高中数学完整讲义——空间几何量的计算6.证明与计算(角度)

高中数学几何知识点总结在高中数学课程中，几何是一个非常重要的部分。

几何作为数学的一个分支，主要研究空间中的图形、大小、形状、位置以及它们之间的相互关系。

在几何学中，我们会学习到很多图形的性质、计算图形的面积和周长，以及解决与图形相关的问题。

本文将对高中数学几何知识点进行总结，内容包括平面几何、立体几何、四边形、三角形、相似三角形、三角函数等知识点。

一、平面几何1. 直线和角在平面几何中，直线是一个非常重要的概念。

直线具有无限的长度，可以用两点来确定一条直线。

角是直线的一种特殊情况，它是由两条射线共同起点组成的。

角的度量可以用度来表示，一个完整的圆周被划分为360度。

2. 三角形三角形是平面几何中的基本图形之一，它由三条边和三个顶点组成。

三角形的性质包括内角和为180度、外角和等于360度、边长的关系以及高的性质等。

3. 四边形四边形是由四条边和四个顶点组成的图形。

四边形可以分为梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等多种类型，每种类型的四边形都有不同的性质和特点。

4. 圆圆是一个特殊的图形，它由一个固定点（圆心）和到这个点距离相等的所有点组成。

圆的性质包括周长、面积、圆心角和弦等。

5. 相似形相似形是指形状相似但大小不同的两个图形。

在平面几何中，相似形有一些重要性质，包括边长比、面积比、相似性判定等。

二、立体几何1. 空间图形在立体几何中，我们会学习到空间图形的性质和计算方法。

主要包括立体图形的名称、性质、体积和表面积的计算等内容。

2. 空间几何的投影在立体几何中，我们会学习到图形的投影。

投影是指一个空间图形在另一个平面上的映射，通过投影可以得到图形的大小和形状等信息。

三、三角函数1. 三角函数的概念三角函数是数学中的一个重要分支，它是用角的变量来表示的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在高中数学中，我们会学习到三角函数的定义、性质、图像、周期性、反函数等知识点。

2. 三角函数的应用三角函数在数学中有着广泛的应用，例如在三角恒等式的推导、三角方程的解法、几何问题的计算等方面都有着重要的作用。

空间几何知识点总结高中空间几何是几何学的一个分支，研究的是三维空间中的图形、变换以及相关的性质。

在高中数学中，空间几何是重要的一部分，涉及到点、线、面的三维空间中的相关性质和计算方法。

本篇文章将围绕空间几何的相关知识，包括点、直线、平面的性质，距离、角度、体积计算等内容进行总结。

1. 点、直线、平面及相关性质在三维空间中，点、直线、平面是最基本的几何元素。

点：在空间中，点是没有大小和形状的，可以用坐标或者名称来表示，如 A、B 等。

直线：空间中的直线是由无穷多个点组成的，它没有宽度和厚度，可以用两点确定一条直线。

平面：平面是由无穷多个点和直线组成的，它有宽度和厚度，可以用三点确定一个平面。

在三维空间中，直线和平面有很多性质，比如相交、平行、垂直等，这些性质都是空间几何中需要掌握的知识。

2. 距离、角度的计算空间几何中，距离和角度是两个非常重要的概念。

距离：在三维空间中，两个点之间的距离可以通过坐标之差来计算，即两点 A(x1, y1, z1)和 B(x2, y2, z2) 之间的距禿可以用公式d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2] 来求得。

角度：在三维空间中，两条直线之间的角度可以通过向量之间的夹角来计算，即通过两条直线的方向向量来求得它们之间的夹角。

距离和角度的计算是空间几何中常见的问题，需要掌握相关的计算方法和技巧。

3. 多面体的性质和体积计算多面体是由多个平面围成的立体图形，常见的多面体有三角柱、四棱柱、四棱锥、棱台等。

对于多面体，我们需要掌握它们的性质，比如底面、侧面、顶点的数量，各个面的形状和性质等。

此外，计算多面体的体积也是空间几何中的重要内容。

多面体的体积计算可以通过公式来进行，比如对于三角柱，其体积可以通过底面积乘以高来求得；对于四棱柱，其体积可以通过底面面积乘以高来求得。

体积的计算和多面体的性质是空间几何中的重点内容，需要认真学习和掌握。

第十二讲立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1.范围：0，1）异面直线所成角2）直线与平面所成角20，2.求法：平移相交（找平行线替换）2向量法1.范围0 ，20,定义22.求法向量法m narcsin若 m n 则 a //或a若m // n则a m n1.范围：0.定义法（即垂面法）3）二面角 2.作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3. 求二面角大小的方法射影面积法向量法S S cos( S为原斜面面积, S为射影面积 ,为斜面与射影所成锐二面角的平面角)m n当为锐角时，arccosm nm n当为锐角时，arccosm n二、例题讲解1.在正三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中，若 AB 2 BB 1 , 求 AB 1 与 C 1 B 所成的角的大小。

