第一部分 专题四 第2讲

小学数学专题讲座
辅导老师：封剑飞
第一部分数与代数
专题一：数的认识
1.整数的认识
2.分数的认识
3.小数的认识
4.百分数的认识与小数、分数、百分数的互化
5.负数的认识
专题二：数的运算
6.整数的四则运算
7.分数的四则运算
8.小数的四则运算
9.计算方法与计算工具
专题三：常见的量
专题四：式与方程
10.用字母表示数
11.简易方程
专题五：比和比例
12.比
13.比例
专题六：探索规律
第二部分空间与图形
专题一：基本图形
14.线
15.角
16.线与角的测量
专题二：平面图形
17.平行四边形、长方形和正方形
18.三角形
19.梯形
20.圆和圆形、扇形
21.平面图形的测量
专题三：立体图形
22.长方体和立方体
23.圆柱、圆锥和球
24.立体图形的测量
专题四：图形与位置
专题五：图形与变换
第三部分统计与概率
专题一：统计
专题二：可能性
第四部分实践与综合应用
专题一：一般复合实际问题
专题二：典型实际问题
专题三：分数、百分数的实际问题
专题四：比和比例的实际问题
专题五：解决问题的策略
专题六：列方程解应用题
专题七：综合应用
以上专题，家长、学生可以参考自身的情况选择学习。

专题四第二讲限定词（一）在英语中，限定词与名词的关系最为密切，因为它必然是修饰某个名词，以限定名词所指的范围，对名词起泛指或特指、定量或不定量等限定修饰作用。

从名词短语的角度来看，限定词或者是直接放在一个名词的前面来修饰它，构成“限定词＋名词”这样的结构（如 the teacher），或者是在“限定词＋形容词＋名词”（如 the English teacher）这样的结构中来修饰名词。

一．限定词的位置关系根据限定词在名词前的位置关系，我们把限定词分为三类：前位限定词、中位限定词和后位限定词。

a、前位限定词前位限定词主要是用来说明名词的数量，主要有三种：1）表示倍数关系的数量形容词。

例如：1 half my salary 我工资的一半2 twice my salary 我工资的两倍2）表示几分之几的数词。

例如：1 one third my salary 我工资的三分之一2 two-thirds my salary 我工资的三分之二3）个体形容词：all 和both。

例如：1 all my salary 我全部的工资2 both my salaries 我的两份工资前位限定词一般互相排斥，不能共存。

比如不能说：1 all half my salary*2 half double her income*b、中位限定词1）冠词：the，an 和a。

（3 个）1.all the book 所有的书 2 half an hour 半小时2）指示形容词：this，that，these 和those。

（4 个）1 all these problems 所有这些问题2 twice that size 那个号码的两倍3）物主形容词：my，your，his，her，its，our 和their。

（7 个）1 all my money 我所有的钱2 all his money 他所有的钱4）名词属格：John's 和his father's 等。

2023年中考道德与法治专题复习专题四崇尚法治精神建设法治中国第2讲维护公平正义一、选择题1．(2022·宁波余姚期末)宁波市在全域推出了场所码代扫功能，为部分老人、未成年人及无智能手机人群提供“反向扫码”便捷通行服务。

此举体现了( )①不同情况差别对待②我国允许弱势群体享有特权③维护社会的公平正义④人民群众的生活也要靠正义的制度来保障A．①③ B．②③ C．①④D．②④2．(2022·宁波余姚期末)下列举措能体现公平的是( )①我国实施新冠疫苗免费接种②公办民办学校同步招生③宁波市积极推动共同富裕先行市建设④某事业单位实行公开招聘A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．(2022·宁波余姚期末)2021年12月1日，教育部印发《关于开展县域义务教育优质均衡创建工作的通知》，以加强内涵建设、全面提高教育质量为中心任务，加快缩小县域内义务教育校际差距，推动义务教育从基本均衡向优质均衡迈进。

