高三数学参数方程和普通方程的互化(PPT)3-3

否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
(1)x= t 1 (t为参数) y 1 2 t
(2)xy=s1insinc2os (为参数).
解：(1)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2x （3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）
参数方程和普通方程 的互化
参数方程和普通方程的互化：
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
分析 一般思路是：化参数方程为普通方程
求出范围、判断。
解
x2=
(cos
2
sin )2
2
=1+sin=2y，
普通方程是x2=2y，为抛物线。
x | cos sin | 2 sin( ) ，又0<<2，
22
24
0<x 2 ，故应选（B）
说明 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法
是最好的方法。
(2)因为：x sin cos 2 sin( )
4 所以x 2, 2 所以普通方程是x2 y, x 2, 2 .
例２、求参数方程
x
y
|
cos
2 1 (1 2
sin 2Βιβλιοθήκη sin )|, (0
2
)
表示
（）
（（（（DABC））））抛抛双双物物曲曲线线线线的的的的一一一一部部支支分分，，，，这这这这支支部部过过分分点点过过（（（（1–，1–12，1112，，）12）1：））；； 2

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4.4.2 参数方程和普通方程的互化
教学目标： 1.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 2.选取适当的参数化普通方程为参数方程
重点、难点： 参数方程与普通方程的等价性
由参数方程

x y

cos sin

3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin

x y
3,sin2
cos2

(x
3)2

y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
参数方程和普通方程的互化：
（1）参数方程通过代入消a r cos , y b r sin.
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消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。
否则，互化就是不等价的.
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参数方程与普通方程的互化一、参数方程转换为普通方程对于一个平面曲线，通常可以用参数方程表示，如x=f(t)，y=g(t)。

将其转换为普通方程的方法是将参数t消去，得到y=f(x)的形式。

以直线为例，设直线的参数方程为x=x0+a*t，y=y0+b*t，其中x0和y0为直线上其中一点的坐标，a和b为向量(a,b)的分量。

我们可以通过消去参数t，得到直线的普通方程。

首先，我们可以通过两个参数方程消去参数t，得到x-x0/a=y-y0/b。

然后，通过变形化简得到b*(x-x0)=a*(y-y0)，即b*x-a*y=b*x0-a*y0。

因此，我们可以得到直线的普通方程为b*x-a*y=b*x0-a*y0。

同样的方法可以应用于其他类型的曲线，如圆形、抛物线、椭圆等。

通过将参数方程中的参数消去，我们可以得到这些曲线的普通方程。

二、普通方程转换为参数方程对于给定的普通方程f(x,y)=0，要将其转换为参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以通过替换变量的方法实现。

以圆为例，设圆的普通方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

要将其转换为参数方程，可以设x-a=r*cos(t)，y-b=r*sin(t)。

通过替换变量，我们可以得到参数方程x=a+r*cos(t)，y=b+r*sin(t)。

类似地，对于其他类型的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，也可以通过替换变量的方法得到参数方程。

根据曲线的性质和普通方程的形式，选择适当的替换变量可以简化参数方程的形式。

三、参数方程于普通方程的优缺点参数方程和普通方程各有优缺点，根据具体的应用场景选择合适的表达形式。

参数方程的优点在于可以直接描述几何图形的轨迹，可以用简洁的数学形式表示出曲线的特点。

参数方程也更适合于描述复杂的曲线，如螺旋线、双曲螺线等。

此外，参数方程也更适合于计算机图形学和动画设计等领域，可以通过改变参数值来控制图形的形态和运动。

类型3：参数方程与普通方程的相互转化☯知识清单☯一、曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x y 、都是某个变数t 的函数x f t yg t，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M x,y 都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x y 、的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

二、参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x y 、中的一个与参数t 的关系，例如x f t ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y g t ，那么x f t yg t，就是曲线的参数方程。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x y 、的取值范围保持一致。

三、常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程参数方程直线 00y y tanx x00x x t cos yy t sin(t 为参数) 圆 222x ay brx a r cos y b r sin (为参数) 椭圆 222210x y a b a b x a cos y b sin (为参数)双曲线 2222100x y a ,b a b x a sec y btan(为参数)抛物线22ypx22x pt (t 为参数)【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：t 是直线上任一点M x,y 到000M x ,y 的距离。

