无标度网络模型构造

第二章复杂网络的基础知识2.1 网络的概念所谓“网络”（networks），实际上就是节点（node）和连边（edge）的集合。

如果节点对（i，j）与（j，i）对应为同一条边，那么该网络为无向网络（undirected networks），否则为有向网络（directed networks）。

如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就为加权网络（weighted networks），否则为无权网络（unweighted networks），如图2-1所示。

图2-1 网络类型示例(a) 无权无向网络(b) 加权网络(c) 无权有向网络如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”（regular networks），如图2-2所示。

如果节点按照完全随机的方式连边，所得到的网络就称为“随机网络”（random networks）。

如果节点按照某种（自）组织原则的方式连边，将演化成各种不同的网络，称为“复杂网络”（complex networks）。

图2-2 规则网络示例(a) 一维有限规则网络(b) 二维无限规则网络2.2 复杂网络的基本特征量描述复杂网络的基本特征量主要有：平均路径长度（average path length ）、簇系数（clustering efficient ）、度分布（degree distribution ）、介数（betweenness ）等，下面介绍它们的定义。

2.2.1 平均路径长度（average path length ）定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l ij 为从其中一个节点出发到达另一个节点所要经过的连边的最少数目。

定义网络的直径（diameter ）为网络中任意两个节点之间距离的最大值。

即}{max ,ij ji l D = （2-1） 定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值。

即∑∑-=+=-=111)1(2N i N i j ij lN N L （2-2）其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离。

复杂系统无标度网络研究与建模XXX南京信息工程大学XXXX系，南京 210044摘要：21世纪是复杂性的世界，基于还原论的世界观与方法论已经无法满足当前人们对作为一个整体系统的自然界和人类社会的认识和研究，利用系统科学的方法对科学重新审视已近变为迫切的需要。

现实生活中众多复杂网络都具有无标度性，这种无标度网络的增长性和择优连接性很好的解释了富者越富的“马太效应”。

对无标度网络的深入研究，让人们深刻的认识到其在Internet、地震网、病毒传播和社会财富分布网中的理论与现实意义。

本文通过对复杂网络中的无标度网络的分析与研究，介绍了无标度网络区别于一般随机网络的特性与现实意义，并利用了Matlab生成了一个无标度网络。

关键词：无标度网络，幂律特性，模型建立1 引言任何一种网络都可以看作是由一些节点按某种方式连接在一起而构成的一个系统，曾经关于网络结构的研究常常着眼于包含几十个到几百个节点的网络，而近几年关于复杂网络的研究中则常常可以见上万个节点的网络，网络规模尺度上的改变也促使网络分析方法做相应的改变，而复杂网络是近年来随着网络规模、理论和计算机技术的飞速发展而出现的一个新的研究方向。

它的出现不仅顺应了现代科技的发展趋势，而且反映了在以信息科学为支柱的新世纪中，各学科理论及应用交叉、渗透和融合的发展趋势[1]。

复杂系统主要研究其个体之间相互作用所产生的系统的整体性质与行为“复杂系统的复杂性体现在系统的整体性质与行为往往不是系统各个个体的状态的简单综合”因此，复杂系统的研究不能采用还原论的方法，而要从整体上进行研究。

在对复杂系统的研究中，美国物理学家Barabasi和Albert通过对万维网的研究，发现万维网中网页连接的度分布服从幂律分布，而万维网中少数网页(Hub点)具有非常大的连接，大多数网页的连接数甚小Barabasi等把度分布为幂律分布(Power law)的复杂网络称为无标度网络（scale-free net）[2]。

