最新初中数学二次函数知识点训练及答案
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中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1.下列函数中,是二次函数的是()A.y=x2+1x B.y=12x(x-1) C.y=-2x-1 D.y=x(x2+1).2.抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是()A.(2,−3)B.(−2,3)C.(2,3)D.(−2,−3)3.把抛物线y=5x2向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线是()A.y=5(x−2)2+3B.y=5(x+2)2−3C.y=5(x+2)2+3D.y=5(x−2)2−34.函数y=ax2与y=﹣ax+b的图象可能是()A. B. C. D.5.函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3且k≠0 D.k≤36.若A(−5,y1),B(1,y2),C(2,y3)为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y2<y1<y3D.y3<y1<y27.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①b>0;②当x>0,y随着x 的增大而增大;③(a+c)2﹣b2<0;④a+b≥m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个8.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,为使该服装店平均每天的销售利润最大,则每件的定价为()A.21元B.22元C.23元D.24元二、填空题9.将二次函数y=x2-2x化为y=(x-h)2+k的形式,结果为10.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(-1,0),(3,0),则此抛物线的对称轴是直线.11.将二次函数y=x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是.12.飞机着陆后滑行的距离y (单位:m)关于滑行时间t (单位:s)的函数解析式是y=60t-65t2,从飞机着陆至停下来共滑行米.13.已知如图:抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52,74)、B(0,3)两点,则关于x的不等式ax2+bx+c<kx+n的解集是三、解答题14.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1,−5)、B(3,t)两点.(1)求y1与y2的函数关系式;(2)直接写出当y1<y2时,x的取值范围;(3)点C为一次函数y1图象上一点,点C的横坐标为n,若将点C向右平移2个单位,再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上,求n的值.15.某品牌服装公司新设计了一款服装,其成本价为60(元/件).在大规模上市前,为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y(件)与销售价格x(元/件)之间的关系,进行了市场调查,部分信息如表:销售价格x(元/件)80 90 100 110日销售量y(件)240 220 200 180(1)若y与x之间满足一次函数关系,请直接写出函数的解析式(不用写自变量x的取值范围);(2)若该公司想每天获利8000元,并尽可能让利给顾客,则应如何定价?(3)为了帮助贫困山区的小朋友,公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元,该公司应该如何定价,才能使每天获利最大?(利润用w表示)16.如图,抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线:l:y=−x−1与y轴交于点C,与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5,−6),已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动.点(不与A、D重合).(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE∥x轴交直线l于点E,作PF∥y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的动点,以NC为一边且顶点为N,C,M,P的四边形是平行四边形,直接写出所有符合条件的M点坐标.17.如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x轴,过跳台终点作水平线的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线C1:y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出,滑出后沿一段抛物线C2:y=−14x2+bx+c 运动.(1)当小张滑到离A处的水平距离为8米时,其滑行高度为10米,求出b,c的值;(2)在(1)的条件下,当小张滑出后离的水平距离为多少米时,他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米?2(3)若小张滑行到坡顶正上方,且与坡顶距离不低于4米,求b的取值范围.18.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4,0)、B(−3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.(2)如图①,点D是x轴下方抛物线上的动点,且不与点C重合.设点D的横坐标为m,以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S,求S与m之间的函数关系式.(3)如图②,连结BC,点M为线段AB上一点,点N为线段BC上一点,且BM=CN=n,直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形.参考答案 1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.B9.y =(x −1)2−1 10.x =1 11.a <5 12.75013.x <−52或x >014.(1)解:把点A(1,−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7;把点B(3,t)代入y 1=2x −7中,得t =−1 ∴A(1,−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中,得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1; (2)x <1或x >3(3)解:∵点C 为一次函数y 1图象上一点,∴C(n ,2n −7)将点C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2,2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1,得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15.(1)y=-2x+400(2)解:由题意,得:(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100,x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元(3)解:由题意,得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时,w 有最大值,最大值为8450. 答:当一件衣服定为135元时,才能使每天获利最大. 16.(1)解:∵直线l :y =−x −1过点A∴A(−1,0)又∵D(5,−6)将点A ,D 的坐标代入抛物线表达式可得:{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4.∴抛物线的解析式为:y =−x 2+3x +4. (2)解:如图设点P(x ,−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴,PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5,−x 2+3x +4),F(x ,−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5,PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18. ∴当x =2时,PE +PF 取得最大值,最大值为18.(3)符合条件的M 点有三个:M 1(4,−5),M 2(2+√14,−3−√14), M 3(2−√14,−3+√14). 17.(1)解:由题意可知抛物线C 2:y=−14x 2+bx+c 过点(0, 4)和(8, 10) 将其代入得:{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114,c=4(2)解:由(1)可得抛物线Cq 解析式为: y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时,运动员与小山坡的竖直距离为52米,依题意得: −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得: m 1=10,m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时,运动员与小山坡的竖直距离为为52米. (3)解:∵抛物线C 2经过点(0, 4) ∴c=4抛物线C 1: y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时,运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6. ∴b ≥15618.(1)解:把A(4,0)、B(−3,0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4. (2)解:当x =0时y =−4∴C(0,−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8. (3)解:n =52,n =2511,n =3011.。
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质:左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质:三、二次函数图象的平移1. 平移步骤:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2bx a<-时,y 随x 的增大而减小; 当2bx a>-时,y 随x 的增大而增大; 当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式(交点式):12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴.(同左异右 b 为0对称轴为y 轴) 3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.. ② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,-11)B.(-2,7)C.(2,11)D. (2,-3) 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是( )A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =--3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和( )A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9.二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______。
初中数学二次函数知识点专题复习练习一、选择题(共15题)1.已知抛物线y =a 2x -3x+1与x 轴有交点,则a 的取值范围是( ) A .B .C .D .2.已知a<-1,点(a-1,1y ),(a ,2y ),(a+1,3y )都在函数y=x²的图象上,则( ) A .1y <2y <3yB .1y <3y <2yC .3y <2y <1yD .2y <1y <3y3.如图,四边形ABCD 中,AB=AD ,CE ⊥BD ,CE =12BD .若△ABD 的周长为20cm ,则△BCD 的面积S (cm 2)与AB 的长x (cm )之间的函数关系式可以是( )A .21101004S x x =-+ B .2240200S x x =-+ C .220100S x x =-+D .220100S x x =++4.下列二次函数的图象中经过原点的是( ) A .21y x =+B .225y x x =+C .2(2)y x =-D .223y x x =+-5.在平面直角坐标系中,点A 是抛物线y=x 2在第一象限上的一点,连结OA ,过点O 作OB ⊥OA ,交抛物线于点B ,若四边形AOBC 为正方形,则顶点C 的坐标为( ) A .(0,1) B .(﹣1,1) C .(0,2) D .(0,﹣2) 6.抛物线y=﹣x 2+x+2与y 轴的交点坐标是( ) A .(1,2) B .(0,﹣1) C .(0,1) D .(0,2) 7.若二次函数y=x 2+bx +5配方后为y=(x-2)2+k ,则b ,k 的值分别为( ) A .0,5B .0,1C .-4,5D .-4,18.一个二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示,该二次函数二次项系数a 的值可能是( )A .-2B .3C .12D .2.39.函数2122y x x =-++有最值为( ) A .最大值32B .最小值32 C .最大值12-D .最小值12-10.如图1,点E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P ,点Q 同时从点B 出发,点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止,点Q 沿BC 运动到点C 停止,它们运动的速度都是1cm/s ,设P ,Q 出发t 秒时,△BPQ 的面积为ycm ,已知y 与t 的函数关系的图形如图2(曲线OM 为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5cm ;②当0<t≤5时,22y t 5=;③直线NH 的解析式为5y t 272=-+;④若△ABE 与△QBP 相似,则t=294秒.其中正确的结论个数为( )A .4B .3C .2D .111.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b+2a=0;②abc >0;③a ﹣2b+4c <0;④8a+c >0.其中正确的有( )个.A .1个B .2个C .3个D .4个12.如图,在平面直角坐标系中,点A (430)是x 轴上一点,以OA 为对角线作菱形OBAC ,使得BOC ∠=60°,现将抛物线2y x 沿直线OC 平移到2()y a x m h =-+,则当抛物线与菱形的AB 边有公共点时,则m 的取值范围是( )A 333m ≤B .103333m ≤C 10163333m ≤D 16333m ≤13.对于抛物线y =2(x +3)2+1,下列说法错误的是( ) A .开口向上B .对称轴是直线x =-3C .当x >-3时,y 随x 的增大而减小D .当x =3时,函数值有最小值是114.在二次函数y=ax 2+bx +c ,x 与y 的部分对应值如下表:则下列说法中正确的是( ) x … ﹣2 0 2 3 … y …83…A .图象经过原点;B .图象开口向下;C .图象经过点(﹣1,3); D .当x >0时,y 随x 的增大而增大; E.方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根.15.表中所列x 、y 的7对值是二次函数2y ax bx c =++图象上的点所对应的坐标,其中1234567x x x x x x x <<<<<<x ⋯ 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x⋯ y⋯6 m11 k 11 m6⋯根据表中提供约信息,以下4个判断中正确的是( ) A .0a < B .611m << C .当262x x x +=时,y 的值是k D .24()b a c k - 二、非选择题16.如图,拱桥的形状是抛物线,其函数关系式为213y x =-,当水面离桥顶的高度为253米时,水面的宽度为__________米.17.将抛物线y =x 2+2x 向右平移1个单位后的解析式为_____.18.已知二次函数22y x x m =-++的图象如图所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的根为________;不等式220x x m -++>的解集是________;当x ________时,y 随x 的增大而减小.19.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数,a ≠0)的图象如图所示,下面四个结论,①abc <0;②a +c <b ;③2a +b =1;④a +b ≥m (am +b ),其中全部正确的是______20.若二次函数的图象的对称轴方程是x =1,并且图象过A (0,-4)和B (4,0),求此二次函数的解析式. 21.某服装厂批发应季T 恤衫,其单价y (元)与批发数量x (件)(x 为正整数)之间的函数关系如图所示.(1)请你直接写出当100<x ≤500且x 为整数时,y 与x 的函数关系式;(2)一个批发商一次购进200件T 恤衫,所花的钱数是多少元?(其他费用不计);(3)若每件T 恤衫的成本价是45元,当100<x ≤500件(x 为正整数)时,求服装厂所获利润w (元)与x (件)之间的函数关系式,并求一次批发多少件时所获利润最大,最大利润是多少?22.已知:如图,抛物线2y ax bx c =++与坐标轴分别交于点()0,6A ,()2,0C -,tan 1ABO ∠=,点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到什么位置时,PAB△的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做//PE x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使PDE△为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.23.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设D为抛物线的顶点,连接DA、DB,试判断△ABD的形状,并说明理由;(3)设P为对称轴上一动点,要使PC﹣PB的值最大,求出P点的坐标.参考答案1.D 【详解】试题分析:∵抛物线y=ax 2-3x+1与x 轴有交点, ∴a≠0,△≥0, ∴9-4a×1≥0, ∴a≤94, 故答案为a≤94且a≠0. 故选D. 2.C 【分析】根据函数y=x 2的图象的特点:函数y=x 2的图象的开口向上,对称轴是y 轴;在y 轴的左侧y 随x 的增大而减小;在y 轴的右侧y 随x 的增大而增大. 【详解】 解:∵1a <-, ∴110a a a -<<+<, 由函数2yx 的图象知:当0x <时y 随着x 的增大而减小,∴321y y y <<. 故选:C. 3.C 【分析】先求解,BD CE 的长度,再利用三角形的面积公式列二次函数关系式即可. 【详解】解: AB=AD ,△ABD 的周长为20cm ,设,AB x =202,BD x1,2CEBD 120210,2CEx x,CE BD2112021020100,22BDCSBD CE x x x x故选:C 4.B 【分析】本题只需要将x=0代入函数解析式,然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案. 【详解】A 、将x=0代入可得y=1,故不经过原点;B 、将x=0代入可得y=0,故经过原点;C 、将x=0代入可得y=4,故不经过原点;D 、将x=0代入可得y=-3,故不经过原点;故选B . 5.C 【分析】根据题意和正方形的性质可以得到点C 所在的位置和点C 的坐标,从而可以解答本题. 【详解】解:∵点A 是抛物线y=x 2在第一象限上的一点,连结OA ,过点O 作OB ⊥OA ,交抛物线于点B ,四边形AOBC 为正方形,∴点B 和点A 关于y 轴对称,点C 在y 轴上, 设点A 的坐标为(a ,a 2), 则a=a 2(a >0), 解得,a=1,∴点C 的坐标为(0,2), 故选C . 6.D 【详解】试题分析:把x=0代入解析式求出y 的值,根据y 轴上点的特征和二次函数图象上点的坐标特征解答即可. 解:当x=0时,y=2,故抛物线y=﹣x 2+x+2与y 轴的交点坐标是(0,2). 故选D . 7.D 【详解】∵y=(x-2)2+k=x 2-4x+4+k=x 2-4x+(4+k ),又∵y=x2+bx+5,∴x2-4x+(4+k)=x2+bx+5,∴b=-4,k=1.故选D8.A【分析】根据二次函数的性质即可得到结论.【详解】解:∵抛物线开口向下∴a<0∴符合条件的为a=-2.故答案为:A.9.A【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式,然后根据二次函数的最值问题解答.【详解】∵y=-x2+2x+12=-(x-1)2+32,∴二次函数有最大值32.故选A.10.B【详解】根据图(2)可得,当点P到达点E时点Q到达点C,∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒,∴BC=BE=5cm.∴AD=BE=5,故结论①正确.如图1,过点P作PF⊥BC于点F,根据面积不变时△BPQ 的面积为10,可得AB=4, ∵AD ∥BC ,∴∠AEB=∠PBF . ∴AB 4sin PBF sin AEB BE 5∠=∠==. ∴PF=PBsin ∠PBF=45t . ∴当0<t≤5时,y=12BQ•PF=12t•45t=22t 5.故结论②正确. 根据5~7秒面积不变,可得ED=2,当点P 运动到点C 时,面积变为0,此时点P 走过的路程为BE+ED+DC=11,故点H 的坐标为(11,0).设直线NH 的解析式为y=kx+b ,将点H (11,0),点N (7,10)代入可得:11k b 0{7k b 10+=+=,解得:5k 2{55b 2=-=.∴直线NH 的解析式为:555y t 22=-+.故结论③错误.如图2,当△ABE 与△QBP 相似时,点P 在DC 上,∵tan ∠PBQ=tan ∠ABE=34,∴PQ 3BQ 4=,即11t 354-=. 解得:t=294.故结论④正确. 综上所述,①②④正确,共3个.故选B . 11.D 【详解】试题解析:根据图象可得:抛物线开口向上,则a >0.抛物线与y 交于负半轴,则c <0, 对称轴:02bx a=->, ①∵它与x 轴的两个交点分别为(−1,0),(3,0),∴对称轴是x =1, 12ba,∴-=∴b +2a =0,故①正确; ②∵开口向上, ∴a >0, 02bx a=->,∴b <0, ∵抛物线与y 轴交于负半轴, ∴c <0,∴abc >0,故②正确; ③∵a −b +c =0, ∴c =b −a ,∴a −2b +4c =a −2b +4(b −a )=2b −3a , 又由①得b =−2a , ∴a −2b +4c =−7a <0, 故③正确;④根据图示知,当x =4时,y >0, ∴16a +4b +c >0, 由①知,b =−2a , ∴8a +c >0; 故④正确; 故选D. 12.D 【分析】连接BC 交OA 于M ,由四边形OBAC 是菱形,得到OA ⊥BC ,OM=AM=12∠BOA=12∠BOC=30°,求得BM=2,于是得到B (2),C (-2),求得直线OC的解析式为:,得到y=(x-m )2,把A (0)B (2)代入y=(x-m )2即可得到结论. 【详解】连接BC交OA于M,∵四边形OBAC是菱形,∴OA⊥BC,OM=AM=123∠BOA=12∠BOC=30°,∴BM=2,∴B(32),C(3-2),∴直线OC的解析式为:3,∵抛物线y=x2沿直线OC平移,∴3,∴y=a(x-m)2+h为y=(x-m)23,∵当抛物线与菱形的AB边有公共点时,把A(30)代入y=(x-m)23得0=(3)23,解得3163,∵3163,∴163,把B(32)代入y=(x-m)23得,2=(3)23,解得103,31033∴33163,故选D .13.CD【分析】根据抛物线的性质由2a =得到图像开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为(3,1)-,对称轴为直线3x =-,当3x >-时,y 随x 增大而增大.【详解】解:由抛物线y =2(x +3)2+1得抛物线开口向上,故A 正确,不符合题意;由抛物线顶点式可知顶点坐标为(3,1)-,对称轴为直线3x =-,故B 正确,不符合题意; 由抛物线对称轴以及开口方向可知,当3x >-时,y 随x 增大而增大,故C 错误,符合题意; 当当x =-3时,函数值有最小值是1,故D 错误,符合题意;故答案为:CD .14.ACE【分析】根据二次函数图象的性质,结合表中数据,逐一分析判断即可.【详解】解:A 、由表中数据可知,二次函数图象过(0,0),选项正确;B 、函数图象过(0,0),(2,0),则知对称轴为1x =,当1x <时,由表中数据知,y 随x 的增大而减小;当1x >时,y 随x 的增大而增大,所以开口向上,选项错误;C 、因为函数的对称轴为1x =,所以由函数对称性知,()()1,3,3,3-关于1x =对称,选项正确;D 、当1x >时,y 随x 的增大而增大,选项错误;E 、当y=0时,方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根120,2x x ==,选项正确故选:ACE15.ABD【分析】首先根据x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7,其对应的函数值是先增大后减小,可得抛物线开口向下,所以a <0;然后根据函数值是先增大后减小,可得6<m <11<k ;最后根据a <0,可得二次函数有最大值,而且二次函数的最小值244ac b a -,所以b 2≥4a (c -k ),据此判断即可.【详解】解:∵x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7,其对应的函数值是先增大后减小,∴抛物线开口向下,∴a <0,A 符合题意;∴6<m <11<k ,∴6<m <11,B 符合题意; 根据图表中的数据知,只有当262x x x +=是抛物线的对称轴,抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是k ,故C 不符合题意; ∵244ac b a -≥k ,a <0,∴4ac -b 2≤4ak ,∴b 2≥4a (c -k ),D 符合题意. 综上,可得判断正确的是:ABD .故选ABD .16.10.【分析】 令253y =-,解方程即可求出水面的宽度. 【详解】 解:根据题意,令253y =-, 2251=33x -- 解得:5x =±故水面的宽度为2×5=10米.答:水面的宽度为10米.故答案为:10.17.y =x 2﹣1.【分析】通过配方法先求出原抛物线的顶点坐标,继而得到平移后新抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式即可求得新抛物线的解析式.【详解】∵y=x 2 +2x=(x+1)2-1 ,∴原抛物线的顶点为(-1,-1),∵将抛物线y =x 2+2x 向右平移1个单位得到新的抛物线,∴新抛物线的顶点为(0,-1),∴新抛物线的解析式为y=x 2-1,故答案为:y=x 2 -1.18.1x =-或3x = 13x -<< 1>【分析】根据二次函数y=-x 2+2x+m 的图象可以得到其对称轴和与x 轴一个交点,由此可以得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标,然后就可得m 的值,那么解方程就能求得一元二次方程的解,可得到函数与x 轴的交点,那么x 轴上方的函数图象所对应的x 的取值即为不等式-x 2+2x+m >0的解集,对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.【详解】解:∵对称轴为x=1,一个根为3, ∴32x + =1, ∴x=-1,∴-x 2+2x+m=0的根为x 1=-1,x 2=3,∴不等式-x 2+2x+m >0的解集是-1<x <3,当x >1时,y 随x 的而减小.19.①②④.【分析】根据抛物线开口确定a 符号,根据对称轴结合a 确定b 的符号,根据抛物线与y 轴交点确定c 的符号,即可判断①正确;把x =-1代入抛物线解析式,结合图象即可判断②正确,根据抛物线对称轴方程即可确定③错误,根据抛物线图象得到当x =1时,抛物线有最大值,即可判断④正确.【详解】解:∵抛物线开口向下,∴a <0,∵对称轴在y 轴右侧,∴a ,b 异号,b >0,∵抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴,∴c >0,∴abc <0,故①正确;由图象得当x =-1时,y =a -b +c <0,∴a +c <b ,故②正确;∵图象对称轴为直线x =2b a-=1, ∴﹣b =2a ,即2a +b =0,故③错误;由a +b ≥m (am +b )得a +b +c ≥am 2+bm +c ,∵x =1时函数值y =a +b +c 为最大值,故④正确.故答案为:①②④.20.2142y x x =-- 【分析】先根据二次函数对称轴和B 点的坐标可以求出二次函数与x 轴的另一个交点坐标为(-2,0),由此可将二次函数解析式设为交点式,然后代入A 点坐标求解即可.【详解】解:∵二次函数的对称轴为直线1x =且与x 轴的一个交点为B (4,0),∴二次函数与x 轴的另一个交点坐标为(-2,0), ∴设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-,又∵二次函数经过A (0,-4),∴()()40204a -=+-, ∴12a =, ∴二次函数的解析式为()()21124=422y x x x x =+---. 21.(1) 当100<x ≤500且x 为整数,18520y x =-+;(2)15000元;(3)w =214020x x -+,一次批发400件时所获利润最大,最大利润是8000元.22.(1)21262y x x =-++;(2)当点P 运动到153,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时,PAB △的面积有最大值;(3)存在,()4,6P .【分析】(1)由题意易得OA =OB =6,则有()6,0B ,然后可设二次函数解析式为()()26y a x x =+-,进而把点A 的坐标代入求解即可;(2)过点P 作PD ∥y 轴,交AB 于点D ,由题意易得直线AB 的解析式为6y x =-+,然后可设点21,262P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,则(),6D a a -+,然后可得PAB △的面积为()22113276332222S a a a ⎛⎫=⨯⨯-+=--+ ⎪⎝⎭,进而问题可求解; (3)由题意可得如图,设21,262P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,由(2)可得2132PD a a =-+,二次函数对称轴为直线2x =,进而可得点E 的横坐标,然后根据等腰直角三角形的性质可得PD =PE ,则问题可求解.【详解】解:(1)∵点()0,6A ,∴6OA =,∵tan 1ABO ∠=,∴6OB OA ==,∴()6,0B ,设二次函数解析式为()()26y a x x =+-,则把点A 的坐标代入得:126a -=,∴12a =-, ∴二次函数解析式为()()211262622y x x x x =-+-=-++; (2)过点P 作PD ∥y 轴,交AB 于点D ,如图所示:由(1)可设点21,262P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,设直线AB 的解析式为y kx b =+,把点A 、B 坐标代入得: 606k b b +=⎧⎨=⎩,解得:16k b =-⎧⎨=⎩, ∴直线AB 的解析式为6y x =-+,∴(),6D a a -+,∴根据铅垂法可得水平宽为点A 、B 的水平距离,即为6,铅垂高为2211266322PD a a a a a =-+++-=-+,则有: PAB △的面积为()22113276332222S a a a ⎛⎫=⨯⨯-+=--+ ⎪⎝⎭, ∴当a =3时,PAB △的面积为最大,∴点153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴当点P 运动到153,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时,PAB △的面积有最大值; (3)存在一点()4,6P 使PDE △为等腰直角三角形,理由如下:由题意可得如图所示:由(2)仍设点21,262P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,则2132PD a a =-+,由题意得二次函数的对称轴为直线2x =,∴根据二次函数的对称性可得点E 的横坐标为4E x a =-,∴24PE a =-,∵PE PD =,∴213242a a a -+=-, 解得:124,2a a ==-(不符合题意,舍去),∴点()4,6P .23.(1)抛物线的函数表达式为y =x 2﹣4x +3;(2)△ADB 是等腰直角三角形;理由见解析;(3)P (2,﹣3).【分析】(1)根据抛物线对称轴的定义易求A (1,0),B (3,0).所以1、3是关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根.由韦达定理易求b 、c 的值;(2)先求出顶点D 的坐标,再由勾股定理的逆定理证明△ABD 是直角三角形,再由对称得AD =BD ,进而得△ABD 是等腰直角三角形;(3)连接CA ,延长CA 与直线x =2交于点P ,连接BP ,此时P 点就是PC ﹣PB 的值最大的点,求出直线AC 的解析式,再求直线AC 与直线x =2的交点坐标便可.【详解】(1)如图,∵AB =2,对称轴为直线x =2.∴点A 的坐标是(1,0),点B 的坐标是(3,0). ∵抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于点A ,B ,∴1、3是关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根.由韦达定理,1+3=﹣b ,1×3=c ,∴b =﹣4,c =3,∴抛物线的函数表达式为y =x 2﹣4x +3;(2)∵y =x 2﹣4x +3=(x ﹣2)2﹣1,∴D (2,﹣1),∴AD 2+BD 2=(2﹣1)2+(﹣1)2+(2﹣3)2+(﹣1)2=4,∵AB 2=22=4,∴AD 2+BD 2=AB 2,∴△ADB 是直角三角形,由对称性有AD =BD ,∴△ADB是等腰直角三角形;(3)连接CA,延长CA与直线x=2交于点P,连接BP,如图2,∵A、B两点关于直线x=2对称,∴PB=P A,∴PC﹣PB=PC﹣P A=AC其值最大(∵另取一点P′,有P′C﹣P′B=P′C﹣P′A<AC),令x=0,得y=x2﹣4x+3=3,∴C(0,3),∵A(1,0),∴易求直线AC的解析式为:y=﹣3x+3,当x=2时,y=﹣3x+3=﹣3,∴P(2,﹣3).。
