人教A版高中数学选修一第4章章末总结.docx

1高中数学选修一第4章4.3~4.4数列/极限/归纳法-知识点 1、对于以a 为首项，q 为公比的无穷等比数列{a n }.①若{a n }是绝对值递减 的数列，∞→n lim n a = 0 ，各项和∞→n lim n S =q 1a - 。

②若q=1，{a n }是常 数列，∞→n lim n a = a ，各项和∞→n lim n S 不存在 。

③若q=-1，{a n }是摆动 数列，∞→n lim n a 不存在，各项和∞→n lim n S 不存在。

{a n }是绝对值增大 的数列，∞→n lim n a = 不存在，各项和∞→n lim n S 不存在 。

2、题型：在公式S=q 1a 1-中，已知其中任意两个量，求第三个量的值或范围。

典例：设数列{a n }是公比0＜q ＜1的等比数列，其各项和是4，求首项a 1的取值范围。

想：∵S=q 1a 1-，所以a 1=4(1-q)∈(0,4)∪(4,8)。

3、对于数列{a n }，如果a n+1≥a n 恒成立，则是 增 数列，如果a n+1＞a n 恒成立，则是 严格增 数列；如果a n+1≤a n 恒成立，则是 减 数列，如果a n+1＜a n 恒成立，则是 严格减 数列。

增数列和减数列统称为 单调 数列。

数列的单调性的判断：①作差法，判断 a n+1-a n 的 符号 ；②对于正数数列，判断与 1 的大小关系。

4、在数列{a n }中，若a n 最大，则a n ≥ a n-1 且a n ≥ a n+1 ；若a n 最小，则a n ≤ a n-1 且a n ≤ a n+1 （n ≥2）.5、数列{a n }中，前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n =⎩⎨⎧≥-=2n 1n 1-n n 1，，S S S .6、由递推公式求通项公式的常用方法.①累加法，适用于类等差数列，有a n+1-a n =f(n)条件的数列。

例.a 1=0，a n+1=a n +(2n-1). ②累乘法，适用于类等比数列，有a n+1/a n =f(n)条件的数列。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第4章框图§4.1流程图课时目标 1.理解流程图的概念.2.会画简单问题的流程图，能读图并体会流程图的作用．1．框图能够清晰地描述一个系统中________________，广泛应用于________、________________________、____________、______________、__________等方向．2．框图是表示数学计算与证明过程中______________的工具，并将成为日常生活和各门学科中______________的一种表达方式．3．常用的框图有__________和__________，将处理事情的过程按______________用框图表示出来，叫工序流程图(又称统筹图)．一、填空题1．根据图中所示的流程图，当输入5时，输出的是______．2．工序流程图中，设备采购的下一道工序是________．3．如图所示的流程图能判断任意输入的整数x的奇偶性，其中判断框内应填入________．4．阅读图中的流程图，运行相应的程序，则输出s的值为________．5．读流程图，判断当x＝0时，输出的结果为________．6．如图所示的流程图的输出结果是______．7．某流程图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应为________．8．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______．二、解答题9．某公司业务销售的工作流程是：与客户接洽，商讨单价及数量，签订销售合同、销售订单，之后，发货并装货，开票据付款，凭交款单送货．试画出它的流程图．10．设计一个流程图，当输入x 的值时，输出y 的值，其中y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1 (x <0)1 (x ＝0)x 2＋1 (x >0).能力提升11．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如下：12．画出求满足1＋22＋32＋…＋n2>20 000的最小自然数n的流程图．流程图具有简洁、明了、高效的优点，日常生活中应用非常广泛，正确解读流程图的方法：1．明确所给流程图是算法流程图，还是工序流程图．2．若是算法流程图，明确程序执行后输出什么结果，条件结构的判断条件是什么，循环结构中，控制循环的条件是什么．3．若是工序流程图，明确有几道工序及各工序之间的关系．第4章框图§4.1 流程图答案知识梳理1．各部分之间的联系 算法 计算机程序设计 工序流程的表述 设计方案的比较 项目管理 2．主要逻辑步骤 进行交流 3．流程图 结构图 先后次序 作业设计 1．6解析 图中所给程序是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x (x ≤7)1.9x －4.9 (x >7)的函数值． 2．设备安装 3．m ＝0解析 由流程图可知，当判断结果为“Y ”时，输出“偶数”，故判断框中应填入“m ＝0”．4．0解析 第一次执行s ＝1×2＋1＝3，i ＝2； 第二次执行时，s ＝3×(3－2)＋1＝4，i ＝3； 第三次执行时，s ＝4×(3－3)＋1＝1，i ＝4；第四次执行时，s ＝1×(3－4)＋1＝0，i ＝5>4，结束循环． 故循环输出的结果s ＝0. 5．－1 6．20解析 S ＝1×5×4＝20，输出结果为20. 7．k >4(k ≥5)解析 ①k ＝2，S ＝4，②k ＝3，S ＝11，③k ＝4，S ＝26，④k ＝5，S ＝57. 循环终止，则k ＝5符合条件． 8．63解析 由算法流程图知，当n ＝1时，S ＝1＋21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S 的值是63.9．解流程图如下所示：与客户接洽↓商讨单价及数量↓签订销售合同、销售订单↓发货并装货↓开票据付款↓凭交款单送货10．解11．3解析由计量认证审查流程图可知有三处判断框，即三处可能不被审查通过．12．解流程图如下：。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末总结知识点一复数的基本概念复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．例1设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．知识点二复数的四则运算1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.2．在高考中，本章考查的热点是复数的运算，尤其是复数的乘除运算，其中渗透着复数的模，共轭复数等概念，熟练掌握运算法则，熟悉常见的结果是迅速求解的关键，一般以填空题的形式考查．例2 已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝__________. 例3 已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，求复数z .知识点三 复数问题实数化复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，依据是复数相等的充要条件．例4 设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )．求a 的取值范围．知识点四 复数的几何意义1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义．复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法．2．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．例5 在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i例6 已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？章末总结答案重点解读例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得m ＝3. ∴当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2. ∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ lg (m 2－2m －2)<0，m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2>0，得－1<m <1－3或1＋3<m <3.∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限． 例2 1－3i解析 ∵z 1＋i＝2＋i ， ∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.例3 解 设z ＝b i (b ∈R ，b ≠0)，则(z ＋2)2－8i ＝(2＋b i)2－8i ＝(4－b 2)＋(4b －8)i ，∵(z ＋2)2－8i 为纯虚数，∴4－b 2＝0且4b －8≠0.∴b ＝－2.∴z ＝－2i.例4 解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i.由(1)知，x <0，y >0，又z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )，故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 消去x ，整理，得4(y －1)2＝36－a 2，∵4(y －1)2≥0，∴36－a 2≥0，∴－6≤a ≤6.又2x ＝a ，而x <0，∴a <0，∴－6≤a <0.所以a 的取值范围为[－6,0)．例5 D [∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ，∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ，∴CA →对应的复数是－3－4i.]例6 解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2) 消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．。

