一元二次不等式与线性规划

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。

解不等式是指找出满足不等式条件的未知数的取值范围。

在解不等式的过程中，可以运用一些特定的方法和技巧，以求得精确的解。

一、一元一次在解一元一次不等式时，可以运用以下几种常见的方法和技巧：1.1 加减法法则：对于不等式中的两边都加上或者减去同一个数，不等式的符号不改变。

1.2 乘除法法则：对于不等式中的两边都乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不改变；若乘以或者除以同一个负数，不等式的符号则反向。

1.3 移项法：将不等式中的项移动到同一边，形成一个相等的等式，然后根据等式求解的方法得到解的范围。

1.4 区间判定法：通过观察不等式中的系数和常数项的正负关系，判断不等式的解的范围。

二、一元二次在解一元二次不等式时，除了可以运用一元一次不等式的解法外，还可以运用以下方法和技巧：2.1 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，然后根据因式的正负情况判断不等式的解的范围。

2.2 二次函数图像法：将一元二次不等式所对应的二次函数的图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

2.3 完全平方差和平方根法：将一元二次不等式形式化为完全平方差或平方根的形式，然后根据完全平方差和平方根的性质来求解不等式。

三、绝对值绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，其解的范围一般分成两个部分。

解绝对值不等式时，可以采用以下方法和技巧：3.1 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分成正数和负数的情况讨论，并解出相应的不等式。

3.2 辅助变量法：引入一个辅助变量，使得绝对值不等式可以转化为一元一次或一元二次不等式，然后使用已知的解法来求解。

3.3 图像法：将绝对值不等式所对应的函数图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

四、多元多元不等式是指含有多个未知数的不等式，解多元不等式时可以运用以下方法和技巧：4.1 图像法：将多元不等式所对应的多元函数的图像进行分析，根据图像的几何特征来求解不等式。

高一必修一数学知识点梳理高中数学是我国中学阶段的一门主要学科，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力起着重要作用。

高一必修一数学是高中数学的起点，它主要包括了数列与函数、不等式与线性规划、平面向量和解析几何等内容。

本文将对高一必修一数学的各个知识点进行详细介绍。

一、数列与函数数列是由一定顺序排列的数所组成的序列，是数学中的基本概念之一。

高一必修一数学中主要涉及到等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

其通项公式为：an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1+an)×n/2 或 Sn = n[2a1+(n-1)d]/2。

等差数列的性质有：等差中项、首项与末项的关系、公差的计算和改变顺序不变公差等。

2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

其通项公式为：an=a1×q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。

等比数列的前n项和公式为：Sn = a1(1-q^n)/(1-q)。

等比数列的性质有：任意项与末项的关系、公比的计算、倒数数列等。

函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。

高一必修一数学主要涉及到一次函数、二次函数和反比例函数。

1. 一次函数一次函数是指函数表达式为y = kx+b的函数，其中k和b为常数，k称为斜率，b称为截距。

一次函数的性质有：图象的斜率、过点的一般式方程、函数的单调性和最值等。

2. 二次函数二次函数是指函数表达式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二次函数的图象为抛物线，其开口方向由系数a的正负决定。

二次函数的性质有：判别式与根的关系、顶点坐标、对称轴、零点、单调性和最值等。

3. 反比例函数反比例函数是指函数表达式为y=a/x的函数，其中a为常数。

反比例函数的图象为一条过原点的开口朝右上或右下的双曲线。

线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。

通常代特殊点（0，0）。

（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。

第二章一元二次函数、方程和不等式考点与题型解析一、本章知识体系二、考点与题型解读考点一本章考点方法梳理1.不等式的核心性质(1)a>b⇔b<a；(2)a>b，b>c⇒a>c；(3)a>b⇔a＋c>b＋c；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；(5)a>b，c<0⇒ac<bc；(6)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(7)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn.2.不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易出错，要在记忆基础上加强训练，提高应用的灵活性．3．一元二次不等式的解法是根据一元二次方程的根与二次函数图像求解的，在求解含参数的一元二次不等式时，要注意相应方程根的情况的讨论．4．二元一次不等式的平面区域的确定，首先是画出直线(有虚实之分)，然后用特殊点，一般选择原点去验证，以帮助选择直线的哪一侧．5．简单线性规划问题的解法称为图解法，针对应用题时，一定要正确地找到目标函数和线性约束条件，另外还应注意最优解问题以及移动直线时在y 轴上截距的正负与所求线性目标函数的最值之间的关系．当目标函数的几何意义为截距的正数倍时，截距最大时目标函数取最大值；而几何意义为截距的负数倍时，截距最大时目标函数取最小值．6．应用基本不等式求函数最值时，有三个条件：一是a 、b 为正；二是a ＋b 与a ·b 有一个为定值；三是等号要取到．这三个条件缺一不可，为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对函数式(代数式)进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型．考点二 基本不等式及应用基本不等式：ab ≤a ＋b2(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.【例1】设a >0，b >0，2a ＋b ＝1，则1a ＋2b 的最小值为________.解析 ∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，b a ＝4a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12时等号成立.∴1a ＋2b 的最小值为8.答案 8【变式训练1】已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值是______．【答案】433考点三 一元二次不等式的解法对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x 轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根．【例2】若不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0，的整数解只有－2，求k 的取值范围．解：由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2. 对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解 x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52.(2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.(3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52<x <－k .∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k 或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定．∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的范围是－3≤k ＜2.【变式训练2】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数ay x=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点四 不等式的恒成立问题不等式中的恒成立问题，既是学习中的难点，又是高考中的热点，在求解不等式中的恒成立问题时，要注意转化，利用数形结合的方法，构造不等式或不等式组进行探讨．常见的解决恒成立问题的方法有：(1)判别式法；(2)数形结合法；(3)分离参数法；(4)分类讨论法．【例3】不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解：当m 2－2m －3＝0时，m ＝－1或3. 而m ＝3时，－1<0符合题意，所以m ＝3； 当m 2－2m －3≠0时，应有⎩⎨⎧m 2－2m －3<0－m ＋32＋4m 2－2m －3<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3⇒－15<m <3.综上可得，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－15<m ≤3. 【变式训练3】已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围． 【答案】16<m考点五 线性规划问题1.高考中线性规划主要考查平面区域的表示和图解法的具体应用，命题形式以选择题、填空题为主，命题模式是以线性规划为载体，考查区域的划分、区域的面积，涉及区域的最值问题、决策问题、整点问题、参数的取值范围问题等．2．简单线性规划问题的图解法就是利用数形结合的思想，根据线性目标函数的几何意义，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，一般步骤如下： ①作图：画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域； ②找初始直线：列目标函数，找初始直线l 0；③平移：将直线l 0平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；④求值：解有关的方程组，求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值．【例4】设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2， 因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 选C【变式训练4】若变量x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，12z x y =+的最大值为m ，212y z x -=+的最小值为n ，则m n +=（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．1-【答案】C考点六 均值不等式的应用均值不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)求“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求“定和求积、积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，及对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用均值不等式解决实际问题． 【例5】已知0<x <2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值．解：∵0<x <2，∴0<3x <6，∴8－3x >0，∴y ＝x (8－3x )＝13·3x ·(8－3x )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝x (8－3x )取得最大值，最大值为163.【变式训练5】已知函数()218f x ax bx =++，()0f x >的解集为()3,2-．（1）求()f x 的解析式；（2）当1x >-时，求()211f x y x -=+的最大值．【答案】（1）()23318f x x x =--+；（2）max 3y =-.。

