中国海洋大学 数学物理方程-A卷-答案
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2005-2006学年第 1 学期试题名称:大学物理Ⅰ(3)共5 页第 1 页IIAA ′O+-2005-2006学年第 1 学期 试题名称 :大学物理Ⅰ(3) 共 5 页 第 2 页 6.(本题3分)(3368) 一束光强为I 0的自然光垂直穿过两个偏振片,且此两偏振片的偏振化方向成45°角,则穿过两个偏振片后的光强I 为 (A) 4/0I 2 . (B) I 0 / 4.(C) I 0 / 2. (D) 2I 0 / 2. [ ]7.(本题3分)(4351) 宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行,某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号,经过∆t (飞船上的钟)时间后,被尾部的接收器收到,则由此可知飞船的固有长度为 (c 表示真空中光速) (A) c ·∆t (B) v ·∆t (C)2)/(1c t c v -⋅∆(D) 2)/(1c t c v -⋅⋅∆ [ ]8.(本题3分)(4359) (1)对某观察者来说,发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件,对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说,它们是否同时发生? (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件,它们在其它惯性系中是否同时发生?关于上述两个问题的正确答案是: (A) (1)同时,(2)不同时. (B) (1)不同时,(2)同时. (C) (1)同时,(2)同时.(D) (1)不同时,(2)不同时. [ ]二、填空题(共21分) 9.(本题5分)(1206) 一平行板电容器,充电后与电源保持联接,然后使两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质,这时两极板上的电荷是原来的________倍;电场强度是原来的 _________倍;电场能量是原来的____________倍.10.(本题3分)(1391) 一个半径为R 的薄金属球壳,带有电荷q ,壳内充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质.设无穷远处为电势零点,则球壳的电势U = ________________________________.11.(本题3分)(2564) 如图,两根导线沿半径方向引到铁环的上A 、A ′两点,并在很远处与电源相连,则环中心的磁感强度为_________________.中国海洋大学命题专用纸2005-2006学年第 1 学期试题名称:大学物理Ⅰ(3)共 5 页第 3 页中国海洋大学命题专用纸2005-2006学年第 1 学期试题名称:大学物理Ⅰ(3)共 5 页第 4 页16 (本题10分)设光栅平面和透镜都与屏幕平行,在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线,用它来观察钠黄光(λ=589 nm)的光谱线.(1)当光线垂直入射到光栅上时,能看到的光谱线的最高级次k m是多少?(2)当光线以30°的入射角(入射线与光栅平面的法线的夹角)斜入射到光栅上时,能看k'是多少?(1nm=10-9m)到的光谱线的最高级次mv0.99c (c为真空中光速)的速率运动.试求:17.(本题8分)(4500)一电子以=(1) 电子的总能量是多少?(2) 电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少?(电子静止质量m e=9.11×10-31 kg)中国海洋大学命题专用纸。
专业课原理概述部分一、选择题(每题1分,共5分)1. 微分学的中心概念是()A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导,那么f'(a)等于()A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中,奇函数是()A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是()A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示()A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题(每题1分,共5分)1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
()2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
()3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加,则f'(x)≥0。
()4. 二重积分可以转化为累次积分。
()5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
()三、填空题(每题1分,共5分)1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______,记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2,则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中,f(n)(a)表示______。
四、简答题(每题2分,共10分)1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题(每题2分,共10分)1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
一、填空题(共 6 题,每题 3 分,共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |=3, 则 |2A −1A T |= .2.设 3 阶方阵 A =(1−1020102a ) 的伴随矩阵为 A ∗=(−23−1−63−14−22), 则 a = .3.设 n 阶方阵 A 满足 A 2+3A +2I =O ,则 (A −I)−1= .4.设 A =(α1,α2,α3)为3阶方阵,若 α1,α2 线性无关,且 α3=−α1+2α2,则 齐次线性方程组 Ax =0 的一般解为 .5.设 3 阶方阵 A 的秩 r (A )=2,且 A (11203−1)=(12203−2),则 A 的特征值为 . 6.已知矩阵 A =(23−50000a) 可对角化,则 a = . 二、选择题(共 6 题,每题 3 分,共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵,k 为常数,则下列命题正确的是( ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (A +B)−1=A −1+B −1 D. |kAB |=k |A ||B |2.设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第2列加到第1列得矩阵 B ,再交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵,记P 1=(100110001), P 2=(100001010),则 A =( ). A.P 1P 2 B. P 1−1P 2 C. P 2P 1 D. P 2P 1−1中国海洋大学《线性代数》2018-2019学年第二学期期末试卷A卷3.已知向量组 α1,α2,α3 是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1+2α2,2α2+3α3,α1+4α2+3α3 D. α1+2α3,3α1+α2,2α2+3α34.设 A 为 m ×n 型矩阵,B 为 n ×p 型矩阵, 则下列条件中, 不能推出线性方 程组 (AB )x =0 有非零解的是( ).A . m <p B. 线性方程组 Ay =0 有非零解 C. n <p D. 线性方程组 Bx =0 有非零解 5.设矩阵 A =(2−1−1−12−1−1−12) 与 B =(10010000),则 A 与 B ( ). A .合同且相似 B .合同但不相似 C .不合同,但相似 D .既不合同,也不相似6.设 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵, O 是 3 阶零矩阵; 若 A 2+A −2E =O ,且 |A |=4,则二次型 x T Ax 的规范型是( ).A .y 12+y 22+y 32;B .y 12+y 22−y 32;C .y 12−y 22−y 32;D .