D5_4反常积分

反常积分的几种计算方法目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)0 前言 (1)1反常积分的定义 (1)1.1无穷积分的定义 (1)1.2 瑕积分的定义 (2)2 反常积分的计算方法 (3)2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分…………………………………………32.2利用变量替换法计算反常积分 (3)2.3利用分部积分法计算反常积分 (5)2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7)2.5利用方程法计算反常积分 (7)2.6利用级数法计算反常积分 (9)2.7利用待定系数法计算反常积分 (10)结束语 (11)参考文献…………………………………………………………………⎰=+∞→uau Jdx x f )(lim ,)1(则称此极限J 为函数f 在[)+∞,a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作⎰+∞=adxx f J )(,)1('并称⎰+∞adx x f )(收敛.如果极限)1(不存在,为方便起见,亦称⎰+∞adx x f )(发散.类似地,可定义f 在(]b ,∞-上的无穷积分：⎰⎰-∞→∞-=buu bdxx f dx x f )(lim )(.)2(对于f 在()+∞∞-,上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义：dxx f dx x f dx x f aa ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=)()()(.)3(1.2瑕积分的定义定义2设函数f 定义在区间(]b a ,上,在点a 的任一右领域上无界,但在任何内闭区间[](]b a b u ,,⊂上有界且可积.如果存在极限⎰=+→bua u Jdx x f )(lim ,)4(则称此极限为无界函数f 在(]b a ,上的反常积分,记作⎰=badxx f J )(,)4('并称反常积分⎰b adx x f )(收敛.如果极限)4(不存在,这时也说反常积分⎰badx x f )(发散.在定义中,被积函数f 在点a 近旁是无界的,这时点a 称为f 的瑕点,而无界函数反常积分⎰badx x f )(又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分：⎰⎰-→=uabu badx x f dx x f )(lim )(.)5(其中f 在[)b a ,有定义,在点b 的任一左领域上无界,但在任何[][)b a u a ,,⊂上可积.若f 的瑕点()b a c ,⊂,则定义瑕积分dx x f dx x f dx x f bcc aba⎰⎰⎰+=)()()(=⎰⎰+-→→+bvcv u acu dx x f dx x f )(lim )(lim .)6(其中f 在[)(]b c c a ,,⋃上有定义,在点c 的任一领域上无界,但在任何[][)c a u a ,,⊂和[](]b c b v ,,⊂上都可积.当且仅当)6(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若b a ,两点都是f 的瑕点,而f 在任何[]()b a v u ,,⊂上可积,这时定义瑕积分dx x f dx x f dx x f bcc aba⎰⎰⎰+=)()()(=⎰⎰-+→→+vcbv cuau dx x f dx x f )(lim )(lim , )7( 其中c 为()b a ,上任一实数.同样地,当且仅当)7(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.2反常积分的计算方法在计算反常积分时有三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法.设dx x f ba⎰)(是反常积分, b 为唯一的奇点(b 为有限数,或∞+),计算dx x f ba⎰)(：2.1利用Newton —Leibniz 公式计算反常积分若)(x f 在[)b a ,连续,且)(x F 为)(x f 的原函数,则)()0(|)()(0a Fb F x F dx x f b a ba--==-⎰.)8(例1 计算⎰-b apa x dx)(的值.解： pa x x f )(1)(-=在(]b a ,上连续,从而在任何[](]b a b u ,,⊂上可积,ax =为其瑕点，故⎰⎰-=-+→b u pa ub ap a x dx a x dx )(lim)(⎪⎩⎪⎨⎧=---≠-----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠--=----⎰.1),ln()ln(,1,1)(1)(.1,)ln(,1,1)()(111p a u a b p p a u p a b p a x p pa x a x dx pp bu bu p b u p⎪⎩⎪⎨⎧≥∞<--=-=--→⎰⎰+.1,,1,1)()(lim )(1p p p a b a x dx a x dx pb u p a u b a p2.2利用变量替换法计算反常积分若)(t ϕ在[)βα,上单调,有连续的导数)(t ϕ',b a a =-=)0(,)(βϕϕ(β为有限数或无穷大),则⎰⎰'=βαϕϕdtt t f dx x f ba)())(()(.(9) 例2 计算⎰--bax b a x dx))((2的值.解：令θθ22sin cos b a x +=则θθθθcos sin 2sin cos 2b a dx +-=,θθθθθθθ2222222sin )(sin sin sin )1(cos sin cos a b b a b a a b a a x -=+-=+-=-+=-θθθθθθθ2222222cos )(cos cos cos )sin 1(sin cos a b a b a b b a b x b -=-=--=--=-πθθθθθθππ24cos sin )(cos sin )(22))((22020==--=--⎰⎰⎰d a b d a b x b a x dx ba.