沪教版六上数学第1讲 ：整数和整除XS

整数与整除（后附难点题型）一、知识要点：要点1：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……叫做正整数.在正整数1、2、3、4…，的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……叫做负整数.要点2：零和正整数统称为自然数.正整数、零和负整数，统称为整数.要点3：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a.（1）注意整除的两种表述方法（2）归纳整除的条件；除数、被除数都是整数.被除数除以除数，商是整数而且没有余数.要点4：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）.例如：35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数一个数的因数是有限，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.（倍数和因数是相互依存的）例如：10的因数有：1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

例如：3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

要点5：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数.个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除.例如：202、480、304，都能被2整除.个位上是0或者是5的整数都能被5整除.例如：5、30、405都能被5整除.整数：自然数（正整数、0）、负整数自然数：0和正整数正整数：奇数和偶数（按能否被2整除分）二、例题讲解：例1：把下列各数填在适当的圈内： 12、 -6、 0、 1.23、76、 2005、 -19.6、 9 正整数 自然数 整数思考：1、最小的自然数、最小的正整数是同一个数吗？不是同一个数，那么分别是什么？2、是否有最大的正整数、负整数、自然数？3、是否有最小的正整数、负整数、自然数？例2：观察下面两组算式卡片中的运算有什么异同？ （1）24÷2 = 12 （2） 6÷5 = 1.2 48÷8 = 6 17÷5 = 3.416÷4 = 4 35÷6 = 5 (5)例3：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？10÷3 48÷8 6÷4 解：因为10÷3＝3……1 48÷8＝6 6÷4＝1.5所以，被除数能被除数整除的算式是48÷8思考：2.6÷1.3＝2，能不能说2.6能被1.3整除？说明理由 2.5÷5=0.5，能说2.5被5整除？ 6÷4＝1.5，能说6被4整除？例4：找因数和倍数（1）找出36的所有因数？方法1：想乘法算式：36×1=36，36和1是36的因数；18×2=36，18和2是36的因数；12×3=36，12和3是36的因数；9×4=36，9和4是36的因数；6×6=36，6是36的因数。

教 师学 生 上课时间 学 科数学 年 级 预初 课题名称 整数和整除的意义 教学目标1、从数的类型认识整数及整数的分类、自然数的意义。

2、从整数的运算结果看、领会、理解整除的意义和条件 重点难点 整除的意义和整除的条件一、授课内容：如，一片草地的一半是21，一半的一半就是41。

即：零和正整数统称为自然数（natural ：正整数、零、负整统称为整数（integer ）12、 -7、 0、 0.4、 -23、 54、 91、 -8.75、 2016 正整数 负整数 整数 自然数5、若一个自然数为a （a ＞0），则与它相邻的两个自然数可以表示为 ；已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是 。

4、 知识总结与拓展:1、自然数的单位任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。

任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。

由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。

自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。

2、整数整数； 正整数、零、负正整统称为整数。

正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。

负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。

最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。

3、零现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。

那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？零的性质：1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。