二次函数测试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式?A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案:B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(h, k),那么h的值为:A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案:C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是:A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案:A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上,那么a的值:A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案:A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是:A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案:C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是:A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案:C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是:A. 0B. 4C. -4D. 1答案:A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是:A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案:A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是:A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案:A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是:A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上,且经过点(2, 0),则a的值至少为______。
答案:02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是(______, ______)。
最新初中数学二次函数知识点总复习含答案一、选择题1.已知在平面直角坐标系中,有两个二次函数()()39m x x y =++及()()26y n x x =--图象,将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后,会使得此两个函数图象的对称轴重叠( )A .向左平移2个单位长度B .向右平移2个单位长度C .向左平移10个单位长度D .向右平移10个单位长度【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式展开,结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴,二者做差后即可得出平移方向及距离.【详解】解:∵y =m (x +3)(x +9)=mx 2+12mx +27m ,y =n (x -2)(x -6)=nx 2-8nx +12n ,∴二次函数y =m (x +3)(x +9)的对称轴为直线x =-6,二次函数y =n (x -2)(x -6)的对称轴为直线x =4,∵4-(-6)=10,∴将二次函数y =m (x +3)(x +9)的图形向右平移10个单位长度,两图象的对称轴重叠.故选:D .【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质,根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键.2.如图,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a ﹣b+c ,则P 的取值范围是( )A .﹣4<P <0B .﹣4<P <﹣2C .﹣2<P <0D .﹣1<P <0【答案】A【解析】【分析】【详解】解:∵二次函数的图象开口向上,∴a >0.∵对称轴在y 轴的左边,∴b 2a-<0.∴b >0. ∵图象与y 轴的交点坐标是(0,﹣2),过(1,0)点,代入得:a+b ﹣2=0.∴a=2﹣b ,b=2﹣a .∴y=ax 2+(2﹣a )x ﹣2.把x=﹣1代入得:y=a ﹣(2﹣a )﹣2=2a ﹣4,∵b >0,∴b=2﹣a >0.∴a <2.∵a >0,∴0<a <2.∴0<2a <4.∴﹣4<2a ﹣4<0,即﹣4<P <0.故选A .【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,利用数形结合思想解题是本题的解题关键.3.二次函数y =2ax bx c ++(a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a b+=0;③当m ≠1时,+a b >2am bm +;④a b c -+>0;⑤若211ax bx +=222ax bx +,且1x ≠2x ,则12x x +=2.其中正确的有( )A .①②③B .②④C .②⑤D .②③⑤【答案】D【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断【详解】解:抛物线的开口向下,则a <0;抛物线的对称轴为x=1,则-2b a=1,b=-2a ∴b>0,2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴,则c >0;由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标,是最大值,当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标,不是最大值∴+a b >2am bm +(故③正确):b >0,b+2a=0;(故②正确) 又由①②③得:abc <0 (故①错误)由图知:当x=-1时,y <0;即a-b+c <0,b >a+c ;(故④错误)⑤若211ax bx +=222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)(x 1-x 2)+b(x 1-x 2)= (x 1-x 2)[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 (故⑤正确) 故选D .考点:二次函数图像与系数的关系.4.如图,抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ,两点,D 是以点()0,4C 为圆心,1为半径的圆上的动点,E 是线段AD 的中点,连接,OE BD ,则线段OE 的最小值是( )A .2B .322C .52D .3【答案】A【解析】【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标,结合题意进一步可以得出BC 长为5,利用三角形中位线性质可知OE=12BD ,而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径,据此进一步求解即可.【详解】∵2119y x =-, ∴当0y =时,21019x =-, 解得:=3x ±,∴A 点与B 点坐标分别为:(3-,0),(3,0),即:AO=BO=3,∴O点为AB的中点,又∵圆心C坐标为(0,4),∴OC=4,∴BC长度=2205OB C+=,∵O点为AB的中点,E点为AD的中点,∴OE为△ABD的中位线,即:OE=12 BD,∵D点是圆上的动点,由图可知,BD最小值即为BC长减去圆的半径,∴BD的最小值为4,∴OE=12BD=2,即OE的最小值为2,故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.5.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0),对称轴为直线x=﹣1,当y>0时,x的取值范围是()A.﹣1<x<1 B.﹣3<x<﹣1 C.x<1 D.﹣3<x<1【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标,即可得到答案.【详解】解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),对称轴为直线x=﹣1,∴抛物线与x轴的另一交点坐标是(﹣3,0),∴当y>0时,x的取值范围是﹣3<x<1.所以答案为:D.【点睛】此题考查抛物线的性质,利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.6.二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表:下列结论错误的是( )A .0ac <B .3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根;C .当1x >时,y 的值随x 值的增大而减小;D .当13x -<<时,()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表,可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断.【详解】解:根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知:当1x =-时,1y =-,即1a b c -+=-,当0x =时,3y =,即3c =,当1x =时,5y =,即5a b c ++=,联立以上方程:135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴233y x x =-++;A 、1330=-⨯=-<ac ,故本选项正确;B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=, 将3x =代入得:232339630-+⨯+=-++=,∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确;C 、233y x x =-++化为顶点式得:2321()24=--+y x , ∵10a =-<,则抛物线的开口向下, ∴当32x >时,y 的值随x 值的增大而减小;当32x <时,y 的值随x 值的增大而增大;故本选项错误; D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>,令2y x 2x 3=-++, 由二次函数的图象可得:当0y >时,13x -<<,故本选项正确;故选:C .【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.7.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点A (3,0),对称轴为直线x =1,给出以下结论:①abc <0;②3a +c =0;③ax 2+bx ≤a +b ;④若M (﹣0.5,y 1)、N (2.5,y 2)为函数图象上的两点,则y 1<y 2.其中正确的是( )A .①③④B .①②3④C .①②③D .②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解:①由图象可知:a <0,c >0,由对称轴可知:2b a ->0, ∴b >0,∴abc <0,故①正确;②由对称轴可知:2b a-=1, ∴b =﹣2a ,∵抛物线过点(3,0),∴0=9a+3b+c ,∴9a ﹣6a+c =0,∴3a+c =0,故②正确;③当x =1时,y 取最大值,y 的最大值为a+b+c ,当x 取全体实数时,ax 2+bx+c≤a+b+c ,即ax 2+bx≤a+b ,故③正确;④(﹣0.5,y 1)关于对称轴x =1的对称点为(2.5,y 1):∴y 1=y 2,故④错误;故选:C .【点睛】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中等题型.8.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,有以下结论:①a +b +c <0;②a ﹣b +c >1;③abc >0;④9a ﹣3b +c <0;⑤c ﹣a >1.其中所有正确结论的序号是( )A .①②B .①③④C .①②③④D .①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号,再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值,然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可.【详解】由图象可知,a <0,c=1,对称轴:x=b12a-=-, ∴b=2a , ①由图可知:当x=1时,y <0,∴a+b+c <0,正确;②由图可知:当x=−1时,y >1,∴a −b+c >1,正确;③abc=2a 2>0,正确;④由图可知:当x=−3时,y <0,∴9a −3b+c <0,正确;⑤c−a=1−a >1,正确;∴①②③④⑤正确.故选:D .【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.9.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h (单位:m )与足球被踢出后经过的时间t (单位:s )之间的关系如下表:t0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m ;②足球飞行路线的对称轴是直线92t =;③足球被踢出9s 时落地;④足球被踢出1.5s 时,距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】【分析】【详解】解:由题意,抛物线的解析式为y =ax (x ﹣9),把(1,8)代入可得a =﹣1,∴y =﹣t 2+9t =﹣(t ﹣4.5)2+20.25,∴足球距离地面的最大高度为20.25m ,故①错误,∴抛物线的对称轴t =4.5,故②正确,∵t =9时,y =0,∴足球被踢出9s 时落地,故③正确,∵t =1.5时,y =11.25,故④错误,∴正确的有②③,故选B .10.如图,矩形ABCD 的周长是28cm ,且AB 比BC 长2cm .若点P 从点A 出发,以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动,同时点Q 从点A 出发,以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动,当一个点到达点C 时,另一个点也随之停止运动.若设运动时间为()t s ,APQ V 的面积为()2cm S ,则()2cm S 与()t s 之间的函数图象大致是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出AB 、AD 的长,当0≤t≤4时,Q 在边AB 上,P 在边AD 上,如图1,计算S 与t 的关系式,分析图像可排除选项B 、C ;当4<t≤6时,Q 在边BC 上,P 在边AD 上,如图2,计算S 与t 的关系式,分析图像即可排除选项D ,从而得结论.【详解】解:由题意得2228AB BC +=,2AB BC =+,可解得8AB =,6BC =,即6AD =,①当0≤t≤4时,Q 在边AB 上,P 在边AD 上,如图1,S △APQ =211222AP AQ t t t ==g g , 图像是开口向上的抛物线,故选项B 、C 不正确;②当4<t≤6时,Q 在边BC 上,P 在边AD 上,如图2,S △APQ =118422AP AB t t =⨯=g , 图像是一条线段,故选项D 不正确;故选:A .【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同,解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式.11.若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点(﹣1,0),则方程220ax ax c -+=的解为( )A .13x =-,21x =-B .11x =,23x =C .11x =-,23x =D .13x =-,21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点(﹣1,0),∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为:x=﹣1,∵抛物线的对称轴为:直线x=1,∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为:(3,0),∴方程220ax ax c -+=的解为:11x =-,23x =. 故选C .考点:抛物线与x 轴的交点.12.如图,ABC ∆为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意.【详解】根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,∴选项B 符合题意,选项A 不合题意.故选B.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y与x的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题.13.在平面直角坐标系内,已知点A(﹣1,0),点B(1,1)都在直线1122y x=+上,若抛物线y=ax2﹣x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是()A.a≤﹣2 B.a<98C.1≤a<98或a≤﹣2 D.﹣2≤a<98【答案】C【解析】【分析】分a>0,a<0两种情况讨论,根据题意列出不等式组,可求a的取值范围.【详解】∵抛物线y=ax2﹣x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,∴令1122x+=ax2﹣x+1,则2ax2﹣3x+1=0∴△=9﹣8a>0∴a<9 8①当a<0时,110111 aa++≤⎧⎨-+≤⎩解得:a≤﹣2∴a≤﹣2②当a>0时,110111 aa++≥⎧⎨-+≥⎩解得:a≥1∴1≤a<9 8综上所述:1≤a <98或a ≤﹣2 故选:C .【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象点的坐标特征,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.14.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c >﹣3b ;(3)7a ﹣3b+2c >0;(4)若点A (﹣3,y 1)、点B (﹣12,y 2)、点C (7,y 3)在该函数图象上,则y 1<y 3<y 2;(5)若方程a (x+1)(x ﹣5)=﹣3的两根为x 1和x 2,且x 1<x 2,则x 1<﹣1<5<x 2.其中正确的结论有( )A .2个B .3个C .4个D .5个【答案】B【解析】 根据题意和函数的图像,可知抛物线的对称轴为直线x=-2b a=2,即b=-4a ,变形为4a+b=0,所以(1)正确; 由x=-3时,y >0,可得9a+3b+c >0,可得9a+c >-3c ,故(2)正确;因为抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0,而由对称轴知b=-4a ,可得a+4a+c=0,即c=-5a.代入可得7a ﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a ,由函数的图像开口向下,可知a <0,因此7a ﹣3b+2c <0,故(3)不正确;根据图像可知当x <2时,y 随x 增大而增大,当x >2时,y 随x 增大而减小,可知若点A (﹣3,y 1)、点B (﹣12,y 2)、点C (7,y 3)在该函数图象上,则y 1=y 3<y 2,故(4)不正确;根据函数的对称性可知函数与x 轴的另一交点坐标为(5,0),所以若方程a (x+1)(x ﹣5)=﹣3的两根为x 1和x 2,且x 1<x 2,则x 1<﹣1<x 2,故(5)正确.正确的共有3个.故选B.点睛:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小,当a >0时,抛物线向上开口;当a <0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置,当a 与b 同号时(即ab >0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.15.已知抛物线y=x2+(2a+1)x+a2﹣a,则抛物线的顶点不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标,得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式,即可求得.【详解】抛物线y=x2+(2a+1)x+a2﹣a的顶点的横坐标为:x=﹣212a+=﹣a﹣12,纵坐标为:y=()()224214a a a--+=﹣2a﹣14,∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为:y=2x+34,∴抛物线的顶点经过一二三象限,不经过第四象限,故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的性质,得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.16.若二次函数y=x2﹣2x+2在自变量x满足m≤x≤m+1时的最小值为6,则m的值为()A+B.1C.1 D.-【答案】B【解析】【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1,分m>1或m+1<1两种情况,分别确定出其最小值,由最小值为6,则可得到关于m的方程,可求得m的值.【详解】∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,当m>1时,可知当自变量x满足m≤x≤m+1时,y随x的增大而增大,∴当x=m时,y有最小值,∴m2﹣2m+2=6,解得m=m=1当m+1<1时,可知当自变量x满足m≤x≤m+1时,y随x的增大而减小,∴当x=m+1时,y有最小值,∴(m+1)2﹣2(m+1)+2=6,解得m=5(舍去)或m=﹣5,综上可知m的值为1+5或﹣5.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,用m表示出其最小值是解题的关键.17.已知抛物线y=x2+2x上三点A(﹣5,y1),B(2.5,y2),C(12,y3),则y1,y2,y3满足的关系式为()A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴,对称轴为直线x=-1;然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置,接着利用抛物线的增减性质即可求解;由B离对称轴最近,A次之,C最远,则对应y的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x2+2x,∴x=-1,而A(-5,y1),B(2.5,y2),C(12,y3),∴B离对称轴最近,A次之,C最远,∴y2<y1<y3.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,能熟记二次函数的性质是解此题的关键.18.在同一直角坐标系中,反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有() A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置,画出图象,直接判断交点个数.【详解】若二次函数的图象在第三、四象限,开口向下,顶点在原点,y轴是对称轴;反比例函数的图象在第一,三象限,故两个函数的交点只有一个,在第三象限.同理,若二次函数的图象在第三、四象限,开口向下,顶点在原点,y轴是对称轴;反比例函数的图象在第二,四象限,故两个函数的交点只有一个,在第四象限.故答案为:B.【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题,掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键.19.如图1,在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动,两点同时到达点C,设△BPQ的面积为y(cm2).运动时间为x(s),y与x之间关系如图2所示,当点P 恰好为AC的中点时,PQ的长为()A.2 B.4 C.3D.3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x=2,y=3P、Q运动的速度,即可求解.【详解】解:设AB=a,∠C=30°,则AC=2a,BC3a,设P、Q同时到达的时间为T,则点P的速度为3aT,点Q的速度为3aT,故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为:3v3,由图2知,当x=2时,y=3P到达点A的位置,即AB=2×3v=6v,BQ=3=3,y=12⨯AB×BQ=12⨯6v×23v=63,解得:v=1,故点P、Q的速度分别为:3,3,AB=6v=6=a,则AC=12,BC=63,如图当点P在AC的中点时,PC=6,此时点P运动的距离为AB+AP=12,需要的时间为12÷3=4,则BQ=3x=43,CQ=BC﹣BQ=63﹣43=23,过点P作PH⊥BC于点H,PC=6,则PH=PC sin C=6×12=3,同理CH=33,则HQ=CH﹣CQ=33﹣23=3,PQ=22PH HQ+=39+=23,故选:C.【点睛】本题考查的是动点图象问题,此类问题关键是:弄清楚不同时间段,图象和图形的对应关系,进而求解.20.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1.下列结论:①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b<0;③abc<0;④b2+8a<4ac.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】首先根据抛物线的开口方向可得到a<0,抛物线交y轴于正半轴,则c>0,而抛物线与x轴的交点中,﹣2<x 1<﹣1、0<x 2<1说明抛物线的对称轴在﹣1~0之间,即x =﹣2b a>﹣1,可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】 由图知:抛物线的开口向下,则a <0;抛物线的对称轴x=﹣2b a>﹣1,且c >0; ①由图可得:当x=﹣2时,y <0,即4a ﹣2b+c <0,故①正确; ②已知x=﹣2b a>﹣1,且a <0,所以2a ﹣b <0,故②正确; ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧,则a 、b 同号,又c >0,故abc >0,所以③不正确;④由于抛物线的对称轴大于﹣1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:244ac b a>2,由于a <0,所以4ac ﹣b2<8a ,即b 2+8a >4ac ,故④正确;因此正确的结论是①②④.故选:C .【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系,抛物线与x 轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键.。
初中数学二次函数知识点归纳及例题一、知识点汇总(一)、定义与定义表达式一般地,自变量x和因变量之间存在如下关系:y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)则称y 为x 的二次函数。
其中,a 决定函数的开口方向,a>0 时,开口方向向上,a<0 时,开口方向向下;Ial 还可以决定开口大小,Ial 越大开口就越小,Ial 越小开口就越大。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
(二)、二次函数的三种表达式1、一般式y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)2、顶点式:y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点P (h,k)3、交点式: y=a(x-x1)(x-x2),仅限于与x轴有交点A (x1,0) 和B (x2,0)的抛物线4、在3 种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a;k=(4ac-b2)/4a;x1,x2=(-b 士√b2:-4ac)/2a(三)、抛物线的性质1、抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特地当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2、抛物线有一个顶点P,坐标为P[ -b/2a ,(4ac-b2)/4a ]。
当-b/2a=0时,P在y 轴上;当b2-4ac=0时,P在x轴上。
3、二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0 时,抛物线向上开口;当a<0 时,抛物线向下开口。
a 越大,则抛物线的开口越小。
4、一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a与b 同号时(即ab>0),对称轴在y轴左:当a与b 异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5、常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于(0,c)6、抛物线与x轴交点个数b2-4ac>0 时,抛物线与x轴有2个交点。
b2-4ac=0 时,抛物线与x轴有1个交点。
b2-4ac<0 时,抛物线与x轴没有交点。