解：法一：如图一所示，设 O 为 B 1 C 、 C 1 B 的交点， D 为 AC 的中点，则所求角是 DOB 。

设 BB 1a , 则 AB 2 a ，于是在DOB 中，O B1 3a , BD 3 2 a6BC 12a,2 22O D1 3 2222AB 1 a , BD OBOD,2即DOB90 ,DOB90法二： 取 A 1 B 1 的中点 O 为坐标原点， 如图建立空间直角坐标系1O xyz , AB 的长度单位，2则由AB2BB1有A 0,1,2,B0,1, 2 , B10,1, 0, C 13,0,0AB 10, 2, 2 ,C1B 3 ,1, 2 ,AB1 C1B 2 2 0, AB1 C 1 B2.如图二所示，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，BAD90 ,AD // BC,AB BC a , AD 2 a , 且 PA底面 ABCD ，P D 与底面成 30角。

⑴若 AE PD , E 为垂足，求证：BE PD ；⑵求异面直线AE , CD 所成角的大小。

空间几何的有关计算公式空间几何是数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的图形和其性质。

在空间几何中，有很多重要的计算公式，这些公式可以帮助我们计算各种空间图形的性质，比如体积、表面积、角度等。

本文将介绍一些常见的空间几何计算公式，并且探讨它们的应用。

1. 空间图形的体积和表面积计算公式。

在空间几何中，我们经常需要计算各种图形的体积和表面积。

下面是一些常见图形的体积和表面积计算公式：1.1 立方体的体积和表面积计算公式。

立方体是空间几何中最简单的图形之一，它的体积和表面积计算公式如下：体积 V = 边长a ×边长b ×边长c。

表面积 S = 2 × (边长a ×边长b + 边长b ×边长c + 边长c ×边长a)。

1.2 圆柱体的体积和表面积计算公式。

圆柱体是另一个常见的空间图形，它的体积和表面积计算公式如下：体积 V = π×半径r²×高h。

表面积 S = 2 ×π×半径r² + 2 ×π×半径r ×高h。

1.3 球体的体积和表面积计算公式。

球体是空间几何中最简单的曲面图形，它的体积和表面积计算公式如下：体积 V = (4/3) ×π×半径r³。

表面积 S = 4 ×π×半径r²。

2. 空间图形的角度计算公式。

在空间几何中，我们也经常需要计算各种角度。

下面是一些常见角度的计算公式：2.1 直线的夹角计算公式。

如果有两条直线l1和l2，它们的方向向量分别为a和b，那么它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a·b) / (|a| × |b|)。

其中，a·b表示a和b的点积，|a|和|b|分别表示a和b的模长。

2.2 平面的夹角计算公式。

如果有两个平面α和β，它们的法向量分别为n1和n2，那么它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = |n1·n2| / (|n1| × |n2|)。

空间几何中的角度和角度关系在空间几何中，角度是一个非常重要的概念。

角度指两条射线之间的夹角，通常用度数来表示。

通过研究角度和角度关系，我们可以深入理解空间中的图形和结构，进而解决各种几何问题。

一、角度的概念角度是描述两条射线之间夹角大小的量度。

一般来说，角度是以直线为基准的，从一条射线按逆时针方向转过去，所转过的度数就是角度的度数。

角度通常用“度”来表示，单位符号为“°”。

在空间几何中，角度的大小一般为0°到360°之间，0°表示射线重合，180°表示射线相互平行，360°表示射线重合。

不同大小的角度所代表的夹角也不同，小于90°的角称为锐角，等于90°的角称为直角，大于90°小于180°的角称为钝角，等于180°的角称为平角，大于180°小于360°的角称为全角。

二、角度的关系1. 同位角：同位角是指两条射线被第三条射线相交，形成角度对应的两对角。

同位角有三种关系，即内角、外角和对顶角。

内角是相交射线之间的角，外角是相邻射线之外的角，对顶角是位于相交射线两侧且不相邻的角。

2. 相关角：相关角是指两角可能相等、互补或补角的特殊角度。

相关角可以帮助我们简化计算，通过相关角的关系，我们可以推导出更多的几何性质和定理。

3. 平行线和角度：在空间几何中，平行线之间的夹角关系是非常重要的。

对于平行线和交叉线组成的角，我们可以根据平行线的性质来求解这些角度。

三、角度的应用1. 角度的测量：在几何学中，测量角度是解决问题的第一步。

通过工具如量角器可以准确测量角度的大小，进而进行相关计算和分析。

2. 角度的计算：在解决几何问题时，经常需要计算不同角度的大小。

通过角度的相关性质和计算方法，可以快速求解各种角度。

3. 角度的证明：在证明几何问题时，经常需要利用角度关系来推导出结论。

通过严谨的推理和分析，可以证明各种与角度有关的几何定理。

空间几何的计算与证明空间几何是研究三维空间中的物体形状、大小、位置等性质的数学学科。

在解决实际问题中，我们常常需要进行空间几何的计算与证明。

本文将介绍一些常见的空间几何计算方法和证明技巧。

一、空间几何计算1. 点到平面的距离计算对于三维空间中的一点P(x,y,z)，以及平面Ax+By+Cz+D=0，我们可以利用点P到平面的距离公式来计算二者的距离。