−y 12−y 22−y 32三、计算题(共 5 题,每题 6 分,共 30 分) 1.计算 n 阶行列式||011⋯11101⋯11110⋯11⋮⋮⋮⋱⋮⋮111⋯01111⋯1|| 2.已知矩阵 A =(1234−21−113−22−30020),A ij 表示元素 a ij 的代数余子式,求 A 11−A 12.3.设向量组 α1=(1,−1,1,2)T ,α2=(−1,2,0,0)T ,α3=(1,2,4,8)T ,α4=(−1,1,1,1)T ,α5=(2,−1,1,3)T ;求此向量组的秩及一个极大线性无关 组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示. 4.已知 R 2的两组基为 B 1={α1,α2},B 2={β1,β2},其中 α1=(1,−1)T ,α2=(1,0)T ;β1=(1,2)T ,β2=(3,5)T ; (1)求从基 B 1到基 B 2的过渡矩阵;(2)若向量 γ在基 B 1下的坐标为 (−1,1)T , 求 γ 在基 B 2下的坐标. 5.设 A =(201311405),B 与 A 相似,求 |B |,|B −1+E |,其中 B −1是 B 的逆矩阵,E 是 3 阶单位矩阵. 四、证明题(共 1 题, 8 分)设 α1,α2,α3 是 n 阶方阵 A 的3个特征向量,且它们对应的特征值互不相等,若β=α1+α2+α3,证明:β,Aβ,A 2β线性无关. 五、解方程组(共1题,14分) 讨论 a,b 取何值时,线性方程组{x 2+2x 3−2x 4=−1x 1+x 2+2x 3−x 4=1x 2+(a +1)x 3+bx 4=b −2x 1+x 2+2x 3+(b −2)x 4=b +3无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时写出方程组的一般解. 六、二次型(共1题,12分)已知二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32−6x1x2−6x1x3−6x2x3,利用正交变换法, 将二次型 f(x1,x2,x3)化为标准型, 并写出相应的正交矩阵.一、填空题1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |=3, 则 |2A −1A T |= . 解:|2A −1A T |=23|A −1|∙|A T |=8 |A |−1 |A |=8.2.设 3 阶方阵 A =(1−1020102a ) 的伴随矩阵为 A ∗=(−23−1−63−14−22), 则a = .解:矩阵 A 的第1行第2列的元素 −1的代数余子式为 A 12=−6;又 A 12=(−1)1+2M 12=−|210a |=−2a ,即 −2a =−6,则 a =3.3.设 n 阶方阵 A 满足 A 2+3A +2I =O ,则 (A −I)−1= . 解:A 2+3A +2I =O ⟹(A −I )(A +4I )=−6I ⟹(A −I)−1=− A +4I 6.4.设 A =(α1,α2,α3)为3阶方阵,若 α1,α2 线性无关,且 α3=−α1+2α2,则 齐次线性方程组 Ax =0 的一般解为 .解:由已知,得 r (A )=2,则 Ax =0 的基础解系含有 3−r (A )=1 个解向量;α3=−α1+2α2⟺α1−2α2+α3=0⟹(α1,α2,α3)(1−21)=0,即 ξ=(1,−2,1)T ≠0 是 Ax =0 的解,可以做基础解系; 则 Ax =0 的一般解为 x =kξ=k(1,−2,1)T ,k 任意.5.设 3 阶方阵 A 的秩 r (A )=2,且 A (11203−1)=(12203−2),则 A 的特征值为 .解:记 α1=(1,2,3)T ,α2=(1,0,−1)T ,则有 A (α1,α2)=(α1,2α2), 于是,{Aα1=α1⟹λ1=1Aα2=2α2⟹λ2=2;又 r (A )=2⟹|A |=0⟹λ3=0;答案则 A 的特征值为1,2,0. 6.已知矩阵 A =(23−50000a) 可对角化,则 a = . 解:矩阵 A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−2−350λ00−aλ|=λ2(λ−2), 则 A 的特征值为 λ1=λ2=0, λ3=2;A 可对角化,则对特征值 λ1=λ2=0,齐次线性方程组 (0I −A)x =0 , 即 Ax =0 的基础解系包含的向量个数为 2=3−r (A )⟹r (A )=1, 从而 a =0. 二、选择题1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵,k 为常数,则下列命题正确的是( B ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (A +B)−1=A −1+B −1 D. |kAB |=k |A ||B |2.设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第2列加到第1列得矩阵 B ,再交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵,记 P 1=(100110001), P 2=(10001010),则 A =( D ). A.P 1P 2 B. P 1−1P 2 C. P 2P 1 D. P 2P 1−1解:P 1=E 12(1),P 2=E 23,A c 1+c 2 ⇒ B r 2↔r 3⇒ I ,则有 I =E 23B =E 23AE 12(1)⟹A =E 23−1 IE 12−1(1)=E 23E 12−1(1)=P 2P 1−1.3.已知向量组 α1,α2,α3 是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( C ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1+2α2,2α2+3α3,α1+4α2+3α3 D. α1+2α3,3α1+α2,2α2+3α34.设 A 为 m ×n 矩阵,B 为 n ×p 矩阵, 则下列条件中, 不能推出线性方程组 (AB )x =0 有非零解的是( B ).A . m <p B. 线性方程组 Ay =0 有非零解 C. n <p D. 线性方程组 Bx =0 有非零解解:(1)AB 为 m ×p 矩阵;r (AB )≤r (A )≤{mn;若 m <p 或 n <p ,都有 r (AB )<p ,则 (AB )x =0 有非零解; (2)线性方程组 Bx =0 有非零解,从而 ABx =A0=0 则 (AB )x =0 有非零解. 5.设矩阵 A =(2−1−1−12−1−1−12) 与 B =(10010000),则 A 与 B ( B ). A .合同且相似 B .合同但不相似 C .不合同,但相似 D .既不合同,也不相似解:A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−2111λ−2111λ−2|=λ(λ−3)2,则 A 的特征值为 λ1=λ2=3, λ3=0;因此,A 与 B 有相同的正惯性指数2,相同的负惯性指数0; 则 A 与 B 合同,但是不相似,因为相似矩阵的特征值相同. 6.设 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵, O 是 3 阶零矩阵; 若 A 2+A −2E =O ,且 |A |=4,则二次型 x T Ax 的规范型是( C ).A .y 12+y 22+y 32;B .y 12+y 22−y 32;C .y 12−y 22−y 32;D .−y 12−y 22−y 32解:设 A 的特征值为 λ,则 A 2+A −2E 的特征值为 λ2+λ−2, 因为 A 2+A −2E =O ,而零矩阵 O 的特征值均为0,于是有 λ2+λ−2=0⟹(λ+2)(λ−1)=0⟹λ=1或−2; 即 A 的特征值只能为 1 或 −2;又因 |A |=4,则 A 的特征值为 1,−2,−2. 所以,A 的正惯性指数为1,负惯性指数为2; 则二次型的规范形中有1项正平方项,系数为1; 2项负平方项,系数为 −1. 三、计算题 1.计算 n 阶行列式||011⋯11101⋯11110⋯11⋮⋮⋮⋱⋮⋮111⋯01111⋯1||. 解:||011⋯11101⋯11110⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋱1111⋯10111⋯110|| 12n (n −1)||111⋯11101⋯11110⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋱1111⋯10111⋯110||i 1(n −1)|111⋯10−10⋯000−1⋱⋮⋮⋮⋱⋱000⋯0−1|=(−1)n−1(n −1).2.