这告诉我们( ) A．公平是在比较中产生的B．公平是社会制度的重要价值C．公平主要体现在规则公平D．公平是社会稳定和进步的重要基础4．(2022·舟山中考)新修订的《中华人民共和国职业教育法》明确规定，用人单位不得设置妨害职业学校毕业生平等就业、公平竞争的报考、录用、聘用条件。

这一规定旨在( )A．消除就业歧视现象B．推动义务教育发展C．彰显社会公平正义D．维护司法公平公正5．(2022·江苏泰州中考)如图漫画体现了( )A．不同情况需要差别对待B．我国城乡发展极不平衡C．国家通过制度保障公平D．个人积极维护社会公平6．(2022·广东中考)请你概括下表新闻报道反映的共同主题( )A．大力发展教育事业B．关心关爱弱势群体C．高举扫黑除恶利剑D．维护社会公平正义7．(2022·湖北荆州中考)2022年全国两会上，《最高人民法院工作报告》和《最高人民检察院工作报告》都高度关注妇女、儿童、老人等重点人群，以大量具体司法案件彰显了中国法治的力度、温度，呈现“看得见的公平正义”。

2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第二讲空间点、线、面位置关系的判断课时作业理1．(2016·正定摸底)已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a ∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．答案：D2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.答案：B3．如图所示，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.答案：D4．(2016·某某模拟)设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，所有真命题的序号是( )A．①④B．②③C．①③D．②④解析：由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A. 答案：A5.如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( ) A．垂直B．相交不垂直C ．平行D ．重合 解析：如图，分别取另三条棱的中点A ，B ，C 将平面LMN 延展为平面正六边形AMBNCL ，因为PQ ∥AL ，PR ∥AM ，且PQ 与PR 相交，AL与AM 相交，所以平面PQR ∥平面AMBNCL ，即平面LMN ∥平面PQR .答案：C7．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是________．解析：如图，由题意得AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH .∵AC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，∴AC ∥EF ，同理AC ∥GH ，所以EF ∥GH .同理，EH ∥FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．答案：平行四边形8．(2016·某某模拟)如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为棱DC 的中点，则D 1P 与BC 1所在直线所成角的余弦值等于________．解析：连接AD 1，AP (图略)，则∠AD 1P 就是所求角，设AB ＝2，则AP ＝D 1P ＝5，AD 1＝22，∴cos ∠AD 1P ＝12AD 1D 1P ＝105. 答案：1059.如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值X 围是________．解析：取B 1C 1中点M ，则A 1M ∥AE ；取BB 1中点N ，则MN ∥EF (图略)，∴平面A 1MN ∥平面AEF .若A 1P ∥平面AEF ，只需P ∈MN ，则P 位于MN 中点时，A 1P 最短；当P 位于M 或N 时，A 1P 最长．不难求得A 1P 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 10.(2016·某某模拟)如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，∠BAD ＝90°.M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．(1)求证：CD ∥平面MNQ ；(2)求证：平面MNQ ⊥平面CAD .证明：(1)因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以MQ ∥CD ，又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故CD ∥平面MNQ .(2)因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以MN ∥AB ，又∠BAD ＝90°，故MN ⊥AD .因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD ∩平面CAD ＝AD ，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面CAD ，又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ⊥平面CAD .11．(2016·某某五校联考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PD ，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(1)求证：AD ⊥平面PBE ；(2)若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ；(3)若V P ­BCDE ＝2V Q ­ABCD ，试求CP CQ的值．解析：(1)证明：由E 是AD 的中点，PA ＝PD 可得AD ⊥PE .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，所以AB ＝BD ，又因为E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE ，又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PBE .(2)证明：连接AC (图略)，交BD 于点O ，连接OQ .因为O 是AC 的中点， Q 是PC 的中点，所以OQ ∥PA ，又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，(3)设四棱锥P ­BCDE ，Q ­ABCD 的高分别为h 1，h 2.所以V P ­BCDE ＝13S 四边形BCDE h 1， V Q ­ABCD ＝13S 四边形ABCD h 2.又因为V P ­BCDE ＝2V Q ­ABCD ，且S 四边形BCDE ＝34S 四边形ABCD ，所以CP CQ ＝h 1h 2＝83. 12．(2016·某某模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN .∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点，∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ， ∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形，∴MN ∥OH ，又∵MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，(3)由(2)知，OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，体积比等于底面积之比，即3∶1.。

