应用多元分析课件(7)

d12

m2 m1 m2
Ø 故按此定义本例中x1 与x2 之间的距离为2/3。
二、相似系数
v 聚类分析方法不仅用来对样品进行分类，而且可用 来对变量进行分类，在对变量进行分类时，常常采 用相似系数来度量变量之间的相似性。
v 变量之间的这种相似性度量，在一些应用中要看相 似系数的大小，而在另一些应用中要看相似系数绝 对值的大小。
v 1.明考夫斯基(Minkowski)距离 v 2.兰氏(Lance和Williams)距离 v 3.马氏(Mahalanobis)距离 v 4.斜交空间距离
1.明考夫斯基距离
v 第i个样品与第j个样品间的明考夫斯基距离（简称明氏距离 ）定义为
dij
q

p k 1
xik
x jk
名义尺度变量的一种距离定义
v 例6.2.1 某高校举办一个培训班，从学员的资料中得到这样 六个变量：性别(x1)，取值为男和女；外语语种(x2)，取值为 英、日和俄；专业(x3)，取值为统计、会计和金融；职业(x4) ，取值为教师和非教师；居住处(x5)，取值为校内和校外； 学历(x6)，取值为本科和本科以下。
di j M xi xj S 1 xi xj
其中xi=(xi1,xi2,⋯ ,xip)′，xj=(xj1,xj2,⋯ ,xjp)′，S为样本协 方差矩阵。
v 使用马氏距离的好处是考虑到了各变量之间的相关 性，并且与各变量的单位无关。但马氏距离有一个 很大的缺陷，就是马氏距离公式中的S难以确定。 没有关于不同类的先验知识，S就无法计算。因此 ，在实际聚类分析中，马氏距离不是理想的距离。

dij
iGL , jGJ

应用多元分析聚类分析详解演 示文稿
第一页，共166页。
优选应用多元分析聚类分析
第二页，共166页。
❖ 系统聚类分析 直观，易懂。
❖ 快速聚类 快速，动态。
❖ 有序聚类 保序(时间顺序或大小顺序)。
3
第三页，共166页。
§6.1 引言
例 对10位应聘者做智能检验。3项指标X，Y和
Z分别表示数学推理能力，空间想象能力和语言 理解能力。其得分如下，选择合适的统计方法 对应聘者进行分类。
定的一种距离，其计算公式为：
dij (L)
p k 1
xik xik
x jk x jk
xij 0
这是一个自身标准化的量，由于它对大的奇异值不敏 感，这样使得它特别适合于高度偏倚的数据。虽
然这个距离有助于克服明氏距离的第一个缺点，但它
也没有考虑指标之间的相关性。
22
第二十二页，共166页。
3 马氏距离
样也便于不同变量之间的比较。变换后，数据短阵中任
何两列数据乘积之和是两个变量相关系数的（n－1）
倍，所以这是一种很方便地计算相关矩阵的变换。
4．对数变换
对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对 数值作为变换后的新值。即：
x* ij
log(xij )
15
第十五页，共166页。
三、样品间亲疏程度的测度
这两列变量样本协方差的(n—1)倍，所以这是一种很方
便地计算方差与协方差的变换。
13
第十三页，共166页。
2、极差规格化变换 规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大
值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的
每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差，

y1* 和 y2*累计贡献率3为 3
1* 2* 2.114 0.646 0.920
3
3
➢ 现比较本例中从R出发和例7.2.2中从 Σ出发的主成分
计算结果。从R出发的 y1*的贡献率0.705明显小于从Σ 出发的y1的贡献率0.938，事实上，原始变量方差之 间的差异越大，这一点也就倾向于越明显。
2
❖ 习题7.6 下表给出的是美国50个州每100 000个人中 七种犯罪的比率数据。这七种犯罪是：
x1：杀人罪
x5 ：夜盗罪
x2：强奸罪
x6 ：盗窃罪
x3：抢劫罪
x7 ：汽车犯罪
x4：伤害罪
试图用降维的方式对50个州的犯罪情况进行比较分
析。
3
state Alabama Alaska Arizona Arkansas California Colorado Connecticut Delaware Florida Georgia Hawaii Idaho Illinois Indiana Iowa Kansas Kentucky Louisiana Maine
第七章 主成分分析
❖ §7.1 引言 ❖ §7.2 总体的主成分 ❖ §7.3 样本的主成分 ❖ §7.4 若干补充及应用中需注意的问题
1
§7.1 引言
❖ 主成分分析由皮尔逊（Pearson，1901）首先引入， 后来被霍特林（Hotelling，1933）发展了。
❖ 主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少 数几个主成分（综合变量）的统计分析方法。这些 主成分能够反映原始变量的绝大部分信息，它们通 常表示为原始变量的某种线性组合，且彼此不相关。
153.5 1086.2 2498.7