最新初中数学二次函数知识点总复习附解析一、选择题1.四位同学在研究函数2y x bx c =++(,b c 是常数)时,甲发现当1x =时,函数有最小值;乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当2x =时,4y =,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( )A .甲B .乙C .丙D .丁【答案】B 【解析】 【分析】利用假设法逐一分析,分别求出二次函数的解析式,再判断与假设是否矛盾即可得出结论. 【详解】解:A .假设甲同学的结论错误,则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得:1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为:221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时,y 的最小值为2536-,与丙的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意;B .假设乙同学的结论错误,则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时,解得y=4,当x=-1时,y=7≠0 ∴此时符合假设条件,故本选项符合题意;C . 假设丙同学的结论错误,则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得1201bb c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得:23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时,解得:y=-3,与丁的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意; D . 假设丁同学的结论错误,则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时,解得y=7≠0,与乙的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意. 故选B . 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式,利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键.2.抛物线2y ax bx c =++(,,a b c 是常数),0a >,顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论:①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -,在该抛物线上,当12n <时,则12y y <;②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解,那么( )A .①正确,②正确B .①正确,②错误C .①错误,②正确D .①错误,②错误 【答案】A 【解析】 【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可;②先把顶点坐标代入抛物线的解析式,求得m ,再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算,判断其正负便可判断正误. 【详解】解:①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭,12n <∴点(n ,y 1)关于抛物线的对称轴x=12的对称点为(1-n ,y 1), ∴点(1-n ,y 1)与2322n y ⎛⎫-⎪⎝⎭,在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭Q3122n n ∴-<- ∵a >0,∴当x >12时,y 随x 的增大而增大, ∴y 1<y 2,故此小题结论正确;②把1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭代入y=ax 2+bx+c 中,得1142m a b c =++,∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中, △=b 2-4ac+4am-4a 2211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-<⎪⎝⎭∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解,故此小题正确; 故选A . 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系,第①小题,关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来,再通过二次函数的增减性进行比较,第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负.3.已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点.下列结论:①4c <;②当1x =时,y 有最小值2c -;③方程22420x x c -+-=有两个不等实根;④若连接这两个交点与抛物线的顶点,恰好是一个等腰直角三角形,则52c =;其中正确的结论的个数是( ) A .4 B .3 C .2D .1【答案】B 【解析】 【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③;根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②;根据等腰直角三角形的性质,用c 表达出两个交点,代入抛物线解析式计算即可判断④. 【详解】解:∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点,∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根,即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根,故③正确,∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->,解得:4c <,故①正确; ∵抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向上, ∴当x=1时,2y c =-为最小值,故②正确;若连接这两个交点与抛物线的顶点,恰好是一个等腰直角三角形, 则顶点(1,c-2)到直线y=2的距离等于两交点距离的一半, ∵顶点(1,c-2)到直线y=2的距离为2-(c-2)=4-c , ∴两交点的横坐标分别为1-(4-c )=c-3与1+(4-c )=5-c ∴两交点坐标为(c-3,2)与(5-c,2),将(c-3,2)代入224y x x c =-+中得:22(3)4(3)2c c c ---+=解得:72c =或4c = ∵4c <,∴72c =,故④错误, ∴正确的有①②③, 故选:B . 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系.4.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】C 【解析】试题解析:A 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a >0,b >0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,对称轴x=﹣2ba<0,应在y 轴的左侧,故不合题意,图形错误. B 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a <0,b <0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,图象应开口向下,故不合题意,图形错误.C 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a <0,b >0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,图象开口向下,对称轴x=﹣2ba位于y 轴的右侧,故符合题意, D 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a >0,b >0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,图象开口向下,a <0,故不合题意,图形错误. 故选C .考点:二次函数的图象;一次函数的图象.5.二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0(t 为实数)在1<x <5的范围内有解,则t 的取值范围是( )A .t >﹣5B .﹣5<t <3C .3<t≤4D .﹣5<t≤4【答案】D 【解析】 【分析】先根据对称轴x=2求得m 的值,然后求得x=1和x=5时y 的值,最后根据图形的特点,得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4. 【详解】∵抛物线的对称轴为x =2, ∴22m-=-,m=4 如图,关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时,y=3, 当x=5时,y=﹣5,由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0(t 为实数)在1<x <5的范围内有解, 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4, ∴﹣5<t≤4. 故选:D . 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系,方程有解,反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点.6.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,下列结论①24b ac >,②0abc <,③20a b c +->,④0a b c ++<.其中正确的是( )A .①④B .②④C .②③D .①②③④【答案】A 【解析】 【分析】①抛物线与x 轴由两个交点,则240b ac ->,即24b ac >,所以①正确;②由二次函数图象可知,0a <,0b <,0c >,所以0abc >,故②错误; ③对称轴:直线12bx a=-=-,2b a =,所以24a b c a c +-=-,240a b c a c +-=-<,故③错误;④对称轴为直线1x =-,抛物线与x 轴一个交点132x -<<-,则抛物线与x 轴另一个交点201x <<,当1x =时,0y a b c =++<,故④正确. 【详解】解:①∵抛物线与x 轴由两个交点, ∴240b ac ->, 即24b ac >, 所以①正确;②由二次函数图象可知, 0a <,0b <,0c >,∴0abc >, 故②错误;③∵对称轴:直线12bx a=-=-, ∴2b a =,∴24a b c a c +-=-, ∵0a <,40a <,0c >,0a <,∴240a b c a c +-=-<,故③错误;④∵对称轴为直线1x =-,抛物线与x 轴一个交点132x -<<-, ∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<,当1x =时,0y a b c =++<, 故④正确. 故选:A . 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.7.在平面直角坐标系内,已知点A (﹣1,0),点B (1,1)都在直线1122y x =+上,若抛物线y =ax 2﹣x +1(a ≠0)与线段AB 有两个不同的交点,则a 的取值范围是( )A .a ≤﹣2B .a <98C .1≤a <98或a ≤﹣2 D .﹣2≤a <98【答案】C 【解析】 【分析】分a >0,a <0两种情况讨论,根据题意列出不等式组,可求a 的取值范围. 【详解】∵抛物线y =ax 2﹣x +1(a ≠0)与线段AB 有两个不同的交点,∴令1122x +=ax 2﹣x +1,则2ax 2﹣3x +1=0 ∴△=9﹣8a >0∴a <98①当a <0时,110111a a ++≤⎧⎨-+≤⎩解得:a ≤﹣2 ∴a ≤﹣2②当a >0时,110111a a ++≥⎧⎨-+≥⎩解得:a ≥1∴1≤a <98综上所述:1≤a <98或a ≤﹣2 故选:C . 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象点的坐标特征,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.8.如图,ABC ∆为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题.9.已知抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B ,将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,若四边形''ABA B 为矩形,则c 的值为( )A .3-B .3C .32D .52【答案】D 【解析】 【分析】先求出A(2,c-4),B(0,c),'(24),'(0)A c B c ---,,,,结合矩形的性质,列出关于c 的方程,即可求解. 【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B , ∴A(2,c-4),B(0,c),∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,∴'(24),'(0)A c B c ---,,,, ∵四边形''ABA B 为矩形, ∴''AA BB =,∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=,解得:52c =. 故选D . 【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质,掌握二次函数图象上点的坐标特征,关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等,是解题的关键.10.如图,矩形ABCD 的周长是28cm ,且AB 比BC 长2cm .若点P 从点A 出发,以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动,同时点Q 从点A 出发,以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动,当一个点到达点C 时,另一个点也随之停止运动.若设运动时间为()t s ,APQ V 的面积为()2cmS ,则()2cm S 与()t s 之间的函数图象大致是( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件求出AB 、AD 的长,当0≤t≤4时,Q 在边AB 上,P 在边AD 上,如图1,计算S 与t 的关系式,分析图像可排除选项B 、C ;当4<t≤6时,Q 在边BC 上,P 在边AD 上,如图2,计算S 与t 的关系式,分析图像即可排除选项D ,从而得结论. 【详解】解:由题意得2228AB BC +=,2AB BC =+, 可解得8AB =,6BC =,即6AD =,①当0≤t≤4时,Q 在边AB 上,P 在边AD 上,如图1,S △APQ =211222AP AQ t t t ==g g , 图像是开口向上的抛物线,故选项B 、C 不正确; ②当4<t≤6时,Q 在边BC 上,P 在边AD 上,如图2,S △APQ =118422AP AB t t =⨯=g , 图像是一条线段,故选项D 不正确; 故选:A . 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同,解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式.11.如图,在四边形ABCD 中,//AD BC ,DC BC ⊥,4cm DC =,6cm BC =,3cm AD = ,动点P ,Q 同时从点B 出发,点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC--运动到点C ,点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ,设P ,Q 同时出发s t 时,BPQ ∆的面积为2cm y ,则y 与t 的函数图象大致是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时:P 点由B 到A ;当2.5≤t≤4时,即P 点在AD 上时;当4≤t≤6时,即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项.【详解】解:作AE ⊥BC 于E ,根据已知可得,AB 2=42+(6-3)2,解得,AB=5cm .下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时:P 点由B 到A ,21442255y t t t ==gg g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时,即P 点在AD 上时,1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=;当4≤t≤6时,即P 点从D 到C 时,()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B .故选:B .【点睛】 此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式,然后进行判断.12.如图,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a ﹣b+c ,则P 的取值范围是( )A .﹣4<P <0B .﹣4<P <﹣2C .﹣2<P <0D .﹣1<P <0【答案】A【解析】【分析】【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上,∴a >0.∵对称轴在y 轴的左边,∴b 2a-<0.∴b >0. ∵图象与y 轴的交点坐标是(0,﹣2),过(1,0)点,代入得:a+b ﹣2=0. ∴a=2﹣b ,b=2﹣a .∴y=ax 2+(2﹣a )x ﹣2.把x=﹣1代入得:y=a ﹣(2﹣a )﹣2=2a ﹣4,∵b >0,∴b=2﹣a >0.∴a <2. ∵a >0,∴0<a <2.∴0<2a <4.∴﹣4<2a ﹣4<0,即﹣4<P <0.故选A .【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,利用数形结合思想解题是本题的解题关键.13.若二次函数y =x 2﹣2x+2在自变量x 满足m≤x≤m+1时的最小值为6,则m 的值为( )A 5,5,15,12+B .5,51C .1D .5,15-【答案】B【解析】【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1,分m >1或m+1<1两种情况,分别确定出其最小值,由最小值为6,则可得到关于m 的方程,可求得m 的值.【详解】∵y =x 2﹣2x+2=(x ﹣1)2+1,∴抛物线开口向上,对称轴为x =1,当m >1时,可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时,y 随x 的增大而增大,∴当x =m 时,y 有最小值,∴m 2﹣2m+2=6,解得m =1+5或m =1﹣5(舍去),当m+1<1时,可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时,y 随x 的增大而减小,∴当x =m+1时,y 有最小值,∴(m+1)2﹣2(m+1)+2=6,解得m =5(舍去)或m =﹣5,综上可知m 的值为1+5或﹣5.故选B .【点睛】本题主要考查二次函数的性质,用m 表示出其最小值是解题的关键.14.若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数,则把点M 叫做“整点”.例如:P (1,0)、Q (2,﹣2)都是“整点”.抛物线y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2(m >0)与x 轴交于点A 、B 两点,若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m 的取值范围是( )A .12≤m <1 B .12<m ≤1 C .1<m ≤2 D .1<m <2 【答案】B【解析】【分析】 画出图象,利用图象可得m 的取值范围【详解】 ∵y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2=m (x ﹣2)2﹣2且m >0,∴该抛物线开口向上,顶点坐标为(2,﹣2),对称轴是直线x =2.由此可知点(2,0)、点(2,﹣1)、顶点(2,﹣2)符合题意.①当该抛物线经过点(1,﹣1)和(3,﹣1)时(如答案图1),这两个点符合题意. 将(1,﹣1)代入y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1=m ﹣4m +4m ﹣2.解得m =1. 此时抛物线解析式为y =x 2﹣4x +2.由y =0得x 2﹣4x +2=0.解得12120.622 3.42x x ==-≈+≈,. ∴x 轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)符合题意.则当m=1时,恰好有(1,0)、(2,0)、(3,0)、(1,﹣1)、(3,﹣1)、(2,﹣1)、(2,﹣2)这7个整点符合题意.∴m≤1.【注:m的值越大,抛物线的开口越小,m的值越小,抛物线的开口越大】答案图1(m=1时)答案图2(m=时)②当该抛物线经过点(0,0)和点(4,0)时(如答案图2),这两个点符合题意.此时x轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)也符合题意.将(0,0)代入y=mx2﹣4mx+4m﹣2得到0=0﹣4m+0﹣2.解得m=12.此时抛物线解析式为y=12x2﹣2x.当x=1时,得13121122y=⨯-⨯=-<-.∴点(1,﹣1)符合题意.当x=3时,得13923122y=⨯-⨯=-<-.∴点(3,﹣1)符合题意.综上可知:当m=12时,点(0,0)、(1,0)、(2,0)、(3,0)、(4,0)、(1,﹣1)、(3,﹣1)、(2,﹣2)、(2,﹣1)都符合题意,共有9个整点符合题意,∴m=12不符合题.∴m>12.综合①②可得:当12<m≤1时,该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点,故选:B.【点睛】考查二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点,画出图象,数形结合是解题的关键.15.已知抛物线y=x2+2x上三点A(﹣5,y1),B(2.5,y2),C(12,y3),则y1,y2,y3满足的关系式为( )A .y 1<y 2<y 3B .y 3<y 2<y 1C .y 2<y 1<y 3D .y 3<y 1<y 2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x 2+2x 的对称轴,对称轴为直线x=-1;然后根据A 、B 、C 的横坐标与对称轴的位置,接着利用抛物线的增减性质即可求解;由B 离对称轴最近,A 次之,C 最远,则对应y 的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x 2+2x ,∴x=-1,而A (-5,y 1),B (2.5,y 2),C (12,y 3),∴B 离对称轴最近,A 次之,C 最远,∴y 2<y 1<y 3.故选:C .【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,能熟记二次函数的性质是解此题的关键.16.在函数2y x=,3y x =+,2y x =的图象中,是中心对称图形,且对称中心是原点的图象共有( )A .0个B .1个C .2个D .3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解.【详解】 y=x+3的图象是中心对称图形,但对称中心不是原点;y=x 2图象不是中心对称图形;只有函数2y x=符合条件. 故选:B .【点睛】 本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质,熟练掌握相关知识是解题的关键.17.在同一平面直角坐标系中,函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质,逐一进行判断.【详解】解:A.由一次函数图像可知a >0,因此二次函数图像开口向上,但对称轴302a -<应在y 轴左侧,故此选项错误;B. 由一次函数图像可知a <0,而由二次函数图像开口方向可知a >0,故此选项错误;C. 由一次函数图像可知a <0,因此二次函数图像开口向下,且对称轴302a->在y 轴右侧,故此选项正确;D. 由一次函数图像可知a >0,而由二次函数图像开口方向可知a <0,故此选项错误; 故选:C .【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质,解题的关键是利用数形结合思想分析图像,本题属于中等题型.18.平移抛物线2:L y x =得到抛物线L ',使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上,下列的平移中,不能得到满足条件的抛物线L '的是( )A .向右平移1个单位,再向下平移2个单位B .向左平移1个单位,再向下平移2个单位C .向左平移32个单位,再向下平移92个单位 D .向左平移3个单位,再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式,再判断原点是否在该抛物线上即可.【详解】解:由A 选项可得L '为:2(1)2y x =--,则顶点为(1,-2),顶点(1,-2)关于原点的对称点为(-1,2),当x =-1时,y =2,则对称点在该函数图像上,故A 选项不符合题意;由B 选项可得L '为:2(1)2y x =+-,则顶点为(-1,-2),顶点(-1,-2)关于原点的对称点为(1,2),当x =1时,y =2,则对称点在该函数图像上,故B 选项不符合题意;由C 选项可得L '为:239()22y x =+-, 则顶点为(-32,-92),顶点(-32,-92)关于原点的对称点为(32,92), 当x =32时,y =92,则对称点在该函数图像上,故C 选项不符合题意; 由D 选项可得L '为:2(3)9y x =+-,则顶点为(-3,-9),顶点(-3,-9)关于原点的对称点为(3,9),当x =3时,y =27≠9,则对称点不在该函数图像上,故D 选项符合题意;故选:D .【点睛】本题考查了二次函数图像的平移,熟练掌握平移的规律“左加右减,上加下减”是解决本题的关键.19.已知二次函数y =ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,分析下列四个结论:①abc <0;②b 2﹣4ac >0;③3a+c >0;④(a+c )2<b 2,其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】 试题解析:①由开口向下,可得0,a <又由抛物线与y 轴交于正半轴,可得0c >,再根据对称轴在y 轴左侧,得到b 与a 同号,则可得0,0b abc ,故①错误;②由抛物线与x 轴有两个交点,可得240b ac ->, 故②正确;③当2x =-时,0,y < 即420a b c -+< (1)当1x =时,0y <,即0a b c ++< (2)(1)+(2)×2得,630a c +<,即20a c +<,又因为0,a <所以()230a a c a c ,++=+< 故③错误;④因为1x =时,0y a b c =++<,1x =-时,0y a b c =-+>所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22().a c b +<故④正确,综上可知,正确的结论有2个.故选B .20.如图抛物线交轴于和点,交轴负半轴于点,且.有下列结论:①;②;③.其中,正确结论的个数是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向,对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a 、b 、c 的符号以及它们之间的数量关系,即可得出结论.【详解】解:根据图象可知a >0,c <0,b >0, ∴, 故③错误;∵.∴B(-c,0)∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0)和B(-c,0)两点,∴, ac2-bc+c=0∴,ac-b+1=0,∴,故②正确;∴,b=ac+1∴,∴2b-c=2,故①正确;故选:C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.。
二次函数知识点训练及答案一、选择题1.如图,抛物线y =ax 2+bx+c (a >0)过原点O ,与x 轴另一交点为A ,顶点为B ,若△AOB 为等边三角形,则b 的值为( )A 3B .﹣3C .﹣3D .﹣3【答案】B【解析】【分析】 根据已知求出B (﹣2,24b b a a-),由△AOB 为等边三角形,得到2b 4a =tan60°×(﹣2b a ),即可求解;【详解】解:抛物线y =ax 2+bx+c (a >0)过原点O ,∴c =0,B (﹣2,24b b a a-), ∵△AOB 为等边三角形, ∴2b 4a=tan60°×(﹣2b a ), ∴b =﹣3故选B .【点睛】本题考查二次函数图象及性质,等边三角形性质;能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键.2.对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭,下列说法正确的个数是( ) ①对于任何满足条件的a ,该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点; ②若该函数图象的对称轴为直线0x x =,则必有001x <<;③当0x ≥时,y 随x 的增大而增大;④若()14,P y ,()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点,如果12y y >总成立,则112a ≤-. A .1个B .2个C .3个D .4个 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质(对称性、增减性)逐个判断即可.【详解】 对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭当2x =时,142(2)12y a a =+-=,则二次函数的图象都经过点()2,1当0x =时,0y =,则二次函数的图象都经过点()0,0则说法①正确 此二次函数的对称轴为1212124a x a a-=-=-+ 0a <Q1114a∴-+> 01x ∴>,则说法②错误 由二次函数的性质可知,抛物线的开口向下,当114x a <-+时,y 随x 的增大而增大;当114x a ≥-+时,y 随x 的增大而减小 因11104a-+>> 则当1014x a <-≤+时,y 随x 的增大而增大;当114x a≥-+时,y 随x 的增大而减小 即说法③错误 0m >Q44m ∴+>由12y y >总成立得,其对称轴1144x a=-+≤ 解得112a ≤-,则说法④正确 综上,说法正确的个数是2个故选:B .【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质(对称性、增减性),熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.3.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(-1,0)和点(3,0),有下列说法:①bc <0;②a +b +c >0;③2a +b =0;④4ac >b 2.其中错误的是( )A .②④B .①③④C .①②④D .②③④【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线开口方向得到0a >,利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <,利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <,则可对A 进行判断;利用当1x =时,0y <可对B 进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=,则可对C 进行判断;根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断.【详解】解:Q 抛物线开口向上, 0a ∴>,Q 对称轴在y 轴的右侧,a ∴和b 异号,0b ∴<,Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,0c ∴<,0bc ∴>,所以①错误;Q 当1x =时,0y <,0a b c ∴++<,所以②错误;Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0),∴抛物线的对称轴为直线1x =, 即12b a-=, 20a b ∴+=,所以③正确;Q 抛物线与x 轴有2个交点,∴△240b ac =->,即24ac b <,所以④错误.综上所述:③正确;①②④错误.故选:C .【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置(左同右异).常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c .抛物线与x 轴交点个数由△决定.4.将抛物线243y x x =-+平移,使它平移后图象的顶点为()2,4-,则需将该抛物线( )A .先向右平移4个单位,再向上平移5个单位B .先向右平移4个单位,再向下平移5个单位C .先向左平移4个单位,再向上平移5个单位D .先向左平移4个单位,再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式,再根据函数图象平移的法则进行解答即可. 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为:(2,−1),∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位,再向上平移5个单位. 故选C.【点睛】本题考查二次函数图像,熟练掌握平移是性质是解题关键.5.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点A (3,0),对称轴为直线x =1,给出以下结论:①abc <0;②3a +c =0;③ax 2+bx ≤a +b ;④若M (﹣0.5,y 1)、N (2.5,y 2)为函数图象上的两点,则y 1<y 2.其中正确的是( )A .①③④B .①②3④C .①②③D .②③④【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解:①由图象可知:a <0,c >0, 由对称轴可知:2b a ->0, ∴b >0,∴abc <0,故①正确;②由对称轴可知:2b a -=1, ∴b =﹣2a ,∵抛物线过点(3,0),∴0=9a+3b+c ,∴9a ﹣6a+c =0,∴3a+c =0,故②正确;③当x =1时,y 取最大值,y 的最大值为a+b+c ,当x 取全体实数时,ax 2+bx+c≤a+b+c ,即ax 2+bx≤a+b ,故③正确;④(﹣0.5,y 1)关于对称轴x =1的对称点为(2.5,y 1):∴y 1=y 2,故④错误;故选:C .【点睛】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中等题型.6.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象,有下面四个结论:0abc >①;0a b c ②-+>; 230a b +>③;40c b ->④,其中正确的结论是( )A .①②B .①②③C . ①③④D . ①②④【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>,根据对称轴02b x a=->得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >;1x =-时,由图像可知此时0y >,所以0a b c -+>;由对称轴123b x a =-=,可得230a b +=;当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a bc ++>,将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >,根据对称轴02b x a=->得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >,故①正确.②1x =-时,由图像可知此时0y >,即0a b c -+>,故②正确.③由对称轴123b x a =-=,可得230a b +=,所以230a b +>错误,故③错误; ④当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a bc ++>,将③中230a b +=变形为23a b =-,代入可得40c b ->,故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系,注意用数形结合的思想解决问题。
