概率论与数理统计试题(A卷)

特别提示：自信考试 诚信做人临沂大学2018-2019学年第二学期《概率论与数理统计》试题（A 卷）（适用于2017级2018级普通本科学生，闭卷考试 时间120分钟） 1．设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是 【 】(A) ()()1P A P B =-； (B) ()()P A B P B -=； (C) ()()()P AB P A P B =；(D) ()()P A B P A -=．2．()F x 是连续型随机变量X 的分布函数,则下列陈述错误的是 【 】 (A) 0()1≤≤F x ； (B) ()F x 单调不减；(C) ()F x 处处可导； (D) lim ()1→+∞=x F x .3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 {0,0}P X Y ===0.1 ,{0,1}P XY ===0.1,{1,0},{1,1},P X Y a P X Y b ======且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是【 】(A) 0.2,0.6==a b ; (B) 0.1,0.9=-=a b ； (C) 0.4,0.4==a b ； (D) 0.6,0.2==a b ．4．设（X ，Y ）为二维随机变量，且D （X ）>0，D （Y ）>0，则下列等式成立的是【 】(A) ·E XY E X E Y =（）（）（）； (B) Cov (,)ρ=XY X Y ； (C) D X Y D X D Y +=+（）（）（）； (D) Cov 2,22Cov ,X Y X Y =（）（）． 5．设随机变量X 与Y 相互独立且都服从(0,1)N ，则~22Y X + 【 】 (A) )2,0(N ； (B) )2(2χ； (C) )2(t ； (D))1,1(F ．1. 设事件A 与B 相互独立，且()()=3P A P B =，则()P A B =____.2. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布, 则P {X =2}=_______.3. 设二维随机变量(X , Y )的分布律为则{}Y 2+≤P X =___________.4. 设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，且0ρ=，则(2)D X Y +=____________. 5. 设(1,4)XN ，则2()E X =____________.注意：以下各题都要写出必要的计算步骤或推导过程，直接写出答案者不得分．1. 已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机的挑选一人,恰好是色盲者,问此人是男性的概率是多少？特别提示：自信考试 诚信做人2.设连续型随机变量X 的概率密度为()2,010,x x f x <<⎧=⎨⎩其他求（1）分布函数()F x （2）数学期望()E X．3. 设K 服从(0, 5)上的均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率4. 设随机向量(,)X Y 的联合概率密度为：(2),0,0(,)0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，（1）试确定常数k ；（2）求Z X Y =+的密度函数．5. 设随机变量X 具有概率密度/8,04,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它 试求随机变量28Y X =+的概率密度.6. 设总体X 的概率密度为1,01,(;)0,.x f x θ<<=⎪⎩其它其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求θ的矩估计量.特别提示：自信考试 诚信做人临沂大学2018-2019学年第二学期《概率论与数理统计》试题（A 卷）参考答案与平分标准（适用于2017级2018级普通本科学生，闭卷考试 时间120分钟） 1．设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是 【D 】(A) ()()1P A P B =-； (B) ()()P A B P B -=； (C) ()()()P AB P A P B =；(D) ()()P A B P A -=．2．()F x 是连续型随机变量X 的分布函数,则下列陈述错误的是 【C 】 (A) 0()1≤≤F x ； (B) ()F x 单调不减；(C) ()F x 处处可导； (D) lim ()1→+∞=x F x .3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 {0,0}P X Y ===0.1 ,{0,1}P X Y===0.1,{1,0},{1,1},P X Y a P X Y b ======且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是【C 】(A) 0.2,0.6==a b ; (B) 0.1,0.9=-=a b ； (C) 0.4,0.4==a b ； (D) 0.6,0.2==a b ．4．设（X ，Y ）为二维随机变量，且D （X ）>0，D （Y ）>0，则下列等式成立的是【B 】(A) ·E XY E X E Y =（）（）（）； (B) Cov (,)ρ=XY X Y ； (C) D X Y D X D Y +=+（）（）（）； (D) Cov 2,22Cov ,X Y X Y =（）（）． 5．设随机变量X 与Y 相互独立且都服从(0,1)N ，则~22Y X + 【B 】 (A) )2,0(N ； (B) )2(2χ； (C) )2(t ； (D))1,1(F ．1. 设事件A 与B 相互独立，且()()=3P A P B =，则()P A B =__7/9__.2. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布, 则P {X =2}=392-.3. 设二维随机变量(X , Y )的分布律为则{}Y 2+≤P X =__0.6_.4. 设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，且0ρ=，则(2)D X Y + =22124σσ+.5. 设(1,4)X N ，则2()E X =___5___.注意：以下各题都要写出必要的计算步骤或推导过程，直接写出答案者不得分．1. 已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机的挑选一人,恰好是色盲者,问此人是男性的概率是多少？特别提示：自信考试 诚信做人解 设1A =”选到的人是男性”, 2A =”选到的人是女性”, B =”选到的人是色盲患者”, 则有12()0.5,()0.5;P A P A ==12(B|)0.05,()0.025;P A P A ==…………5分则有贝叶斯公式得1111122()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+0.50.0520.0.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯…………10分2.设连续型随机变量X 的概率密度为()2,010,x x f x <<⎧=⎨⎩其他求（1）分布函数()F x （2）数学期望()E X ．解 (1) 首先()(),xF x f t dt -∞=⎰ 于是当0x ≤时, ()0F x =,当01x <<时, ()202,xF x tdt x ==⎰当1x ≥时, ()1()2 1.x F x f t dt tdt -∞===⎰⎰,于是()20,0,,01,1, 1.x F x x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩………5分(2) 1202()()2.3+∞-∞===⎰⎰E X xf x dx x dx ………10分3. 设K 服从(0, 5)上的均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率解 方程02442=+++K xK x 有实根这一事件可表示为2{1616(2)0}K K -+≥,即{12}k K ≤-≥或..因为K 服从(0, 5)上的均匀分布,其概率密度函数为1/5,05,()0,.k f k <<⎧=⎨⎩其它 于是,所求概率为5213{12}.55P k K ≤-≥==⎰或 4. 设随机向量(,)X Y 的联合概率密度为：(2),0,0(,)0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它， （1）试确定常数k ；（2）求Z X Y =+的密度函数． 解 (1) 根据概率密度函数的性质得(,)1+∞+∞-∞-∞=⎰⎰dx f x y dy ,另一方面,21(,),2+∞+∞+∞+∞---∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x y dx f x y dy k e dx e dy k于是 2.k =………5分(2) 设Z X Y =+的概率密度函数为()Z f z ,当0z <<+∞时, 根据两个随机变量和的概率密度公式得()2()220()(,)222.zzx z x x z z z Z f z f x z x dx edx e dx e e +∞-------∞=-===-⎰⎰⎰对于其它情况,都有()0Z f z =. 所以()22,0,()0,.z zZ e e z f z --⎧->⎪=⎨⎪⎩其它………10分 5. 设随机变量X 具有概率密度/8,04,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其它 试求随机变量28Y X =+的概率密度.解 方法一 设Y 的概率密度函数为()Y f y ,显然当0x ≤时, 8y ≤,当4x ≥时, 16y ≥, 所以当8y ≤或16y ≥时,有()0Y f y =. ………4分而当04x <<时, 28y x =+的取值范围是816y <<,且28y x =+的反函数为8,2y x -=且有1,2dx dy =于是此时应有88()232Y y dx y f y f dy--⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭.………4分特别提示：自信考试 诚信做人于是8,816,()320,.Y y y f y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它………10分方法二 设Y 的分布函数为()Y F y , 密度函数为().Y f y 显然当由分布函数的定义可得当8y ≤时,有8(){}{28}02Y y F y P Y y P X y P X -⎧⎫=≤=+≤=≤=⎨⎬⎩⎭,当816y <<时,有82208(8)(){}{28}2864y Y y x y F y P Y y P X y PX dx ---⎧⎫=≤=+≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰ 当16y ≥时,有408(){}{28}128Y y x F y P Y y P X y P X dx -⎧⎫=≤=+≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰于是20,8,(8)(),816,641,16.Y y y F y y y ≤⎧⎪-⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩………6分 所以8,816,()()320,.Y Y y y f y F y -⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其它………4分6. 设总体X 的概率密度为1,01,(;)0,.x f x θ<<=⎪⎩其它其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求θ的矩估计量.解 总体的数学期望为()(;)E X xf x dx θ+∞-∞===⎰⎰分设样本12,,,n X X X 的观察值为12,,,n x x x ,样本均值的观察值为x解方程x =θ的矩估计值为21x x θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.………8分相应的矩估计量为21X X θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.…………10分。

