函数集合

集合函数的基础知识及其应用随着时代的发展，数据分析越来越成为企业决策的基础。

在数据分析中，集合函数是非常重要的一部分，它可以帮助我们对数据进行存储、统计、处理等操作。

本文将介绍集合函数的基础知识及其应用。

一、什么是集合函数集合函数，是指在一个数据集上运行的函数，返回单个值作为结果的函数。

它是对数据进行统计和汇总的函数，可以对数据进行聚合操作。

常见的集合函数有 COUNT、SUM、AVG、MIN、MAX 等。

二、COUNT 函数COUNT 函数返回被统计的数据集中的行数。

该函数常用于计算表格中的记录数。

例如，我们有一个表格，里面包含了多个员工的信息。

如果我们想知道表格中的员工数量，可以使用 COUNT 函数来统计。

例如命令如下：SELECT COUNT(*) FROM employees;其中 * 表示所有的列。

三、SUM 函数SUM 函数用于计算统计数据集中某一列的总和。

该函数常用于计算表格中某个字段的总和。

例如，我们有一个表格，里面存储了多个商品的销售情况。

如果我们想知道某个商品的销售总额，可以使用 SUM 函数来统计。

例如命令如下：SELECT SUM(sales) FROM products WHEREproduct_name='coffee';其中，sales 是数据集中需要统计的列，product_name 是商品名称，'coffee' 是需要统计销售总额的商品名称。

四、AVG 函数AVG 函数用于计算统计数据集中某一列的平均值。

该函数常用于计算表格中某个字段的平均值。

例如，我们有一个表格，里面存储了多个商品的销售情况。

如果我们想知道某个商品的平均销售额，可以使用 AVG 函数来统计。

例如命令如下：SELECT AVG(sales) FROM products WHEREproduct_name='coffee';其中，sales 是数据集中需要统计的列，product_name 是商品名称，'coffee' 是需要计算平均销售额的商品名称。

集合与函数概念
集合和函数是数学中的基本概念。

集合是指将具有相同性质的元素汇集在一起形成一个整体。

集合通常用大写字母表示，其中的元素用小写字母表示。

集合中的元素是无序的，且每个元素在集合中是唯一的，
即不会重复出现。

例如，可以将所有大写英文字母组成的集合表示为A = {A, B, C, ..., Z}，表示包含了所有大写英文字母的集合。

函数是集合之间的一种特殊关系。

一个函数将一个集合中
的元素映射到另一个集合中的元素。

函数通常用小写字母
表示，例如f，g等。

函数包括一个定义域（即输入的集合）和一个值域（即输出的集合）。

对于定义域中的每一个元素，函数都有唯一的映射结果。

例如，可以定义一个函数f，它将自然数集合N中的每个元素n映射到其平方值，即f(n) = n^2。

在这个例子中，定义域为N，值域为平方数的集合。

集合和函数在数学中有广泛的应用，包括在代数、几何、概率论等领域。

它们是数学研究和应用的基础。

怎么理解函数的集合是稠密的函数的集合在数学中占据着重要的地位，它们被广泛地应用于各种数学分支和实际问题中。

在函数的集合中，有一种常见的特性，那就是稠密性。

什么是函数的集合稠密呢？本文将从简单的例子开始，逐步分析这个概念的本质和应用，以帮助读者全面地理解。

一、什么是函数的集合？在数学中，函数可以被定义为一个变量与一个或多个值之间的对应关系。

在集合中，函数的定义可以表示为：$$f:X \rightarrow Y$$其中，$X$ 和 $Y$ 都是集合，$f$ 是一种映射，它将来自 $X$ 的元素映射到$Y$ 中的元素。

在这个定义中，$X$ 被称为函数的定义域，$Y$ 被称为函数的值域。

比如，我们可以定义一个函数 $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$，表示实数集到实数集的映射关系。

