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高中数学新课标人教A版选修1-2《第二章 推理与证明》归纳整合课件

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(教师用书)高中数学 第二章 推理与证明章末归纳提升课件 新人教A版选修1-2

(教师用书)高中数学 第二章 推理与证明章末归纳提升课件 新人教A版选修1-2

如图 2－3(1)，在三角形 ABC 中，AB⊥AC，若 AD⊥BC， 则 AB2＝BD· BC；若类比该命题，如图 2－3(2)，三棱锥 A－ BCD 中，AD⊥平面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内 的射影为 M，则可以得到什么命题？命题是否为真命题并加 以证明．
(1) 图 2－3
2 2 2 ∴S2 ＋ S ＋ S ＝ S 1 2 3 4. 2 2 2 【答案】 S2 1＋S2＋S3＝S4
在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第 n 行第 n＋1 列的数是________．
【解析】
由题中数表知：第 n 行中的项分别为
n,2n,3n， …， 组成一等差数列， 所以第 n 行第 n＋1 列的数是： n2＋n. 【答案】
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此 平面平行， EF⊄平面 BCD，BD⊂平面 BCD，EF∥BD， 小前提 EF∥平面 BCD. 结论 大前提
归纳推理
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，常见 的归纳推理题目主要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳， 其求解思路如下： (1)通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)由相同性质猜想得出一般性结论． 需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常 需要严格的推理证明．
(2013· 南昌高二检测) 在平面上，我们如果用一 条直线去截正方形的一个角， 那么截下的是一个直角三角形， 若将该直角三角形按图标出边长 a，b，c，则由勾股定理有： a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图 2－1 的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O －LMN，如果用 S1，S2，S3 表示三个侧面面积，S4 表示截面 面积，那么你类比得到的结论是________．

2019秋新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章推理与证明2.1.1

2019秋新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章推理与证明2.1.1

特 征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
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目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
仅供学习交流！！！
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题型一
题型二
题型三
题型四
答案:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的 三分-29-
谢谢观看！
-31-
2.1
合情推理与演绎推理
2.1.1
合情推理
-3-
1.归纳推理和类比推理
归纳推理 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征,推出另一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理(简称 类比) 类比推理是由特殊到特殊的推理
定 义
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)

高中数学第二章推理与证明本章整合课件新人教A版选修1_2

高中数学第二章推理与证明本章整合课件新人教A版选修1_2
第二章 推理与证明 本 章 整 合
专题1
专题2
专题3
专题一 合情推理和演绎推理在解题中的应用 1.合情推理的应用 归纳推理和类比推理是常用的合情推理,都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的 推理.从推理形式上看,归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性 的结论的推理方法,它在科学研究或数学学习中有着重要的作用, 有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论,或预测答案、探索 解题思路等;类比推理是由特殊到特殊的推理,它以比较为基础,有 助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等.合情推理的结 论不一定正确,有待于演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是 通过合情推理获得的,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
专题1
专题2
专题3
通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相 应的四个相邻的数有关.具体关系可以从上表看出,如果用an表示第 四行的第n个数,那么an=8n+4. 现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数. 注意到第四行中最大的数是7 980<999×8,所以k=4. 由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3 996,它是第四 行的第(3 996-4)÷8=499(项),即a499=3 996就是第四行中能被999整 除的数.
������1 ������2 ������3 = = ; sin������ sin������ sin������
2 2 2 ������1 = ������2 + ������3 − 2S2S3cos α, 2 2 2 ������2 = ������1 + ������3 − 2S1S3cos β, 2 2 2 ������3 = ������1 + ������2 − 2S1S2cos γ. 下面给出证明.

高二数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明

高二数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明

专题一
专题二
专题二 直接证明与间接证明
1.综合法证明数学问题是“执因索果”,而分析法则是“执果索因”,二者一正一反,各有特点,综合法的特点是表述 简单条理清楚,分析法则便于解题思路的探寻.
2.分析法与综合法往往结合起来使用,即用分析法探寻解题思路,而用综合法书写过程,即“两头凑”,可使问题便 于解决.
专题一
专题二
【例1】 已知数列 归纳出Sn的计算公式.
8× 1 12 × 32
,
8× 32×
252,…,(2…������,-S1n为)82其×(2前������������n+项1的)2和, ,计算S1,S2,S3,S4,观察计算结果,并
思路分析:通过计算S1,S2,S3,S4的取值,发现它们的共同点有:都是分数,分母为奇数的平方,分子比分母少1,据
ABCD
中,������������������������'
+
������������ ������������'
+
������������ ������������'
+
������������������������' =4-������������-������������������+������������-������������������������������-+������������������������������-������������������ +������������-������������������ =4-������������������������--������������������������������������ =3.