复杂网络中的动力学模型与分析方法一、引言复杂网络是由大量节点和连接它们的边组成的网络结构，广泛应用于社交网络、生物网络、信息传播等领域。

网络中各个节点之间相互作用、信息传递的过程可以用动力学模型进行描述和研究。

本文将介绍复杂网络中的动力学模型以及常用的分析方法。

二、节点动力学模型1. 节点动力学模型的概念节点动力学模型是描述网络中单个节点状态变化规律的数学模型。

常用的节点动力学模型包括离散时间模型和连续时间模型。

离散时间模型适用于节点状态在离散时间点上更新的情况，连续时间模型适用于节点状态连续变化的情况。

2. 节点动力学模型的类型（1）布尔模型：布尔模型是一种离散时间模型，节点状态只有两种可能值：0和1。

通过定义节点间的布尔运算规则，模拟节点之间的相互作用和状态更新。

（2）Logistic模型：Logistic模型是一种连续时间模型，节点状态在[0,1]之间连续变化。

该模型可以描述节点的演化和趋于稳定的行为。

三、网络动力学模型1. 网络动力学模型的概念网络动力学模型是描述网络中全体节点的状态变化规律的数学模型。

在网络中，节点之间的相互作用和信息传递会影响节点的状态演化，网络动力学模型可以用来描述和预测整个网络的行为。

2. 网络动力学模型的类型（1）随机性网络模型：随机性网络模型假设节点的连接是随机的，节点间的相互作用和信息传递也是随机发生的。

常见的随机性网络模型包括随机图模型、随机循环模型等。

（2）小世界网络模型：小世界网络模型是一种介于规则网络和随机网络之间的网络结构。

它既具有规则性，节点之间的连接具有聚类特性，又具有随机性，节点之间的连接具有短路径特性。

（3）无标度网络模型：无标度网络模型是一种节点度数服从幂律分布的网络结构。

少数节点的度数非常高，大部分节点的度数较低。

这种模型可以很好地描述现实世界中一些复杂网络的结构。

四、网络动力学的分析方法1. 稳定性分析稳定性分析是判断网络在不同初始条件下是否趋于稳定状态的方法。

网络科学中的复杂网络模型网络科学是一个快速发展的领域，涉及到许多重要的应用和领域，包括社交网络、生物网络、交通网络、金融网络等等。

这些网络在不同的领域和场景下都有其独特的特点和规律，而其中一个重要的方面就是复杂网络模型。

复杂网络模型是一个包含了许多不同类型节点和边的网络，它们可以呈现出高度动态和非线性的特性，在一定程度上可以反映真实世界的复杂性。

这种网络的特点往往会影响到网络的结构、动态行为和演化轨迹等方面的研究。

因此，我们对复杂网络模型的研究具有重要的理论和实践意义。

在这篇文章中，我们将深入探讨网络科学中常用的复杂网络模型，包括小世界网络、无标度网络、随机网络和人为网络等。

1、小世界网络小世界网络是基于熟人和陌生人社交网络的研究产生的，其特点是节点之间的链接比较紧密，但节点之间的距离又相当短。

实际上，我们在现实世界中所处的社交网络，可以类比为小世界网络。

在小世界网络中，每个节点与相邻节点之间的链接形成了一个固定的结构，而节点之间的链接可以通过随机连接来实现，从而形成了一种与真实世界相似的混合网络模型。

小世界网络在现实生活中得到了广泛的应用，如社交网络、电力网络、交通网络等等。

2、无标度网络在许多复杂系统中，节点之间的连接并不是随机的。

这些系统中的节点往往具有极为不平衡的度分布，即存在少数节点度较高，但绝大部分节点度较低的现象。

这种网络模型被称为无标度网络。

无标度网络在许多生物、社会和技术系统中得到了广泛的应用，如人脑神经网络、因特网、科学合作网络等。

研究人员认为，这种网络模型能够表达一种底层的组织结构，这种结构决定了网络的分布规律和演化规律。

3、随机网络随机网络是一种基于随机规律产生的网络结构，节点之间的连接是随机产生的。

这种网络模型通常不包括任何固定的结构或规则，而是依靠节点之间的随机链接来完成网络的组成。

随机网络广泛应用于电子商务、物流、通信和交通系统等领域。