例 3 证明等式dt ab t f a dx x b ax f ⎰⎰+∞+∞+=+020)4(1)(,其中0,>b a (假设二积分有意义).分析:比较该等式的两边,我们必须使得ab t xbax 42+=+, 因0,,>x b a ,此即要求ab t x b ax 422+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,亦即 22t x b ax =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此我们选取的变换如下： 证明：令t xbax =-, 此时ab t xbax 42+=+成立,因此可得 )4(212ab t t ax ++=，dt abt a ab t t dx 42422+++=.于是dt abt ab t t ab t f a dx x b ax f 44)4(21)(222000++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰⎰⎰∞+∞-∞+, 在上式的右边的第一个积分里,令u t -=,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++-++=+⎰⎰⎰∞+∞+∞+00222222044)4(44)4(21)(dt ab t ab u t ab t f du ab u u ab u ab u f a dx x b ax f 再将u 改写成t ,二积分合并,得dt ab t f a dx x b ax f ⎰⎰+∞+∞+=+020)4(1)(.因此该式得证.2.3利用分部积分法计算反常积分设)(),(x v v x u u ==在[)b a ,上有连续的导数,则⎰⎰⎰'-=='-bab a babadxx u x v x v x u udv dx x v x u )()()()()()(0.(10)例4 计算dx x x ⎰10ln 的值.解：⎰⎰=1021ln 21ln xdx dx x x )1ln (21102102dx xx x x ⎰⋅-⋅=41-=例5 计算积分dx x nx ⎰20cos ln 2cos π.解：(困难在于被积函数中有对数符号ln"",用分部积分法消去ln"")原式nx d x n2sin cos ln 2120⎰=πdx xx nx n x nx n ⎰--=2020cos )sin (2sin 21cos ln 2sin 21ππdx xxnx n ⎰=20cos sin 2sin 21π(我们看到,这里如果被积函数没有分母的x cos ,用积化和差公式,立即可以算出积分值.因此,我们希望设法应用公式∑=+=+nk kt t tn 12cos 21sin )12sin(将被积函数拆开).因为x n x nx x nx )12cos(cos 2cos sin 2sin +-=⋅,dx xx n dx nx n dx x x nx n ⎰⎰⎰+-=202020cos )12cos(2cos 21cos sin 2sin 21πππ, 第一个积分为0，第二个积分令t x -=2π,dx xxn n dx x x nx n ⎰⎰+-=2020cos )12cos(21cos sin 2sin 21ππdt ttn nn ⎰+-=-201sin )12sin(2)1(πdt kt nnk n ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==-20112cos 212)1(πnn 4)1(1π--=.例6 计算⎰+∞∞-++nx x dx)22(2.解：()[]⎰⎰+∞∞-+∞∞-++=++n nx dxx x dx 11)22(22 ()⎰+∞∞-+=+=nx t tdt121()n nI tdt21202=+=⎰+∞,分部积分可建立n I 的递推公式: ()()()⎰⎰∞+++∞∞++--+=+=01220221211n n nn tdtnt tttdtI122+-=n n nI nI , 即n n I n n I 2121-=+. 21021π=+=⎰+∞t dt I ,2!)!22(!)!32(21425222321π⋅--=⋅⋅⋅--⋅--=n n I n n n n I n . 在计算n I 时我们也可以利用变量替换法进行求解,令θtan =t ,()()θθπd tdtI n nn ⎰⎰-∞+=+=202202cos 1,再直接引用Walls 公式2!)!22(!)!32(π⋅--=n n .利用分部积分法我们常常可以得到递推公式从而简化运算.除了上述的三种基本方法外，根据具体情况，经常用的还有下列几种方法： 2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分在这种方法的计算中主要分为两步：第一步：将所需计算的积分区间进行分段；第二步：进行变量替换,通过变量替换可以将分段后的某些积分区间与其中的某些区间相抵消或者合并.例7 计算dx x x⎰+∞+021ln 2的值.解：dx x xdx x x dx x x ⎰⎰⎰+∞+∞+++=+12102021ln 21ln 21ln 2=)11ln 1ln (2122102dx x x x dx x x ⎰⎰∞++++=))1(111ln 1ln (212102xd xx dx x x ⎰⎰∞++++ ))(1ln 1ln (20121021t d t t dx x xxt ⎰⎰+++===))(1ln 1ln (2102102t d t tdx x x ⎰⎰+-+ =0通过上述计算我们可以发现这种方法可以省略很多计算,关键在于对积分区间的分段和变量替换要找到最合适的,否则适得其反. 