第1页(共3页)中国矿业大学(北京) 2017-2018 学年 第1 学期《概率论与数理统计》试卷（ A 卷）答案和评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1、设,A B 为两个事件，()0.4,()0.8,()0.5P A P B P AB ===，则(|)P B A =____0.75__________ 2、设随机变量X 在(3,3)-上服从均匀分布，关于t 的方程24420t Xt X +++=有实根的概率为______21_________ 3、设随机变量X 的概率密度函数为)(x f X ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y _____⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<⎪⎭⎫ ⎝⎛其他,00,13ln y y y f X ___________4、如果随机变量X 在)10,0(上服从均匀分布，现在对X 进行4次独立重复观测，至少有3次观测值大于5的概率为____516__________ 5、设随机变量X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且[(1)(2)]1E X X --=，则λ=______1_________6、设随机变量,X Y 相互独立，且都服从参数2θ=的指数分布，则{max{,}2}P X Y ≤=_____12(1)e --_________7、设随机变量X 的方差为2.5，由切比雪夫不等式估计概率{|()|7.5P X E X -≥≤____245_______ 8、设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 是该总体X 的一个样本，1211()n i i i c X X -+=-∑为2σ的无偏估计，则c =_______)1(21-n ___________9、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129,,X X X 和129,,,Y Y Y 分别来自正态总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量Y服从____)9(t ________分布10、设总体),(~2σμN X ，抽取容量16n =的样本n x x x ,,,21 ，经计算得均值,2.5=x 样本标准方差2=s ,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为_____)266.6,134.4(____________二、(10分)设工厂A 和工厂B 的产品次品率分别为1%和2%．现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品属于工厂A 生产的概率．解：设事件A 表示产品来自工厂A ，事件B 表示产品来自工厂B ，事件C 表示抽取到的产品是次品，则%1)|(=A C P ，%2)|(=B C P ，%60)(=A P ，%40)(=B P 5分从而73%2%40%1%60%1%60)|()()|()()|()()|(=∙+∙∙=+=B C P B P A C P A P A C P A P C A P 5分第2页(共3页)三、(12分)学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时．它的概率密度函数为21,0()20,cx x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）确定常数c ；（2）写出X 的分布函数；（3）试求出在20分钟以内完成一道作业的概率．解：（1）由概率密度函数的性质()122011()248c f x dx cx x dx +∞-∞==+=+⎰⎰ 解得21c = 4分（2）由2121,0()20,x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，则()2230001()()217022112xxx x F x f t dt t t dt x x x -∞⎧<⎪⎪⎪==+=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰ 4分 （3）1117()()3354P X F ≤==4分 四、(10分)设,X Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度函数分别是1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他 求随机变量Z X Y =+的概率密度函数．解：由卷积公式()()()X Y X Y f z f x f z x dx +∞+-∞=-⎰3分易知仅当010x z x ≤≤⎧⎨->⎩ 即 01x x z≤≤⎧⎨<⎩时被积函数不为零 2分()01()00,0()011zz x X Y z x z f z e dx z e dx z --+--⎧<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰ 3分即0,0()101(1)1zX Y z z f z ez e e z -+-<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩2分 五、(10分)设(Y X ,)具有概率密度为26,01,01(,),0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它 （1）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并判断,X Y 是否独立； （2） 求条件概率密度)(y x f YX．解：（1）1206201()(,)0X xy dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他12206301()(,)0Y xy dx y y f y f x y dx +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立 6分（2）当10<<y 时，⎩⎨⎧<<==取其他值x x x y f y x f y x f Y Y X ,010,2)(),()( 4分第3页(共3页)六、(10分)设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<=其他,010,3),(x y x y x f （1）求随机变量),(Y X 的协方差cov(,)X Y ； （2）求随机变量),(Y X 的相关系数． 解：（1）⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-====103233),()(1040210dx x ydy x dx dxdy y x xyf XY E x4333),()(1030210====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dy y x xf dx X E x83233),()(103010====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy xy dx dy y x yf dx Y E x则3cov(,)=()()()160X Y E XY E X E Y -= 5分（2）5333),()(104031022====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dy y x f x dx X E x513),()(104021022====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy xy dx dy y x f y dx Y E x8034353)()()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D320198351)()()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D 193)()(),(==Y D X D Y X Cov ρ 5分 七、(8分)一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须84个部件正常工作，求整个系统起作用的概率．解：设X 表示正常工作的部件个数，则~(100,0.9)X B ，由棣莫弗-拉普拉斯定理，近似服从(0,1)N 分布， 4分则()()908490(84)1(84)11220.977233X P X P X P --⎛⎫≥=-<=-<≈-Φ-=Φ= ⎪⎝⎭4分八、(10分)设总体X 的概率密度函数为23,0,(,)0,.x e x f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的最大似然估计量．解：（1）由于22320()xxx E X xe dx e dx e d x x x θθθθθθθθ---+∞+∞+∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰， 令X θ=，解得θ的矩估计量为11=ni i X X n θ==∑ 5分（2）似然函数为2311,0(1,2,,)()(,)0,.i n xni i i ii e x i n L f x x θθθθ-==⎧>=⎪==⎨⎪⎩∏∏其他当0(1,2,,)i x i n >=时，()L θ=231inx i iexθθ-=∏，两边取对数31ln ()2ln ln ni i i L x x θθθ=⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑令11ln ()21210n n i i i i d L n d x x θθθθ==⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦∑∑，解得θ的最大似然估计量为12=1ni inX θ=∑ 5分第4页(共3页)。