在线性回归分析中，自变量可以是连续的或离散的，因变量通常是连续的。
线性回归分析的假设包括误差项的独立性、同方差性和无偏性等。
线性回归分析的优点是简单易懂，可以用于解释自变量和因变量之间的关系，并且可以通过回归系数来度量自变量对因变量的影响程度。
非线性回归分析
非线性回归分析是指自变量和因变量之间存在非线性关系的回归分析方法。
详细描述
数据的收集与整理
总结词
描述性统计量是用来概括和描述数据分布特性的统计指标。
详细描述
描述性统计量包括均值、中位数、众数、标准差、方差等统计指标，以及偏度和峰度等统计量。这些统计量可以帮助我们了解数据的分布情况，如数据的集中趋势、离散程度和形状等。通过对这些统计量的计算和分析，可以进一步了解数据的特征和规律。
DBSCAN聚类分析
06
多元数据判别分析
基于距离度量的分类方法，通过最大化类间差异、最小化类内差异进行分类。
Fisher判别分析是一种线性判别分析方法，通过投影将高维数据降到低维空间，使得同一类别的数据尽可能接近，不同类别的数据尽可能远离。它基于距离度量，通过最大化类间差异、最小化类内差异进行分类。
数据的可视化方法
03
多元数据探索性分析
数据的相关性分析
总结词：通过计算变量间的相子分析用于探索隐藏在变量之间的潜在结构，即公共因子。
04
多元数据回归分析
线性回归分析
A
B
D
C
线性回归分析是一种常用的回归分析方法，通过建立自变量和因变量之间的线性关系，来预测因变量的取值。
01
02
03
04
05
多元统计分析的定义与特点
社会学
心理学

采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。

分不同类别。构建判别函数的方法包括线性判别分析和非线性判别分析。验证 判别函数的准确性可以通过交叉验证等技术实现。应用判别函数时，需要将数 据带入判别函数中，根据判别函数的输出结果进行分类。
回归分析
• 总结词：回归分析是一种统计方法，用于探索和描述变量之间的关系。 • 详细描述：回归分析通过建立回归模型，描述一个或多个自变量与因变量之间
K-均值聚类
K-均值聚类是一种基于划分的聚类方法，通过将数据点分配到K个中心点，使得每个 数据点到其所在类别的中心点的距离之和最小。
K-均值聚类的优点是计算效率较高，适用于大规模数据的聚类分析。
K-均值聚类的缺点是需要预先设定类别数K，且对初始中心点的选择敏感，容易陷入 局部最优解。
05 多元数据的判别与回归分 析
平行坐标系
通过平行坐标系展示多维 数据，可以清晰地展示数 据的分布和变化趋势，并 方便进行数据比较。
数据的中心趋势与离散程度
01
02
03
04
均值
计算各个变量的均值，可以反 映数据的中心趋势。
中位数
计算各个变量的中位数，可以 反映数据的中心趋势。
标准差
计算各个变量的标准差，可以 反映数据的离散程度。
应用多元分析》第三版ppt(第一 章)
目 录
• 引言 • 多元数据的描述性统计 • 多元数据的降维技术 • 多元数据的分类与聚类 • 多元数据的判别与回归分析 • 多元数据的典型相关分析
01 引言
多元分析的定义与重要性
定义
多元分析是一门研究多个变量之间关 系的学科，通过统计方法对多个变量 进行描述、探索和建模，以揭示变量 之间的内在联系和规律。
相似性度量
用于衡量数据点之间的相似程度 ，常见的相似性度量方法有皮尔 逊相关系数、余弦相似度等。

v Ø
例1.2.2 用矩阵分块方法证明正交矩阵A：p×p的p 个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量。 证明 将矩阵A分别按列向量和行向量分块，并记
a(′1) a(′2 ) A = ( a1 , a2 ,L , a p ) = M a(′ p ) ′ a1 a′ 2 ( a , a ,L , a ) = I p M 1 2 ′ ap
v
若将矩阵A的行与列互换，则得到的矩阵称为A的转 置，记作A′，即 a11 a 12 A′ = M a1q a21 L a p1 a22 L a p 2 M M a2q L a pq
v
若方阵A满足A′=A，则称A为对称矩阵。显然， aij=aji。向量和矩阵的迹
一、特征值和特征向量 v 二、矩阵的迹
v
一、特征值和特征向量
v
v
v
设A是p阶方阵，若对于一个数λ，存在一个p维非零向量x， 使得Ax=λx，则称λ为A的一个特征值或特征根，而称x为A 的属于特征值λ的一个特征向量。 依该定义有，(A−λI)x=0，而x≠0，故必有 |A−λI|=0 |A−λI|是λ的p次多项式，称为特征多项式。上式有p个根 (可能有重根)，记作λ1,λ2,⋯,λp，它们可能为实数，也可能 为复数(虽然A是实数矩阵)。反过来，若λi是上式的一个根 ，则A−λiI为退化矩阵，故存在一个p维非零向量xi，使得 (A−λiI)xi=0 即λi是A的一个特征值，而xi是相应的特征向量。 今后，一般取xi为单位向量，即满足xi′xi=1。
矩阵秩的基本性质
v v
v v v v
(1)rank(A)=0，当且仅当A=0。 (2)若A为p×q矩阵, 且A≠0，则1≤rank(A)≤min{p,q}(若 rank(A) =p,则称A为行满秩的；若rank(A)=q,则称A为列满秩的)。 (3)rank( AA )=rank( 0 A′)。 0 A rank = rank =rank ( A ) + rank ( B ) 0 B B 0 (4) 。 (5)rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}。 (6)若A和C为非退化方阵，则 rank(ABC)=rank(B) (7)p阶方阵A是非退化的，当且仅当rank(A)=p(称作A满秩)。 (8)rank(AA′)=rank(A′A)=rank(A)。

