广东省梅州市2018年高考二模理科数学试卷含答案

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知x，y∈R，集合A={2, log3x}，集合B={x, y}，若A∩B={0}，则x+y=()A.13B.0C.1D.32. 若复数z1=1+i，z2=1−i，则下列结论错误的是（）A.z1⋅z2是实数B.z1z2是纯虚数C.|z14|=2|z2|2D.z12+z22=4i3.已知a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则b→⋅c→=( )A.−7B.−2C.5D.84. 如图，AD^是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.π16B.316C.π4D.145. 已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠−1，且a5+a4=3(a3+a2)，则√a1a2a3⋯a99=()A.−9B.9C.−81D.816. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点坐标为(4, 0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）A.x28−y28=1B.x2 16−y216=1C.y28−x28=1D.x28−y28=1或y28−x28=17. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.8π+6B.6π+6C.8π+12D.6π+128. 设x ，y 满足约束条件{xy ≥0|x +y|≤2，则z =2x +y 的取值范围是（ ）A.[−2, 2]B.[−4, 4]C.[0, 4]D.[0, 2]9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人–宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ） A. B.C. D.10. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1=15，且满足(2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n+15，已知n，m∈N+，n>m，则S n−S m的最小值为（）A.−494B.−498C.−14D.−2811. 已知菱形ABCD的边长为2√3，∠BAD＝60∘，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A−BD−C的余弦值为−13，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A.28√73π B.8√6π C.20√53π D.36π12. 已知函数f(x)=e x−ln(x+3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是（）A.∀x∈(−3, +∞)，f(x)≥13B.∀x∈(−3, +∞)，f(x)>−12C.∃x0∈(−3, +∞)，f(x0)=−1D.f(x)min∈(0, 1)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．已知a>0，b>0，(ax+bx )6展开式的常数项为52，则a+2b的最小值为________．已知函数f(x)=log2(4x+1)+mx，当m>0时，关于x的不等式f(log3x)<1的解集为________．设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q，则S△ABQS△ABO=________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60∘，c=8．（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，求AM的值；（2）若b=12，求△ABC的面积．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90∘，∠ADC=∠DCB=120∘．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为x （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求x 的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为已知椭圆C 1:x 28+y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2也为抛物线C 2:y 2=8x的焦点．（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1, 1)，求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明1m +1n是定值．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+2f(0)e x−f′(0)x．（1）求f(x)的单调区间；（2）当x>0时，af(x)<e x−x恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）若射线θ=π3与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|mx+3|−|2x+n|．（1）当m=2，n=−1时，求不等式f(x)<2的解集；（2）当m=1，n<0时，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】∵z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=1−i2=2，故A正确；z1 z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=−i，故B正确；|z14|=|z1|4=4，2|z2|2=4，故C正确；z12+z22=(1+i)2+(1−i)2=0，故D错误．3.【答案】A【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．【解答】解：a→=(−1, 3)，b→=(m, m−4)，c→=(2m, 3)，若a→ // b→，则−1×(m−4)−3×m=0，解得m =1， ∴ b →=(1, −3)c →=(2, 3)，b →⋅c →=1×2+(−3)×3=−7．故选A . 4.【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】连结AE ，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，则阴影部分的面积为正方形面积的14，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P =14， 5.【答案】 B【考点】等比数列的性质 【解析】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)，可得a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q 4×9，代入√a 1a 2a 3⋯a 99=q 4．即可得出． 【解答】等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠−1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)， ∴ a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)， 化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+⋯…+8=q8×(8+1)2=q 4×9则√a 1a 2a 3⋯a 99=√q 4×99=q 4=9．6.【答案】 A【考点】 双曲线的特性 【解析】由题意可得c =4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得a =b ，解方程可得a ，b 的值，即可得到所求双曲线的方程． 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一个焦点坐标为(4, 0)，可得c =4，即有a 2+b 2=c 2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直， 即直线y =ba x 和直线y =−ba x 垂直， 可得a =b ，解方程可得a =b =2√2， 则双曲线的方程为x 28−y 28=1．7.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可． 【解答】几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π． 8.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2 所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y =2x 可得结论． 【解答】作出约束条件{xy ≥0|x +y|≤2所对应的可行域（如图阴影） 变形目标函数可得y =−2x +z ，平移直线y =−2x 可知 当直线经过点A(−2, 0)时，目标函数取最小值−4 当直线经过点B(2, 0)时，目标函数取最大值4， 故z =−2x +y 的取值范围为[−4, 4]． 9.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n ≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列， 由S n =2n −1得：S n+1=2n+1−1=2S n +1， 故循环体内S =1+2S ， 10.【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】由等式变形，可得{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5，运用等差数列的通项公式可得a n ，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n ，讨论n 的变化，S n 的变化，僵尸可得最小值． 【解答】∵ (2n −5)a n+1=(2n −3)a n +4n 2−16n +15，∴ a n+12n−3−a n 2n−5=1，a1−3=−5． 可得数列{an2n−5}为等差数列，公差为1，首项为−5．∴ a n2n−5=−5+n −1=n −6，∴ a n =(2n −5)(n −6)=2n 2−17n +30．∴ S n =2(12+22+……+n 2)−17(1+2+……+n)+30n =2×n(n +1)(2n +1)6−17×n(n +1)2+30n=4n 3−45n 2+131n6．