练案二小说形象的三种常考题型一、阅读下面的文字，完成1~3题.（15分）转场的哈萨克刘斌立十月,乌尔达拉克决定辞职了。

父亲三天前的电话,告诉他要转场到冬季牧场去。

要带领着上百只羊、马和骆驼完成迁徙,是一项非常浩大的“工程”.父亲已经年迈,需要人去帮他.乌尔达拉克是长子，下面只有一个还在读高中的妹妹，他必须回去。

哈萨克族是一个马背上的民族,也是永远在路上的民族。

他们为了牲畜的生长,每年都要在春夏秋冬辗转于四个牧场。

乌尔达拉克当然知道这些,由于这些年牧场的退化,他们其实已经越来越少地转场了，但是现在情况不一样了.乌尔达拉克今年7月刚刚大学毕业,好不容易才找到了目前这家销售医疗器材的公司，做销售助理的工作.这已经让很多不得已又回到家乡的同学艳羡了。

以前大学时,每到转场,乌尔达拉克都和很多同学一样请假回家,帮家里打理异常辛苦的转场工作。

可他才刚刚找到工作……在和父亲的电话中，乌尔达拉克和他发生了争吵.乌尔达拉克觉得现在转场可以租用汽车,不用像以前那样骑马,赶着羊群和骆驼,每天只能走很小的一段路。

他说,他知道很多同学的家里已经那样用汽车运输着物资和牲畜转场了。

可是当父亲听到这些时异常生气。

老人觉得,一个哈萨克人必须尊重民族的传统,乌尔达拉克作为长子,也必须学会和继承这些事.不管怎样，乌尔达拉克必须得回去协助转场。

回到家已经是三天以后的夜晚,乌尔达拉克只跟母亲和妹妹打了招呼，并没有跟父亲说话.为了回来转场，他把工作辞了。

父亲那晚喝了酒，开始指挥第二天的工作，他要求乌尔达拉克独自拆卸毡房，查看是否有病牲畜。

乌尔达拉克只回答：“以前都是跟着你做的,我自己干，不会。

”父亲大怒：“你就是个废物,一个哈萨克男人,不会做这些就是个废物.”乌尔达拉克也不示弱：“我又不靠做这些来生活.”话还没完，父亲顺手操起马鞭就扫过来。

乌尔达拉克强忍着眼泪,拿起强光手电，走出了毡房,开始查看羊圈。

第二天清晨,父亲宰了生病的羊,大锅煮了肉。

1．(2011年昆明高三模拟)下列叙述中，正确的是()A．甲烷、乙烯和苯都可通过石油分馏得到B．只用淀粉溶液即可检验加碘食盐中是否含碘酸盐C．用灼烧并闻气味的方法可以区分纯棉织物和纯毛织物D．用浓氢氧化钠溶液可除去乙酸乙酯中混有的乙酸、乙醇杂质解析：选C。