一元二次不等式的求解方法一元二次不等式是高中数学中的重要知识点之一，掌握其求解方法对于解决数学题目和实际问题非常重要。

本文将介绍一元二次不等式的基本概念及其求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识。

一、一元二次不等式的基本概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。

其解集表示x的取值范围，以使得不等式成立。

解一元二次不等式的关键在于确定x的取值范围。

二、一元二次不等式的求解方法1. 图示法通过绘制一元二次函数的图像，可以直观地得到不等式的解集。

首先，将不等式化为等式ax^2 + bx + c = 0，求解得到方程的根，记为x1和x2。

然后，根据抛物线的凹凸性质和与x轴的交点情况，得到不等式的解集。

- 当a > 0时，抛物线开口向上，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。

- 当a < 0时，抛物线开口向下，解集为x ∈ (x1, x2)。

2. 辅助函数法通过引入一个辅助函数来求解一元二次不等式。

根据不等式的性质，我们可以构造一个与原不等式等价的辅助方程。

具体步骤如下：- 对于ax^2 + bx + c > 0，构造辅助函数f(x) = ax^2 + bx + c，将不等式转化为f(x) > 0的形式。

- 求解辅助方程f(x) = 0，得到方程的根，记为x1和x2。

- 根据辅助方程的根和函数的凹凸性质，确定不等式的解集。

3. 判别式法判别式法是一种常用的简化计算的方法，适用于某些特定的一元二次不等式。

通过求解方程ax^2 + bx + c = 0，得到判别式D = b^2 - 4ac。

- 当D > 0时，不等式有两个不相等的实根x1和x2，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。