可得n =2，3，4，5，S n 递减；n >5，S n 递增，∵ n ，m ∈N +，n >m ，S 1=15，S 2=19，S 5=S 6=5，S 7=14，S 8=36， S n −S m 的最小值为5−19=−14， 11.【答案】 B【考点】二面角的平面角及求法 【解析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积． 【解答】如图所示，取BD 中点F ，连结AF 、CF ，则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴ ∠AFC 是二面角A −BD −C 的平面角， 过A 作AE ⊥平面BCD ，交CF 延长线于E ，∴ cos∠AFC =−13，cos∠AFE =13，AF ＝CF =√(2√3)2−(√3)2=3， ∴ AE ＝2√2，EF ＝1，设O 为球，过O 作OO′⊥CF ，交F 于O′，作OG ⊥AE ，交AE 于G ，设OO′＝x ，∵ O′B =23CF ＝2，O′F =13CF =1，∴ 由勾股定理得R 2＝O′B 2+OO ′2＝4+x 2＝OG 2+AG 2＝(1+1)2+(2√2−x)2， 解得x =√2，∴ R 2＝6，即R =√6，∴ 四面体的外接球的体积为V =43πR 3=43π×6√6=8√6π．12.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】本题首先要对函数f(x)=e x −ln(x +3)进行求导，确定f′(x)在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x ∈(a, b)时，利用f′(a)f′(b)<0确定导函数的极值点x 0∈(−1, −12)从而．得到x =x 0时是函数f(x)的最小值点． 【解答】因为函数f(x)=e x −ln(x +3)，定义域为(−3, +∞)，所以f′(x)=e x −1x+3， 易知导函数f′(x)在定义域(−3, +∞)上是单调递增函数， 又f′(−1)<0，f′(−12)>0，所以f′(x)=0在(−3, +∞)上有唯一的实根，不妨将其设为x 0，且x 0∈(−1, −12)， 则x =x 0为f(x)的最小值点，且f′(x 0)=0，即e x 0=1x 0+3，两边取以e 为底的对数，得x 0=−ln(x 0+3) 故f(x)≥f(x 0)=ex 0−ln(x 0+3)=1x+3−ln(x 0+3)=1x 0+3+x 0，因为x 0∈(−1, −12)，所以2<x 0+3<52，故f(x)≥f(x 0)=1x 0+3+(x 0+3)−3>2+12−3=−12，即对∀x ∈(−3, +∞)，都有f(x)>−12．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −π 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值． 【解答】函数f(x)=2sin(2x +φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度， 得f(x +π3)=2sin[2(x +π3)+φ]=2sin(2x +φ+2π3)的图象，∴ g(x)=2sin(2x +2π3+φ)；又g(x)是偶函数，∴ 2π3+φ=π2+kπ，k ∈Z ； ∴ φ=−π6+kπ，k ∈Z ； 又φ<0，∴ φ的最大值是−π6． 【答案】 2【考点】 二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，可得ab =12，再由基本不等式求a +2b 的最小值． 【解答】(ax +bx )6展开式的通项为T r+1=C 6r ∗(ax)6−r ∗(bx )r =a 6−r ∗b r ∗C 6r∗x 6−2r ，由6−2r =0，得r =3．∴ a 3b 3∗C 63=52，即ab =12．∴ a +2b ≥2√2ab =2，当且仅当a =2b ，即a =1，b =12时，取“=”． ∴ a +2b 的最小值为2． 【答案】 (0, 1) 【考点】对数函数的图象与性质 【解析】利用单调性求解即可． 【解答】函数f(x)=log 2(4x +1)+mx ，当m >0时，可知f(x)时单调递增函数， 当x =0时，可得f(0)=1，那么不等式f(log 3x)<f(0)的解集， 即{x >0log 3x <0 ， 解得：0<x <1． 【答案】 3【考点】 抛物线的求解 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：方法一： 画出对应的图，设AB 与OP 的夹角为θ，则△ABQ 中AB 边上的高与△ABO 中AB 边上的高之比为PQsin θOPsin θ=PQOP ， ∴ S △ABQS△ABO =PQ OP =y Q −y P y P=y Q y P−1．设P (y 122p ,y 1)， 则直线OP:y =y 1y 122px ，即y =2p y 1x ，与y 2=8px 联立， 可得y Q =4y 1，从而得到面积比为4y1y 1−1=3．故答案为：3．方法二：记d(X,YZ)表示点X 到线段YZ 的距离， 则S △ABQS△ABO=d(Q,AB)d(O,AB)=|PQ||OP|，设|OQ||OP|=m ，P (x 0,y 0)， 则OQ →=mOP →，即Q (mx 0,my 0)．于是y 02=2px 0，(my 0)2=8pmx 0， 故m =4， 则|PQ||OP|=|OQ|−|OP||OP|=4−1=3，从而S △ABQS△ABO=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【考点】三角形求面积【解析】（1）设BM=x，则AM=2√3x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．（2）由正弦定理得bsinB =csinC，从而sinC=√33，由b=12>c，得B>C，cosC=√63，从而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3√2+√36，由此能求出△ABC的面积．【解答】∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60∘，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=13BC，ANBM=2√3，∴设BM=x，则AN=2√3x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2−2×8×2xcos60∘，解得x=4（负值舍去），则BM=4，∴AM=√82+42−2×8×4×cos60∘=4√3．在△ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =8×√3212=√33，又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√63，则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√32×√63+12×√33=3√2+√36，∴△ABC的面积S=12bcsinA=48×3√2+√36=24√2+8√3．【答案】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB→=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0 ，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×√5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【考点】平面与平面垂直 直线与平面所成的角 【解析】（1）推导出AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，从而DE ⊥平面ABCD ．由此能证明平面ABCD ⊥平面EDCF ．（2）以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值． 【解答】因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD =D ， 所以DE ⊥平面ABCD ．又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 由已知DC // EF ，所以DC // 平面ABFE ．又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB // CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD =1，如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D −xyz ， 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)， F(−12, √32, 1)，B(0, √3, 0)， ∴ FA →=(32, −√32, −1)，DB →=(0, √3, 0)，DF →=(−12, √32, 1)．设平面BDF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DB →=√3y =0n →∗DF →=−12x +√32y +z =0，取x =2，得n →=(2, 0, 1)， cos <FA →，n →>=FA →∗n→|FA →|∗|n →|=2×5=√55． 设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√55．所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√55．【答案】 解：（1）由题可知：a ×0.2+0.9a ×0.36+0.85a ×0.24+0.8a ×0.12+ 0.75a ×0.1+0.7a ×0.04=0.873a ．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为 0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y 的所有可能取值为5000，10000，15000，20000． P(Y =5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由题可知：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+ 0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=12．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P(Y=5000)=12×34=38，P(Y=10000)=12×14+12×34×34=1332，P(Y=15000)=12×C21×14×34=316，P(Y=20000)=12×14×14=132．∴Y的分布列为E(Y)=5000×38+10000×1332+15000×316+20000×132=9375．