A选项，石油分馏得到的石油气中含有少量甲烷，乙烯是石油裂解的产物，苯是从煤的干馏产物——煤焦油中分离得到的，故A错误。

淀粉溶液只有和碘单质作用才会显蓝色，无法检测食盐中所加的碘酸盐，B错误。

纯毛织物的成分为蛋白质，灼烧时会产生烧焦羽毛的气味，纯棉织物的成分是纤维素，灼烧时没有特殊气味，用灼烧并闻气味的方法可以区分，C正确。

浓氢氧化钠溶液虽然可以中和乙酸，溶解乙醇，但乙酸乙酯在NaOH 溶液中也可以发生水解而得不到乙酸乙酯，D错误。

2．下列物质不．可能是乙烯加成产物的是()A．CH3CH3B．CH3CHCl2C．CH3CH2OH D．CH3CH2Br解析：选B。

A为乙烯与氢气的加成产物；C为乙烯与水的加成产物；D为乙烯与溴化氢的加成产物。

3．下列化学方程式书写错误的是()4．下列反应属于加成反应的是()解析：选C。

根据反应特点，可知A中发生的是置换反应，B、D中的反应是取代反应，C中发生的是加成反应。

5．为提纯下列物质(括号内的物质为杂质)，所选用的除杂试剂和分离方法都正确的是于水，利用分液的方法不能将乙醇与乙酸的盐溶液分离；C项酸性高锰酸钾溶液可将乙烯氧化为二氧化碳，引入了新的杂质；D项溴可将KI溶液氧化为碘单质，而碘易溶于溴苯，达不到除杂的目的。

6．(2011年高考广东卷)下列说法正确的是()A．纤维素和淀粉遇碘水均显蓝色B．蛋白质、乙酸和葡萄糖均属电解质C．溴乙烷与NaOH乙醇溶液共热生成乙烯D．乙酸乙酯和食用植物油均可水解生成乙醇解析：选C。

