4.1.2圆的一般方程.ppt共21页文档

例题分析
例1、求过三O(0,0),M1(1,1), M2(4,2)的圆的方程，并求这个 圆的半径和圆心坐标.
例2、已知线段AB的端点B的坐标是 1
(4,3),2 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动， 求线段AB的中点M的轨迹方程，
1、求下列各圆的一般方程： (1)过点A(5，1)， 圆心在点C(8，-3)； (2)过三点A(-1，5)、 B(5，5)、C(6，-2)．
2、求圆心在直线 l：x+y=且过
两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和 C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的 圆的方程．
小结
（1）任何一个圆的方程都可以写
X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是
方程X2+y2+Dx+Ey+F=( D0,的E) 曲线不
22
一r 定1 是D2 圆E2 ，4F 只有在D2+E2-4F>0时，
能不能说方程X2+y2+Dx+Ey+F=0所表示 的曲线一定是圆呢？
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径
（1）x2+y2-2x+4y-4=0
圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 圆心（3，-1）半径 10
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 （4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
§4.1.2 圆的一般方程
引入新课
将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，

(1). x 2 y 2 0
原点
(2). x 2 y 2 2 x 4 y 6 圆心(1,2) ，半径 r 11 当a 0时，以(a,0)为圆心， a 为半径 (3). x 2 y 2 ２ax 0 当a 0时，表示原点 3. x 2 y 2 4mx 2 y 4m2 m 0表示圆时，则 m (,1)
（1）当_______________时，方程表示一个圆，圆 心为________,半径为______________. （2）当_______________时，方程表示一个点_________ （3）当_______________时，方程无解，不表示任何曲线
3.圆的一般方程： _____________________________________
预习自测
1．求下列各圆的圆心坐标和半径(先配成标准方程)： 方程 x2 y 2 6x 0 圆心 (3,0) (0,1)
(1,2)
x2 y 2 2 y 0
3x2 3 y 2 6x 12y 9 0
半径 r 3 r 1
r 2
2．下列方程分别表示什么图形，若是圆，需指出圆心坐标和半径：
例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，
端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4上运动，求线段
AB的中点M的轨迹方程．
课堂小结
1.圆的一般方程为：________________________ 该圆的圆心坐标是 ，半径 是 。一般方程化标准方程的方 法是 配方法 。 2.求圆的方程： （ 1 ）几何法：直接算出圆心坐标和半径（根据 圆的几何性质）； （2）待定系数法：①设标准方程； ②设一般方程（过已知三点时最好用） 3.坐标转移法求点的轨迹方程的基本步骤: （设、转、代、求、答）

跟踪训练 3 (1)已知一曲线是与两个定点 O(0,0)，A(3,0) 距离的比为21的点的轨迹，求出曲线的方程； (2)已知点 A(－1,1)，B(3,3)是圆 C 的一条直径的两个端点， 又点 M 在圆 C 上运动，点 N(4，－2)，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．
解：(1)设点 M(x，y)是曲线上任意一点，则由题意知||MMOA||＝12. 由两点间的距离公式知，上式用坐标表示为 (x－x23＋)2y＋2 y2＝12， 两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0， 将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.
解：方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
1＋16＋D＋4E＋F＝0
∴4＋9－2D＋3E＋F＝0 16＋25＋4D－5E＋F＝0，
D＝－2
∴E＝2 F＝－23，
∴△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为 5.
3．若 l 是经过点 P(－1,0)和圆 x2＋y2＋4x－2y＋3＝0 的 圆心的直线，则 l 在 y 轴上的截距是________． 【解析】圆心 C(－2,1)，则直线 l 的斜率 k＝－12－＋01＝－1， 所以直线 l 的方程是 y－0＝－(x＋1)，即 y＝－x－1， 所以 l 在 y 轴上的截距是－1. 【答案】－1
25
4
C. 3
D.3
【解析】设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
1＋D＋F＝0，
则3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2， 解得E＝－4 3 3，
F＝1.
∴△ABC