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框图一、选择题1。

算法的三种基本结构是( )A 、顺序结构、选择结构、循环结构B 、顺序结构、流程结构、循环结构C 、顺序结构、分支结构、流程结构、D 、流程结构、循环结构、分支结构图，2．下图给出的是计算201614121++++ 的值的一个程序框其中判断框内应填入的条件是A 。

i 〉10B 。

i<10C.i 〉20D.i<20 3．下列判断不正确的是 A 。

画工序流程图类似于算法的流程图。

自顶向下逐步细化B 在工序流程图中可以出现循环回路C. 工序流程图中的流程线表示相邻工序之间的接关系D.结构图中基本要素之间一般为概念的从属关系或逻辑上的先后关系。

4.下面的结论正确的是（ )A ．一个程序的算法步骤是可逆的B 、一个算法可以无止境地运算下去的C 、完成一件事情的算法有且只有一种D 、设计算法要本着简单方便的原则5、给出以下一个算法的程序框图(如图所示），该程序框图的功能是(） A 。

求输出a,b ，c 三数的最大数B 。

求输出a,b,c 三数的最小数C 。

将a,b ，c 按从小到大排列D. 将a,b ，c 按从大到小排列 6、右边的程序框图(如图所示），能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是（） A.m=0B 。

x=0 C 。

x=1D 。

《4.1.1 n 次方根与分数指数幂》教学设计教材内容：n 次方根与分数指数幂这一节的内容是在初中学习过平方、立方以及平方根等的基础上，对以上内容的进一步深入学习。

