对一道函数与方程调研题的思考

几何探路 方程为介对一道求角的最值模考题的探究山东省日照实验高级中学 邹 青 (邮编:638400)摘 要 文章以一道模考求角的最值问题为例,结合变式探究从几何和代数两大角度总结了求角的最值的常用解题思路和方法,对解三角形中的求最值问题起到补充和借鉴意义.关键词 解三角形;最值;几何法;代数法 本文探究例题选自2022年11月份日照市模拟考试第17题,平均分2.3分,得分情况不理想.例题考查的数学知识有平面向量的分解㊁正弦定理㊁余弦定理㊁解三角形;主要考查计算求解能力㊁直观想象能力和逻辑推理能力.题干表述将几何与代数联系在一起,第一问入口宽,解决问题的思维方法可以是几何的,也可以是代数的,给不同思维水平的同学提供了充分的发挥空间.第二问从学生答卷反馈来看,众多同学不知道如何求解角的最大值,没有找到有效的解题思路,第二问空白答卷非常多.通过本例探究求角的最值的一般性方法,结合变式探究拓宽视野,发散思维.1 试题呈现例1 在әA B C 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,点D 满足3B D ң=B C ң,且A Dң㊃A C ң=0.(1)若b =c ,求A 的值;(2)求B 的最大值.2 解法探究解析 角度一 向量法因为A D ң㊃A C ң=0,所以(A B ң+13B C ң)㊃A Cң=0,即(23A B ң+13A C ң)㊃A C ң=0,所以23b c c o s A +13b 2=0,又因为b =c ,所以c o s A =-12,因为0<A <π,所以A =2π3.角度二 坐标法以A 为坐标原点,建立如图1所示平面直角坐标系,则B (-b2,b s i n øB A D ),所以s i n øA B I =B I A B =12,所以øA B I =π6.角度三 几何法图1法一 过点B 作A C 平行线交A D 延长线于点E ,如图2,则R t әA D C ʐR t әE D B ,所以B D =b2,则在R t әA B E 中,s i n øB A E =B E A B =12,所以图2øB A E =π6.所以A =2π3.法二 过点D 作A C 平行线交A B 于点F ,则D F =13b ,A F =23b ,在R t әA D E 中,所以øF A D =π6.法三 取C D 中点G ,则A E =D E =E C =B D =m ,所以øB =øC =øC A E ,所以әA B DɸәA C E ,设øB A D =øE A C =α,所以6α=π,即α=π6,所以A =2π3.法四 取B C 的中点H ,则有R t әC A H ʐR t әC D A (或由射影定理),所以A C C H =C D A C ,解得b =33a ,在әA B C 中,c o s A =b 2+b 2-a 22b2=-12,所以A =2π3.角度四 方程思想之正弦定理算两次在әA B D 中,B D s i n øB A D =A Bs i n øA D B,即a 3s i n øB A D =bs i n øA D B,在R t әA C D 中,s i n øA D C =A C D C =b2a3,因为s i n øA D B =s i n øA D C ,联立解得s i n øA D B =12,øB A D =π6,所以A =2π3.角度五 方程思想之余弦定理算两次在R t әA C D 中,c o s C =b2a 3;在әA B C 中,c o s C =a 2+b 2-b 22a b =a 2b ,所以a 2b =3b2a,即a =3b ,下同解法四.点评 第一问短小简明,便于学生多角度切入,要求学生读懂向量语言,可以直接采用向量基底法,该方法最为便捷;建立平面直角坐标系,坐标化求解;从条件b =c 出发,所以可以借助等腰三角形的特殊性质数形结合求解;在等腰三角形中深入考查学生对解三角形知识的理解水平,和灵活运用知识解决问题的能力,利用 算两次 的思想,具体结合两次正弦定理或者两次余弦定理联立解方程,方程视角相对平面向量视角和坐标法视角计算过程相对繁琐,但也是需要学生掌握的通性通法.(2)角度一 几何轨迹图3如图3,取C D 中点E ,因为A D ʅD C ,所以点A 的轨迹是以C D 为直径的圆,所以当直线A B 与圆E 相切时,øA B C 最大,又因为B D 的长等于圆的半径,所以此时B 为30ʎ.角度二 余弦定理与重要不等式因为23b c c o s A +13b 2=0,所以2b 2+c 2-a2=0,所以c o s B =a 2+c 2-b 22a c =a 22+3c 222a c ȡ32,当且仅当a =3c 时等号成立,因为0<B <π,所以B 的最大值为30ʎ.角度三 等面积法与函数思想设B D =m ,øA D B =β,在әA B D 中,A B 2=A D 2+B D 2-2A D ㊃B D c o s β=(8c o s 2β+1)m 2,又因为S әA B D +S әA D C =S әA B C ,所以12A B ㊃m s i n B +122m s i n β㊃2m c o s β=12A B ㊃3m s i n B ,化简得A B ㊃s i n B =m s i n 2β,所以s i n B =m s i n 2βm 8c o s 2β+1=s i n 2β8c o s 2β+1=s i n 2β4c o s 2β+5=1-c o s 22β4c o s 2β+5,令t =4c o s 2β+5,t ɪ[1,5],则s i n B =14-t 2+10t -9t =1410-(t +9t ),由y =t +9t ɪ[6,10],得s i n B ɪ[0,12],又因为B 为锐角,所以B 的最大值为π6.点评 首先借助几何图形分析边角要素关系,以正㊁余弦定理为主要工具,从代数和几何两大视角寻求解题思路.几何角度寻求点的轨迹,将角的最值问题转化为圆外一定点与圆心所成定直线与该圆外定点与圆上动点所成的动直线的最大夹角问题,解法小巧灵活.代数角度可以考虑表达出角的正弦或角的余弦的解析式,求角的正弦的难点在于表达出角的正弦的解析式,涉及角的恒等变换,对于学生运算能力要求较高,结合重要不等式求角的余弦更为常规,是解决求角的最值的通性通法.几何法运算量最小,但是对于思维要求最高.本题多角度㊁多层次地考查学生的数学能力,突出考查了推理论证能力㊁几何直观能力㊁探究能力㊁分析问题和解决问题的能力.3 变式探究变式1 (2023年济南二模第20题)已知әA B C 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,点G 是әA B C 的重心,且A G ң㊃B G ң=0.(1)若øG A B =π6,求t a n øG A C 的值;(2)求c o s øA C B 的取值范围.解析 (1)解法一正弦定理延长C G 交A B 于点E ,因为点G 是әA B C 的重心,所以E 是A B 的中点,设C G =2m ,图4øC A G =α,则D G =12C G =m ,则在R t әA G B 中,A G =3m ,A B =2m ,所以在әA G C 中,由正弦定理得A G s i n øA C G =C Gs i n øC A G,即3m s i n (π6-α)=2m s i n α,所以t a n α=36,即t a n øG A C =36.解法二 余弦定理延长C G 交A B 于点E ,因为点G 是әA B C 的重心,所以E 是A B 的中点,设C G =2m ,则D G =A D =B D =m ,A G =3m ,A B =2m ,所以øD G A =øD A G =30ʎ,øA G C =150ʎ,所以在әA G C 中,A C 2=A G 2+C G 2-2A G ㊃C G c o s øA G C =13m 2,所以A C =13m .由余弦定理可求得c o s øG A C =23913,所以t a n øG A C =s i n øG A C c o s øG A C =36.解法三 几何法延长B G 交A C 于点D ,设B G =2m ,则D G=m ,则A G =23m ,则在R tәA D G 中,t a n øD A G =D G A G =36.解法四 坐标法图5如图5所示建系,由题意得G E 所在直线为y =33x ,设C G =2,所以A (3,0),C (-3,-1),所以t a nøC A G =k A C =0-(-1)3-(-3)=36.解法五 向量基底法A C ң=A G ң+G C ң,且G C ң=-(G B ң+G A ң),所以A C ң=2A G ң-G B ң,A C ң㊃A G ң=A G ң㊃(2A G ң-G B ң)=2A Gң2,设C G =2,则B G =1,A G =3,则|A C ң|=4A G ң2+G B ң2-4A G ң㊃G B ң=13,所以c o s <A G ң,A C ң>=A G ң㊃A C ң|A G ң||A C ң|=2A G ң2|A G ң||A C ң|=2A G A C =21313.下同法二.点评 本题依托平面向量的线性运算和向量数量积的性质围绕三角形重心的性质考查求角问题,由于重心G 与三角形各顶点连接又能构成三个三角形,并且A G ʅB G ,条件突破口较多,充分彰显了向量在解题中的桥梁作用,直接利用向量基底运算,或者建立平面直角坐标系将求夹角问题转化为斜率相关问题,又或者可以分析几何图形结合正弦定理或余弦定理求解,考查学生思维的灵活性,能展现不同层次学生的数学素养,对于学生思维能力要求较高.(2)解法一 算两次延长C G 交A B 于点E ,则C E =32c ,在әA E C 中,b 2=c 24+9c 24-2c 2㊃3c 2c o s øA E C =5c 22-3c 22c o s øA E C ,在әB E C 中,a 2=c 24+9c 24-2c 2㊃3c 2c o s øB E C =5c 22-3c 22c o s øB E C ,两式相加得a 2+b 2=5c 2,在әA B C 中,c o s øA C B=A C 2+B C 2-A B 22A C ㊃B C =2(a 2+b 2)5a b ȡ45.当且仅当a =b 时等号成立,又øA C B ɪ(0,π2),则c o s øA C B <1,故c o s øA C B 的取值范围为[45,1).解法二 向量基底法因为A G ң㊃B C ң=(13A C ң+13A B ң)㊃(13A C ң-23AB ң)=0,所以2A B ң2+A B ң㊃AC ң-A C ң2=0,即2c 2-b 2+b c c o s A =0,结合余弦定理化简得a 2+b 2=5c2,以下同法一.解法三 向量法延长C G 交A B 于点E ,因为C B ң+C A ң=2C E ң,C B ң-C A ң=A B ң,所以(C A ң+C B ң)2=(2C E ң)2①,(C A ң-C B ң)2=B A ң2②,将①②相加得a 2+b 2=5c 2.解法四 轨迹法因为B G ʅA G ,所以点G 在以A B 为直径的圆O 上,设A B =2,则O G =1,O G =3,由于当G 落在A B 的中垂线上时,әA B C 的面积取得最大值,即t a n øA C B 取得最大值,此时øA C B 取得最大值,所以c o s øA C B 取得最小值,所以c o s øA C B =2c o s 2øA O C -1=45.点评 将A ㊁B 视为定点,可知点G 的轨迹是圆,利用数形结合容易判断G 落在A B 的中垂线上时әA B G 的面积取得最大值,由于G 为әA B C 的重心,所以S әA B C =3S әA B G ,因此әA B C 面积也取得最大值,S =12a b 1-c o s 2C =12a b 1-(a 2+b 2-c 22a b )2=144a 2b 2-(a 2+b 2-c 2)2=14(1c o s 2C -1)(a 2+b 2-c2)2=14t a n 2C (a 2+b 2-c 2)2.因为A B 的中线长m 2c =2(a 2+b 2)-c 24,所以S =14t a n 2C (2m 2c -c 22)2=18|(4m 2c -c2)t a n C |,c =A B =2,m c =O C =3,得S =4t a n C ,本题易知C 为锐角,所以当әA B C 面积取得最大值,角C 取得最大值.在广泛掌握各种三角形面积公式的基础上以形显数,求角最值问题运算简洁明了.解法五 轨迹法之米勒圆图6延长B G 交B C 于点D ,过点C 向B D 延长线作垂线于点M .因为G 为重心,所以D 为A C 中点,不妨将B ,D看作定点,由于B G ʅA G ,所以A G ʊM C ,所以点C 在定直线M C 上运动,由米勒圆知当且仅当过B ,D 作圆与直线M C 相切于点C 时,øA C B 最大.由于M C 2=M D ㊃M B ,所以M C=2M D ,所以t a n øM C D =12,t a n øM C B =2,所以t a n øA C B =t a n øM C B -t a n øM C D1+t a n øM C B ㊃t a n øM C D=34,所以c o s øA C B =45,所以øA C B ɪ(0,π6]点评 由于D 为A C 的中点,将øA C B 视作øD C B ,再将B ,D 看成定点,即求两定点到直线上动点所成角的最值问题,即为米勒圆问题.本问要求学生能灵活运用知识迁移,注重对数形结合㊁转化与化归㊁整体代换与方程等思想方法进行考查,对学生逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等素养要求高.加强条件 在锐角әA B C 中,求c o s øA C B 的取值范围.解析 因为әA B C 为锐角三角形,b 2+c 2-a 2>0,a 2+c 2-b 2>0,将a 2+b 2=5c 2代入解得63<a b <62,所以c o s øA C B =a 2+b 2-c 22a b =25(ab+b a )ɪ[45,63).换设问 若әA B C 面积的最大值为3,求c .解析 由于a 2+b 2=5c 2,c o s C =a 2+b 2-c 22a b =25㊃a 2+b 2a b ȡ45,当且仅当a =b时等号成立,所以s i n C =1-c o s 2C ɤ35,所以S =12a b s i n C ɤ310a b =3,即a b =10,此时a =b=10,代入a 2+b 2=5c 2得c =2.变式2 (2022年天津第14题)在әA B C 中,C A ң=a ,C B ң=b ,D 是A C 的中点,C B ң=2B E ң,若A B ңʅD E ң,则øA C B 的最大值为.变式3 (2014年江苏第14题)若әA B C中的内角满足s i n A +2s i n B =2s i n C ,则c o s C的最小值是.变式4 (2016年全国高中数学联赛A 卷一试第9题)在әA B C 中,已知A B ң㊃A C ң+2B Aң㊃B C ң=3C A ң㊃C B ң,求s i n C 的最大值.4 结语三角形中求角的最值和取值范围问题需要引起教学的重视,引导学生从几何和代数两大角度加以探究,在探究时既注重纵深探究,也注重横向联系,求角的最值问题与面积最值问题密切相关,引导学生总结求最值问题的思维导图,解题时做到有法可依,思路明晰.(收稿日期:2023-10-11)。