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【变式 3】 已知一动点 P 到两个定点 A(0,0)，B(3,0)的距离之 比为12，求动点 P 的轨迹方程，并说明轨迹的图形． 解 设动点 P 的坐标为(x，y)， 则点 P(x，y)满足||PPAB||＝12， 即 x－x23＋2y＋2 y2＝12，化简得 x2＋y2＋2x－3＝0. 即(x＋1)2＋y2＝4，所以动点 P 的轨迹是以点(－1,0)为圆心，以 2 为半径的圆．
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[正解] ∵点 A 在圆外，
∴a－2＋24a－2＋2a－2－33×2－24＋aa2＋2＋aa＞＞00，，
a＞2， ∴a＜94，
即 2＜a＜94，∴a 的取值范围是 2＜a＜94.
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题型三 求动点的轨迹方程 【例 3】 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(8,6)，端点 A 在圆 C： (x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程，并说 明它的轨迹是什么？ 审题指导
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[规范解答] 设点 P 的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x ，y )，由 4．1.2圆的一般方程PPT名师课件
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名师点睛 1．圆的一般方程的概念及判定 形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程，判定其是否表示 圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程定义判断 D2＋E2－4F 是否为正，若 D2＋E2 －4F＞0，则方程表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方变形成标准形式后，根据圆的标准方程的特征， 观察是否可以表示圆．

例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
思考
一般式有那些特点 ？
(1) x2和y2 的系数相同，且不等于零；
(2) 没有 xy 项； (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一： 几何方法

与 x2 y2 2x 4 y 6 0 表示的图形
都是圆吗？为什1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y2 Dx Ey F 0 的形式，但方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D2 E2 4F 0 时，方程表示圆心为 ( D , E ) ，半径 为 1 D2 E2 4F 的圆. 2 2
思考1:圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2 展开可得到一个什么式子?
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业：
P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.

的半径．
跟 踪 训 练
(1)解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
+ (−) + + − + =
(−) +(−) + − + − + =


− −∙ −
−=


= ,
∴ቐ = ,
= −,
∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形.
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
(− , − )
表示一个点____________


F＝0
D2＋E2－4F>0




(− , − )
表示以____________为圆心，以
第四章
圆与方程
§4.1.2 圆的一般方程
高中数学必修2·精品课件
学习目标
1．正确理解圆的一般方程及其特点．
2．会求圆的一般方程．
3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
预习导学
基 础 梳 理
1．圆的一般方程的定义．
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________________
它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
跟 踪 训 练
2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心
在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
(2)求过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．

【解析】 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
－D＝－E，
则圆心是(－D2 ，－E2)，由题意知，
22 2－D＋E＋F＝0，
10＋3D－E＋F＝0，
解得 D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0
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第四章 圆与方程
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第四章 圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、C 三点不共 线．即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)．
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第四章 圆与Байду номын сангаас程
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第四章 圆与方程
解：(1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项，
∴它不能表示圆．
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
F＝－ 4.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
法二：直线 AB 的垂直平分线的方程为 y＝2(x－1)，令 y＝
0，得 x＝1，即圆心坐标是(1,0)，半径 r＝ 5，故所求圆的
方程为(x－1)2＋y2＝5.即一般方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
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第四章 圆与方程
题型三 有关圆的轨迹问题
(3)当 _D_2_＋__E_2_－__4_F__>_0_时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐 标