这个函数的定义域和值域都是实数集。

那么，对于每一个实数$x \in \mathbb{R}$，函数 $f$ 都会给出一个实数 $y \in \mathbb{R}$。

在数学中，如果一个集合中的元素可以无限地接近其他元素，那么这个集合就被称为稠密集。

特别地，一个数轴上的集合被称为稠密集，当且仅当它的闭包是整个数轴。

例如，有理数集 $\mathbb{Q}$ 就是一个数轴上的稠密集，因为任何实数都可以用有理数无限地逼近。

同样地，在函数的集合中，如果我们可以用一个无限接近的函数序列来逼近其他函数，那么这个函数集合就被称为稠密的。

更正式地说，设 $F$ 是一个定义在集合 $X$ 上的函数集合。

如果对于任意的函数$f \in F$ 和任意的 $\epsilon > 0$，都存在一个函数序列 $\{g_n\}$ 满足：$$\lim_{n\rightarrow \infty} \| f-g_n\|_{\infty} = 0$$其中 $\|f-g_n\|_{\infty}$ 表示函数 $f$ 和 $g_n$ 之间的无穷范数（即它们的最大值之差），那么我们称 $F$ 是 $X$ 上的一个稠密函数集。

一、集合1、 集合：某些具有共同属性的对象集在一起就形成一个集合，简称集。

元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

2、集合的表示方法⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩列举法描述法图示法区间法集合的分类⎪⎩⎪⎨⎧空集：无限集：有限集：3、子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任意元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。

也说集合A 是集合B 的子集。

即：若“B x A x ∈⇒∈”则B A ⊆。

子集性质：（1）任何一个集合是本身的子集；（2）空集是任何集合的子集；（3） 若B A ⊆，C B ⊆，则A C ⊆。

4、集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任意元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任意元素都是集合A 的元素，我们就说A =B 。

即：若A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么B A =。

5、真子集：对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B ，并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B6、易混符号： ①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系 ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合7、子集的个数：（1）空集的所有子集的个数是 1 个 （2）集合{a}的所有子集的个数是 2个 （3）集合{a,b}的所有子集的个数是4个 （4）集合{a,b,c}的所有子集的个数是8 个猜想： (1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？ (2){}n a a a ,,21 的所有子集的个数是多少？结论：含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是 2n，所有真子集的个数是2n-1，非空子集数为 2n-1 ，非空真子集数为 2n-2 。

8、交集定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。

即：=B A {}x B x x A ∈∈且 。

9、并集定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。

01第⼀章：集合与函数概念知识点总结第⼀章：集合与函数概念本章知识结构图：本章知识点梳理：1、集合①空集：不含有任何元素的集合，记作Φ（1）集合的分类⑤有限集：含有有限个元素的集合；⽆限集：含有⽆穷多个元素的集合（2）集合元素的特性②有：确定性、互异性、⽆序性。

（3）常⽤数集的专⽤符号⑥：⾃然数集：N ，正整数集：N +或N*，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：R 。

（4）集合的表⽰⽅法④：①列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法；②描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。

2、⼦集、交集、并集、补集（1）⼦集⑧定义：设集合A 与B ，如果集合A 中的任何⼀个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的⼦集记作B A ?（或A B ）；如果A 是B 的⼦集，并且B 中⾄少有⼀个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真⼦集，记作B A≠（或A B ≠）（2）交集○14定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的交集，记作B A （如右图），即A x xB A ∈=|{ 且}B x ∈（3）并集○13定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ，即A a B A ∈={ 或}B a ∈（4）补集○15定义：设I 是⼀个集合，A 是I 的⼀个⼦集，由I 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I 中⼦集A 的补集（或余集），记作A C I ，即I x x A C I ∈=|{，且}A x ?如右图所⽰。