写字母表示； 随机变量用大写字母表示，其实现值用小写字母表示。
1
一、随机向量
在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机 变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进 行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关 关系。
在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维 随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资 料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ，则 E(X) μ，D(X) Σ ，即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量， Σ 恰好是多维随机 向量 X 的协差阵。其中，
1
μ
2
，
p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp )，则 X(1) 的边缘 密度函数为：
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt，p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的 乘积，则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp

相互独立,则随机变量 t X ~ t(n).
n
下面把 t2 nX 2 nX 1X 的分布推广到p元总体.
设总体X～Np(0,Σ)，随机阵W ～ Wp(n,Σ),我们来讨论T2＝nX'W -1 X的
分布.
20
第20页/共61页
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T 2分布
由来自总体N(μ, σ2)的样本导出的检验统
计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于
以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks Λ统计量,讨论这 些统计量的分布是多元统计分析所涉及
的假设检验问题的基础. 2 第2页/共61页
第三章 多元正态总体参数的假设检验
n
A ( X ( ) X )(X ( ) X ) ~ Wp (n 1, ) 1
证明 根据第二章§2.5的定理2.5.2知 n1 A Z Z 1
而Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n-1)相互独立,由定 义 3.1.4可知A～Wp(n-1,Σ).
14
第14页/共61页
第三章 多元正态总体参数的假设检验
一般地,设X(α)～Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立, 记
则称W＝X'X服从非中心参数为Δ的非中心 Wishart分布,记为W～Wp(n,Σ,Δ).
其中
12
第12页/共61页
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
当X(α)～Np(μα ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立时，非 中心参数
互独立，则称随机矩阵 W n X() X() X X 1

aΣ12b ，
(9.14)
式(9.14)说明， 的值就是线性组合U 和V 之间的相关系数。因此，式(9.11)可写成
Σ11a Σ12b 0 ，
(9.15)
Σ21a Σ22b 0 ，
(9.16)
为求解方程，先以
Σ12
Σ1 22
左乘以式(9.16)，并将式(9.15)代入式(9.16)，得
来度量。当 p 1， q 1 时，对两组变量两两求相关系数，就得到了 ( p q) ( p q)阶相
关阵。在变量数较多的时候，直接通过相关阵研究两组变量之间的相关关系不仅繁琐，同时 也不容易抓住问题的本质。回归分析中的复相关系数给了我们提示，复相关系数可以描述一 个变量与一组变量线性组合之间的相关性。那么是否能够更进一步从每一组变量中构造少数 综合变量，用少数综合变量的相关关系来反映两组变量之间的相关关系呢？
为典型变量，这些变量对之间的相关系数称为典型相关系数。
6
一、总体典型变量与典型相关系数
由典型相关分析原理，典型相关分析希望寻求 a 和 b 使得 UV 达到最大，但是由于随机
变量乘以常数时不改变它们的相关系数，为了防止不必要的结果重复出现，最好的限制是令
D(U ) 1和 D(V ) 1。于是，我们的问题就转化为，在
这里，我们不加证明地直接给出典型变量所具有的性质：
性质 9.1：由 X1, X2, , X p 所组成的典型相关变量U1,U2, ,U p 互不相关；同样地， 由 Y1,Y2, ,Yq 所组成的典型相关变量V1,V2, ,Vp 也互不相关，并且它们的方差均等于 1。
用数学表达式为：
D(Uk ) D(Vk ) 1，
一、典型相关分析的基本思想
假设一组随机变量为 X1, X2, , X p ，另一组随机变量为Y1,Y2, ,Yq ，我们要研究两组