2023─2024学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每空3分，共30分)1．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量.2．设随机变量X 具有数学期望()E X μ=与方差2()D X σ=，则有切比雪夫不等式{}2P X μσ-≥≤14.3．设X 为连续型随机变量,a 为实常数，则概率{}P X a ==0.4．设X 的分布律为,{}1,2,k k P X x p k === ，2Y X =,若1nkk k xp ∞=∑绝对收敛(n为正整数),则()E Y =21kk k xp ∞=∑.5．某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为17.6．设X 服从参数为λ的poisson 分布,则(2)E X =2λ.7．设(2,3)Y N ，则数学期望2()E Y =7.8．(,)X Y 为二维随机变量,概率密度为(,)f x y ,X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 的积分表达式为(())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰.9．设X 为总体N （3，4）中抽取的样本14,,X X 的均值,则{}15P X ≤≤＝2(2)1Φ-.(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示)10.随机变量2(0,)X N σ ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，221()(1)ni i Y k X χ==∑ ,则常数k =21n σ.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分)题略解：用A B C 、、，分别表示三人译出该份密码,所求概率为P A B C （）（2分）由概率公式P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）（4分）1-1-1-p q r =1-（）（）（）（2分）2、(8分)设随机变量()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====，求数学期望()E X Y +与方差(23)D X Y -.解：(1)()E X Y +=E X E Y （）+（）=1+3=4（3分）(2)(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-（3分）8361244XY ρ=+--（2分）3、(8分)某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命i T 相互独立，记161ii T T ==∑，用中心极限定理计算{1920}P T ≥的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示).解：i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000（3分）{1920}0.8}1P T P ≥=≈-Φ（0.8）（5分）(4分)4、(10分)设随机变量X 具有概率密度11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它,21Y X =+.(1)求Y 的概率密度()Y f y ；(2)求概率312P Y ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.解:(1)12Y Y y F y y F y ≤>时（）=0,时（）=1（1分）A 卷第2页共4页212,{}{1}()d Y y F y P Y y P X y f x x<≤≤=+≤=（）=（2分）02d 1x x y ==-（2分）概率密度函数2()=Y Y y f y F y ≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它（2分）(2)3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222.（3分）5、(11分)设随机变量(,)X Y 具有概率分布如下,且{}1103P X Y X +===.XY-101013p114q112(1)求常数,p q ；(2)求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y ,并问X 与Y 是否独立?解:(1)1111134123p q p q ++++=+=，即（2分）由{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X pP X Y X P X P X p +====+========+，，（2分）可得16p q ==（1分）X 01Y -11P1212P7121614(2)EX 1（）=2,E Y 1（）=-3,E XY 1（）=-6（3分）,-Cov X Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0（2分）由..ij i j P P P ≠可知X 与Y 不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分)题略.A 卷第3页共4页证明:222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ-- ,22(1)X n S σ-相互独立（4分）2(1)Xt n - ,即(1)X t n - （4分）2、(10分)题略解：似然函数2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑（4分）由2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑可得221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑为2,μσ的最大似然估计(2分)由221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==可知11ˆni i x n μ==∑为μ的无偏估计量，2211ˆ()ni i x n σμ==-∑为2σ的有偏估计量(4分)3、(7分)题略解：01: 4.55: 4.55H H μμ=≠（2分）检验统计量x z =，拒绝域0.025 1.96z z ≥=（2分）而0.185 1.960.036z ==>（1分）因而拒绝域0H ，即不认为总体的均值仍为4.55（2分）A 卷第4页共4页。