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2．求圆的一般方程 (1)求圆的方程时，若已知条件中明确圆心的坐标或半径，则设 圆的标准方程求解；若已知条件中没有明确圆心坐标或半径大 小，则设圆的一般方程求解． (2)由于圆的一般方程中所含的三个待定系数不是二次项的系 数，在由三个独立条件列出方程组后，一般可求出待定系数 D， E，F. (3)若求圆心和半径，则可以将圆的一般方程配方成圆的标准方 程，再写出圆心坐标和半径．另外在解答圆的有关问题时，应 注意利用圆的平面几何的性质，使运算简化．
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4． 圆的 一般方 程PPT 完美课 件
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误区警示 因忽略隐含条件致误 【示例】已知定点 A(a,2)在圆 x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0 的外 部，求 a 的取值范围． [错解] ∵点 A 在圆外． ∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，∴a＞2.
D＝6， 解得E＝－2，
F＝－15
则所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0. 配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．
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1应 该 认 识 到 ，阅读 是学校 教育的 重要组 成部分 ，一个 孩子如 果在十 多年的 教育历 程中没 有养成 阅读的 习惯、 兴趣和 能力， 一旦离 开校园 ，很可 能把书 永远丢 弃在一 边，这 样的结 果一定 是我们 所有的 教育工 作者不 想看到 的。 2对 教 育 来 说 ，阅读 是最基 础的教 学手段 ，教育 里最关 键、最 重要的 基石就 是阅读 。 3但 是 现 在 ， 我们的 教育在 一定程 度上， 还不够 重视阅 读，尤 其是延 伸阅读 和课外 阅读。 4. “ 山 不 在 高 ，有 仙则名 。水不 在深， 有龙则 灵”四 句，简 洁有力 ，类比 “斯是 陋室， 惟吾德 馨”， 说明陋 室也可 借高尚 之士散 发芬芳 5. 这 是 一 篇 托 物言 志的铭 文，本 文言简 义丰、 讲究修 辞。文 章骈散 结合， 以骈句 为主， 句式整 齐，节 奏分明 ，音韵 和谐。 6.了 解 和 名 著 有关 的作家 作品及 相关的 诗句、 名言、 成语和 歇后语 等，能 按要求 向他人 推介某 部文学 名著。 7.能 够 根 据 所 提供 的有关 文学名 著的相 关语言 信息推 断作品 的作者 、作品 的名称 和人物 形象， 分析人 物形象 的性格 和作品 的思想 内容并 进行简 要评价 。 8． 能 够 由 具 体的阅 读材料 进行拓 展和迁 移，联 系相关 的文学 名著展 开分析 ，提出 自己的 认识和 看法， 说出自 己阅读 文学名 著的感 受和体 验。 9巧 妙 结 合 故 事情节 ，在尖 锐的矛 盾冲突 中，充 分深刻 显示人 物复杂 内心世 界，突 出了对 人物性 格的刻 画，使 其有血 有肉， 栩栩如 生。 10保 尔 身 上 的 人格 特征或 完美的 精神操 守：自 我献身 的精神 、坚定 不移的 信念、 顽强坚 韧的意 志 11把 记 叙 、 描 写、 抒情和 议论有 机地融 合为一 体，充 满诗情 画意。 如描写 百草园 的景致 ，绘声 绘色， 令人神 往。 12简 ·爱 人 生 追 求有 两个基 本旋律 ：富有 激情、 幻想、 反抗和 坚持不 懈的精 神；对 人间自 由幸福 的渴望 和对更 高精神 境界的 追求。

2
2
4
(D2 E2 4F 0)
圆心: ( D , E )
22
半径: 1 D2 E2 4F
2
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0； ②没有xy这样的二次项
心坐标和半径时,一般用圆的标准方程比较方便;否则,用圆的一般方程较好,
特别是当给出圆上的三点坐标时,用一般方程可以得到关于 D,E,F 的三元一 次方程组,这比用圆的标准方程简便得多,如本题.
三、新知建构，交流展示
题型三
求轨迹方程
【例 3】 等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端 点 C 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 解:设另一端点 C 的坐标为(x,y).
三、新知建构，交流展示
2 .典例分析：
题型一 圆的一般方程的概念辨析 题型二 求圆的一般方程 题型三 求轨迹方程
三、新知建构，交流展示
题型一
圆的一般方程的概念辨析
【例 1】 判断方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 能否表示圆,若能表示圆,求出 圆心和半径. 解法一:由方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25
三、新知建构，交流展示
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为 标准方程;