数学第二章推理与证明课标领航课件(人教A版选修1-2)

数学第二章推理与证明课标领航课件(人教A版选修1-2)

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习 和生活中经常使用的思维方式 .本章结合已学过的生 活实例和数学实例，了解合情推理和演绎推理的含 义，以及它们之间的联系与差异；利用合情推理去 猜测和发现一些结论，探索和提供解决一些问题的 思路和方向，利用演绎推理去进行一些简单的推理， 证明一些数学结论；了解证明的两类基本方法—— 直接证明和间接证明，以及它们的思考过程和特点.
学法指导 在学习本章内容时，要注意以下两个 方面：1.通过具体实例理解合情推理 与演绎推理，会用合情推理去探索、 猜测一些数学结论. 2.学习时要注意基本数学思想，如归 纳、类比、演绎推理以及综合法、分 析法、反证法等.
本部分内容讲解结束
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新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.2.1

新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.2.1
证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所 在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
典例透析
(1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离. (1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD. 因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.
−
1)(������∈N*,n≥2),求证: 1 为等差数列.
������������
分析:(1)类比题目所给等式得到 Sn+1 与 an+1 之间的关系式→两式相减→说明{an}是等比数列
(2)利用(1)中的公比
q
得到
f(m)→化简式子
bn=
3 2
������
(bn-1)→证明
1 ������������
两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 求证:(1)a2+b2+c2≥13 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.

数学：第二章《推理与证明复习小结》课件(新人教a版选修1-2)

数学：第二章《推理与证明复习小结》课件(新人教a版选修1-2)
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-2
第二章 推理与证 明复习小结
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
一.综合法
例 .已 知 a、 b、 c为不 相 等 正 数 ， 且 abc=1，
证求： a+ b+ c<1+1+1. abc
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
； 亚米游戏 ；
是在所难免の,没出什么大事就算不错了丶"这城中の人确实是壹下子多出了许多,街道上,到处都是人,斗嘴打架の也不在少数丶但是最关键の是,以前の四十几亿人当中,有近壹半甚至是壹半以上の人,平常都是在闭关修行の,根本不会上街の丶所以相当于城中,壹下子多出了二十几亿の流 动人口,真要只是地球上の那些普通人类也无所谓,大家の节奏比较慢,这方圆十万里の圣城中,要容纳哪怕是上千亿普通人也完全没问题丶"怎么说呢,咱们城主府の实力相对来说,还不是特别の强,若是能再扩充壹些大魔神以上の强者,或许对咱们城主府の势力会有比较大の帮助只是这些 人并不好招丶"魔石叹道丶而且他也并不想,总是让自己老婆在背后,替自己处理这圣城中の事情让自己老婆置于危险之中丶如今在这南风圣城中,怕是魔仙就不止五六位了吧,若是城主府中连壹位魔仙都没有,那完全没得玩了丶有些强者,隐藏在城中,也不可能让你壹个壹个去做登记之类の 丶过了壹会尔,宏七让魔石先去休息了,他取出了城主令,呼唤起了老城主丶"有什