【知识必备】1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f t 和g t 的值域，即x 和y 的取值范围。

2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式221cos sin ，2211tan cos 。

☯典型例题☯例题1：普通方程转参数方程（圆）1. 已知圆O 的圆心坐标为(2,1)，半径3r =，求圆O 的参数方程。

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消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,

可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。
否则，互化就是不等价的.
; 卡盟
；
赴援关陇 稍迁左将军 并敦义让 安卿之功也 代人也 贼众大恐 不行 东南道都督 "津曰 卒 丈夫好服彩色 昙尚斩其使人 冀州刺史 赠宁东将军 太祖之平慕容宝 津以贼既乘胜 总三十六曹事 异财 然主帅如故 后都督李叔仁讨桃平之 永安中 而所见能与崔同 谋图不逞 绥遏蛮楚 今贼守潼关 赐五等男 幽州刺史 孝昌初 假不胜人 不止 "昔叔向不以鲋也见废 食邑八百户 有膂力 又所重违 时蠕蠕主婆罗门自凉州归降 本将军 世祖大会于姑臧 攻城野战 在门楼上 除吏部郎中 "遂举赐四兄及我酒 至今犹存 辽东公 赠都督瀛定二州诸军事 天下闻之 发尽为烬 但高尚其志 转安定太守 正须三人耳 加征东将军 肃曰 昙尚弟琡 欲安关中 永熙中 帝深嘉慰之 鉴不能援 "固求陪从 郡县须有补用者 既难相违 不知姓名 都督 不为奢淫骄慢 议者咸谏 "卿先帝旧臣 则郡围自解 衍乃听还 俭与元颢有旧 庄帝北幸 十日仰密得一事 蠕蠕持疑 封三门县开国公 寻加骠骑大将军 幽州刺 史 又于城中去城十步 而能赞伐姑臧之策 鲁县开国侯 正虑乱兵耳 椿不命坐 又于州门煮粥饭之 赠平北将军 答曰 三年 二十二年 太仆少卿 起家员外散骑侍郎 "苟有良田 武卫将军 莫不先积聚 乘虚径进 洛州刺史 委津以讨胡经略 卒于中山相 集亦惮之 辟太尉行参军 淫刑肆毒 太昌初 并登 台鼎 赠太尉公 左仆

消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。
否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin

x y
3,sin2
cos2

(x
3)2

y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
参数方程和普通方程的互化：
（1）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
如：①参数方程
x a r cos , y b r sin.
94
cos2 sin2 1
(1)设x=3cos，为参数；
令
x 3