2.5利用方程法计算反常积分使用方程法计算反常积分是分为两步：第一步：通过变量替换,将原积分进行变形;第二步：将原积分与变形后的积分相加,通过计算相加后的积分从而求出原积分.例8 计算积分⎰=20sin ln 2πxdx I .解：⎰⎰===402202sin ln 4sin ln 2ππtdt xdx I tx=⎰40cos sin 2ln 4πtdt t=)cos ln sin ln 2ln (4404040⎰⎰⎰++πππtdt tdt dt=))2sin(ln sin ln (42ln 4040⎰⎰-++⋅ππππdt t tdt)sin ln sin ln (42ln 42402⎰⎰-+=-=πππππudu tdt tu=⎰+20sin ln 42ln ππtdt=I 42ln +π通过解方程得：32ln π-=I .例9 计算积分dx x I ⎰+∞+=0412.解：dx x x x dx x I ⎰⎰∞+∞++=+=022241212 )1(12022x d x x ⎰+∞+-=dt tt xt ⎰∞+=+-=022112J dx x x =+=⎰∞+04212 则()dx xx J I I ⎰∞+++=+=0421222121 dx xx ⎰∞+++=04211 dx x x x ⎰∞+++=0222111 )1(11022x x d x x -+=⎰+∞ )1(2)1(102x x d xx -+-=⎰+∞ dt t xx t ⎰∞+∞---+=2121 dt t ⎰+∞+=02212+∞=02arctan2t22π=. 2.6利用级数法计算反常积分在运用级数法求反常积分时,关键在于积分区间进行分段,使所求的反常积分可以表示成级数的求和运算,从而简化运算.例10 证明[]⎪⎭⎫⎝⎛--+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞→∞+⎰n n dx x x n ln 11211lim 111 .证明: (1) 当2>x 时,[]xx x x )1(111-≤-,由于dx x x ⎰+∞-1)1(1积分收敛,故[]dx x x ⎰∞+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-111收敛. (2) [][]dx x x dx x x n n ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞→∞+1111lim 11[][][][]dx x x dx x x dx x x dx x x n n n⎰⎰⎰⎰-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-13221111111111 dx x n dx x dx x n n ⎰⎰⎰-⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=13221111121111 dx x n n ⎰--+++=1111211 n n ln 11211--+++= .因此：[]⎪⎭⎫⎝⎛--+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞→∞+⎰n n dx x x n ln 11211lim 111 .2.7利用待定系数法计算反常积分在使用待定系数法时通常先将有理分式化为部分分式,再通过待定系数求解,在使用这种方法时通常结合多种方法求解. 例11 计算积分⎰+∞++=1)()1(n x x x dxI n .解：(拆为部分分式)设nx A k x A x A x A n x x x n k ++++++++=++ 1)()1(110(n A A A ,,,10 为待定系数).将)()1(n x x x ++ 同乘等式两边.然后k x -=,得)(21)1()1)((1n k k k A k +-⋅⋅⋅-+--=)!(!1)1(k n k k--=!)1(n C k nk-= ),,2,1,0(n k =,其中)!(!!k n k n C kn -=于是dx k x n C I nk k n kn ⎰∑∞+=+-=10)1!)1((dx kx n C nk knk∑⎰=∞++-=011!)1( ∑=∞++-=n k kn k k x C n 01)ln()1(!1.注意到∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-nk kn k n k knkx k x C k x C 001ln )1()ln()1(∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⋅=n k nk kn k knkx k C C x 001ln )1()1(ln∑=→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⋅=nk kn k nx k C x 001ln )1()11(ln (当+∞→x 时),因此 ∑=++-=n k kn k n k C n I 01)1ln()1(!1.结束语反常积分的计算方法灵活多变,对于任一问题都存在多种计算方法,我们在计算时要提取最简便的方法,除了上述的几种计算方法还有很多的计算方法需要我们去探究、归纳、总结,更重要的是我们要学会这些方法的灵活使用.参考文献:[1] 费定辉等,基米多继奇数学分析习题[M],山东:山东科技出版社,1990.[2] 同济大学应用数学系,高等数学[M],北京:高等教育出版社，2002.[3]刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.[4]周建莹,李正元.高等数学解题指南[M].北京:北京大学出版社,2002.212-214.[5]数学分析第四版上册 .华东师范大学数学系编[M].高等教育出版社,2010.[6] Tom M.Apostol著. Mathematical Analysis[M]. 机械工业出版社,2004.[7] Zorich,. Mathematical. Analysis. [M]. Springer,2004.。