- 当D = 0时，不等式有两个相等的实根x1 = x2，解集为x ∈ (-∞,x1) ∪ (x1, +∞)。

不等式及线性规划本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)掌握不等关系与不等式解法、基本不等式的应用．(2)熟练掌握求解线性规划问题的方法，给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行域．(3)关注目标函数的几何意义和参数问题，掌握求目标函数最值的方法．预测2019年命题热点为：(1)不等式的性质、不等关系及不等式解法；利用基本不等式求函数最值．(2)求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题．Z知识整合hi shi zheng he1．不等式的四个性质注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如(1)a>b，c>0⇒ac>bc，a>b，c<0⇒ac<bc.(2)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(3)a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥1)．(4)a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．2．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法 f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0). f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； 当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x ). (4)简单对数不等式的解法当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0； 当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔g (x )>f (x )>0. 3．基本不等式(1)基本不等式的常用变形①a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．②a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立．③b a ＋ab≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． ④a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．⑤a >0，b >0，则a 2＋b 22≥a ＋b 2≥≥21a ＋1b，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)利用基本不等式求最值已知a ，b ∈R ，则①若a ＋b ＝S (S 为定值)，则ab ≤(a ＋b 2)2＝S 24，当且仅当a ＝b 时，ab取得最大值S 24.②若ab ＝T (T 为定值，且T >0)，则a ＋b 2T ，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 取得最小值2T .4．求目标函数的最优解问题(1)“斜率型”目标函数z ＝y －bx －a (a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解．(2)“两点间距离型”目标函数z ＝(x －a )2＋(y －b )2(a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点之间的距离取最值时的可行解．5．线性规划中的参数问题的注意点(1)当最值已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．(2)当目标函数与最值都已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．6．重要性质及结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略条件应用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，否则会导致结论错误．2．忽视分母不等于零求解分式不等式时应注意正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≥0直接转化为f (x )·g (x )≥0，而忽略g (x )≠0.3．忽略等号成立的条件在连续使用基本不等式求最值时，应特别注意检查等号是否同时成立．1．(2018·天津卷，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y的最大值为( C )A ．6B ．19C ．21D ．45[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max＝3×2＋5×3＝21.故选C ．2．(2017·全国卷Ⅰ，7)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( D )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取最大值． 由图知A (3,0)， 故z max ＝3＋0＝3. 故选D ．3．(2017·全国卷Ⅱ，5)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( A )A ．－15B ．－9C ．1D ．9[解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A ．4．(2018·全国卷Ⅰ，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z＝3x ＋2y 的最大值为6.[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．(2018·全国卷Ⅱ，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为9.[解析] 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴ z max ＝5＋4＝9.6．(2018·天津卷，13)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为14.[解析] ∵ a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0时等号成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时取到等号．7．(2018·江苏卷，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9.[解析] 方法一：如图(1)， ∵ S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ， ∴12ac ·sin120°＝12c ×1×sin60°＋12a ×1×sin60°，∴ ac ＝a ＋c . ∴ 1a ＋1c＝1. ∴ 4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4ac ＋5 ≥2c a ·4ac＋5＝9. 当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时取等号．方法二：如图(2)，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，则D (1,0)， A ⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ，C ⎝⎛⎭⎫a 2，32a .又A ，D ，C 三点共线， ∴ c 2－1－32c ＝a 2－132a ，∴ ac ＝a ＋c . 以下同方法一．命题方向1 不等式的性质及解不等式例1 (1)(2018·保定一模)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b ，所以c a <cb 成立，所以②恒成立；a ＋mb ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m >0且a <b 知a ＋m b ＋m －a b>0恒成立，故③恒成立． (2)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f (x )≤9的解集为{x |x ≤12或x ≥3}，则f (e x )>0的解集为( D )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln2<x <ln3}C ．{x |x <ln3}D ．{x |－ln2<x <ln3}[解析] 由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f (x )>0的解集为{x |12<x <3}，又因为f (e x )>0，所以12<e x <3，解得－ln2<x <ln3.『规律总结』解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (3)有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解．G 跟踪训练en zong xun lian1．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．2．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( D ) A ．1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3[解析] 根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知选项D 中的不等式恒成立．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f (a )<0，f 2(a )＋f (a )≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f (a )≥0，－f 2(a )≤2 解得f (a )≥－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2解得a ≤ 2.命题方向2 基本不等式及其应用例2 (2018·徐州质检)设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使a ＋b ≥c 恒成立的c 的范围是( D )A ．