这种网络模型的特点是节点和链接的随机性，因此能够表达系统中的不确定性和不稳定性。

复杂网络图模型构建方法及其生成机理分析研究复杂网络是由许多节点和连接它们的边组成的系统，广泛应用于各种领域，如社交网络、互联网、生物网络等。

构建复杂网络图模型的方法有很多种，每种方法都有不同的特点和适用范围。

本文将对常用的复杂网络图模型构建方法进行介绍，并分析其生成机理。

一、随机图模型随机图模型是最简单的复杂网络图模型之一。

其中最著名的是随机图模型ER模型。

ER模型假定网络中的节点之间的连接是独立随机生成的，每个节点与其他节点建立连接的概率是相同的。

这种随机生成的方式使得ER模型具有均匀分布的特点。

随机图模型的生成机理是基于节点之间的独立性和随机性，与真实网络的特征相去甚远。

二、无标度网络模型无标度网络模型是指节点的度分布满足幂律分布的网络模型。

最著名的无标度网络模型是BA模型。

BA模型通过“优先连接原则”来生成网络，新添加的节点更倾向与连接到已有节点的度较高的节点。

这种方式使得网络中出现少数节点的度远远高于其他节点的度，形成了“富者恒富”的现象。

无标度网络模型的生成机理是基于“优先连接原则”，即更容易连接到已有节点的度高的节点。

三、小世界网络模型小世界网络模型是介于随机图模型和无标度网络模型之间的一种网络模型。

最著名的小世界网络模型是WS模型。

WS模型通过增加一定的随机边连接来改变规则网络的特性。

首先，WS模型开始于一个规则网络，其中每个节点都与相邻的k个节点连接。

然后，WS模型按一定概率重新连接节点的边，以增加网络的随机性。

这种方式使得网络中出现了更多的短距离连接，同时保持了一定的规则性。

小世界网络模型的生成机理是结合了规则网络和随机网络的特征。

四、分层网络模型分层网络模型是最接近真实网络结构的一种网络模型。

分层网络模型将网络分为多个层次，每个层次中的节点和连接方式都有所不同。

分层网络模型可以更好地描述真实世界中复杂网络的特征，如社会网络中的不同社群、生物网络中的不同生物过程等。

分层网络模型的生成机理是基于现实世界中的层次性和群组特征。

生态学中的网络拓扑和层次结构随着人们对环境保护意识的不断提高，越来越多的人开始关注生态学这一领域。

而在生态学领域中，网络拓扑和层次结构是一个重要的研究方向。

生态系统是由各种生物和非生物因素相互作用形成的，其中这些相互作用构成了一个生态网络，而网络的拓扑和层次结构又是这个生态网络的基础，下面就来具体探讨一下。

一、网络拓扑网络拓扑是指网络中各个节点之间连接的方式和形式，它揭示一个网络中关键的节点和交互模式，帮助人们更好的理解网络中各个节点之间的联系。

而在生态学中，生态网络则包含了生物与非生物之间的相互作用网络，在生态网络中，网络拓扑的研究则有助于我们更好的了解和探索这些物种之间的关系以及对生态系统中的稳定性和功能的影响。

生态网络中的网络拓扑主要包括了以下三种模型：随机网络模型、无标度网络模型和小世界网络模型。

其中，随机网络模型是指网络中的节点和链接以一定的概率随机连接而成的网络，这种网络通常缺少稳定性，并且对节点数目呈线性增长。

无标度网络模型则是指网络中有少量的节点，但它们却比其他节点更加重要和连接紧密，这种网络体现了类似物种由寡头控制的网络结构，同时也表现了生态系统网络的自适应性和复杂性。

小世界网络模型则是介于以上两种模型之间，既包含了高效的局部联系又有高度的群体聚集性和强大的整合性。

二、层次结构在生态网络中，层次结构则是对生态系统中物种分布和共生现象的结构性描述。

层次结构通过将生物群体的分布和相互作用描述为树状表示法，来描述生态系统中不同规模和不同层次的生物间相互作用的关系。

生态系统中通过层次结构的体现，从宏观和微观两个层次进行描述，这种层级关系的展示能够帮助我们更好地理解个体和物种的相互作用、群体生长动态、物种多样性保持及环境延续性的实现。