3、（1）函数的概念○16①设A 、B 是两个⾮空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的⼀个函数，记作:f A B →．②函数的三要素○17:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同⼀函数．（2）区间的概念○19及表⽰法①设,a b 是两个实数，且a b <，满⾜a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满⾜a x b<<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满⾜a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满⾜,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以⼤于或等于b ，⽽后者必须a b <．（3）函数的表⽰⽅法○20表⽰函数的⽅法，常⽤的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是⽤数学表达式表⽰两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表⽰两个变量之间的对应关系．图象法：就是⽤图象表⽰两个变量之间的对应关系．（4）映射的概念○23①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个元素，在集合B 中都有唯⼀的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定⼀个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 4、函数的基本性质（1）函数的单调性○25函数为增函数，减函数减去⼀个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数的最⼤（⼩）值定义○26①⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最⼤值，记作m ax ()f x M =．②⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最⼩值，记作m a x ()f x m=．（3）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，⼀个偶函数与⼀个奇函数的积（或商）是奇函数． 5、函数的图象的作法（1）利⽤描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．（2）利⽤基本函数图象的变换作图：要准确记忆⼀次函数、⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k><=→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =→=-轴()()y y f x y f x =→=-轴()()y f x y f x =→=--原点 1()()y xy f x y f x -==→=直线()(||)y y y y f x y f x =→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =→=保留轴上⽅图象将轴下⽅图象翻折上去知识点1：集合与元素知识点2：集合中元素的三个特性知识点3：元素与集合的两种关系知识点4：集合的三种表⽰法知识点5：有限集和⽆限集知识点6：特定集合的表⽰知识点7：Venn 图与数轴法表⽰集合知识点8：⼦集知识点9：集合相等知识点10：真⼦集知识点11：空集知识点12：集合的⼦集的数⽬知识点13：并集知识点14：交集知识点15：补集知识点16：函数的概念知识点17：函数的两个要素知识点18：函数的值域及其求法知识点19：区间的概念知识点20：函数的三种表达⽅法知识点21：函数图象知识点22、分段函数知识点23：映射的定义知识点24：增函数与减函数的定义知识点25：单调性与单调区间知识点26：函数的最⼤（⼩）值知识点27：奇函数与偶函数的概念知识点28：利⽤定义判断函数奇偶性的⼀般步骤知识点29：奇偶函数的图象的性质知识点30：奇偶函数的单调性部分知识点详细解释：知识点1：集合与元素1、元素：⼀般地，我们把研究对象统称为元素（element ），元素常⽤⼩写字母 c b a ,,表⽰。

excel函数公式集合下面是一些常用的Excel函数公式集合：1. SUM：计算一组数值的总和。

例如：=SUM(A1:A10) 将计算 A1 到 A10 单元格范围内的数值总和。

2. AVERAGE：计算一组数值的平均值。

例如：=AVERAGE(B1:B5) 将计算 B1 到 B5 单元格范围内的平均值。

3. COUNT：计算一组数值的个数。

例如：=COUNT(C1:C10) 将计算 C1 到 C10 单元格范围内的数值个数。

4. MAX：找出一组数值中的最大值。

例如：=MAX(D1:D20) 将返回 D1 到 D20 单元格范围内的最大值。

5. MIN：找出一组数值中的最小值。

例如：=MIN(E1:E15) 将返回 E1 到 E15 单元格范围内的最小值。

6. IF：根据指定条件返回不同的结果。

例如：=IF(A1>10, "大于 10", "小于等于 10") 将根据 A1 的值返回不同的结果。

7. VLOOKUP：在指定范围中查找并返回相应的值。

例如：=VLOOKUP(F1, A1:B10, 2, FALSE) 将在 A1 到 B10 的范围中查找 F1 的值，并返回与之对应的第二列的值。

8. CONCATENATE：将多个文本字符串连接成一个字符串。

例如：=CONCATENATE(G1, " ", G2) 将把 G1 和 G2 的值连接为一个字符串。

9. LEFT / RIGHT / MID：从文本字符串中提取指定的字符。

例如：=LEFT(H1, 5) 将返回 H1 单元格中的前五个字符。

10. SUMIF：根据指定的条件对一组数值进行求和。

例如：=SUMIF(I1:I10, ">50") 将对 I1 到 I10 单元格范围内大于 50 的数值进行求和。

这只是一小部分Excel函数公式的示例，Excel提供了许多其他强大的函数和功能，可以满足各种数据处理和分析的需求。

函数线性相关与无关的判断方法
判断函数集合中的函数是否线性相关或线性无关，可以使用以下方法：
1. 解线性方程组：对于给定的函数集合，可以将其表示为一个线性方程组，然后解该方程组，如果方程组存在非零解，则函数集合线性相关；反之，如果方程组只有零解，则函数集合线性无关。