九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1.关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值,下列说法正确的是( ) A .有最大值4 B .有最小值4 C .有最大值6 D .有最小值6 2.已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3),那么下列各点中,该抛物线必经过的点是( )A .(0,2)B .(0,3)C .(0,4)D .(0,5) 3.在平面直角坐标系中,已知抛物线245y x x =-+,将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为( )A .245y x x =--+B .245y x x =++C .245y x x =-+-D .245y x x =--- 4.正方形的边长为4,若边长增加x ,那么面积增加y ,则y 关于x 的函数表达式为( ) A .216y x =+ B .2(4)y x =+ C .28y x x =+ D .2164y x =- 5.把抛物线22y x =向右平移2个单位,然后向下平移1个单位,则平移后得到的抛物线解析式是( )A .22(2)1y x =-+-B .22(2)1y x =--+C .22(2)1y x =++D .22(2)1y x =--6.如图,二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称,与x 轴交于1(,0)A x ,2(,0)B x 两点,若121x -<<-,则下列四个结论:①234x <<,①320a b +>,①24b a c ac >++,①a c b >>.正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个7.对于抛物线23(1)2y x =-+-,下列说法正确的是( )A .抛物线开口向上B .当1x >-时,y 随x 增大而减小C .函数最小值为﹣2D .顶点坐标为(1,﹣2)8.关于二次函数()215y x =-+,下列说法正确的是( )A .函数图象的开口向下B .函数图象的顶点坐标是()1,5-C .该函数有最大值,是大值是5D .当1x >时,y 随x 的增大而增大 9.已知A (−3,−2) ,B (1,−2),抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动,形状保持不变,与x 轴交于C ,D 两点(C 在D 的右侧),下列结论:①c ≥−2 ;①当x >0时,一定有y 随x 的增大而增大;①若点D 横坐标的最小值为−5,点C 横坐标的最大值为3;①当四边形ABCD 为平行四边形时,a =12. 其中正确的是( )A .①①B .①①C .①①D .①①① 10.已知二次函数2243y mx m x =--(m 为常数,0m ≠),点(),p p P x y 是该函数图象上一点,当04p x ≤≤时,3p y ≤-,则m 的取值范围是( )A .m 1≥或0m <B .m 1≥C .1m ≤-或0m >D .1m ≤-11.已知函数()211y ax a x =-++,则下列说法不正确的个数是( )①若该函数图像与x 轴只有一个交点,则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<,则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ,使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A .0B .1C .2D .312.如图,在正方形ABCD 中,4AB =,点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动,连接DP ,作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ,N 两点,设点P 的运动路程为x ,PMN 的面积为y ,则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是( )A .B .C .D .二、填空题13.已知点(3,a )在抛物线y =-2x 2+2x 上,则=a ______.14.如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2=kx +t 的图象,当y 1≥y 2时,x 的取值范围是_____.15.小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时,填好了下面的表格:根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________.16.已知二次函数223y x x =--+,当12a x时,函数值y 的最小值为1,则a 的值为_______.17.已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点.(1)若(1,0)A -,则b =______.(2)若(1,0)M -,(1,0)N ,抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点,则b 的取值范围为______.三、解答题18.已知抛物线经过点()1,0A -,()5,0B ,()0,5C ,求该抛物线的函数关系式 19.如图,抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -.(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴l 上找一点M ,使MBC ∆的周长最小,请求出这个周长的最小值.20.如图,一次函数y A 、B ,二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点.(1)求二次函数解析式;(2)点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q ,使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.21.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2,0)和点B (8,0),与y 轴交于点C (0,﹣8),连接AC ,D 是抛物线对称轴上一动点,连接AD ,CD ,得到①ACD .(1)求该抛物线的函数解析式.(2)①ACD 周长能否取得最小值,如果能,请求出D 点的坐标;如果不能,请说明理由.(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点E ,使得①ACE 与①ACD 面积相等,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13.-1214.﹣1≤x ≤215.3.24x 3.25<<16.1-17. 32- 3322b -<< 18.解:①抛物线经过点()1,0A -,()5,0B ,()0,5C ,①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-,将点()0,5C 代入得:55a =-,解得:1a =-,①()()21545y x x x x =-+-=-++.①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++.19..解:(1)抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A , 令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ,()3,0C -代入212y x bx c =++得: 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩, 解得:523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴抛物线的解析式是215322y x x =++; (2)将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组: 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得:0x =或4x =-,04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ,()4,1B ∴-BC ∴==如图,要使MBC △的周长最小,则MB MC +最小,设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ,抛物线的对称轴为:552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-,连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=,此时,MB MC MB MD BD+=+=最小,此时:BD=MBC∴20.解:(1)对于y x=x=0时,y=当y=0时,03x-=,妥得,x=3①A(3,0),B(0,把A(3,0),B(0,2y bx c++得:+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得,bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为:2y x x=-(2)抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P(1,p),Q(m,n)①当BC为菱形对角线时,如图,①B ,C 关于对称没对称,且对称轴与x 轴垂直,①①BC 与对称轴垂直,且BC //x 轴①在菱形BQCP 中,BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上,①点Q 也在x =1上,当x =1时,211y①Q (1,); ①当BC 为菱形一边时,若点Q 在点P 右侧时,如图,①BC //PQ ,且BC =PQ①BC //x 轴,①令y =2y 解得,120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上,①P(1,0)①Q(3,0);若点Q在点P的左侧,如图,同理可得,Q(-1,0)综上所述,Q点坐标为(1,)或(3,0)或(-1,0)21.解:(1)由题意可得:0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩,解得:1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩,①抛物线的解析式为:y=12x2﹣3x﹣8;(2)△ACD周长能取得最小值,①点A(﹣2,0),点B(8,0),①对称轴为直线x=3,①①ACD周长=AD+AC+CD,AC是定值,①当AD+CD取最小值时,△ACD周长能取得最小值,①点A,点B关于对称轴直线x=3对称,①连接BC交对称轴直线x=3于点D,此时AD+CD有最小值,设直线BC 解析式为:y =kx ﹣8,①0=8k ﹣8,①k =1,①直线BC 解析式为:y =x ﹣8,当x =3,y =﹣5,①点D (3,﹣5);(3)存在,①点A (﹣2,0),点C (0,﹣8),①直线AC 解析式为y =﹣4x ﹣8,如图,①①ACE 与①ACD 面积相等,①DE ①AC ,①设DE 解析式为:y =﹣4x +n ,①﹣5=﹣4×3+n ,①n =7,①DE 解析式为:y =﹣4x +7, 联立方程组可得:2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩,解得:12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩, ①点E1,﹣1,).九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1.下列函数中,是二次函数的是( ) A .y =(2x ﹣1)2 B .y =(x +1)2﹣x 2 C .y =ax 2D .y =2x +32.若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数,那么m 的值是( )A .3B .2-C .2D .2或33.若抛物线y =x 2-x -2经过点A (3,a ),则a 的值是( ) A .2B .4C .6D .84.已知二次函数2135y x x =-+,则其二次项系数a ,一次项系数b ,常数项c 分别是( ) A .1,3,5a b c ==-= B .1,3,5a b c ===C .5,3,1a b c ===D .5,3,1a b c ==-=5.如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数,则a 的取值范围是( ) A .2a ≠ B .a≥0C .a=2D .a>06.下列函数中①31y x ;①243y x x =-;①1y x=;①225=-+y x ,是二次函数的有() A .①①B .①①C .①①D .①①7.若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-,则247c b --的值是( ) A .6B .7C .8D .208.函数y=ax2+bx+c(a ,b ,c 是常数)是二次函数的条件是( ) A .a≠0,b≠0,c≠0 B .a<0,b≠0,c≠0 C .a>0,b≠0,c≠0 D .a≠0二、填空题 9.若()2321m m y m x --=+是二次函数,则m 的值为______.10.若22ay x -=是二次函数,则=a ________.11.在二次函数21y x =-+中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____. 12.下列函数一定是二次函数的是__________.①2y ax bx c =++;①3y x =-;①2431y x x =-+;①2(1)y m x bx c =-++;①y =(x -3)2-x 213.当常数m ≠______时,函数y =(m 2﹣2m ﹣8)x 2+(m +2)x +2是二次函数;当常数m =___时,这个函数是一次函数. 14.已知函数2135m y x -=-① 当m = _________时,y 是关于x 的一次函数; ① 当m =_________时,y 是关于x 的二次函数 .15.二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点,则m =__________.16.已知二次函数2y x bx 3=-++,当x 2=时,y 3=.则这个二次函数的表达式是________. 三、解答题17.下列函数中(x ,t 是自变量),哪些是二次函数? 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++.18.已知函数y =(m 2-2)x 2+(m x +8. (1)若这个函数是一次函数,求m 的值; (2)若这个函数是二次函数,求m 的取值范围.19.若函数y=(a -1)x b+1+x 2+1是二次函数,试讨论a 、b 的取值范围.20.篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.参考答案:1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D 9.4 10.2± 11.0 12.①13. 4,-2 4 14. 1 3215.316.2y x 2x 3=-++17.2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18.(1)m (2)m ≠m ≠19.①a≠0;①b=0或-1,a 取全体实数①当a=1,b 为全体实数时,y=x 2+1是二次函数 20.y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题(附答案)一.选择题1.如果在二次函数的表达式y =ax 2+bx +c 中,a >0,b <0,c <0,那么这个二次函数的图象可能是( )A.B.C.D.2.已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数,那么m的值为()A.﹣2B.2C.±2D.03.已知A(,y1),B(2,y2),C(﹣,y3)是二次函数y=3(x﹣1)2+k图象上三点,则y1、y2、y3的大小关系为()A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y3>y2>y1D.y2>y3>y14.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线x=﹣1,则这个二次函数的表达式为()A.y=﹣x2+2x+3B.y=x2+2x+3C.y=﹣x2+2x﹣3D.y=﹣x2﹣2x+3 5.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为()A.B.C.D.6.关于抛物线y=﹣x2+2x﹣3的判断,下列说法正确的是()A.抛物线的开口方向向上B.抛物线的对称轴是直线x=﹣1C.抛物线对称轴左侧部分是下降的D.抛物线顶点到x轴的距离是27.已知二次函数y=x2﹣4x+5(0≤x≤3),则它的最大值是()A.1B.2C.3D.58.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,给出下列说法:①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x<1时,y随x值的增大而增大;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3.其中,正确的说法有()A.①②④B.①②⑤C.①③⑤D.②④⑤9.已知函数y=2(x+1)2+1,则()A.当x<1 时,y随x的增大而增大B.当x<1 时,y随x的增大而减小C.当x<﹣1 时,y随x的增大而增大D.当x<﹣1 时,y随x的增大而减小10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中不正确的有()个.①abc>0;②2a+b=0;③9a+3b+c<0;④4ac﹣b2<0;⑤a+b≥m(am+b)(m为任意实数).A.3B.2C.1D.0二.填空题11.已知四个二次函数的图象如图所示,那么a1,a2,a3,a4的大小关系是.(请用“>”连接排序)12.抛物线y=3x2+6x+11的顶点坐标为.13.二次函数y=3(x﹣1)2+5的最小值为.14.已知二次函数y=2x2+bx+4顶点在x轴上,则b=.15.二次函数y=x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为.16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b=0;②a+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是(填写序号).三.解答题17.已知二次函数的顶点坐标为A(1,﹣4),且经过点B(3,0).(1)求该二次函数的解析式;(2)判断点C(2,﹣3)是否在该函数图象上,并说明理由.18.如图,已知直线l过点A(4,0),B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P,若S△AOP=4,试求二次函数的表达式.19.如图,直线L1:y=bx+c与抛物线L2:y=ax2的两个交点坐标分别为A(m,4),B(1,1).(1)求m的值;(2)过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与L1,L2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,请直接写出n的取值范围.20.已知二次函数y=a(x+a)(x+a﹣1).(1)当a=2时,求该二次函数图象的对称轴.(2)当a<0时,判断该二次函数图象的顶点所在的象限,并说明理由.(3)当0<x<3时,y随着x增大而增大,求a的取值范围.21.已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点,如图所示,其中A(﹣1,﹣1),求△OAB的面积.22.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3,0)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线l,顶点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)连接AB、AC、BC,求△ABC的面积.23.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A(﹣1,0)和B(2,3)两点,抛物线与y轴交于点C.(1)求一次函数和二次函数的解析式;(2)求△ABC的面积.参考答案一.选择题1.解:∵a>0,b<0,c<0,∴﹣>0,∴抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的右边,交y轴于负半轴,故选:C.2.解:∵y=(m+2)x|m|+2是y关于x的二次函数,∴|m|=2且m+2≠0.解得m=2.故选:B.3.解:∵二次函数y=3(x﹣1)2+k图象的对称轴为直线x=1,而A(,y1)到直线x=1的距离最近,C(﹣,y3)到直线x=1的距离最远,∴y3>y2>y1.故选:C.4.解:由图象知抛物线的对称轴为直线x=﹣1,设抛物线解析式为y=a(x+1)2+k,将(﹣3,0)、(0,3)代入,得:,解得:,则抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3,故选:D.5.解:A、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;B、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误;C、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;D、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误.故选:A.6.解:∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣(x﹣1)2﹣2,∴抛物线开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,﹣2),在对称轴左侧,y随x的增大而增大,∴A、B、C不正确;∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|=2,∴D正确,故选:D.7.解:y=x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1,由于0≤x≤3,所以当x=2时,y有最小值1,当x=0时,y有最大值5.故选:D.8.解:根据图象可知:①对称轴﹣>0,故ab<0,正确;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3,正确;③x=1时,y=a+b+c<0,错误;④当x<1时,y随x值的增大而减小,错误;⑤当y>0时,x<﹣1或x>3,正确.正确的有①②⑤.故选:B.9.解:∵y=2(x+1)2+1,∴当x>﹣1时,y随x的增大而增大,故选项A错误,当x<﹣1时,y随x的增大而减小,故选项B错误、选项C错误、选项D正确;故选:D.10.解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;∵b=﹣2a,∴2a+b=0,所以②正确;∵x=3时,y<0,∴9a+3b+c<0,所以③正确.∵抛物线与x轴有2个交点,∴Δ=b2﹣4ac>0,即4ac﹣b2<0,所以④正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴函数的最大值为a+b+c,∴a+b+c≥am2+bm+c(m为任意实数),即a+b≥m(am+b),所以⑤正确.故选:C.二.填空题11.解:如图所示:①y=a1x2的开口小于②y=a2x2的开口,则a1>a2>0,③y=a3x2的开口大于④y=a4x2的开口,开口向下,则a4<a3<0,故a1>a2>a3>a4.故答案为:a1>a2>a3>a412.解:∵y=3x2+6x+11=3(x+1)2+8,∴抛物线y=3x2+6x+11的顶点坐标为(﹣1,8),故答案为(﹣1,8).13.解:由于二次函数y=3(x﹣1)2+5中,a=3>0,所以当x=1时,函数取得最小值为5,故答案为5.14.解:∵二次函数y=2x2+bx+4顶点在x轴上,∴=0,解得b=,故答案为:±4.15.解:∵二次函数y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,∴当x>1时,y随x的增大而增大,∴在2≤x≤5范围内,当x=2时,y取得最小值,此时y=(2﹣1)2=1,故答案为:1.16.解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴2a+b=0,所以①正确;∵x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,即a+c<b,所以②错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣2,0)而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(4,0),所以③错误;∵抛物线开口向上,∴a>0,∴b=﹣2a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴abc>0,所以④正确.故答案为①④.三.解答题17.解:(1)设二次函数的解析式是y=a(x﹣h)2+k,∵二次函数的顶点坐标为A(1,﹣4),∴y=a(x﹣1)2﹣4,∵经过点B(3,0),∴代入得:0=a(3﹣1)2﹣4,解得:a=1,∴y=(x﹣1)2﹣4,即二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)点C(2,﹣3)在该函数图象上,理由是:把C(2,﹣3)代入y=x2﹣2x﹣3得:左边=﹣3,右边=4﹣4﹣3=﹣3,即左边=右边,所以点C在该函数的图象上.18.解:设直线l的解析式为y=kx+b,把A(4,0),B(0,4)分别代入得,解得,∴直线l的关系式为y=﹣x+4,设P(t,﹣t+4),∵S△AOP=4,∴×4×(﹣t+4)=4,解得t=2,∴P(2,2),把P(2,2)代入y=ax2得4a=2,解得a=,∴二次函数的表达式为y=x2.19.解:(1)把B(1,1)代入y=ax2得:a=1,∴抛物线解析式为y=x2.把A(m,4)代入y=x2得:4=m2,∴m=±2.∵点A在二象限,∴m=﹣2.(2)观察函数图象可知:当﹣2<x<1时,直线在抛物线的上方,∴n的取值范围为:﹣2<n<1.20.解:(1)当a=2时,y=2(x+2)(x+1),∴二次函数的对称轴为x=.(2)由题知二次函数与x轴的交点坐标为(﹣a,0),(1﹣a,0);∵a<0,∴二次函数的开口方向向下;又﹣a>0,1﹣a>0,所以对称轴所在直线为x==>0,当x=时,y=﹣>0,所以顶点坐标(,﹣)在第一象限.(3)由(2)知,二次函数的对称轴为直线x=,∵当0<x<3时,y随着x增大而增大,∴当a>0时,≤0,解得a≥;当a<0,≥3,解得a≤﹣.∴a的取值范围为a≥或a≤﹣.21.解:∵一次函数y=kx﹣2的图象相过点A(﹣1,﹣1),∴﹣1=﹣k﹣2,解得k=﹣1,∴一次函数表达式为y=﹣x﹣2,∴令x=0,得y=﹣2,∴G(0,﹣2),∵y=ax2过点A(﹣1,﹣1),∴﹣1=a×1,解得a=﹣1,∴二次函数表达式为y=﹣x2,由一次函数与二次函数联立可得,解得,,∴S△OAB=OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标=×2×1+×2×2=1+2=3.22.解:(1)∵抛物线经过A、B(0,3)∴由上两式解得∴抛物线的解析式为:;(2)由(1)抛物线对称轴为直线x=把x=代入,得y=4则点C坐标为(,4)设线段AB所在直线为:y=kx+b,则有,解得∴AB解析式为:∵线段AB所在直线经过点A、B(0,3)抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入,解得m=2∴点D坐标为,∴CD=CE﹣DE=2过点B作BF⊥l于点F∴BF=OE=∵BF+AE=OE+AE=OA=∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=CD•BF+CD•AE∴S△ABC=CD(BF+AE)=×2×=23.解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c交于A(﹣1,0)和B(2,3)两点∴,解得:,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,设直线AB的解析式为y=mx+n(m≠0),则,解得,∴直线AB的解析式为y=x+1;(2)令x=0,则y=﹣x2+2x+3=3,∴C(0,3),则OC=3,BC=2,BC∥x轴,∴S△ABC=×BC×OC==3.九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一.选择题(共10小题)1.下列各式中,是y关于x的二次函数的是()A.y=4x B.y=3x﹣5C.y=D.y=2x2+12.已知:a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的()A.B.C.D.3.二次函数y=(x﹣2)(x﹣4)+6的顶点坐标是()A.(2,6)B.(4,6)C.(3,﹣5)D.(3,5)4.将二次函数y=x2+2x﹣1转化为y=a(x﹣h)2+k的形式,结果为()A.y=(x﹣1)2B.y=(x+1)2C.y=(x+1)2﹣1D.y=(x+1)2﹣2 5.已知0≤x≤,则函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是()A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣66.顶点坐标为(3,1),形状与函数y=的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为()A.y=+1B.y=+1C.y=﹣+1D.y=﹣+17.已知点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在二次函数y=(x﹣1)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y2<y3<y1D.y3<y2<y1 8.抛物线y=ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表:x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是()①方程ax2+bx+c=0,有两根为x1=﹣2,x2=3;②抛物线与y轴的交点为(0,6);③抛物线的对称轴是直线x=1;④抛物线开口向上.A.1B.2C.3D.49.如图,在正方形ABCD中,AB=4,AC与BD交于点O,E,F分别为边BC,CD上的点(点E,F不与线段BC,CD的端点重合),BE=CF,连接OE,OF,EF.关于以下三个结论,下列判断正确的是()结论Ⅰ:∠BOF始终是90°;结论Ⅱ:△OEF面积的最小值是2;结论Ⅲ:四边形OECF的面积始终是8.A.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅲ错B.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅱ错C.结论Ⅱ和Ⅲ都对,结论Ⅰ错D.