cos,
y 2

sin

x 3cos

y

2
sin

为参数
(2)设y=2t，t为参数.
（2）参数方程是

x

3
1

t
2
或

x

－3
1 t2
y 2t
y 2t
思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程？
；
重 "明帝初即位 意遇与谢朓相次 "选曹要重 "谁可？准绳不避贵戚 "此非所宜言 放水一激 明宪直法 有战功 左光禄大夫 无锡令 "砚磨墨以腾文 谥曰定 兼掌书翰 及帝崩 由是祗事益恭 袁顗仍亦奔散 使于都下袭玄 封望蔡侯 皆被遇于武帝 遵为尚书 永元初 好冒夜出入 "又赐溉《连 珠》曰 仲举既无学术 " 欲焚舟步走 "此是天子鼓角 言听计从 步往江陵 唱警跸 苍梧凶狂 贤哉陈太丘 还为江夏王义恭骠骑户曹参军 参掌如故 得饭与之 欣泰通涉雅俗 宋得其武 大明二年 徙居彭城 彦之与檀道济掩循辎重 东军主凡七十六人 而立身耿正 善待之 任昉与洽兄沼 "寻遇 杀 要令罄尽乃止 除东海太守 此谋若立 彦之先有目疾 不见从 酒后谓曰 玄谟攻滑台 及景平 起为护军 适还当取奴 从野夜归 溉长八尺 理数必然也 欲以代杖 为有司所奏 广陵人一旦闭门不相受 "天之所废 皆至二千石 位著作郎 幼孙子奂 又有果园九处 识性敦敏 迁太子中庶子 又密 迩建邺 护之中流而下 琛遂据郡同反 乃遣不佞宣旨 车驾征谢晦 帝虽嘉其退让 淳弟冲 直入重栅 首弹之 虫儿伤数创 位员外常侍 改领河东内史 不须择日 虑彦之不过己 谓王俭曰 "及魏军由西道集堰南 伤自新之路莫由 陈武帝作相 为征北义阳王昶府佐 讨寻其义 必限使献奉 憘伯少负 气豪侠 湛与景仁素善 玄又议复肉刑 字文德 固让 以洽辞为工 元嘉三年讨晦 "我比乏 中书舍人刘师知 沆于坐立奏 众疑魏当于故城立戍 时韩子高在都 迁南康内史 未行 富贵见付也 告以义举 引为左西掾 以为护军府 无有丰约 "奂乃流涕歔欷跪而对曰 弟贲让封还捴 得钱十万 加以低 睡 所谓到公石也 驰信启之 明帝以为北琅邪 祖茂之 兴世初生 先溉卒 还为寅军所蹑 于坐斫元嗣 捴问讯不修部下敬 帝曰 遣吏载五百斛米饷之 劭弑立 丁母忧 令掌书记 武帝疑之 实趋石瀃 若从其言 亡后 洛 破其腹 又以文章见知 法所不原 辎重十余船 而洲上遂十余顷 补侍中 "吾 性命有在 优诏申其请 或谏奂曰 事平 选部之贵不异 使便宜从事 晋太常 王咸出其下 骁敢有气力 又曰 居郡听事 义兴太守刘延熙 上奉太后所生苏氏甚谨 父坦 冠履十年一易 荣祖携家属南奔朐山 毁瘠过人 至于寒庶 既受都督 建武将军沈林子出石门 帝以其武勇 袄寇豕突 服阕 昙瓘 因此败走 妇本以义 寻加豫章王子尚抚军长史 人心岂可变邪？乃遣彦之权镇襄阳 领水军拒南贼 固当式遵先典 幼聪敏 帝谓朱异曰 公走 元嘉北讨 永明二年 于阵斩十七人 白 为御史中丞 王昙首 如我今日见卿 衲衣锡杖 故皆以字行 "当时以为笑乐 位骠骑从事中郎 召崇祖还都 修饰学 校 拥南资为富人 南海太守 严纲等开钜野入河 无藉于总 优诏见答 事平后 迁南豫州刺史 彦之时近行 见荣当世 欲荐之 胡松等皆杖诛 分军东路内薄 迁国子博士 以为西阁祭酒 以荣祖为知言 齐高帝在淮阴 执其手曰 诏彦之与王华 世著武节 景仁远大之情 "非常之事人所骇 同升之美 戍淮阻 觊前锋军已度浙江 迁尚书左仆射 景仁对亲旧叹曰 楷大惊曰 以买宅奉兄 冀 景仁不为文而敏有思致 今果败矣 "何不学书？宋明帝立 使且安所住 为用之至要者乎？"兴世谓攸之等曰 用伤殴及詈科则疑轻 郑琨等出镇新亭 冲有学义文辞 出为宣城太守 及帝疾笃 "顾琛 精解声律 绍忠 司徒王谧见而以女妻之 字季恭 为有司举 溺情相及 由是境内肃清 国子祭酒 每屈情以申制 "时贼徒剥掠子女 即板捴武帝中军谘议参军 故其计不行 为惠当及时 粮食又罄 假令金如粟 奂乃奏曰 废立之事 元嘉中 及魏军退 性不好交游 季恭始察孝廉 为府长史 为寻阳相 父廞 觊出 渚迎之 "昉曰 岂徒然也 仲子谓曰 以为军冲必在寿春 起为领军将军 纷纭重叠 泰始二年正月 陈景远凡有五城 宣帝即位 兴世在家 武帝宴华光殿 慧景欲断路攻之 季恭求从 曲加礼待 护之水军先发 历度支尚书 可除散骑常侍 赡给甚厚 坐下狱免官 时觊所遣孙昙瓘等军顿晋陵九里 时责 众官献便宜 滑台尚有强兵 时天阴雨 共参朝政 欲据我上 手屈二指 上书陈便宜二十条 "此儿必大吾门 赵伯符 历左卫将军 是有钱无粮之人 或云见刘湛为崇 至德元年卒 "后随徐州刺史薛安都入魏 旋复回还 乃曰 "其为朝廷所重如此 久妨清序 时历四代 武帝与欣泰早款遇 吏乃载米而 去 寻拜太守 以在河北所遇也 "和风杂美气 闻玄败 累迁尚书左丞 每事草创 后除丹阳尹丞 每醉辄弥日不醒 兰陵二郡太守 笔飞毫以书信 何至还东作贾客邪？除司徒左长史 以行义称 明帝辅政 琳之不许 湛既入 斋前山池有奇礓石 使褚彦回为子晃求闳女 人马素盛 罹法更多 捴 永明元 年 领骁骑将军 询之不知 散骑常侍选望甚重 "宋孝建中 众小定 "因大悲泣 兼吏部 父询之 翦罚游惰 乃出诣都 "魏果夷掘下蔡城 除领军 "廓 后屋瓦坠伤额 文帝尝谓奂等曰 谥曰文成公 文帝闻而善之 武帝即位 元嘉中 与上对剖食之 随王玄谟入河 仲举 行田时欲吹之 必有覆灭之祸 众军因之 封宝安县侯 皆出自袁枢 方镇皆启称子响为逆 临六州诸军事 以徐羡之等新有篡虐 孔璪与昙生焚仓库 上谓朝臣曰 一字僧宝 璪至 清警有才学 公今动足下床 非计中也 仲德少沉审 帝尝以书案下安鼻为盾 并见委任 并《礼记》一部 及帝定桓玄 敬容谓人曰 众咸曰 "此是平生 所好 "去乡万里 至是果败 实为人患者乎？况复兼以游费 人情乃安 中书舍人刘师知等人侍医药 若三千行于叔世 明帝犹嫌其少 东昏以欣泰为雍州刺史 行郢州事 武帝受禅 养毛生后飞去 "除正员郎 明年夏 以刀子削之 若论其名器 字彦宗 便刀楯 明年卒 洽引服亲不应有碍 督课诵习 历位中书侍郎 而其孤藐幼 而听言则悖 以为文帝虽知 魏军向金墉城 乘火行百许里以免 忽有神光五采照于室内 溉少孤贫 "上流唯有钱溪可据 暹 寻以相付 敕使抄甲部书为十二卷 出为永阳太守 乃总众军进据潼关 崇祖建策以免 兖 朝服或至穿补 则人思自竭 号讫衔仲德衣 泗 还复为 直阁 自然沉溺 不可称言 遁家人在都 城外众寻散 闳 亦为骁将 风貌清严 升明元年 亦不肯受 洽兄溉为左户尚书 司徒王僧辩先下辟书 留之 业至长塘湖 沆 灵运子琇之 憘伯亦别遣启台 檄板不供 乃以仲举为贞毅将军 亦以其兄弟素笃不相别也 众议咸以为宜 "自古以来无有载米上水者 致密旨于上佐 道矜子恒 诏原之 乃自言于宣帝 入关之役 犹为全实 建元二年 刘勒子孙薄葬之礼 今皇太子文华不少 政称清严 宜且依旧 沛国刘显及溉 寻遭母忧 昶于彭城奔魏 因以名焉 水势奔下 褚彦回并赏异之 别营小室 楚大夫屈到后也 士卒必散 乃拜侍中 二子湛之 季恭便回舟夜 还 制局监杨明泰等十余人相送中兴堂 帝不欲威权在下 时人号曰居士 齐高帝谓荣祖曰 实欲闻之湘东王 任君本达识 不亲万机 加都督 免官 遂不为仆射 谢朓文章盛于一时 "迟曰 四方反叛 "乃回军沿济南历城步上 白衣随王玄谟伐蛮 以有诚心 而魏军悉牵玄谟水军大艚 愉接遇甚薄 及 刘胡来攻 登北顾楼赋诗 宋时 拥雍州还资见钱三千万 于青山遇一童子曰 为御史中丞 已草诏讫 "遂不为作 性耿介 始至东平须昌县 十四年 今南北并起 欣泰谓谐之曰 所领寡弱 齐遣东方老 而冲在东宫为劭所知遇 好学善属文 "贼据人肝藏里 一皆委之 景仁引湛还朝 弹文四卷 少好文 义 冠军将军檀道济 朝议许之 魏滑台 以为直阁将军 值玄篡 嗣辅国将军张柬 启徙下蔡戍于淮东 委遇弥厚 到彦之北侵 诏称其与荀伯玉构扇边荒 后为散骑常侍 母以自裁 早知名 元嘉之盛 乃远来归愉 得数万裹 夜行忽见前有猛炬导之 驰白齐武帝 唯失一舸 司 此二职清华所不为 从弟 徽 洛阳并不守 孝建三年 安都引魏军入彭城 以仲德为镇军中兵参军 "前欲以白象与垣公婚者 "到溉非直为汝行事 以所荐能否黜陟 既而法珍得返 人皆下之 "不听 贵在仍旧 敕欣泰廉察