2. 行列式判断法：对于一个函数集合，可以构造一个矩阵，将函数依次作为矩阵的行或列。

然后计算该矩阵的行列式，如果行列式的值不为零，则函数集合线性无关；反之，如果行列式的值为零，则函数集合线性相关。

3. 线性组合判断法：对于给定的函数集合，可以尝试找到一组不全为零的系数，使得函数集合中的函数的线性组合等于零函数。

如果能找到这样的系数，则函数集合线性相关；反之，如果不存在这样的系数，则函数集合线性无关。

4. 维数判断法：对于一个函数集合，在向量空间中可以将其表示为向量的形式。

如果该函数集合所生成的向量空间的维数等于函数集合中函数的个数，则函数集合线性无关；反之，如果向量空间的维数小于函数集合中函数的个数，则函数集合线性相关。

集合与函数的概念教案教学目标：1. 理解集合的基本概念和运算。

2. 理解函数的定义和性质。

3. 能够运用集合和函数的概念解决实际问题。

教学内容：第一章：集合的基本概念和运算1.1 集合的定义和表示方法1.2 集合的运算（并集、交集、补集）1.3 集合的性质（交换律、结合律、吸收律）第二章：函数的定义和性质2.1 函数的定义和表示方法2.2 函数的域和像2.3 函数的性质（单调性、连续性、奇偶性）第三章：函数的图像3.1 函数图像的基本特征3.2 常见函数图像的绘制和识别3.3 函数图像的应用第四章：函数的计算4.1 函数的求值和解析式4.2 函数的复合和反函数4.3 函数的极限和连续性第五章：集合的应用5.1 集合在数学分析中的应用5.2 集合在概率论中的应用5.3 集合在其他学科中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合和函数的基本概念和性质。