【答案】（1）解：因为抛物线C2:y2=8x的焦点(2, 0)，则c=2，b2=a2−c2=4，所以C1：x28+y24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28. 当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m+1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【考点】 椭圆的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：因为抛物线C 2:y 2=8x 的焦点(2, 0)，则c =2，b 2=a 2−c 2=4， 所以C 1：x 28+y 24=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 128+y 124=1,x 228+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2−x 2)8+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，由MN 的中点为(1, 1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2， 所以y 2−y 1x2−x 1=−12.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为−12. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2, 0)， 当直线AB 的斜率不存在或为0时，1m +1n =4√22√2=3√28.当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=8 ， 消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−8=0， Δ=(−8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−8)=32(k 2+1)>0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8(k 2−1)1+2k 2，所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)1+2k 2， 同理可得n =4√2(1+k 2)k 2+2. 所以1m +1n =4√2(1+2k 21+k 2+k 2+21+k 2)=3√28，为定值. 【答案】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增． 令g(x)=af(x)−e x +x =ae 2x −(2a +1)e x +x ， 根据题意，当x ∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立． g′(x)=(2ae x −1)(e x −1)．①当0<a <12，x ∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)， 所以不符合题意；②当a ≥12，x ∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意； ③当a ≤0时，因为x ∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0， 故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x ∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0， 即a −(2a +1)≤0，解得：a ≥−1，故−1≤a ≤0． 综上，a 的取值范围是[−1, 0]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求出函数的导数，计算f(0)，求出f′(0)的值，求出函数的单调区间即可；（2）令g(x)=af(x)−e x +x ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可． 【解答】由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=−1． 因为f′(x)=2e 2x −2e x −f′(0)，所以f′(0)=2−2−f′(0)，解得f′(0)=0． 所以f(x)=e 2x −2e x ，f′(x)=2e x (e x −1)，当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减；当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．令g(x)=af(x)−e x+x=ae2x−(2a+1)e x+x，根据题意，当x∈(0, +∞)时，g(x)<0恒成立．g′(x)=(2ae x−1)(e x−1)．①当0<a<12，x∈(−ln2a, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(−ln2a, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(−ln2a)，+∞)，所以不符合题意；②当a≥12，x∈(0, +∞)时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0, +∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈(0, +∞)，所有恒有g′(x)<0，故g(x)在(0, +∞)上是减函数，于是“g(x)<0对任意x∈(0, +∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0，即a−(2a+1)≤0，解得：a≥−1，故−1≤a≤0．综上，a的取值范围是[−1, 0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】∵直线l的参数方程为{x=34+√3ty=a+√3t（t为参数），∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x−y−34+a=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a=0．∵圆C的标准方程为(x−3)2+(y−3)2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0．在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ρ2+ρ3=3+3√3．∵点M恰好为AB的中点，∴ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a=0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a=0，解得a=94．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l 的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C 的极坐标方程．（2）设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，从而ρ2+ρ3=3+3√3，进而M(3+3√32, π3)．把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，能求出a 的值．【解答】∵ 直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t（t 为参数），∴ 在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x −y −34+a =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入以上方程中，得到直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−34+a =0． ∵ 圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0． 在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)，B(ρ3, π3)． 联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0 ，得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，∴ ρ2+ρ3=3+3√3． ∵ 点M 恰好为AB 的中点， ∴ ρ1=3+3√32，即M(3+3√32, π3)． 把M(3+3√32, π3)代入ρcosθ−ρsinθ−34+a =0，得3(1+√3)2×1−√32−34+a =0，解得a =94．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|， 不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2，解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0． 所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n2−x +3−n,x >−n2 ，所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：试卷第21页，总21页 A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）代入m ，n 的值，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）求出A ，B ，C 的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n 的不等式，解出即可．【解答】当m =2，n =−1时，f(x)=|2x +3|−|2x −1|，不等式f(x)<2等价于{x <−32−(2x +3)+(2x −1)<2 或{−32≤x ≤12(2x +3)+(2x −1)<2 或{x >12(2x +3)−(2x −1)<2， 解得：x <−32或−32≤x <0，即x <0．所以不等式f(x)<2的解集是(−∞, 0)．由题设可得，f(x)=|x +3|−|2x +n|={x +n −3,x <−33x +3+n,−3≤x ≤−n 2−x +3−n,x >−n 2， 所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：A(−3+n 3, 0)，B(3−n, 0)，C(−n 2, 3−n 2)，所以三角形ABC 的面积为12(3−n +3+n 3)(3−n 2)=(6−n)26， 由(6−n)26>24，解得：n >18或n <−6．。