2013-2014学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (A)一、 填空题（每小题4分，共32分）.1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A ⋃B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A ⋃B ) = _________.2．设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 3} = ______________. 3．设随机变量 X的分布函数为,2,1 21 ,6.011 ,3.01 ,0 )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=x x x x x F则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} =_________ .5．设随机变量 X 服从二项分布 b (50, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________.6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X - 2Y ) = _________.7．设随机变量 X 的数学期望 E (X ) = μ, 方差 D (X ) =σ2, 则由切比雪夫不等式有P{|X -μ| < 3σ} ≥_________________.8．从正态总体N(μ, 0.12) 随机抽取的容量为16 的简单随机样本, 测得样本均值5=x，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是____________________________. (用抽样分布的上侧分位点表示).二、选择题（只有一个正确答案，每小题3分，共18分）1．设A, B, C是三个随机变量，则事件“A, B, C不多于一个发生”的逆事件为( ).(A) A, B, C都发生(B) A, B, C至少有一个发生(C)A, B, C都不发生(D)A, B, C 至少有两个发生2．设随机变量X的概率密度为f (x), 且满足f (x) = f (-x), F(x) 为X 的分布函数, 则对任意实数a, 下列式子中成立的是( ).(A)(B)(C)(D)3．设随机变量 X , Y 相互独立, 与 分别是X 与 Y 的分布函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y } 分布函数 为 ( ).(A) max{,} (B)+ -(C)(D)或4. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N (0, 1) 和 N (1, 1), 则 ( ).21}0{ )A (=≤+Y X P 21}1{ )B (=≤+Y X P 21}0{ )C (=≤-Y X P21}1{ )D (=≤-Y X P 5．对任意两个随机变量 X 和 Y , 若 E (XY ) = E (X )E (Y ), 则 ( ).(A) X 和 Y 独立 (B) X 和 Y 不独立(C) D (XY ) = D (X )D (Y ) (D) D (X + Y ) = D (X ) + D (Y )6．设 X 1, X 2, …, X n (n ≥ 3) 为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望 μ 的无偏估计量的是 ( ). (A)X(B) 0.1⨯ (6X 1 + 4X 2) (C)(D) X 1 + X 2 - X 3三、解答（本题 8 分）某大型连锁超市采购的某批商品中, 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂商的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件产品，(1) 求这件产品是次品的概率; (2) 若这件产品是次品, 求它是甲厂生产的概率?四、解答（本题8分）设连续型随机变量 X 的概率密度为，其他⎩⎨⎧<<= ,0 0,sin )(πx x A x f求: (1) 常数 A 的值; (2) 随机变量 X 的分布函数 F (x ); (3)}.23{ππ≤≤X P五、解答（本题10分）设二维随机变量 (X , Y ) 的联合概率密度为求: (1) 求 X , Y 的边缘概率密度 f X (x ), f Y (y ), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P { X + Y ≤ 1}.六、解答（本题8分）已知随机变量 X 分布律为X k -1 0 2 4 P k0.10.50.30.1求 E (X ), D (X ).七、（本题6分）设某供电区域中共有10000 盏电灯，夜晚每盏灯开着的概率均为 0.7，假设各灯开、关时间彼此独立，求夜晚同时开着的灯的数量在6800 至 7200 间的概率.(其中999999.0)36.4()2120(=≈ΦΦ).八、(10分) 设总体 X 的概率密度为，其他⎩⎨⎧<<+= ,010 ,)1()(x x x f θθ其中θ > -1 是未知参数， X 1,X 2, …, X n 为来自总体的一个简单随机样本，x 1, x 2, …, x n 为样本值, 求 θ 的矩估计量和极大似然估计量.参考答案： 一、填空题 1． 0.5 ；0.58 2． 2/5 3．4． 0.3 ；0.5 5． 10 ；8 6． 21 7． 8/9 8． )41.05,41.05(025.0025.0z z +-详解：4.因为0.5+0.2+a=1,所以 a=0.3 Y = 2X + 3所以P {Y > 5} =0.2+0.3=0.5二、选择题1. D2. A3. C4. B5. D6. C 详解：2. 因为⎰∞-=xtt f x F d )()( 故⎰-∞-=-att f a F d )()( 令u =-t⎰∞+--=-a u u f a F d )()(⎰+∞=au u f d )(⎰+∞=at t f d )(⎰-=at t f 0d )(21 (21d )(0=⎰+∞t t f ) 详解：4.因为X ~)1,0(N ,Y ~)1,1(N 所以 1)(=+Y X E ，2)(=+Y X D 故)()(Y X D Y X E Y X ++-+21-+=Y X ~)1,0(N 所以21}021{=≤-+Y X P 即 21}01{=≤-+Y X P 21}01{=≤-+Y X P三、解答题解：设A 事件表示“产品为次品”，B 1事件表示“是甲厂生产的产品”，B 2事件表示“是乙厂生产的产品”，B 3事件表示“是丙厂生产的产品”(1) 这件产品是次品的概率:)()()()()()()(332211B P B A P B P B A P B P B A P A P ++= 035.02.005.035.002.045.004.0=⨯+⨯+⨯=(2) 若这件产品是次品，求它是甲厂生产的概率:3518035.045.004.0)()()()(111=⨯==A PB P B A P A B P 四、解答题 解：(1) A x x A x x f 2d sin d )(10===⎰⎰∞∞-π21=∴A (2) ⎰∞-=xt t f x F d )()(0d 0d )()(0===≤⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F x 时，当)cos 1(21d sin 210d d )()(00x t t t t t f x F x xx-=+==<<⎰⎰⎰∞-∞-时，当π 10d d sin 210d d )()(0=++==≥⎰⎰⎰⎰∞-∞-x xt t t t t t f x F x πππ时，当 所以⎰∞-=xt t f x F d )()(=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤ππx x x x ,10),cos 1(210,0(3)414121)3()2(}23{=-=-=≤≤ππππF F X P 五、解答题 (1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-==⎰⎰∞∞-其它，020),2(21d )2(d ),()(10x x y y x y y x f x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-==⎰⎰∞∞-其它，010,2d )2(d ),()(20y y x y x x y x f y f Y因为 ),()()(y x f y f x f Y X =⋅，所以X 与Y 是相互独立的.(2)247d )1)(2(21d )2(d }1{1021010=--=-=≤+⎰⎰⎰-x x x y y x x Y X P x六、解答题1.043.025.001.01)(⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =0.9 1.043.025.001.0)1()(22222⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =2.9 2229.09.2])([)()(-=-=X E X E X D =2.09七、解答题解：设X 为夜晚灯开着的只数，则X ~)7.0,10000(b}72006800{≤≤X P }3.07.0100007.010********.07.0100007.0100003.07.0100007.010*******{⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=X P}21203.07.0100007.010*******{≤⨯⨯⨯-≤-=X P 1)2120(2)]2120(1[)2120()2120()2120(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ≈999998.01999999.02=-⨯=八、解答题 解：(1) 矩估计法21d )1()(101++=+==⎰θθθμθx x x X E 11112μμθ--=∴∑===ni iX n X A 111 所以θ的矩估计量∧θXX --=112(2) 最大似然法似然函数θθi ni x L )1(1+∏==，10<<ixθθi ni x L )1(1+∏==θθi n i n x 1)1(=∏+=∑=++=ni ix n L 1ln )1ln(ln θθ∑=++=ni ix nL 1ln 1d ln d θθ 令0d ln d =θL得θ的最大似然估计值 ∧θ1ln 1--=∑=ni ixnθ的最大似然估计量 ∧θ1ln 1--=∑=ni iXn。