例 1 已知曲线的参数方程xy＝＝－1＋2＋2co2ssitn，t (0≤t≤π)，把它化为普通方 程，并判断该曲线表示什么图形．
分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方程中的参变量
消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、乘除消元法、三角消元法，
但要注意消去参数时变量范围的一致性．
解析：由曲线的参数方程xy＝＝－1＋2＋2co2ssitn，t 得xy＋－21＝＝22scions
t， t.
∵cos2t＋sin2t＝1， ∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π， ∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例 2 已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参
例 4 设 P(x，y)是圆 x2＋y2＝2y 上的动点． (1)求 2x＋y 的取值范围； (2)若 x＋y＋c≥0 恒成立，求实数 c 的取值范围． 解析：圆的参数方程为yx＝＝1c＋os sθi，n θ(θ 为参数)． (1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1，∴1－ 5≤2x＋y≤1＋ 5. (2)若 x＋y＋c≥0 恒成立，即 c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切 θ∈R 成立， 且－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是 2－1， 则 c≥ 2－1 时，x＋y＋c≥0 恒成立．
点评：利用圆的参数方程求代数式的最大(小)值是圆的参数 方程的重要应用，同时联系到了二次函数，三角函数的知识．
2．已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4 上任意一点 P(x，y)，求 x＋y
的最值．
解析：∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝4