梅州市高三总复习质检试卷（2018.5）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集U R =，{}|01A x x =<<，{}2|40B x x x =->，则()U AB =ð（ ）A ．(0,4]B ．[]0,4C ．(0,1)D ．(,4]-∞2.在复平面内，复数z 满足(1)|1|z i +=，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是（ ）A ．cos y x =B ．y =C ．||2x y =D ．|lg |y x =4.若中心在原点，焦点在y ）A ．y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =±5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n 1.732≈，sin150.258︒≈，sin 7.50.1305︒≈）（ ）A ．12B ．24C ．48D ．966.下列选项中，说法正确的是（ ）A ．若随机变量η满足(1)5E η-=，(1)5D η-=，则()5E η=-，()5D η=B ．向量(2,2)a m =，(,21)b m m =-共线的充要条件是0m =C ．命题“*n N ∀∈，13(2)2n n n ->+⋅”的否定是“0*n N ∃∈，00103(2)2n n n -<+⋅”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题7.若110a b>>，有下列四个不等式：①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；④3322a b ab +>，则下列组合中全部正确的为（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③8.甲、乙两人在同一天上午8时至10时随机到达养老院为老人服务，并且工作1小时后离开，则两人在养老院相遇的概率为（ ） A ．34B ．13C ．78D ．359.四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．815πB ．8120πC ．1015πD ．10120π10.已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--++在[]1,3-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A ．4B ．2C ．1D ．011.过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作平面α，使棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，则这样的平面可以作（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12.已知函数1()(21)cos 2(sin cos )2f x a x x a x x =---+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1(,]3-∞B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角A ，B ，C 成等差数列，75A =︒，b =a 的长为 ．14.记不等式组10,330,10,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为D ，若对任意00(,)x y D ∈，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是 ．15.某校开设10门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 ．（用数字作答） 16.已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过抛物线焦点F 的弦的中点到准线的最小距离是4，设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线C上的两个动点，若12||4)2AB x x =++，则AFB ∠的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若221log n n b a -=（*n N ∈），求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．18.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据（单位：小时）．根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．（1）估计该校学生每周平均使用手机上网时间（每组数据以组中值为代表）； （2）估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；（3）将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”．在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19.如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，AD FC ⊥，点M 是棱FC 的中点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（1）求证：MN ⊥平面CDEF ；（2）当CD EA ⊥，2EF ED ==，4CD AD ==时，求直线DM 与平面ABEF 所成角的正弦值．20.已知以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点3(1,)2-，点(2,0)D a ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不与x 轴平行且过点D 的直线与椭圆C 交于E ，F 两点，椭圆C 的左，右顶点分别为1A ，2A ，试探究直线1A E ，2A F 的交点是否在一条定直线上？若是，证明你的结论，并求出定直线的方程；若不是，说明理由．21.已知函数2()(ln 1)f x ax x x =--（a R ∈）恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <． （1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：2y x =关于点(0,)M m 的对称直线为'l ，若'l 上存在点P 使得90APB ∠=︒，求m 的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =+--． （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．。