2. 利用图形和实例，直观地展示函数的图像和应用。

3. 引导学生通过思考和练习，深入理解集合和函数的概念。

教学评估：1. 课堂练习：布置相关的练习题，检查学生对集合和函数概念的理解。

2. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对集合和函数概念的掌握。

3. 期中和期末考试：设置有关集合和函数的问题，评估学生的综合运用能力。

教学资源：1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示集合和函数的概念和图像。

2. 教学案例：提供相关的实际案例，帮助学生理解集合和函数的应用。

3. 练习题库：准备丰富的练习题，供学生进行自主学习和练习。

教学建议：1. 在讲解集合的基本概念和运算时，注重与学生的生活实际相结合，让学生体会集合的意义和应用。

2. 在讲解函数的定义和性质时，注重引导学生理解函数的核心概念，如域、像和单调性等。

3. 在讲解函数的图像时，注重引导学生观察和分析函数图像的特征，提高学生对函数图像的理解和识别能力。

4. 在讲解函数的计算时，注重引导学生掌握函数的基本计算方法，如求值、复合和反函数等。

1．集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。

②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

②在具体情境中，了解全集与空集的含义。

（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

③能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。

2．函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

③了解简单的分段函数，并能简单应用。

④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质。

（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景。

②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。

（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。

③了解指数函数xa y =与对数函数x y a log =互为反函数（a >0，a ≠1）。

（4）幂函数①了解幂函数的概念。

②结合函数21321x y xy x y x y x y =====，，，，的图象，了解它们的变化情况。

（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。

集合与函数的概念教案章节一：集合的概念教学目标：1. 理解集合的定义和表示方法。

2. 掌握集合的基本运算，包括并集、交集、补集等。

教学内容：1. 集合的定义：集合是由确定的、互异的元素组成的整体。

2. 集合的表示方法：列举法、描述法。

3. 集合的基本运算：并集、交集、补集。

教学步骤：1. 引入集合的概念，通过实例讲解集合的定义和表示方法。

2. 引导学生通过列举法、描述法表示集合。

3. 讲解集合的基本运算，并通过图示或实例演示运算过程。

4. 布置练习题，让学生巩固集合的概念和基本运算。

章节二：函数的概念教学目标：1. 理解函数的定义和表示方法。

2. 掌握函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。

教学内容：1. 函数的定义：函数是两个非空数集之间的一种特殊对应关系。

2. 函数的表示方法：列表法、解析法、图象法。

3. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。

教学步骤：1. 引入函数的概念，通过实例讲解函数的定义和表示方法。

2. 引导学生通过列表法、解析法、图象法表示函数。

3. 讲解函数的性质，并通过实例演示性质的应用。

4. 布置练习题，让学生巩固函数的概念和性质。

章节三：集合的基本运算（续）教学目标：1. 掌握集合的混合运算，包括并集、交集、补集的组合。

2. 理解集合运算的优先级规则。

教学内容：1. 集合的混合运算：并集、交集、补集的组合。

2. 集合运算的优先级规则：先算括号内的运算，再算交集、并集、补集。

教学步骤：1. 复习集合的基本运算：并集、交集、补集。

2. 引入集合的混合运算，通过实例讲解运算过程和结果。

3. 讲解集合运算的优先级规则，并通过实例演示运算顺序。

4. 布置练习题，让学生巩固集合的混合运算和优先级规则。

章节四：函数的性质（续）教学目标：1. 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性的判断方法。

2. 学会应用函数的性质解决问题。

教学内容：1. 函数的单调性：函数值随着自变量的增大而增大或减小。

2. 函数的奇偶性：函数关于原点对称。

数学公式（集合不等式函数）在数学中，公式是用数学符号和符号约定来表示数学关系或规律的一种方式。

数学公式是数学表达的核心，能够帮助我们解决各种数学问题和推导数学定理。

下面将介绍一些常见的数学公式，包括集合、不等式和函数。

一、集合公式：1.集合的基本运算：(1)并集的运算律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∪B=B∪A(2)交集的运算律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩CA∩B=B∩A(3)差集的运算律：A\(B\C)=(A\B)∪(A\C)A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)2.集合的等价关系：(1)自反性：对于任意集合A，A≤A(2)对称性：如果A≤B，则B≤A(3)传递性：如果A≤B，B≤C，则A≤C(4)互斥性：如果A≤B且B≤A，则A=B3.集合的基数公式：(1)，A∪B，=，A，+，B，-，A∩B(2)，A\B，=，A，-，A∩B(3)，A\B，=，A，-，A∩B(4)，A，=，A∪B，+，A∩B二、不等式公式：1.不等式的基本性质：(1)加法性：如果a>b，则a+c>b+c(2) 乘法性：如果a > b，且c > 0，则ac > bc(3)除法性：如果a>b，且c>0，则a/c>b/c2.平均值不等式：(1) 算术平均不等式：对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，有(x1 + x2 + ... + xn)/n ≥ √(x1x2...xn)(2) 几何平均不等式：对于任意正实数x1, x2, ..., xn，有(x1x2...xn)^(1/n) ≥ (x1 + x2 + ... + xn)/n(3) 加权平均不等式：设p1, p2, ..., pn为n个正实数之和，有(x1p1 + x2p2 + ... + xnpn)/(p1 + p2 + ... + pn) ≥(x1x2...xn)^(1/n)3.柯西-施瓦茨不等式：(1)对于任意实数a1,a2,b1,b2，有(a1b1+a2b2)^2≤(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)(2) 对于任意实数与向量a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)三、函数公式：1.基本初等函数：(1)反函数公式：如果函数y=f(x)与x=g(y)是互逆函数，则有f(g(y))=y和g(f(x))=x(2)奇偶性公式：对于偶函数有f(-x)=f(x)，对于奇函数有f(-x)=-f(x)2.指数和对数函数：(1) 对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)(2) 对数幂函数：a^log_a(x) = x，其中a为任意正数3.三角函数：(1)三角函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)(2)三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))以上是一些常见的数学公式，集合公式涉及集合的基本运算和基数公式，不等式公式包括不等式的基本性质、平均值不等式和柯西-施瓦茨不等式，函数公式主要涉及基本初等函数、指数和对数函数以及三角函数。