已知矩阵 A =(1234−21−113−22−30020),A ij 表示元素 a ij 的代数余子式,求 A 11−A 12.解:A 11−A 12=1∙A 11+(−1)∙A 12+0∙A 13+0∙A 14=|1−100−21−113−22−30020|=2∙(−1)4+3|1−10−2113−2−3|c 2+c 1−2|100−2−1131−3|=−2∙1∙(−1)1+1|−111−3|=−4.3.设向量组 α1=(1,−1,1,2)T ,α2=(−1,2,0,0)T ,α3=(1,2,4,8)T ,α4=(−1,1,1,1)T ,α5=(2,−1,1,3)T ;求此向量组的秩及一个极大线性无关 组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.解:记矩阵 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=(1−11−12−1221−11041120813)初等行变换⇒ (10402013010001−1000), ①秩{α1,α2,α3,α4,α5}=3;②α1,α2,α4 是 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组; ③ α3=4α1+3α2,α5=2α1+α2−α4.4.已知 R 2的两组基为 B 1={α1,α2},B 2={β1,β2},其中 α1=(1,−1)T ,α2=(1,0)T ;β1=(1,2)T ,β2=(3,5)T ;(1)求从基 B 1到基 B 2的过渡矩阵;(2)若向量 γ 在基 B 1下的坐标为 (−1,1)T , 求 γ 在基 B 2下的坐标. 解:(1)记矩阵 B 1=(α1,α2)=(1−1 10),B 2=(β1,β2)=(12 35),因为 (β1,β2)=(α1,α2)A ,即 B 1A =B 2,解此矩阵方程(B 1,B 2)=(1−1 10 12 35)初等行变换⇒ (10 01 −23 −58)=(I,A)则从基 α1,α2到基 β1, β2的过渡矩阵 A =(−23 −58)(2)两种方法:已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 γB 1=(1,−1)T , 设 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2, 方法1:因为 γ=B 1γB 1=(1−1 10)(1−1)=(0−1);又有 γ=B 2γB 2,则求解该方程组(B 2,γ)=(12 35 |0−1)初等行变换⇒ (10 01 |−31),则 γ 在基 B 2下的坐标向量 γB 2=(−31); 方法2:因为 A γB 2=γB 1,求解该非齐次线性方程组(A,γB 1)=(−23 −58 |1−1)初等行变换⇒ (10 01 |−31)=(I,γB 2)则 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2=(−31).5.设 A =(201311405),B 与 A 相似,求 |B |,|B −1+E |,其中 B −1是 B 的逆矩阵,E 是 3 阶单位矩阵. 解:A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−20−1−3λ−1−1−40λ−5|=(λ−6)(λ−1)2,则 A 的特征值为 λ1=λ2=1, λ3=6; B 与 A 相似,则 B 的特征值也是 1,1,6;从而{B −1的特征值为 1,1, 16B −1+E 的特征值为 1+1,1+1, 1 6+1,即2, 2,76于是 {|B |=1∙1∙6=6|B −1+E |=2∙2∙ 7 6=14 3 四、证明题设 α1,α2,α3 是 n 阶方阵 A 的3个特征向量,且它们对应的特征值互不相等,若β=α1+α2+α3,证明:β,Aβ,A 2β线性无关. 证:β=α1+α2+α3,Aβ=A (α1+α2+α3)=λ1α1+λ2α2+λ3α3,A 2β=AAβ=A (λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3;于是 (β, Aβ,A 2β)=(α1,α2,α3)(1λ1λ121λ2λ221λ3λ32)=(α1,α2,α3)C ,其中:矩阵 C=(1λ1λ121λ2λ221λ3λ32),因为 λ1≠λ2≠λ3,则 |C |=|1λ1λ121λ2λ221λ3λ32|=(λ2−λ1)(λ3−λ1)(λ3−λ2)≠0⟹C 可逆,于是,秩{β, Aβ,A 2β}= 秩(β, Aβ,A 2β)= 秩((α1,α2,α3)C ) = 秩(α1,α2,α3)=秩{α1,α2,α3}=3⟹β, Aβ,A2β 线性无关.五、解方程组讨论 a,b 取何值时,线性方程组{x2+2x3−2x4=−1x1+x2+2x3−x4=1x2+(a+1)x3+bx4=b−2x1+x2+2x3+(b−2)x4=b+3无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时写出方程组的一般解. 解:方程组的增广矩阵(A,d)=(012−2112−101a+1b112b−2|−11b−2b+3)r1↔r2 ⇒(112−1012−201a+1b112b−2|1−1b−2b+3)r4−r1r1−r2⇒r3−r2(1001012−200a−1b+2000b−1|2−1b−1b+2)r3−r4 ⇒ (1001012−200a−13000b−1|2−1−3b+2)=(U1,d′)Ax=d 与 U1x=d′为同解方程组:(1)当|U1|=(a−1)(b−1)≠0,即 a≠1 且 b≠1 时,原方程组有唯一解;(2)当 b=1 时,增广矩阵(A,d)初等行变换⇒(1001012−200a−130000|2−1−33)则原方程组无解;(3)当 a=1 且 b≠1 时,增广矩阵(A,d)初等行变换⇒(1001012−200010000|2−1−12b+1)①当 2b +1≠0,即 b ≠− 12 时,则原方程组无解;②当 2b +1=0,即 b =− 12时,增广矩阵(A,d )初等行变换⇒ (100012000010000| 3−3−10)=(U 2,d ′′) 取 x 3 为自由未知量,1)令 x 3=0,代入 U 2x =d ′′,得原方程组的一个特解 x 0=(3,−3,0,−1)T ; 2)令 x 3=1,代入 U 2x =0,得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(0,−2,1,0)T ; 则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(3−30−1)+k (0−210),k 任意;综上,{当 a ≠1 且 b ≠1 时,方程组有唯一解;当 b =1或 a =1且 b ≠− 12 时,方程组无解;当 a =1且 b =− 1 2时,方程组有无穷多解.六、化二次型为标准型已知二次型 f (x 1,x 2,x 3)=x 12+x 22+x 32−6x 1x 2−6x 1x 3−6x 2x 3,利用正交变换法, 将二次型 f (x 1,x 2,x 3)化为标准型, 并写出相应的正交矩阵. 解:二次型对应的矩阵 A =(1−3−3−31−3−3−31) A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−1333λ−1333λ−1|=(λ−4)2(λ+5)则 A 的特征值为 λ1=λ2=4,λ3=−5; ①对于 λ1=λ2=4,由(λ1I −A)x =0,即 (333333333)(x 1x 2x 3)=0,得基础解系 {ξ1=(−1,1,0)Tξ2=(−1,0,1)T , 1)正交化:取 β1=ξ1=(−1,1,0)T ,令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1) β1=(− 1 2,− 12,1)T ,2)单位化:令 η1=1‖β1‖β1=(−1√2,1√2,0)T ;η2=1‖β2‖β2=(−1√6,−1√62√6)T;②对于特征值 λ3=−5,由(λ3I −A)x =0,即 (−6333−6333−6)(x 1x 2x 3)=0,得基础解系为 ξ3=(1,1,1)T ,单位化得:η3=1‖ξ3‖ξ3=(1√31√3,1√3)T;③记矩阵 Q =(η1,η2,η3)=(√2√6√3√2√6√30√6√3),则 Q 为正交阵,且使得 Q TAQ =Q −1AQ =Λ=(44−5)④令 x =(x 1,x 2,x 3)T ,y =(y 1,y 2,y 3)T ,做正交变换 x =Qy ,原二次型就化成标准形 x T Ax =y T (Q T AQ )y =4y 12+4y 22−5y 32.。
