新编人教版八年级数学上册1312线段的垂直平分线的性质PPT课件

线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等．
A
P3 P2
P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB，
垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB+BD与DE 有什么关系？
解：∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC．
∵ 点C 在AE 的垂直平 分线上，
A
∴ AC =CE．
∴ AB =AC =CE．
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．B D C
A
D
E
P C
B
证明：连结PB。
A D
∵ PD是AB的垂直平分线（已知）
∴ PA=PB（线段的垂直平分线 上的点和这条线段的两个端点的 B 距离相等）
∵ PA=PC（已知）
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
P
在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、 A
E
即 AB +BD =DE ．
例1、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB， 1) 若BD＝10，则AD= 10 。 2) 若∠A＝50°，则∠ABD＝ 50°。 3) 若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC= 10 。
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便
于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
• 线段垂直平分线的判定定理的已知条件是一个点与一线 段两端点的距离相等，结论是这个点在线段的垂直平分 线上．
• 线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要 方法；线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关 系（垂直平分）．
A
1、∵ AD为BC的中垂，线
B
∴AB＝AC（ 线__段_垂__直__平_分__线__上_的__点__与_这__条__线_段）
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系．
P3
相等．
P2
你能用不同的方法验证
这一结论吗？
A
P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段 AB 两个端点的距离相等吗？
P
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
A C
B
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
探索并证明线段垂直平分线的判定
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
P
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相
人教版八年级数学 上册
13.1 轴对称 （第2课时）
课件说明
• 学习目标： 1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问 题． 3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线， 了解作图的道理．
• 学习重点： 线段垂直平分线的性质．ຫໍສະໝຸດ 索并证明线段垂直平分线的性质B
L
高速公路
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？
P 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
M
A
D
B
N
课堂练习
练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段
BC 的垂直平分线吗？ A
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线．
∵ MB =MC， ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上，
M
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
B
D
C
知识应用
在⊿ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂 直平分线，并相交于点P，求证：点P也在 BC的垂直平分线上。
C
B
B 的距离相等的所有点的集合．
辨析：
性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端 点距离都相等。 判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与 线段两个端点距离相等的所有点的 集合。
线段垂直平分线的性质与判定定理的区别
• 二者是互逆定理，线段垂直平分线的性质定理的已知条 件是线段垂直平分线，结论是垂直平分线上的点与这条 线段两端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．
提示:这个结论是经常用来证明 两条线段相等的根据之一.
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于___8___．
A
B
DE
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的
∴ ∠PCA =∠PCB= 90° ．
在△APC与△BPC中
PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证）
AC=BC（已知）
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
l
∴ PA =PB(全等三角形的对应边相等)． P
用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
A
∴ PA =PB．
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
两个端点的距离相等．
D
C
2、∵ _______A_B__＝__A_C__________ ，
∴ A在线段BC的中垂线上（与_一__条__线__段__两__个__端__点__距__离__相等的
_______ ）
点，在这条线段的垂直平分线上。
3、如图， NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有：①②③。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③ MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是