分解因式--公式法--完全平方式

学科：数学授课教师：年级：八年级总第课时课题14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》课时教学目标知识与技能用完全平方公式分解因式过程与方法1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．情感价值观通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点用完全平方公式分解因式．教学难点灵活应用公式分解因式．教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程教学流程教学活动学生活动设计意图复习提问1、分解因式：（1）－a2＋b2（2）2a－8a22、把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2思考解答复习引入完全平方公式1、把整式乘法的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2a b＋b2（a－b）2＝a2－2a b＋b2反过来，得到：a2＋2a b＋b2＝（a＋b）2a2－2a b＋b2＝（a－b）2注：（1）形如a2±2a b＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。

（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。

（3）上面两个公式用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

尝试独立完成然后与同伴交流总结掌握完全平方公式分解因式特点例题练习1、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y22、练习：P119页：练习：1、2：（1）--（4）3、分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+364、练习：P119页：练习：2：（5）（6）5下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2（4）a2＋ab＋b2（5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4 思考动手板演归纳总结巩固知识因式分解的一般步骤1、把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）44yx-；（2）33abba-；（3）22363ayaxyax++；（4）22)()(qxpx+-+；（5）4x2+20（x-x2）+25（1-x）22、分解因式的一般步骤：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到每个多项式因式不能再分解为止．3、练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（3）2a2-a3-a；课堂小结1、完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

解二次方程的多种方法二次方程是一种常见的数学问题，常见的形式为ax^2+bx+c=0。

在解这类方程时，有多种方法可供选择。

本文将介绍解二次方程的几种常用方法，包括求根公式法、配方法、完全平方式、因式分解法以及图像法。

一、求根公式法求根公式是解二次方程的一种直接的方法。

对于一般的二次方程ax^2+bx+c=0，根据求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，可以直接求得方程的解。

其中，±表示两种可能的取值，√表示开平方的运算。

举例说明：对于方程2x^2+5x-3=0，根据求根公式可得：x=(-5±√(5^2-4×2×(-3)))/(2×2)，化简后得到x=-3或x=0.5，即方程的根为x=-3和x=0.5。

二、配方法配方法是解二次方程的另一种常用方法。

该方法的基本思想是通过变换将原方程化为关于某个新变量的平方差或平方和等式，再进行分解求解。

举例说明：对于方程x^2-5x+6=0，我们可以通过配方法将其变形为(x-2)(x-3)=0，进而得到x=2或x=3，即方程的根为x=2和x=3。

三、完全平方式完全平方式也是解二次方程的一种有效方法。

该方法的关键是将方程进行变形，使等式的一边成为一个完全平方。

举例说明：对于方程x^2+6x+9=0，我们可以将其变形为(x+3)^2=0，进而得到x=-3，即方程的根为x=-3。

四、因式分解法因式分解法是解二次方程的另一种常见方法。

该方法的基本思想是通过因式分解将原方程表示为两个或多个因数的乘积形式，进而解得方程的根。

举例说明：对于方程x^2-4x=0，我们可以将其因式分解为x(x-4)=0，由此得到x=0或x=4，即方程的根为x=0和x=4。

五、图像法图像法是一种直观的解二次方程的方法。

该方法根据二次方程的图像特征来求解方程的根。

通过观察方程的图像，我们可以推测出方程的解的大致范围，然后通过逼近方法求得方程的准确解。

师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。

2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。

二、重点难点完全平方公式的意义及运用。

1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。

知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。

注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。

4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。

．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。

分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。

解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。

【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。

分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。

14.3(7)因式分解--公式法-完全平方公式一．【知识要点】1.因式分解所用完全平方公式是 。

2.在对多项式进行因式分解时，应先考虑用 法，再用 法 。

3.因式分解必须进行到每个因式 为止（一般在有理数范围内）二．【经典例题】1．因式分解：()2114x x -+ ()22 2x 4xy 4y －＋－ ()23()4x y xy -+()24412()9()x y x y +-+-2.若2()2210x y x y --++=，则x y -=_____________。

3.下列多项式：①22y xy 2x -+ ②xy 2y x 22+-- ③22y xy x ++ ④2x 41x 1++，其中能用完全平方公式分解因式的有 ( ) A.1个B.2个C.3个D.4个4．计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（ ）A.0B.1C.8.8804D.3.96015.若 a, b, c 是三角形的三边,且满足关系式0222=---++bc ac ab c b a ，试判断这个三角形的形状。