本人能力有限,仅供参考,不保证全对一、1、线性偏微分方程2、线性偏微分方程3、非线性偏微分方程4、非线性偏微分方程二、1、201∆=-⨯=-0y yy<双曲型0y=抛物型y>椭圆型02、222∆=-=抛物型()0xy x y3、22∆=-++⨯=>双曲型(cos)(3sin)140x x4、2222200∆=-=-<椭圆型x y x y三、见第二章第二节“三、相关概念”四、五、定解问题222,0,0(,0)(),0(,)(0,)0,0,0u ua x l t t x u x x x l u l t u t t x ϕ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪∂⎪==>∂⎪⎩下面用分离变量法求解 令(,)()()u x t X x T t =,则`2``XT a X T = (1)(0,)(0)()0u t X T t == (2)`(,)()()0u l t X l T t x∂==∂ (3) ```2T X a T Xλ==- (4) ``0X X λ+= (5)当20λβ=-<时 x x X Ae Be ββ-=+ 代入(2)(3)得0A B ==无意义 当0λ=时 X A x B =+代入(2)(3)得0A B ==无意义 当20λβ=> sin cos X A x B x ββ=+代入(2)(3)得0B = cos 0A x β= (6)0A ≠则cos 0l β=得21,0,1,2,2n n n lβπ+== (7) 221,0,1,2,2n n n l λπ+⎛⎫== ⎪⎝⎭(8)21sin,0,1,2,2n n n X A x n lπ+== (9) `20T a T λ+= (10)将(8)代入(10)得2`22102nn n T a T l π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭(11)22212n a t l n n T B eπ+⎛⎫- ⎪⎝⎭= (12)故22222121222121sinsin22n n a t a t l l n n n n n n n n u X T A B ex C e x llππππ++⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=== (13) 222120021sin2n a t l n n n n n u u C ex lππ+⎛⎫∞∞- ⎪⎝⎭==+==∑∑ (14) 021(,0)sin()2n n n u x C x x lπϕ∞=+==∑ (15) 故方程的解为22212021sin2n a t l n n n n n u u C ex lππ+⎛⎫∞∞- ⎪⎝⎭==+==∑∑,其中nC 满足方程21sin()2n n n C x x lπϕ∞=+=∑。
大学海洋科学专业《大学物理(下册)》月考试卷A卷含答案姓名:______ 班级:______ 学号:______考试须知:1、考试时间:120分钟,本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
一、填空题(共10小题,每题2分,共20分)1、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为:()。
①②③④试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的.将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。
(1) 变化的磁场一定伴随有电场;__________________(2) 磁感线是无头无尾的;________________________(3) 电荷总伴随有电场.__________________________2、一质点作半径为0.1m的圆周运动,其运动方程为:(SI),则其切向加速度为=_____________。
3、一弹簧振子系统具有1.OJ的振动能量,0.10m的振幅和1.0m/s的最大速率,则弹簧的倔强系数为_______,振子的振动频率为_______。
4、如图所示,一静止的均匀细棒,长为、质量为,可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴在水平面内转动,转动惯量为。
一质量为、速率为的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为,则此时棒的角速度应为______。
5、若静电场的某个区域电势等于恒量,则该区域的电场强度为_______________,若电势随空间坐标作线性变化,则该区域的电场强度分布为 _______________。
6、已知质点的运动方程为,式中r的单位为m,t的单位为s。
则质点的运动轨迹方程,由t=0到t=2s内质点的位移矢量______m。
7、一个力F作用在质量为 1.0 kg的质点上,使之沿x轴运动.已知在此力作用下质点的运动学方程为 (SI).在0到4 s的时间间隔内, (1) 力F的冲量大小I =__________________. (2) 力F对质点所作的功W =________________。
N D P C +q M -q O a b c d a b c d a bc d v v v ⅠⅢⅡ I2005-2006学年第 1 学期 试题名称 :大学物理III (下) 共6页 第1页专业年级: 学号 姓名 授课教师名 分数(请将计算题的答案写在答题纸上,其余直接作在试卷上) 一、选择题(共27分,每题3分)1、在边长为a 的正方体中心处放置一点电荷Q ,设无穷远处为电势零点,则在正方体顶角处的电势为:(A)aQ 034επ .(B) a Q032επ.(C) a Q 06επ. (D) aQ012επ . [ ]2、如图所示,直线MN 长为2l ,弧OCD 是以N 点为中心,l 为半径的半圆弧,N 点有正电荷+q ,M 点有负电荷-q .今将一试验电荷+q 0从O 点出发沿路径OCDP 移到无穷远处,设无穷远处电势为零,则电场力作功(A) A <0 , 且为有限常量. (B) A >0 ,且为有限常量.(C) A =∞. (D) A =0. [ ] 3、一块铜板垂直于磁场方向放在磁感强度正在增大的磁场中时,铜板中出现的涡流(感应电流)将(A) 加速铜板中磁场的增加. (B) 减缓铜板中磁场的增加.(C) 对磁场不起作用. (D) 使铜板中磁场反向. [ ]4、在无限长的载流直导线附近放置一矩形闭合线圈,开始时线圈与导线在同一平面内,且线圈中两条边与导线平行,当线圈以相同的速率作如图所示的三种不同方向的平动时,线圈中的感应电流(A) 以情况Ⅰ中为最大. (B) 以情况Ⅱ中为最大. (C) 以情况Ⅲ中为最大.(D) 在情况Ⅰ和Ⅱ中相同. [ ]a a ′b b ′ a a ′ b b ′ 图(1) 图(2)B O2005-2006学年第 1 学期 试题名称 :大学物理III (下) 共 6 页 第2页5、一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上,透明薄膜放在空气中,要使反射光得到干涉加强,则薄膜最小的厚度为(A) λ / 4 . (B) λ / (4n ).(C) λ / 2 . (D) λ / (2n ). [ ]6、在双缝干涉实验中,用单色自然光,在屏上形成干涉条纹.若在两缝后放一个偏振片,则 (A) 干涉条纹的间距不变,但明纹的亮度加强. (B) 干涉条纹的间距不变,但明纹的亮度减弱. (C) 干涉条纹的间距变窄,且明纹的亮度减弱.(D) 无干涉条纹. [ ]7、磁介质有三种,用相对磁导率μr 表征它们各自的特性时, (A) 顺磁质μr >0,抗磁质μr <0,铁磁质μr >>1. (B) 顺磁质μr >1,抗磁质μr =1,铁磁质μr >>1. (C) 顺磁质μr >1,抗磁质μr <1,铁磁质μr >>1.(D) 顺磁质μr <0,抗磁质μr <1,铁磁质μr >0. [ ]8、圆铜盘水平放置在均匀磁场中,B的方向垂直盘面向上.当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时,(A) 铜盘上有感应电流产生,沿着铜盘转动的相反方向流动.(B) 铜盘上有感应电流产生,沿着铜盘转动的方向流动.(C) 铜盘上产生涡流.(D) 铜盘上有感应电动势产生,铜盘边缘处电势最高.(E) 铜盘上有感应电动势产生,铜盘中心处电势最高. [ ]9、在一中空圆柱面上绕有两个完全相同的线圈aa ′和bb ′,当线圈aa ′和bb ′如图(1)绕制及联结时,ab 间自感系数为L 1;如图(2)彼此重叠绕制及联结时,ab 间自感系数为L 2.则(A) L 1 = L 2 =0. (B) L 1 = L 2 ≠ 0.(C) L 1 = 0,L 2 ≠ 0.(D) L 1 ≠ 0,L 2 = 0. [ ]中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸(附页)2005-2006学年第 1 学期 试题名称 :大学物理III (下) 共6页 第3页二、填空题(共33分,每题3分)1、在国际单位制中,磁场强度的单位是__________.