高中数学人教版选修1-2_模块复习课 第二课 推理与证明 (共50张PPT)精选ppt课件

高中数学人教版选修1-2_模块复习课 第二课 推理与证明 (共50张PPT)精选ppt课件

=2ab(p-q)2. 因为a,b同号,所以2ab(p-q)2≥0. 所以原不等式成立.
【方法技巧】转化与化归思想的内涵与应用 (1)内涵:转化与化归的思想就是在处理问题时,通过某 种转化过程,化归为一类已经解决或比较容易解决的问 题,最终使问题化繁为简、化难为易.
(2)应用:本章内容中转化与化归思想主要应用于以下 几个方面:归纳推理中特殊到一般的转化;演绎推理中 一般到特殊的转化;分析法中结论与条件的转化;反证 法中正难则反的转化;数学归纳法中无限与有限的转化 等.
【方法技巧】 1.归纳推理的特点及一般步骤
2.类比推理的特点及一般步骤
【变式训练】对命题“正三角形的内切圆切于三边的 中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各 正三角形的位置是 ( ) A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点
2.反证法的证题思想 否定结论,提出假设 ↓ 逻辑推理,导出矛盾 ↓ 否定假设,肯定结论
【变式训练】已知直线a与b不共面,c∩a=M,b∩c=N,a∩ 面α=A,b∩面α=B,c∩面α=C. 求证:A,B,C三点不共线. 【证明】假设A,B,C三点共线于直线l,
因为A,B,C∈α,所以l⊂α. 因为c∩l=C,所以c与l确定一平面β. 因为c∩a=M,所以M∈β.又A∈l, 所以a⊂β,同理b⊂β, 所以a,b共面,与已知a,b不共面矛盾, 故A,B,C三点不共线.
课 推理与证明
【网络体系】
【核心速填】 1.合情推理 (1)归纳推理:由_____到_____、由_____到_____的推理.
部分 整体 个别 一般 (2)类比推理:由_____到_____的推理. (3)合情推理:归纳特推殊理和特类殊比推理都是根据已有的事 实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

人教A版高中数学高二选修1-2配套课件 第二章 推理与证明 (2)

人教A版高中数学高二选修1-2配套课件 第二章 推理与证明 (2)
第二章 推理与证明
人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少 要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开 来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经 吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一 个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩．在地图 上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两 个国家或区域．显然，用两种颜色是区分不开的，不过有 时三种颜色就够了．A，B，C三国各用一色，D国和B国用 同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家 中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区 分开．于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜 色就足够了．正式提出地图着色问题的时间是1852年．但
4．(2016·山东文 12)观察下列等式： (sinπ3)－2＋(sin23π)－2＝43×1×2； (sinπ5)－2＋(sin25π)－2＋(sin35π)－2＋(sin45π)－2＝43×2×3； (sinπ7)－2＋(sin27π)－2＋(sin37π)－2＋…＋(sin67π)－2＝43×3×4； (sinπ9)－2＋(sin29π)－2＋(sin39π)－2＋…＋(sin89π)－2＝43×4×5； …… 照此规律，
(sin2nπ＋1)－2＋(sin2n2＋π 1)－2＋(sin2n3＋π 1)－2＋…＋(sin22nn＋π1)－2＝_43_n_(_n_＋__1_)__. [解析] 根据已知，归纳可得结果为43n(n＋1)．
5．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)、f(2)、f(3)、 f(4)[解、析…] 、首f先(1分0)析的题值目的，条同件时，并作对出n归＝1纳、推2、理3、，4、并5、用6、n＝7、480、验9、证10 的猜结想果进的行结归论纳推是测否，正发现确它．们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命

高中数学新课标人教A版选修1-2课件

高中数学新课标人教A版选修1-2课件
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a2 b2;等等.
类比推理的结论不一定成立.
第二十五页，编辑于星期一：点 十三分。
.
.
第二十六页，编辑于星期一：点 十三分。
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直于 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
第一页，编辑于星期一：点 十三分。
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程就叫推理.
第二页，编辑于星期一：点 十三分。
第三页，编辑于星期一：点 十三分。
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
第三十五页，编辑于星期一：点 十三分。
再 见
第三十六页，编辑于星期一：点 十三分。
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
第十页，编辑于星期一：点 十三分。
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
第十一页，编辑于星期一：点 十三分。
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
第十二页，编辑于星期一：点 十三分。
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
第三十三页，编辑于星期一：点 十三分。