高考数学学霸的答题技巧有哪些在高考时很多同学往往因为时间不够导致数学试卷不能写完，试卷得分不高，掌握解题思想可以帮助同学们快速找到解题思路，节约思考时间。

以下总结高考数学五大解题思想，帮助同学们更好地提分。

1、函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。

同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。

2、数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。

它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

3、特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。

不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用。

4、极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;三、构造函数数列并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

5、分类讨论思想同学们在解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。

引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。

建议同学们在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。

初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思《二次函数与一元二次方程》教学设计【课题】九年级下册5.6《二次函数与一元二次方程》（第1课时）一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。

教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。

这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

二、学情分析1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系。

因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。

2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。

三、教学目标知识与技能：1.探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的系数，判断它的图象与x轴的位置关系3.应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题过程与方法：经历探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。

情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用。

四、教学重难点重点：应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系五、教法学法教法：类比探究法、归纳总结法、讲练结合法学法：合作探究法、小组讨论法六、教学内容与过程（一）、立体式复习检测（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（2）不解方程，判断方程x2－3x＋3=0根的情况是________（3）解方程： x2－2x－3=0（4）（中考·白银）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________【师生活动】：同桌提问判别式△与方程实数根的关系，然后请4位同学分别板书以上4个题目，其他同学在导学案完成以上题目。

一道试题的解法探究与教学反思广西南宁市第三十六中学（530001）　庞　毅［摘　要］通过对一道高三摸底试题进行考情分析、解法探究和问题拓展，揭示试题的本质，并从注重解题经验积累培养数学运算素养、注重信息技术应用培养学生数字素养两个方面提出教学反思。

［关键词］解法探究；教学反思；圆锥曲线；信息技术［中图分类号］ G 633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0025-03解析几何是高考加强“综合性”考查的重要载体。

广西南宁市2024届高中毕业班摸底测试第21题将直线与椭圆的位置关系以及长度计算相结合，问题设计紧扣高考评价体系的“基础性、综合性、应用性、创新性”考查要求，既基础又开放，对高三数学复习备考具有重要的参考意义。

一、试题呈现与考情分析（一）试题呈现已知平面上动点E 到点A （1，0）与到圆B ：x 2+y 2+2x -15=0的圆心B 的距离之和等于该圆半径。

记Ε的轨迹为曲线Γ。

（1）说明Γ是什么曲线，并求Γ的方程；（2）设C 、D 是Γ上关于x 轴对称的不同两点，点M 在Γ上，且M 异于C 、D 两点，O 为原点，直线CM 交x 轴于点P ，直线DM 交x 轴于点Q ，试问||OP ·||OQ 是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

评析：本题主要考查椭圆的定义、标准方程、几何性质和直线方程等主干知识，考查通过代数运算结果判断几何性质的坐标法和函数与方程、转化与化归以及数形结合等数学思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养。

第（2）问是开放性问题，重点考查学生的创新能力和探索精神。

（二）考情分析本题的考试情况如表1所示。

表1　考情分析题目第21题实考人数54110满分12平均分1.15标准差1.77难度0.15区分度0.21满分率0.16零分率29.52从统计的结果来看，本题总体平均分1.15，难度0.15，这个结果出乎命题组的预料。

一道考查“无限逼近”思想的试题的编制与思考作者：王平来源：《中学数学杂志(初中版)》2010年第03期在各种测试中,对分类、化归、数形结合及函数与方程等数学思想的考查比较常见,但对于渗透在义务教育阶段的“无限逼近”的思想的考查则较为少见.笔者在教学过程中,通过对一道试题的研究,编制了一道考查“无限逼近”思想的试题,现将其展示出来,以飨读者1 最终形成的试题电焊工想利用一块长5m、宽4m的矩形钢板ABCD做出一个面积尽可能大的扇形.(1)他先在钢板上沿对角线割下两个扇形,如图1(1),再焊接成一个大扇形.请你求出此扇形ABC(如图1(2))的圆心角(精确到0.1°);(2)为了制作更大的扇形钢板,可以按如图2所示的方法把矩形钢板的宽2等分、3等分,…,n(n是正整数)等分后,再把每个小矩形按图1(1)的方法分割,最后把割下的扇形焊接成一个大扇形.当n越来越大时,最后焊接成的大扇形的圆心角( )A.小于90°B.等于90°C.大于90°命题创意来源本试题是一道改编题,原试题共三问,前两问分别给出了图3和图1,要求学生计算扇形的圆心角,第三问是一个方案设计的问题,要求学生在对比前两个方案的基础上,设计出可以焊接成比图1(2)更大的扇形.第三问考查的是学生对前两个方案的理解、优化方法的提炼和解决问题的能力,同时蕴含了对数学的化归思想的考查.笔者在研究中自然的想到,如果把矩形的宽等分成n 份,再按图1(1)所示的方法分割,当n越来越大时,那么能拼成多大的扇形呢?忽然发现,这不就蕴含了无限逼近的数学思想方法吗?于是就有了通过改编原试题的立意、体现考查无限逼近思想的意图.改编前期思考设想本题所考查的数学知识有:锐角三角函数的相关知识和矩形、扇形的相关知识,考查的主要思想方法有:估算的方法和无限逼近的思想,其中,考查的核心应是无限逼近的思想.从难度上设想本题是一道中等偏上难度题,应设置为两个小题.其中,第一小题应考查锐角三角函数的相关知识,既保证本题入口较低,又保证为本题的核心考查目标做好铺垫,能力维度上应定位为“知识技能”,属于基本知识与能力的考查;第二小题应考查学生对无限逼近思想的理解,为此,应通过文字描述、图形展示“隐性”揭示该方法,促进学生的理解,但依然能考查学生对该方法的提炼和运用,能力维度上应定位为“解决问题”,属于较高层次的能力考查.试题命制过程由于本题与原题的核心考查目标完全不一样,所以本题在呈现上也做了很大的改变:首先,由于原题中的第一个图(即图3)与本题考查的核心目标联系较小,加上控制试题阅读量的需要,故删去原题中的第一问.但原题中的第二问需要保留(即为本题中的第(1)题),这既是试题定位上的需要,又是实现本题核心考查目标的需要;其次,用图形展示能够使拼接成的扇形圆心角逐渐增大的两个方案,并用文字描述出方案的操作过程,为学生观察、计算、比较、猜想等数学活动做好准备;最后,对第二问的题型设计做了思考:若用填空题的题型,由于考查的主要目标并不是要学生求出圆心角的极限值,而是理解并运用无限逼近的思想,用估算的方法大致估计出圆心角的极限值即可,故不易设置需要填的“空”;若用解答题的题型,虽然它能完整、真实的展示学生的思考过程,体现学生的学习水平,但由于本题不宜设问(原因与选用填空题题型的问题类似),而且课本上没有出现(或极少出现)用无限逼近的思想解决问题的例题,所以学生对其书写的规范性不熟悉,易造成试题效度的缺失;第二问的解答策略命题后的思考6.1 命制试题技术的思考根据课标的要求和7～9年级学生的思维特点和认知规律,无限逼近思想只能在比较少的教学内容中初步渗透,对学生仅仅是要求对该思想有一个初步的感受,因此考查无限逼近思想的试题的“度”的把握很重要.从题型上看,选择题比较适合;从试题的内容上看,应有两个特点,一是数形结合,二是应有两种不同类型的、学生都比较熟悉的图形.“数形结合”强调的是图形的重要性,由图形直观帮助学生理解该思想是考查目标得以实现的必要保证;而有两种不同类型的、学生都比较熟悉的图形,则是为了实现考查目标的必然手段——由其中一种“逼近”另一种,如本题中的扇形“逼近”矩形、弧“逼近”线段.若是只有同一种类型的图形,则失去了“逼近”的价值;若是有学生不熟悉的图形,则只能定性研究,无法定量研究,考查的能力要求就会大为降低6.2 试题与教学之间联系的思考学生看到本题的图2,会觉得很“眼熟”,因为这种由扇形“逼近”矩形的图形,早在小学学习圆的面积公式时,学生就已经接触过了,而无限逼近的思想在初中的估计[KF(]2[KF)]的大小、求一元二次方程的近似解等教学内容中进行了初步的渗透.本题利用了学生比较熟悉的图形,考查了无限逼近的数学思想,体现了该内容对平时教学的要求,有利于引导教师教学中重视该数学思想的渗透,关注学生的理解生成.为了加强学生对该思想的感受,教师在平时的教学中还可以因势利导的渗透该思想,如和学生讲解完本题后,可以提问:你认为长与宽分别为多少的矩形,按题目的要求分割,焊接成的扇形的圆心角小于90°?等于90°?再如文1中提到的研究三角形的内角和时,教师可以引导学生用无限逼近的思想从另一个角度推导出三角形内角和定理;又比如在平时解决正n边形的相关问题时,教师可以让n逐渐增大,引导学生体会正多边形“逼近”圆的过程,等等,只要教师真正关注到这一点,有意识的、创造性的使用教学中的素材,学生用无限逼近思想解决问题的能力就能逐步提高.需要引起重视的是,随着初、高中衔接的不断加强,近两年在全国各地的中考试卷中,已经开始出现考查无限逼近思想的试题.笔者命制的这道试题,实为抛砖引玉之“砖”,望能引起同行们对命制考查这一思想的试题的深入探讨和研究.参考文献[1] 张祥淳.无限逼近思想的应用[J].中学数学教学参考,2009,(1-2).作者简介王平,南京市第六届优秀青年教师,南京市数学中心组成员,白下区特级教师工作室成员,多次参与区、市级统考命题.近两年参加中国教育学会“十一五”科研规划课题“数学考试评价的理论与实践研究”课题组的研究,参与编写全国中考数学考试效度、信度评价报告的工作.。