磁感强度的单位是______,用H B ⋅21表示的单位体积内储存的磁能的单位是__________.2、如右图,单色平行光垂直入射到双缝上.观察屏上P 点到两缝的距离分别为r 1和r 2.设双缝和屏之间充满折射率为n 的媒质,则P 点处二相干光线的光程差为________________.3、在单缝的夫琅禾费衍射实验中,屏上第三级暗纹对应于单缝处波面可划分为_________________ 个半波带,若将缝宽缩小一半,原来第三级暗纹处将是____________纹.4、一无铁芯的长直螺线管,在保持其半径和总匝数不变的情况下,把螺线管拉长一些,则它的自感系数将____________________.5、图示一充电后的平行板电容器,A 板带正电,B 板带负电.当将开关K 合上放电时,AB 板之间的电场方向为________________,位移电流的方向为____________________(按图上所标x 轴正方向来回答) .6、如图,有一N 匝载流为I 的平面线圈(密绕),其面积为S ,则在图示均匀磁场B的作用下,线圈所受到的磁力矩为______________.线圈法向矢量n将转向________________.7、一金属球壳的内、外半径分别为R 1和R 2,带电荷为Q .在球心处有一电荷为q 的点电荷,则球壳内表面上的电荷面密度σ =______________.pd r 1r 2S 2S 1nRK x A BI O zy xBnS 1 S 2 S 3+q -q2005-2006学年第 1 学期 试题名称 :大学物理III (下) 共6页 第4页8、如图所示,一半径为r 的很小的金属圆环,在初始时刻与一半径为a (a >>r )的大金属圆环共面且同心.在大圆环中通以恒定的电流I ,方向如图.如果小圆环以匀角速度ω绕其任一方向的直径转动,并设小圆环的电阻为R ,则任一时刻t 通过小圆环的磁通量Φ =______________________.小圆环中的感应电流i =______________________________.9、三个平行的“无限大”均匀带电平面,其电荷面密度都是+σ,如图所示,则A 、B 、C 、D 三个区域的电场强度分别为: E A =_________________,E B =_____________,E C =_______________,E D =_________________(设方向向右为正).10、在点电荷+q 和-q 的静电场中,作出如图所示的三个闭合面S 1、S 2、S 3,则通过这些闭合面的电场强度通量分别是: Φ1=________,Φ2=___________,Φ3=__________.11、一个密绕的细长螺线管,每厘米长度上绕有10匝细导线,螺线管的横截面积为10 cm 2.当在螺线管中通入10 A 的电流时,它的横截面上的磁通量为_________________________.(真空磁导率μ0 =4π³10-7 T ²m/A)ωa rI +σ +σ +σ A B C DOS 1 S 2 n 2 n 1r 1 r 2 d2005-2006学年第 1 学期 试题名称 :大学物理III (下) 共6页 第5页三、计算题(共30分)(请将计算题的答案写在答题纸上)1、在一半径R =1.0 cm 的无限长半圆筒形金属薄片中,沿长度方向有横截面上均匀分布的电流I = 5.0 A 通过.试求圆柱轴线任一点的磁感强度.(μ0 =4π³10-7 N/A 2) (本题6分)2、用波长为589.3 nm (1 nm = 10-9 m)的钠黄光垂直入射在每毫米有500 条缝的光栅上,求第一级主极大的衍射角. (本题6分)3、在图示的双缝干涉实验中,若用薄玻璃片(折射率n 1=1.4)覆盖缝S 1,用同样厚度的玻璃片(但折射率n 2=1.7)覆盖缝S 2,将使原来未放玻璃时屏上的中央明条纹处O 变为第五级明纹.设单色光波长λ=480 nm(1nm=109m ),求玻璃片的厚度d (可认为光线垂直穿过玻璃片).(本题7分)4、磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间,一金属杆放在图中位置,杆长为2R ,其中一半位于磁场内、另一半在磁场外.当tBd d >0时,求:杆两端的感应电动势的大小和方向.(本题6分)5、当电子的德布罗意波长与可见光波长( λ =5500 Å)相同时,求它的动能是多少电子伏特?(电子质量m e =9.11³10-31 kg ,普朗克常量h =6.63³10-34 J ²s, 1 eV =1.60³10-19 J) (本题5分)2005-2006学年第 1 学期试题名称:大学物理III(下)共6页第6 页四、简答题(共10分,每题5分)1、已知铂的逸出电势为8 V,今用波长为300 nm (1 nm = 10-9 m)的紫外光照射,问能否产生光电效应?为什么?2、某单色光从空气射入水中,其频率、波速、波长是否变化?怎样变化?学年第 2学期 试题名称 : 大学物理III2-A 共 2 页 第1页专业年级: 学号 姓名 授课教师名 分数题1:如图,半径为R 的圆柱形空间内分布有沿圆柱轴线方向的均匀磁场,磁场方向垂直纸面向里,其变化率为dtdB 。
2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷《线性代数》课程试题(A 卷) 共 3页 第 1 页考试说明:本课程为闭卷考试,考试时间100分钟。
满分为:100分一.填空题(每题3分,共15分)1.设3R 的基为1231110,1,1001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则123β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在基123{,,}ααα下的坐标为 。
2.已知方阵A ,且满足方程220A A I --=,则A 的逆矩阵1A -= 。
3.设A 为3阶实对称矩阵, 向量()T5,2,11=ξ,()Tk k 3,2,2=ξ分别对应于特征值2和3的特征向量, 则=k 。
4.若矩阵12323536A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩()2r A =,则t = 。
5.设,A B 为3阶矩阵,且2,3A B ==,则12AB -= 。
二.单项选择题(每题3分,共15分)1.向量组12,,,(2)m m ααα> 线性相关的充要条件是( )。
(A) m ααα,,,21 中至少有两个向量成正比; (B) m ααα,,,21 中至少有一个零向量;(C) m ααα,,,21 中至少有一个向量可由其余的向量线性表示; (D) m ααα,,,21 中任一部分组线性相关。
题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分优选专业年级 X X X X X X X 学号 姓名 授课教师 座号--------------------------------装装--------------------------------订订--------------------------------线线--------------------------------2.已知n 阶行列式0A =,则下列表述正确的是( )。
(A )行列式A 主对角线上的元素全为零; (B )A 的行向量组线性相关;(C )方程0AX =仅有零解; (D )*A 的秩为n 。
011 数学科学学院目录一、初试考试大纲: (1)617 数学分析 (1)856 高等代数 (6)432 统计学 (8)二、复试考试大纲: (12)计算方法 (12)实变函数 (13)数学物理方程 (15)概率论与数理统计 (16)概率论与数理统计(应用统计) (18)数理统计 (19)计量经济学 (21)一、初试考试大纲:617 数学分析一、考试性质数学分析是数学相关专业硕士入学初试考试的专业基础课程。
二、考试目标本考试大纲制定的依据是根据教育部颁发的《数学分析》教学大纲的基本要求,力求反映与数学相关的硕士专业学位的特点,客观、准确、真实地测评考生对数学分析的掌握和运用情况,为国家培养具有良好数学基础素质和应用能力、具有较强分析问题与解决问题能力的高层次、复合型的数学专业人才。
本考试旨在测试考生对一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论等知识掌握的程度和运用能力。
要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论;掌握数学分析的基本论证方法和常用结论;具备较熟练的演算技能和较强的逻辑推理能力及初步的应用能力。
三、考试形式(一)试卷满分及考试时间本试卷满分为150分,考试时间为180分钟。
(二)答题方式答题方式为闭卷、笔试。
试卷由试题和答题纸组成,所有题目的答案必须写在答题纸相应的位置上。
考生不得携带具有存储功能的计算器。
(三)试卷结构一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论及其他(隐函数理论、场论等)考核的比例均约为1/3,分值均约为50分。