本节内容将整数的指数推广到分数的指数，体现了数学中由一般到特殊的数学思想。

同时，本节作为本章的起始课，对于后续内容的学习有着奠定基础的作用。

教学目标：1.理解n 次方根与根式的概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.掌握分数指数幂和根式之间的互化，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3. 掌握分数指数幂的运算性质，达到数学运算核心素养水平一的要求.教学重点与难点：1、教学重点：根式、分数指数幂概念的理解;掌握并运用分数指数幂的运算性质.2、教学难点：有理数指数幂运算性质的应用.教学过程（一）新课导入让我们回顾一下初中学过的知识，什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?教师引导学生回答并归纳：若x 2=a ，则x 叫作a 的平方根.同理，若x 3=a ，则x 叫作a 的立方根.（二）探索新知探究一: n 次方根的概念我们类比平方根和立方根的概念，可以归纳出n 次方根的概念：一般的，如果x n =a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ﹥1，且n *N .教师提问，n 的取值会影响n 次方根的值吗?学生讨论，自行归纳出结果：当n 为偶数时，正数a 的n 次方根中，正的n 负的n 次方根用当n 为奇数时，a 的n.n 叫做根指数，a 叫做被开方数.探究二：正数的分数指数幂的意义大家观察以下式子，能否总结出一些规律?1025a a =（a ﹥0）,842a a =（a ﹥0）,1234a a =（a ﹥0）. 学生讨论.教师引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?23a （a ﹥0）, 12b （b ﹥0）,54a （c ﹥0）由此得出结论:mn a （a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：1=mn mn a a -=（a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）. 注意：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.探究三：正数的分数指数幂的运算类比平方根，立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个? 当n 为奇数时呢?学生类比初中学过的知识讨论总结:a为正数时，{n a n n a n 为奇数时，的为偶数时，的a 为负数时， ;.n n a n a n a n 为奇数时，的次方根有一个，为为偶数时，的次方根不存在 0的n 次方根为000n =.例：16的四次方根为±2，-27的五次方根为-3，-27的四次方根不存在.教师总结：一个数到底有没有n 次方根，有几个n 次方根，首先要考虑被开方数的正负，，还要分清n 为奇数还是偶数两种情况根据n 次方根的意义可得n n a a =，一定成立. n n a na 的n n n a a =一定成立吗?如果不一定成n n a ?333(3)273-=-=-， 44(8)88-=-=.教师引导学生讨论并总结: n n n a a =；n {,0;,<0.n n a a a a a a ≥-==探究四：有理指数幂的运算由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即： 1(>0,,);2()(>0,,);3()(>0,>0,).r s r s r s rs r r r a a a a r s Q a a a r s Q ab a b a b r Q +=∈=∈=∈（）（）（）（三）课堂练习1.求下列各式的值： 338（-） 210（-） 44π（3-）2.求值（1）2 3 8(2)34 16 () 81-3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a﹥0）.（1）2a（2（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.掌握n次方根的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.四、板书设计1. n次方根与根式的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.。

高中数学必修1知识点 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：〔1〕元素确实定性； 〔2〕元素的互异性； 〔3〕元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是公平的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比拟它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 〔1〕用大写英文字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 〔2〕集合的表示方法：列举法与描述法。

〔Ⅰ〕列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

〔Ⅱ〕描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①言语描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} 〔3〕图示法〔文氏图〕： 4、常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于〞的概念集合的元素通常用小写的英文字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a ∉A 6、集合的分类：1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合 二、集合间的根本关系 1.“包含〞关系———子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B注意： 有两种可能〔1〕A 是B 的一局部，；〔2〕A 与B 是同一集合。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末总结知识点一独立性检验独立性检验是对两个变量之间是否存在相关关系的一种案例分析方法：由题意列出2×2列联表．根据公式计算出χ2.要熟记χ2与三个临界值：2.706,6.635,10.828之间的关系与变量X与Y相关与否的意义．例1调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表，试问婴儿的性别与出生的时间是否有关系？出生时间晚上白天总计性别男婴153146女婴82634总计23 57 80例2 研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心)，给50个患者服用此药，给另外50个患者服用安慰剂，记录每类样本中出现恶心的数目如下表：恶心 不恶心 合计 给药A 15 35 50 给安慰剂 4 46 50 合计1981100试问此药物有无恶心的副作用？知识点二 回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．在求变量x 与y 之间的回归方程之前先进行线性相关检验．由公式计算出相关系数r ，|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越近0，线性相关程度越弱，回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x ．其中a ^，b ^可由公式求出；可利用相关系数r 进行显著性检验．例3 某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下对应数据：单价x /元 35 40 45 50 日销量y /台56412811(1)画出散点图并说明y 与x 是否具有线性相关关系？如果有，求出线性回归方程；(方程的斜率保留一个有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？例4维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(g/L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据．甲醛浓度18202224262830(g/L)缩醛化度26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36(克分子%)(1)画散点图；(2)求y对x的线性回归方程；(3)求相关系数r，并判断x与y之间是否有线性相关关系．章末总结答案重点解读例1 解 χ2＝80×(15×26－31×8)246×34×23×57≈0.787<2.706.所以我们没有把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关”． 例2 解 由题意，问题可以归纳为独立检验． 假设H 1：服该药物(A )与恶心(B )独立，为了检验假设， 计算统计量χ2＝100×(15×46－4×35)250×50×19×81≈7.86>6.635，故拒绝H 1，即不能认为药物无恶心副作用，也可以说，我们有99%的把握说，该药物与副作用(恶心)有关．例3 解(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由题知x ＝42.5，y ＝34，则求得b ^＝∑4i ＝1(x i －x )(y i －y )∑4i ＝1 (x i －x )2＝－370125≈－3. a ^＝y －b ^x ＝34－(－3)×42.5＝161.5.∴y ^＝－3x ＋161.5.(2)依题意有P ＝(－3x ＋161.5)(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3(x －251.56)2＋251.5212－4 845，∴当x ＝251.56≈42时，P 有最大值．即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．例4 解 (1)(2)x ＝1687＝24，y ＝202.947，∑7i ＝1x i y i ＝4 900.16，∑7i ＝1x 2i ＝4 144. b ^ ＝∑7i ＝1x i y i －7x y ∑7i ＝1x 2i －7x 2＝4 900.16－7×24×202.9474 144－7×242≈0.264 3，a ^＝y －b ^x ＝202.947－0.264 3×24＝22.648，∴回归方程为y ^＝22.648＋0.264 3x .(3)∑7i ＝1y 2i ≈5 892， r ＝∑7i ＝1x i y i －7x y∑7i ＝1x 2i －7(x )2∑7i ＝1y 2i －7(y )2＝4 900.16－7×24×202.9474 144－7×242×5 892－7×⎝⎛⎭⎫202.9472≈0.96.∵0.96>r 0.05＝0.754.∴有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系．。