计算反常积分的步骤
计算反常积分的步骤如下：
1. 确定积分的区间：确定要计算的积分的区间，即积分的下界和上界。

2. 确定积分的形式：根据问题的要求，确定要计算的反常积分的形式，分为无穷积分和间断积分。

3. 无穷积分的计算：
a. 确定无穷积分的类型：判断是无穷限积分还是无穷级数，
并确定无穷限积分的类型（上无穷大、下无穷大或两者都是）。

b. 做变量替换：对于某些无穷积分，可能需要进行变量替换
来简化计算。

c. 分段处理：对于某些无穷积分，可以将其分为几个有界区间，然后分别计算每个区间的积分。

d. 计算极限：计算积分的极限值（如果存在）。

4. 间断积分的计算：
a. 确定间断积分的类型：判断是第一类间断积分还是第二类
间断积分，并确定间断点的位置。

b. 做分部积分：对于某些间断积分，可能可以通过分部积分
法来计算。

c. 分段处理：对于某些间断积分，可以将其分为几个有界区间，然后分别计算每个区间的积分。

d. 计算极限：计算积分的极限值（如果存在）。

5. 检查收敛性：对于反常积分，需要检查其是否收敛，即是否存在有限的积分值。

可以使用柯西收敛准则或其他收敛性判别法来判断是否收敛。

6. 计算积分值：如果反常积分收敛，计算其积分值，可以使用数值积分方法、泰勒展开等方法进行计算。

注意：在计算反常积分时，需要注意积分的收敛性和发散性，以及是否存在某个有界区间上的间断点。

同时，需要根据具体情况选择适当的计算方法。

反常积分计算昨天我的老师上了一堂“反常积分计算”，他主要是说用反常积分计算。

在那堂课里他让我们理解了许多关于反常积分计算的原理和概念，让我明白了为什么反常积分计算会很复杂。

但它也让我从中学到了很多知识，接下来就让我为你讲讲吧！首先我们来讲一下什么是反常积分计算。

当y趋向于无穷大时，dx^2y=0；当x趋向于无穷小时， dy=1。

而这个原理其实也很简单，就是说，如果我们将某个函数f(x)写成f(x) =dx^2y，当x越来越大，这个函数值就变得越来越小，而当x越来越小，这个函数值就越来越大。