四、考试内容(一) 变量与函数1、实数:实数的概念、性质,区间,邻域;2、函数:变量,函数的定义,函数的表示法,几何特征(有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数),运算(四则运算、复合函数、反函数),基本初等函数,初等函数。
(二) 极限与连续1、数列极限:定义(ε-N语言),性质(唯一性,有界性,保号性,不等式性、迫敛性),数列极限的运算,数列极限存在的条件(单调有界准则(重要的数列极限en nn=+∞→1)1(lim),迫敛性法则,柯西收敛准则);2、无穷小量与无穷大量:定义,性质,运算,阶的比较;3、函数极限:概念(在一点的极限,单侧极限,在无限远处的极限,函数值趋于无穷大的情形(ε-δ, ε-X语言));性质(唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,迫敛性);函数极限存在的条件(迫敛性法则,归结原则(Heine 定理),柯西收敛准则);运算;4、两个常用不等式和两个重要函数极限(1sinlim=→xxx,exxx=+∞→)11(lim);5、连续函数:概念(在一点连续,单侧连续,在区间连续),不连续点及其分类;连续函数的性质与运算(局部性质及运算,闭区间上连续函数的性质(有界性、最值性、零点存在性,介值性、一致连续性),复合函数的连续性,反函数的连续性);初等函数的连续性。
大学海洋工程专业《大学物理(下册)》模拟考试试卷A卷含答案姓名:______ 班级:______ 学号:______考试须知:1、考试时间:120分钟,本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
一、填空题(共10小题,每题2分,共20分)1、一质点作半径为0.1m的圆周运动,其运动方程为:(SI),则其切向加速度为=_____________。
2、两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2,相距为d,其电荷线密度分别为和如图所示,则场强等于零的点与直线1的距离a为_____________ 。
3、从统计的意义来解释, 不可逆过程实质上是一个________________的转变过程, 一切实际过程都向着________________ 的方向进行。
4、一个半径为、面密度为的均匀带电圆盘,以角速度绕过圆心且垂直盘面的轴线旋转;今将其放入磁感应强度为的均匀外磁场中,的方向垂直于轴线。
在距盘心为处取一宽度为的圆环,则该带电圆环相当的电流为________,该电流所受磁力矩的大小为________ ,圆________盘所受合力矩的大小为________。
5、质点在平面内运动,其运动方程为,质点在任意时刻的位置矢量为________;质点在任意时刻的速度矢量为________;加速度矢量为________。
6、设描述微观粒子运动的波函数为,则表示_______________________;须满足的条件是_______________________;其归一化条件是_______________________。
7、在主量子数n=2,自旋磁量子数的量子态中,能够填充的最大电子数是______________。
8、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动,如图射来两个质量相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,子弹射入圆盘并留在盘内,则子弹射入后的瞬间,圆盘的角速度_____。
高等数学试卷大题 一二三四五六七八九十成绩一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231,则f x '(,)32=( )(A) 59 (B) 56 (C) 58 (D) 552、设曲面z xy =在点(,,)326处的切平面为S ,则点(,,)124-到S 的距离为( ) (A )-14 (B )14 (C )14(D )-143、设f (x ,y )是连续函数,则二次积分 ( )4、函数y x z 2+=在点(3,5)沿各方向的方向导数的最大值为( )(A)5 (B) 0 (C) 3(D) 25、曲线2,ln ),1sin(t z t y t x ==-=在对应于1=t 点处的切线方程是( ) (A) 1111-==z y x ; (B) 21111-=-=z y x ; (C)2111-==z y x ; (D) 211z y x ==. 二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设u xy yx=+,则∂∂∂2u x y = 。
2、设f x y (,)有连续偏导数,u f e e xy=(,),则d u = 。
3、设L 是从点A (-1,-1)沿曲线x 2+xy +y 2=3经点E (1,-2)到点B (1,1)曲线段,则曲线积分________.4、设u f x y =(,)在极坐标:x r y r ==cos ,sin θθ下,不依赖于r ,即u =ϕθ(),其中ϕθ()有二阶连续导数,则∂∂∂∂2222u x uy+=________________.5、设,则I =________________。
三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )曲面S 1x y z =,求该曲面的切平面使其在三个坐标轴上截距之积最大。
一、填空题(共 6 题,每题 3 分,共 18 分)1.设 3 阶方阵 A=(α,2γ1,3γ2), B=(β,γ1,γ2),其中 α,β,γ1,γ2均是 3 维列向量,已知|A|=6,|B|=2,则|A−B|= .2.设 n 阶方阵 A 满足 A2−3A−2I=O(其中 O 表示零矩阵), 则 (I−A)−1=______.3.设 α=(1,−2,3)T,β=(−1,12,0)T,A=αβT,则 A10=______.4.设 A 为 3 阶方阵,|A|=3, A∗为 A 的伴随矩阵, 若交换 A 的第一行与第二行得矩阵 B, 则 BA∗=______.5.从 R2的基 α1=(11),α2=(12) 到基 β1=(21),β2=(01) 的过渡矩阵为________;若向量 α 在基 α1,α2下的坐标为 (−1−1),则 α 在基 β1,β2下的坐标为________.6.设 A 为 n 阶可逆矩阵,λ 是 A 的一个特征值,则 ( 13A)−1+I 必有特征值________.二、选择题(共 6 题,每题 3 分,共 18 分)1. 设向量组 α1,α2,α3线性无关,则下列线性无关的向量组是( ).A. α1−α2,α3−α1,α2−α3B. α1−α2,2α2+α3,α1+α2+α3C. α1−α2,2α2+α3,α1+α3D. α1+2α2,2α2+3α3,2α1+4α22. 设 A 为 4×3 矩阵,r(A)=1,ξ1,ξ2,ξ3是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关解,下列哪个是 Ax=0 的基础解系?( ).A. ξ2− ξ1,ξ3−ξ2B. ξ1+ ξ2−2 ξ3C. ξ1+ ξ2+ ξ3D. ξ1+ ξ2,ξ2+ ξ33.设 A 为 m×n 矩阵,C 是 n 阶可逆矩阵,矩阵 A 的秩为 r,矩阵 B=AC 的秩为 r1,则( ).A. r>r1B. r=r1C. r<r1D. r与r1的大小关系不确定中国海洋大学《线性代数》2020-2021学年第一学期期末试卷A卷4.齐次线性方程组 {λx 1+x 2+λ2x 3=0x 1+λx 2+x 3=0x 1+x 2+λx 3=0的系数矩阵记为 A ,若存在 3 阶矩阵 B ≠O ,使得 AB =O (其中 O 表示零矩阵),则( ). A. λ=−2 且 |B |=0 B. λ=−2 且 |B |≠0 C. λ=1 且 |B |=0 D. λ=1 且 |B |≠0 5.与矩阵 A =(1203) 不相似的矩阵是( ). A. (1023) B. (2112) C. (3701) D. (1133)6.设二次型 x T Ax =x 12+x 22+cx 32−2x 1x 2+2x 1x 3−2x 2x 3, 且 A 有特征值 3,则 c 的取值为( ).A. −2B. −1C. 0D. 1 三、计算题(共 4 题,共 28 分) 1.(6分) 计算 n 阶行列式的值: |1+a 123⋯n 12+a 23⋯n 123+a 3⋯n ⋮⋮⋮⋱⋮123⋯n +a n| (其中,a i ≠0,i =1,⋯,n ).2. (8分) 设向量组 α1=(2,0,1,2)T , α2=(−1,2,0,0)T , α3=(−1,−1,0,0)T , α4=(−1,4,2,4)T , α5=(1,−1,1,2)T ,求此向量组的秩及一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示.3. (8分) 已知矩阵 B 满足 2BA 2=A ∗BA 2+3A ,其中 A =(12312101),A ∗为 A 的伴随矩阵,求矩阵 B. 4. (6分) 已知 A =(2−11x4y −2−25) 是可对角化的, λ=3 是 A 的二重特征值, 求 x,y .