方程和函数思想的关系（摘录）方程、函数这两个术语在中小学数学组十分常见，也是大多数孩子们最为头疼的两个词，不止一次的问自己：这两个到底是什么东东，它认识我，我不认识它。

王永春（课程教材研究所）1、方程和函数思想的概念方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。

（1） 方程思想。

含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。

如有些小学老师经常有疑问的判断题;x=0和x=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。

方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。

方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。

方程思想体现了已之与未知数的对立统一。

(2) 函数思想。

设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。

其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y 的取值范围b叫做值域。

以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个与之对应的函数值也是唯一的。

这样的函数研究的是两个变量之间的关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生了变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。

实际现实中变量的变化而相应变化，这样的函数是多元函数。

虽然在中小学里不学习多元函数，但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系;v=πr2 h.半径和高有一对取值；也就是说，体积随半径和高的变化而变化，通过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则，从而构建函数模型。

教学参谋新颖试题2018年7月不断反思深度挖掘触类旁通—对一道质检题的多解剖析*江苏省丹阳高级中学朱炜俊著名数学家、教育学家G•波利亚在《怎样解题》一书 中指出：“好题目和某种蘑菇有点相似之处:它们都是成 串成长，找到一个以后，我们应该看看，很有可能在很近 的地方又能找到更多的因而当我们解完一道题以后，要不断领悟反思，多角度切人进行深度挖掘，从而达到 触类旁通、一题多解的效果.—、试题展示(2018年福建省高三毕业班质量检查测试•16)在平 面四边形中，"#=1，"$=!T，#%"#$，#%=2#$，贝的最小值为_____.二、解法研究分析:本题看似简单，条件也比较少，但对应的平面 四边形是不确定的，要确定"％的最小值问题，如 何切人才是解决问题的关键.思路方向1"解三角形思维是此类问题中最常见的 解题方法，也是考虑问题中首先想到的基本方法.通过 对不同三角形中边角关系的建立，利用三角函数的平方 关系加以转化，通过相应的方程有正数解，结合判别式 的求解即可确定对应的最值问题.本解法的运算量以及 运算的次幂比较大，运算时要有耐心，认真细致.解法（解三角形+函数与方程法如图1，设#$&(，贝切％&2#$&2(，设 #"#%&!，"％&)，在A"#C中，由余弦定理可得5=1+(2-2(c〇s%*号&，即 4-(2=2(sin!.①在A"#%中，由余弦定理可 %得）2= 1+4(2-4(cos!，整理可得 5(4-2(5+)2)(2+ (1-)2)2 +16&0,4此方程有正数解，则有％&4(5+)2)2-20 ( ((-))2+16 j &-)4+50)2-225'0，解得 5(45，则有故填<.思路方向2:当涉及到的平面几何比较难处理时，经 常可以考查建系，通过平面直角坐标系的建立，将其转 化为解析几何问题，这也是解决此类问题中比较常见的 一种方法.巧妙建立平面直角坐标系时，把点"放在单位 圆上，引人三角参数，结合勾股定理的转化来求解"％2的关系式，而碰到高次函数的最值问题，自然而然想到利 用导数法来确定对应的最值问题.本解法的运算量也比 较大，求导时容易出错，运算要专心细致.解法2(建系+导数法-:如图2，以#为坐标原点，#%、在直线分别为,2、-轴建立平面直角坐标系，#-，设$(0，a)，％(2a，0)，"（cos!，sin!)，其中！）|%，0 J，a e (-1，+1 -，结合勾股定理可得5=cos2!+ (a-sin! )2，整理可得sin^^4，2a而"％2=(2a-cos!)2+sin2!=4a2-4acos!+1&4/2-4a!1-(%?r+11-)2艮P— +2(2=2(cos!.②2由①2+②2，可得 4(2&(4-(2)2+ (^%+2(2&，44<(**•?农，？高中&4a2-2 V-a4+12a2-16 +1，设（,）=4,-2 !-,2+12,-16 +1，,=a2) (6-2!"5，6+2!"^)，2018年7月新颖试题贝")#4+2"_'2 ，!-"2+12"_16由/，(")>0 解得 2<"<10，故!(")在区间(6-2!y，2)，（10,6+2!^)上单调递减，在区间(2，10)上单调递增，可得!：")*+…#!：2)#5，则有故填！r.思路方向3 !考虑到题目中涉及各种边长与角度的关 系，我们还可以巧妙地引人平面直角坐标系与对应的极 坐标系，利用极坐标表'来确定相应的点的坐标，进而 确定点）所在的圆&的方程与点'所在的圆*的方程，利 用两圆的方程的求解以及位置关系，通过两圆内切的位 置关系来确定&'的最小值.本解法的思维巧妙，涉及极 坐标问题，知识点比较偏.解法3(极坐标法）！如图3，以+为坐标原点，&+所在 直线为"轴建立平面直角坐标系，而&(_1，〇)，由于可得点C所在的圆&为：("+1 )2+,2#5，整理为"2+y2+2"#4,"则圆&的极坐标方程为p2+2!C0s"=4,设点'的极坐标为（#，$)，此时点C的极坐标为(#，$_f$代人!2+2!C0s"=4 (可得+2x~#xc o s|$ ^J=4,整理有 #2+4#sin$# 16,贝乳点'所在的圆*为:"2+/+4,#16，良P"2+ (y+2 )2#20,显然圆&与圆*相内切，贝^有丨&'l_#.-l&*l#2V T-V T# V T.故填:！r.思路方向4!涉及凸四边形的对边、对角线等的关系 问题，可考虑利用特殊的几何定理:托勒密不等式(凸四 边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，当且仅 当四点共圆或共线时等号成立)来处理.处理巧妙，过程 简单1决捷.本解法涉及的托勒密不等式不属于课本知识，所以不易掌握，只是作为一个课外的拓展解法来处理.解法4 (托勒密不等式法）!如图4，设+'#2+)#2/，设 &'#",由于+'丄可得）'#V+'S+C2#V T/，c图4由托勒密不等式(凸四边形的两组对边乘积和不小 于其对角线的乘积，当且仅当四点共圆或共线时等号成 立）可得&+.C'+&'.+C"&C.+',即 1•V"^a+" •a"V"5~•2a,解得则有&'"!r.故填:v r.思路方向5 !平面几何的问题还是采用平面几何的方 法来处理，这是解决问题的一个思维方式.根据题目条件 加以巧妙的构造辅助线，通过三角形的相似，并结合相似 三角形及三角形的性质来确定最值问题.本解法利用初 中知识来解决高中问题，回归本源.其实，采用初中平面 几何的知识来解决一些高中相应的数学问题，往往可以 使得问题的解决更流畅V决捷解法5(旋转2几何法）！如图5,作+0丄&+，且+0# 2&+#2,连接&0、'0,可得&0# V&+2$+02# V5,由于+0#2& +,+'#2+C,则知 A&+C)A0+',可得 D#l l#2,可得 0'#2&C#2V T，根据三角形的性质可得&'"0'_&0#2V T_v r #V T.故填:V T.通过从多个不同角度的处理，巧妙地把该题的底蕴 充分挖掘出来，从多角度出发，多方面求解，真正实现对 数学知识的融会贯通，充分展现知识的交汇与综合，达 到提升能力、拓展应用的目的，进而真正达到在学中 “悟”，在“悟”中不断提升解题技能的目的.正如我国著 名数学家苏步青先生说过:“学习数学要多做习题，边做 边思索，先知其然，然后知其所以然.J h H高中十•？•!{：，■?45。

2025届四川绵阳市三台中学高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14 C ．7D ．22．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π3．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件4．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里6．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 8．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．4510． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4511．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B 5C ．23D ．8312．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