三个结论都对10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0<x≤90)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()A.37.5°B.40°C.42.5°D.45°二.填空题(共6小题)11.函数是二次函数,则m的值为.12.已知抛物线y=x2﹣4x+c.与直线y=m相交于A,B两点,若点A的横坐标;x A=﹣1,则点B的横坐标.x B的值为.13.已知二次函数y=ax2开口向上,且|2﹣a|=3,则a=.14.已知抛物线y=x2﹣3x+1的图象上有一点A(m,n),则m﹣n的最大值是.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,若AB+CD=3,则c的值为.16.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,点E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=10,点G是EF的中点,AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为.三.解答题(共7小题)17.看图回答.(1)当y=0时,求x的值;(2)当y>5时,求x的范围;(3)y随x的增大而增大时,求x的范围.18.已知二次函数y=x2﹣6x+8.(1)将解析式化成顶点式;(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)x取什么值时,y随x的增大而增大;x取什么值时,y随x增大而减小.19.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=﹣5r2+20t,求小球飞行高度达到最高时的飞行时间.20.“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种,在云南省广泛种植.长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动,经过调查往年的统计数据发现,云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售,平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元,那么平均每天的销售量会增加10斤,为了尽快减少库存,该水果商决定降价销售.(1)若降价2元,则每天的销售利润是多少元(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元,那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元?(其它成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时,商场每天销售该商品获得的利润w最大?最大利润是多少元?21.如图,抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、B(4,0),与y轴交于C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称,其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上,一个落在对称轴上,求落在对称轴上的点的坐标;(3)如图2,点M为第二象限抛物线上,作MN∥BC交抛物线于点N,直线NB、MC 交于点P,求P点的横坐标.22.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y'),给出如下定义:若y'=,则称点Q为点P的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(﹣1,3)的“可控变点”为点(﹣1,﹣3).(1)点(﹣5,﹣2)的“可控变点”坐标为;(2)若点P在函数y=﹣x2+16的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′是7,求“可控变点”Q的横坐标;(3)若点P在函数y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16,求实数a的取值范围.23.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.(1)求抛物线解析式;(2)直线AB的函数解析式为,点M的坐标为.(3)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小,具体作法如图②,作点A关于y轴的对称点A',连接MA′交y轴于点Q,连接AM,AQ,此时△AMQ的周长最小,请求出点Q的坐标;(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A,O,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案一.选择题(共10小题)1.下列各式中,是y关于x的二次函数的是()A.y=4x B.y=3x﹣5C.y=D.y=2x2+1解:A.根据二次函数的定义,y=4x是一次函数,不是二次函数,故A不符合题意.B.根据二次函数的定义,y=3x﹣5不是二次函数,是一次函数,故B不符合题意.C.根据二次函数的定义,y=是反比例函数,不是二次函数,故C不符合题意.D.根据二次函数的定义,y=2x2+1是二次函数,故D符合题意.故选:D.2.已知:a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的()A.B.C.D.解:A、由图知a>0,﹣=1,c>0,即b<0,∵已知a>b>c,故本选项错误;B、由图知a<0,而已知a>b>c,且a+b+c=0,必须a>0,故本选项错误;C、图C中条件满足a>b>c,且a+b+c=0,故本选项正确;D、∵a+b+c=0,即当x=1时a+b+c=0,与图中与x轴的交点不符,故本选项错误.故选:C.3.二次函数y=(x﹣2)(x﹣4)+6的顶点坐标是()A.(2,6)B.(4,6)C.(3,﹣5)D.(3,5)解:∵二次函数可化为y=(x﹣3)2+5,∴二次函数y=(x﹣2)(x﹣4)+6的顶点坐标是(3,5),故选:D.4.将二次函数y=x2+2x﹣1转化为y=a(x﹣h)2+k的形式,结果为()A.y=(x﹣1)2B.y=(x+1)2C.y=(x+1)2﹣1D.y=(x+1)2﹣2解:y=x2+2x﹣1=(x2+2x+1)﹣2=(x+1)2﹣2,即y=(x+1)2﹣2.故选:D.5.已知0≤x≤,则函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是()A.﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6解:y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2(x﹣2)2+2,∴当x<2时,y随着x增大而增大,∴当x=时有最大值y=﹣2(﹣2)2+2=﹣2.5,故选:C.6.顶点坐标为(3,1),形状与函数y=的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为()A.y=+1B.y=+1C.y=﹣+1D.y=﹣+1解:设所求的抛物线解析式为y=a(x﹣3)2+1,∵所求抛物线与函数y=的图象相同且开口方向相反,∴a=﹣,∴所求的抛物线解析式为y=﹣(x﹣3)2+1.故选:D.7.已知点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在二次函数y=(x﹣1)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y2<y3<y1D.y3<y2<y1解:当x=﹣1时,y1=(x﹣1)2=(﹣1﹣1)2=4;当x=1时,y2=(x﹣1)2=(1﹣1)2=0;当x=2时,y3=(x﹣1)2=(2﹣1)2=1,所以y2<y3<y1.故选:C.8.抛物线y=ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表:x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是()①方程ax2+bx+c=0,有两根为x1=﹣2,x2=3;②抛物线与y轴的交点为(0,6);③抛物线的对称轴是直线x=1;④抛物线开口向上.A.1B.2C.3D.4解:根据表格数据可知:抛物线的对称轴是直线x==,∴③错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣2,0),∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0有两根为x1=﹣2,x2=3;故①正确;从表格可知当x=0时,y=6,∴抛物线与y轴的交点为(0,6);∴②正确;从表格可知:当x<时,y随x的增大而增大,当x>时,y随x的增大而减小,∴抛物线开口向下,故④错误.故选:B.9.如图,在正方形ABCD中,AB=4,AC与BD交于点O,E,F分别为边BC,CD上的点(点E,F不与线段BC,CD的端点重合),BE=CF,连接OE,OF,EF.关于以下三个结论,下列判断正确的是()结论Ⅰ:∠BOF始终是90°;结论Ⅱ:△OEF面积的最小值是2;结论Ⅲ:四边形OECF的面积始终是8.A.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅲ错B.结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅱ错C.结论Ⅱ和Ⅲ都对,结论Ⅰ错D.三个结论都对解:∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠BOC=90°,∴∠OBE=∠OCF=45°,∵BE=CF,∴△BOE≌△COF,∴OE=OF,∠BOE=∠COF,∴∠BOE+∠COE=∠COF+∠COE,即∠EOF=∠BOC=90°,且S△COE+S△COF=S△COE+S△BOE,即S四边形OECF=S△BOC=S正方形ABCD=×4×4=4,由垂线段最短可得,当OE⊥BC时,OE=BC=×4=2,△OEF面积取最小值为×2×2=2,∴结论Ⅰ和Ⅱ都对,结论Ⅲ错,故选:A.10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0<x≤90)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()A.37.5°B.40°C.42.5°D.45°解:把(25,0.725),(50,0.06),(60,0.09)代入y=ax2+bx+c得:,解得,∴y=0.0001x2﹣0.008x+0.21=0.0001(x﹣40)2+0.05,∵0.0001>0,∴x=40时,y最小为0.05,∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°,故选:B.二.填空题(共6小题)11.函数是二次函数,则m的值为3.解:∵函数是二次函数,∴m2﹣7=2且m+3≠0,解得:m=3.则m的值为3.故答案为:3.12.已知抛物线y=x2﹣4x+c.与直线y=m相交于A,B两点,若点A的横坐标;x A=﹣1,则点B的横坐标.x B的值为5.解:∵y=x2﹣4x+c,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣=2,∴点A,B关于直线x=2对称,∵点A横坐标为﹣1,∴点B横坐标为5,故答案为:5.13.已知二次函数y=ax2开口向上,且|2﹣a|=3,则a=5.解:∵|2﹣a|=3,∴2﹣a=±3,解得:a=﹣1或5,又二次函数y=ax2开口向上,则a>0,故a=5.故答案为:5.14.已知抛物线y=x2﹣3x+1的图象上有一点A(m,n),则m﹣n的最大值是3.解:∵点A(m,n)在抛物线y=x2﹣3x+1上,∴n=m2﹣3m+1,∴m﹣n=﹣m2+4m﹣1=﹣(m﹣2)2+3,∴当m=2时,m﹣n有最大值为3,故答案为:3.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,若AB+CD=3,则c的值为﹣.解:设A(x1,0),B(x2,0),令y=0,则y=﹣x2+2x+c=0,由根与系数的关系得:x1+x2=2,x1•x2=﹣c,则AB=|x1﹣x2|===2,令x=0,则y=c,∴C(0,c),∵CD∥x轴,∴点D纵坐标为c,当y=c时,则﹣x2+2x+c=c,解得:x=2,或x=0,∴D(2,c),∴CD=2,∵AB+CD=3,∴2+2=3,解得:c=﹣,故答案为:﹣.16.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,点E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=10,点G是EF的中点,AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为142.解:连接AC,过B作BH⊥AC于H,以B为圆心,BG为半径作圆,交BH于G',如图:∵四边形ABCD是矩形,∴∠EBF=90°,∵EF=10,点G是EF的中点,∴BG=EF=10=5,∴G在以B为圆心,5为半径的弧上,当G运动到G'时,S△ACG最小,此时四边形AGCD 面积的最小值,最小值即为四边形AG'CD的面积,∵AB=12=CD,BC=16=AD,∴AC=20,S△ACD=×12×16=96,∴BH==,∴G'H=BH﹣5=﹣5=,∴S△ACG'=AC•G'H=×20×=46,∴S四边形AG'CD=S△ACD+S△ACG'=46+96=142,即四边形AGCD面积的最小值是142.故答案为:142.三.解答题(共7小题)17.看图回答.(1)当y=0时,求x的值;(2)当y>5时,求x的范围;(3)y随x的增大而增大时,求x的范围.解:(1)由图象可知,抛物线经过点(﹣1,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴当y=0时,x的值为﹣1和3;(2)∵抛物线经过点(﹣1,0),(3,0),(0,﹣3),∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),代入(0,﹣3)得,﹣3=﹣3a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣3),令y=5得5=(x+1)(x﹣3),解得x1=4,x2=﹣2,∴当y>5时,求x的范围是x>4或x<﹣2;(3)∵y=(x+1)(x﹣3)=(x﹣1)2+4,∴抛物线开口向上,顶点为(1,4),对称轴为直线x=1,∴y随x的增大而增大时,x的范围是x>1.18.已知二次函数y=x2﹣6x+8.(1)将解析式化成顶点式;(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)x取什么值时,y随x的增大而增大;x取什么值时,y随x增大而减小.解:(1)y=x2﹣6x+8=x2﹣6x+9﹣1=(x﹣3)2﹣1;(2)开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,﹣1);(3)x>3时,y随x的增大而增大;x<3时,y随x增大而减小.19.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=﹣5r2+20t,求小球飞行高度达到最高时的飞行时间.解:∵h=﹣5t2+20t=﹣5(t﹣2)2+20,且﹣5<0,∴当t=2时,h取最大值20,答:小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s.20.“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种,在云南省广泛种植.长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动,经过调查往年的统计数据发现,云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售,平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元,那么平均每天的销售量会增加10斤,为了尽快减少库存,该水果商决定降价销售.(1)若降价2元,则每天的销售利润是多少元(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元,那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元?(其它成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时,商场每天销售该商品获得的利润w最大?最大利润是多少元?解:(1)根据题意,降价2元则销售量为60+2×10=80(斤),销售利润为:(30﹣15﹣2)×80=1040(元),。
二次函数练习题及答案1. 已知二次函数的顶点为(2, 3),且经过点(1, 5),求该二次函数的解析式。
2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1, 0)和B(3, 0),求抛物线的对称轴方程。
3. 函数f(x)=2x^2-4x+m在区间[0, 2]上的最大值为8,求m的值。
4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-1, 2)和(2, 2),且在x=1处取得最小值,求a、b、c的值。
5. 抛物线y=ax^2+bx+c的图象开口向上,且经过点(0, 1)和(2, 5),求a的取值范围。
6. 函数y=x^2-2x+3的图象与x轴的交点坐标为多少?7. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标是什么?8. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, 2),且在x=-1处取得最大值,求a、b、c的值。
9. 函数f(x)=x^2-6x+8在区间[1, 4]上的最大值和最小值分别是多少?10. 抛物线y=3x^2-6x+2与x轴的交点坐标是什么?11. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1, 0)和(-2, 0),且在x=0处取得最小值,求a、b、c的值。
12. 函数y=2x^2-4x+1在区间[0, 3]上的最大值和最小值分别是多少?13. 抛物线y=-x^2+2x+3的图象开口向下,求抛物线的顶点坐标。
14. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-3, -2)和(1, -2),求a、b、c的值。
15. 函数y=x^2-4x+5的图象与x轴的交点坐标为多少?16. 抛物线y=4x^2-12x+9的顶点坐标是什么?17. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, -1),且在x=2处取得最大值,求a、b、c的值。
18. 函数f(x)=-2x^2+8x-8在区间[0, 4]上的最大值和最小值分别是多少?19. 抛物线y=x^2-4x+5的图象开口向上,求抛物线的对称轴方程。
二次函数基本知识点梳理及训练(最新) 二次函数是初中数学的重要内容之一,也是高中数学的基础。
它是一个形如y=ax^2+bx+c的函数,其中a、b、c是常数,x是自变量。
在这篇文章中,我们将通过一些有趣的例子来帮助你更好地理解二次函数的基本知识点。
让我们来看一个简单的例子。
假设你正在参加一场婚礼,新郎新娘要求你在婚礼上做一个小游戏。
游戏规则是这样的:他们会给你一张纸条,上面写着一个二次函数的表达式,比如y=2x^2-3x+1。
你需要在规定的时间内猜出这个函数的顶点坐标。
听起来很有趣吧?你知道如何求出二次函数的顶点坐标吗?答案是:使用公式y=(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a。
其中,a、b、c分别是二次函数的系数,sqrt表示根号。
例如,对于y=2x^2-3x+1这个函数,a=2,b=-3,c=1。
将这些值代入公式,我们可以得到顶点的横坐标为(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a=(3±sqrt(9-8))/4=(3±1)/4=1或2。
因此,这个函数的顶点坐标为(1,0)或(2,0)。
接下来是一个更难一点的例子。
假设你是一位厨师,正在为自己的餐厅设计一道新菜。
这道菜的味道非常特别,需要用到二次函数的知识。
你的顾客们都很好奇这道菜的味道是如何制作的,于是你决定给他们做一个演示。
你可以准备一些食材和工具,然后按照以下步骤制作这道菜:1. 你需要准备一些鸡肉和土豆。
将它们切成小块备用。
2. 在一个大碗里加入适量的盐、胡椒粉、生抽和料酒,搅拌均匀后放入鸡肉和土豆块腌制30分钟左右。
3. 接着,在一个平底锅中倒入适量的油,加热至六成热后放入腌制好的鸡肉和土豆块翻炒至金黄色捞出备用。
4. 在一个干净的大碗里加入适量的白糖、醋和番茄酱,并加入适量的水调匀制成酸甜汁。
将炒好的鸡肉和土豆块放入酸甜汁中浸泡片刻即可食用。
这就是一道简单的二次函数应用实例——鸡肉土豆煲。
二次函数总复习经典练习题1.抛物线y=-3x2+2x-1 的图象与坐标轴的交点情况是( )(A) 没有交点.(B) 只有一个交点.(C) 有且只有两个交点.(D) 有且只有三个交点.2.已知直线y=x 与二次函数y=ax2-2x- 1 图象的一个交点的横坐标为1,则 a 的值为( )(A)2 .(B)1 .(C)3 .(D)4 .3.二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y 轴于点C,则△ ABC的面积为( ) (A)6 .(B)4 .(C)3 .(D)1 .24.函数y=ax 2+bx+ c 中,若a> 0,b< 0,c<0,则这个函数图象与x 轴的交点情况是( )(A) 没有交点.(B) 有两个交点,都在x 轴的正半轴.(C) 有两个交点,都在x 轴的负半轴.(D) 一个在x 轴的正半轴,另一个在x 轴的负半轴.5.已知(2 ,5) 、(4 ,5)是抛物线y=ax2+bx+c 上的两点,则这个抛物线的对称轴方程是( ) a(A) x= .(B) x=2.(C) x=4.(D) x=3.b6.已知函数y=ax2+bx+ c 的图象如图 1 所示,那么能正确反映函数y=ax+ b 图象的只可能是( )7.二次函数y=2x2-4x+5 的最小值是_____ .28.某二次函数的图象与x轴交于点( -1,0) ,(4 ,0) ,且它的形状与y=-x2形状相同.则这个二次函数的解析式为_____ .9.若函数y=-x2+4 的函数值y> 0,则自变量x 的取值范围是______ .10.某品牌电饭锅成本价为70 元,销售商对其销量与定价的关系进行了调查,结果如下:801001101008060为获得最大利润,销售商应将该品牌电饭锅定价为元.11.函数y=ax 2-(a-3)x+ 1 的图象与x 轴只有一个交点,那么 a 的值和交点坐标分别为12.某涵洞是一抛物线形, 它的截面如图3 所示, 现测得水面宽AB 1.6m, 涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, 在图中的直角坐标系内, 涵洞所在抛物线的解析式为13.(本题8 分)已知抛物线y=x2-2x-2 的顶点为A,与y 轴的交点为B,求过A、B 两点的直线的解析式.14.(本题8分)抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图3所示,求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标.15.(本题8 分)如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a> 0)的顶点是C(0,1),直线l :y=-ax+3 与这条抛物线交于P、Q两点,且点P 到x 轴的距离为2.(1)求抛物线和直线l 的解析式;(2)求点Q的坐标.16.(本题8 分)工艺商场以每件155 元购进一批工艺品.若按每件200 元销售,工艺商场每天可售出该工艺品100 件;若每件工艺品降价 1 元,则每天可多售出该工艺品 4 件.问每件工艺品降价多少元出售,每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元?17.(本题10 分))杭州休博会期间,嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施.若不计维修保养费用,预计开放后每月可创收33万元.而该游乐设施开放后,从第 1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元),且y=ax2+bx;若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元) ,g也是关于x 的二次函数.(1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元,第 2 个月为 4 万元.求y 关于x 的解析式;(2) 求纯收益g 关于x 的解析式;(3) 问设施开放几个月后,游乐场的纯收益达到最大?几个月后,能收回投资?18(本题10分)如图所示,图4- ①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图,拱高为30m,支柱A3B3=50m,5 根支柱A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5 之间的距离均为15m,B1B5∥ A1A5,将抛物线放在图4- ②所示的直角坐标系中.(1) 直接写出图4- ②中点B1、B3、B5的坐标;(2) 求图4- ②中抛物线的函数表达式;(3) 求图4- ①中支柱A2B2、A4B4 的长度.B319、如图5,已知A(2,2),B(3,0).动点P( m,0)在线段OB上移动,过点P作直线l 与x 轴垂直.(1) 设△ OAB中位于直线l 左侧部分的面积为S,写出S与m之间的函数关系式;(2) 试问是否存在点P,使直线l 平分△ OAB的面积?若有,求出点P 的坐标;若无,请说明理由.更多学习方法和中高考复习资料,免费下载,扫一扫关注微信:答案:一、1.B 2 .D 3 .C 4 .D 5 .D 6.B二、 7.3 8 .y =- x +3x +4 9 .- 2< x <2 10 .1301 115 211. a =0, ( ,0);a =1,(-1,0);a =9,( ,0) 12 . y x 23 3 413.抛物线的顶点为 (1,- 3),点 B 的坐标为 (0,- 2).直线 AB 的解析式为 y =-x -2 14.依题意可知抛物线经过点 (1,0) .于是 a + 2a + a 2+ 2=0,解得 a 1=-1,a 2=-2.当 a = -1 或 a =-2 时,求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标均为 ( -3,0)2 15. (1) 依题意可知 b =0,c =1,且当 y =2 时,ax 2+1=2①,- ax +3=2②.由①、②解得 a =1, x =1.故抛物线与直线的解析式分别为: y =x 2+ 1,y =- x +3;(2) Q ( -2,5)216.设降价 x 元时,获得的利润为 y 元.则依意可得 y =(45-x )(100 +4x )= -4x 2+80x +4500, 即 y =-4(x -10)2+4900.故当 x =10时, y 最大=4900(元)2217. (1) 将(1,2)和(2,6) 代入 y =ax 2+bx ,求得 a =b =1.故 y =x 2+x ;(2) g =33x -150-y , 22即 g =-x 2+32x -150;(3) 因 y =-(x -16) 2+106,所以设施开放后第 16 个月,纯收益最大.令 g =0,得- x 2+ 32 x - 150=0.解得 x =16± 106 ,x ≈16- 10.3=5.7( 舍去 26.3) .当 x =5 时, g <0, 当 x =6 时, g >0,故 6 个月后,能收回投资18.(1) B 1( 30,0), B 3 (0,30) , B 5 (30,0) ;(2)设抛物线的表达式为 y a (x 30)(x 30) ,把 B 3 (0,30) 代入得 y a(0 30)(0 30) 30.1∴ a .30∵所求抛物线的表达式为: y3)∵ B 4 点的横坐标为 15, 1 45∴B 4 的纵坐标 y 4 (15 30)(15 30) .4 30 2∵ A 3B 3 50 ,拱高为 30,1 (x 30)(x 30) . 30∴立柱A4B445 8520 (m) .22由对称性知:85A2B2 A4B4 (m) .2四、1 2 1 119.(1)当0≤m≤2时,S= m2;当2<m≤3时,S= ×3×2-(3 -m)(-2m+6)= -m22 2 2+6m-6.(2)若有这样的P点,使直线l 平分△ OAB的面积,很显然0<m<2.由于△ OAB3 1 3的面积等于3,故当l 平分△ OAB面积时,S= .∴ m2.解得m= 3 .故存在这样2 2 2的P点,使l 平分△ OAB的面积.且点P的坐标为(3 ,0).。
二次函数的练习题及答案一、选择题:1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上,且与x轴有交点,则a 和b应满足的条件是()。
A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b^2>4acD. a<0, b^2>4ac2. 二次函数y=-x^2+4x-1的顶点坐标是()。
A. (1,4)B. (2,3)C. (-2,3)D. (2,-3)3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c,当x=-1时,函数值最大,那么a的取值范围是()。
A. a>0B. a<0C. a=0D. 无法确定二、填空题:1. 已知二次函数y=2x^2-8x+3,当x=______时,函数值最小。
2. 若二次函数y=-3x^2-6x+5的图像与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),则x1+x2=______。
三、解答题:1. 已知二次函数y=-2x^2+4x+1,求出当x取何值时,函数值y最大,并求出最大值。
2. 已知二次函数y=3x^2-6x+2,求出函数与x轴的交点坐标。
四、应用题:1. 某工厂生产一种产品,其生产成本与产品数量的关系可以近似为二次函数:C(x)=0.5x^2-100x+3000,其中x代表产品数量,C(x)代表成本。
求出当生产多少件产品时,成本最低,并求出最低成本。
2. 某公司计划在一块长为60米的空地上建一个矩形花园,花园的长和宽之和为30米。
设花园的长为x米,求出花园的面积最大时的长和宽,并求出最大面积。
答案:一、选择题:1. C2. B3. B二、填空题:1. 22. -2三、解答题:1. 当x=1时,函数值y最大,最大值为3。
2. 函数与x轴的交点坐标为(1,0)和(2,0)。
四、应用题:1. 当生产200件产品时,成本最低,最低成本为2000元。
2. 花园的长为15米,宽为15米时,面积最大,最大面积为225平方米。