四、证明题(共 1 题, 8 分)设 α1,α2 是 3 阶方阵 A 分别对应于特征值 −1,1的特征向量,向量 α3 满足 Aα3=2α2+α3,证明:α1,α2,α3 线性无关. 五、解方程组(共1题,14分) 设 A =(a11a −1011a), b =(c 11), 已知方程组 Ax =b 有无穷多解,(1)求 a 、c 的值; (2)求此方程组的一般解. 六、二次型(共1题,14分) 已知 A =(101011−10a 0a−1),且r (A )=2,二次型 f (x 1,x 2,x 3)=x T (A T A )x , (1)求实数 a 的值;(2)用正交变换法将 f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵Q ; (3)写出规范形;(4)分析此二次型是否是正定二次型.一、填空题(共 6 题,每题 3 分,共 18 分)1.设 3 阶方阵 A=(α,2γ1,3γ2), B=(β,γ1,γ2),其中 α,β,γ1,γ2均是 3 维列向量,已知|A|=6,|B|=2,则|A−B|= .解:|A|=6⟺6=|α,2γ1,3γ2|=6|α,γ1,γ2|⟹|α,γ1,γ2|=1;|B|=2⟺|β,γ1,γ2|=2;A−B=(α,2γ1,3γ2)−(β,γ1,γ2)=(α−β,γ1,2γ2),则|A−B|=|α−β,γ1,2γ2|=2|α−β,γ1,γ2|=2(|α,γ1,γ2|−|β,γ1,γ2|)=2(1−2)=−2.2.设 n 阶方阵 A 满足 A2−3A−2I=O(其中O表示零矩阵), 则 (I−A)−1=_______. 解:A2−3A−2I=O⟹(A−I)(A−2I)=4I⟹(I−A)(2I−A)=4I⟹(I−A)(2I−A)4=I⟹(I−A)−1=(2I−A)4.3.设 α=(1,−2,3)T,β=(−1, 12,0)T,A=αβT,则 A10=________.解:A=αβT=(1−23)(−1, 12,0)=(−112⁄02−10−33/20);λ=βTα=(−1,12,0)(1−23)=−2;A10=AA⋯AA⏟10个=(αβT)(αβT)⋯(αβT)(αβT)⏟10个=α (βTα)(βTα)⋯(βTα)⏟9个βT=α λ9βT=λ9αTβ=(−2)9A=(−2)9(−112⁄02−10−33/20)=28(2−10−4206−30)4.设 A 为 3 阶方阵,|A|=3, A∗为 A 的伴随矩阵, 若交换 A 的第一行与第二行得矩阵 B, 则 BA∗=______.解:A r1↔r2⇒B,则 B=E12A⟹BA∗=E12AA∗=E12|A|I=3E12=3(010100001)5.从 R2的基 α1=(11),α2=(12) 到基 β1=(21),β2=(01) 的过渡矩阵为________;若向量 α 在基 α1,α2下的坐标为 (−1−1),则 α 在基 β1,β2下的坐标为________.解:(1)记矩阵 B1=(α1,α2)=(1112),B2=(β1,β2)=(211),设所求过渡矩阵为 A,则有 (β1,β2)=(α1,α2)A,即 B1A=B2,解此矩阵方程答案(B1,B2)=(1112211)初等行变换⇒(113−1−11)=(I,A)则从基 α1,α2到基 β1, β2的过渡矩阵 A=(3−1−1 1)(2)两种方法:已知 α 在基 α1,α2下的坐标为 αB1=(−1,−1)T,设 α 在基 β1,β2下的坐标为 αB2,方法1:因为 α=B1αB1=(1112)(−1−1)=(−2−3);又有 α=B2αB2,则求解该方程组(B2,α)=(2101|−2−3)初等行变换⇒(11|−1−2),则 α 在基 β1,β2下的坐标为 αB2=(−1−2);方法2:因为AαB2=αB1,求解该非齐次线性方程组(A,αB1)=(3−1−11|−1−1)初等行变换⇒(11|−1−2)=(I,αB2)则 α 在基 β1,β2下的坐标为 αB2=(−1−2).6.设 A 为 n 阶可逆矩阵,λ 是 A 的一个特征值,则 ( 13A)−1+I 必有特征值________.解:λ 是 A 的一个特征值,A−1的一个特征值为 1λ,( 13A)−1+I=3A−1+I,则其特征值为 3λ+1.二、选择题(共 6 题,每题 3 分,共 18 分)1. 设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列线性无关的向量组是( C ).A. α1−α2,α3−α1,α2−α3B. α1−α2,2α2+α3,α1+α2+α3C. α1−α2,2α2+α3,α1+α3D. α1+2α2,2α2+3α3,2α1+4α22. 设A为 4×3矩阵,r(A)=1,ξ1,ξ2,ξ3是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关解,下列哪个是 Ax=0 的基础解系?( A ).A. ξ2− ξ1,ξ3−ξ2B. ξ1+ ξ2−2 ξ3C. ξ1+ ξ2+ ξ3D. ξ1+ ξ2,ξ2+ ξ3解:A 是 4×3 矩阵,r(A)=1⟹Ax=0 的基础解系含有 3−r(A)=2 个向量.ξ1,ξ2,ξ3是 Ax=b 的三个线性无关的解 ⟹ξ2−ξ1,ξ3−ξ2是 Ax=0 的解;且 M =(ξ2−ξ1,ξ3−ξ2)=(ξ1,ξ2,ξ3)(−101−101)=BC ,秩(B )=秩{ξ1,ξ2,ξ3}=3⟹B 可逆,秩(C )=2; 则秩{ξ2−ξ1,ξ3−ξ2}=秩(M )=秩(BC )=秩(C )=2,所以,ξ2−ξ1,ξ3−ξ2 线性无关;是 Ax =0 的基础解系.3.设 A 为 m ×n 矩阵,C 是 n 阶可逆矩阵,矩阵 A 的秩为 r ,矩阵 B =AC 的秩为 r 1, 则( B ).A. r >r 1B. r =r 1C. r <r 1D. r 与 r 1的大小关系不确定 解:C 是 n 阶可逆阵 ⟹r 1= 秩(B )=秩(AC)=秩(A)=r .4.齐次线性方程组{λx 1+x 2+λ2x 3=0x 1+λx 2+x 3=0x 1+x 2+λx 3=0的系数矩阵记为 A ,若存在 3 阶矩阵 B ≠O ,使得 AB =O (其中 O 表示零矩阵),则( C ). A. λ=−2 且 |B |=0 B. λ=−2 且 |B |≠0 C. λ=1 且 |B |=0 D. λ=1 且 |B |≠0解:A =(λ1λ21λ111λ)≠0⟹r (A )≥1,B ≠0⟹r (B )≥1;存在 B ≠0,使得 AB =0⟹{r (A )<A 的列数=3⟹|A |=0⟹λ=1r (A )+r (B )≤3⟹r (B )≤2⟹|B |=05.与矩阵A =(1203)不相似的矩阵是( D ). A. (1023) B. (2112) C. (3701) D. (1133) 6.设二次型 x T Ax =x 12+x 22+cx 32−2x 1x 2+2x 1x 3−2x 2x 3, 且 A 有特征值 3,则 c 的取值为( D ).A. −2B. −1C. 0D. 1解:矩阵 A =(1−11−11−11−1c ),A 有特征值 3,则 |3I −A |=0⟹c =1三、计算题(共 4 题,共 28 分) 1.(6分) 计算 n 阶行列式的值: |1+a 123⋯n 12+a 23⋯n 123+a 3⋯n ⋮⋮⋮⋱⋮123⋯n +a n| (其中,a i ≠0,i =1,⋯,n ).解:可采用不同的方法:方法1:拆分行列式 |1+a 123⋯n 12+a 23⋯n 123+a 3⋯n ⋮⋮⋮⋱⋮123⋯n +a n |=|1+a 12+ 03+ 0⋯n + 01+ 02+a 23+ 0⋯n + 01+ 02+ 03+a 3⋯n + 0⋮⋮⋮⋱⋮1+ 02+ 03+ 0⋯n + a n| =|12+ 03+ 0⋯n + 012+a 23+ 0⋯n + 012+ 03+a 3⋯n + 0⋮⋮⋮⋱⋮12+ 03+ 0⋯n + a n |+|a 12+ 03+ 0⋯n + 0 02+a 23+ 0⋯n + 0 02+ 03+a 3⋯n + 0⋮⋮⋮⋱⋮ 02+ 03+ 0⋯n + a n| =|123+ 0⋯n + 0123+ 0⋯n + 0123+a 3⋯n + 0⋮⋮⋮⋱⋮123+ 0⋯n + a n |+|1 03+ 0⋯n + 01a 23+ 0⋯n + 01 03+a 3⋯n + 0⋮⋮⋮⋱⋮1 03+ 0⋯n + a n| +|a 123+ 0⋯n + 0023+ 0⋯n + 023+a 3⋯n + 0⋮⋮⋮⋱⋮ 023+ 0⋯n + a n |+|a 1 03+ 0⋯n + 0 0a 23+ 0⋯n + 0 0 03+a 3⋯n + 0⋮⋮⋮⋱⋮ 003+ 0⋯n + a n| =⋯=|100⋯01a 20⋯010a 3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮10⋯a