A项中淀粉遇碘水变蓝而纤维素不能变蓝；B项中蛋白质和葡萄糖为非电解质；D项中食用植物油水解生成的是丙三醇而不是乙醇。

1．(2012·山西四校联考)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值． 解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )，∴AC →＝(－a ，a,0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )， ∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0,1]都成立， 即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE .(2)显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(－a,0，λa )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －ax ＋ay ＝0－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x －λz ＝0，令z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)，∵二面角C －AE －D 的大小为60°，∴cos 〈n ，m 〉＝n·m |n ||m |＝λ1＋2λ2＝12，∵λ∈(0,1]，∴λ＝22.2．(2012·长春调研)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4. (1)求证：BD ⊥PC ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角的大小；(3)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．解：如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA 、DF 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)证明：设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD →＝(－1，－3，0)，PC →＝(－3，3，－a )， ∵BD →·PC →＝3－3＝0， ∴BD ⊥PC .(2)由(1)及PD ⊥平面ABCD 易知BD ⊥平面PDC ，则DB →就是平面PDC 的一个法向量． AB →＝(0，3，0)，DB →＝(1，3，0)． 设AB 与平面PDC 所成的角的大小为θ，则sin θ＝|DB →·AB →||DB →|·|AB →|＝323＝32.∵0°<θ<90°，∴θ＝60°，即直线AB 与平面PDC 所成的角的大小为60°.(3)由题意知，AB →＝(0，3，0)，DP →＝(0,0，a )，P A →＝(1,0，－a )，PC →＝(－3，3，－a )， ∵PE →＝λPC →，∴PE →＝(－3λ，3λ，－aλ)， DE →＝DP →＋PE →＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ) ＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0P A →·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)．∵DE ∥平面P AB ，∴DE →·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14.3.(2012·郑州质量预测)如图，在四棱锥S －ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD . (1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ；(2)若SE ＝1，求直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ，SE ⊥AD ，∴SE ⊥平面ABCD ，∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3， ∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°.∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE .又SE ∩CE ＝E ，∴BE ⊥平面SEC ， ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)由(1)知，直线ES ，EB ，EC 两两垂直．如图，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系． 则E (0,0,0)，C (0,23，0)，S (0,0,1)，B (2,0,0)， ∴CE →＝(0，－23，0)，CB →＝(2，－23，0)，CS →＝(0，－23，1)． 设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0n ·CS →＝0，即⎩⎨⎧2x －23y ＝0－23y ＋z ＝0，令y ＝1，得x ＝3，z ＝2 3.∴平面SBC 的一个法向量为n ＝(3，1,23)． 设直线CE 与平面SBC 所成角的大小为θ，则sin θ＝|n ·CE →|n |·|CE →||＝14，∴直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值为14.4．(2012·高考江西卷)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； (2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．解：(1)证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E .因为AA 1∥BB 1，得OE ⊥BB 1. 因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC . 因为AB ＝AC ，OB ＝OC ，得AO ⊥BC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ， 所以OE ⊥平面BB 1C 1C .又AO ＝ AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5，得AE ＝AO 2AA 1＝55.(2)如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0，－2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(－1,2,2)，由AE →＝15AA 1→得点E 的坐标是(45，0，25)，由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是OE →＝(45，0，25)，设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0，n ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令y ＝1，得x ＝2，z ＝－1，即n ＝(2,1，－1)，所以cos 〈OE →，n 〉＝OE →·n |OE →|·|n |＝3010，即平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是3010.5.(2012·山西适应性考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，M ，N 分别是线段PB ，AC 上的动点，且不与端点重合，PM ＝AN . (1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)当MN 的长最小时，求二面角A －MN －B 的余弦值．解：(1)证明：过M 作BA 的平行线交P A 于点E ，过N 作BA 的平行线交AD 于F 点，连接EF ，设PM ＝AN ＝a ，因为ME ∥NF ，ME ＝NF ＝22a ， 所以四边形MEFN 为平行四边形， 所以MN ∥EF .又因为EF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， 所以MN ∥平面P AD .(2)由(1)知MN ＝EF ，在Rt △EAF 中，设AF ＝x ，则可求得EA ＝1－x .所以MN 2＝EF 2＝AF 2＋EA 2＝x 2＋(1－x )2≥12，当且仅当x ＝12时取等号，此时MN 的长最小，且M ，N 分别为PB ，AC 的中点．如图，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，M (12，0，12)，N (12，12，0)，B (1,0,0)，所以AM →＝(12，0，12)，AN →＝(12，12，0)，BM →＝(－12，0，12)，BN →＝(－12，12，0)． 设平面AMN 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0m ·AN →＝0，即⎩⎨⎧12x ＋12z ＝012x ＋12y ＝0，令x ＝1，可取m ＝(1，－1，－1)．设平面BMN 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BM →＝0n ·BN →＝0，即⎩⎨⎧－12x 1＋12z 1＝0－12x 1＋12y 1＝0，令x 1＝1，则可取n ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝－13，故二面角A －MN －B 的余弦值为－13.6．(2012·西城区期末考试)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点． (1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；(2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OD .由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点． 又D 为BC 的中点，所以OD 为△A 1BC 的中位线， 所以A 1B ∥OD ，因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1， 所以A 1B ∥平面ADC 1.(2)由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°，得BA 、BC 、BB 1两两垂直．以BC 、BA 、BB 1所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz . 设BA ＝2，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，C 1(2,0,1)，D (1,0,0)，所以AD →＝(1，－2,0)，AC 1→＝(2，－2,1)．设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AC 1→＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x －2y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1，－2)．易知平面ADC 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以cos 〈n ，v 〉＝n ·v |n |·|v |＝－23.因为二面角C 1－AD －C 是锐二面角，所以二面角C 1－AD －C 的余弦值为23.(3)假设存在满足条件的点E .因为点E 在线段A 1B 1上，A 1(0,2,1)，B 1(0,0,1)， 故可设E (0，λ，1)，其中0≤λ≤2.所以AE →＝(0，λ－2,1)，DC 1→＝(1,0,1)． 因为AE 与DC 1成60°角，所以|cos 〈AE →，DC 1→〉|＝|AE →·DC 1→|AE →|·|DC 1→||＝12.即|1(λ－2)2＋1·2|＝12，解得λ＝1或λ＝3(舍去)． 所以当点E 为线段A 1B 1的中点时，AE 与DC 1成60°角．。

