一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及
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初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳:一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中,一元二次不等式是一个重要的内容。
在解决实际问题和数学推理中,一元二次不等式经常被应用。
本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。
二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式,其一般形式为:ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中,a、b、c为已知实数,且a ≠ 0。
1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。
不等式中的未知数仍然是x,与一元二次方程相同。
2. 性质(1)二次函数性质:一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处,其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。
(2)符号问题:处理不等式时需要确定不等号的方向,区别于一元二次方程需要使用等号。
三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法:图像法和区间法。
1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义,通过对二次函数图像的观察,从几何直觉的角度得出不等式的解集。
2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。
通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点,将定义域划分成若干个区间,进而判定不等式的解集。
四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤:1. 对齐系数,将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c >0 或 ax^2 + bx + c <0)。
2. 利用图像法或区间法进行解题。
3. 在解集中找出满足题意的解。
解题示例:例题1:解不等式 x^2 + 6x > 0解答过程如下:1. 对齐系数,得到: x^2 + 6x > 02. 根据二次函数的性质,当 a > 0 时,二次函数开口向上,函数图像位于x轴上方。
因此,解集是实数集 R。
3. 综上所述,不等式 x^2 + 6x > 0 的解集为实数集 R。
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数,其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ,(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ,(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ , ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ,在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=, m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数,在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系考点 学习目标核心素养一元二次方 程根的判断 理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系,并会应用数学运算一元二次方程根 与系数的关系会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围数学运算问题导学预习教材P47-P50的内容,思考以下问题:1.如何通过判别式Δ判定一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)解的情况?2.一元二次方程的根与系数有什么关系? 1.一元二次方程的解集一般地,Δ=b 2-4ac 称为一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的判别式.(1)当Δ>0时,方程的解集为{-b +b 2-4ac 2a ,-b -b 2-4ac2a};(2)当Δ=0时,方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬-b 2a ;(3)当Δ<0时,方程的解集为∅. 2.一元二次方程根与系数的关系若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根,则x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.■名师点拨 应用一元二次方程的根与系数的关系时,常有以下变形: ①(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1;②x 2x 1+x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2; ③|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不等实数根,则b 2-4ac >0.( )(2)一元二次方程x 2+ax +a -1=0有实数根.( ) 答案:(1)√ (2)√下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )A .x 2+1=0 B .x 2-2x +1=0 C .x 2+2x +4=0 D .x 2-x -3=0答案:D若关于x 的一元二次方程x 2+4x +k =0有实数根,则k 的取值范围是________.解析:因为一元二次方程x 2+4x +k =0有实数根, 所以Δ=16-4k ≥0,即k ≤4. 答案:(-∞,4]已知一元二次方程x 2-2x -1=0的两根分别为x 1,x 2,则1x 1+1x 2=________.解析:因为x 1,x 2是方程x 2-2x -1=0的根, 所以x 1+x 2=2,x 1x 2=-1,所以1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=-2.