(0,8]B ．(0,10]C ．(0,12]D ．(0,16][分析] c ≤a ＋b 恒成立，设a ＋b 的最小值为m ，则c ≤m .∵a 、b 为正实数，且1a ＋9b ＝1，故可用“1的代换”求a ＋b 的最小值．[解析] ∵a 、b 为正实数，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b )＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时等号成立，∴(a ＋b )min ＝16，要使c ≤a ＋b 恒成立，∵c 为正实数，∴0<c ≤16.『规律总结』1．用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．G 跟踪训练en zong xun lian1．若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值为3.[解析] 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n >0，且m 3＋n4＝1.所以m 3·n 4≤(m 3＋n42)2(当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取等号)．所以m 3·n 4≤14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.2．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( B )A ．1B ．32C ．2D ．52[解析] 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B ．命题方向3 线性规划问题例3 (1)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( B )A ．－4B ．6C ．10D ．17[解析] 如图，已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC (包含边界)，其中A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3,0)时，z 取得最小值2×3＋5×0＝6.(2)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( B )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)[解析] 本题主要考查线性规划．作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B ．『规律总结』1．线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．2．解决线性规划问题首先要画出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题可通过验证解决．3．确定二元一次不等式组表示的平面区域：①画线，②定侧，③确定公共部分；解线性规划问题的步骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最值等)．G 跟踪训练en zong xun lian1．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( B )A ．10B ．8C ．3D ．2[解析] 作出可行域如图，作直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，当经过可行域内的点A 时，－z 取最小值，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋1＝0，x ＋y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2.∴A (5,2)，∴z max ＝2×5－2＝8，故选B ．2．设z ＝2x ＋y ，其中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥m .若z 的最小值为3，则m 的值为( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25，表示的平面区域，由于z ＝2x ＋y 的最小值为3，作直线l 0：x ＝m 平移l 0可知m ＝1符合题意．A 组1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( D ) A ．a c >bdB ．a c <b dC ．a d >b cD ．a d <b c[解析] 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，bd ＝－1， 所以A ，B 错误； a d ＝－32，b c ＝－23， 所以a d <b c，所以C 错误．故选D ．2．下列不等式一定成立的是( C )A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R )[解析] 应用基本不等式：x ，y >0，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1， x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152[解析] 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.4．(2017·长春一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >13}，则f (e x )>0的解集为( D )A ．{x |x <－1或x >－ln3}B ．{x |－1<x 或x >－ln3}C ．{x |x >－ln3}D ．{x |x <－ln3}[解析] f (x )>0的解集为{x |－1<x <13}，则由f (e x )>0得－1<e x <13，解得x <－ln3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln3}． 5．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( C )A ．4B ．9C ．10D ．12[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，|OP |2取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝22x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C ．6．(文)若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( D )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M (x ，y )与点P (－1,1)连线斜率的取值范围．由图可知w min ＝1－0－1－1＝－12，w max <1，∴w ∈[－12，1)．(理)已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( D )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[1,3]D ．[1,4][解析] 作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图阴影部分所示，易知当点M 为点C (0,2)时，OA →·OM →取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M 为点B (1,1)时，OA →·OM →取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]，故选D ．7．某企业生产甲、乙两种新产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( D )A ．12万元D ．18万元[解析] 设企业每天生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，不等式组表示的可行域是以O (0,0)，A (4,0)，B (2,3)，C (0,4)为顶点的四边形及其内部．根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( C )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2][解析] 因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C ．9．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( B )A ．14B ．12C ．1D ．2[解析] 画出可行域，如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得A (1，－2a )，则直线y ＝z －2x 过点A (1，－2a )时，z ＝2x ＋y 取最小值1，故2×1－2a ＝1，解得a ＝12.10．已知x ∈(0，＋∞)时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则m 的取值范围是( C ) A ．2－22<m <2＋2 2 B ．m <2 C ．m <2＋2 2D ．m ≥2＋22[解析] 令t ＝3x (t >1)，则由已知得函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋1的图象在t ∈(1，＋∞)上恒在x 轴的上方，则对于方程f (t )＝0，有Δ＝(－m )2－4(m ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，f (1)＝1－m ＋m ＋1≥0，解得m <2＋2 2.11．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( A )A ．5B ．10C ．15D ．20[解析] 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则OP 2＋OQ 2＝OM 2＝3，∴AC 2＋BD 2＝4(4－OP 2)＋4(4－OQ 2)＝20.又AC 2＋BD 2≥2AC ·BD ，则AC ·BD ≤10，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ≤12×10＝5，当且仅当AC ＝BD ＝10时等号成立．12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈[0，1)，4－2x ，x ∈[1，2]，若f (x 0)≤32，则x 0的取值范围是( C )A ．