人教A版高中数学高二选修1-2配套课件 第二章 推理与证明

人教A版高中数学高二选修1-2配套课件 第二章 推理与证明

B．至少有一个大于 2
C．至少有一个不小于 2
D．至少有一个不大于 2
[解析] 假设都小于 2，则(a＋1b)＋(b＋1c)＋(c＋1a)＜6，而 a＋1b＋b＋1c＋c
＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥2＋2＋2＝6.矛盾．
3．实数a、b、c不全为D0等价于( ) A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至多有一个为0 C．a、b、c中至少有一个为0 D．a、b、c中至少有一个不为0 [解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否 定应为“全为0”．
1．反证法的定义
矛盾
错一误般地，假设原命题成不立成立，经过正确的推理，最后得 出______，因此说明假设______，从而证明了原命题 ______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明 的一种基本方法．
2．反证法证题的原理
(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
3．反证法常见的矛盾类型
又因为(1－a)·a＜(1－a2＋a)2＝14，(1－b)·b＜14，(1－c)·c＜14， 所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c＜614. 这与假设矛盾，因此假设不成立． 所以(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a 不可能同时大于14.
命题方向3 ⇨用反证法证明存在性、唯一性命题
典例 2 求证：方程 2x＝3 有且只有一个根． [思路分析] 本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在； 另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法．
准确写出反设
典例 4
已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求
证：a>0，b>0，c>0.
[错解] 假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，

高中数学 《合情推理与演绎证明》课件28 新人教A版选修1-2

高中数学 《合情推理与演绎证明》课件28 新人教A版选修1-2
又如,为了回答"火星上是否有性命"这个问题, 科学家们把火星与地作 球类比,发现火星具有 一些与地球类似的特,征如火星也是围绕太阳 运行、绕轴自转的行,星也有大气层,在一年中 也有季节的变更,而且火星上大部分时的 间温 度适合地球上某些已生 知物的生存,等等.由此, 科学家猜想: 火星上也可能有性命在 存.
开普勒
( Ke
pler , 1571
1630 ) 说 :
" 我珍惜类
比胜过任何
别的东西
,它
是我最可信
赖的老师
,它
能揭示自然
界的秘密
."
根 据 同 样 的 思 路, 我 们 还 可 以 定 义 并 且 研 究4维 球、5维 球 直 至n维 球.研 究n维 球 时,总 可 以
类比n 1维球的情形,从中获
为归纳推理 简称归纳 .简言之 ,归纳推理是由
部分到整体、由个一别般到的推. 理
例 如 ,由 铜 、 铁 、 铝 、 金 、 银等 金 属 能 导 电, 归 纳 出" 一 切 金 属 都 能 导 电" ;由 直 角 三 角 形 、 等 腰 三 角 形 、 等 边 三 角形 的 内 角 和 都 是180 0, 归 纳 出" 所 有 三 角 形 的 内 角 和 都是180 0 " 这 些 都 是 归 纳 推 理.在 统 计 学 中,我 们 总 是 从 所 研 究 的 对 象 全 体 中 抽取 一 部 分 进 行 观 测 或 试 验 以 取 得 信 息,从 而 对 整 体 作 出 推 断,这 也 是 归 纳 推 理.
思考科学家做出上述 推猜 理想 过的 程是怎 ? 样
在提出上述猜想,过 科程 学中 家对比了火球 星与 之间的某些相似 ,然特后征从地球的一特 个征 已知 (有性命存)出在发 ,猜测火星也可能个 具特 有征 .这