贵州大学2010-2011学年第二学期考试试卷(A)概率论与数理统计注意事项：1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。

2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。

4. 满分100分，考试时间为120分钟。

一、选择题（10个小题，每小题2分，共20分）1.已知(5,4)XN ,其均值与标准差分别为( ).①5，2 ②4，5 ③5，4④2，5 2．若假设检验为0H ,则下列说法正确的是（ ）.①0H 为真时拒绝0H 是犯第二类错误 ②0H 为假时接受0H 是犯第一类错误 ③0H 为真时拒绝0H 是犯第一类错误 ④以上说法都不对3．设随机变量X 与Y 独立且()(0),()4E X a a E XY =≠=，则()E Y =( ). ①4a ②4a③4a ④4a - 4．设两个相互独立随机变量ξ和η的方差分别为4和2，则32ξη-的方差为( ). ① 8 ② 16 ③ 28 ④ 44 5.已知1,2,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,其中μ已知，0σ>未知,则下列关于1,2,,n X X X 的函数中，( )不能作为统计量.①211n i i X n =∑②12max{,,}n X X X ③2211ni i X σ=∑④12min{,,}n X X X6．“事件发生的频率趋于事件发生的概率”的是( ).① 切比雪夫不等式②贝努利大数定律③中心极限定理④贝叶斯公式7．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,123,,X X X 为取自X 的容量为3的样本，则μ的三个估计量1123111333X X X μ=++, 2123255X X μ=+, 3123111236X X X μ=++ ①三个都不是μ的无偏估计②三个都是μ的无偏估计，1μ最有效③三个都是μ的无偏估计，2μ最有效④三个都是μ的无偏估计，3μ最有效 8．若A 与自身独立，则( ).①()0P A =②()1P A =③0()1P A <<④()0()1P A P A ==或 9．已知X 服从泊松分布，则()D X 与()E X 的关系为（ ）. ①()()D X E X >②()()D X E X <③()()D X E X =④以上都不是 10．下列说法错误的是 ( ).①,X Y 相互独立， 则,X Y 一定不相关 ②,X Y 不相关，则,X Y 不一定相互独立 ③对正态分布而言， 不相关和独立性是一致的 ④,X Y 不相关，则,X Y 一定相互独立二、填空题（10小题，每小题2分，共20分）1. 假设检验可分为两类，它们是（ ）和（）.2. 若检验的观察值落入拒绝域内，则应（）.3.出勤率和缺勤率之和等于(）. 4．随机变量主要分为（）和（）.5. 设随机变量ξ服从泊松分布，且(1)(2)P P ξξ===,则 (6)()P ξ==.6.某车床一天生产的零件中所含次品数ξ的概率分布如下表所示，则平均每天生产的次品数为（）.（题6表格）7．设ξ服从0-1分布，且(1)P ξ=是(0)P ξ=的三分之一，则(1)P ξ==（）． 8. 已知()0.3P A =，()0.5P B =，则当A 与B 互不相容时，则()P A B ⋃=()．9．已知()0.4P A =,()0.6P B A =,则()P AB =()． 10．设随机事件A 、B 满足关系B A ⊂,则()P A B ⋃=( )．三、简答题（5个小题，每小题4分，共20分）1.请写出贝努利大数定律的意义.2. 计算连续型随机变量的数学期望,它的密度函数为 (请写出详细过程),1,10()1,010x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它3．已知2,01()0.y y Yf y <<⎧=⎨⎩其它 ,求().F y4．随机事件的定义域与值域分别是什么？5．设总体X 的概率分布为X 1 2 3k P 2θ2(1)θθ-2(1)θ-其中θ为未知参数.现抽得一个样本1231,2,1X X X ===,求θ的极大似然估计量.四、计算题（3个小题，每小题10分，共30分）1.设随机变量X 满足22[(1)]10,[(2)]6E X E X -=-=。

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。

共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为 分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。