(log 232，54)B ．(0，log 232]∪[54，＋∞)C ．[0，log 232]∪[54，2]D ．(log 232，1)∪[54，2][解析] ①当0≤x 0<1时，2x 0≤32，x 0≤log 232，∴0≤x 0≤log 232.②当1≤x 0≤2时，4－2x 0≤32，x 0≥54，∴54≤x 0≤2，故选C ． 13．(2018·衡水中学高三调研)已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是(1e，e 2).[解析] ∵|f (1＋ln x )|<1，∴－1<f (1＋ln x )<1， ∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)， 又∵f (x )在R 上为减函数， ∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2，∴1e<x <e 2. 14．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，且z ＝2x ＋3y 的最大值是5，则实数a 的值为1.[解析] 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z ＝2x ＋3y 过点A (a ，a )时，z ＝2x ＋3y 取得最大值5，所以5＝2a ＋3a ，解得a ＝1.15．(2018·赣州六校高三期末联考)若点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为2[解析] ∵点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上， ∴2m ＋n ＝2，∵1m ＋1n ＝(1m ＋1n )2m ＋n 2＝12(2＋2m n ＋n m ＋1)≥12(3＋22m n ·n m )＝32＋2， 当且仅当2m n ＝nm ，即n ＝2m 时取等号，∴1m ＋1n 的最小值为32＋ 2. 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，－14)∪[1，＋∞).[解析] 对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，当x ≤1时，f (x )＝－(x －12)2＋14≤14；当x >1时，f (x )＝log 13x <0.则函数f (x )的最大值为14.则要使不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则m 2－34m ≥14恒成立，即m ≤－14或m ≥1.B 组1．(2018·山东菏泽一模)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( A )A ．9B ．8C ．4D ．2[解析] 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5.因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 2．(2018·天津二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >1(x －1)2＋2，x ≤1，则不等式f (1－x 2)>f (2x )的解集是( D )A ．{x |－1<x <－1＋2}B ．{x |x <－1或x >－1＋2}C ．{x |－1－2<x <1}D ．{x |x <－1－2或x >2－1}[解析] 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >1(x －1)2＋2，x ≥1，可得当x ≤1时，函数f (x )为减函数，则由f (1－x 2)>f (2x )可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2<2x ，2x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2<1，2x >1，解得x <－1－2或2－1<x ≤12或x >12，所以不等式f (1－x 2)>f (2x )的解集是{x |x <－1－2或x >2－1}．3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( B )A ． 3B ． 2C ． －2D ． －3[解析] 由约束条件可画可行域如图，解得A (2,0)，B (1,1)．若过点A (2,0)时取最大值4，则a ＝2，验证符合条件；若过点B (1,1)时取最大值4，则a ＝3，而若a ＝3，则z ＝3x ＋y 最大值为6(此时A (2,0)是最大值点)，不符合题意. (也可直接代入排除)4．(2018·德州模拟)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( C )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c[解析] 易知a ，b ，c 均为正数， b a ＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 89>1，所以b >a ， a c ＝5ln 22ln 5＝ln 32ln 25＝log 2532>1，所以a >c ， 故b >a >c .5．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( A ) A ．32B ．53C ．256D ．不存在[解析] 由a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ， 则a 6q ＝a 6＋2a 6q ，所以q 2－q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，因为a m a n ＝4a 1，所以a 21·qm＋n －2＝16a 21，所以m ＋n －2＝4， 所以m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32，等号在n m ＝4mn，即n ＝2m ＝4时成立．6．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤1，则点P (2x －y ，x ＋y )表示区域的面积为( D )A ．34B ．43C ．12D ．1[解析] 令2x －y ＝a ，x ＋y ＝b ，解得⎩⎨⎧x ＝a ＋b 3，y ＝2b －a3，代入x ，y 的关系式得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≤0，a ≥0，a ＋b －3≤0，画出不等式组表示的平面区域如图．易得阴影区域面积S ＝12×2×1＝1.7．(2018·临沂模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( D )A ．[43，＋∞)B ．(0,1]C ．[1，43)D ．(0,1]∪[43，＋∞)[解析] 不等式组表示区域如图．由图可知，0<a ≤1或a ≥43.8．(2018·青岛一模)已知x ∈(0，π2)，且函数f (x )＝1＋2sin 2x sin2x的最小值为b ，若函数g (x )＝⎩⎨⎧8x 2－6bx ＋4，0<x ≤π4，－1，π4<x <π2，则不等式g (x )≤1的解集为( B )A ．(π4，π2)B ．[34，π2) C ．[34，32] D ．(π4，32][解析] 依题意知，当x ∈(0，π2)时，f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x ＝12(3tan x ＋1tan x )≥3tan x ·1tan x＝3，当且仅当3tan x ＝1tan x ，即tan x ＝33，x ＝π6时取等号，因此b ＝3，不等式g (x )≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤π48x 2－63x ＋4≤1①，或π4<x <π2解①得34≤x ≤π4，因此不等式g (x )≤1的解集是[34，π4]∪(π4，π2)＝[34，π2)． 9．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为{x |x <－lg_2}.[解析] 由题意知，一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，因为f (10x )>0，所以－1<10x <12，即x <lg 12＝－lg 2.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为(－∞，2].[解题提示] 根据分段函数的定义找出f (0)的表达形式，再利用f (0)是f (x )的最小值，求出a 的取值范围．[解析] 当x >0时，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数且f (1)＝2，当x 1、x 2∈[－1,1]，且x 1＋x 2≠0时，有f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0，若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1]、a ∈[－1,1]恒成立，则实数m的取值范围是[－1,1].[解析] ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，∴当x 1、x 2∈[－1,1]且x 1＋x 2≠0时， f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0等价于f (x 1)－f (－x 2)x 1－(－x 2)>0，∴f (x )在[－1,1]上单调递增．∵f (1)＝2，∴f (x )min ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1，1]恒成立， 即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1,1]恒成立， ∴m 2－2am －3≤0，设g (a )＝m 2－2am －3，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3.∴－1≤m ≤1. ∴实数m 的取值范围是[－1,1]．12．(2017·天津卷，16)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解析] (1)由已知x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大． 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3， 则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。