答案:-2方程根个数的判断及应用已知关于x 的一元二次方程3x 2-2x +k =0,根据下列条件,分别求出k 的范围.(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根; (3)方程有实数根; (4)方程无实数根.【解】 Δ=(-2)2-4×3k =4(1-3k ). (1)因为方程有两个不相等的实数根, 所以Δ>0,即4(1-3k )>0, 所以k <13.(2)因为方程有两个相等的实数根, 所以Δ=0,即4(1-3k )=0,所以k =13.(3)因为方程有实根,所以Δ≥0,即4(1-3k )≥0, 所以k ≤13.(4)因为方程无实根,所以Δ<0,即4(1-3k )<0,所以k >13.对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x 1,2=-b ±b 2-4ac2a;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x 1=x 2=-b2a;(3)当Δ<0时,方程没有实数根.1.不解方程,判断下列方程的实数根的个数. (1)2x 2-3x +1=0; (2)4y 2+9=12y ; (3)5(x 2+3)-6x =0.解:(1)因为Δ=(-3)2-4×2×1=1>0, 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可化为4y 2-12y +9=0,因为Δ=(-12)2-4×4×9=0, 所以原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可化为5x 2-6x +15=0, 因为Δ=(-6)2-4×5×15=-264<0, 所以原方程没有实数根.2.已知方程x 2+kx +1=0(k >0)有实数根,求函数y =k 2+2k -1的取值范围.解:Δ=b 2-4ac =k 2-4≥0,k ≥2(因为k >0),y =k 2+2k -1,k ∈[2,+∞),因为对称轴k =-1,又因为a =1>0,所以当k ∈[2,+∞)时且k 越来越大时y 也越来越大, 所以当k =2时,y min =4+4-1=7,所以y ≥7.注:k ∈[2,+∞)就是k 可取得大于等于2的一切实数. 直接应用根与系数的关系进行计算若x 1,x 2是方程x 2+2x -2 007=0的两个根, 试求下列各式的值: (1)x 21+x 22; (2)1x 1+1x 2;(3)(x 1-5)(x 2-5); (4)|x 1-x 2|.【解】 x 1+x 2=-2,x 1x 2=-2 007,(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-2)2-2×(-2 007)=4 018.(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=-2-2 007=22 007.(3)(x 1-5)(x 2-5)=x 1x 2-5(x 1+x 2)+25=-2 007-5×(-2)+25=-1 972.(4)|x 1-x 2|=(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4+4×2 007=8 032=4502.在求含有一元二次方程两根的代数式的值时,利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时,要先根据原方程求出两根之和与两根之积,再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式,然后代入求值.1.已知x 1,x 2是方程x 2+6x +3=0的两个实数根,求x 2x 1+x 1x 2的值.解:由题知,Δ>0,x 1+x 2=-6,x 1x 2=3,所以x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2=(-6)2-2×33=10.2.设a ,b 是方程x 2+x -2 019=0的两个实数根,求a 2+2a +b 的值.解:由题知,Δ>0,a +b =-1,a 2+a -2 019=0, 所以a 2+2a +b =(a 2+a )+(a +b )=2 019-1=2 018. 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围已知关于x 的方程x 2-(k +1)x +14k 2+1=0,根据下列条件,求出k 的值.(1)方程两实根的积为5;(2)方程的两实根x 1,x 2,满足|x 1|=x 2. 【解】 Δ=[-(k +1)]2-4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2+1=2k -3,Δ≥0,k ≥32.(1)设方程的两个根为x 1,x 2,x 1x 2=14k 2+1=5,k 2=16,k =4或k =-4(舍).(2)①若x 1≥0,则x 1=x 2,Δ=0,k =32.方程为x 2-52x +2516=0,x 1=x 2=54>0满足.②若x 1<0,则x 1+x 2=0,即k +1=0,k =-1. 方程为x 2+54=0,而方程无解,所以k ≠-1,所以k =32.利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时,务必注意根与系数的关系的应用前提条件,即Δ≥0.1.已知关于x 的一元二次方程x 2-(2k -1)x +k 2+k -1=0有实数根.(1)求k 的取值范围;(2)若此方程的两个实数根x 1,x 2满足x 21+x 22=11,求k 的值. 解:(1)因为关于x 的一元二次方程x 2-(2k -1)x +k 2+k -1=0有实数根.所以Δ≥0,即[-(2k -1)]2-4×1×(k 2+k -1)=-8k +5≥0, 解得k ≤58.(2)由题知x 1+x 2=2k -1,x 1x 2=k 2+k -1,所以x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(2k -1)2-2(k 2+k -1)=2k 2-6k +3.因为x 21+x 22=11,所以2k 2-6k +3=11, 解得k =4或k =-1, 因为k ≤58,所以k =-1.2.已知关于x 的方程x 2-tx +2-t =0,根据下列条件,求出实数t 的取值范围.(1)两个根都大于1;(2)一个根大于1,另一个根小于1.解:设方程的两个根为x 1,x 2,(1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1>1x 2>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0(x 1-1)+(x 2-1)>0(x 1-1)(x 2-1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2+4t -8≥0t >2t <32无解.