第一部分 专题四 第二讲A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析]由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 2＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n)[解析]因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1anan ＋1＝12×(14)n －1，所以{1anan ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝12×错误!＝错误!(1－错误!)，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C)A ．30B ．45C ．90D ．186[解析]设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝6，a1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6，所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析]∵S n ＝na 1＋错误!d ，∴S n ＝错误!n 2＋(a 1－错误!)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x|； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ [分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析]解法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a2n ＋1a2n ＝(an ＋1an )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ．③f (a n )＝|an|，∵|an ＋1||an|＝|an ＋1an|＝|q|，∴{f (a n )}是等比数列，排除A ．解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以错误!＝错误!＝4≠错误!＝错误!＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x|，所以f (a n )＝2n ＝(2)n .显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1.2_017的值为2018a 则ln ，n b ·n a ＝＋1n a 且，[解析]因为数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2017＝b 20171009＝e 2017，ln a 2018＝lne 2017＝2017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10的值为1 023128.[解析]数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14.那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10＝4(1＋12＋122＋…＋129)＝4×1－12101－12＝1023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析](1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项，所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a2·a3＝32，a2＋a3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，a3＝8.所以q ＝a3a2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝错误!－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析](1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n －1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝错误!. (2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得错误!＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明[解析](1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n1－2＝2n －1，故T n ＝k ＝1n(2k －1)＝k ＝1n 2k－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.②因为错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!－错误!，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{错误!}的前n 项和T n ＝( C ) A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析]本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a3－a12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a3－a12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以错误!＝－错误!＝－(错误!－错误!)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析]依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析]画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [解析]∵S 20＝a1＋a202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a7＋a142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B )A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析]由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，∴Sn ＋1Sn ＝32，∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S2S1＝32，∴S n ＝(32)n －1.5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析]a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n n ＋1(n∈.16的值为n 4成立的最小自然数－<n S 则使，n S 项和为n 设其前)，*N[解析]因为a n ＝log 2nn ＋1，所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1，若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，.－3n －2n 3·2个数的和是n 群中n 则第，个数n 群恰好n 第，…，群n 第，…[解析]由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20①2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21②②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1)＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1)＝2n ＋错误!－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1an ＋2，a 1＝－12.(1)求证{1an ＋1}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析](1)证明：∵a n ＋1＝－1an ＋2，∴a n ＋1＋1＝－1an ＋2＋1＝an ＋2－1an ＋2＝an ＋1an ＋2，由于a n ＋1≠0，∴1an ＋1＋1＝an ＋2an ＋1＝1＋1an ＋1， ∴{1an ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)题结论知：1an ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1－1＝－nn ＋1(n ∈N *)．(3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1，设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1 2.∴P的最大值为。

专题四不等式的解法第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明一、选择题1．若f(x)＝3x 2－x ＋1，g(x)＝2x 2＋x －1，则有( )A ．f(x)＞g(x)B ．f(x)＝g(x)C ．f(x)＜g(x)D ．不能确定f(x)与g(x)的大小关系解析：∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0.∴f(x)＞g(x)．答案：A2．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14解析：因为3a ×3b ＝3，所以a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(a ＋b)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.答案：B3．(2014·四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d解析：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，－1d ＞－1c ＞0.又a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c＞0，∴a d ＜b c.故选B 答案：B4．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1，2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，对|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立，所以a 2－3a ≥4，解得a ≥4或a ≤－1.答案：A5．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤3，2y ≥x ，3x ＋2y ≥6，3y ≤x ＋9，则z ＝2x －y 的最大值是( ) A.152 B.92 C.94D ．2解析：不等式组表示的平面区域如图所示．角点坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，C(3，4)，D(0，3)，z A ＝94，z B ＝92，z C ＝2，z D ＝－3.答案：B6. (2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：设长方体底面边长分别为x ，y ，则y ＝4x，所以容器总造价为z ＝2(x ＋y)×10＋20xy ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80，由基本不等式得，z ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80≥160，当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低．故选C.答案：C二、填空题7．(2014·上海卷)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解析：x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·（xy ）2＝2 2.当且仅当x 2＝2y 2时等号成立．答案：2 28．若A 为不等式组⎝ ⎛x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．解析：作出平面区域(如图)，动直线x ＋y ＝a ，当a 从－2变化到1时扫过的区域为四边形AOBC ，∵BD ＝1，且△BCD 为等腰直角三角形，∴S △BCD ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.∴S四边形AOBC＝12×2×2－14＝74.答案：74三、解答题9．若对一切x＞2均有不等式x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m 的取值范围．解析：由x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，得x2－4x＋7≥m(x－1)，∴对一切x＞2均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立．∴m应小于或等于f(x)＝x2－4x＋7x－1(x＞2)的最小值．又f(x)＝x2－4x＋7x－1＝(x－1)＋4x－1－2≥2（x－1）·4x－1－2＝2，当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．∴f (x)min＝f(3)＝2.故m的取值范围为(－∞，2]．10.某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的，是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ上建一座花坛，造价是每平方米4 200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元．(1)设总造价是S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，S最小？并求出最小值．解析：(1)设AM＝y，则x2＋4xy＝200.∴y＝50x－x4.∴S＝4 200x2＋210×4×xy＋80×4×12y2＝4 000x2＋4×105×1x2＋38 000(x＞0)．(2)S ＝4 000x 2＋4×105×1x 2＋38 000≥ 2 4 000x 2×400 000x 2＋38 000＝118 000， 当且仅当x ＝10时等号成立，即x ＝10米时，S 有最小值118 000元．。