需要注意的是，在生态系统中，层级结构涉及到的范围比较广，它不仅仅与单一物种关系有关，还与整个生态系统的发展有关。

而不同的物种和节点又处于不同的层次之上，并具有不同的重要性和影响力。

复杂网络结构演化规律理论分析概述复杂网络结构是实际现象中普遍存在的一种网络形态，它由多个节点和节点之间的连接组成。

在复杂网络中，节点可以代表各种实体，例如人际关系、物理系统中的原子或分子、互联网中的网页等。

复杂网络具有复杂的拓扑结构和动态的演化过程，因此深入研究复杂网络结构演化规律对于理解网络的特性和功能具有重要意义。

规律分析复杂网络结构演化的过程中存在一些共性规律，这些规律使得复杂网络的拓扑结构呈现出独特的特性。

以下将根据已有的研究成果，对复杂网络结构演化规律进行分析。

1. 优先连接规律：复杂网络的演化过程中，倾向于优先选择与已有节点连接度较高的节点进行连接。

这意味着节点的连接度会随着时间的推移而逐渐增长，形成长尾分布的连接度分布。

这种优先连接规律可以解释现实中许多网络的实际现象，如社交网络中一些人关系网的扩张过程。

2. 群聚效应：复杂网络中存在着聚集在一起的节点群体，这被称为群聚效应。

这种效应表明，节点之间的连接更容易在同一群体内形成，而群体之间的连接则较为稀疏。

举个例子，社交网络中，人们倾向于与亲密的朋友形成紧密的联系，而与其他人之间的联系相对较少。

3. 结构重组：复杂网络结构在演化过程中会发生结构的重组，这包括节点的添加与删除，连接的建立与断裂等。

这种结构的重组使得网络的拓扑结构不断变化。

此外，复杂网络还会呈现出模块化的特点，即网络的拓扑结构可以被划分成多个相对独立的模块，这些模块具有一定的内部连通性和较弱的模块间连通性。

4. 异质性：复杂网络中的节点和连接往往是具有异质性的。

这意味着网络中的节点和连接不是完全相同的，它们具有不同的属性和特征。

异质性可以通过节点的度分布、节点属性之间的关联以及连接的权重等来表现。

5. 尺度无关性：复杂网络的拓扑结构在不同的尺度上表现出相似的特性。

这种尺度无关性意味着网络的结构在不同的层次上都具有相似的统计特性。

例如，复杂网络中小规模子图的拓扑结构与整个网络的拓扑结构具有相似性。

复杂网络中的无标度性分析复杂网络是由大量节点和连接它们的边组成的网络结构，它广泛应用于社交网络、互联网、生物网络等众多领域。

复杂网络的拓扑结构对网络的性质和功能起着重要影响，其中无标度性是一种常见的网络特征。

本文将对复杂网络中的无标度性进行详细分析，包括无标度网络的定义、特点、形成机制以及在现实世界中的应用。

无标度网络是一种拓扑结构具有“重尾分布”的网络模型，即网络中存在少部分节点拥有相对较高的连接度，而大部分节点的连接度相对较低。

这种网络结构可以很好地反映现实世界中的许多现象，如人际关系中的“好友圈”现象，互联网中的超级节点等。

与随机网络和规则网络相比，无标度网络具有较小的平均路径长度和较高的群聚系数，使得信息传播和功能传导更加高效。

无标度网络的形成机制是复杂网络研究的重要问题。

现有的研究表明，无标度性可以通过两种基本机制实现：首选连接和优势增长。

首选连接是指新节点更容易连接到已有的高度连接的节点上，这种机制在现实世界中有很多的应用，比如新生产的产品更容易连接到已有的热销产品上，从而形成更多的销售机会。

而优势增长是指已有节点的连接度随时间的增加而不断增长，这种机制在社交网络中很常见，如大V在社交媒体上拥有更多的关注和粉丝。

无标度网络在实际应用中具有重要意义。

首先，无标度网络可以更好地识别和利用关键节点。

关键节点在网络中具有重要的地位和功能，其破坏或失效可能会对整个网络产生重大影响。

通过分析无标度网络的节点连接度分布，我们可以识别出那些具有较高连接度的节点，并对它们进行重点保护和管理。

其次，无标度网络可以用于设计更有效的传播策略。

在信息传播和病毒传播等领域，无标度网络的传播特性可以用来优化传播路径和最大程度地提高传播效率。

此外，通过分析无标度网络的拓扑结构，还可以研究网络的稳定性、同步行为和演化规律等网络动态特性。

然而，无标度网络也存在一些挑战和问题。

首先，由于无标度网络中连接度的差异较大，导致网络更容易受到攻击和故障的影响。