第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2018·浙江名校联考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝y －x 的最大值是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得M (5,10)，N (5，－2)，所以S △OMN ＝12×(10＋2)×5＝30.由z ＝y －x ，得y ＝x ＋z ，作出直线y ＝x ，平移直线y ＝x ，易知当直线z ＝y －x 经过可行域内的点M (5,10)时，目标函数z ＝y －x 取得最大值，且z max ＝10－5＝5.答案：30 51．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c ＞0(a ＞0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b ＞0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b ＜0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等式组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案：6考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．2．(2019·嘉兴高三基础测试)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，3x ＋y ＜3，x ＋y ＞a 表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，34B.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C 如图所示，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝32(该直线经过直线x －y ＝0和直线3x ＋y ＝3的交点)的下方时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此a ＜32，故选C.3．(2018·浙江名校联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤1，则点P (x ＋y ，x －y )形成的区域的面积为________，能覆盖此区域(含边界)的圆的最小半径为________．解析：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，得⎩⎨⎧x ＝a ＋b2，y ＝a －b2，则原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧3b －a ＋2≤0，a ＋3b ≥0，a ＋b ≤2，所以点P 形成的区域如图中阴影部分所示，易知A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫1，－13，C (3，－1)． 设点B 到AC 的距离为d ，则S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×2×⎪⎪⎪⎪1－13－22＝23.所求半径最小的圆即△ABC 的外接圆，AC ，AB 的垂直平分线分别为直线y ＝x －3，y ＝－3x ＋133，求得交点坐标，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫116，－76，所以半径为526. 答案：23 526[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函数的最值(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0， 得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：9角度二：求非线性目标函数的最值2．(2018·温州模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则约束条件内的y 的最大值为________，目标函数y ＋1x ＋2的取值范围为________． 解析：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0， 可知A ⎝⎛⎭⎫12，32，所以y 的最大值为32.易知y ＋1x ＋2的几何意义是可行域内的点与点(－2，－1)所在直线的斜率，(2,0)与(－2，－1)两点连线的斜率为14，所以y ＋1x ＋2的最小值为14，由图可知y ＋1x ＋2的最大值为直线x －y ＋1＝0的斜率1，所以y ＋1x ＋2的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，1.答案：32 ⎣⎡⎦⎤14，1 角度三：线性规划中的参数问题3．(2018·绍兴考前冲刺)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，2y －3≤0.若目标函数z＝x ＋ay 仅在点(3,0)处取得最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[0,2)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a ＝0时，目标函数为z ＝x ，此时目标函数仅在点(3，0)处取得最大值；当a ＜0时，y ＝－x a ＋z a ，若使z 取得最大值，则需za取得最小值，数形结合知目标函数仅在点(3,0)处取得最大值；当a ＞0时，y ＝－x a ＋za ，要使目标函数仅在(3,0)处取得最大值，则需－1a ＜－12，即0＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，2)．[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2018·湖州五校高三模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＞0，x ＋y －3＜0，y ＞0，则z ＝2x －y的取值范围为( )A ．(－6，－1)B ．(－8，－2)C ．(－1,8)D ．(－2,6)解析：选D 法一：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移该直线，可知直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处取得最小值－2，在点C (3,0)处取得最大值6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．法二：三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1，0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．2．(2018·杭州七校联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，ax －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为8，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 将目标函数变形为y ＝－2x ＋z ，当z 取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线x ＋y －5＝0与2x －y －1＝0的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax －2y ＋1＝0恒过定点⎝⎛⎭⎫0，12，所以要使目标函数能取到最大值，需－1＜a 2＜2，即－2＜a ＜4.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋a ，5a ＋12＋a 处取得最大值，代入目标函数得2×92＋a ＋5a ＋12＋a＝8，解得a ＝1. 3．(2019·宁波高三模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则所求平面区域的面积为12×5×[10－(－2)]＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1，1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2×(－1)－1|22＋(－1)2＝35的平方，即z min ＝95.答案：3095考点三 线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43 D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.所以S △ABC ＝12×83×1＝43.2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C. 3．(2019·杭州高三质检)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －9≥0，x －2y －1≤0，设z ＝x ＋2y ，则( )A ．z ≤0B ．0≤z ≤5C ．3≤z ≤5D ．z ≥5解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线过点A (3,1)时，z 取得最小值，z min ＝3＋2×1＝5，即z ≥5.4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 5．(2019·温州四校联考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，2x －y ≤2，则可行域的面积为________，z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝23，所以A ⎝⎛⎭⎫43，23，易得|BC |＝4， 所以可行域的面积S ＝12×4×43＝83.由图可知，当目标函数z ＝2x ＋y 所表示的直线过点A ⎝⎛⎭⎫43，23时，z 取得最大值，且z max＝2×43＋23＝103.答案：83 103二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金华四校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，∴m ＝5.选B. 2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为ax －y ＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△ABC .由题意可求得A (0,1)，B (1,0)，C (1，a ＋1)， ∵S △ABC ＝2，BC ＝|a ＋1|，BC 边上的高为AD ＝1， ∴S △ABC ＝12×|a ＋1|×1＝2，解得a ＝－5或3，∵当a ＝－5时，可行域不是一个封闭区域， 当a ＝3时，满足题意，选D.3．(2017·浙江新高考研究联盟)过点P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是( )A ．(22，5)B ．[22，5]C ．[2,5]D ．[22，5)解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P 关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，|PA |＋|AB |＝|P 1B |，过点P 1作直线x ＋y －2＝0的垂线，则|P 1B |的最小值为|－1－1－2|2＝2 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x ＋y －9＝0得B 0(2,3)， 则|P 1B |的最大值为|P 1B 0|＝(2＋1)2＋(3＋1)2＝5. 故22≤|PA |＋|AB |≤5.4．(2018·浙江名校联考)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a的值为( )A ．－72B ．0C ．1D ．－72或1解析：选C 法一：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1代入2x ＋y ＝72，得a ＝1.法二：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值72，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，2x ＋y ＝72，得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12，把⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12代入ax －y －a ＝0，得a ＝1.5．(2018·余杭地区部分学校测试)若函数y ＝f (x )的图象上的任意一点P 的坐标为(x ，y )，且满足条件|x |≥|y |，则称函数f (x )具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是( )A ．f (x )＝e x －1B ．f (x )＝ln(x ＋1)C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝|x 2－1|解析：选C 作出不等式|x |≥|y |所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f (x )具有性质S ，则函数f (x )的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，易知f (x )＝e x －1的图象分布在区域①和③部分，f (x )＝ln(x ＋1)的图象分布在区域②和④部分，f (x )＝sin x 的图象分布在区域①和②部分，f (x )＝|x 2－1|的图象分布在①、②和③部分，故选C.6．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，32.答案：⎣⎡⎦⎤1，32 7．(2018·金丽衢十二校联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，3x －y －9≥0，y ≤3，则y ＋1x ＋1的取值范围为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋1的几何意义为可行域内一点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率，故由图可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0＋13＋1＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1max ＝3＋14＋1＝45，故y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，45.答案：⎣⎡⎦⎤14，458．(2018·金华十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，mx －y －3≤0⎝⎛⎭⎫m ＞13，当m ＝2时，z＝|x ＋5y －6|的最大值为________；当m ＝________时，x ，y 满足的不等式组所表示的平面区域的面积为30.解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，2x －y －3≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫53，13，C (0,2)， 令a ＝x ＋5y －6，即y ＝－15x ＋65＋15a ，显然当直线过A (3,3)时，a 取得最大值，此时a ＝12， 当直线过B ⎝⎛⎭⎫53，13时，a 取得最小值，此时a ＝－83， 又z ＝|a |，所以z 的最大值为12.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，mx －y －3＝0，得A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫153m －1，6m ＋33m －1，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，mx －y －3＝0，得B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫5m ＋1，2m －3m ＋1，如图，易得D (0，－3)，所以S △A ′B ′C ＝S △A ′CD －S △B ′CD ＝12×5×⎝⎛⎭⎫153m －1－5m ＋1＝30，即9m 2＋6m －8＝0，所以m ＝23或m ＝－43(舍去)．答案：12239．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江名校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6，则x ＋3y 的最大值为________；若x 2＋4y 2≤a 恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6所表示的平面区域如图1中阴影部分所示，由图1可知，当u ＝x ＋3y 过点 A (2，2)时，u ＝x ＋3y 取得最大值u max ＝2＋3×2＝8.令x ＝x ′，2y ＝y ′，则原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧12y ′≤x ′，12y ′≥0，12y ′≤－2x ′＋6，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－y ′≥0，y ′≥0，4x ′＋y ′－12≤0，作出可行域如图2中阴影部分所示，由图2可知，x ′2＋y ′2的最大值为原点到点B (2,4)的距离的平方，易得|OB |2＝22＋42＝20，所以a 的最小值为20.答案：8 202．某工厂投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m 2，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百吨需要资金300万元，需场地100 m 2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1 400万元，场地900 m 2，问：应做怎样的组合投资，可使获利最大？解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数.则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数S ＝3x ＋2y .作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数S ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋S 2，这是斜率为－32，随S 变化而变化的一组平行直线．S2是直线在y 轴上的截距． 由图知，使3x ＋2y 取得最大值的(x ，y )是直线2x ＋y ＝9与2x ＋3y ＝14的交点(3.25,2.50)， 此时S ＝3×3.25＋2×2.50＝14.75.∴生产A产品325吨，生产B产品250吨时，获利最大，且最大利润为1 475万元．。