广东省梅州市皇华中学2018-2019学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：D2. 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)> 0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)参考答案：D试题分析：因为，则由已知可得时，，令，则函数在上单调递增。

因为分别是在上的奇函数和偶函数，所以在上是奇函数。

则图像关于原点对称，且在上也单调递增。

因为，且为偶函数则，即。

综上可得的解集为。

故D正确。

考点：1函数的奇偶性；2用导数研究函数的单调性；3数形结合思想。

3. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知，，，则用向量，，可表示向量为（）A．++B．﹣++C．﹣+D．﹣+﹣参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用；空间向量及应用．【分析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出．【解答】解： ===﹣．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的平行六面体法则，属于基础题．4. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是A. B.C. D.参考答案：A试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．考点：线性回归直线.5. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数参考答案：D【考点】反证法．【专题】反证法．【分析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是： a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．即可得出．【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：D．【点评】本题考查了反证法，属于基础题．6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）A．B． C. D．参考答案：B几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于.7. 的内角所对的边满足，且C=60°，则的值为（）A． B． C． 1D．参考答案：A略8. 若a<b<0，则下列不等式中成立的是 ()A. <B. >C． |a|>|b| D．a2<b2参考答案：C略9. 函数是（）A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数参考答案：C10. 已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）A．27 B．11 C．109 D．36参考答案：D【考点】中国古代数学瑰宝．【专题】算法和程序框图．【分析】秦九韶算法可得f（x）=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，进而得出．【解答】解：由秦九韶算法可得f（x）=x5+2x3+3x2+x+1=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，∴v0=1，v1=1×3+0=3，v2=3×3+2=11，v3=11×3+3=36．故选：D．【点评】本题考查了秦九韶算法，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递减区间为____________.参考答案：(0,1]12. 设函数,给出下列四个命题：①当时,是奇函数；②当时,方程只有一个实根；③函数的图象关于点对称；④方程至多有两个实根．其中正确命题的个数为( ).A. B. C.D.参考答案：C略13. 与圆外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是_________.参考答案：14. 函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），因为要求函数的增区间，所以令f′（x）大于等于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间（1，+∞）上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可．【解答】解：f′（x）=3x2+a，令f′（x）=3x2+a≥0即x2≥﹣，当a≥0，x∈R；当a＜0时，解得x≥，或x≤﹣；因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以≤1，解得a≥﹣3，所以实数a的取值范围是[﹣3，+∞）故答案为：[﹣3，+∞）15. 点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为参考答案：３略16. 已知抛物线方程为的焦点为F，点P为抛物线C上任意一点，若点，则的最小值为参考答案：417. 已知实数x，y满足，则u=3x+4y的最大值是．参考答案：11【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由u=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时u最大，由，解得，即A（1，2），此时u=3+2×4=11，故答案为：11．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用u的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2018年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|log2x＞0}，B={x|x＜1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=RC．B⊆AD．A⊆B2．若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A．66B．76C．63D．734．如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A．i＜10B．i＞10C．i＜20D．i＞205．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．7cm36．在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3B．﹣1C．3D．17．已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值是（）A．3B．C．12D．238．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π9．（x+2y）7展开式中系数最大的项是（）A．68y7B．112x3y4C．672x2y5D．1344x2y510．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．11．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f （x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C．+3D．﹣+312．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项，则有（）A．a n+1＞a n B．a n+1≥a n C．a n+1＜a n D．a n+1≤a n二、填空题13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．14．（x+﹣2）5的展开式中的常数项为（用数字作答）15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．已知函数，如果f（1+a）+f（1﹣a2）＜0，则a的取值范围是．三、解答题17．已知等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A1B=．（1）求证：A1B⊥平面AB1C．（2）求直线BC1到平面ABB1A1所成角的正弦值．19．在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲合计男同学12 4 6 22女同学0 8 12 20合计12 12 18 42（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）几何类代数类总计男同学16 6 22女同学8 12 20总计24 18 42据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表仅供参考：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：．20．在直角坐标系xoy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是．（Ⅰ）求动点P的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设曲线Γ上的三点A（x1，y1），B（1，），C（x2，y2）与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．21．已知函数f（x）=lnx，（1）若a=﹣2时，h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内单调递增，求b的取值范围；（2）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M，N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求R的横坐标，若不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（I）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．2018年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|log2x＞0}，B={x|x＜1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=RC．B⊆AD．A⊆B【考点】集合的表示法．【分析】直接解对数不等式化简集合A，又已知集合B={x|x＜1}，则答案可求．【解答】解：A={x|log2x＞0}={x|x＞1}，B={x|x≤1}，则A∩B=∅，A∪B={x|x＞1或x＜1}≠R．故选：A．2．若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】由（1+2i）z=（1﹣i），得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）A．66B．76C．63D．73【考点】系统抽样方法．【分析】根据总体的容量比上样本的容量求出间隔k的值，再根据系统抽样方法的规定，求出第7组中抽取的号码是：m+60的值．【解答】解：由题意知，间隔k==10，∵在第1组随机抽取的号码为m=6，6+7=13，∴在第7组中抽取的号码63．故选C．4．如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A．i＜10B．i＞10C．i＜20D．i＞20【考点】程序框图．【分析】根据算法的功能是计算+++…+的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件．【解答】解：根据算法的功能是计算+++…+的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i＞10或i≥11．故选：B．5．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．7cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥A﹣BCD，其中B、D分别中点，则BC=CD=1，且AC⊥平面BCD，∴几何体的体积V==（cm3），故选：A．．6．在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3B．﹣1C．3D．1【考点】等比数列的性质．【分析】由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比数列{a n}中，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q==3．故选：C．7．已知x，y满足不等式，则函数z=2x+y取得最大值是（）A．3B．C．12D．23【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时过点B，联立，解得，故z的最大值是：z=12，故选：C．