所以不存在实数t ,使得方程的两个根都大于1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1>1x 2<1⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0(x 1-1)(x 2-1)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2+4t -8>0t >32,t >32.1.方程x 2-23kx +3k 2=0的根的情况是( ) A .有一个实数根B .有两个不相等的实数根C .有两个相等的实数根D .没有实数根解析:选C.Δ=(-23k )2-12k 2=12k 2-12k 2=0.2.若关于x 的方程mx 2+(2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( )A .m <14B .m >-14C .m <14且m ≠0D .m >-14且m ≠0解析:选D.Δ=(2m +1)2-4m 2=4m 2+4m +1-4m 2=4m +1>0,解得m >-14.当m =0时,方程x =0不符合题意.3.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+bx -3=0的两根,且满足x 1+x 2-3x 1x 2=5,那么b 的值为( )A .4B .-4C .3D .-3解析:选A.由题知x 1+x 2=-b ,x 1x 2=-3,则x 1+x 2-3x 1x 2=-b -3×(-3)=5,解得b =4.4.已知方程x 2+tx +1=0,根据下列条件,分别求出t 的取值范围.(1)两个根都大于0; (2)两个根都小于0;(3)一个根大于0,另一个根小于0.解:设方程x 2+tx +1=0的两个根为x 1,x 2.(1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1>0x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1+x 2>0x 1x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2-4≥0-t >01>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤-2t <0t ∈R⇒t ≤-2.所以t 的取值范围为(-∞,-2].(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1<0x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1+x 2<0x 1x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2-4≥0-t <01>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤-2t >0t ∈R⇒t ≥2.所以t 的取值范围为[2,+∞).(3)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1>0x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1x 2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2-4>01<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t >2或t <-2无解.所以无解,即不存在实数t使得方程的一个根大于0,另一个根小于0.所以t的取值范围为∅.[A 基础达标]1.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为( )A.5 B.-1C.2 D.-5解析:选B.设方程的另一个根为x0,则-2+x0=-3,即x0=-1.2.若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( )A.-1 B.1C.-2或2 D.-3或1解析:选A.由x(x+1)+ax=0,得x2+(1+a)x=0.因为方程有两个相等的实数根,所以判别式Δ=0.所以a=-1.3.若α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两个根,则βα+αβ的值是( )A.427 B .-427C .-5827D.5827解析:选C.由题知α+β=-23,αβ=-3,所以βα+αβ=(α+β)2-2αβαβ=-5827.4.已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m +2)x +m4=0有两个不相等的实数根x 1,x 2.若1x 1+1x 2=4m ,则m 的值是( )A .2B .-1C .2或-1D .不存在解析:选A.由题知⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0,Δ=(m +2)2-4m ·m 4>0, 解得m >-1且m ≠0.因为x 1+x 2=m +2m ,x 1x 2=14,所以1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=m +2m14=4m ,所以m =2或-1.因为m >-1,所以m =2.5.若a ,b ,c 为△ABC 的三边长,且关于x 的一元二次方程(c -b )x 2+22(b -a )x +2(a -b )=0有两个相等的实数根,则这个三角形是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .不等边三角形解析:选A.根据题意,得c -b ≠0,Δ=[22(b -a )]2-4(c -b )·2(a -b )=0,(a -b )(a -b -c +b )=0, 所以a -b =0或a -c =0, 所以a =b 或a =c ,所以这个三角形为等腰三角形.6.已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-5x +a =0的两个实数根,且x 21-x 22=10,则a =________.解析:由题知x 1+x 2=5,x 1x 2=a . 因为x 21-x 22=(x 1+x 2)(x 1-x 2)=10, 所以x 1-x 2=2,所以(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=25-4a =4, 所以a =214.答案:2147.设α,β是方程(x +1)(x -4)=-5的两个实数根,则β3α+α3β=________.