一元二次不等式、均值不等式及线性规规划训练1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-3、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a 4、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14- B ．14 C ．10- D ．10二、填空题5、设()21f x x bx =++，且()()13f f =，则()0f x >的解集为 。

6、已知集合{}{}2|20,|3A x x x B x a x a =--≤=<<+，若A B φ⋂=，则实数a 的取值范围是7、利用()()00x a x a x b x b -<⇔--<-，可以求得不等式12x x->的解集为 。

8、使不等式2710124x x -+>成立的x 的取值范围是 。

三、解答题9、已知函数()252f x x x =-+，为使()426f x -<<的x 的取值范围。

10、已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B ，求A B ⋂。

11、已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．均值不等式练习一、选择题1.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ） A.18 B.6 C.32 D.4324.设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，则b a 11+的最小值为（ ） A.8 B.4 C.1 D.415.若实数x,y 满足11122=+yx ，则222y x +有（ ） A.最大值223+ B. 最小值223+ C. 最小值6 D.最小值6 9.已知正数b a ,满足304=+b a ，则使得ba 11+取得最小值的有序实数对),(b a 是（ ） A.)10,5( B. )6,6( C. )2,7( D. )5,10(10.若14<<-x ，则2222)(2-+-=x x x x f 有（ ）A.最小值1B. 最大值1C. 最小值-1D.最大值-111.在ABC ∆中，A,B,C 分别为边c b a ,,所对的角，若c b a ,,成等差数列，则B ∠的范围是（ ） A.40π≤<B B. 30π≤<B C. 20π≤<B D.ππ<<B 212.已知0,0≥≥b a ，且2=+b a ，则（ ） A.21≤ab B. 21≥ab C. 222≥+b a D. 322≤+b a13.函数1)(+=x xx f 的最大值为（ ） A.52 B. 21 C. 22 D. 1 线01=++ny mx 上，若0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为 15.设12,0,022=+>>b a b a ，则21b a +的最大值为 1． 若,20<<x 求)36(x x y -=的最大值。

初中数学教案解不等式的方法与应用初中数学教案：解不等式的方法与应用在初中数学中，解不等式是一个重要的内容。

掌握解不等式的方法与应用，能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。

本教案将详细介绍解不等式的几种常用方法以及其在实际问题中的应用。

一、一元一次不等式的解法1. 利用图像法解一元一次不等式。

通过绘制一元一次不等式的图像，可以直观地找到其解集。

2. 利用运算法解一元一次不等式。

通过对不等式进行逐步变形，可以得到不等式的解集。

二、一元一次不等式的应用1. 解决实际问题。

一元一次不等式可以应用到实际问题中，如寻找一元一次不等式的解，解决关于长度、时间等问题。

2. 解决优化问题。

通过设置不等式条件，可以找到使某个目标函数最大或最小的解。

三、一元二次不等式的解法1. 利用图像法解一元二次不等式。

通过绘制一元二次不等式的图像，可以直观地找到其解集。

2. 利用因式分解法解一元二次不等式。

通过将一元二次不等式进行因式分解，可以将其转化为一元一次不等式来求解。

四、一元二次不等式的应用1. 解决实际问题。

一元二次不等式可以应用到实际问题中，如求解最值、求解区间等。

2. 解决优化问题。

通过设置不等式条件，可以找到使某个目标函数最大或最小的解。

五、多元一次不等式的解法与应用1. 利用图像法解多元一次不等式。

通过绘制多元一次不等式的图像，可以直观地找到其解集。

2. 利用线性规划法解多元一次不等式。

通过线性规划方法，可以解决多元一次不等式的最值问题。

六、不等式的思维拓展1. 通过不等式进行推理。

在解决一些复杂问题时，可以通过不等式的性质进行推理，得到更深入的解析结果。

2. 探索不等式与其他数学知识的联系。

不等式与代数、几何、概率等数学知识之间有着密切的联系，在学习不等式时可以与其他数学知识进行结合，提升综合应用能力。

通过以上内容的学习，学生将能够掌握解不等式的常用方法与应用，培养数学思维和解决实际问题的能力。

同时，教师可以根据学生的实际情况，设计多种不同形式的习题和应用题，帮助学生巩固知识，提高应用能力。

不等式知识点总结及题型归纳一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

一元二次不等式的解法在高中数学中的地位与作用一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一。

（知识上）“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，又是本章集合知识的运用与巩固，也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作用。

（数学思想上）同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。

从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。

从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。

一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用.不等式是高中数学研究的一个重要课题，它与中学数学其他章节有着密切的联系，可以说是贯穿高中数学的始终，而一元二次不等式虽是最基础、最简单的不等式，但他却有着重要的地位，纵向看，它是后面的分式不等式、含绝对值不等式等化归、转化的归宿；横向看，它与二次函数、一元二次方程密切相关，因此成为我们学习讨论和考察学生能力的一个热点。

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元二次不等式组的延续和深化，对已学过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与函数、数列、三角函数、线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。

许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。

因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。

1、知识与能力：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系；培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。