2）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。

3）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）4）任何数与0相加，值不变。

5）任何数与0相乘，积等于0。

6）任何数减去0它的值不变。

7）相同的两个数相减，差等于0。

8）0不能作除数。

9）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。

10）0被非0的数除商等于0。

1 / 16整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类 （1）自然数：零和正整数统称为自然数； （2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数整数和整除知识结构模块一：整数的意义和分类知识精讲内容分析2 / 16【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）． （1）最小的自然数是1 ； （2）最小的整数是0； （3）非负整数是自然数；（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数； （5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．【例2】把下列各数放入相应的圈内：15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，35．整数 自然数正整数负整数【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小； （3）试比较负整数、自然数的大小．例题解析【例4】五个连续的自然数，已知中间数是a，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．【例5】有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：()()()152-=÷=+，试求这三个自然数．3 / 164 / 161、整除的意义整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．【例6】老师问：“当 4.5a =时，0.9b =时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a 能被b 整除．” 你认为对吗？【例7】下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（ ） 15和30（ ） 0．4和4（ ） 14和6（ ）17和35（ ）9和0．5（ ）【例8】已知下列除法算式： 57÷7=8……1； 21÷7=3； 22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（1）表示能除尽的算式有哪几个？（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？例题解析知识精讲模块二：整除的意义师生总结1、 整除的条件是什么？2、 “a 能整除b ”与“a 能被b 整除”的区别是什么？5 / 16【例9】把表示下列算式的序号填入适当的空格内．（1）30÷10；（2）7÷25； （3）35÷0．1； （4）18÷3； （5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；（7）27÷9；（8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________； 能够除尽的：________________________________________________．【例10】若两个整数a 、b (a b )都能被整数 c 整除，它们的和、差、积也能被 c 整除吗？为什么？【例11】一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数．【例12】15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？师生总结1、 整除与除尽有什么相同点？2、除与除尽有什么不同点？6 / 16【例13】2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？【例14】学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有9个小组去听讲座，其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？1、因数和倍数的意义整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）．【例15】有一个算式6379÷=，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 31168101247138例题解析知识精讲模块三：因数和倍数的意义7 / 16【例16】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写3个）．【例17】在圈内填写满足条件的数：【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．（1）6和9；（2）27和51．【例19】从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________； 其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．【例20】已知：235A =⨯⨯，335B =⨯⨯，则A 和B 相同的因数有哪些？18的因数27的因数既是18的因数又是27的因数【例21】一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？【例22】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？【例23】1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？【例24】李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？【例25】用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？8 / 16师生总结1、求一个整数的因数的方法有哪些？2、求一个整数的倍数的方法有哪些？3、一个正整数的最小的因数和最大的因数是什么？4、一个正整数最小的倍数是什么？【例26】一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？【例27】小明有一本共126张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第1页一直编到252页．如果从这本记事本中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否可能等于2010？9 / 1610 / 16【例28】我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数a ，我们把小于a 的正的因数叫做a 的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数a 的所有真因数的和除以a ，所得的商叫做a 的“完美指标”．如10的“完美指标”是4(125)105++÷=．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是7(124)88++÷=，10的“完美指标”是45，因为78比45更接近1，所以我们说8比10完美．根据上述材料，回答下面问题： （1）5的“完美指标”是____________； （2）6的“完美指标”是____________； （3）9的“完美指标”是____________．（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 3、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析知识精讲模块四：能被2、5整除的数11 / 16【例29】已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？【例30】已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________．【例31】在圈内写出满足条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．【例32】三个连续的偶数的和是54，则其中最小的一个是______．【例33】请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“√”，奇数则打“×”．86-（ ） 86+（ ） 86⨯（ ） 96-（ ） 96+（ ） 96⨯（ ） 157-（ ）157+（ ）157⨯（ ）能被2整除的数 能被5整除的数能同时被2和5整除的数【例34】12399910001001+++⋅⋅⋅+++的和是奇数还是偶数？请说明理由．【例35】用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数2，有几种不同的排法？要使这个数能被5整除，有几种不同的排法？【例36】下面的乘式的积中，末尾有多少个0？1232930⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯．师生总结1、 奇数偶数的运算性质有哪些？随堂检测【习题1】先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．整数自然数正整数负整数【习题2】一个三位数46，能被2整除时，中最大填______；能被5整除时，中最小填______．【习题3】判断题：(1)若2m n÷=，则n一定能整除m．（）(2)整数a的最大因数正好等于整数b的最小倍数，则a一定大于b．（）(3) 因为6.370.9÷=，所以6.3是7的倍数．（）(4) 因为整数7421中包含了数字2，所以7421一定能被2整除．（）13 / 16【习题4】已知2357A=⨯⨯⨯，那么A的全部因数的个数是( ）A．10个B．12个C．14个D．16个【习题5】一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？【习题6】如果()n表示n的全部因数的和，如(4)1247-==++=，则(18)(21) _________．【习题7】用0、2、5、8这四个数字组成的四位数中，能被2整除的数有多少个？【习题8】先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将和数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和数是不是13的倍数为止．若是13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断下列各数，哪些是13的倍数？（写出具体过程）（1）9062；（2）12805；（3）158506．课后作业【作业1】是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数．【作业2】78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内．奇数偶数【作业3】求26以内能被5整除的所有数的和．【作业4】在黑板上，先写出三个自然数1、3、5，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和．照这样进行100次后，黑板上留下的三个数中有几个奇数？它们的乘积是奇数还是偶数？【作业5】求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和．15 / 16【作业6】一个大于1的自然数a，只有两个因数，那么3a有几个因数？【作业7】张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，她习惯把钱都放在车厢售票员位置的小桌上，这样就可以随时算出有没有差错．有一次她数了数桌上的硬币，是36枚1角．她对司机说：“我今天我肯定出了差错了”，你知道为什么吗？【作业8】凡一个数的奇位数字的和同它的偶位数字的和相减（大的和减去小的和），所得的差是0或是11的倍数时，这个数就是11的倍数．下列各数，哪些是11的倍数？(1)64273 (2)208549 (3)77360822。