networkx--四种⽹络模型 NetworkX提供了4种常见⽹络的建模⽅法，分别是：规则图，ER随机图，WS⼩世界⽹络和BA⽆标度⽹络。

⼀. 规则图 规则图差不多是最没有复杂性的⼀类图，random_graphs.random_regular_graph(d, n)⽅法可以⽣成⼀个含有n个节点，每个节点有d个邻居节点的规则图。

下⾯⼀段⽰例代码，⽣成了包含20个节点、每个节点有3个邻居的规则图：1import networkx as nx2import matplotlib.pyplot as plt34# regular graphy5# generate a regular graph which has 20 nodes & each node has 3 neghbour nodes.6 RG = nx.random_graphs.random_regular_graph(3, 20)7# the spectral layout8 pos = nx.spectral_layout(RG)9# draw the regular graphy10 nx.draw(RG, pos, with_labels = False, node_size = 30)11 plt.show()⼆、ER随机图 ER随机图是早期研究得⽐较多的⼀类“复杂”⽹络，模型的基本思想是以概率p连接N个节点中的每⼀对节点。

⽤random_graphs.erdos_renyi_graph(n,p)⽅法⽣成⼀个含有n个节点、以概率p连接的ER随机图：1import networkx as nx2import matplotlib.pyplot as plt34# erdos renyi graph5# generate a graph which has n=20 nodes, probablity p = 0.2.6 ER = nx.random_graphs.erdos_renyi_graph(20, 0.2)7# the shell layout8 pos = nx.shell_layout(ER)9 nx.draw(ER, pos, with_labels = False, node_size = 30)10 plt.show()三、WS⼩世界⽹络 ⽤random_graphs.watts_strogatz_graph(n, k, p)⽅法⽣成⼀个含有n个节点、每个节点有k个邻居、以概率p随机化重连边的WS⼩世界⽹络。

NetworkX提供了4种常见网络的建模方法，分别是：规则图，ER随机图，WS小世界网络和BA无标度网络。

本文首先介绍在NetworkX生成这些网络模型的方法，然后以BA无标度网络的建模为例，分析利用NetworkX进行复杂网络演化模型设计的基本思路，以便将来开发出我们自己的模型。

同时这篇文章里还涉及到一点复杂网络可视化的方法（后边有时间会另文介绍网络可视化的方法）。

一、规则图规则图差不多是最没有复杂性的一类图了，在NetworkX中，用random_graphs.random_regular_graph(d, n)方法可以生成一个含有n 个节点，每个节点有d个邻居节点的规则图。

下面是一段示例代码，生成了包含20个节点、每个节点有3个邻居的规则图：import networkx as nximport matplotlib.pyplot as pltRG = nx.random_graphs.random_regular_graph(3,20) #生成包含20个节点、每个节点有3个邻居的规则图RGpos = nx.spectral_layout(RG) #定义一个布局，此处采用了spectral布局方式，后变还会介绍其它布局方式，注意图形上的区别nx.draw(RG,pos,with_labels=False,node_size = 30) #绘制规则图的图形，with_labels决定节点是非带标签（编号），node_size是节点的直径plt.show() #显示图形运行结果如下：图1 NetworkX生成的规则图二、ER随机图ER随机图是早期研究得比较多的一类“复杂”网络，这个模型的基本思想是以概率p连接N个节点中的每一对节点。