2、过程与方法：在经历由二次函数图象解不等式的过程，师生共同分析、交流，探究发现其中的一般规律，从而得到解决一元二次不等式的办法。

不等式的求解方法不等式是数学中常见的一种表示形式，用来描述数值之间的大小关系。

求解不等式是一种重要的数学技巧，常用于解决各种实际问题。

本文将介绍几种常见的不等式求解方法。

一、一元线性一元线性不等式是指只有一个变量的一次方程，在不等式中，常见的符号有“<”、“>”、“≤”、“≥”等。

下面将分别介绍几种一元线性不等式的求解方法。

1. 图解法通过将不等式转化为直线或曲线，利用图形的分布情况来解决不等式。

首先将不等式变换成相等式，然后绘制出相等式表示的图形。

接着根据符号的要求，确定解集的位置。

2. 代入法通过代入不等式中的数值，判断不等式的真假性，从而确定解。

需注意，在代入时需要考虑不等号的方向。

3. 分析法根据不等式中的系数和常数项的正负关系，推导出不等式的解集。

常见的情况有正数与负数之间的大小比较，以及变号性质的利用。

二、一元二次一元二次不等式是指含有一个变量的二次方程的大小关系。

一元二次不等式的解集往往是一个或多个区间。

以下将介绍几种求解一元二次不等式的方法。

1. 图示法绘制一元二次不等式对应的图形，根据图形的位置来确定解集的范围。

可以通过将一元二次不等式转化为标准形式，然后分析抛物线的开口方向和位置来求解。

2. 公式法利用求根公式，将一元二次不等式化为关于根的大小比较，从而求解不等式。

需要注意的是，解集的确定要根据方程的定义域进行筛选。

三、多元多元不等式是指含有多个变量的不等式。

多元不等式的求解方法相对复杂，需要利用代数和几何的知识共同分析。

以下是一些常用的方法。

1. 齐次化法将多元不等式转化为齐次表达式，简化计算，然后求解。

该方法通常适用于含有两个变量的不等式。

2. 区域法将多元不等式的解集表示为平面上的区域，通过分析区域的性质来求解。

区域法常用于解决多个不等式同时成立的问题。

3. 线性规划法将多元不等式与线性目标函数相结合，通过线性规划方法求解。

该方法通常在约束条件下寻找最优解。

不等式的求解方法一、引言不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题时起到了至关重要的作用。

如何求解不等式是我们需要掌握的数学技能之一。

本文将介绍不等式的求解方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、一元一次不等式的求解方法1. 消元法：对于一元一次不等式，我们可以通过消元法将其转化为一个简单的形式。

例如，对于不等式2x+3>7，我们可以通过减去3，得到2x>4，再除以2，最终得到x>2。

这就是消元法的基本思路。

2. 分类讨论法：对于一元一次不等式，我们可以通过分类讨论的方法求解。

首先，我们将不等式中的x的系数分为正数和负数两种情况，然后再进一步讨论x的取值范围。

例如，对于不等式2x+3>7，我们可以将其分为x>2和x<2两种情况，然后再根据实际情况确定x的取值范围。

三、一元二次不等式的求解方法1. 图像法：对于一元二次不等式，我们可以通过绘制函数的图像来求解。

首先，将不等式转化为函数的形式，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以将其转化为函数y=x^2-4x+3，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

2. 因式分解法：对于一元二次不等式，我们可以通过因式分解的方法求解。

首先，将不等式进行因式分解，然后根据因式的性质确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以将其进行因式分解，得到(x-3)(x-1)>0，然后根据因式的性质确定不等式的解集。

四、多元不等式的求解方法1. 图像法：对于多元不等式，我们可以通过绘制函数的图像来求解。

首先，将不等式转化为函数的形式，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

例如，对于不等式2x+3y>7，我们可以将其转化为函数z=2x+3y-7，然后绘制函数的图像，最后根据图像确定不等式的解集。

2. 线性规划法：对于多元不等式，我们可以通过线性规划的方法求解。

第38课时 一元二次不等式组与简单的线性规划问题编者：朱正琴 审核：刘智娟第一部分 预习案一、学习目标1.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)；2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．二、知识回顾1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的 ．我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 。

(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都 ，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的 即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域． 2．3．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.三、基础训练1．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是__________．2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为__________________．班级_________ 学号_________ 姓名_________3．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人的约束条件是________________．4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．5．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两个根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，则b －3a －1的最大值为________．第二部分 探究案探究一 二元一次不等式(组)表示的平面区域问题1、若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．问题2、已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k的值为________．问题3、在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是______________．探究二 求线性目标函数的最值问题4、变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．探究三线性规划的简单应用问题5、某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？问题6、某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为____________．我的收获第三部分训练案见附页。

高二数学知识点北师大版高二数学是学生进入高中后的第二年，是一个重要的学习阶段。

在数学学科中，高二内容非常丰富，知识点较多。

下面将介绍一些高二数学知识点，以帮助同学们更好地掌握这门学科。

1. 一元二次函数一元二次函数是高二数学的重点内容之一。

在学习一元二次函数时，我们需要了解函数的定义、图像、性质以及与根、因式分解之间的关系。

同时，还需要掌握函数的最值、零点、对称轴等重要概念，以及如何根据题目条件确定函数的特性。

2. 不等式与线性规划在高二数学中，我们还学习了不等式与线性规划。

不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等内容。

通过掌握解不等式的方法和技巧，可以帮助我们解决实际问题。

而线性规划则是一种常见的数学建模方法，用于求解最大值、最小值等优化问题。

3. 三角函数三角函数是高二数学中的重要内容之一。

我们需要熟练掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义、图像、性质以及它们之间的关系。

同时，还需要掌握三角函数的基本公式、和差化积等常用的运算法则，以及如何利用它们解决实际问题。

4. 数列与数学归纳法数列是高二数学中的基础内容之一。

我们需要了解等差数列、等比数列、斐波那契数列等常见数列的概念、性质以及求和公式。

同时，数学归纳法也是解决数列相关问题的重要方法之一，需要学会运用归纳法证明数学命题。

5. 几何与向量在高二数学中，我们还学习了几何与向量。

几何主要包括平面几何和空间几何两个部分。

我们需要掌握几何中的基本概念、性质以及定理的运用。

而向量则是解决几何问题的有效工具之一，需要掌握向量的定义、运算法则以及与几何的关系。

总结：高二数学知识点北师大版包括一元二次函数、不等式与线性规划、三角函数、数列与数学归纳法以及几何与向量等内容。

通过深入学习这些知识点，我们能够更好地理解数学的概念与方法，并能够熟练运用于实际问题的解决中。

希望同学们能够认真学习，掌握高二数学知识，为高考做好充分准备。