其实反常积分计算的根本原因就是上面的这个道理，反常积分计算的目的也是通过变形使得这个函数值的改变跟x趋近于无穷大时函数值的改变相反。

还有就是用这个方法去解决比较难的积分。

反常积分计算是应用于比较高阶的微积分，比如在数列或者复数函数的极限等方面。

就像数列的求导或者对复数求导之类的，需要做出很繁琐的步骤，但是最后的结果是一样的。

这些其实都是反常积分计算的一个应用。

就像求数列和求复数的导数其实都是反常积分计算的应用。

还有反常积分计算的另外一个重要应用就是解析几何。

所以我们要做好一切准备工作，特别是针对我们这些还没学过反常积分计算的同学，我们要先找到有什么办法可以计算反常积分计算。

然后我们要把有什么反常积分计算的方法弄清楚。

比如无穷级数的收敛性问题、反常积分计算与无穷级数收敛性的区别，解析几何的有关问题等等，这些我们都要先搞懂。

还有，我们还要做好相关资料的搜集，像课本上的积分表、定理表、一些反常积分计算的例题，甚至是书上的练习题，只要能够帮助我们提升的都要做好。

比如一些求极限的资料，比如用到幂级数、解析几何、韦达定理之类的都要积累起来。

因为我们会发现，其实反常积分计算和无穷级数是密不可分的，我们在做反常积分计算的时候，很多地方都是通过无穷级数的方法来求解的。

所以我们一定要准备好这两种方法，而且要知道两者的区别。

不过现在好像对我们也不太管用，毕竟我们都没有学过无穷级数。

「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性反常积分：反常积分又叫做广义积分，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。

无穷区间上的反常积分：设f(x)在区间[a,∞)上连续，称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在，称此反常积分收敛；如果右边极限不存在，就称此反常积分发散。

无界函数的反常积分：设f(x)在区间[a,b)上连续，且f(x)在趋向于点b上的极限为∞，成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点)，这个点上是无法积分的。

图一如图所示，给出一个反常积分，并告诉我们该反常积分收敛，则我们可以得到哪些信息。

通过反常积分的概念，可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分（只要一看积分区间有∞存在，即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分），如果右边的极限存在，就称该反常积分收敛，这个概念说明该反常积分存在极限，这道题反常积分的瑕点为1。

那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算，一个区间是位于(0,1)，另一个区间则是位于(1,+∞)，我们可以先对第一个区间进行判断，因为要让该反常积分收敛，必须让两个区间的积分都收敛才可以。

（一个是无界函数的反常积分，另一个则是无穷区间的反常积分。

）如果说这两个反常积分有一个不存在，就说明该反常积分不存在（发散），反之，要说明该反常积分存在（收敛），说明两个反常积分都要存在才可以。

由第一个区间判断可以得到，a<1；由第二区间判断可以得到当a+b>1时，收敛。

最后得到的结果便是，a<1，a+b>1，该反常积分收敛。

最后给出解答过程：图二虽然有这道实例的支撑，但我对反常积分还是不够理解，直到我看到了瑕积分的判敛性定理：定理一，f(x)在区间（a,b]上连续并且f(x)>=0，设该区间趋向于a 的极限存在，那就可以得到当x的幂次方小于1，该反常积分收敛，根据这个定理我们就能够得到a<1这个结果的存在。