在NetworkX中，可以用random_graphs.erdos_renyi_graph(n,p)方法生成一个含有n个节点、以概率p连接的ER随机图：import networkx as nximport matplotlib.pyplot as pltER = nx.random_graphs.erdos_renyi_graph(20,0.2) #生成包含20个节点、以概率0.2连接的随机图pos = nx.shell_layout(ER) #定义一个布局，此处采用了shell布局方式nx.draw(ER,pos,with_labels=False,node_size = 30)plt.show()运行结果如下：图2 NetworkX生成的随机图三、WS小世界网络在NetworkX中，可以用random_graphs.watts_strogatz_graph(n, k, p)方法生成一个含有n个节点、每个节点有k个邻居、以概率p随机化重连边的WS小世界网络，下面是一个例子：import networkx as nximport matplotlib.pyplot as pltWS = nx.random_graphs.watts_strogatz_graph(20,4,0.3) #生成包含20个节点、每个节点4个近邻、随机化重连概率为0.3的小世界网络pos = nx.circular_layout(WS) #定义一个布局，此处采用了circular布局方式nx.draw(WS,pos,with_labels=False,node_size = 30) #绘制图形plt.show()运行结果如下：图3 NetworkX生成的WS小世界网络四、BA无标度网络在NetworkX中，可以用random_graphs.barabasi_albert_graph(n, m)方法生成一个含有n个节点、每次加入m条边的BA无标度网络，下面是一个例子：import networkx as nximport matplotlib.pyplot as pltBA= nx.random_graphs.barabasi_albert_graph(20,1) #生成n=20、m=1的BA无标度网络pos = nx.spring_layout(BA) #定义一个布局，此处采用了spring布局方式nx.draw(BA,pos,with_labels=False,node_size = 30) #绘制图形plt.show()运行结果如下：图4 NetworkX生成的BA无标度网络五、对BA模型实现代码的分析前面我们介绍了NetworkX提供的4种网络演化模型的应用方法，但仅停留在使用已有的模型是不够的，实际工作中我们可能会自己开发一些网络演化模型。

复杂网络模型构建与应用分析一、引言复杂网络在物理、社会、经济、生物、信息科学等领域得到了广泛的研究和应用。

通过建立复杂网络的数学模型和分析网络的结构和功能，在交通、能源、医疗、金融等领域实现了卓越的成就。

本文旨在介绍复杂网络模型的构建与应用分析。

二、复杂网络模型的构建1. 随机图模型随机图模型是复杂网络模型中最简单的一个，它假定网络中的距离、权重和连接概率等参数都是随机的。

例如，最早的随机图模型是伯努利模型，概率是固定的，这意味着网络的结构随机而且独立。

2. 规则网格模型规则网格模型是由若干行和列组成的平面网络，每个节点都与其相邻的节点连接。

这个模型是最简单的二维网络，它可以用于研究生物学、交通、能源、医疗、金融等领域中的许多问题。

3. 非随机无标度网络模型非随机无标度网络模型是由一些在某些方面“选择”节点形成的网络，这些选择通常是反应节点之间某些重要性质的影响。

这种网络不是随机的，不会独立地变化。

例如，小世界模型就是非随机无标度网络模型之一，许多网络都具有这种特征。

4. 复杂公共资源协调模型复杂公共资源协调模型是用于描述公共资源管理和协调的一类复杂网络模型。

该模型是基于博弈论和进化博弈的模型，它可以用于研究社会、经济、政治等领域中的资源管理问题。

三、复杂网络的应用分析1. 社交网络分析社交网络是一种复杂网络，它是由一组成员组成的，成员之间通过不同的方式互动，分享信息和资源。

社交网络的分析可以用于研究信仰、文化、价值、人际关系等社会问题，同时也可以用于研究传播信息的途径和效果。

2. 交通网络分析交通网络是复杂网络的另一个例子。

它是由交通节点和路径组成的复杂网络系统。

交通网络分析可以用于研究交通拥堵、安全和效率等问题，并预测未来的交通需求和流量模式。

3. 生物网络分析生物网络是指由生命系统中各个生物单位、基因、蛋白质等组成的复杂网络，它们相互作用，从而形成生命系统的特征和功能。

基因调控网络和代谢网络是生物网络分析研究中的两个主要领域，这有助于我们理解生物系统的基本工作原理和特性。