中考数学《二次函数的三种形式》专项练习题及答案一、单选题1.二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,-3)2.二次函数y=(x+1)2-1图象的顶点坐标是( )A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1)3.抛物线y=(x+1)2+2的对称轴为()A.直线x=1B.直线x=-1C.直线x=2D.直线x=-24.二次函数y=3(x-2)2-1的图象的顶点坐标是()A.(2,-1)B.(-2,-1)C.(2,1)D.(-2,1)5.若b>0,则二次函数y=x2+2bx﹣1的图象的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.将抛物线y=2x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,所得抛物线的表达式为()A.y=2(x+2)2+3B.y=(2x﹣2)2+3C.y=(2x+2)2﹣3D.y=2(x﹣2)2+37.对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么抛物线解析式是() A.y =-2x2 + 8x +3B.y =-2x2 –8x +3C.y = -2x2 + 8x –5D.y =-2x2 –8x +28.二次函数y=x2-6x+5的图像的顶点坐标是()A.(-3,4)B.(3,-4)C.(-1,2)D.(1,-4)9.把二次函数y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式是()A.y=(x-2)2-1B.y=(x+2)2-1C.y=(x-2)2+7D.y=(x+2)2+710.抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标是()A.(−2, −1)B.(−2, 1)C.(2, −1)D.(2, 1)11.一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式:h=-5(t-1)2+6,则小球距离地面的最大高度是A.1米B.5米C.6米D.7米12.已知二次函数的解析式为:y=-3(x+5)2﹣7,那么下列说法正确的是()A.顶点的坐标是(5,-7)B.顶点的坐标是(-7,-5)C.当x=-5时,函数有最大值y=-7D.当x=-5时,函数有最小值y=-7二、填空题13.将抛物线y=﹣﹣12x2﹣3x+1写成y=a(x+h)2+k的形式应为.14.如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=(x﹣2)2+1,那么c的值为15.将二次函数y=x2+4x﹣2配方成y=(x﹣h)2+k的形式,则y=.16.若y=x2﹣2x﹣3化为y=(x﹣m)2+k的形式(其中m,k为常数),则m+k=;当x=时,二次函数y=x2+2x﹣2有最小值.17.把二次函数y=(x﹣2)2+1化为y=x2+bx+c的形式,其中b、c为常数,则b+c=.18.将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为.三、综合题19.如图,抛物线的顶点M在x轴上,抛物线与y轴交于点N,且OM=ON=4,矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上,C、D在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)设点A的横坐标为t(t>4),矩形ABCD的周长为l,求l与t之间函数关系式.20.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN 的最大值;(3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∥PBN是等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.21.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(﹣1,0)和点C(0,3),对称轴为直线x=1.(1)求该二次函数的关系式和顶点坐标;(2)结合图象,解答下列问题:①当﹣1<x<2时,求函数y的取值范围.②当y<3时,求x的取值范围.22.已知二次函数y=x2−2mx+m2+3(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?23.把下列函数化为y=a(x+m)2+k形式,并求出各函数图象的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值:(1)y=x2﹣2x+4;(2)y=100﹣5x2.24.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)连接BC,点P为抛物线上第一象限内一动点,当∥BCP面积最大时,求点P的坐标;(3)设点D是抛物线的对称轴上的一点,在抛物线上是否存在点Q,使以点B,C,D,Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.参考答案1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】A10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】C13.【答案】y=﹣12(x+3)2+11214.【答案】515.【答案】(x+2)2﹣616.【答案】-4;-117.【答案】118.【答案】y=(x−2)2+119.【答案】(1)解:∵OM=ON=4∴M点坐标为(4,0),N点坐标为(0,4)设抛物线解析式为y=a(x﹣4)2把N(0,4)代入得16a=4,解得a= 1 4所以抛物线的解析式为y= 14(x﹣4)2= 14x2﹣2x+4(2)解:∵点A的横坐标为t ∴DM=t﹣4∴CD=2DM=2(t﹣4)=2t﹣8把x=t代入y= 14x2﹣2x+4得y= 14t2﹣2t+4∴AD= 14t2﹣2t+4∴l=2(AD+CD)=2(14t2﹣2t+4+2t﹣8)= 12t 2﹣8(t >4) 20.【答案】(1)解:将点B (3,0)、C (0,3)代入抛物线y=x 2+bx+c 中得: {0=9+3b +c 3=c ,解得: {b =−4c =3 ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3.(2)解:设点M 的坐标为(m ,m 2﹣4m+3),设直线BC 的解析式为y=kx+3 把点点B (3,0)代入y=kx+3中 得:0=3k+3,解得:k=﹣1 ∴直线BC 的解析式为y=﹣x+3. ∵MN∥y 轴∴点N 的坐标为(m ,﹣m+3).∵抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3=(x ﹣2)2﹣1 ∴抛物线的对称轴为x=2 ∴点(1,0)在抛物线的图象上 ∴1<m <3.∵线段MN=﹣m+3﹣(m 2﹣4m+3)=﹣m 2+3m=﹣ 12 + 94∴当m= 32 时,线段MN 取最大值,最大值为 94 .(3)解:假设存在.设点P 的坐标为(2,n ). 当m= 32 时,点N 的坐标为( 32 , 32) ∴PB= √(2−3)2+(n −0)2 = √1+n 2 ,PN= √(2−32)2+(n −32)2 ,BN= √(3−32)2+(0−32)2=3√22.∥PBN 为等腰三角形分三种情况:①当PB=PN 时,即 √1+n 2 = √(2−32)2+(n −32)2解得:n= 12此时点P 的坐标为(2, 12);②当PB=BN 时,即 √1+n 2 = 3√22解得:n=± √142此时点P 的坐标为(2,﹣ √142 )或(2, √142);③当PN=BN 时,即 √(2−32)2+(n −32)2 = 3√22解得:n= 3±√172此时点P 的坐标为(2, 3−√172 )或(2, 3+√172).综上可知:在抛物线的对称轴l 上存在点P ,使∥PBN 是等腰三角形,点的坐标为(2, 12)、(2,﹣√142 )、(2, √142 )、(2, 3−√172 )或(2, 3+√172). 21.【答案】(1)解:根据题意得 {a −b +c =0c =3−b2a =1 ,解得 {a =−1b =2c =3,所以二次函数关系式为y=﹣x 2+2x+3,因为y=﹣(x ﹣1)2+4 所以抛物线的顶点坐标为(1,4);(2)解:①当x=﹣1时,y=0;x=2时,y=3;而抛物线的顶点坐标为(1,4),且开口向下 所以当﹣1<x <2时,0<y≤4;②当y=3时,﹣x 2+2x+3=3,解得x=0或2 所以当y <3时,x <0或x >2.22.【答案】(1)解:∵∥=(﹣2m )2﹣4×1×(m 2+3)=4m 2﹣4m 2﹣12=﹣12<0∴方程x 2﹣2mx+m 2+3=0没有实数解, 即不论m 为何值,该函数的图象与x 轴没有公共点; (2)解:y=x 2﹣2mx+m 2+3=(x ﹣m )2+3∴把函数y=x 2﹣2mx+m 2+3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点.23.【答案】(1)解:y=x 2﹣2x+4=x 2﹣2x+1+3=(x ﹣1)2+3.顶点坐标是(1,﹣1),对称轴为x=1,最小值为﹣1 (2)解:y=100﹣5x 2.顶点坐标是(0,100),对称轴为x=0,最大值为10024.【答案】(1)解:设抛物线解析式为y=a (x+1)(x ﹣3)把C (0,3)代入得a•1•(﹣3)=3,解得a=﹣1所以抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x ﹣3),即y=﹣x 2+2x+3 (2)解:设直线BC 的解析式为y=kx+m把B (3,0),C (0,3)代入得 {3k +m =0m =3 ,解得 {k =−1m =3所以直线BC 的解析式为y=﹣x+3 作PM∥y 轴交BC 于M ,如图1设P(x,﹣x2+2x+3),(0<x<3),则M(x,﹣x+3)∴PM=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x∴S∥PCB= 12•3•PM=﹣32x2+ 92=﹣32(x﹣32)2+ 278当x= 32时,∥BCP的面积最大,此时P点坐标为(32,154)(3)解:如图2抛物线的对称轴为直线x=1当四边形BCDQ为平行四边形,设D(1,a),则Q(4,a﹣3)把Q(4,a﹣3)代入y=﹣x2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3,解得a=﹣2∴Q(4,﹣5);当四边形BCQD为平行四边形时,设D(1,a),则Q(﹣2,3+a)把Q(﹣2,3+a)代入y=﹣x2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3,解得a=﹣8∴Q(﹣2,﹣5);当四边形BQCD为平行四边形时,设D(1,a),则Q(2,3﹣a)把Q(2,3﹣a)代入y=﹣x2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3,解得a=0∴Q(2,3)综上所述,满足条件的Q点坐标为(4,﹣5)或(﹣2,﹣5)或(2,3).。
二次函数专题训练(含答案)一、 填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线,接着再向下平移3个 单位,得抛物线.2.函数x x y +-=22图象的对称轴是,最大值是.3.正方形边长为3,如果边长增加x 面积就增加y ,那么y 与x 之间的函数关系是.6.抛物线异号时,7.抛物线x 的取值8.若a . 9...15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1,那么m 的值是.二、选择题:16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是()A.(0,-1)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 C.(-1,5)D.(3,4) 17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是()A.0个B.1个C.2个D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0),下面几点结论中,正确的有()① 当a ?0时,对称轴左边y 随x 的增大而减小,对称轴右边y 随x 的增大而增大,当a ?0时,情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)的根,就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C.①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3),则图象的对称轴是()20.如果一次函数b ax y +=的图象如图代bx -3图代21.若抛物线c bx ax y ++=2 A.2B.2122.若函数xa y =的图象经过点(1,-2)轴左侧,图象与负半y 轴相交轴右侧,图象与负半y 轴相交b+c=0,则那时图象经过的点是(),-1)D.(-1,1)与y 轴交于A 点,与x 轴正半轴交于B ,△ABC =6,则b 的值是()A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =(a ?0),若要使函数值永远小于零,则自变量x 的取值范围是()A .X 取任何实数B.x ?0C.x ?0D.x ?0或x ?027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位,向下平移两个单位后的解析式为()A.6)4(22+-=x yB.2)4(22+-=x yC.2)2(22+-=x yD.2)3(32+-=x y28.二次函数229k ykx x y ++=(k ?0)图象的顶点在()A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上29.四个函数:xy x y x y 1,1,-=+=-=(x ?0),2x y -=(x ?0),其中图象经过原 点的函数有()A.1个B.2个30.不论x 为值何,函数c bx ax y ++=2A.a ?0,Δ?C .a ?0,Δ?31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和轴上两上不同的点32.已知二次函数c bx ax y ++=2y 轴上.33.A ,B 两点,该ABC=90°,求:(1)直线AB 的解析式;(2)抛 图代13-3-16c 交x 轴正方向于A ,B 两点,交y 轴正方向于C .(1)求a ,c 满足的关系;(2)设∠ACB=PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.y 轴,桥拱的DGD '部分为一段抛物线,顶点C 的高度为8米,AD 和A 'D '是两侧高为5.5米的支柱,OA 和OA '为两个方向的汽车通行区,宽都为15米,线段CD 和C 'D '为两段对称的上桥斜坡,其坡度为1∶4.求(1)桥拱DGD '所在抛物线的解析式及CC '的长;(2)BE 和B 'E '为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB 和A 'B '为两个方向的行人及非机动车通行区,试求AB 和A 'B '的宽;(3)按规定,汽车通过该桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米,车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米,它能否从OA (或OA ')区域安全通过?请说明理由.图代13-3-1736.已知:抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A (a ?b ).O为坐标原点,分别以OA ,OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧?简要说明理由,并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ,B 两点,且A 点在x 轴的正半轴上,B 点在x 同的负半轴上,OA 的长是a ,OB 的长是b.(1) 求m 的取值范围;(2) 若a ∶b=3∶1,求m 的值,并写出此时抛物线的解析式;(3) 设(2)中的抛物线与y 轴交于点C ,抛物线的顶点是M ,问:抛物线上是否存在点P ,使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.38.已知:如图代13-3-18,EB 是⊙O 的直径,且EB=6,在BE 的延长线上取点P ,使EP=EB.A 是EP 上一点,过A 作⊙O 的切线AD ,切点为D ,过D 作DF ⊥AB 于F ,过B 作AD 的垂线BH ,交AD 的延长线于H ,连结ED 和FH.图代(1) 若AE=2,求AD 的长.(2) 当点A 在EP 上移动(点A 不与点E 论;②设ED=x ,BH=y ,求y 与x 39.已知二次函数(2)254(222--+--=m x m m x y A ,B (点A 在点B 右边),与y 轴的交点为(1) 若△ABC 为Rt △,求m 的值;(2) 在△ABC 中,若AC=BC ,求∠ACB (3)40.满足(1)(2)y 轴于F ,求直线EF 的解析式.(3)C 点,顶点在⊙C 上,与y 轴交点为B ,求41.q px x ++2图象的顶点为M. (1) m 取何实数值, 二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.(2) 在(1)的条件下,若直线m x y +-=过点D (0,-3),求二次函数q px x y ++=2的表达式,并作出其大致图象.图代13-3-20(3) 在(2)的条件下,若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ,与x 同 的左交点为A ,试在直线x y 21=上求异于M 点P ,使P 在△CMA 的外接圆上.42.如图代13-3-20,已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,且∠BAC=α,∠ABC=β,tg α-tg β=2,∠ACB=90°.(1) 求点C 的坐标;(2) 求抛物线的解析式;(3) 若抛物线的顶点为P ,求四边形ABPC 的面积.参考答案动脑动手1. 设每件提高x 元(0≤x ≤10),即每件可获利润(2+x )元,则每天可销售(100-10x ) 件,设每天所获利润为y 元,依题意,得∴当x=4时(0≤x ≤10)所获利润最大,即售出价为14元,每天所赚得最大利润360元.当32-=m 时,432322++-=x x y . (3) 当AB=BC 时,22344343⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-m m , ∴78-=m . ∴42144782++-=x x y .可求抛物线解析式为:43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y . 3.(1)∵)62(4)]5([222+---=∆m m图代13-3-21∴不论m 取何值,抛物线与x 轴必有两个交点.令y=0,得062)5(222=+++-m x m x0)3)(2(2=---m x x ,∴3,221+==m x x .(2)由(132-+=m d ∵m 2+10?0(3)①当∴A (2,0)142+-=xx y 该抛物线的对称轴是直线x=7225=b .①25)2-.②0,121=-=b b .不存在,b=0,舍去.∴b=-1. .-25≤b ?-1;b ?-1,且b ≠0.同步题库一、 填空题1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ;2.81,41=x ;3.9)3(2-+=x y ;4. 2)2(22+--=x y ;5.互为相反数;6.y 轴,左,右;7.下,x=-1,(-1,-3),x ?-1;8.四,增大;9.向上,向下,a b x a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--;10.向下,(h,0),x=h ;11.-1,-2;12.x ?-1;13.-17,(2,3);14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ;15.10. 二、选择题16.B17.C18.A19.A20.C21.D22.B23.B24.D25.B26.D27.C28.C29.A30.D三、解答题31.解法一:依题意,设M (x 1,0),N (x 2,0),且x 1≠x 2,则x 1,x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根,∴a x x 221-=+,1x ·122+-=b x .∵x 1,x 2又是方程3(2-+-a x ∴x 1+x 2=a-3∴⎩⎨⎧+--22b a 解得⎩⎨⎧==1b a 当a=1,b=0∴a=1,12+-b 的图象对称轴为a x -=,1的图象的对称轴为23-=a x , x 轴上两个不同的点M ,N ,. 23-a . 1=.12+-b x 和1222-+--=b x x y .依题意,令y=0,得01222=+-+b x x ,01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得2,021==b b .∴⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时,二次函数的图象与x 轴只有一个交点,∴a=1,b=0舍去.当a=1,b=2时,二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意.∴a=1,b=2.32.解:∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B (x 1,0),C (x 2,0), ∴c x x b x x =⋅-=+21,.又∵132221=+x x 即(x ∴(2--a b 又由y 的图象过点A (2,2-a b与y 设y (1)6,3,==OD OC . 0,4)或(0,-4).P ,B 两点直线的解析式为或3,6,2,====OC OD OB OCOP OD OB . ∴OP=1,这时P 点坐标为(0,1)或(0,-1).当P 点坐标为(0,1)时,可设过P ,B 两点直线的解析式为y=kx+1.有0=-2k+1.得21=k . ∴121+-=x y .当P 点坐标为(0,-1)时,可设过P ,B 两点直线的解析式为y=kx-1,有0=-2k-1, 得21-=k . ∴121--=x y . (2) 当B (3,0),C (-2,0),D (0,6)时,同理可得y=-3x+9,或y=3x-9, 或11+-=x y ,(解法二:设抛物线的解析式为:c bx ax y ++=2,又设点A (4,0)关于x=-1的对称是D.∵CA=1+4=5,∴CD=5.∴OD=6.∴D 点坐标为(-6,0).将点A (4,0),B (0,2),D (-6,0)代入抛物线方程,得解得2,61,121=-=-=c b a .∴抛物线的解析式为:2611212+--=x x y . 34.解:(1)A ,B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根,设为x 1,x 2(x 2?x 1),C 的纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切,∴OA ·OB=OC 2.∴x 1·x 2=c 2.又由方程032=+-c x ax 知 c x x =⋅,∴在Rt △PAE 中,a PE 4=. ∴25==AE PE tg β. ∴tg β=tg α.∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵∠ADE+∠DAE=90°∴PA 和⊙D 相切.35.解:(1)设DGD '所在的抛物线的解析式为c ax y +=2,由题意得G (0,8),D (15,5.5).∴⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD '所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴AC=5.5×4=22(米). ∴2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c )=74答:cc (2)∵BC EB ∴∴答:AB 和A 'B (3) 在901-=x y 1(OA ')区域安全通过.O 2外切于原点O ,a ?0,b ?0.02=的两个根a ,b 异号.,∴m ?-2.PO 1O 2Q 是直角梯形.2212b Q O =(或221a 或1). PO 1O 2Q 是矩形.根据题意,计算得22121b S Q O PO =四边形(或221a 或1). (3)∵4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m ?0∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.∵m ?-2,∴⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴a ?0,b ?0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧,并且两圆内切.37.解:(1)设A ,B 两点的坐标分别是(x 1,0)、(x 2,0),∵A ,B 两点在原点的两侧,∴x 1x 2?0,即-(m+1)?0,解得m ?-1.∵)1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m当m ?-1时,Δ?0,∴m 的取值范围是m ?-1.(2)∵a ∶b=3∶1,设a=3k ,b=k (k ?0),则x 1=3k ,x 2=-k ,∴⎩⎨⎧-⋅-(33k k k k 解得1=m ∵31=m 时,21=+x x ∴2+-⋅+⋅.)1(,1q q ==.2,2q py=2x+2.N 点坐标是(0,2),MNC BCN S ∆∆+设P 点坐标是(x,y ),∵BCM ABP S S ∆∆=8,∴1821⨯=⨯⨯y AB . 即8421=⨯⨯y . ∴4=y .∴4±=y .当y=4时,P 点与M 点重合,即P (1,4),当y=-4时,-4=-x 2+2x+3, 解得221±=x .∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是(1,4),)4,221(),4,221(---+.38.(1)解:∵AD 切⊙O 于D ,AE=2,EB=6,∴AD 2=AE ·AB=2×(2+6)=16.∴AD=4.图代13-2-23(2)①无论点A 在EP 上怎么移动(点A 不与点E 重合),总有ED AD =.证法一:连结∵AH 是⊙∴∠又∵BH ⊥AH ∴∠有∠=90°=∠在△DFB DF ⊥AB ,∠DFB=∠DHB=90FHED AH AD =. DB ,的切线,∠DEF.,BH ⊥DH ,∠DBH.F ,H 两点,EDF=∠DFH.FH. ∴FHED AH AD =. ②∵ED=x ,BH=,BH=y ,BE=6,BF=BH ,∴EF=6y.又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高,∴△DFE ∽△BDE , ∴EBED ED EF =,即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=,即6612+-=x y . ∵点A 不与点E 重合,∴ED=x ?0.A 从E 向左移动,ED 逐渐增大,当A 和P 重合时,ED 最大,这时连结OD ,则OD ⊥PH.∴OD ∥BH.又12,936==+=+=PB EO PE PO ,4,=⋅==POPB OD BH PB PO BH OD , ∴246,4=-=-===BF EB EF BH BF ,由ED 2=EF ·EB 得12622=⨯=x ,2⎭⎝2过A 作AD ⊥BC ,垂足为D ,∴AB ·OC=BC ·AD.∴58=AD .∴545258sin ===∠AC AD ACB .图代13-3-25(3)CO AB S ABC ⋅=∆21 ∵212942≥+-=m m u , ∴当21=u ,即2=m 时,S 有最小值,最小值为45. 40.解:(1)∵OA ⊥OB ,OA ∶OB=4∶3,⊙D 的半径为2,∴⊙C 过原点,OC=4,AB=8. A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,532,B 点坐标为⎪⎫ ⎛24,0.∴⊙C 的圆心C (2)由EF 是⊙D ∵∴∠COA=∠CAO ∴Rt △AOB ∽Rt ∴OA OC AB OE =32034+-=x y . ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4512,516,可得 5242++x . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4512,516,得 ∴5244852+--=x x y . 综合上述,抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.(1)证明:由有m x x +-=21, ∴m y m x m x 31,32,23===.∴交点)31,32(m m M . 此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= m m mx x 31943422++-=. 由②③联立,消去y ,有0329413422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m x m x .∴无论m 为何实数值,二次函数x y +=2图代(2)解:∵直线∴∴∴M (-21)2(22-=-+=x x y 为△CMA 外接圆的直径,P 在这个圆上, ∠.过M 作MS ⊥y 轴于S ,MS 的延长线与PR 的Q.222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而222CM CP MP =+,∴20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ,即062252=-+n n , ∴012452=-+n n ,0)2)(65(=+-n n . ∴2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标,与题意不合,应舍去. ∴56=n ,42.0,当0122=++-x x 时,21±=x .∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ,过C ,P 的直线为y=x+1,∴点D 坐标为(-1,0).∴DCA DPB ABPC S S S ∆∆-=四边形。
二次函数试题及答案一、选择题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象开口向上,且与x轴有两个交点,则a、b、c之间的关系是()。
A. b^2-4ac>0B. b^2-4ac=0C. b^2-4ac<0D. b^2-4ac≤0答案:A2. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴的交点为(0,3),则c的值为()。
A. 3B. -3C. 0D. 1答案:A二、填空题1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-1),则b=______。
答案:-4a-42. 已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为(-1,0)和(3,0),则b=______。
答案:-2a三、解答题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)和(-1,0),求该二次函数的解析式。
答案:将点(1,2)和(-1,0)代入二次函数的解析式,得到方程组:\begin{cases}a+b+c=2 \\9a-3b+c=0\end{cases}解得a=1,b=-2,c=1,所以二次函数的解析式为y=x^2-2x+1。
2. 已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且抛物线经过点(0,3),求抛物线的解析式。
答案:由对称轴为直线x=1,可知-b/2a=1,即b=-2a。
又抛物线经过点(0,3),代入解析式得c=3。
设a=1,则b=-2,c=3,所以抛物线的解析式为y=x^2-2x+3。
四、综合题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为(2,0)和(-3,0),且抛物线的顶点坐标为(-1,-4),求该二次函数的解析式。
答案:由抛物线与x轴的交点可知,2和-3是方程ax^2+bx+c=0的两个根,所以有:\begin{cases}4a+2b+c=0 \\9a-3b+c=0\end{cases}又因为顶点坐标为(-1,-4),所以有:\begin{cases}-\frac{b}{2a}=-1 \\\frac{4ac-b^2}{4a}=-4\end{cases}解得a=1,b=4,c=-6,所以二次函数的解析式为y=x^2+4x-6。