1．(2010年高考上海综合能力测试卷)生活中使用的塑料食品盒、水杯等通常由聚苯乙烯制成，其结构简式为。

根据所学知识，可以判断( )A ．聚苯乙烯能使溴水褪色B ．聚苯乙烯是一种天然高分子化合物C ．聚苯乙烯可由苯乙烯通过化合反应制得D ．聚苯乙烯单体的分子式为C 8H 8解析：选D 。

聚苯乙烯是由单体苯乙烯通过加聚反应生成的高分子化合物，B 、C 两项错，D 项正确；聚苯乙烯分子内不含双键，不能使溴水褪色，A 项错。

2．(2010年高考福建卷)下列关于有机物的正确说法是( )A ．聚乙烯可发生加成反应B ．石油干馏可得到汽油、煤油等C ．淀粉、蛋白质完全水解的产物互为同分异构体D ．乙酸乙酯、油脂与NaOH 溶液反应均有醇生成解析：选D 。

因乙烯分子内含有碳碳双键，可发生加成反应，而聚乙烯不含碳碳双键，不能发生加成反应，故A 项错误；石油分馏可得到汽油、煤油等，故B 项错误；淀粉完全水解得到葡萄糖(C 6H 12O 6)，而蛋白质完全水解可得到氨基酸，两者产物分子组成不相同，两者不可能互为同分异构体，C 项错误；乙酸乙酯与NaOH 溶液发生反应生成乙醇，油脂与NaOH 溶液反应生成丙三醇，乙醇和丙三醇都属于醇类，D 项正确。

3．(2011年海口高三调研测试)下列关于常见有机物的说法正确的是( )A ．乙烯和苯都能与溴水反应B ．苯只能发生取代反应，不能发生加成反应C ．糖类、油脂、蛋白质都能发生水解反应D ．乙酸和油脂都能与氢氧化钠溶液反应解析：选D 。

乙烯能与溴水中的溴单质发生加成反应，苯能与纯溴在FeBr 3催化下发生取代反应，不能与溴水反应，A 项错误；苯在一定条件下能与氢气发生加成反应生成环己烷，B 项错误；葡萄糖和果糖属于单糖，不能发生水解反应，C 项错误；乙酸与氢氧化钠溶液发生中和反应，油脂与氢氧化钠溶液发生皂化反应，D 项正确。

4．(2011年高考新课标全国卷)下列反应中，属于取代反应的是( )①CH 3CH===CH 2＋Br 2――→CCl 4CH 3CHBrCH 2Br ②CH 3CH 2OH ――→浓H 2SO 4△CH 2===CH 2＋H 2O ③CH 3COOH ＋CH 3CH 2OH ――→浓H 2SO 4△CH 3COOCH 2CH 3＋H 2O④C 6H 6＋HNO 3――→浓H 2SO 4△C 6H 5NO 2＋H 2O A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④解析：选B 。