第1讲：整数与整除【讲义】主讲内容：（1）整数：整数及其分类（正整数、负整数、自然数等）；（2）整除的概念：整除及其判断方法；一：整数首先我们来复习回顾一下小学学过的有关整数的相关知识。

如下图所示，是某超市货架上摆放的商品，你能数出玉米和苹果的个数各是多少吗？从图中，我们不难看出，玉米的个数为7个，苹果的个数是4个。

在这里我们得到的数字7和4都属于整数，严格来讲它们应该叫作正整数。

那么什么是正整数呢？正整数：我们用来表示物体个数的1，2，3，4，5…叫做正整数。

生活中，我们都会用到正整数。

比如日历表中的日期都是用正整数表示的（如下图所示）；月份、星期等也都是用正整数表示的。

有正整数就有负整数，那么什么是负整数呢？负整数：如果我们在正整数1，2，3，4，5…的前面添加符号“－”，得到的数－1，－2，－3，－4，－5…叫做负整数。

其中符号“－”叫做负号。

对比正整数和负整数，我们会发现它们是相互对应的，不同的只是符号。

负整数是在对应的正整数前面添加“－”得到的。

仔细观察，我们发现，正整数和负整数中都不包含零。

这说明，零既不是正整数，也不是负整数，它是一个特殊的整数。

零通常用来表示没有物体，比如我们说“教室有0个同学”，意思就是“教室每人”；零还可以表示描述事物中某种量的基准数，例如我们在计算温度时，都是将0摄氏度作为温度的基准点，其他温度都是相对于这个温度来说的。

零的意义：（1）表示没有物体；（2）表示计量过程中某种量的基准数；这样我们就把整数分成了三类数，分别是：正整数、负整数和零。

因此，我们把正整数、零、负整数统称为整数。

整数：正整数、零、负整数，统称为整数。

用图可以表示为：⎪⎩⎪⎨⎧负整数正整数整数0另外，数学中把零和正整数合在一起，统称为自然数。

自然数：零和正整数统称为自然数（为什么将它们称为自然数呢？是因为这些数是我们在数数时自然产生的，因此才叫做自然数）。

所以整数又可以用下图来表示：⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫负整数自然数正整数整数0 *注意：正整数和负整数是相互对应的，负整数是在正整数的前面加上“－”得到的。

第1课时整数与整除知识精要整数：_______、______、________，统称为整数。

_______和________统成为自然数。

备注：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说____能被___整除；或者说____能整除_______。

整除的条件：(1)___________________________________；(2)___________________________________.备注：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________因数与倍数：如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的_______，b叫做a的____________。

因倍数是互相________的。

一个数的因数的个数是_____的，其中最小的因数是___，最大的因数是______。

一个数的倍数的个数是______的，其中最小的倍数是______。

备注：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________能被2、5整除的数：能被2整除的数的特征是个位上的数字是____________；能被5整除的数的特征是个位上的数字是________；能同时被2、5整除的数的特征是个位上的数字是____.能被2整除的整数叫做________，不能被2整除的整数叫做______。

