专题10 计数原理(解析版)

专题10 计数原理【要点提炼】1.分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.4.排列与组合的概念5.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.6.排列数、组合数的公式及性质考向一计数原理考向一分类加法计数原理的应用【典例1】(1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________.解析(1)分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12(种)方法. (2)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.答案(1)12(2)13规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本典例(2)中易漏a＝0这一类. 考向二分步乘法计数原理的应用【典例2】(1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________.(2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有______种.解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100.(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性. 答案(1)100(2)4554规律方法 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.考向三两个计数原理的综合应用【典例3】(1)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答). (2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36解析(1)当不含偶数时，有A45＝120(个)，当含有一个偶数时，有C14C35A44＝960(个)，所以这样的四位数共有1 080个.(2)在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.答案(1)1 080(2)D规律方法 1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.[方法技巧]1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.考向二排列组合考向一排列问题【典例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种).(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A15种，其余人全排列，只有A55种不同排法，共有A66＋A15A15A55＝3 720.法二(间接法)7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720(种).规律方法排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.考向二组合问题【典例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3种的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.考向三分组、分配问题【典例3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法. (2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有()A.80种B.90种C.120种D.150种(3)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()A.24种B.30种C.48种D.60种解析(1)先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A33＝90种分派方法.(2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有C25C23C11A22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C25C23C11A22·A33＝90种分派方法；另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有C35C12C11A22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C35C12C11A22A33＝60种分派方法.所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).(3)B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A22＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A33＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.答案(1)90(2)D(3)C规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.[方法技巧]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.【专题拓展练习】一、单选题1．已知()2*1n x n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中有常数项，则n 的值可能是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【详解】由题意展开式通项公式为22311()rrn r r n r r n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以关于r 的方程230n r -=有正整数解，n 必是3的整数倍．只有B 满足． 故选：B ．2．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）A ．120种B ．156种C ．192种D ．240种 【答案】C【详解】丙丁捆绑在一起看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这样可得排法为214244192A A A =．故选：C ．3．在621x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ） A ．63B ．-517C ．-217D ．-177 【答案】B【详解】常数项是()()()32246332221166465222111581C x C x C C x C x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1x =求各项系数和，()612164+-=，则除常数项外，其余各项系数的和为64581517-=-.故选：B4．A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法不正确的有（ ）A ．若A 、B 不相邻共有72种方法B ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法．C ．若A 在B 左边有60种排法D ．若A 、B 两人站在一起有24种方法【答案】D【详解】A.若A 、B 不相邻共有323472A A ⋅=种方法，故A 正确；B.若A 不站在最左边，B 不站最右边，利用间接法有543543278A A A -+=种方法，故B 正确；C. 若A 在B 左边有552260A A =种方法，故C 正确； D. 若A 、B 两人站在一起有424248A A =，故D 不正确.故选：D5．n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．540B ．162-C ．162D ．540- 【答案】D【详解】 n-的展开式中各项系数之和为264n =，解得6n =所以6的通项公式为：()631663r r r r r r r T C C x --+⎛==- ⎝ 当3r =时，()334632720540T C =-=-⨯=-为常数故选：D6．现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（）A．10 B．20 C．40 D．60【答案】B【详解】第一类：甲在周一，共有24A种方法，第二类：甲在周二，共有23A种方法，第一类：甲在周三，共有22A种方法，222 43220N A A A=++=种不同的方法.故选：B7．现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（）A．18 B．24 C．30 D．36【答案】C【详解】4本书放入三个不同的抽屉，先在4本书中任取2本作为一组，再将其与其他2本书对应三个抽屉，共有23436636C A⋅=⨯=种情况，若语文与数学放入同一个抽屉，则其他两本放入其余抽屉，有336A=种情况，则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为：36630-=种；8．2020年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的选派方法数有（）种A．25 B．60 C．90 D．150【答案】D【详解】解：法一（分组分配）：把5各工作人员分成3组，有两类分法：①：5113=++则有1135432210C C C A =种 ②：5221=++则有2215312215C C C A =种 所以共有101525+=种分组方法，根据题意，所求方法数有3325150A =个法二（排除法）：∵5个工作人员仅去一个村子的方法数有51313C =个5个工作人员仅去两个村子的方法数有()5232290C -=个∴5个工作人员去三个村子的方法数有53903150--=个.故选：D. 9．在()6212x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．10-B ．10C ．25D ．25-【答案】B【详解】 61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为662166k k k k k k T C x x C x ---+==， 所以含2x 的项为()262223623222662302010C x x C x x x x -⨯-⨯⨯+-=-=， 所以含2x 的项的系数是10，故选：B.10．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ）A ．-30B ．30C ．-40D ．40 【答案】B【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=. 11．今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲､乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（ ）A ．1921910202C C CB ．1921810202C C C C ．192181020C C CD ．192191020C C C 【答案】C【详解】从18护士，2名医生中任取10人有1020C 种，2名医生恰好被分在不同医院有19218C C 种，所以2名医生恰好被分在不同医院的概率为192181020C C C ． 故选：C ．12．48321x x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．32B ．34C ．36D ．38 【答案】D【详解】 432x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()43124144220,1,2,3,4rr r r r r r T x x r x C C --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 令1240r -=，解得3r =，所以展开式的常数项为()334232C -=-， 81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()88218810,1,...8k k k k k k T x x k x C C --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 令820k -=，解得4k =，所以展开式的常数项为4870C =， 所以48321x x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为-32+70=38 故选：D二、解答题13．在二项式122x ⎫⎪⎭的展开式中， （1）求展开式中含3x 项的系数：（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值.【详解】(1)设第1k ＋项为362112(2)k k k k TC x -+=-， 令363,2k -=解得2k ＝， 故展开式中含3x 项的系数为()22122264C -=.(2)∵第3k 项的二项式系数为3112k C -，第2k +项的二项式系数为112k C +， ∵3111212=k k C C -+ ，故31+1k k －＝或31++112r r －＝，解得1k ＝或3k ＝.14．有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）某女生一定要担任语文科代表；（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.【详解】（1）先取后排，有32415353C C C C ⋅+⋅种，后排有55A 种，共有3241553535()5400C C C C A ⋅+⋅⋅=种；（2）除去该女生后先取后排：4474840C A ⋅=种；（3）先取后排，但先安排该男生：4147443360C C A ⋅⋅=种；（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C 种，再安排该男生有13C 种，其余3人全排有33A 种，共313633360C C A ⋅⋅=种.15．已知423401234(2)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+⋅++⋅++⋅++⋅+，求： （1）1234a a a a +++；（2）13a a ；（3）024a a a ++；（4）01234||||||||||a a a a a ++++．【详解】令1x =-则081a =①，令0x =则0123416a a a a a ++++=②，令2x =-则01234256a a a a a +=-+-③，（1）②-①得：123465a a a a +++=-，（2）(②-③)2÷得：13120a a +=-，（3）(②+③)2÷得：024136a a a =++，(4)0123402413||||||||||()()256a a a a a a a a a a ++++=++-+=．。