8．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，=π×（）3=．则V球故选C．9．（x+2y）7展开式中系数最大的项是（）A．68y7B．112x3y4C．672x2y5D．1344x2y5【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1==2r x7﹣r y r．由，解出即可得出．【解答】解：T r+1==2r x7﹣r y r．由，可得：≤．解得r=5．∴（x+2y）7展开式中系数最大的项是T6=x2y5=672x2y5．故选：C．10．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．【解答】解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2.0＜a＜b，∴e=2．故选A．11．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f （x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C．+3D．﹣+3【考点】分段函数的应用．【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a＜0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D．12．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项，则有（）A．a n+1＞a n B．a n+1≥a n C．a n+1＜a n D．a n+1≤a n【考点】数列递推式．【分析】利用二倍角的正切可求得tan2α=1，α为锐角，可求得sin（2α+）=1，于是可知函数f（x）的表达式，由数列{a n}的首项，可得a n+1=a n2+a n，即a n+1﹣a n=a n2＞0，问题得以解决．【解答】解：∵为锐角，且，∴tan2α===1，∴2α=，∴sin（2α+）=1，∴f（x）=x2+x，∵数列{a n}的首项，∴a n+1=a n2+a n，∴a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1＞a n，故选：A．二、填空题13．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【考点】正弦定理．【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：214．（x+﹣2）5的展开式中的常数项为﹣252（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x+﹣2）5==的展开式中，分子中含x5的项为•（﹣1）5•x5，故展开式的常数项为•（﹣1）5=﹣252，故答案为：﹣252．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】球内接多面体．【分析】通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π16．已知函数，如果f（1+a）+f（1﹣a2）＜0，则a的取值范围是{a|a＜﹣1或a＞2} ．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数f（x）为奇函数，f（x）在R上单调递增．故由条件可得f（1+a）＜f（a2﹣1），故1+a＜a2﹣1，由此求得a的范围．【解答】解：函数，f（﹣x）=lg（﹣x+）﹣x=﹣lg（x+）﹣x=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，故f（x）在R上单调递增．如果f（1+a）+f（1﹣a2）＜0，则f（1+a）＜f（a2﹣1），∴1+a＜a2﹣1，求得a＜﹣1或a＞2，故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}．三、解答题17．已知等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．【考点】数列的应用；数列递推式．【分析】（1）由题意，得，由此可解得a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）由=，知=．由此可求出m的值．【解答】解：（1）由题意，得解得＜d＜．又d∈Z，∴d=2．∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）∵=，∴=．∵，，，S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，∴S22=S m S1，即，解得m=12．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A1B=．（1）求证：A1B⊥平面AB1C．（2）求直线BC1到平面ABB1A1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）取AC的中点O，A1O，BO．推出BO⊥AC．证明BO⊥侧面ACC1A，得到BO⊥A1O．然后证明A1B⊥AC．A1B⊥AB1，即可证明A1B⊥平面AB1C．（II）以O为原点，建立如图所示的坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABB1A1的一个法向量，设BC1与平面ABB1A1所成的角为θ，利用向量的数量积求解即可．【解答】（I）证明：取AC的中点O，A1O，BO．因为△ABC是等边三角形，所以BO⊥AC．…因为侧面A1ACC1⊥底面ABC，侧面A1ACC1∩底面ABC=AC，BO⊥AC，所以BO⊥侧面ACC1A．A1O⊂侧面ACC1A，∴BO⊥A1O．…在Rt△A1BO中，因为，所以．AA1=2，AO=1，所以．所以△A1AO为直角三角形，所以A1O⊥AC．…又BO⊥AC，A1O∩BO=O，所以AC⊥平面A1BO．A1B⊂平面A1BO，所以A1B⊥AC．…因为四边形ABB1A1为菱形，所以A1B⊥AB1．…因为A1B∩AC=A，所以A1B⊥平面AB1C．…（II）解：由（I）知，可以O为原点，建立如图所示的坐标系，由题设条件知，．所以．…设平面ABB1A1的一个法向量为=（x，y，z），则所以解得令z=1，则．…设BC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则=||=…19．在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲合计男同学12 4 6 22女同学0 8 12 20合计12 12 18 42（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）几何类代数类总计男同学16 6 22女同学8 12 20总计24 18 42据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表仅供参考：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：．【考点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数．（2）①令事件A为“这名学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，利用条件概率求得两名数学科代表也被选中的概率，或利用古典概型概率公式求解；②记抽取到数学科代表的人数为X，由题X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k==≈4.582＞3.841．…所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．…（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．①方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P （A∩B）=，P（A）=．所以P（B|A）====．…方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，则P（C）===．②由题知X的可能值为0，1，2．依题意P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==．从而X的分布列为X 0 1 2P…于是E（X）=0×+1×+2×==．…20．在直角坐标系xoy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是．（Ⅰ）求动点P的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设曲线Γ上的三点A（x1，y1），B（1，），C（x2，y2）与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．【考点】轨迹方程；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由已知，得=，由此能求出动点P的轨迹C1的方程和轨迹是什么图形．（Ⅱ）由已知可得|AF|=（2﹣x1），|BF|=（2﹣1），|CF|=（2﹣x2）因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以x1+x2=2，故线段AC的中点为（1，），其垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣1），由此能求出直线BT的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得=．…两边平方，化简得．故轨迹Γ的方程是．…（Ⅱ）由已知可得|AF|=（2﹣x1），|BF|=（2﹣1），|CF|=（2﹣x2）．…因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以（2﹣x1）+（2﹣x2）=2×（2﹣1），即得x1+x2=2，①…．故线段AC的中点为（1，），其垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣1），②…．因为A，C在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把①代入化简得：﹣=y1+y2．④…把④代入②，令y=0得，x=0.5，∴点T的坐标为（0.5，0）．…∴直线BT的斜率k==．…21．已知函数f（x）=lnx，（1）若a=﹣2时，h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内单调递增，求b的取值范围；（2）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M，N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求R的横坐标，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由h（x）=lnx+x2﹣bx，由函数的单调性知，由此不等式能求出b的取值范围．（2）由题设条件，可设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，令0＜x1＜x2，g′（x）=ax+b，假设R点存在，则，由此能推导出点R不存在．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，，∴h（x）=lnx+x2﹣bx，由，得到在x∈（0，+∞）上恒成立，因为，所以…..（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），为满足和C1有两个焦点，结合对数函数图象，C2的开口需向上，且对称轴在X轴正半轴．则有，令0＜x1＜x2，g′（x）=ax+b，假设R点存在，则…..又因为，，得到，即…..令，设，t∈（0，1），，得到h（t）在（0，1）内单调递增，h（t）＜h（1）=0，假设不成立，所以点R不存在．…..[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．可得：cos（﹣）=a，解得a=．直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=，即：ρcosθ+ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程为：x+y﹣2=0．（2）圆C的参数方程为（α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（I）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的范围．【解答】解：（I）当m=5时，，由f（x）＞2得不等式组为或﹣1≤x≤1，或解得其集为{x|﹣＜x＜}．…（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为，在x=﹣1处取得最大值m﹣2，…所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4．…2016年8月1日。