2024年上海教育版六上第一章《数的整除》word精彩教案一、教学内容本节课选自2024年上海教育版六年级上册第一章《数的整除》，涉及第13节内容。

具体包括：整除的概念与性质、倍数与因数、素数与合数。

二、教学目标1. 理解并掌握整除的概念，能够判断一个数是否能被另一个数整除。

2. 学会找出一个数的倍数和因数，理解倍数与因数的相互关系。

3. 能够区分素数与合数，并掌握基本的素数判断方法。

三、教学难点与重点重点：整除的概念、倍数与因数的寻找、素数与合数的判断。

难点：理解整除的意义，以及素数与合数的判断方法。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、计算器、课堂练习纸。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示生活中的整除现象，如：平均分配问题、物品分组问题等，引导学生发现并理解整除的概念。

2. 知识讲解（15分钟）（1）整除的概念：讲解整除的定义，通过示例让学生理解整除的意义。

（2）倍数与因数：引导学生找出一个数的倍数和因数，讲解倍数与因数的相互关系。

（3）素数与合数：介绍素数与合数的概念，讲解基本的素数判断方法。

3. 例题讲解（15分钟）精选典型例题，讲解解题思路和步骤，引导学生理解和掌握本节课的知识点。

4. 随堂练习（10分钟）设计有针对性的练习题，让学生及时巩固所学知识，发现并解决问题。

5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 板书数的整除2. 板书内容：（1）整除的概念与性质（2）倍数与因数（3）素数与合数（4）典型例题及解题步骤七、作业设计1. 作业题目：（1）找出20的所有因数和倍数。

（3）课堂练习纸上的练习题。

2. 答案：（1）20的因数：1、2、4、5、10、20；倍数：20、40、60、……（2）素数：13、17、19；合数：15、21（3）见课堂练习纸。

八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：鼓励学生课后探索更多关于数的整除的性质和规律，提高学生的数学素养。

整数和整除内容分析整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．知识结构模块一：整数和整除的意义知识精讲1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．2、整除的意义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b 能整除a．2/ 15例题解析【例1】在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．．÷=，下列说法正确的是（）【例2】关于1836A．18能整除3 B．3能被整除18C．18能被3整除D．3不能整除18【例3】下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．○13和0.3；○212和4；○35和15；○40.2和0.4；○51.4和14；○65和0.1．【例4】下列说法中，正确个数是（）○1整数包括负数、整数；○21是最小的自然数；○3a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b乘除；○4有最大的自然数，而没有最小的自然数；○5最大的正整数和最大的负整数都不存在．A．0个B．1个C．2个D．3个【例5】下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．○17和11 ；○29和2538；○32和5；○415和5；○513和91；○62和0.4；○70.3和6；○81.5和2.5．师生总结1、整除与除尽有什么相同点？【例6】有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？【例7】一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？【例8】在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？模块二：因数和倍数知识精讲1、因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．4/ 15注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．例题解析【例9】在9、12、15、30、45、66有因数2的是_________，是3的倍数的是_________．【例10】既是23的倍数，又是23的因数的数是______．【例11】下列说法中不正确的是（）A．1是任何正整数的因数，任何正整数都是1的倍数B．偶数的因数不一定是偶数C．奇数的因数一定是奇数D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数【例12】一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是______．【例13】既是3的倍数，又是30的因数的数是________________．（写出所有符合条件的数）【例14】一个数即是10的倍数，又是100的因数，且不能被4整除，这个数是______．【例15】已知一个三位数abc，若两位数bc能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．6/ 15模块三：能被2、5整除的数知识精讲1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．2、奇数偶数的运算性质奇数±奇数= 偶数；奇数±偶数= 奇数；偶数±偶数= 偶数；奇数⨯奇数= 奇数；奇数⨯偶数= 偶数；偶数⨯偶数= 偶数．推广结论：（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数；（2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数；（3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数；（4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同；（5）两个整数的和与差的奇偶性相同．3、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．4、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析【例16】两个连续自然数的差是（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．既不是奇数也不是偶数8 / 15【例17】9个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数．【例18】 已知一个三位数13x ．（1）若这个三位数能被2整除，求x ；（2）若这个三位数能被5整除，求x ；（3）若这个三位数能同时被2和5整除，求x ．【例19】 用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（ ）个A ．4B ．3C ．2D ．1【例20】5个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？【例21】 12320152016+++⋅⋅⋅++的结果是奇数还是偶数？请说明理由．【例22】 用25、26、27、28、29这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？【例23】13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？【例24】有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾有多少个零？【例25】1011021039981000【例26】在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．10 / 151、能被3整除的数能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数．2、能被9整除的数能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【例27】 要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________；要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．【例28】 一个五位数497A B 能被3整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有______个．【例29】 从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【例30】 已知一个三位数abc ，试证明：若a b c ++能被9整除，则abc 能被9整除．【难度】★★★【答案】【解析】 例题解析知识精讲 模块四：能被3、9整除的数【习题1】下列说法正确的是（ ） A ．一个数至少有两个因数 B ．个位上是3、6、9的整数都能被3整除 C ．一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么这个数一定是10的倍数 D ．非负整数是正整数【习题2】50以内的7的倍数有_______个．【习题3】一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是______．【习题4】下列说法不正确的个数有（ ）个 （1）两个正整数的和或差的奇偶性相同； （2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；（3）任何正整数都能被0整除； （4）3m n ÷=，则n 一定能整除m ； （5）三个连续自然数的乘积能被2整除． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【习题5】下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个． （1）135÷；（2）127÷；（3）20163÷；（4）02÷； （5）246÷；（6）2.53÷；（7）2.8 1.4÷；（8）8.82÷． 随堂检测12 / 15【习题6】能整除18的数有________________．【习题7】 一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5整除，求所有符合条件的两位数：_______________．【习题8】 四位数29A B 能同时被3和5整除，写出所有满足条件的四位数________________【习题9】 三个连续的自然数的和一定能被3整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．【习题10】小明有12张卡片，其中3张卡片上面写着1，3张卡片上面写着3，3张卡片上面写着5，3张卡片上面写着7，小明从中选出5张卡片，它们上面的数字之和可能等于22吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．14 / 15【作业1】如果A 表示一个正整数，它的最小因数是_______，最小倍数是_______．【作业2】731最少加上______，就是5的倍数．【作业3】 三位数“15□”是8的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【作业4】 一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有______个（1）加上()12399100+++⋅⋅⋅++；（2）减去()1002327985⨯+⨯；（3）乘以2；（4）除以2．A ．1B ．2C ．3D ．4【作业5】三个连续的奇数的和是321，则这三个奇数为____________ 【作业6】【作业7】 小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）【作业8】 一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．课后作业⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯的结果是______．（填奇数或偶【作业9】122334************数）【作业10】五位数538AB能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．【作业11】油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．。