青山缭绕疑无路㊀忽见千帆隐映来谈一道导数题的教学与反思孙五林(四川省达州市高级中学培文学校㊀６３５０００)摘㊀要:宋代文学家王安石曾留下千古绝句 青山缭绕疑无路ꎬ忽见千帆隐映来 .闲暇时ꎬ驾一叶轻舟ꎬ畅游在平静而又开阔的江面ꎬ去填满充满诗意的心怀ꎬ但可曾想到ꎬ竹韵深掩的江水里ꎬ经常有暗礁埋伏ꎬ青山环绕的狭窄处ꎬ也许就无路可走.细想一下ꎬ这与学生对于导数综合题目的解答何其相似啊ꎬ本文从一道导数题目出发ꎬ谈了谈学生跌宕起伏的心理历程ꎬ供大家参考.关键词:导数综合ꎻ一题多解ꎻ素养渗透中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)０３－００１１－０３收稿日期:２０２１－１０－２５作者简介:孙五林ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀细思诗句ꎬ寓意深刻.人生 疑无路 时ꎬ最容易失去信心ꎬ惆怅失意ꎬ甚至悲观绝望.可是 千帆隐映来 又告诉我们ꎬ困难总是暂时的ꎬ危机的时候不能慌乱ꎬ总会有脱离困境的办法ꎬ希望就在不远的前方.高中导数作为压轴题ꎬ可谓十分 变态 ꎬ因为导数问题思维强度大ꎬ题型繁多ꎬ方法性强而灵活ꎬ解题突破口不易找寻ꎬ所以大多学生对导数压轴题是有恐惧心理的ꎬ大多望而生畏ꎬ甚至放弃.那么怎样找到突破口呢?笔者认为破解疑难在于转化之道ꎬ把问题转化成熟悉的常规问题ꎬ让学生看清问题的本质ꎬ前方可能无路可走ꎬ转化一下也许就柳暗花明.课堂是教学的第一阵地ꎬ我国教育界权威专家㊁华东师范大学终身教授叶澜女士说到: 一堂好课是有效率的课ꎬ丰实的课ꎬ平实的课ꎬ真实的课ꎬ常态的课 .说到底ꎬ一堂 好课 就是一堂有效率的课ꎬ能照顾到每一类学生的课ꎬ如涓涓溪水娓娓道来ꎬ让学生学起来轻松ꎬ在课上有所收获ꎬ并且能在课堂中落实双基ꎬ渗透核心素养.下面的这节课ꎬ就是笔者本人在高三上的平常课ꎬ真实课ꎬ课堂围绕着一道导数题目展开ꎬ现把这节课的教学过程呈现给大家ꎬ望批评指正.１开门见山ꎬ直接引入不等式恒成立问题是近年高考的热点问题ꎬ常以压轴题形式出现ꎬ交汇函数㊁方程㊁不等式和数列等知识ꎬ考察逻辑推理㊁数据运算㊁直观想象等核心素养.那么ꎬ不等式恒成立问题的一般处理思路是什么呢?这种引入直接将学生带入主题ꎬ学生迅速进入方法上的思考和回顾ꎬ学生回答得最多的方法就是转化ꎬ将恒成立问题转化成最值问题ꎬ这表明转化的思想大多学生已经具备.２典例呈现ꎬ越品越香原题:已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－ａｌｎ(ａｘ－ａ)＋ａ(ａ>０)ꎬ若关于ｘ的不等式ｆ(ｘ)>０恒成立ꎬ则ａ的取值范围是(㊀㊀).１１Ａ.(０ꎬｅ２)㊀Ｂ.(０ꎬｅ２]㊀Ｃ.(１ꎬｅ２)㊀Ｄ.[１ꎬｅ２]背景:该题是２０１９年武汉二月调研测试第１２题ꎬ是最后一道选择题ꎬ具有典型性㊁代表性等特征ꎬ方法多样.师:本题能否参变量分离呢?生:似乎很难办到ꎬ陷入思考?师:直接来求函数的最值ꎬ这是个隐零点问题吗?能否很快算出?学生在计算过程中遇到了种种困难ꎬ这并不是说这个问题不能解决ꎬ而是稍显麻烦ꎬ那么我们应该将不等式变形ꎬ从另外不同的视角来处理这个问题.视角一:求同存异ꎬ去伪为真师:选项有何特征?生:观察每个选项的特征ꎬ找到他们的相同和不同ꎬ１和ｅ２在每个答案中成为了两个特殊值ꎬ有的答案包含元素１ꎬ有的答案包括元素ｅ２.师:分别如何验证?生:思考片刻ꎬ当ａ＝ｅ２时ꎬ易得ｆ(２)＝０ꎻ当ａ＝１时ꎬ由ｅｘȡｘ＋１ꎬｌｎｘɤｘ－１得ｆ(ｘ)>ｘ＋１－(ｘ－２)－１＝２>０ꎬ这样通过排除的方式选出来正确的答案.视角二:去指数㊁去对数ꎬ切线不等式来开路师:对了ꎬ教材习题中其实有切线不等式的原型ꎬ这说明我们要立足教材.切线不等式在处理这个特殊情况时ꎬ有效地进行了放缩ꎬ那么对于一般的情况ꎬ我们是否可以进行放缩ꎬ进一步求出ａ的范围呢?生:不等式ｅｘ－ａｌｎ(ａｘ－ａ)＋ａ>０(ａ>０)恒成立ꎬ由于ａ>０ꎬ即为ｅｘ－ｌｎａ－ｌｎ(ｘ－１)＋１－ｌｎａ>０恒成立ꎬ而ｅｘ－ｌｎａ－ｌｎ(ｘ－１)＋１－ｌｎａȡｘ－ｌｎａ＋１－(ｘ－２)＋１－ｌｎａ＝４－２ｌｎａꎬ故只要４－２ｌｎａ>０即可.课到这里ꎬ同学们豁然开朗ꎬ对于含ｌｎｘ与ｅｘ型的超越函数ꎬ只要做到灵活变形ꎬ脑中有形ꎬ合理代换ꎬ便可峰回路转.视角三:指数对数两边跑ꎬ凹凸反转公切找师:提到切线ꎬ我们还能够想到恒成立的什么处理办法?生:切线隔离法师:对了ꎬ要找到左右两边ｌｎｘ与ｅｘ型函数的公切线ꎬ具体怎么操作呢?生:原不等式恒成立可化为:ｅｘａ>ｌｎ(ｘ－１)＋ｌｎａ－１恒成立ꎬ构造ｈ(ｘ)＝ｅｘａꎬｇ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ－１)＋ｌｎａ－１ꎬ由于这两个曲线的凹凸性相反ꎬ于是可以求它们相切时参数的值ꎬ通过数形结合ꎬ求出参数的取值范围.不难求出与两曲线相切时点的横坐标ｘ０＝２ꎬ进一步可算出ａ＝ｅ２ꎬ分析参数变化与对应图象的位置变化关系即可选出答案.师:这就是说数形结合百般好啊!视角四:指数对数两边跑ꎬ反函数构造巧妙解师:原不等式恒成立可化为:ｅｘａ＋１>ｌｎ(ａｘ－ａ)ꎬ实际上ｙ＝ｅｘａ＋１和ｙ＝ｌｎ(ａｘ－ａ)是什么关系?生:互为反函数.师:反函数内容虽然在高考中涉及较少ꎬ要求低ꎬ但是我们都知道互为反函数的两个函数图象是关于直线ｙ＝ｘ对称的ꎬ那么问题又可怎样转化呢?生:只需要转化为ｅｘａ＋１>ｘ在(１ꎬ＋¥)上恒成立即可.感叹:我们苦苦追寻的参变量分离在这里得以实现.视角五:无中生有去同构ꎬ关键形式变量凑师:在恒成立问题中ꎬ有很多是利用函数的单调性构造出来的.如果我们能够找到这个函数模型及不等式两边对应的同一函数ꎬ无疑会大大加快解决问题的速度ꎬ那么本题怎么配凑ꎬ进而用同构函数的单调性来解决呢?生:原不等式可化为:ｅｘ－ｌｎａ＋ｘ－ｌｎａ>ｘ－１＋ｌｎ(ｘ－１)ꎬ即ｅｘ－ｌｎａ＋ｘ－ｌｎａ>ｅｌｎ(ｘ－ｌ)＋ｌｎ(ｘ－１)ꎬ构造函数ｇ(ｘ)＝ｅｘ＋ｌｎｘꎬ则ｇ(ｘ－ｌｎａ)>ｇ(ｌｎ(ｘ－１))ꎬ那么利用ｇ(ｘ)的单调性ꎬ去掉外套对应关系ｇꎬ于是问题变成了常规的恒成立问题.下课铃声响起２１３几点思考与启发３.１多选题不如选好题导数是高考的必考内容ꎬ考察知识点有导数的几何意义㊁单调区间㊁极值最值等.为了更全面复习导数知识ꎬ于是笔者决定选择恒成立问题作为出发点ꎬ引导学生运用多种方法解题ꎬ不仅能沟通知识的内在联系ꎬ熟悉题目的结构和解题规律ꎬ使知识融会贯通ꎻ而且能在多解的基础上探求最佳解法ꎬ不断提高解题技巧.更重要的是能使学生思路开阔ꎬ学会从不同角度分析ꎬ解决问题ꎬ发展求异思维ꎬ使思维灵活ꎻ并能发挥各自的独特见解ꎬ培养创造才能ꎬ以适应时代的需要.导数具有很强的知识交汇功能ꎬ以其为载体的问题情景如繁花似锦ꎬ给师生在复习内容和方法上的选择带来困惑.因此ꎬ笔者选择这个题目ꎬ麻雀虽小ꎬ五脏俱全ꎬ入手容易ꎬ学生在不同视角下体验解题带来的快乐ꎬ不仅仅是知识的复习ꎬ更重要的是思维品质的升华和学生学习兴趣的提升.３.２一题多解的理性思考在课堂复习中ꎬ一题多解肯定可以激发学生大胆发现㊁勇敢创造ꎬ通过对题目求解的强烈欲望ꎬ加深对所学知识的深刻理解ꎬ训练学生对数学知识和数学方法的娴熟使用.但是学生的掌握程度究竟如何ꎬ有待通过题目验证ꎬ听懂不等于会做ꎬ能根据老师的提示转化也不等于拿到一个类似题目自己真的能够完整写出来.本节课是一堂真实的平常课ꎬ优点是方法的灌输ꎬ思想的渗透很到位ꎬ课堂是高效率的ꎬ但是本节课留下几个问题值得商议ꎬ比如对于本题最优解的教学怎样去体现呢?哪种解法更适用学生呢?考试中又如何选择这些方法来解题呢?我想具体分析每种解法的特点ꎬ分析每种解法的本质是什么ꎬ根据学生自己的情况ꎬ选择权交给学生吧.３.３核心素养渗透怎样体现?函数与导数压轴题是高考的沸腾考点ꎬ主要考查学生的 数学运算 ㊁ 逻辑推理 ㊁ 直观想象 等核心素养ꎬ难度很大.在上这方面的复习课时ꎬ更要注重对 数学运算 ㊁ 逻辑推理 ㊁ 直观想象 等核心素养的培养.学生在解决此类题型时ꎬ不是理解了解题思路就认为完成了任务ꎬ而是要落实ꎬ要敢于下笔ꎬ要下完笔ꎬ要善于反思ꎬ灵活解决问题.在我们数学教学过程中ꎬ应教会学生思考ꎬ善于思考ꎬ进行一道题目多种思路解法的训练和变式训练ꎬ让学生的思维迁移㊁发散㊁开拓和活跃.使学生形成有序的网络化的知识体系ꎬ从中领会 化归转化㊁数形结合㊁函数与方程 等基本数学思想.教学中鼓励学生大胆猜想㊁探究㊁培养学生的创新能力ꎬ进一步激发学生的合作探究意识.只有这样ꎬ课堂教学才会充满创新ꎬ在教学中演绎精彩.核心素养渗透并非一朝一夕ꎬ它是需要学生厚积薄发的ꎬ这需要持之以恒的毅力.３.４青山缭绕疑无路ꎬ忽见千帆隐映来五种解法有的解法还没有继续板书完ꎬ有的也仅仅是提到了方法ꎬ可是下课铃已响ꎬ但整个教室非常安静.同学们都在认真地对五种解法进行讨论ꎬ兴趣非常的浓ꎬ课后还有很多同学对此题的解法进行再探讨ꎬ形成了一种浓厚的学习氛围.反思这节课的教学ꎬ其实也是一种励志教育ꎬ 青山缭绕疑无路ꎬ忽见千帆隐映来 ꎬ学生解题遇到困难该怎么办?生活中的琐事遇到困难又怎么办?数学和哲学是不是又拉上了关系.本节课恰好给了师生互动的空间ꎬ去调动学生的解题兴趣ꎬ学生智慧的火花频频闪烁ꎬ多种解法油然而生ꎬ所以在课堂教学中ꎬ应多创造这种师生互动的机会ꎬ激发学生数学兴趣的生成.参考文献:[１]李宁.不等式恒成立求参数取值范围题的解法探究[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１７(０１):１９－２２. [２]刘仁琴.说题 一道技能大赛题有感[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１５(１７):７６＋７８.[３]叶培杰.师生互动㊀灵感生成 对一道例题的教学反思[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１５(０６):１０９. [４]徐庆杰.教师组本研修的路径和策略探究[Ｊ].中国教师ꎬ２０２１(５):８０－８３.[责任编辑:李㊀璟]３１。