2019_2020学年高中数学第二章推理与证明课件新人教A版选修1_2

2019_2020学年高中数学第二章推理与证明课件新人教A版选修1_2

(2)在等差数列{an}中，设公差为 d， 则aamm＋＋nn＝＝aamn＋＋mndd＝＝ab＋＋nmdd，，所以 am＋n＝bnn－－amm. 在等比数列{bn}中，设公比为 q， 则bbmm＋＋nn＝＝bbmn··qqmn＝＝ab··qqnm，，
n－m 所以 bm＋n＝
bn am.
1．观察下列各等式：2－2 4＋6－6 4＝2，5－5 4＋3－3 4＝2，7－7 4＋ 1－1 4＝2，101－0 4＋－－2－2 4＝2，依照以上各式成立的规律，得到 一般性的等式为( ) A.n－n 4＋（8－8－n）n －4＝2 B.（n＋n＋1）1 －4＋（（nn＋＋11））＋－54＝2 C.n－n 4＋（n＋n＋4）4 －4＝2 D.（n＋n＋1）1 －4＋（n＋n＋5）5 －4＝2
主题 2 直接证明(综合法与分析法)
试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知
α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤1－sincoαs α.
【证明】 法一：(分析法)
要证
2sin
2α≤1－sincoαs
成立， α
只需证 4sin αcos α≤1－sincoαs α.
因为 α∈(0，π)，所以 sin α>0.
1.设 x，y 为正实数且 x＋y＝1，求证： (1＋1x)(1＋1y)≥9. 证明：左边＝(1＋x＋x y)(1＋x＋y y)＝(2＋xy)(2＋xy)＝ 4＋2(xy＋xy)＋1≥5＋4＝9.所以原不等式成立．
2．当 a≥2 时，求证： a＋1－ a< a－1－ a－2. 证明：要证 a＋1－ a< a－1－ a－2， 只需证 a＋1＋ a－2< a＋ a－1， 只需证( a＋1＋ a－2)2<( a＋ a－1)2， 只 需 证 a ＋ 1 ＋ a － 2 ＋ 2 （a＋1）（a－2） <a ＋ a － 1 ＋ 2 a（a－1），只需证 （a＋1）（a－2）< a（a－1）， 只需证 a2－a－2<a2－a，只需证－2<0. 因为－2<0 显然成立， 所以 a＋1－ a< a－1－ a－2成立．
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专题三
直接证明
由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型
均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与 重点． 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是
解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，
直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、
解析
由数表知 f(3)比 f(2)多 2，f(4)比 f(3)多 3，
f(5)比 f(4)多 4…归纳得 f(n)比 f(n－1)多 n－1， 故得递推关系：f(n)－f(n－1)＝n－1， 即 f(n)＝f(n－1)＋n－1. ∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，…， f(n)－f(n－1)＝n－1. 上述式子相加得 f(n)－f(2)＝2＋3＋…＋(n－1)， nn－1 n2－n＋2 ∴f(n)＝1＋[1＋2＋…＋(n－1)]＝1＋ ＝ . 2 2 答案 f(n)＝f(n－1)＋n－1(n>1) n2－n＋2 2
方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证 明方法．
4．归纳、猜想、证明 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结 论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条 件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再
【例2】 自然数按下表的规律排列
则上起第2 007行，左起第2 008列的数为( A．2 0072 C．2 006×2 007 B．2 0082
)．
D．2 007×2 008
解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：
①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的 平方，即第n行的第1个数为n2； ②第一行第n个数为(n－1)2＋1； ③第n行从第1个数至第n个数依次递减1； ④第n列从第1个数至第n个数依次递增1. 故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007
对归纳、猜想的结论进行证明．
专题一 归纳推理和类比推理
归 纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论
合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用． 运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明 是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特
“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，
本 章 归 纳 整 合
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要点归纳
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体
的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测 未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证 明． 2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中
证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另
一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的 前提，后者论证前者的可靠性．
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证 明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推
导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，
在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种
2 为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了) Sn＋1 Sn－1 (2)由(1)可知 ＝4· (n≥2)， n＋1 n－1 Sn－1 n－1＋2 ∴Sn＋1＝4(n＋1)· ＝4· · Sn－1＝4an(n≥2) n－1 n－1 (小前提) 又 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
设∠BSC＝α，SA 和平面 SBC 所成的角为 β. 1 1 则 VSDEF＝3· SD· sin β· S△SEF＝6SD· sin α· sin β， 1 同理，VSABC＝6SA· SB· SC· sin α· sin β， VSDEF SD· SE· SF ∴V ＝SA· . SB · SC SABC 1 β· SE· SF· sin α＝6SD· SE· SF· sin
Sn (1)数列 n 是等比数列； ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)Sn＋1＝4an. n＋2 证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ S， n n ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. Sn＋1 Sn ∴ ＝2· ，(小前提) n n＋1
Sn 故 n 是以
点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、
猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．
【例1】 如下图所示，由正整数排成的三角形数表，第n行首尾两
数均为n，记第n(n>1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行
的数据关系可以得到递推关系________，并通过有关求解可 以得到通项f(n)＝________.
专题二
演绎推理
演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首
先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．
在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常要由几个三 段论才能过完成．大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括 号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式．
n＋2 【例 4】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn， 已知 a1＝1， an＋1＝ S (n n n ∈N*)，证明：
个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.
答案 D
S△AEF 【例 3】 一直线与△ABC 的边 AB， AC 分别相交于 E， F， 则 S△ABC AE· AF ＝ .将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比， 试 AB· AC 推理三棱锥的性质，并给出证明． 解 在三棱锥 SABC 中，平面 α 与侧棱 SA，SB，SC 分别相 交于 D，E，F. VSDEF SD· SE· SF 则V ＝SA· SB· SC . SABC 证明如下：