六年级数学教材目录（沪教版）六年级上册第一章数的整除第一节整数和整除1.1整数和整除的意义1.2因数和倍数1.3能被2、5整除的数第二节分解质因数1.4素数、合数与分解质因数1.5公因数与最大公因数1.6公倍数与最小公倍数第二章分数第一节分数的意义和性质2.1分数与除法2.2分数的基本性质2.3分数的大小比较第二节分数的运算2.4分数的加减法2.5分数的乘法2.6分数的除法2.7分数与小数的互化第三章比和比例第一节比和比例3.1比的意义3.2比的基本性质3.3比例第二节百分比3.4百分比的意义3.5百分比的应用3.6等可能事件第四章圆和扇形第一节圆的周长和弧长4.1圆的周长4.2弧长第二节圆和扇形的面积4.3圆的面积4.4扇形的面积第一章整数1.1 整数和整除的意义1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3. 零和正整数统称为自然数4．正整数、负整数和零统称为整数5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

1.2 因数和倍数1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数2．倍数和因数是相互依存的3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3能被2,5整除的数1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5．个位数字是0,5的数都能被5整除6. 0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3. 1既不是素数也不是合数4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。

2024年上海教育版六上第一章《数的整除》word教案一、教学内容本节课选自2024年上海教育版六年级上册第一章《数的整除》，具体内容包括第一章第1节“整除的概念与性质”，第2节“因数与倍数”，以及第3节“最大公因数与最小公倍数”。

通过学习，使学生掌握整除的定义及其相关性质，理解因数与倍数的关系，掌握求最大公因数与最小公倍数的方法。

二、教学目标1. 知识与技能：理解整除的概念，掌握整除的性质，能判断一个数是否能被另一个数整除；掌握因数与倍数的概念，会求一个数的因数和倍数；掌握求最大公因数与最小公倍数的方法。