福州大学《概率论与数理统计》试卷A附表： (Φ 2.5)=0.9937, (Φ3)=0.9987，09.2)19(025.0=t一、 单项选择(共18分,每小题3分)1．设随机变量X 的分布函数为()F x ，则以下说法错误的是( ) （A ）()()F x P X x =≤ （B ）当12x x <时，12()()F x F x < （C ）()1,()0F F +∞=-∞= （D ）()F x 是一个右连续的函数 2.设,A B 独立，则下面错误的是( )(A) B A ,独立 (B) B A ,独立 (C) )()()(B P A P B A P = (D)φ=AB 3. 设X 与Y 相互独立，且31)0()0(=≥=≥Y P X P ，则=≥)0},(max{Y X P ( ) （A ）91 （B ）95 （C ）98 （D ）314. 设128,,,X X X 和1210,,,Y Y Y 分别是来自正态总体()21,2N -和()2,5N 的样本，且相互独立，21S 和22S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是( )（A ）222152S S （B ） 212254S S （C ）222125S S （D ）222145S S5. 随机变量)5.0,1000(~B X ，由切比雪夫不等式估计≥<<)600400(X P ( ) (A)0.975 (B)0.025 (C)0.5 (D) 0.256.设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为X 的一组样本， X 为样本均值，2s 为样本方差，则下列统计量中服从)(2n χ分布的是（ ）.(A) 1--n s X μ (B) 22)1(σs n - (C) n s X μ- (D)∑=-ni iX122)(1μσ学院 专业 级 班 姓 名 学 号二．填空题（每空3分，共30分）1.某互联网站有10000个相互独立的用户，若每个用户在平时任一时刻访问网站的概率为0.2，则用中心极限定理求在任一时刻有1900-2100个用户访问该网站的概率为 .2. 已知c B A P b b B P a A p =≠==)(),1()(,)( ，则=)(B A P ，)(B A P = .3. 在区间)1,0(上随机取两点Y X ,，则Y X Z -=的概率密度为 . 4．设随机变量]2,1[~U X ，则23+=X Y 的概率密度()Y f y = .5．当均值μ未知时，正态总体方差2σ的置信度为α-1的置信区间是6.设随机变量 n X X X ,,,21相互独立且同分布，它的期望为μ，方差为2σ，令∑==n i i n X n Z 11，则对任意正数ε，有{}=≥-∞→εμn n Z P lim .7. 设)1(~P X （泊松分布），则==))((2X E X P .8. 设921,,,X X X 是来自总体]1,3[~N X 的样本，则样本均值X 在区间]3,2[取值的概率为 9. 设随机变量X 的分布为()()1,2,k P X k p k λ===，则λ= .三、计算题(每小题8分,共16分)1.城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从剩下的8台任购一台，求 （1）该顾客购到正品的概率.（2）若已知顾客购到的是正品，则已出售的两台都是次品的概率是多少？2．设顾客在银行的窗口等待服务的时间X (单位：min)服从参数为0.2的指数分布.假设某顾客在窗口等待时间超过10min 就离开.又知他一周要到银行3次，以Y 表示一周内未等到服务而离开窗口的次数，求).1(≥Y P四、计算题(每小题8分,共24分)1. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为,),(22-===n qp n Y m X P ;,2,1 =m;,2,1 ++=m m n ,10<<p 1=+q p ，求关于X 与Y 的边缘分布律.2．设随机变量),(Y X 满足,1)0(==XY P 且X 与Y 边缘分布为,41)1(=±=X P ,21)0(==X P ,21)1()0(====Y P Y P XY Y X ρ相关系数求,,并判别X 与Y 是否相互独立?3. 设二维随机变量),(Y X 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由2,0=+=-y x y x 与0=y 所围成的三角形区域，求条件概率密度)(y x f Y X .五、计算题(每小题6分,共12分)1.总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它,010,1)()1(x x x f θθθ，其中为未知参数0>θ，nX X X ,,,21 为总体X 的简单随机样本，求（1）θ的极大似然估计量θˆ. （2）证明θˆ是θ的无偏估计.2.设某厂生产的电灯泡的寿命X 服从正态分布),(2σμN ，现测试了20只灯泡的寿命，算得样本均值1832=X （小时），样本方差4972=S （小时），问2000=μ（小时）这个结论是否成立（)05.0=α?概率统计试题A 参考答案一．选择题1.B2.D3.B4.D5.A6.D 二．填空题1、0.9874 2.b bc b c ---1,3.⎩⎨⎧<<-=-=其他010)1(2)(z z z f Y X Z 4.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他08531)(y y f Y 5.))1()1(,)1()1((2212222-----n s n n s n ααχχ6.07.e218.0.4987 9.p p -1三．计算题1. 解： 设B={顾客买到的是正品}，=i A {售出的两台有i 台次品}，2,1,0=i,157)(210270==C C A P ,157)(21017131==C C C A P 151)(2=A P⑴107871518615785157)()()(2=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ⑵12110787151)()()(22=⨯==B P B A P B A P2．.解：(1) 0.2102(15|5)(10)P X X P X e e -⨯->>=>==(2) 因为0.2102(10)P X ee -⨯->==假设Y 表示三次等待不到服务而离开窗口的次数，由题意得2~(3,)Y B e - 23(1)1(0)1(1)P Y P Y e -≥=-==--四．计算题1. 2211(),1,2,n m n m P X m p q pq m +∞--=+====∑122221()(1),2,3,n n n m P Y n p q n p q n ---====-=∑2. ．由题可得(0)0P XY ≠=，因此联合分布律容易得出显然由 (1,1)0(1)(1)1/8P X Y P X P X =-==≠=-==,所以,X Y 不独立。

广州大学2008-2009学年第二学期考试卷概率论与数理统计（A 卷）参考解答与评分标准一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1．对于任意两个事件A 与B,若A ⊆B,则P(A −B)= ( B )。

A. P(A)−P(B) B. 0 C. 1 D. P(A)2．设B A ,是两个概率不为0且互不相容的事件，则下列成立的是（ D ）。

A. A 与B 互不相容 B. A 与B 独立C.)(B A P = )()(B P A PD. )(B A P = )(A P3．设)(x f 为某连续型随机变量的概率密度函数, 则必有( B )。

A ．1)(0≤≤x f B. 1)(=⎰+∞∞-dx x fC. 在定义域内单调不减D.1)(lim =+∞→x f x4．设一个连续型随机变量的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=a x a x k x x x F 1000)(则（ C ）。

