2010华理插班生数学模拟题
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2010华东理工大学插班生数学一模拟题
一．填空
1. 1
0(1)1
lim
x x x
β
α→+-=___________(β为自然数)。
2. 函数(,)z z x y =由方程2
2
20
2cos()x y
x z y z t dt ++-=
⎰
确定，
则(1,1,1)|dz -=_____________. 3. 微分方程'ln sin cos (1cos )0xy x y y x y +-=的通解y=___________.
4. 20
(,)x y
t
z tf t e dt =
⎰
，f 具有一阶连续偏导数，则
2z
x y
∂=∂∂__________. 5.
2
70
x e x dx +∞
-=⎰
__________________.
6. (cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-（04
t π
≤≤）（a>0）的曲率半径的最大值为
_____________.
二．选择 1. 设2
3
33()x x x f x e -+=，则(3)(1)n f =( )
A ．0 B.
!e n C. e D.
(3)!
!
n e n 2. 2323||4,424344
n
n
x x x x x n <+++++⋅⋅⋅ 幂级数的和函数为（ ） A ．ln(4)ln 4x --+ B. 4ln(1)x -- C. ln(1)4x
-- D. ln(1)4
x +
3. 星形线33
cos sin x a t
y a t
⎧=⎨=⎩围成图形的面积用定积分表示为（ ） A ．2
330
4sin cos a td t π
⎰
B. 0
2332
4sin cos a td t π⎰
C. 2
330
2sin cos a
td t π
⎰
D. 2
3320
4sin cos a
td t π
⎰
4. 函数2
1cos ,01
(),10
x x f x x
x x ⎧<<⎪=⎨⎪-<≤⎩在x=0处（ ） A ．间断 B.可导，导数不连续 C. 连续，可导 D. 连续，不可导
三．应用题
1. 已知"()f x 连续，且(0)2,()1f f π==，求
[()"()]sin f x f x xdx π
+⎰。
2. 计算
222
ln(1)
(1)
x x dx x +∞
++⎰。
3. 设0,1,2,,k a k n >= ，计算极限1
120lim(
)x x x n
x x a a a n
→+++ 。
4. 求过直线L ：34210
230
x y z x y z --+=⎧⎨
-+-=⎩，且垂直于平面41x y z π-+=：的平面方程，并求直
线L 在平面π上的投影直线方程。
5. 计算(||||)D
I x y dxdy =
+⎰⎰
，其中22
:1D x y +≤。
6. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且'()()0f x f x +>，证明：方程()0f x =至多有一个实根。
7. []1,,f g C a b ∈，证明(,)a b ξ∃∈使()
()()()b
a
g f x dx f g x dx ξ
ξ
ξξ=⎰⎰
8. 如图，设曲线 AB 的方程为()()y f x a x b =≤≤，其中()0f x >，连续且单调增加。
（1）若 AB 上的点C 使得曲边三角形AA ’C 与BB ’C 绕Ox 旋转一周所得体积相等，求点C 的横坐标ξ；
（2）若2
()sin ,04
f x x x π=≤≤
，求点C 的坐标。