中考数学二次函数专题训练50题含答案一、单选题1.二次函数y =﹣2x 2﹣1图象的顶点坐标为( ) A .(0,0)B .(0,﹣1)C .(﹣2,﹣1)D .(﹣2,1)2.下列函数图象不属于中心对称图形的是( ) A .20222023yxB .220222023yx x C .2023y =- D .2022xy =-3.下列关系式中,属于二次函数的是( )A .22y x =-B .y =C .31y x =-D .1y x=4.若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上,则a 的取值范围是( ) A .2a <B .2a >C .a<0D .0a >5.已知点1(4)y -,、2(1)y -,、353y ⎛⎫⎪⎝⎭,都在函数245y x x =--+的图象上,则123y y y 、、的大小关系为( )A .123y y y >>B .321y y y >>C .213y y y >>D .312y y y >> 6.在平面直角坐标系中,将抛物线221y x x =+-,绕原点旋转180°,所得到的抛物线的函数关系式是( ) A .221y x x =-+ B .221y x x =--- C .221y x x =-+-D .221y x x =-++7.已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限,则( ) A .0,0,0a b c >>> B .0,0,0a b c <<= C .0,0,0a b c <D .0,0,0a b c >>=8.二次函数241y mx x =-+有最小值3-,则m 等于( ) A .1B .1-C .1±D .12±9.已知点 A (−1,a ),B (1,b ),C (2,c )是抛物线 y = -2x + 2x 上的三点,则 a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a>c>bB .b>a>cC .b>c>aD .c>a>b10.如图1,在矩形ABCD 中,动点E 从A 出发,沿AB →BC 方向运动,当点E 到达点C时停止运动,过点E作FE⊥AE,交CD于F点,设点E运动路程为x,FC=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是25,则矩形ABCD的面积是()A.235B.5C.6D.25411.如图,已知直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴,则①abc、①a﹣b+c、①a+b+c、①2a﹣b、①3a﹣b,其中是负数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个12.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a(x﹣h)2+k的形式为()A.y=(x﹣4)2+7B.y=(x+4)2+7C.y=(x﹣4)2﹣25D.y=(x+4)2﹣2513.若二次函数y=(x﹣k)2+m,当x≤2时,y随x的增大而减小,则k的取值范围是()A.k=2B.k>2C.k≥2D.k≤214.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如下表所示:则方程ax2+bx+3=0的根是()A.0或4B.1或3C.-1或1D.无实根15.二次函数图像如图所示,下列结论:①0abc >,①20a b +=,①,①方程20ax bx c ++=的解是-2和4,①不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ,其中正确的结论有( )A .2个B .3个C .4个D .5个16.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像如图所示,有下列5个结论:①abc <0,①3a ﹣b =0,①a +b +c =0,①9a ﹣3b +c <0,①b 2﹣4ac >0.其中正确的有( )A .①①①B .①①①C .①①①D .①①17.将抛物线y=2x2向右平移1个单位后,得到的抛物线的表达式是( ) A .y=2(x+1)2B .y=2(x ﹣1)2C .y=2x2﹣1D .y=2x2+118.如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象,在下列说法中:①ac <0;①2a ﹣b=0;①当x >1时,y 随x 的增大而增大;①方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1,x 2=3;①30a c +=;①对于任意实数m ,2am bm a b +≥+总是成立的.正确的说法有( )A .2B .3C .4D .519.如图是二次函数21y ax bx c =++,反比例函数2my x=在同一直角坐标系的图象,若y 1与y 2交于点A (4,yA ),则下列命题中,假命题是( )A .当x >4时,12y y >B .当1x <-时,12y y >C .当12y y <时,0<x <4D .当12y y >时,x <020.如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分,对称轴为x =12, 且经过点(2,0),下列结论正确的是( )A .abc >0B .2-4ac<0bC .a+b=1D .当x >2或x <-1时,y <0二、填空题21.写出一个函数的表达式,使它满足:①图象经过点(1,1);①在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少,则这个函数的表达式为__________. 22.抛物线()269y x =-++的顶点坐标是______. 23.抛物线244y x x =+-的对称轴是直线______. 24.抛物线y =-(x -1)2-2的顶点坐标是________.25.二次函数210y ax bx a =+≠-()的图象经过点(1,1),则代数式1a b --的值为______. 26.将抛物线2yx 向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是______;27.若抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是(1,4),(5,4),则这条抛物线的对称轴是直线____________.28.抛物线 245y x x =-+,当34x -≤≤时,y 的取值范围是___________ 29.已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点,则m 的取值范围是______.30.如图,抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,过点B ,C 作一条直线l . (1)ABC ∠的度数是______;(2)点P 在线段OB 上,且点P 的坐标为()2,0,过点P 作PM x ⊥轴,交直线l 于点N ,交抛物线于点M ,则线段MN 的长为______.31.如图,一段抛物线:y =﹣x (x ﹣3)(0≤x≤3),记为C 1,它与x 轴交于点O ,A 1;将C 1绕点A 1旋转180°得C 2,交x 轴于点A 2;如此进行下去,直至得C 13.若P (37,m )在第13段抛物线C 13上,则m =_____.32.二次函数y =2x 2的图象向左平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____.33.如图,直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点,边OA ,OC 分别在x 轴,y 轴的正半轴上.OA ①BC ,D 是BC 上一点,BD =14OA AB =3,①OAB =45°,E ,F 分别是线段OA ,AB 上的两个动点,且始终保持①DEF =45°.设OE =x ,AF =y ,则y 与x 的函数关系式为_____.34.已知某抛物线上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:那么该抛物线的顶点坐标是_____.35.已知点A(-3,m)在抛物线y =x 2+4x +10上,则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为________.36.若二次函数()22212y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称,则m 的值为:________.此函数图象的顶点和它与x 轴的两个交点所确定的三角形的面积为:________.37.二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,且a≠0)中的x 与y 的部分对应值如表下列结论:①ac <0; ①当x >1时,y 的值随x 值的增大而减小; ①当2x =时,5y =; ①3是方程ax 2+(b ﹣1)x+c=0的一个根. 其中正确的结论是_________(填正确结论的序号).38.如图所示,已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象,下列结论中:0abc >①; 40a c +>②;③若t 为任意实数,则有2a bt at b -≥+; ④若函数图象经过点()2,1,则311222a b c ++=;⑤当函数图象经过()2,1时,方程210ax bx c ++-=的两根为1x ,212()x x x <,则1228x x -=-.其中正确的结论有______.39.如图,正方形ABCD 的边长为4,E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的动点,且AE =BF =CG =DH .则四边形EFGH 面积的最小值为___.40.如图,已知二次函数2y x 2x 3=-++的图象与y 轴交于点A ,MN 是该抛物线的对称轴,点P 在射线MN 上,连结PA ,过点A 作AB AP ⊥交x 轴于点B ,过A 作AC MN ⊥于点C ,连结PB ,在点P 的运动过程中,抛物线上存在点Q ,使QAC PBA ∠∠=,则点Q 的横坐标为______.三、解答题41.已知抛物线y =x 2+(b -2)x +c 经过点M (-1,-2b ). (1)求b +c 的值.(2)若b =4,求这条抛物线的顶点坐标.42.某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x (天)的利润为y (元),求y 与x (1≤x ≤14)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?43.我们不妨约定:若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之为“D 函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D 点”根据该约定,完成下列各题.(1)在下列关于x 的函数中,是“D 函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“D 函数”的打“×”,my x=(0m ≠)(_______);31y x =-(_______);2y x =(_______).(2)若点A (1,m )与点B (n ,4-)是关于x 的“D 函数”2y ax bx c =++(0a ≠)的一对“D 点”,且该函数的对称轴始终位于直线1x =的右侧,求a ,b ,c 的值或取值范围;(3)若关于x 的“D 函数”223y ax bx c =++(a ,b ,c 是常数)同时满足下列两个条件:①0a b c ++=;①()()2230c b a c b a +-++<;求该“D 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围.44.(1)近年来,我市大力发展城市快速交通,小王开车从家到单位有两条路线可选择,路线A 为全程25km 的普通道路,路线B 包含快速通道,全程30km ,走路线B 比走路线A 平均速度提高50%,时间节省6min ,求走路线B 的平均速度;(2)如图,在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡,山坡CD 的坡度(或坡比)i =1:0.75,山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD =50m ,在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°,居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内,求居民楼AB 的高度.(参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)(3)已知飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t﹣32t2,求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离.45.已知二次函数222y x x k=-+++与x轴的公共点有两个.求:()1求k的取值范围;()2当1k=时,求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标;()3观察图象,当x取何值时0y>?46.如图,抛物线245y x x=-++与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C.(1)求出A、B、C三点的坐标;(2)将抛物线245y x x=-++图像x轴上方部分沿x轴向下翻折,保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像,得到的新图像记作M,图像M与直线y t=恒有四个交点,从左到右四个交点依次记为D,E,F,G.若以EF为直径作圆,该圆记作图像N.①在图像M上找一点P,使得PAB的面积为3,求出点P的坐标;①当图像N与x轴相离时,直接写出t的取值范围.47.如图,在△ABC 中,AB=4,D 是AB 上的一点(不与点A、B 重合),DE①BC,交AC 于点E.设△ABC 的面积为S,△DEC 的面积为S'.(1)当D是AB中点时,求SS'的值;(2)设AD=x,SS'=y,求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(3)根据y的范围,求S-4S′的最小值.48.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣38x2+34x+3与x轴交于点A和点B,A在B的左侧,与y轴交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点.(1)求直线BC的解析式;(2)过P作PM①x轴,交BC于M,当PM﹣CM的值最大时,求P的坐标和PM﹣CM的最大值;(3)如图2,将该抛物线向右平移1个单位,得到新的抛物线y1,过点P作直线BC 的垂线,垂足为E,作y1对称轴的垂线,垂足为F,连接EF,请直接写出当PEF是以PF为腰的等腰三角形时,点P的横坐标.49.如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x﹣2)2+k经过点A、B.求:(1)点A 、B 的坐标;(2)抛物线的函数表达式;(3)若点M 是该抛物线对称轴上的一点,求AM+BM 的最小值及点M 的坐标; (4)在抛物线对称轴上是否存在点P ,使得以A 、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.50.如图所示,抛物线2y ax bx c =++的图象过(03)A ,,()10B -,,0(3)C ,三点,顶点为P .(1)求抛物线的解析式;(2)设点G 在y 轴上,且OGB OAB ACB ∠+∠=∠,求AG 的长;(3)若//AD x 轴且D 在抛物线上,过D 作DE BC ⊥于E ,M 在直线DE 上运动,点N 在x 轴上运动,是否存在这样的点M 、N 使以A 、M 、N 为顶点的三角形与APD △相似若存在,请求出点M 、N 的坐标.参考答案:1.B【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y 轴对称,可得出其顶点坐标.【详解】解:①221y x =-- ,①其图象关于y 轴对称,①其顶点在y 轴上,当0x =时,1y =-,所以顶点坐标为(0,﹣1),故选择:B.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标,掌握二次函数y=ax 2+c 的图象关于y 轴对称是解题的关键.2.B【分析】分别根据一次函数图象,二次函数图象,常数函数的图象的对称性分析判断即可得解.【详解】解:A .直线20222023y x 是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项不符合题意;B .抛物线220222023y x x 是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项符合题意;C .直线2023y =-是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项不符合题意;D .直线2022x y =-是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项不符合题意. 故选:B .【点睛】本题考查了二次函数图象,一次函数图象,常数函数的图象,熟记各图形以及其对称性是解题的关键.3.A【分析】根据二次函数的定义进行解答即可.【详解】22y x =-符合二次函数的定义,故A 符合题意;y B 不符合题意; 31y x =-是一次函数,故C 不符合题意;1y x=中含自变量的代数式不是整式,不符合二次函数的定义,故D 不符合题意;故选A【点睛】本题考查了二次函数的定义,掌握二次函数的一般形式()20y ax bx c a =++≠是解题的关键.4.B【分析】根据抛物线的开口向上,可得20a ->,进而即可求得a 的取值范围.【详解】解:①抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上,①20a ->即2a >故选B【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质,掌握0a >时,抛物线的开口向上是解题的关键.5.C【分析】根据函数解析式求出对称轴,在根据函数的性质求解即可;【详解】解:①245y x x =--+,①函数图像的对称轴是直线422x -=-=--,图象的开口向下, ①当<2x -时,y 随x 的增大而增大, 点353y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,关于对称轴的对称点是⎛⎫- ⎪⎝⎭317,3y , ①17413-<-<-, ①213y y y >>;故选:C .【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,掌握二次函数图象的性质是解题的关键.6.D【分析】先求出抛物线的顶点坐标,再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标,然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可.【详解】解:①()222112y x x x =+-=+-,①抛物线的顶点坐标为()1,2--,①将抛物线221y x x =+-,绕原点旋转180︒后顶点坐标变为()1,2,1a =-,①旋转后的函数关系式为()221221y x x x =--+=-++.故选:D .【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式,关于原点对称的两个点的坐标特点,解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a 的值.7.D【详解】试题分析:由题意得,二次函数经过原点可知,,又只经过第一,二,三象限,画图可知抛物线开口向上,对称轴在轴的负半轴,综合可知,故选D.考点:二次函数的对称轴及开口方向综合问题.8.A【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解.【详解】①二次函数241y mx x =-+有最小值3-, ①41634m m-=-, 解得1m =.故选A .9.C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-x 2+2x 的开口向下,对称轴为直线x =1,然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.【详解】解:①抛物线y =-x 2+2x =-(x -1)2+1,①抛物线y =-x 2+2x 的开口向下,对称轴为直线x =1,而A (-1,a )离直线x =1的距离最远,B (1,b )在直线x =1上,①b >c >a ,故选:C .【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质.10.B【分析】易证△CFE ∽△BEA ,可得CF CE BE AB=,根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时,CF 有最大值,列出方程式即可解题.【详解】若点E 在BC 上时,如图∵∠EFC +∠AEB =90°,∠FEC +∠EFC =90°,∴∠CFE =∠AEB ,∵在△CFE 和△BEA 中,90CFE AEB C B ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩, ∴△CFE ∽△BEA ,由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时,CF 有最大值,此时CF CE BE AB=,BE =CE =x ﹣52,即525522x y x -=-, ∴225()52y x =-, 当y =25时,代入方程式解得:x 1=32(舍去),x 2=72, ∴BE =CE =1,∴BC =2,AB =52, ∴矩形ABCD 的面积为2×52=5; 故选B . 【点睛】本题考查了二次函数顶点问题,考查了相似三角形的判定和性质,考查了矩形面积的计算,本题中由图象得出E 为BC 中点是解题的关键.11.B【分析】根据抛物线的开口方向,对称轴,与y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题.【详解】由抛物线的开口向下可得:a <0,根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得:a ,b 同号,所以b <0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c > 0,直线x =-1是抛物线y = ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴,所以-b 2a=-1,可得b =2a ,由图知,当x =-3时y <0,即9a -3b +c < 0,所以9a -6a +c =3a +c <0,因此①abc >0;①a -b +c =a -2a +c =c -a > 0;①a +b +c = a +2a +c =3a +c < 0;①2a -b =2a - 2a = 0;①3a -b =3a - 2a = a <0所以①①小于0,故负数有2个,故答案选B.【点睛】本题主要考查了结合图形判断抛物线方程的系数,解本题的要点在于熟知抛物线的基本性质.12.C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案.【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=(x -4)2-25.故选C .【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式,正确配方是解题关键.13.C【详解】试题分析:根据二次函数的增减性可得:当x≤k 时,y 随x 的增大而减小,则k≥2.考点:二次函数的性质14.B【分析】将(0,2)(3,-1)(4,2)代入到二次函数y =ax 2+bx +c 中,分别求出a 、b 的值,即可求出方程的解.【详解】由题意得:29311642c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得:142a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩①方程230ax bx ++=为2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得:121,3x x ==故选B【点睛】本题考查二次函数抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法函数解析式和一元二次方程求解,熟练掌握相关知识点是解题关键.15.C【详解】试题分析: ①抛物线开口向上,①0a >,①抛物线对称轴为直线2b x a =-=1,①0b <,①抛物线与y 轴交点在x 轴下方,①0c <,①0abc >,所以①正确; ①2b x a=-=1,即2b a =-,①20a b +=,所以①正确; ①抛物线与x 轴的一个交点为(﹣2,0),而抛物线对称轴为直线x=1,①抛物线与x 轴的另一个交点为(4,0),①当3x =时,0y <,①,所以①错误. ①抛物线与x 轴的两个交点为(﹣2,0),(4,0),①方程20ax bx c ++=的解是-2和4,①①正确;由图像可知:不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ,①①正确.①正确的答案为:①①①①.故选C .考点:二次函数图象与系数的关系.16.B【分析】根据二次函数的图像和性质逐一进行判断即可【详解】解:①抛物线开口朝下,①a <0,①对称轴x =3-22b a=- ①b =3a <0,①3a ﹣b =0,故①正确;①抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方,①c >0,①abc >0,故①错误;①抛物线的对称轴x =3-2,与x 轴的一个交点为(-4,0), ①抛物线与x 轴的一个交点为(1,0),①a +b +c =0,故①正确;根据图象知道当x =-3时,y =9a -3b +c >0,故①错误;根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点,①b 2-4ac >0,故①正确.①正确答案为:①①①.故选:B【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.17.B【分析】可根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行解答.【详解】二次函数y=2x 2的图象向右平移1个单位,得:y=2(x-1)2,故选B .【点睛】本题考查了函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.18.D【分析】根据二次函数系数与图像性质,二次函数与方程,二次函数与不等式之间的关系判断每一个结论,从而得出答案.【详解】①由图像可知,抛物线的开口向上,①a >0,①抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上,①c <0,①ac <0,故此选项正确;①由图像可知,对称轴为x=1, ①12b x a=-=, ①-b=2a ,①2a+b=0,故此选项错误;①当x >1时,y 随x 的增大而增大,故此选项正确;①由图像可知,方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1,且对称轴为x=1, ①1212x x +=, ①2122(1)3x x =-=--=,故此选项正确;①由①可知,12133c x x a==-⨯=-, 3c a ∴=-,30a c ∴+=,故此选项正确;①由图像可知,抛物线的顶点坐标为(1,)a b c ++,∴当x=1时,二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值a+b+c ,∴2ax bx c a b c ++≥++,当x=m 时,则有2am bm c a b c ++≥++,∴2am bm a b +≥+,故此选项正确;①正确的说法有①①①①①共5个.故选:D .【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、方程、不等式之间的知识点,要掌握如何利用图像上的信息确定字母系数的范围,并记住特殊值的特殊用法,如x=1,x=-1时对应的y 值是解题的关键.19.D【分析】结合图形、利用数形结合思想解答.【详解】由函数图象可知,当x >4时,y 1>y 2,A 是真命题;当x <-1时,y 1>y 2,C 是真命题;当y 1<y 2时,0<x <4,C 是真命题;y 1>y 2时,x <0或x >4,D 是假命题;故选D .【点睛】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.20.D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号;根据对称轴求出b=-a ;把x=2代入函数关系式,结合图象判断函数值与0的大小关. .【详解】:①二次函数的图象开口向下,①a<0,①二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点,①c>0,①对称轴是直线x=12,①−2b a =12, ①b=−a>0,①abc<0.故A 错误;①抛物线与x 轴有两个交点,①b 2-4ac>0, 故B 错误①b=−a ,①a+b=0,故C 错误;故答案选D【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系,解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.21.1y x= 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答. 【详解】解:该题答案不唯一,可以为1y x=等. 故答案为:1y x =. 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质,熟知函数的增减性是解答此题的关键.22.()6,9-【分析】直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.【详解】解:()269y x =-++的顶点为()6,9-, 故答案为:()6,9-.【点睛】本题考查了抛物线顶点式解析式的顶点坐标,解题关键是理解抛物线()()20y a x h k a =-+≠的顶点坐标为()h k ,. 23.2x =-【分析】将题目的解析式化为顶点式,即可得到该抛物线的对称轴,本题得以解决.【详解】解:①抛物线2244(2)8y x x x =+-=+-,①该抛物线的对称轴是直线2x =-,故答案为:2x =-.【点睛】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.24.(1,-2)【分析】对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ,. 【详解】由y =-(x -1)2-2,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为()12-,故答案为:()12-,. 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标;对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ,,掌握顶点式是解题的关键.25.-1【详解】①二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1,1),①a+b−1=1,①a+b=2,①1−a−b=1−(a+b)=1−2=−1.故答案为-1.26.()22y x =+或244y x x =++【分析】根据函数的平移规律:左加右减;上加下减即可求解.【详解】解:①抛物线2y x 向左平移2个单位,①平移后抛物线的解析式为()22y x =+故答案为:()22y x =+【点睛】本题考查了抛物线的平移变换,熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键. 27.x =3【分析】因为点(1,4),(5,4)的纵坐标都为4,所以可判定是一对对称点,把两点的横坐标代入公式x =122x x +求解即可.【详解】解:抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是(1,4),(5,4), ①两交点关于抛物线的对称轴对称,则此抛物线的对称轴是直线x =1532+=,即x =3. 故答案为:3.【点睛】本题考查抛物线与x 轴的平行线交点问题.掌握抛物线的性质,会利用关于对称轴对称的两点坐标求对称轴是解题关键.28.126y ≤≤【分析】先化为顶点式,然后根据二次函数的性质求解即可.【详解】解:①2245(2)1y x x x =-+=-+,①抛物线开口向上,对称轴为直线=2x ,函数有最小值1,当3x =-时,26y =,当=4x 时, 5.y =,①当34x -≤≤时,y 的取值范围是126y ≤≤;故答案为:126y ≤≤.【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,熟知二次函数的性质是解题的关键.29.14m >-且0m ≠ 【分析】根据题意可得0m ≠,且判别式0∆>,求解不等式即可.【详解】解:①二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点①0m ≠,且判别式240b ac ∆=->①14(1)0m ∆=-⨯⨯->,0m ≠ 解得14m >-且0m ≠ 故答案为:14m >-且0m ≠ 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题,掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键.30. 45°; 2【分析】(1)分别求出A,B,C 的坐标,得到OB OC =,故可求解;(2)先求出直线l 的解析式,再得到M,N 的坐标即可求解.【详解】(1)当0y =时,2230x x --=,解得11x =-,23x =,①点A 在点B 的左侧, ①点A 坐标为()1,0-,点B 坐标为()3,0.当0x =时,=3y -,①点C 坐标为()0,3-,①OB OC =,①=45ABC ∠︒.(2)设直线l 的函数表达式为y kx b =+,根据题意得303k b b +=⎧⎨=-⎩,解得13k b =⎧⎨=-⎩, ①直线l 的函数表达式为3y x =-;当2x =时,31=-=-y x ,①点N 的坐标为2,1;当2x =时,22232433=--=--=-y x x ,①点M 的坐标为()2,3-;①()132=---=MN .故答案为:45°;2.【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数综合,解题的关键是求出各点坐标. 31.m=2【分析】根据图像的旋转变化规律及二次函数的平移规律得出平移后的解析式,进而即可求值.【详解】①一段抛物线:y =﹣x (x ﹣3)(0≤x≤3),①点O (0,0),A 1(3,0)①将C 1绕点A 1旋转180°得C 2,交x 轴于点A 2;如此进行下去,直至得C 13.①C 13的解析式与x 轴的坐标为(36,0)、(39,0)①C 13的解析式为:y =﹣(x -36)(x -39)当x =37时,m=y =﹣1×(﹣2)=2故答案为:2【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律,解题的关键是得出二次函数平移后的解析式.32.y =2(x+2)2﹣5【分析】直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答.【详解】由“左加右减”的原则可知,将二次函数y =2x 2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:y =2(x+2)2,即y =2(x+1)2;由“上加下减”的原则可知,将抛物线y =2(x+2)2向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式为:y =2(x+2)2﹣5,即y =2(x+2)2﹣5.故答案为:y =2(x+2)2﹣5.【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.33.213y x x =【分析】首先过B 作x 轴的垂线,设垂足为M ,由已知易求得OA Rt①ABM 中,已知①OAB 的度数及AB 的长,即可求出AM 、BM 的长,进而可得到BC 、CD 的长,再连接OD ,证①ODE ①①AEF ,通过得到的比例线段,即可得出y 与x 的函数关系式.【详解】解:过B 作BM ①x 轴于M .在Rt①ABM 中,①AB =3,①BAM =45°,①AM =BM =2, ①BD =14OA ,OA ∴=,①BC =OA﹣AM =,CD =BC ﹣BD ,①D ,3OD ∴== . 连接OD ,则点D 在①COA 的平分线上,所以①DOE =①COD =45°.又①在梯形DOAB 中,①BAO =45°,①由三角形外角定理得:①ODE =①DEA ﹣45°,又①AEF =①DEA ﹣45°,①①ODE=①AEF ,①①ODE ①①AEF ,OE OD AF AE∴= 即x y =①y 与x 的解析式为:213y x =-.故答案为:213y x =-.【点睛】本题主要考查二次函数的应用,掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键.34.(1,﹣4)【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴,进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标.【详解】①抛物线过点(0,﹣3)和(2,﹣3),①抛物线的对称轴方程为直线x=022+=1,①当x=1时,y=﹣4,①抛物线的顶点坐标为(1,﹣4);故答案为(1,﹣4).【点睛】本题考查了二次函数的性质,掌握二次函数的对称性是解题的关键.35.