该公式为：d = |Ax+By+Cz+D| / √(A^2+B^2+C^2)例如，给定一个平面2x+y+3z-4=0，点P(1,2,3)到该平面的距离可以计算如下：d = |2*1+1*2+3*3-4| / √(2^2+1^2+3^2)= |2+2+9-4| / √14= 9 / √142. 直线和平面的交点计算对于直线和平面的交点计算，我们需要先求出直线的参数方程和平面的方程，然后解联立方程组即可得到交点的坐标。

例如，假设有一条直线L，其参数方程为：x = x_0 + lty = y_0 + mtz = z_0 + nt另外有一个平面P，其方程为：Ax + By + Cz + D = 0我们可以将直线的参数方程代入平面方程，得到一个关于t的一元二次方程，解该方程即可求得直线和平面的交点的坐标。

3. 多面体的表面积和体积计算对于多面体的表面积和体积计算，常用的方法是利用相应的公式进行计算。

例如，对于一个六面体，其表面积和体积的计算公式如下：六面体的表面积 S = 2(ab+ac+bc)六面体的体积 V = abc其中，a、b、c分别表示六面体的三个相邻棱长。

二、空间几何证明1. 平行线之间的角度在空间几何中，证明两条平行线之间的角度是一个重要问题。

一种常见的证明方法是利用平行线与平行线之间的交线来构造三角形，然后应用三角形的性质进行角度证明。

例如，我们希望证明两条平行直线L1和L2之间的夹角为90度。

我们可以构造一条与L1和L2都垂直的直线L3，然后证明L3与L1、L2之间的夹角都是90度，从而推出L1和L2之间的夹角也是90度。

高考数学一轮总复习立体几何与空间几何证明一、立体几何的基本概念与性质立体几何是数学的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和物体。

在高考数学中，立体几何和空间几何中的证明题目常常出现，对于学生来说是一大挑战。

在这一部分的复习中，我们需要掌握一些基本概念与性质，并且熟练掌握立体几何证明的方法和技巧。

1.1 点、线、面和体在立体几何中，我们首先要熟悉一些基本概念，包括点、线、面和体。

点是最基本的几何要素，是没有长度、宽度和高度的，只有位置的概念。

线是由无数个点连成的，有长度但没有宽度和高度。

面是由无数个线连成的，有长度和宽度但没有高度。

而体是由无数个面连成的，有长度、宽度和高度。

1.2 基本性质在掌握基本概念之后，我们需要了解一些基本性质。

例如，平行线的性质：平行线在平面上永远不会相交；平面和直线的性质：平面和直线上的任意两点可以确定一条直线；平面和平面的性质：两个平面要么相交于一条直线，要么平行。

二、空间几何证明的基本方法和技巧在高考中，空间几何证明的题目通常有两种类型：一种是已知几个条件，证明某个结论；另一种是已知某个结论，求它的证明过程。

2.1 已知条件证明结论在这类题目中，我们需要根据已知条件推导出所要证明的结论。

这种类型的题目通常可以利用三角形的相似性、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等来完成证明。

同时，我们还可以运用平行线的性质、垂直线的性质等来辅助证明。

2.2 已知结论求证明过程这类题目是给出一个结论，要求证明它的过程。

在这种情况下，我们需要从已知的条件中寻找线索，运用立体几何的基本概念和性质，逐步推导出所要求证的结论。

这种类型的题目通常需要思路清晰，步骤严谨。

三、立体几何与空间几何证明的典型例题分析为了更好地理解和掌握立体几何与空间几何证明的方法，我们来看两个典型例题的分析与解答。

3.1 例题一已知点A、B、C、D在平面OXYZ上，M是AB的中点，N是CD的中点。

证明：MN平行于平面OXY。

空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求模块框架空间几何量的计算平行、垂直的有关性质与判定． 理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =I ，简记为l m A =I ； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=I ． 2．平面的三个公理：知识内容⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈I I ．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=I ，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒I ． 图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=I ．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒I ．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒I I ． 图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．lα直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=I ，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=I ，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学内容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面内的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α内的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离． ⑶斜线在平面内的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影． 2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角； ⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90o ；⑶直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0o ．显然，直线和平面所成的角的范围为0,90⎡⎤⎣⎦o o ．由此可见，一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题），是通过斜线在平面内的射影转化成两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的． 具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： ⑴作——作出斜线与射影所成的角；⑵证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；⑶算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带作用。