2. 过程与方法：培养学生运用数学语言表达、逻辑推理、解决问题等能力；通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习，提高学生的实践操作能力和团队协作能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

三、教学难点与重点重点：整除的概念、性质，因数与倍数的关系，最大公因数与最小公倍数的求法。

难点：整除性质的灵活运用，求最大公因数与最小公倍数的方法。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、教学课件。

学具：练习本、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入通过生活中分物品的例子，引导学生思考如何平均分配，引出整除的概念。

2. 例题讲解（1）整除的概念与性质（2）因数与倍数的关系（3）求最大公因数与最小公倍数的方法3. 随堂练习（1）判断哪些数能被另一个数整除（2）求一个数的因数和倍数（3）求两个数的最大公因数与最小公倍数4. 小组讨论5. 课堂小结六、板书设计1. 整除的概念与性质2. 因数与倍数的关系3. 最大公因数与最小公倍数的求法七、作业设计1. 作业题目（2）求出20的所有因数和倍数（3）求12和18的最大公因数与最小公倍数2. 答案（1）能被2整除的数有：6, 12, 18, 20；能被3整除的数有：6, 12, 18；能被4整除的数有：12, 20；能被5整除的数有：20（2）20的因数有：1, 2, 4, 5, 10, 20；20的倍数有：20, 40, 60,（3）12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对整除的概念、性质，以及因数与倍数的关系掌握较好，但在求最大公因数与最小公倍数时，部分学生还存在一定困难，需要在课后加强练习。

沪教版数学六年级上册1.1《整数和整除的意义》教学设计一. 教材分析整数和整除的意义是小学数学的重要内容，沪教版数学六年级上册1.1节主要让学生理解整数的概念，以及整除的意义和性质。

教材通过实例和问题，引导学生掌握整数的分类，了解整除的概念，并能运用整除的性质解决实际问题。

二. 学情分析六年级的学生已经掌握了整数的基本概念，具备一定的逻辑思维能力，能够理解和运用整数的性质。

但学生在理解整除的概念上可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要通过实例和问题，让学生深入理解整除的意义和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握整数的分类，理解整除的概念，并能运用整除的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生逻辑思维和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：整数的分类，整除的概念和性质。

2.难点：整除的性质的应用，解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，内容包括整数的分类、整除的定义和性质等。

2.实例和问题：准备一些相关的实例和问题，用于引导学生理解和运用整除的性质。

3.学习材料：为学生准备一些学习材料，以便他们在课堂上进行自主学习和探究。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，引发学生对整数的分类和整除的意义的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现整数的分类、整除的定义和性质等内容，为学生提供丰富的感性材料，引导学生理解整除的概念。

3.操练（10分钟）教师提出一些问题，让学生运用整除的性质进行解答。

学生在解答问题的过程中，进一步理解和掌握整除的概念。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生分享自己在解决问题过程中的心得体会，互相学习和交流。

六年级 第一学期
第一章 数的整除
第1节 整数和整除
1.1
整数和整除的意义
——自然数：零和正整数统称为自然数
——整数：正整数、零、负整数的统称
——整除的概念：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a
注意整除的条件：（1）除数、被除数都是整数
（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零
——如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素
——求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数
1.6
公倍数与最小公倍数
——几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数
——求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数
——用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式
1.5
公因数与最大公因数
——几个数公有的因数，叫做这个数的公因数，其中最大的叫做这几个数的最大公因数
拓展 无限循环小数与分数的互化
2.8
分数、小数的四则混合运算
——与整数的四则混合运算顺序相同
2.9
分数运算的应用
本章小结
探究活动（一）
用计算器验证分数的有关运算律
探究活动（二）
将一个分数拆为几个不同的单位分数之和
阅读材料
中国古代的分数运算
第三章 比和比例