3 教学反思3.1 专家点评本节课层次分明，重难点突出，把数学运算素养的培养落到实处，同时注意带动学生思维的培养，由浅到深，层层递进，重视数学思想与方法的渗透，活化思维，引领学生挑战2018年高考数学全国I卷理科题16，是一堂成功的市级公开课．3.2 考试跟踪公开课一周后，全省组织了高三毕业班质量检测．笔者在参与高三数学集体备课与细化分析中发现，授课班级的一道选择题做得特别好，为此，笔者对这个考试题目进行了再研究，对授课班级的学生进行了回访，从而揭开了“面纱”．考试题目在ABC∆中30B= ，3BC=，AB=D在边BC上，点B C，关于直线AD的对称点分别为B C′′，，则BB C′′∆的面积的最大值为（）AD授课班级的第12题得分率为42.3%，而全市得分率为29.8%．笔者所在学校的整体水平远在全市的平均水平之下，而授课班级的第12题却能超出全市平均水平．根据回访得知，这与笔者提出的三角函数的最值求解思路密切相关，尤其是猜测法及所渗透的数形结合、函数与方程、化归与转化等重要数学思想派上用场了，学生有着深刻的印象，其直接影响不言而喻．笔者基于“数学运算”三步曲“数学理解→方法选择→综合运算”展开教学实践，以“数学理解”促“方法选择”，以“方法选择”深化“数学理解”并推动“综合运算”，以“综合运算”促“数学理解、方法选择”落地生根，在“数学理解→方法选择→综合运算”中沉淀数学运算素养的培养方法，活化学生思维，激发学生兴趣，形成良好的数学运算习惯，让数学运算素养成为可以真正落实执行的教学目标，同时让数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养也得以培养．参考文献[1]蔡敬发．2018年高考数学全国Ⅰ卷理科题16的分析与启示[J]．福建中学数学，2018（12）：5-8[2]蔡敬发，汪秀琴．基于数学运算素养培养的三角函数教学——以“三角函数的条件求值”为例[J]．福建中学数学，2019（2）：31-34[3]陈玉娟．例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J]．数学通报，2016，55（8）：34-36（本文系福建省教育科学“十三五”规划2017年度课题《基于数学核心素养之“数学运算”培养的实践研究》（立项批准号：FJJKXB17-236）研究成果）不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层——一道高考试题的质疑与释疑之旅蔡军喜广东省广州开发区外国语学校（510700）G·波利亚曾说：“一个专心的认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像一道门，把学生引人一个完整的理论领域”．思维是从解决问题开始的，而认识问题和明确地提出问题是解决问题的第一步，其主要任务是找出问题的本质，抓住问题的核心．作为数学教学主体的习题教学更应在识题和提问的环节中帮助学生树立目标意识，自觉地挖掘题目本身的导向功能，从而使他们在做题、析题方面养成一个良好的解题习惯．这对培养学生分析和解决问题的能力，发展学生的智力品质是一种有效的途径．以下是笔者在高考复习中，针对学生的疑点，引导学生对一道习题展开的探究性释疑之旅，仅供参考，以求商榷．1 问题提出在笔者带领学生复习完抛物线方程和定义后，力图让学生进行一次体验练习，（2011年高考北京卷·文8）已知点(02)A，，(20)B，，若点C在函数2y x=的图象上，则使得ABC∆的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1该题在很多资料上出现过，以往每次与它相遇都是“答案在心”，以致没有引起笔者更多的关注，没想到这次学生的意外“失误”和“迷雾”让它“大放异彩，花香满堂”．2 发现之旅2.1 直觉猜想——“美丽的谎言”学生尝试解决问题，老师巡视，结果发现很多学生很快选择了C答案．由于是选择题，学案上看不出“误入歧途”者的足迹，于是引导学生勇于展示自己的解题“战绩”．师：同学们，做完这道高考题，感觉如何？生：小菜一碟！师：非常好！现在老师非常渴望并期待大家的展示，不管对与错，一一展示出来．对的，学习借鉴、扩大战果；错的，尝误纠正、“吃一堑长一智”!（微笑）生1：（轻松的微笑）直觉猜想，根据图形的对称特点，在线段AB的两侧有对称两点满足题意！师（指学生2）：你觉得他解得对不对?生2：（微笑）答案应该是对的，但好像不太严谨．不过对于选择题，这样解似乎还行！（教室一片笑声）结合巡视的结果，看来就题论题的答案“介绍”需要“纠正”！必须通过这道题引导学生对做题过程树立质疑和严谨意识．师：美国著名教育家波利亚曾说：“在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比……我们所学到的关于世界的任何东西都包含着合情推理”．看来，“发现真理的主要工具，也是猜想和类比”，大胆猜想显示了一种直觉判断的数学胆略，但猜想有时是冒风险的、有争议的和暂时的，猜想虽然为我们指明方向，但正确与否，往往需要我们在理论上进行完善，正所谓：大胆假设，小心求证！（微笑）图1教学随想作为学生，在没有获得完整的理性经验以前，从事数学思维，难免会经常发生“想当然”，而且这种“想当然”也是一种思维过程，至于思维是否严密、逻辑关系是否正确，很难引起学生的怀疑与反思，往往是产生了错误却不以为然．学生在学习过程中出现的错误，是其知识盲点和认知薄弱环节的真实体现，反映学生思维的认知发展水平、行为习惯以及意志品质状态，是教学过程中一笔宝贵的生成性教学资源．教师如果从教学过程中学生出现的错误出发，进行引导、点拔，常会收到意想不到的效果．2.2 代数计算——“正确答案下的迷雾”师：让我们来重新审视一下问题：求满足ABC∆的面积为2的点C的个数，怎样表示面积？生3：122ABCS∆=⋅=底高．师：好！那如何选择底和高呢？那位同学能展示一下“略胜一筹”的算理分析？（微笑）生4：因为AB长度一定且易求，故以它作底．此时，C点到AB的距离为高，由点到直线的距离可得．生4：（继续）由点C在抛物线上，可设200()C x x，，易知||AB=，1||22ABCS AB h∆=⋅=，h∴即C 到直线ABAB的直线方程为x y+−20=，由点到直线的距离可得h=200|2|2x x∴+−=，即20022x x+−=±，解得01x=−，，4个．师：很好！问题的关键把握的很好！看来，多一分理性，就多一分深入！生4的解答，警示我们简单的估算容易干出“傻事”（微笑），不过，历史上的许多“奇思妙想”，在开始时，大都显得有点“荒唐”，大多经过坚持不懈的努力，才逐步趋于完善与美丽！笔者带头给生4鼓掌，教室里顿时掌声一片．学生脑子里“闪烁”着许多睿智的想法，会在任何一个不经意的时刻，跃然而出，令你惊喜不已!一石激起千层浪，教室一片哗然，顿时像砸开了锅！既是对生4的佩服，也展开了对自己“草率”的理性再析．到此，答案已经澄清，“意识”也已经明示，笔者以为该题此时终应画上一个句号了……突然，生5举手示意：生5：老师，虽然代数计算从理论上说明有4个点满足题意，但我试图在稿纸画图的时候总觉得这这4个点好像不可能都是，是否要有所取舍？有没有可能是两个点？我还有点不太清晰！（略带羞涩）笔者感到很突然，老实说：生4的解法在预设范围内，本以为代数计算就可以完全说明答案，生5的提问，倒是有点措手不及，这时如果装作没有听见，或是简单搪塞过去，势必会影响这位同学的积极性，同时生5的“迷雾”提示我们，题目本身是否还隐藏着更本质的东西？教学随想在学习数学过程中，由于数学对象的抽象性和学生认知水平和理解水平的局限性，学生对所学的数学问题存在不少疑惑．教师要有意识地将“释疑”设在学生学习新旧知识的矛盾冲突之中，点燃学生思维的火花，在疑点处进行辨析，着意在学生易混淆的知识点处探究．使教学过程在师生的默契配合下，向充满悬念、令人激动的未知旅程挺进．2.3 数形结合——“悠然见南山”师：正所谓，“真理越辩越明”！爱因斯坦也说，“提出一个问题往往比解决一个问题更有意义”，后者仅仅是方法和实验过程，而前者则要找到问题的关键和要害．感谢生5给我们提出一个问题，看来我们需要对问题做进一步的分析，或许还能收获意想不到的新“奇迹”！（微笑）师：奇迹在哪里？“常回头看看”！变化中常常隐藏着不变的规律！（微笑）师：本题中，变化的是什么？不变的是什么？生6：变化的是C点，不变的是三角形的面积2．师：很好！面积不变的本质是什么？生7：C点在运动的过程中，保持到直线AB的师：对应到刚才求出的4个点中去，是一种什么现象？能发现吗?生8：我明白了！原来是对称的两点连线跟AB分别平行，也即底相同，高相等，面积相等！刚好AB的两平行线跟抛物线都有两个交点，所以总共有4个点成立！生9：（迫不及待地）从图2分析中我也明白了，当ABC∆的面积变化，即点到直线的距离变化到AB 的一边平行线与抛物线相切时，满足题意的点只有3个，相离时，只有2个点满足题意，相交时就有4个点满足题意！师：太好了！华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．回顾我们的解题过程，没有代数计算，我们“剑走偏锋”！只有代数计算，我们很难体会这4交点的“形意”！也体会不到2交点，3交点的“轨迹”．真可谓，“暮然回首，那人却在灯火阑珊处”！“数形合璧，天下无题”！（微笑）教学随想数学上总是既用数的抽象性质来说明形象的事实，又用图形的直观性质来说明数式的事实．因此，数形结合是一种重要的数学思想和一柄双刃的解题“利剑”．的确，数形结合的思想渗透在数学教学的每一个领域，但如果仅仅停留在口头上，而没有合适的载体让学生亲身经历去感受和体验其直观、简便，那么数学教学对学生来说就是虚假的口号式的，而适时借助这样的课题让学生自己去实践和发现，对于学生的数学思维将是巨大的冲击和深远的影响，学生才能真正逐步“见数思形、见形想数、以形助数、以数辅形”．2.4 概括提炼——“画龙点睛”悬案终破，这次笔者没有急于结束，而是继续引导学生对问题体验用自己的语言来加以概括提炼，以求“画龙点睛”之功效．生10：在解析几何中，坐标法是处理几何问题的常用工具，但在解决中，仍然不要忘记几何图形的利用和挖掘！“数形结合，相辅相成”！生11：本题的实质是曲线上一动点到定直线距离为定值的点的问题！生12：通过本例学习，我觉得此类问题常常可以平移直线，当平行线与曲线相切时，往往代表临界情形！常常跟定值或最值相联系！方法上可以转化为直线与曲线的位置关系来处理！………教学随想随着复习的进一步展开，学生在学习过程中获得的知识将会越来越多，如果不经过及时的提炼概括，这些知识很可能是松散无序的．高三复习课堂应努力追求“求联”、“求变”，在变中突出不变的规律，做到讲一题，通一类，会一片，揭示问题本质，沟通知识间的相互联系，构建知识网络．2.5 变式拓展——“一览众山”师：通过上面的探究之旅，我们透过现象了看到问题本质，挖掘内涵，扩大战果，能否变式引申问题？很快，学生在讨论中变式出了下述等问题，不仅纵向深入，还有横向联系，圆、椭圆、双曲线等都被这个知识网络圈入．变式1 已知点(02)A ，，(20)B ，，若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为a 的点C 的个数为分别为2、3、4时，试求对应的a 的取值？ 变式2 已知点(0)A a ，，(0)B a ，，若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为分别为2、3、4时，试求对应的a 的取值？ 变式3 已知点(02)A ，，(20)B ，，若点C 在函数2y ax =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为分别为2、3、4时，试求对应的a 的取值？ 变式4 已知点(02)A ，，(20)B ，，若点C 在圆2x 29y +=对应的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为多少？ 变式5 已知点(02)A ，，(20)B ，，若点C 在椭圆22154x y +=对应的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为多少？变式6 已知点(02)A ，，(20)B ，，若点C 在椭圆2212x y +=对应的图象上，则C 点到AB 所在的直线的最短距离为多少？教学随想 问题解决，并不意味着教学内容和学生思维的终结．“学贵存疑”，因此，在课堂临近尾声时，教师根据教学内容进行合理而适度的拓宽延伸，设置疑问，拓展思维，让学生产生欲罢而不能的探求新知的欲望．通过对一道试题的剖析与引申，挖掘试题深层次的知识点，不仅夯实基础．而且把知识由点到面的拓展．既盘活了知识，又鲜活了问题．纵横联系，多角度地考虑问题，充分发挥了试题的内在功能；同时，体现知识的拓展并非“生硬”的“外挂式”设置，不是生搬硬套的“拼凑”，而应把教学内容有机地融入课堂活动主线中，以达到举一反三、触类旁通之效．参考文献[1]陈柏良．数学课堂教学中的三个“远大于”[J]．中学数学教学参考（上旬），2011（12）：22-24[2]林生．意外于预设，精彩于生成[J]．中学数学（高中版），2012（13）：57-59[3]蔡军喜．从一道课本习题的演化看高考复习如何回归课本[J]．数学通报，2007（3）：54[4]蔡军喜，汪洋涛．知识与能力并重，思想与方法交融[J]．中学数学教学参考（上旬），2010（6）：13-14例谈“数学的方式”何金红 江苏省无锡市堰桥高级中学（214174）随着基础教育课程改革工作的深入开展，“增强课程意识”、“发展核心素养” 逐步成为了基础教育界关注的热词．数学课程的核心是对学生进行数学思维和语言的教育，即通过数学的阅读、运算、推理和表达的训练，使学生正确理解数学知识，形成用数学知识合理解释直至创造性地解决问题的能力．正如章建跃博士所提出的：数学育人必须用“数学的方式”．而数学的方式归根结底是学生运用数学思维和语言进行阅读、运算、推理和表达的实践活动．数学课要以数学对象为载体，在数学知识发展过程中，体现数学的思考方式，培养学生的理性思维，发展学生的数学学科核心素养，使立德树人根本任务落到实处．近日，笔者对如何以“数学的方式”进行课堂教学，提升学生的数学素养，落实数学的育人功能进行了思考和尝试，现以案例及反思的形式与同行分享． 1 案例案例1.1 理解概念，感受“数学的方式” 如下摘录的是笔者在苏教版必修4第1.1.2节“弧度制”的教学实施过程中的教学片段： 师：目前我们度量角常用角度制，也就是：规定周角的1360为1度角．这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制．今天我们也将学习度量角的另外一种单位制． 首先，我们一起回顾，如何建立一种新的度量单位． 生：要定义新的单位制中单位“1”的含义． 生：应该建立新的单位制与已有单位制之间的联系．。

