消去m 得a －2b +1=0即圆C 2的圆心在定直线x －2y +1=0上。