八、最大公因数与最小公倍数的关系
1、两个数A、B： ①A、B的最大公因数× A、B的最小公倍数=A×B 记作：(A,B)×[A,B]=A×B
②A、B的最大公因数÷ A、B的最小公倍数=a×b 记作：(A,B)÷[A,B]=a×b
推导过程： 1、短除法，求出A、B的最大公因数c
cAB ab
2、根据短除法过程可得知： A=a×c B=b×c
例：判断173是否为素数 ①先找出比173大的平方数：196（142）； ②列出比14小的素数：2,3,5,7,9,11,13 ③用这7个数分别去整除173，发现无法整除，此时得出结论：173为素数。
二、素数：快速判断两个数互素的方法
1、连续两个正整数互素 如：3和4，15和16
2、连续两个奇数互素 如：15和17，33和35
注：
若A是B的因数，那么A和B的最大公因数为A， 最小公倍数是B
公倍数求解方法： 1、分解素因数法。
第一步：先将两个数分解素因数。如： A=a×b×c×因数×A、B独有的因数，
表示为：[A,B]=a×b×c×d×e×f
A独有 B独有 第三步：A，B的公倍数为最小公倍数的倍数： [A,B]×1、 [A,B]×2、 [A,B]×3、……
六年级数学
胡老师讲义
一、整除知识点-概念
1、整除中所有的数都为整数（被除数、除数、商）； 2、a整除b，b是被除数
a被b整除，a是被除数 3、倍数、因数关系均建立在整除知识上
一、整除知识点-数字整除技巧
1、看尾数（针对数字2、4、5、8） ①尾数为2、4、6、8、0能被2整除 ②尾数为0或5能被5整除 ③后两位能被4整除，则此数字能被4整除 ④后三位能被8整除，则此数字能被8整除

沪教版数学六年级上册1.1《整数和整除的意义》教学设计一. 教材分析《整数和整除的意义》是沪教版数学六年级上册的第一课时内容，这部分内容是在学生已经掌握了整数的基本知识的基础上进行讲解的，主要让学生了解整除的概念，以及整除与除尽的区别。

教材通过具体的例子，让学生理解整除的意义，并能够运用整除的概念解决实际问题。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于整数的概念已经有了初步的了解。

但是在学习整除的概念时，可能会对整除与除尽的区别产生混淆。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、交流等方式，深刻理解整除的意义。

三. 教学目标1.让学生理解整除的概念，能够识别整除的算式。

2.让学生掌握整除与除尽的区别。

3.培养学生运用整除的概念解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.整除的概念。

2.整除与除尽的区别。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生通过观察、思考、交流等方式，理解整除的概念，掌握整除与除尽的区别。

六. 教学准备1.教材、教案。

2.课件、教学辅助材料。

3.计时器、黑板、粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的问题，如“36除以6等于多少？”引发学生对整除的思考，进而引入整除的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示整除的定义，让学生理解整除的意义。

同时，通过对比除尽和整除，让学生掌握两者的区别。

3.操练（10分钟）教师给出一些整除的算式，让学生判断哪些是整除，哪些不是整除。

同时，让学生尝试运用整除的概念解决实际问题。

4.巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生进一步巩固整除的概念，以及整除与除尽的区别。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：除了整除，还有哪些除法运算？让学生了解除法运算的多样性。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确整除的概念，以及整除与除尽的区别。

7.家庭作业（5分钟）教师布置一些有关整除的家庭作业，让学生进一步巩固所学知识。

2.自主探究，合作交流：鼓励学生自主探究整数与整除的性质，组织小组合作交流，让学生在互动中互相启发，共同解决问题。
-例如：让学生分组讨论一个数的因数和倍数的特征，总结找一个数的因数和倍数的方法。
3.突破重难点，注重方法指导：
-对于整数与整除的概念，通过数轴、实物等直观教具，帮助学生形象地理解。
-对于因数和倍数的运用，引导学生通过实际操作、举例等方法，发现规律，总结方法。
学生在这个阶段好奇心强，求知欲旺盛，喜欢探索和发现。因此，我们需要利用这一特点，通过设置有趣的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导他们主动投入到整数与整除的学习中。同时，学生已经具备了一定的自主学习能力和合作交流能力，我们可以充分利用这一点，鼓励他们在课堂上积极思考、互动交流，提高课堂效果。
此外，学生在解决整数与整除问题时，可能会遇到一些困难和误区。作为教师，我们要及时发现并引导学生克服这些困难，帮助他们建立正确的数学观念，培养良好的数学思维习惯。
-教师在游戏结束后，引导学生思考：在这个游戏中，我们是如何确定下一个数的？这和我们今天要学习的整数与整除有什么关系？
2.情境创设：结合生活实际，提出问题“如果你有12个苹果，要平均分给4个朋友，每个人能得到几个苹果？”，引导学生思考整数与整除的实际意义。
（二）讲授新知
1.整数的概念：通过数轴、实物等直观教具，让学生理解整数包括正整数、0和负整数，并明确整数在生活中的应用。
-问题2：如何找一个数的因数和倍数？
-问题3：你能举例说明整数与整除在实际问题中的应用吗？
2.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问，引导学生发现规律，总结方法。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：针对本节课所学内容，设计不同难度的练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。