2011年(第十一届)高中生数学论文竞赛评奖公告为了反映学生的学习成果，鼓励学生的创新意识，支持中学生开展数学论文写作这一活动，我刊从2001年开始至今已开展了十一届高中生数学论文写作竞赛。

2011年（第十一届）高中生数学论文竞赛得到了广大中学教师和学生的大力支持，来稿踊跃。

经过评审委员会评定，评出特等奖5篇，一等奖18篇，二等奖77篇，现将获奖论文及作者名单公布如下（同等奖次排名不分先后）。

论文题目作者单位指导老师特等奖对一道习题的解法探究田前超河南省淮阳一中苏继付一正多边形一个优美定值的研究性学习余敦刚潘明财湖北省阳新县高级中学邹生书构造法求异面直线所成角金铁勇浙江省绍兴县鲁迅中学高二（3）班施建昌一类向量系数和问题的探究柯恒湖北省大冶一中高三（18）班徐国辉鱼离水儿不活刘宇慧广东省江门市培英高级中学高三（17）班刘品德方茗萱一等奖正态分布实际问题的细节探微张乔湖北省天门实验高级中学肖家怀对双曲线中定长焦点弦的条数问题的探究王岩江西省兴国县第四中学刘衍荣一道高考题的空间移植冯虎安徽省霍邱县第一中学冯克永构造函数求解含参数的有关问题揭晨华中科技大学附属中学高三（7）班一个不等式的简证刘鹏程湖北省公安县第一中学高2年级20班刘杰两道数学问题的简解张佳四川省绵阳东辰学校高二（8）班姚先伟另解《数学通报》第1894题刘鹏程湖北省公安县第一中学高2年级20班刘杰一道三角题的求解曹钰佳江苏省海门中学高三（8）班孙芸求函数值域慎用“平方”法王笑语江苏省射阳中学高一（10）班王克亮一道竞赛题的另解钱男江苏省常熟市中学高三（6）班查正开一道三角证明题的简证刘一伊黑龙江省大庆实验中学高二（20）班侯典峰一类二元绝对值函数的最值求法左嘉睿广东省深圳市高级中学高三11班黄元华也说WMTC好题王聪甘肃省定西市一中高二13班刘占溪椭圆和圆的一种奇妙变换——伸缩变换吴林峰浙江省湖州二中沈恒2010年高考山东卷解析几何题的推广潘明财湖北省阳新县高级中学高三（1）班邹生书意外的“错误”程自强江苏省徐州市第一中学高一（21）班张培强巧用镶嵌法解题陈帅福建省龙岩一中高一（5）班胡寅年多彩的代换黄灿广东省深圳市高级中学高一（2）班黄元华二等奖求椭圆和双曲线的离心率及离心率范围策略穆蓝重庆南开中学高2012级14 班张光年线面角的四种求法刘倩云湖北省宜都市一中刘宜兵均值不等式求最值的常见结构温丽江西省瑞金第一中学谢小平公交车站顶棚的合适宽度陈卓均广东省广州市番禺区象贤中学李伟一道线性规划题的解法探析魏晓虎河南省舞阳县第二高级中学耿林波浅论海伦——秦九韶公式的推导杨世华河南省舞阳县第二高级中学耿林波平面向量在解题中的应用郭巧言河南省舞阳县第二高级中学耿林波新课程学习中对一道例题的创新解法朱康新疆石河子第一中学朱友忠由一道高考题所想到的葛应鸣江苏省如东高级中学高三（2）班认知艾尔多斯莫迪尔不等式李京浙江省湖州二中刘薇运用向量知识确定直线方程熊保群安徽省霍邱县第一中学高二（2）班）冯克永均值变换探骊韩宽广东省珠海一中高三（19）班樊彦朝由一道习题引发的思考段皓旸胡尧安徽省砀山中学高二（13）班胡云浩有关“费尔马点问题”的研究王琛山东省枣庄市第八中学高三（22）班从两道习题看绝对值不等式的等价转化朱容稷陆凯悦上海市松江二中高一年级张忠旺例析充要条件的理解及判定方法邓珍贵州省普安县第一中学高二年级杜永宁对判别式法求值域的质疑李博文湖北省十堰东风高级中学高一（6）班吕辉对《一题多解，妙趣横生》一文的补充向绍杰湖北省十堰东风高级中学吕辉例谈椭圆的特征数及其应用籍少柳湖北省武汉市吴家山中学高二（7）班刘族刚由一道高考模拟题得出的结论陈凤娟广东开平市风采中学高三（8）班广思深究追求卓越褚壹钦浙江省天台中学高二（2）班王修凯对一道联赛题的反思与延拓张绍栅广东省深圳市石岩公学高中部高三（3）班康宇不等式1(1)3nn+<的简证杨石光湖北省公安县第一中学高三（１８）班赖源霞一道高中数学联赛题的三个新解黄嘉成黑龙江省大庆中学高二（18）班侯典峰《数学通报》2025号题的三角证明黄俊皓天津市第五十四中学高一(9)班胡汝六种方法助你轻松求解二面角艾学术四川绵阳东辰学校高一17班邱波探讨循环结构书写的一般规律黄凡湖北省监利县汪桥高级中学黄杰拟等差数列的性质研究万京杰朱淞豪广东省深圳市高级中学高二（1）班张斌78号问题条件的放宽与结论的加强黄逸彬江苏省常熟市中学高二（1）班薛惠良一道高考题结论的反思探究张静甘肃省白银市平川中恒学校高三11班何俊强由一道高考题引发的思考王亚艳甘肃省白银市平川中恒学校高三12班何俊强求回归直线方程的一种简单方法王雨晨宁夏银川市第六中学高二（1）班苏克义再探一类无理不等式张天然安徽省滁州中学王圣一类IMO竞赛试题的统一证明刘逸凡安徽省滁州中学王圣一道09年湖北省预赛题的思考涂丰毅安徽省滁州中学王圣数学学习心得之函数最值顾纯江苏省徐州市第一中学高一（21）班张培强利用中心对称求二次曲线的中点弦的方程李柏城广东省惠州市第一中学高三（1）班方志平巧设比值妙解题李卓湖南省华容县第二中学C1105 陈万龙使用平方法处理向量问题阳旭湖南省华容县第二中学902 陈万龙一类向量问题的解法盛浩湖南省华容二中1001班胡明山活用平方法处理向量问题夏青婷湖南省华容二中902班吴亿林真伪反证法的辨别一例杨奕萱山东省枣庄市第三中学杨华文用“怎样解题表”探究一道不等式问题的证法王怡成都七中嘉祥外国语学校高2012级5班郑勇军复数乘法几何意义的思考与应用刘博湖北省黄冈市黄梅一中高三（五）班熊习锋对一个例题的拓展与探究刘维四川省巴中市第三中学高二1班汪涛锐角三角形的两条性质及其应用计予浙江省湖州市第五高级中学高三（10）班徐方英函数图象渐近线的求法沈阳上海市松江二中高一年级九班张忠旺一道女子奥赛题的简证黄嘉昱广东省深圳市高级中学高一11班黄元华一道课本习题的多解探究韩旭广东省深圳市高级中学高三11班黄元华一个椭圆定积子弦问题的另证刘卫贵阳市清华中学高二（12）班李驯洪如何记好数学笔记王叶江苏省金坛市金沙高级中学王柯解集合题的小诀窍张薇薇江苏省金坛市金沙高级中学尹峰巧用基本不等式解决应用题秦瑶江苏省金坛市金沙高级中学于晖学好向量的三部曲马菁菁江苏省金坛市金沙高级中学陈彩平奥数中关于五子棋的放置问题的解法王文娜江苏省金坛市金沙高级中学宋爱华黄金分割比例陆浩江苏省金坛市金沙高级中学蒋琳高中数学分段函数问题归类解析吴振江苏省金坛市金沙高级中学朱自成线性规划问题的九大特点张亮江苏省金坛市金沙高级中学陈惠芳数学成绩退步引发的思考曹迪江苏省金坛市金沙高级中学郑家旺探讨高考中的开放性问题曹佳艳江苏省金坛市金沙高级中学马亮浅谈高中数学中的化归思想杨磊江苏省金坛市金沙高级中学丁月高中数学几类“忽视”性错题的分析和反思张万江苏省金坛市金沙高级中学王志伟向量在解几中应用的再认识王云亮江苏省金坛市金沙高级中学朱莉萍如何在数学复习中回归教材于文正江苏省金坛市金沙高级中学蒋礼雯谈谈函数与方程的思想方法赵丹宏江苏省金坛市金沙高级中学许源数形结合，相得益彰戴梦雅江苏省金坛市第四中学葛玮充分联想巧妙构造魏祯甘肃省定西市一中高二14班刘占溪打破沙锅问到底郑雅婷甘肃省定西市一中高二14班刘占溪新课标人教A版一道习题的研究性学习李波安徽省合肥市庐江二中高三（1）班孙大志由一道习题想到的两个优化问题肖倩湖南省岳阳市华容二中C901 黎锋简单问题不简单孙武湖南省岳阳市华容二中高二C901 黎锋对立体几何八个定理的证明甘庆中安徽省太湖中学高三（5）班周五七善联想促发现蒋超江苏省兴化市第一中学高一（18）班张俊抛物线的另一焦半径公式胡尧安徽省砀山中学高一（11）班胡云浩抛物线弦中点的一个性质及应用支梅贵州省普安县第一中学高三（2）班李学周m次函数数列求和新方法郭逸北京市第五中学高三6班新发现的一组共线及其多种证法黄中展广东省中山纪念中学高二18班说明：请获奖论文的作者从邮局汇款50元到“430079 湖北省武汉市华中师范大学《数学通讯》编辑部”，以便我们及时寄出获奖证书（学生证书和指导教师证书）和本期期刊，请在汇款单附言栏内注明“高中生论文竞赛证书”。