(-1,7)【详解】先根据抛物线上点的特点求出点A的坐标,再利用抛物线的对称性即可得出答案.解:把点A(-3,m)代y=x2+4x+10得,m=(-3)2+4×(-3)+10=7,①点A(-3,7),①对称轴42 22ba-=-=-,①点A(-3,7)关于对称轴x=2的对称点坐标为(-1,7).故答案为(-1,7).36.11【分析】由图象关于y轴对称可知对称轴为x=0,由此可求解m的值;代入m值后,分别求解抛物线与x 轴的两个交点以及与y 轴的交点,利用三角形面积公式计算三角形面积.【详解】①图象关于y 轴对称,①对称轴为x=0, ①()211022m b m a --=-=-=- 解得m=1,代入原方程得:21y x =-+当y=0时,210x -+=,x=±1,当x=0时,y=1,则S △=2112⨯=. 【点睛】本题考查了二次函数对称轴及其与x 、y 轴的交点.37.①①①.【详解】试题解析:①x =-1时y =-1,x =0时,y =3,x =1时,y =5,①1{35a b c c a b c -+-++===,解得1{33a b c -===,①y =-x 2+3x +3,①ac =-1×3=-3<0,故①正确;对称轴为直线x =-33212=⨯-(), 所以,当x >32时,y 的值随x 值的增大而减小,故①错误; 当x =2时,y =-4+4+3=3;故①正确.方程为-x 2+2x +3=0,整理得,x 2-2x -3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以,3是方程ax 2+(b -1)x +c =0的一个根,正确,故①正确.综上所述,结论正确的是①①①.【点睛】本题考查了二次函数的性质,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的增减性,二次函数与不等式,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.38.①①①【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可.【详解】解:由抛物线开口向上,因此0a >, 对称轴是直线12b x a=-=-,因此a 、b 同号,所以0b >, 抛物线与y 轴的交点在负半轴,因此0c <. ,所以0abc <,故①不正确; 由对称轴12b x a=-=-可得2b a =, 由图象可知,当1x =时,0y a b c =++>,即20a a c ++>,30a c ∴+>,又0a >,40a c ∴+>,因此①正确;当=1x -时,y a b c =-+最小值,∴当()1x t t =≠-时,2a b c at bt c -+<++,即2a bt at b -<+,x t ∴=(t 为任意实数)时,有2a bt at b -≤+,因此①不正确;函数图象经过点()2,1,即421a b c ++=,而2b a =,231a b c ∴++=,311222a b c ∴++=, 因此①正确;当函数图象经过()2,1时,方程21ax bx c ++=的两根为1x ,212()x x x <,而对称轴为=1x -, 14x ∴=-,22x =,122448x x ∴-=--=-,因此①正确;综上所述,正确的结论有:①①①,故答案为:①①①.【点睛】本查二次函数的图象和性质,掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a 、b 、c 的关系以及二次函数与一元二次方程的根的关系是正确判断的前提. 39.8【分析】由已知可证明①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH (SAS ),再证明四边形EFGH 是正方形,设AE =x ,则AH =DG =BE =CF =4﹣x ,在Rt①EAH 中,由勾股定理得EH 2=x 2+(4﹣x )2,所以S 四边形EFGH =EH 2=2(x ﹣2)2+8,可知当x =2时,S 四边形EFGH 有最小值8,【详解】解:设AE =x ,则AE =BF =CG =DH =x ,①正方形ABCD ,边长为4,①AH =DG =BE =CF =4﹣x ,①A =①B =①C =①D =90°①①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH (SAS ),①①AEH +①BEF =90°,①EFB +①GFC =90°,①FGC +①HGD =90°,①①HEF =①EFG =①FGH =90°,①EF =EH =HG =FG ,①四边形EFGH 是正方形,在Rt ①EAH 中,EH 2=AE 2+AH 2,即EH 2=x 2+(4﹣x )2,①S 四边形EFGH =EH 2=2x 2﹣8x +16=2(x ﹣2)2+8,当x =2时,S 四边形EFGH 有最小值8,故答案为:8.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,正方形的性质和二次函数的实际应用,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.40.53【分析】通过作辅助线,连接CO ,过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ,先证明AOB 与ACP 相似,得到ABP AOC ∠∠=,再证QDA 与CAO 相似,设出点Q 的坐标,通过相似比即可求出点Q 坐标.【详解】如图,连接CO ,过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ,。
最新初中数学二次函数知识点训练及答案一、选择题1.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,有以下结论:①a +b +c <0;②a ﹣b +c >1;③abc >0;④9a ﹣3b +c <0;⑤c ﹣a >1.其中所有正确结论的序号是( )A .①②B .①③④C .①②③④D .①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号,再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值,然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可.【详解】由图象可知,a <0,c=1,对称轴:x=b12a-=-, ∴b=2a , ①由图可知:当x=1时,y <0,∴a+b+c <0,正确;②由图可知:当x=−1时,y >1,∴a −b+c >1,正确;③abc=2a 2>0,正确;④由图可知:当x=−3时,y <0,∴9a −3b+c <0,正确;⑤c−a=1−a >1,正确;∴①②③④⑤正确.故选:D .【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( )A .0<t <5B .﹣4≤t <5C .﹣4≤t <0D .t ≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解;【详解】解:∵对称轴为直线x =2,∴b =﹣4,∴y =x 2﹣4x ,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4,∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5,∴﹣4≤t <5;故选:B .【点睛】本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键.3.已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线一定过原点;②方程()200++=≠ax bx c a 的解为0x =或4;③0a b c -+<;④当04x <<时,20ax bx c ++<;⑤当2x <时,y 随x 增大而增大.其中结论正确的个数有( )A .1B .2C .3D .4【答案】D【解析】【分析】 根据题意,求得,,a b c ,根据二次函数的图像和性质,结合选项进行逐一分析,即可判断.【详解】 由题可知22b a-=,与x 轴的一个交点坐标为(4,0),则另一个交点坐标为()0,0, 故可得1640a b c ++=,0c =,故可得4,0a b c -==①因为0c =,故①正确;②因为二次函数过点()()0,0,4,0,故②正确;③当1x =-时,函数值为0a b c -+<,故③正确;④由图可知,当04x <<时,0y <,故④正确;⑤由图可知,当2x <时,y 随x 增大而减小,故⑤错误;故选:D.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质,涉及二次函数的增减性,属综合中档题.4.如图是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,m ),且与x 铀的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①abc >0;②a ﹣b +c >0;③b 2=4a (c ﹣m );④一元二次方程ax 2+bx +c =m +1有两个不相等的实数根,其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ,b ,c 的正负;根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点;根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解.【详解】∵函数的图象开口向上,与y 轴交于负半轴∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1 ∴b<0∴abc >0;①正确;∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.∴当x=-1时,y<0,即a-b+c<0,所以②不正确;∵抛物线的顶点坐标为(1,m ), ∴244ac b a - =m ,∴b 2=4ac-4am=4a (c-m ),所以③正确;∵抛物线与直线y=m 有一个公共点,∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点,∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根,所以④正确.故选:C .【点睛】考核知识点:抛物线与一元二次方程.理解二次函数性质,弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键.5.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(-1,0)和点(3,0),有下列说法:①bc <0;②a +b +c >0;③2a +b =0;④4ac >b 2.其中错误的是( )A .②④B .①③④C .①②④D .②③④【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线开口方向得到0a >,利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <,利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <,则可对A 进行判断;利用当1x =时,0y <可对B 进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=,则可对C 进行判断;根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断.【详解】解:Q 抛物线开口向上, 0a ∴>,Q 对称轴在y 轴的右侧,a ∴和b 异号,0b ∴<,Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,0c ∴<,0bc ∴>,所以①错误;Q 当1x =时,0y <,0a b c ∴++<,所以②错误;Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0),∴抛物线的对称轴为直线1x =,即12b a-=, 20a b ∴+=,所以③正确;Q 抛物线与x 轴有2个交点,∴△240b ac =->,即24ac b <,所以④错误.综上所述:③正确;①②④错误.故选:C .【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置(左同右异).常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c .抛物线与x 轴交点个数由△决定.6.如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1,当y >0时,x 的取值范围是( )A .﹣1<x <1B .﹣3<x <﹣1C .x <1D .﹣3<x <1【答案】D【解析】【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标,即可得到答案.【详解】解:∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1,∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是(﹣3,0),∴当y >0时,x 的取值范围是﹣3<x <1.所以答案为:D .【点睛】此题考查抛物线的性质,利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.7.如图是抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的部分图象,其顶点是(1,n ),且与x 的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①a -b+c >0;②3a+b=0;③b 2=4a (c-n );④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间,则当x=-1时,y>0,于是可对①进行判断;利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1,即b=-2a ,则可对②进行判断;利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ,则可对③进行判断;由于抛物线与直线y=n 有一个公共点,则抛物线与直线y=n-1有2个公共点,于是可对④进行判断.【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.∴当x=-1时,y >0,即a-b+c >0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1,即b=-2a , ∴3a+b=3a-2a=a ,所以②错误;∵抛物线的顶点坐标为(1,n ), ∴244ac b a-=n , ∴b 2=4ac-4an=4a (c-n ),所以③正确;∵抛物线与直线y=n 有一个公共点,∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点,∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,所以④正确.故选C .【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系,熟练掌握二次函数性质是解题的关键.8.已知抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B ,将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,若四边形''ABA B 为矩形,则c 的值为( )A .3-B .3C .32D .52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2,c-4),B(0,c),'(24),'(0)A c B c ---,,,,结合矩形的性质,列出关于c 的方程,即可求解.【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B , ∴A(2,c-4),B(0,c),∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,∴'(24),'(0)A c B c ---,,,, ∵四边形''ABA B 为矩形,∴''AA BB =,∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=,解得:52c =. 故选D .【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质,掌握二次函数图象上点的坐标特征,关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等,是解题的关键.9.将抛物线y =x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上,如图所示,则两条抛物线.直线y =﹣3和x 轴围成的图形的面积S (图中阴影部分)是( )A .5B .6C .7D .8【答案】B【解析】【分析】 B ,C 分别是顶点,A 是抛物线与x 轴的一个交点,连接OC ,AB ,阴影部分的面积就是平行四边形ABCO 的面积.【详解】抛物线y =x 2﹣4x +1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y 轴上,此时顶点B(0,-3),点A 是抛物线与x 轴的一个交点,连接OC ,AB ,如图,阴影部分的面积就是ABCO 的面积,S=2×3=6;故选:B .【点睛】本题考查二次函数图象的性质,阴影部分的面积;能够将面积进行转化是解题的关键.10.二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表: x ···1- 0 1 3 ··· y··· 1- 3 5 3··· 下列结论错误的是( )A .0ac <B .3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根;C .当1x >时,y 的值随x 值的增大而减小;D .当13x -<<时,()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表,可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断.【详解】解:根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知:当1x =-时,1y =-,即1a b c -+=-,当0x =时,3y =,即3c =,当1x =时,5y =,即5a b c ++=,联立以上方程:135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴233y x x =-++;A 、1330=-⨯=-<ac ,故本选项正确;B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=, 将3x =代入得:232339630-+⨯+=-++=,∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确; C 、233y x x =-++化为顶点式得:2321()24=--+y x , ∵10a =-<,则抛物线的开口向下, ∴当32x >时,y 的值随x 值的增大而减小;当32x <时,y 的值随x 值的增大而增大;故本选项错误; D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>,令2y x 2x 3=-++, 由二次函数的图象可得:当0y >时,13x -<<,故本选项正确;故选:C .【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.11.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,动点P 从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动,当P 运动到B 点时,P Q 、点同时停止运动.设P 点运动的时间为t 秒,APQ ∆的面积为S ,则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动,点Q 在BC 上运动;②点P 在AB 上运动,点Q 在CD 上运动,依次得出S 与t 的关系式,即可判断得出答案.【详解】解:当点P 在AB 上运动,点Q 在BC 上运动时,此时,,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ,函数图象为抛物线; 当点P 在AB 上运动,点Q 在BC 上运动时,此时,AP t =,APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ,函数图象为一次函数; 故选:D .【点睛】本题考查的知识点是函数图象,理解题意,分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键.12.抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示,下列判断中:①abc <0;②a +b +c >0;③5a -c =0;④当x <或x >6时,y 1>y 2,其中正确的个数有( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解:根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知:a >0,b <0,c >0,则abc <0,则①正确;根据图形可得:当x=1时函数值为零,则a+b+c=0,则②错误; 根据函数对称轴可得:-2b a=3,则b=-6a ,根据a+b+c=0可知:a-6a+c=0,-5a+c=0,则5a-c=0,则③正确;根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛:本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系,属于中等题目,如果函数开口向上,则a 大于零,如果函数开口向下,则a 小于零;如果函数的对称轴在y 轴左边,则b 的符号与a 相同,如果函数的对称轴在y 轴右边,则b 的符号与a 相反;如果函数与x 轴交于正半轴,则c 大于零,如果函数与x 轴交于负半轴,则c 小于零;对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时,我们需要找具体的值进行代入从而得出答案;对于两个函数值的大小比较,我们一般以函数的交点为分界线,然后进行分情况讨论.13.如图,坐标平面上,二次函数y =﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其顶点为D ,且k >0.若△ABC 与△ABD 的面积比为1:4,则k 值为何?( )A .1B .12C .43D .45【答案】D【解析】【分析】 求出顶点和C 的坐标,由三角形的面积关系得出关于k 的方程,解方程即可.【详解】解:∵y =﹣x 2+4x ﹣k =﹣(x ﹣2)2+4﹣k ,∴顶点D(2,4﹣k),C(0,﹣k),∴OC =k ,∵△ABC 的面积=12AB•OC =12AB•k ,△ABD 的面积=12AB(4﹣k),△ABC 与△ABD 的面积比为1:4, ∴k =14(4﹣k), 解得:k =45. 故选:D .【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式;根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键.14.四位同学在研究函数2y x bx c =++(,b c 是常数)时,甲发现当1x =时,函数有最小值;乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当2x =时,4y =,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( ) A .甲B .乙C .丙D .丁【答案】B【解析】【分析】利用假设法逐一分析,分别求出二次函数的解析式,再判断与假设是否矛盾即可得出结论.【详解】解:A .假设甲同学的结论错误,则乙、丙、丁的结论都正确由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+⎧⎨=++⎩解得:1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为:221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x ∴当x=16-时,y 的最小值为2536-,与丙的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意;B .假设乙同学的结论错误,则甲、丙、丁的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=2时,解得y=4,当x=-1时,y=7≠0∴此时符合假设条件,故本选项符合题意;C . 假设丙同学的结论错误,则甲、乙、丁的结论都正确由甲乙的结论可得 1201b b c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得:23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时,解得:y=-3,与丁的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意; D . 假设丁同学的结论错误,则甲、乙、丙的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时,解得y=7≠0,与乙的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意. 故选B .【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式,利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键.15.如图,已知点A (4,0),O 为坐标原点,P 是线段OA 上任意一点(不含端点O ,A ),过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B 、C ,射线OB 与AC 相交于点D .当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于()A 5B 453C .3D .4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B 作BF ⊥OA 于F ,过D 作DE ⊥OA 于E ,过C 作CM ⊥OA 于M ,∵BF ⊥OA ,DE ⊥OA ,CM ⊥OA ,∴BF ∥DE ∥CM .∵OD=AD=3,DE ⊥OA ,∴OE=EA=12OA=2. 由勾股定理得:5设P (2x ,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ,∵BF ∥DE ∥CM ,∴△OBF ∽△ODE ,△ACM ∽△ADE . ∴BF OF CM AM DE OE DE AE ==,x 2x 2255-,,解得:)52x 5BF x CM 2-==,. ∴5.故选A .16.二次函数2y ax bx c =++(,,a b c 是常数,0a ≠)的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表: x… 2- 1- 0 1 2 … 2y ax bx c =++ … t m 2- 2- n … 且当12x =-时,与其对应的函数值0y >.有下列结论:①0abc >;②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根;③0m <203n +<.其中,正确结论的个数是( ) A .0B .1C .2D .3【答案】C【解析】【分析】首先确定对称轴,然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解.【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2∴抛物线的对称轴是:x=-2b a =12; ∴a 、b 异号,且b=-a ;∵当x=0时y=c=-2∴c 0<∴abc >0,故①正确;∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根;故②正确;∵b=-a ,c=-2∴二次函数解析式:2-a -2=y ax x∵当12x =-时,与其对应的函数值0y >. ∴3204a ->,∴a 83>; ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ,∴m=n=2a-2,∴m+n=4a-4203>;故③错误 故选:C .【点睛】本题考查了二次函数的综合题型,主要利用了二次函数图象与系数的关系,二次函数的对称性,二次函数与一元二次方程等知识点,要会利用数形结合的思想,根据给定自变量x 与函数值y 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键.17.在同一平面直角坐标系中,函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是( ) A . B .C .D .【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质,逐一进行判断.【详解】解:A.由一次函数图像可知a >0,因此二次函数图像开口向上,但对称轴302a -<应在y 轴左侧,故此选项错误;B. 由一次函数图像可知a <0,而由二次函数图像开口方向可知a >0,故此选项错误;C. 由一次函数图像可知a <0,因此二次函数图像开口向下,且对称轴302a->在y 轴右侧,故此选项正确;D. 由一次函数图像可知a >0,而由二次函数图像开口方向可知a <0,故此选项错误; 故选:C .【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质,解题的关键是利用数形结合思想分析图像,本题属于中等题型.18.在平面直角坐标系中,点P 的坐标为()1,2,将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次,使其经过点P ,则平移的最短距离为( )A .12B .1C .5D .52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标,求出平移距离,即可得出选项.【详解】 解:21322y x x =-+=()215322x --, 当沿水平方向平移时,纵坐标和P 的纵坐标相同,把y=2代入得:解得:x=0或6,平移的最短距离为1-0=1;当沿竖直方向平移时,横坐标和P 的横坐标相同,把x=1代入得:解得:y=12-, 平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭, 即平移的最短距离是1,故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键.19.平移抛物线y =﹣(x ﹣1)(x +3),下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点( )A .向左平移1个单位B .向上平移3个单位C .向右平移3个单位D .向下平移3个单位 【答案】B【解析】【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式,然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解:y =﹣(x ﹣1)(x +3)=-(x+1)2+4A 、向左平移1个单位后的解析式为:y =-(x+2)2+4,当x=0时,y=0,即该抛物线经过原点,故本选项不符合题意;B 、向上平移3个单位后的解析式为:y=-(x+1)2+7,当x=0时,y=3,即该抛物线不经过原点,故本选项符合题意;C 、向右平移3个单位后的解析式为:y=-(x-2)2+4,当x=0时,y=0,即该抛物线经过原点,故本选项不符合题意.;D 、向下平移3个单位后的解析式为:y=-(x+1)2+1,当x=0时,y=0,即该抛物线经过原点,故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移,函数图像平移规律:上移加,下移减,左移加,右移减.20.在同一坐标系中,二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组,若有解,则图象有交点,若无解,则图象无交点;根据二次函数的对称轴在y左侧,a,b同号,对称轴在y轴右侧a,b异号,以及当a大于0时开口向上,当a小于0时开口向下,来分析二次函数;同时在假定二次函数图象正确的前提下,根据一次函数的一次项系数为正,图象从左向右逐渐上升,一次项系数为负,图象从左向右逐渐下降;一次函数的常数项为正,交y轴于正半轴,常数项为负,交y轴于负半轴.如此分析下来,二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案.【详解】解:由方程组2y ax bxy bx a⎧=+⎨=-⎩得ax2=−a,∵a≠0∴x2=−1,该方程无实数根,故二次函数与一次函数图象无交点,排除B.A:二次函数开口向上,说明a>0,对称轴在y轴右侧,则b<0;但是一次函数b为一次项系数,图象显示从左向右上升,b>0,两者矛盾,故A错;C:二次函数开口向上,说明a>0,对称轴在y轴右侧,则b<0;b为一次函数的一次项系数,图象显示从左向右下降,b<0,两者相符,故C正确;D:二次函数的图象应过原点,此选项不符,故D错.故选C.【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题,必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系,a,b的符号与对称轴的位置关系,并结合一次函数的相关性质进行分析,本题中等难度偏上.。