A. 21,0==a kB. 21,21==a kC. 1,0==a kD. 1,21==a k学院专业班 级 姓 名学号5．设二维随机变量()的联合分布概率为若X 与Y 独立,则}3{=+Y X P =( A )。

A. 1/3 B. 5/6 C. 1/6 D. 2/3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）(1) 三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a A 000000中的c b a ,,取3,2,1,0的概率都相同，则该阵为可逆阵的概率为_27/64____。

(2) 某人射击某一个目标的命中率为0.6，现不停的射击，直到命中为止，则第3次才命中目标的概率为_0.096__。

(3)设)6,1(~U X ，则方程012=++Xx x 有实数根的概率为__5/6 。

(4)设X 和Y 是相互独立的两个随机变量，且)3,2(~-U X ，)4,1(~N Y ，则=+)(Y X E __1.5__。

安徽大学2020—2021学年第一学期《概率论与数理统计A 》期末考试试卷（A 卷）参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共15分） 1．0.8； 2．011122Y⎛⎫⎪⎪⎝⎭； 3．12；4．22σμ+； 5．1.65二、选择题（每小题3分，共15分）6．C ； 7．B ； 8．C ； 9．A ； 10．D三、计算题（每小题10分，共60分） 11．解：(1) 由121d )(02==−⎰k x x kααα 2 =⇒k ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分(2) 22 0 02()()d , 0 1 x x x x F x f t t x x αααα−∞<⎧⎪⎪==−≤<⎨⎪≥⎪⎩⎰，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分12．解：(1) Z 的密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤−=其他 , 022 , 4/1)(z z f ，,41}1{}1,1{}1,1{=−≤=≤−≤=−=−=Z P Z Z P Y X P,0}1,1{}1,1{=>−≤==−=Z Z P Y X P,21}11{}1,1{}1,1{=≤<−=≤−>=−==Z P Z Z P Y X P,41}1{}1,1{}1,1{=>=>−>===Z P Z Z P Y X P所以X．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分(2) ,324321}1{}1,1{}1|1{===−====−=X P Y X P X Y P.31}1{}1,1{}1|1{=======X P Y X P X Y P．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分13．解：此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为2510e d e 51)10(−−∞+==>⎰x X P x， 故 )e ,5(~2−B Y .．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分他一周内至少有一次步行上班的概率为52)e 1(1)1(−−−=≥Y P .．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分14．解：（1）),(Y X 的联合密度为⎩⎨⎧∈=其他 , 0),( , 1),(Dy x y x f ， 所以X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⋅==⎰⎰−∞+∞−其它, 0 10 , 2d 1d ),()(x x y y y x f x f x x X ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）32d 210=⋅=⎰x x x EX ，21d 21022=⋅=⎰x x x EX ，181)(22=−=EX EX DX ， 所以92)(4)12(==+X D X D .．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分15．解：⎰∞+∞−−=x x z x f z f Z d ),()(，⎩⎨⎧<−<<<−−−=−其他,010,10),(2),(x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<−=其他,01,10,2xz x x z ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分当0≤z 或2≥z 时, 0)(=z f Z ；当10<<z 时, ⎰−=zZ x z z f 0d )2()()2(z z −=；当21<≤z 时, ⎰−−=11d )2()(z Z x z z f 2)2(z −=；故Y X Z +=的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−=其他 ,021 ,)2(10 ,2)(22z z z z z z f Z .．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分16．解：（1）⎰−⋅=1d 11)(θθx x X E 21θ+=，由1)(2−=X E θ， 所以θ的矩估计量为 12ˆ−=X θ，其中∑==ni i X n X 11。

2008－ 2009 学年第1学期概率论与数理统计(46 学时 ) A一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

1、 A、 B 为两个随机事件，若P( AB)0 ，则（ A） A、 B 一定是互不相容的；（B）AB一定是不可能事件；（C） AB 不一定是不可能事件；（D）P( A)0或 P(B)0 .Y 0 1 22、二维离散型随机变量( X ,Y)的分布律为X1 1/6 1/3 02 1/4 1/6 1/12F ( x, y) 为 ( X ,Y) 的联合分布函数，则F (1.5,1.5)等于（A）1/6 ；（B）1/2 ；（C）1/3 ；（ D）1/4.3、 X、 Y 是两个随机变量，下列结果正确的是（A）若E( XY)EXEY ,则X、Y独立；（B）若 X、Y 不独立 , 则 X、Y 一定相关；（C）若 X、Y 相关, 则 X、Y 一定不独立；（D）若D(X Y) DX DY ,则X、Y独立.4、总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均未知， X 1, X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本，X 为样本 均值， S 2 为样本方差。

若 的置信度为 0.98的置信区间为 (X c S n , X c S n ) ，则常数 c 为（ A ）t 0.01 (n 1) ；（ ） 0.01 (n) ；B t（ C ）t0.02(n 1) ；（ ）(n) .D t 0.025、随机变量 X 1, X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2,4)__1 n分布，则 XX i 服从n i1（A ） N (0,1) ；（B ） N (2,4 n) ；（C ） N (2 n, 4n) ；（D ） N(2, 4) .n二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。

6、已知 A 、 B 为两个随机事件 ，若 P( A) 0.6, P( AB) 0.1,则 P( A | AB) =1.7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布，则 E(2X) =（ ）.8、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)2 x,0 x 1，则概率 P(| X | 1 2) =0,其它（ ） .9、随机变量 X : b(3, 1 ), Y : b(3, 2 ) ,且 X ,Y 独立，则 D(X Y) =（） .3310 、 已 知 随 机 变 量 X i , i 1,2,3 相互独立，且都服从 N(0,9)分布，若随机变量Y a( X 12X 22 X 32) :2(3) ，则常数 a =（ ）.三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。