广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1.（2 分）(2018 高三上·张家口期末) 设集合 （），，则A.B.C.D.2. （2 分） 复数 A . －1 B.1 C . －32 D . 32的值是（ ）3. （2 分） (2017 高一上·广东月考) 设偶函数则的大小关系是（ ）的定义域为 R，当A.＞＞B.＞＞C.＜＜D.＜＜第 1 页 共 21 页时，是增函数，4. （2 分） 下列命题中的假命题是（ ）A.，B.，C.，D.，5. （2 分） 下列命题正确的是（ ）A. B . 对任意的实数 x,都有恒成立.C.的最大值为 2D.的最小值为 26. （2 分） (2018·陕西模拟) 某程序框图如右图所示，该程序运行输出的 值是（ ）A.9 B.8 C.7第 2 页 共 21 页D.67. （2 分） (2015 高二下·铜陵期中) 设 F1 ， F2 为椭圆 线与椭圆交于 P，Q 两点，当四边形 PF1QF2 面积最大时，左、右焦点，过椭圆中心任作一条直 的值等于（ ）A.0B.1C.2D.48. （2 分） (2020 高二下·北京期中) 设命题 ，则 p 是 q 成立的（ ）在上单调递增，命题A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2 分） (2019 高二下·诸暨期末) 某几何体的三视图如图所示，当 （）时，这个几何体的体积为A.1 B.第 3 页 共 21 页C.D. 10.（2 分）(2016 高二下·南安期中) 将 5 本不同的书全发给 4 名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ） A. B. C. D.11. （2 分） 设 A . a＜c＜b B . b＜a＜c C . a＜b＜c D . b＜c＜a则 a，b，c 的大小关系为（ ）12. （2 分） 已知抛物线的焦点为 F，直线与此抛物线相交于 P,Q 两点，则（）A. B.1 C.2 D.4二、 填空題： (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高二上·南城期中) 设函数 f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，那么任取一点 x0 ， 使 f （x0）≤0 的概率为________．第 4 页 共 21 页14.（1 分）(2019 高三上·常州月考) 如图，中， 在边 上，且，，，则________．15. （1 分） (2018·河南模拟) 已知实数 ， 满足不等式组 ________，则的最小值为16. （1 分） (2019 高三上·鹤岗月考) 设 ， 为正实数，且 最小值为________.三、 解答题： (共 7 题；共 55 分)，则的17. （5 分） (2017·辽宁模拟) 已知 （x）的最小正周期为 π是函数 f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且 f（Ⅰ）求 m 值和 f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设角 A，B，C 为△ABC 的三个内角，对应边分别为 a，b，c，若 f（B）=2， 范围．，求的取值18. （5 分） (2017 高二下·温州期中) 如图，将正六边形 ABCDEF 中的一半图形 ABCD 绕 AD 翻折到 AB1C1D， 使得∠B1AF=60°．G 是 BF 与 AD 的交点．（Ⅰ）求证：平面 ADEF⊥平面 B1FG；（Ⅱ）求直线 AB1 与平面 ADEF 所成角的正弦值．第 5 页 共 21 页19. （10 分） (2020 高三上·宁城月考) 某医药开发公司实验室有 有细菌 ，现需要把含有细菌 的溶液检验出来，有如下两种方案：瓶溶液，其中瓶中方案一：逐瓶检验，则需检验 次；方案二：混合检验，将 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌 ，则 瓶溶液全部不含有细菌 ；若检验结果含有细菌 ，就要对这 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.参考数据：（1） 假设，采用方案一，求恰好检验 3 次就能确定哪两瓶溶液含有细菌 的概率；（2） 现对 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌 的概率均为.若采用方案一.需检验的总次数为 ,若采用方案二.需检验的总次数为 .(i)若 与 的期望相等.试求 关于 的函数解析式;(ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求 的最大值.20. （5 分） 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F(- ,0)，且过点 D（2，0）． （1）求该椭圆的标准方程；（2）设点 A(1, )，若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程．21. （10 分） (2020 高二下·石家庄月考) 已知函数．（1） 若，求的最大值；（2） 若恒成立，求实数 的取值范围．第 6 页 共 21 页22. （10 分） (2017 高二下·山西期末) 在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 参数），以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1） 写出曲线 C 的极坐标方程；（2） 设点 M 的极坐标为，过点 M 的直线 与曲线 C 交于 A、B 两点，若23. （10 分） (2020·江西模拟) 设函数，．（1） 当时，求不等式的解集；（2） 对任意，恒有，求实数 的取值范围．（为 ，求 ．第 7 页 共 21 页一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点： 解析：答案：4-1、 考点：第 8 页 共 21 页解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 9 页 共 21 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点：第 10 页 共 21 页解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空題： (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题： (共7题；共55分)答案：17-1、考点：解析：考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：第21 页共21 页。