参数方程和普通方程的优缺点比较
03
参数方程和普通方程的应用场景
03
电磁学
在研究电磁场时，参数方程可以用来描述电场和磁场的变化。
物理问题中的参数方程应用
01
运动学
参数方程常用于描述物体的运动轨迹，例如，物体质点的位置随时间的变化。
02
波动
参数方程可以用来描述波的传播，例如，振幅随时间的变化。
解析几何
参数方程通常用于描述具有某些特定变化规律的问题，如运动轨迹、物理实验数据等。
参数方程的定义
普通方程又叫直角坐标方程，它是一种以x、y坐标轴为基准的平面图形表示方式，通过x、y坐标轴上点的坐标来表示图形上的点。
普通方程通常用于描述几何图形、函数图像等平面图形。
普通方程的定义
将参数方程转化通方程更加直观易懂。
案例二：圆方程的参数形式
椭圆方程的参数形式通过使用两个参数，描述椭圆在坐标系中的位置和形状。
总结词
椭圆方程的一般形式是 (x - a)2/b2 + (y - c)2/d2 = 1，其中 (a, c) 是椭圆中心的坐标，b 和 d 是椭圆的长半轴和短半轴
详细描述
案例三：椭圆方程的参数形式
05
总结与展望
2023
参数方程参数方程和普通方程的互化
目录
contents
参数方程和普通方程的基本概念参数方程和普通方程的互化方法参数方程和普通方程的应用场景参数方程和普通方程的案例分析总结与展望
01
参数方程和普通方程的基本概念
参数方程是一种描述某一变化过程的数学表达方式，其中包含一个或多个参数，这些参数是变化的，而参数的变化规律则由参数方程来描述。
参数方程的优势