沪教版（上海）六年级数学第一学期：1.1整数和整除的意义教案整数和整除的意义【教学目标】1．在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义。

2．在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念，掌握两种表述方法。

3．在对整数概念的梳理中渗透分类思想，集合思想。

【教学重难点】理解和掌握整除的概念。

【教学过程】一、回顾与思考1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1，2，3，4……，叫做正整数。

2．在正整数1，2，3，4……的前面添上“—”号，得到的数-1．-2．-3．-4……，叫做负整数。

3．0既不是正整数，也不是负整数。

那么0究竟是什么含义呢？1．0表示没有物体；2．0表示计量过程中某种量的基准数，比如温度计。

二、新课讲解1．零和正整数统称为自然数。

2．正整数、零和负整数，统称为整数。

三、整数的分类例1：把下列各数填在适当的圈内：100、-6、0、1、23、76、2005、-19、6、9。

正整数自然数整数思考：有多少个整数呢？无数个。

又有多少个自然数呢？无数个。

是否存在最小的自然数？0。

是否有最大的自然数呢？没有。

是否有最小的整数？没有。

是否存在最大的整数？没有。

是否存在最小的正整数？1。

四、建立整除的概念1．观察与思考：（1）18÷9=2；169÷13=13；144÷12=12；（2）176÷5=35…1；17÷10=1．7；6÷5=1．2；请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？2．整除的定义：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b 能整除a。

a÷b=c（a，b，c都是整数且b不等于0 ）；6÷3=2（6能被3整除，3能整除6）；6÷5=1.2（6不能被5整除，5不能整除6）。

做一做课堂练习：判断：4能被2整除？（√）；2能被4整除？（×）。

教师：学生：时间：年月日段一、填空1、既不是正数，也不是负数；2、最小的自然数是，最小的正整数是，最大的负整数是；3、6能被正整数整除；4、整除的条件是：（1），都是整数；（2）除以，商是，而且余数是；5、a能整除10，则a= ；6、用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句；（1）2 整除4；（2）4 整除5；（3）6 被3整除；（4）7 被2整除；7、和13相邻的整数是；8、24÷4=6，我们说能被整除；或者说能整除。

二、选择题1、5÷4=1.25，表示（）A、5能被4整除B、5能被4除尽C、5不能被4除尽D、4能整除52、下面四句话中，正确的是（）A、最小的整数是1B、整数一定比小数大C、4能被0.8整除D、负整数、0、正整数都是整数3、下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A、18÷4B、12÷0.4C、1.8÷1.8D、4÷44、已知m能整除71，那么m是（）A、142B、11C、1或71D、2135、下列各组数中，第1个数不能被第2个数整除的是（）A、1.5和0.5B、15和5C、4和4D、10和2三、简答题1、正整数24能被a整除，写出所有符合条件的正整数a。

2、在下列各组数中，哪一组的第一个数能被第二个数整除？能整除的要计算出结果。

①3.6和1.2 ②135和4 ③84和0.05 ④5和12 ⑤36和4 ⑥1.7和0.83、学校新购置了48台电脑，把它们平均分成几个小组整齐地摆放在电脑教室；如果你是管理员，你会怎样摆放呢？4、从下列数中选择适当的数填入相应的圈内15 －8 0 0.82 －31 41 101 自然数 整数 正整数5、将下列各算式填入合适的圈内64÷8=8 8÷16=0.5 17÷3=5……2 2.5÷2.5=1 7÷7=1 7÷3.5=2 除尽 整除。