第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§4.2结构图课时目标 1.通过具体实例，了解结构图.2.会画简单问题的结构图，体会结构图在揭示事物联系中的作用.3.能够解读结构图，并灵活运用结构图．1．表示一系列活动______________________的顺序的框图称为流程图；表示一个______________________的组成结构的框图叫做结构图．2．常用的结构图有：________结构图、______结构图等．一、填空题1．如图是某公司的组织结构图，信息部被________直接领导．2．如图所示的是有关函数知识的结构图，由图我们可知基本初等函数包括___________．3．如图所示是一个集合运算的结构图，在框中应填入________．4．下列结构图中要素之间表示从属关系的是________．5．下列关于流程图和结构图的说法中正确的是____________．(填序号)①流程图是用来描述一个动态过程；②结构图是用来刻画系统结构的；③流程图可以用带箭头的流程线表示各单元的先后关系；④结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系．6．如图是“集合”一章的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在________．7．如图所示是一商场某段时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有________个．8．实数系的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别是________，________，________.二、解答题9．画出必修2第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的知识结构图．10．某大学的学校组织结构图如图所示，由图回答下列问题：(1)学生工作处的下位要素是什么？(2)学生工作处与其下位要素是什么关系？能力提升11．下图为某集团组织结构图，请据图分析财务部和人力资源部的隶属关系．12．为迎接大运会，某咨询公司做人事调整：设总经理一个，配有总经理助理一名；设副总经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副总经理A管理生产部、安全部和质量部；副总经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的组织结构图．1．知识结构图的画法先对所画结构图的每一部分内容有一个深刻的理解和透彻的掌握，理清各部分之间的并列或从属关系，然后从头开始，抓住主要脉络进行粗略分解，再进一步细化．2．画组织结构图时先理清各大部门的并列关系，再理清大部门与各小部门的从属关系即可，一般常用树形结构图表示．3．解读结构图，分析各要素间的逻辑或从属关系时，可按画结构图的顺序去浏览分析：下位要素与上位要素间，同一要素的下位要素间等往往是从属或并列关系，有箭头的连线往往揭示逻辑关系．§4.2结构图答案知识梳理1．相互作用、相互制约系统中各部分之间2．知识组织作业设计1．总工程部2．指数函数、对数函数、幂函数3．补集解析交集、并集、补集从属于集合的运算．4．③解析①、④是逻辑关系，呈现了知识的先后关系，②是结构图，但不是从属关系，对③而言，显然合情推理和演绎推理是推理的下属．5．①②③解析结构中的从属关系或逻辑先后关系明确时，可以不用箭头．6．“集合之间的关系”的下位解析子集是集合与集合之间的基本关系，故应为“集合之间的关系”的下位．7．3解析影响“计划”的主要是其上位要素：政府行为、策划部和社会需求．8．有理数整数零9．解10．解(1)由图可知学生工作处的下位要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其下位要素的关系是从属关系．11．解由组织结构图分析可得：财务部直属总裁管理；而总裁又由董事长管理，董事长服从于董事会．人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理服从于董事长，董事长又服从于董事会，董事会是最高管理部门．12．解。