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R 20(0)ax bx c a++<>的解集12{|}x x x x<<∅∅〖1.2〗函数及其表示()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bm f a=- ③若2b q a ->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bM f a=- ③若2b q a ->，则()M f q =xxxxx x(q)0x xf xf x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

完备正交函数集定义完备正交函数集定义在数学和物理领域中，正交函数集是一类非常重要的函数集合。

它们在数学分析、信号处理、波动理论等领域中具有广泛的应用。

其中一个重要的概念就是完备正交函数集。

本文将深入探讨完备正交函数集的定义、性质以及它们在实际应用中的重要性。

一、完备正交函数集的定义完备正交函数集可以被看作是一组满足特定条件的函数，其具有一些重要的性质，使得它们在数学分析中具有特殊的地位。

在研究完备正交函数集之前，我们先来了解一下正交函数集。

正交函数集是指一组不同的函数，它们在某个特定的区间上的内积为零。

具体地说，对于任意两个不同的函数 f(x) 和 g(x)，若它们满足在给定区间上的内积∫f(x)g(x)dx 等于零，则我们说这两个函数是正交的。

那么，对于一个函数集合 {ϕ₁(x), ϕ₂(x), ϕ₃(x), ...} ，如果它满足以下两个条件：1. 这个函数集合中的任意两个函数均正交，即对于任意的i ≠ j，有∫ϕᵢ(x)ϕⱼ(x)dx = 0。

2. 这个函数集合中的任意一个函数都无法由其他任意个函数表示，即对于任意的i ≠ j，都无法找到常数 aⱼ≠i 对于给定的 x，有ϕᵢ(x) = ∑aⱼ≠i ϕⱼ(x)。

那么，我们就称这个函数集合为完备正交函数集。

二、完备正交函数集的性质完备正交函数集具有一系列重要的性质，这些性质对于理解和应用函数集合具有重要的帮助。

1. 完备性：对于满足完备正交函数集定义的函数集合，任意一个函数f(x) 都可以通过这个函数集合中的函数展开，即存在唯一的一组系数{a₁, a₂, a₃, ...} ，使得f(x) = ∑aᵢϕᵢ(x) 成立。

2. 正交性：完备正交函数集中的任意两个函数都是正交的，即对于任意的i ≠ j，有∫ϕᵢ(x)ϕⱼ(x)dx = 0。

3. 线性独立性：完备正交函数集中的任意一个函数都无法由其他函数线性表示。

这个性质使得我们可以利用完备正交函数集来进行函数展开和逼近。

⾼⼀数学必修⼀集合与函数的概念 集合与函数都是⾼⼀的数学学习的知识点，需要学⽣学习和掌握，下⾯店铺的⼩编将为⼤家带来关于集合与函数的概念的分析介绍，希望能够帮助到⼤家。

⾼⼀数学必修⼀集合与函数概念介绍 第⼀章集合与函数概念 ⼀：集合的含义与表⽰ 1、集合的含义：集合为⼀些确定的、不同的东西的全体，⼈们能意识到这些东西，并且能判断⼀个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把⼀些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则⼀元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

(2)元素的互异性：⼀个给定集合中的元素是唯⼀的，不可重复的。

(3)元素的⽆序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表⽰：{…} (1)⽤⼤写字母表⽰集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表⽰⽅法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素⼀⼀列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语⾔描述法：例：{不是直⾓三⾓形的三⾓形} ③Venn图:画出⼀条封闭的曲线，曲线⾥⾯表⽰集合。

4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)⽆限集：含有⽆限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合⾥，则元素属于集合，即：aA (2)元素不在集合⾥，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常⽤数集及其记法： ⾮负整数集(即⾃然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—⼦集 定义：如果集合A的任何⼀个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的⼦集。