一元二次方程数学教学反思一元二次方程数学教学反思1学好一元二次方程，重要的是要学会背公式。

除了最主要的求根公式你要背熟外，就是要学会总结不同方程解决形式。

形如x+2bx+b=0，你要能熟练的将其变为（x+b）=0这样的形式；形如x+(a+b)x+ab=0的形式，你要熟练将其变为（x+a)(x+b)=0；再高阶的，二次项前面也有系数的，你也要学会变形。

总之掌握将普通二项式变为两个一项式的乘积是你必须要掌握的。

当你变不了的时候，你就要使用求根公式来解决。

方程类问题都是如此求解的。

二次方程求解方法的核心，是使其转变为一次方程来求解。

三次方程这是转变为二次方程与一次方程的乘积求解。

越往后越是这样。

求解的主旨是降幂。

使高次项变为多个低次项的乘积是求解方程的指导思想。

可能你只是一个小学生或是初中生，你不一定明白这个道理，但是随着学习的深入，你要去思考。

我给出了解决的一般路径，但要熟练的掌握仍旧需要不停的解题做题，通过练习来掌握。

一元二次方程并不难，相信以你的聪明与勤奋一定会早日掌握的。

一元二次方程数学教学反思2一元二次方程的应用是在学习了前面的一元二次方程的解法的基础上，结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系来列方程，以及如何解答。

列方程解决实际问题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。

在__教学中我注意分散教学难点，比如说，在学习增长率问题时，我先设计了这样一组练习：一个车间二月份生产零件500个，三月份比二月份增产10％，三月份生产-----------个零件，如果四月份想再增产10％，四月份生产零件-----------个。

如果增产的百分率是x，那三月份和四月份各能生产零件多少个？通过分散教学难点，引导学生理解题意，从而达到满意的教学效果。

在__教学中我还注意对学生进行学法的指导。

教师考试分析总结与反思7篇教师考试分析总结与反思篇1开学两个月以来我们主要学习了第21章一元二次方程和第22章二次函数。

两个月的学习生活在上周接受了检验，平时老师的教和学生的学在这张试卷中得以体现。

分析试卷中出现的错误情况，主要反映了学生基础知识特别不扎实，基本技能训练不到位，基本概念理解不清，思维不够严密，动手操作能力较差，针对以上情况，制定了下一阶段改进措施：1、加强基础知识的巩固，让学生在理解的基础上掌握概念的本质，并能灵活运用。

对与九年级4班、17班基础相对较差的学生，耐心指导他们将知识内容落实到位，让其每节课都有一点收获。

重视对基础知识的精讲多练，让学生在动手的过程中巩固知识，提高能力．2、加强基本方法的训练。

在教学过程中要不断引导学生归纳一些常见题型的一般方法，以便让学生在以后的学习过程中能够触类旁通。

3、加强数学思想方法的渗透。

提高学生的数学素养及综合解决问题的能力。

让学生敢于尝试去做一些综合解决问题。

4、加强非智力因素的培养，提高学生认真审题、规范解题的习惯。

如审题时可划出关键字句，作图题要有结论等。

5、数学课堂教学过程中，作为教师来说，力求从学生的思维角度去分析问题，要精心备课，多一点示范解题，让学生有章可依，注意变式训练，提高学生的灵活性，适当增加综合题的训练，提高学生的综合分析能力。