描述两个定性变量之间的相关性是指广义的相关性， 称为关联性。两个定性变量的关联程度在某种意义 上就是指的“不独立”，它与独立的情形差距越大， 就表明彼此的关系越密切，这种关系不一定是线性 关系。在实际问题中，重要的是判断变量之间是否 独立，因为不独立就意味着关联。最常用的检验办 法是列联表独立性检验。
行轮廓矩阵为：
p11/ p1. N(R)p21/ p2.
p12/ p1.
p22/ p2.
pn1/ pn. pn2/ pn.
p1p/ p1. p2p/ p2.
pnp/ pn.
由此，我们可以将属性变量A的n个取值可 以用P维空间的n个点来表示。n个点的坐 标即为该行轮廓矩阵。
但是，因为原始变量的数量等级可能不同，所以 为了尽量减少各变量尺度差异，将行轮廓中的各列 元素均除以其期望的平方根。得矩阵D(R)
在着的简单对应关系。由特征根和特征向量的性质， A和B有相同的非零特征根。
设 k 是A=Z’Z的非零特征根，则 Z Zku ku k
在上式的两边都左乘Z，则
Z Z ( Z k ) u k ( Z u k )
可见 k 也是ZZ’的特征根，相应的特征向量是Zu k
三、对应图
设12… l(0<i<min(n,p))为矩阵A和B的 非零特征根,其相应的特征向量为
多元统计分析——对应分析
3
列联表
B1 B2
Bj
A1 n11 n12 … n1j
…
A2 n21 n22
n2j
Bp n1p n1. n2p n2.
Ai ni1 ni2
nij
nip ni.
An nn1 nn2
nnj
nnp nn.
n.1

n
n
ei2
yi b0 b1xi1 b2 xi2
2
bp xip
i 1
i 1
达到最小。解形如下式的正规方程：
yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
bp xip )
0
xi1 yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
bp xip ) 0
xip yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
二、逐步回归分析
每步都要进行显著 性检验，以便保证 每次引入变量前回 归方程中只包括显 著性变量。这个过 不能 程反复进行，直到 既无不显著变量从 回归方程中剔除， 又无显著变量需要 选入回归方程时为 止。
开始
能否引入 不在方程中的变量
能
引入变量
能否剔除 已在方程中的变量
能
引入变量
不能
筛选结束
二、逐步回归分析
可以进一步证明最小二乘法估计量 b 服从正态分布，
即
b ~ Np1[β, 2(XX)1]
此时，最小二乘估计是一切无偏估计中方差最小的估计。
特别地，有 bj N[ j , 2 cjj ] ( j 0,1, , p )，其中，cjj 表
示矩阵 (XX)1 中第 j 行第 j 列的元素。
二、模型检验
通常来说，模型的设定只是基于定性分析作出的 假设。这种假设是否符合实际，能否得到样本数据 的支持，还需要在求出线性回归方程后，对回归方 程进行显著性检验。多元线性回归方程的显著性检 验与一元线性回归方程的显著性检验思想是一致的， 但也有不同之处。这里我们介绍两种方法，一是回 归方程整体显著性的 检验F ，另一个是回归系数显
从回归模型的简洁性上看，回归方程中包含自变量个数 越小越好。

料作统计分析，我们能够得出：
第一章
§1.2
绪
论
多元统计分析的应用领域--教育学
(1) 高考成绩和高中学习期间成绩的关系,即给出两 组变量线性组合间的关系,从而可由考生在高中期间的 学习成绩来预报高考的综合成绩或某科目的成绩.
(2) 给出考生成绩次序排队的最佳方案(最佳 组合).总分可以体现一个考生成绩好坏,但对报 考概率统计系的学生,按总分从高到低的顺序录 取并不是最合适的.应按适当的权数加权求和.如 数学、物理、外语的权数相对高些.
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
综上所述，多元分析以ｐ个变量的n次观 测数据组成的数据矩阵 x11 x12 … x1p x21 x22 … x2p
X=
xn1 xn2 … xnp
…. ….
…. ….
为依据。根据实际问题的需要，给出种种方法 。英国著名统计学家Ｍ.肯德尔（M.G.Kendall ）在《多元分析》一书中把多元分析所研究的 内容和方法概括为以下几个方面：
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
1. 简化数据结构(降维问题) 例如通过变量变换等方法使相互依赖的变量 变成互不相关的；或把高维空间的数据投影到 低维空间，使问题得到简化而损失的信息又不 太多.主成分分析，因子分析,对应分析等多元 统计方法就是这样的一类方法。 ２.分类与判别（归类问题）
教育学-主成分分析在学生学习成绩排序中的应用 接着把每个学生12门课程的成绩代入第一 主成分Z1中，计算出每个学生第一主成分Z1的 得分值，然后按从大到小的次序对全班学生的 第一主成分Z1的得分值进行排序。这个次序作 为全班学生在大学本科4年中综合学习成绩的 顺序是更合理更科学的。