解析:由题意,得α+β=3,αβ=1, 所以α2+β2=(α+β)2-2αβ=7,α4+β4=(α2+β2)2-2α2·β2=47, 所以β3α+α3β=α4+β4αβ=47.答案:478.已知x 1,x 2是一元二次方程x 2-2x -1=0的两个实数根,则12x 1+1+12x 2+1的值是________. 解析:由题知x 1+x 2=2,x 1x 2=-1,x 21=2x 1+1,x 22=2x 2+1, 故原式=1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2=22-2×(-1)(-1)2=6. 答案:69.设x 1,x 2是方程2x 2-6x +3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值.(1)x 21x 2+x 1x 22;(2)(x 1-x 2)2;(3)⎝⎛⎭⎪⎫x 1+1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 1;(4)1x 21+1x 22.解:⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=3x 1x 2=32,(1)原式=x 1x 2(x 1+x 2)=32×3=92;(2)原式=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=9-4×32=3;(3)原式=x 1x 2+1x 1x 2+2=32+23+2=256;(4)原式=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2=9-394=83. 10.已知关于x 的方程(k -1)x 2+(2k -3)x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1,x 2.(1)求k 的取值范围;(2)是否存在实数k ,使方程的两个实根互为相反数?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)⎩⎪⎨⎪⎧k -1≠0Δ=(2k -3)2-4(k -1)(k +1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≠1k <1312,所以k <1312且k ≠1.(2)若x 1+x 2=0,即-2k -3k -1=0,k =32,由(1)可知这样的k 不存在.[B 能力提升]11.已知m 2-2m -1=0,n 2+2n -1=0,且mn ≠1,则mn +n +1n的值为________.解析:由题知n ≠0,则1+2n -1n 2=0,即1n 2-2n-1=0.又m 2-2m -1=0,且mn ≠1,即m ≠1n,故m ,1n 是方程x 2-2x -1=0的两个根,则m +1n=2.故mn +n +1n =m +1+1n=2+1=3.答案:312.已知方程2x 2-(k +1)x +k +3=0的两根之差为1,则k 的值为________.解析:设x 1,x 2为方程的两个根,则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=k +12x 1x 2=k +32,|x 1-x 2|=1,⎝⎛⎭⎪⎫k +122-2(k +3)=1,k =9或k =-3.检验当k =9或k =-3时,Δ>0成立. 答案:-3或913.已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m +1)x +2m -1=0. (1)求证:不论m 为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程两根为x 1,x 2且满足1x 1+1x 2=-12,求m 的值.解:(1)证明:Δ=(4m +1)2-4(2m -1)=16m 2+5>0, 所以方程总有两个不相等的实数根. (2)因为x 1+x 2=-(4m +1),x 1x 2=2m -1,1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=-12,即-(4m +1)2m -1=-12,所以m =-12. 14.若x 1,x 2是关于x 的方程x 2-(2k +1)x +k 2-1=0的两个实数根,且x 1,x 2都大于1.(1)求实数k 的取值范围;(2)若x 1x 2=12,求k 的值.解:(1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1>1x 2>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧[-(2k +1)]2-4(k 2-1)≥0x 1+x 2-2>0x 1x 2-(x 1+x 2)+1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4k +5≥02k +1-2>0k 2-1-(2k +1)+1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≥-54k >12k >1+2或k <1-2,所以k >1+ 2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1+x 2=2k +1 ①x 1x 2=k 2-1 ②x 2=2x 1 ③由①③得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=2k +13x 2=23(2k +1).所以29(2k +1)2=k 2-1,k 2-8k -11=0,k =4+33或k =4-33,满足Δ>0.[C 拓展探究]15.已知x 1,x 2是一元二次方程4kx 2-4kx +k +1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ,使(2x 1-x 2)(x 1-2x 2)=32成立?若存在,求出k 的值,若不存在,请说明理由.(2)求使x 1x 2+x 2x 1-2的值为整数的实数k 的整数值.解:Δ=(-4k )2-4×4k (k +1)=-16k (k ≠0),Δ≥0,k <0(因为k ≠0),(1)存在,x 1+x 2=1,x 1x 2=k +14k ,由(2x 1-x 2)(x 1-2x 2)=32得:2(x 1+x 2)2-9x 1x 2=32.2-9×k +14k =32,所以k =-97.(2)x 21+x 22x 1x 2-2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2-2=1k +14k-4=4k k +1-4=-4k +1.因为-4k +1的值为整数, 所以k +1=±1,k +1=±2,k +1=±4,所以k =0或k =-2或k =1或k =-3或k =3或k =-5, 因为k <0,所以k =-2或k =-3或k =-5.。