不失时机地引导学生进行质疑、探究、类比、推广、归纳总结，努力促使学生由“学会”向“会学”进行转变。

6、多和学生沟通了解学生心理，多听取学生反馈的课堂意见以便于改进课堂教学。

教师考试分析总结与反思篇2（一）从现代文阅读的做题情况来看，学生的得分率较低，主要问题在于做题的方法和做题过程中的耐心度与细心度。

（二）古代诗文阅读为36分，在试卷中的占分比较大。

在试卷的所有版块中，学生在古诗文阅读版块中的得分率最低。

究其原因的话：第一，这次的古诗文阅读难度较低，但是学生做得情况却不尽人意。

学生在做题过程中，形成了惯性思维，存在一种畏难情绪。

基于 一题一课 的单元复习课设计与实践以 一元函数的导数及其应用 为例庄㊀辉(厦门市同安实验中学ꎬ福建厦门３６１１００)摘㊀要: 一题一课 是指以一道题或一组题为主线ꎬ学生在 问题串 驱动下ꎬ完成相关的教学探究活动.本文以 一元函数的导数及其应用 单元复习设计为例ꎬ围绕着一个题组ꎬ引导学生在主干知识组成的 问题串 驱动下ꎬ逐级深入完成单元知识复习.学生通过这 一题 的解决ꎬ加深对知识间关联性的理解ꎬ重新构建本单元的知识网络ꎬ发展数学核心素养.关键词:一题一课ꎻ导数ꎻ单元教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２１－００３５－０３收稿日期:２０２３－０４－２５作者简介:庄辉(１９７８.４－)ꎬ女ꎬ福建省厦门人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:厦门市教育信息技术研究课题 ＴＰＡＣＫ视角下信息技术深度融合数学教学实践研究 (课题批准号:ＸＭＫＴ２２０８)㊀㊀在单元复习中采用 一题一课 策略ꎬ是指课堂上以一道题或一组题为主线ꎬ以 问题串 的形式不断驱动学生的独立思考ꎬ开展相关的数学探究活动.学生在解决问题的过程中ꎬ再次经历单元知识的形成和应用过程ꎬ用关联的视角重新建构单元知识网络ꎬ形成整体的单元认知结构ꎬ从而达到巩固基础知识㊁发展数学思维㊁提升数学核心素养的效果.１问题提出学生能力的发展不能靠 题海 ꎬ关键在于 题质 .借助 一题一课 的契机ꎬ把学情与教材进行整合ꎬ将零散的一节一节课整合成一个系统课程ꎬ通过对一道典型例题的剖析ꎬ可以进一步巩固学生的基础知识ꎬ领悟思想方法ꎬ形成知识结构ꎬ提高分析问题和解决问题的能力[１].２ 一题一课 下的 一元函数的导数及其应用 复习设计２.１回首引言ꎬ提炼概念精华阅读章引言部分ꎬ思考:你能用简练的语言回答导数是什么吗?导数作为本章的核心概念具有一定的抽象性.学生系统学习本章节内容后ꎬ再回顾章引言ꎬ可以从宏观上加深对导数大概念的理解.本章知识的发展遵循导数的起源㊁发展和应用价值:导数的是微积分的核心内容之一ꎬ对导数的研究起源于研究物理中的瞬时变化率ꎬ所以导数是瞬时变化率的数学表达ꎬ导数是研究函数的基本工具.借助这个问题帮助学生梳理本章知识之间的联系ꎬ强化总结能力[１].２.２问题驱动ꎬ横向建构知识网络２.２.１夯实基础ꎬ复习通法典型例题:已知函数ｆｘ()＝ｘ－ｌｎｘ５３(１)求曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在(１ꎬｆ１())处的切线方程ꎻ(２)求函数ｙ＝ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ(３)求函数ｙ＝ｆ(ｘ)在１ｅꎬｅ[]的最值ꎻ基本问题:问题(１)什么是切线?如何求曲线的切线?问题(２)用导数判断函数单调性的步骤是什么?问题(３)用导数求函数最值的步骤是什么?追问:利用导数研究函数性质的基本步骤是什么?本环节知识网络的起点是导数的定义ꎬ利用导数的定义可以求切线方程ꎬ可以通过判断导数的正负判断函数的单调性ꎬ导数的正负变化可以判断极值(函数局部变化)ꎬ进一步求最值(函数整体性质).以上三个问题串联 知识点 形成 知识线 ꎬ即利用导数研究函数的一般方法.解决问题的过程中ꎬ学生可以体会到利用导数研究函数性质的优势在于思路清晰㊁步骤明确ꎬ既快捷又容易掌握ꎬ从而对 导数 概念的理解更加具有系统性㊁深刻性[２].２.２.２逆向思维ꎬ发展高阶思维思考１㊀若函数ｈｘ()＝ｘ－ａｌｎｘ在３ꎬ５[]上单调递增ꎬ则实数ａ的取值范围为(㊀㊀).Ａ.ａ<３㊀Ｂ.ａ>３㊀Ｃ.ａɤ３㊀Ｄ.３<ａ<５师:因为ｈｘ()在３ꎬ５[]上递增ꎬ故其导数ｈᶄｘ()>０ꎬ然后求出ａ的范围.这种解法正确与否呢?生:正确.依据课本第８６页的定理ꎬ在某个区间(ａꎬｂ)上ꎬ如果ｆᶄｘ()>０ꎬ那么函数ｙ＝ｆ(ｘ)在区间(ａꎬｂ)上单调递增ꎬ反之也成立.师:那么按照这种做法ꎬ参数ａ的取值范围是多少?生:先对函数ｈｘ()求导ꎬ然后解不等式ｈᶄｘ()>０ꎬ得到ａ<ｘꎬ对ｘɪ３ꎬ５[]恒成立ꎬ解得ａ<３.师:那么当ａ＝３时候ꎬ是否符合题意?请同学检验.生:当ａ＝３时ꎬｈᶄｘ()＝ｘ－３ｘꎬ由ｈᶄｘ()>０ꎬ得ｘ>３ꎬ所以函数ｈｘ()在３ꎬ＋ɕ[)单调递增ꎬ所以在区间３ꎬ５[]也是单调递增ꎬ符合题意.师:那么ꎬ在某个区间(ａꎬｂ)上ꎬｆᶄｘ()>０是函数ｙ＝ｆ(ｘ)在区间(ａꎬｂ)上单调递增的什么条件?生:充分不必要条件师:对于利用函数的单调性求参数的取值范围ꎬ应注意什么问题?生:解不等式ｈᶄｘ()>０时ꎬ对等号情况应检验ꎬ判断是否符合题意.思考２㊀若函数ｈｘ()＝ｘ－ａｌｎｘ在１ꎬ＋ɕ[)上不存在极值ꎬ求实数ａ的取值范围.Ａ.ａ<３㊀Ｂ.ａ>３㊀Ｃ.ａɤ３㊀Ｄ.３<ａ<５师:函数ｆｘ()＝ｘ－ｌｎｘ与函数ｈｘ()＝ｘ－ａｌｎｘ有什么关系?生:当ａ＝１ꎬｆｘ()＝ｈｘ()ꎬ也就是ｆｘ()是ｈｘ()的一种特殊情况.师:ｈｘ()在其定义域内是否有极值?生:ｈᶄｘ()＝ｘ－ａｘ.当ａɤ０时ꎬｈᶄｘ()>０ꎬ函数ｈｘ()在０ꎬ＋ɕ()单调递增ꎻ当ａ<０是ꎬｘ＝ａ函数ｈｘ()的极小值.师:结合ｈｘ()函数图像ꎬ要使ｈｘ()在１ꎬ＋ɕ[)上不存在极值ꎬ极值点ｘ＝ａ要在ｘ＝１的左边还是右边?生:左边ꎬ即ａɤ１.引导学生寻找ｆｘ()与ｈｘ()的关系ꎬ从特殊到一般.观察ｈᶄｘ()＝ｘ－ａｘ的结构特点ꎬ对参数ａ进行合理分类讨论ꎬ结合图像得出ａ的取值范围.借助数形结合的思想ꎬ帮助学生理清思路ꎬ动静结合ꎬ挖掘问题的本质ꎬ使学生对知识的理解深入到知识的联通ꎬ培养学生的直观想象能力和逻辑推理能力.２.３变式探究ꎬ纵向拓展知识网络典型例题:(４)证明:ｆｘ()＝ｘ－ｌｎｘȡ－ｘ２＋２ｘ师:问题(４)如何用导数证明不等式问题?可以转化成哪种相关问题?生:不等式问题往往可转化为函数的最值问题ꎬ即可以转化为ｆ(ｘ)－(－ｘ２＋２ｘ)ȡ０然后构造函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｘ２－２ｘꎬ求函数ｇ(ｘ)的最６３小值大于或等于０.师:是的.一般要对不等式的结构进行变形ꎬ构造出新的函数ꎬ如何构造取决于新函数的导数是否容易研究.例如ꎬ构造出的新函数ｇｘ()对其求导ꎬ再求最值是比较容易的.典型例题:(５)对于函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｌｎｘ.判断函数ｇｘ()＝ｆｘ()－２的零点个数.师:问题(５)如何判断函数ｆｘ()在区间(ａꎬｂ)上存在零点?生:要满足两个条件:首先函数图象在(ａꎬｂ)上连续不断ꎬ其次满足ｆａ()?ｆｂ()<０.师:能否借助第(１)至(３)题结论ꎬ画出函数ｇｘ()的大致图像?生:ｇｘ()在０ꎬ１()单调递减ꎬ在１ꎬ＋ɕ[)单调递增ꎬ所以ｇｘ()的最小值为ｇ１()＝－１.师:由函数大致图像可知ꎬｇｘ()在区间０ꎬ１()和１ꎬ＋ɕ()各有一个零点.如何根据零点存在定理给出证明?生:因为ｇ１()<０ꎬ所以需要在区间０ꎬ１()找到一个具体的值ａꎬ使得ｆａ()>０ꎻ在区间１ꎬ＋ɕ()找到一个具体的值ｂꎬ使得ｆｂ()>０.师:结合ｙ＝ｌｎｘ函数ꎬ当实数ａꎬｂ取何值ꎬｌｎａ㊁ｌｎｂ是一个特殊值ꎬ满足ｆａ()>０ꎬｆｂ()>０生:取ａ＝１ｅꎬ则ｆ１ｅæèçöø÷＝１ｅ＋１>０ꎻ取ｂ＝ｅ２ꎬ则ｆｅ２()＝ｅ２－４>０ꎬ满足零点存在定理.遇到函数零点问题ꎬ最直接的想法就是运用零点存在性定理证明.但是在这之前需要综合运用函数与方程㊁数形结合㊁等价转化等思想和方法做好铺垫[３].２.４课堂小结与目标检测小结(学生回答)(６)导数可以解决哪些问题?(７)学习本章知识运用哪些思想和方法?课后目标检测:作出函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ(２ｘ－１)ｘ－１的大致图像.３教学实践反思３.１以发展核心素养为导向的单元设计导数单元知识的重新建构丰富了学生的函数观ꎬ提升函数素养ꎬ进而培养学生的批判性思维和创新能力.３.２突出 一题一课 的优势单元复习课与新授课不同ꎬ除了唤醒学生对旧知识的回忆外ꎬ还要对所学过知识进行深化.由常数变参数ꎬ对第(２)小题进行变式得到思考１ꎬ学生在做这类题时ꎬ由于对极值点的理解不够全面或深刻常常会犯错.教师不妨放慢节奏ꎬ关注学生学习数学的逻辑ꎬ引导学生自主反思ꎬ找到错误的本源.学生经历纠错的过程ꎬ重新投入数学时候才能拥有一种自信㊁获得成功的良好感觉[４].３.３认真研读教材ꎬ深入挖掘教材教材是教学内容的载体ꎬ所编写的内容体现了专家思维.因此在设计 一题一课 单元复习课时ꎬ需要反复认真研读教材ꎬ理清知识之间的联系ꎬ从总体上把握单元的知识结构ꎬ抓住复习课设计的 主线 .找准知识的生长点作为母题ꎬ在此基础上逐步生成一个有序的题组.课本的例题和习题往往是高考命题的 源泉 ꎬ一题一课的单元复习课可以选择它们(或者改变题)作为题目的来源.参考文献:[１]李龙才.凸显导数的内涵与思想ꎬ体现导数是研究函数性质的基本工具: 一元函数的导数及其应用 教材设计与教学建议[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０２１(０７):８－１１.[２]李昌官. 五管齐下 育数学素养实践探索:以导数概念 研究型单元教学为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１９(１６):１６－２０.[３]陈凤华.导数在函数中的应用[Ｊ].读写算(教育教学研究)ꎬ２０１１(２１):１３３－１３４.[４]薛江涛.基于微课程的高中数学教学模式的研究与实践[Ｄ].济南:山东师范大学ꎬ２０１６.[责任编辑:李㊀璟]７３。

一次函数教学反思（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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实际问题与一元二次方程教学反思实际问题与一元二次方程教学反思1新课程要求培养学生应用数学的意识与能力，作为数学教师，我们要充分利用已有的生活经验，把所学的数学知识用到现实中去，体会数学在现实中应用价值。

通过本节课的教学,总体感觉调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用，以现实生活情境问题入手，激发了学生思维的火花，活跃了课堂气氛。

1、本节课第一个例题是增长率问题，有一定难度，我在讲解时设置问题细化，从多方位多角度帮助学生解析这道题，这样的问题引导，既节省了课堂时间，又降低了解题难度。

在学习方法上给学生一定的空间去交流、探索、思考，能够体现新课标让学生主动获取知识的思想。

在例1讲完之后，我随即设置了两个练习加以巩固。

2、在课堂上将更多教学时间留给学习小组，这样小组中，个人的`成功会带来团体的成功，进而导致团体内其他成员的成功，因而学生感到成功机会增加，从而有一种积极的学习态度，同时学生在学习中相互尊重、相互欣赏。

3、在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想。

4、课堂上多给学生展示的机会，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智。

同时在这个过程中，更有利于发现学生分析问题与解决问题独到见解及思维误区，以便指导今后教学。

总之，通过各种启发、激励，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动求知态度，课堂收效大。

由于怕完不成任务，给学生独立思考时间安排有些不合理，这样容易让思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。

同时我的分组以位置为准，前后交流，这样层次不大合理，有待于课前做好思考与准备。

实际问题与一元二次方程教学反思2问题：已知某商品的进价为每件40元。

现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。

如何定价才能使利润最大？函数也是解决实际问题的一个重要的数学模型，是初中的重要内容之一。