深圳大学期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷 闭卷A/B 卷A 课程编号 2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分3命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日 基本题6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一（每道选择题选对满分，选0分）事件表达式A B 的意思是 ( ) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 D ，根据A B 的定义可知。

假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) 是不可能事件 (B) 是可能事件 发生的概率为1 (D) 是必然事件 A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布。

已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3) 选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

期末测试样卷A 卷考试科目： 概率论与数理统计一、填空题（每空3分，共27分）1.设A B C 、、为三个事件,则“A 、B 、C 至少有两个发生”可表示为___________． 2．已知1()4P A =，()13P B =，1()2P A B =，则(1)()P A B ＝ ；(2)()P B A -＝ ；(3)()P B A ＝ . 3.设()(),~1,0,4,9,0.5X Y N -，则X 与Y 是否相互独立？_____（填“独立”或“不独立”）. 4．已知连续型随机变量20, 1()43, 121, 2x XF x x x x x <⎧⎪=-+-≤<⎨⎪≥⎩，则()f x =_____________5．设X 表示100次掷骰子试验中掷到6点的次数，则掷到6点的概率为__________，且~X ___________，若用泊松分布近似计算，则~()X P λ，λ=______.二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.一个班级中有6名男生和4名女生，现随机地选出4名学生参加比赛，则选出的学生中男生人数等于女生人数的概率为【 】（A ）37 （B ）47 （C ）67 （D ）272．设()X Xf x ，21Y X =-+,则()Y f y =【 】(A)11()22X y f - (B)11()22X yf -- (C)11()22X y f - (D)11()22X y f --3．设随机变量~()X F x ，则()F x 一定满足【 】(A){}()d xP X x F x x -∞>=⎰ (B)0()1F x ≤≤(C)()d 1F x x +∞-∞=⎰ (D)当12x x <时，有12()()F x F x <4．设二维连续型随机变量(,)X Y 满足条件【 】时，则必有X 与Y 相互独立.(A)X 与Y 不相关 (B)()()()D X Y D X D Y +=+ (C)X 与Y 相互独立 (D)(,)()()X Y f x y f x f y = 5.设随机变量(2,4)XN -,则2()E X =【 】（A ）0 （B ）2 （C ）6 （D ）8三、解答题（第4小题，8分；其余每题各9分，共53分，将解答过程写在相应的空白处）求:(1)P (－1≤X ≤1.5)；(2)()E X ;(3)2Y X =的分布列.2.向区间[3,3]-等可能地投点，落点坐标X 服从均匀分布~[3,3]X U -.(1)写出X 的概率密度函数()f x ； (2)求点坐标落在区间[1,0]-上的概率.3.设(),X Y 联合分布列如下表所示：01 21 0.3 0.1020.40.150.05Y X-(1)求边缘分布列(可做在题目上)；(2)求()E X ；(3)判断X 与Y 是否相互独立.4.设(),X Y 的联合概率密度为24, 01,0(,)0,x x y xf x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它求1{}3P X ≤．5．设随机变量X 服从参数2λ=的泊松分布，Y 服从区间[]3,3-的均匀分布.若X 、Y 相互独立，求： (1)(),(),(),()E X D X E Y D Y ;(2)(2)D X Y -6.现有400名学生在实验室里测量某种化学物质的pH 值，设X 表示该400名学生中测量的结果无误差的人数，测量结果无误差的概率为0.8.(1)求X服从什么分布？并求出()()E X D X和(2)求概率{320332}P X≤≤附标准正态分布函数()xΦ查表()1.5 1.51 1.52 1.53 0.93320.93450.93570.9370xx Φ四、证明题（5分，将解答过程写在相应的空白处）证明函数sin 0()20,x xf xπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它能作为某个连续型随机变量的概率密度函数.。

概率论与数理统计试题和答案上海大学概率论与数理统计试题和答案上海大学上海大学2022～2022学年冬季学期试卷（A卷）课程名: 概率论与数理统计A 课程号：。

应试人应试人学号应试人所在院系一．是非题（每小题2分，5题共10分）B互不相容，若A不发生，那么B一定发生。

（）2、事件AB表示事件“A与B都没有发生”。

（）3、设和S2分别是总体X~N( , 2)的样本均值和样本方差，样本容量是n，和2是未知参数，但U （）仍是一个统计量。

4、如果X是一个连续型的随机变量，那么P(X x) 0。

（）5、如果X~ 2(n)，Y~ 2(m)，则一定有结论：F（）X/n~F(n,m)。

Y/m二．填空题（每空3分，共15分）和B的概率分别为P(A) 0.7和P(B) 0.5，且这两个事件独立，那么，P(B A) 。

7、设随机变量X服从区间[0,1]上的均匀分布，则随机变量Y eX的数学期望EY DY 。

8、把5只球随机放入三个盒中，则每个盒子中至少有一球的概率为。

9、设X1,9,X10是来自总体X~N( , 2)的简单样本，当常数c 统计量c (Xi 1 Xi)2为参数2的无偏估计。

i 1三．选择题（每小题2分，5题共10分）概率论与数理统计试题和答案上海大学10、随机事件A和B的概率为P(A) 0.6，P(B) 0.4，则正确的是。

(A) A B；(B) A与B互不相容；(C) P(AB) 0；(D)上述结论不一定成立。

11、设随机变量X和Y服从指数分布，且相互独立，则下列分布一定服从指数分布的是。

(A) Z X Y；(B) Z min{X,Y}；(C) Z max{X,Y}；(D)Z XY。

12、设总体X~N( 1, 2)，总体Y~N( 2, 2)，且相互独立，X1,分别是它们的简单样本，那么不正确的是。

(A),Xn1和Y1,,Yn2~t(n1 n2 1)；(B)~t(n1 1)；~t(n2 1)。

~t(n1 n2 2)；(D)13、如果总体X服从正态分布N( , 2)，其中，已知，2未知，X1，X2，X3是取自总体的一个样本，那么是统计量的是。