6．(2022年绵阳期末第13题）分解因式：x 2y ﹣2xy 2+y 3＝ ．三．【题库】【A 】1.下列多项式因式分解正确的是 （ ）A . 4-4a +a 2=(a -2)2B . 1+4a -4a 2=(1-2a ) 2C . 1+4x 2=(1+2x )2D . x 2+xy +y 2=(x +y )22．已知2210a a -+=，则2007a 等于 ( )A ．1B ．－1C D【B 】1.下列多项式能用完全平方公式分解的有（ ）⑴.a 2＋ab ＋b 2 ⑵.a 2－a ＋41 ⑶ .9a2 －24ab ＋4b 2 ⑷.－a 2 ＋8a －16 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.将下列各式分解因式（1）1102524++x x (2) 2816m m -+-(3) ()()962++-+n m n m【C 】1.下列多项式：①22y xy 2x -+ ②xy 2y x 22+-- ③22y xy x ++ ④2x 41x 1++ 其中能用完全平方公式分解因式的有 () A.1个 B.2个 C.3个D.4个 2.在多项式①x 2+2xy-y 2 ②-x 2-y 2+2xy ③x 2+xy+y 2 ④ 4x 2+1+4x 中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④3.因式分解:()21()2()1x y x y ++++4.下列多项式中能用完全平方是分解因式的有（ ）个⑴442++a a ⑵2241y xy x +-⑶412++-m m ⑷22469y xy x ++⑸2122++aa A.1 B.2 C.3 D.45.已知1251+=x a ,1351+=x b ,那么代数式ab b a 222-+的值是（ ） A.156 Ｂ.1- Ｃ.1 Ｄ.156-【D 】。

因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。

应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。

因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法,求根公式法，换元法,长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如:()1332--=+-x x x x )分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“—”号时,多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤:（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式；③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶. 例如:-am+bm+cm=—m （a-b —c)；a(x-y)+b(y-x ）=a(x-y ）—b （x-y)=(x —y ）(a-b)。

如何解(公式法的因式分解完全平方公式)因式分解是数学学习中的一个重要内容，而公式法中的完全平方公式更是其中的关键。

别担心，咱们一起来把这个难题给攻克掉！先来说说完全平方公式到底是啥。

它有两个形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²以及 (a - b)² = a² - 2ab + b²。

那怎么用这两个公式来进行因式分解呢？咱们通过一些例子来瞅瞅。

比如说，有个式子 x² + 6x + 9 ，咱们来分解它。

先看，6x 正好是 2乘以 3 乘以 x ，而 9 是 3 的平方，这不就符合 (a + b)² = a² + 2ab + b²这个形式嘛，其中 a 就是 x ，b 就是 3 ，所以可以分解为 (x + 3)²。

再比如 4x² - 12xy + 9y²，这里 4x²可以看成 (2x)²，9y²可以看成(3y)²，而 -12xy 正好是 -2 乘以 2x 乘以 3y ，所以它可以分解为 (2x -3y)²。

我记得我以前教过一个学生，叫小李。

这孩子特别聪明，就是一碰到因式分解就犯迷糊。

有一次上课，我就专门讲完全平方公式的因式分解，出了一道题 16x² + 24x + 9 让大家做。

小李一开始眉头皱得紧紧的，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊！”我走到他身边，轻声问他：“来，咱们先看看，16x²是不是可以写成 (4x)²呀？9 是不是 3 的平方？那24x 是不是 2 乘以 4x 乘以 3 呢？”小李眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，我懂啦，这就是一个完全平方！”然后很快就写出了正确答案(4x + 3)²。

从那以后，小李对因式分解的题目就越来越得心应手啦。

咱们再深入一点，有些式子可能不是一下子就能看出来是完全平方的形式，这时候就需要咱们稍微变一变。

因式分解的多种方式----知识延伸，向竞胜过度1. 提取公因式：这种方式比较常规、简单，必需掌握。

常常利用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x 解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对咱们后面的学习有帮忙。

2. 公式法常常利用的公式：完全平方公式、平方差公式。

注意：利用公式法前，部份题目先提取公因式。

例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的大体方式，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方式的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，别离写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，别离写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方式表示下列四种情况：通过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，若是二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，取得a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以够分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方式要多实验，多做，多练。