2018广州二模理科数学试卷以及答案理科数学试卷点评:2018年广二模已经结束了，理科数学的试卷考试内容与近几年全国卷高考试卷一致，相较一个月前的一模而言，二模的考法更为常规，难度有所降低。

考点分布方面，集合，复数、三角、数列、概率、框图、三角、向量、线性规划、立体几何、解三角形、圆锥曲线、导数、函数等这些核心考点仍然依照全国卷的一贯作风站在它们的位置，而其中的线性规划缺席了这次的考试。

选择填空部分相对于一模而言，整体更为简单。

值得一提的是，立体几何考了两道选择，既有组合体的三视图，又有外接球体积的最值问题，延续着一模对于立体几何部分的青睐;第7题的圆锥曲线，如果发现其中的几何性质，利用平面几何中特殊三角形的边长关系可以大大节省做题时间，这种类型的题目平时要有意识的训练哦;第12题考察三次函数图象的对称性质，这种角度较为新颖，需要学生具有利用数形结合灵活处理函数问题的能力;填空15题当中，与一模一致，同样将数列和数学文化结合在一起考察;16题解三角形中涉及到面积比以及三角函数恒等变换的问题，可选多种方法，思路比较灵活，结果不太常规，难度较大。

17题，依然是数列，是学生们已经练透了的题目，十分常规，第一问直接提示证明等比数列，第二问是计算难度不大的错位相减求和。

18题，立体几何，第一问需要利用三角函数及勾股定理证明线线垂直，第二问直接用建系的方法做，比较简单常规。

19题，概率统计，这次的概率统计一改这两年侧重统计学的风格，更加侧重了对概率的考察，计算量不大，但是分类讨论过程中容易忽略一些情况，所以这道题更加看重考生们的细致全面。

20题，圆锥曲线，这次考了抛物线，总体不难。

第一问，直接利用抛物线的几何性质求解，基本属于送分题了;第二问，计算量不大，思路比较直接。

21题，函数与导数部分，第一问是常规的根据单调性求参数取值范围的恒成立问题，难度不大;第二问难度较大，需要用到二次求导，要学生具备对'设而不求'这种方法的运用，化简过程较为灵活，考察学生对数学的敏感度及观察力。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数()12ai a R i +∈-为纯虚数，则a 的值为 A ．2- B ．12- C ．2 D ．122．已知集合{}{}()22log 3,450,R A x x B x x x A C B =<=-->⋂=则 A ．[－1，8)B.(]05， C ．[－1，5) D ．(0，8)3．已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和，7153564,20a a a a S =+==，则A ．31B ．63C ．16D ．1274．设向量)()(,,3,1,//a b x c b c a b b ==-=-，若，则与的夹角为 A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆．若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，测得Γ的离心率为2，则椭圆Γ的方程为 A ．221164x y += B ．2214x y +=C ．2216416x y += D ．22154x y += 6．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量()q x (单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为()1260,020,190180,x x q x x ⎧<≤⎪+=⎨⎪-<≤⎩则当该服装厂所获效益最大时A ．20B ．60C ．80D ．407.已知,x y 满足不等式组240,20,130,x y x y z x y y +-≥⎧⎪--≤=+-⎨⎪-≤⎩则的最小值为A.2B.C. D.1 8．已知函数()2110sin 10sin ,,22f x x x x m π⎡⎤=---∈-⎢⎥⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取A ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9．已知()2112n x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为42-，则n = A.10 B.8 C.12 D.1110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．30π+B ．803π+ C. 923π+ D ．763π+ 11．已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线Γ右支上一点，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，且22PM MF = ，若PA的中点E 在1F M 的延长线上，则双曲线Γ的离心率是A ．3B ．2+C ．1D ．4+12．已知函数()()()222f x x x x mx n =+++，且对任意实数x ，均有()()33f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范围为A ．()16,9-B ．(]16,9-C ．(]16,0-D ．(]16,5--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

试卷类型：B梅州市高三总复习质检试卷（2018.3）理科数学本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}1log 2＜x x M =，集合{}012≤-=x x N ，则=N M A ．{}21＜x x ≤B ．{}21＜x x ≤-C ．{}11＜x x ≤- D ．{}20≤x x ＜2．已知x 和y 是实数，i 是虚数单位，()()i i yi x i 311+=++，则yi x +等于 A ．5B ．5C ．11D ．173．小张调查了某镇两万居民的收入情况，其年收入X (单位：元)服从正态分布()2,60000σN ，年收入10万及以上者被列为“高收入人群”，已知年收入12万及以上者的人数为26人。

通过以上信息，可推断该镇的“高收入人群”的人数约为(附：()()()9974.033,9544.022,6826.0=+-=+-=+-σμσμσμσμσμσμ＜＜＜＜＜＜X P X P X P ) A ．912 B ．456 C ．228 D ．114 4．下列说法正确的是A ．命题“若0432=--x x ，则4=x ”的否命题是“若0432=--x x ，则4≠x ”B ．0＞a 是函数x a y =在定义域上单调递增的充分不必要条件C ．()0043,0,0xxx ＜∞-∈∃D ．若命题5003,:＞n N n p ∈∀，则5003,:00≤∈∃⌝xN x p5．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡()m n mod ，例如10≡4()6mod ，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理” 的某一环节，执行该框图，输入2=a ，3=b ，5=c ，则输出的=N A ．6B ．9C ．12D ．216．已知F 是双曲线()0,012222＞＞：b a by a x C =-的一个焦点，过F 作直线l 垂直于x轴，交C 于A ，B 两点，若AB 恰好与C 的焦距相等，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．213+ D ．215+ 7．某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于A ．41B ．34C ．24D ．258．函数()x e x y 12-=的图像大致为A B C D 9．将函数x x y 2sin 232cos 21-=的图像向左平移6π各单位后，得到()x f 的图像，则A ．()x x f 2sin -=B ．()x f 的图像关于3π-=x 对称C ．2137=⎪⎭⎫⎝⎛πf D ．()x f 的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛012，π对称 10．设P ，Q 分别为圆()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是 A ．25B ．246+C ．27+D ．2611．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,log 0,13＞x x x x x f ，若方程()a x f =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且4321x x x x ＜＜＜，则432111x x x x +++的取值范围是 A ．[)+∞,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,0C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛340，D ．()∞+，012．如图，已知正四棱锥ABCD S -所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x （0＜x ＜1），截面下面部分的体积为V （x ），则函数y=V （x ）的图象大致为A BC D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。