n |+|a 120⋯0020⋯002a 3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮020⋯a n |+|a 103⋯00a 23⋯0003⋯0⋮⋮⋮⋱⋮003⋯a n| +⋯+|a 10⋯0na 2⋯0n⋮⋮⋱⋮⋮00⋯a n−1n00⋯0n|+|a 100⋯00a 20⋯000a 3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮00⋯a n| =1∙(−1)1+1a 2a 3⋯a n−1a n +2∙(−1)2+2a 1a 3⋯a n−1a n +3∙(−1)3+3a 1a 2a 4⋯a n−1a n +⋯+n ∙(−1)n+n a 1a 2a 3⋯a n−1+a 1a 2a 3⋯a n−1a n =1a 2a 3⋯a n−1a n +a 12a 3⋯a n−1a n +a 1a 23a 4⋯a n−1a n +⋯+a 1a 2a 3⋯a n−1n +a 1a 2a 3⋯a n−1a n =(1+1a 1+⋯+n a n )a 1⋯a n =(1+∑ia ini=1)∏a j nj=1方法2:变为爪形行列式 |1+a 123⋯n 12+a 23⋯n 123+a 3⋯n ⋮⋮⋮⋱⋮123⋯n +a n i 1 1+a 123⋯n −a 1a 20⋯0−a 10a 3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮−a 1⋯a n|r 1−2a 2r 2−3a 3r 3−⋯−n a nr n ||1+a 1+2a 2a 1+3a 3a 1+⋯+na na 100⋯0−a 1a 20⋯0−a 10a 3⋯0⋮⋮⋮⋱⋮−a 1⋯a n|| =(1+a 1+2a 2a 1+3a 3a 1+⋯+na na 1)a 2a 3⋯a n−1a n =(1+1a 1+⋯+n a n )a 1a 2a 3⋯a n−1a n =(1+∑ia ini=1)∏a j nj=12. (8分) 设向量组α1=(2,0,1,2)T , α2=(−1,2,0,0)T , α3=(−1,−1,0,0)T , α4=(−1,4,2,4)T , α5=(1,−1,1,2)T ,求此向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 解:记矩阵 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=(2−1−1−1102−14−11002120042)r 1↔r 3 ⇒ (1002102−14−12−1−1−1120042) r 3−r 4⇒ r 4−2r 1(1002102−14−10−1−1−5−100000)r 2+2r 3 ⇒ (1002100−3−6−30−1−1−5−100000) r 2∙(− 13) ⇒ r 3∙(−1)(100210012101151000) r 2↔r 3 ⇒ (10021011510012100)r 2−r 3 ⇒ (1002101030001210)=U . 1)秩{α1,α2,α3,α4,α5}=3;2)α1,α2,α3 是向量组 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组; 3)α4=2α1+3α2+2α4,α5=α1+α3.不同的初等行变换过程,行简化阶梯形矩阵 U 也不同; 所以原向量组的极大线性无关组也不同.3. (8分) 已知矩阵 B 满足 2BA 2=A ∗BA 2+3A ,其中A =(123012101),A ∗为 A 的伴随矩阵,求矩阵 B. 解:显然矩阵 A 可逆,且 |A |=2.2BA 2=A ∗BA 2+3A ⟹(2I −A ∗)BA 2=3A ⟹(2I −A ∗)BA =3I ; 于是,B =(2I −A ∗)−13IA −1=3[A (2I −A ∗)]−1=3(2A −|A |I)−1=3 2(A −I)−1又 C=A−I=(023 002 100)且(C,I)=(023100002010100001)初等行变换⇒ (1000010101/2−3/4000101/20)=(I,C−1)即 C−1= 14(0042−30020),从而,B= 32C−1= 38(0042−30020)4. (6分) 已知 A=(2−11x4y−2−25) 是可对角化的,λ=3 是 A 的二重特征值,求 x、y.解:λ=3 是 A 的二重特征值,且 A 可对角化,则特征值3的重数等于其对应的线性无关的特征向量的最大个数,即齐次线性方程组 (3I−A)x=0 的基础解系包含的向量个数为 2,即 3−r(3I−A)=2⟹r(3I−A)=1;又3I−A=(11−1−x−1−y 22−2)方法1: (3I−A)初等行变换⇒(11−11−x0−1−y000),从而 {1−x=0⟹x=1−1−y=0⟹y=−1;方法2:(3I−A) 的任一2阶子式均为 0⟹{|11−x−1|=0⟹x=1 |1−1−1−y|=0⟹y=−1.四、证明题(共 1 题, 8 分)设 α1,α2是 3 阶方阵 A 分别对应于特征值 −1,1 的特征向量,向量 α3满足 Aα3=2α2+α3,证明:α1,α2,α3线性无关.证:已知 {Aα1=−α1Aα2=α2,且 α1,α2线性无关;设 k1α1+k2α2+k3α3=0,(*1)则有 A(k1α1+k2α2+k3α3)=0⟺−k1α1+k2α2+k3(2α2+α3)=0整理得:−k1α1+(k2+2k3)α2+k3α3=0,(*2)(*1) −(*2),得 2k1α1−2k3α2=0,由 α1,α2线性无关,得 k1=k3=0,代入(*1),有 k2α2=0,而 α2≠0,则 k2=0;由上可得 k1=k2=k3=0,因此 α1,α2,α3线性无关.五、解方程组(共1题,14分)设 A=(a110a−1011a), b=(c11),已知方程组 Ax=b 有无穷多解,(1)求 a,c 的值;(2)求此方程组的一般解. 解:(1)方程组的增广矩阵为(A,b)=(a110a−1011a|c11)初等行变换⇒(11a0a−10001−a2|11c−a+1)已知方程组 Ax=b 有无穷多解,则有 r(A,b)=r(A)<3,于是{a−1≠01−a2=0c−a+1=0⟹{a=−1c=−2;(2)此时增广矩阵为(A,b)=(−1110−2011−1|−211)初等行变换⇒(10−1010000|3/2−1/2)=(U,d)取 x3为自由未知量,1°令 x3=0,代入 Ux=d,得原方程组的一个特解 x0=( 32,−12,0)T;2°令 x3=1,代入 Ux=0,得 Ax=0 的一个基础解系 ξ=(1,0,1)T,则原方程组的通解为 x=x0+kξ=( 32,−12,0)T+k(1,0,1)T,k 任意.自由未知量的取值不同,特解和基础解系也会不同,但都可以调节k 的取值相互得到.六、二次型(共1题,14分)已知 A=(101 011−10a0a−1),且 r(A)=2,二次型 f(x1,x2,x3)=x T(A T A)x,(1)求实数 a 的值;(2)用正交变换法将 f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵 Q;(3)写出规范形;(4)分析此二次型是否是正定二次型.解:(1) A=(101011−10a0a−1)初等行变换⇒(10101100a+1000),因为 r(A)=2,所以 a=−1.(2)二次型对应的矩阵 A T A=(202 022 224),其特征多项式为 |λI − A T A |=|λ−20−20λ−2−2−2−2λ−4|=λ(λ−2)(λ−6),则矩阵 A T A 的特征值为 λ1=0,λ2=2,λ3=6.①对于特征值 λ1=0,由 (λ1I −A T A)x =0⟺A T Ax =0,即 (202022224)(x 1x 2x 3)=0,得基础解系 ξ1=(−1,−1,1)T ,单位化得 η1=1‖ξ1‖ξ1=(−1√3−1√31√3)T; ②对于特征值 λ2=2,由(λ2I −A)x =0,即 (00−200−2−2−2−2)(x 1x 2x 3)=0,得基础解系为 ξ2=(−1,1,0)T ,单位化得:η2=1‖ξ2‖ξ2=(−1 √2 1 √20)T ; ③对于特征值 λ3=6,由(λ3I −A)x =0,即 (40−204−2−2−22)(x 1x 2x 3)=0,得基础解系为 ξ3=(1,1,2)T ,单位化得:η3=1‖ξ3‖ξ3=( 1 √6 1 √62√6)T; ④记矩阵 Q =(η1,η2,η3)=( √3√2√6√3√2√6√30√6),则 Q 为正交矩阵,且使得 Q T AQ =Q −1AQ =Λ=(026);⑤令 x =(x 1,x 2,x 3)T ,y =(y 1,y 2,y 3)T ,做正交变换 x =Qy ,原二次型就化为标准形 x T Ax =y T (Q T AQ )y =2y 22+6y 32.(3)二次型的规范形为:z 12+z 22;(4)因为特征值不是全都大于0,所以此二次型不是正定二次型.。