计数原理专题拓展版答案解析

【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题
18．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有 ，2女1男，有
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项式定理
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题
5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题) 的展开式中 的系数为()
A．12B．16C．20D．24
【答案】【答案】A
【解析】因为 ，所以 的系数为 ，故选A．
【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题11计数原理
一、选择题
1．(2020年新高考I卷(山东卷)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同 安排方法共有()
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种

练习
1.小明到黄山游览，他计划先从某市乘坐火车到合肥，第 二天再从合肥乘坐汽车到黄山.一天中从该市到合肥适合乘坐的 火车有10个班次，从合肥到黄山适合乘坐 的汽车有10个班次， 那么小明从该市到黄山有多少种不同的乘车方案？
2.某班甲、乙、丙、丁4 名同学报名参加学校的兵乓球、羽 毛球、网球三项不同的 比赛，每人只能报名参加一项比赛，且 每项比赛只允许1人报名参加，问共有多少种不同的参赛方案？
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
一般地，如果完成一件事有n个步骤. 完成第一个步骤 有k1种方法，完成第2个步骤有k2种方法，⋯ ⋯ ，完成第n个 步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才 能完成，那么完成这件事的方法共有
N= k1k2 ⋯ kn (种). 上面的计数原理称为分步计数原理.分类计数原理又称 乘法原理.
8.1.3计数原理的应用
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
2.从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选择两名同学参加 学校羽毛球、跳绳两个活动，每人最多只能参加一项，一 共有多少种选择？
3. 有9个互不相同的小球，其中4 个红球、3个绿球和2 个黄球. 现从中取两个颜 色相同的球，分别放入两个不同的 杯子，一共有多少种放法？
8.1计数原理
8.1 计数原理
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计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类 计数原理、分步计数原理也称为基本计数原理，是 解决计数问题的基本方法，它们为解决很多实际问 题提供了思想和工具.
8.1.1
分类计数原理
8.1.1 分类计数原理
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热点11 计数原理【命题趋势】计数原理包含排列组合与二项式定理，在高考数学中通常是以选择题的形式呈现.另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍.高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合.二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开.本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解.【满分技巧】捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数.【考查题型】选择题【限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2021·全国高三专题练习）()()()()()234511111x x x x x -----的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（ ） A ．0 B ．55 C ．90 D ．120【答案】C【分析】()()()()()234511111x x x x x -----151413109876521x x x x x x x x x x x =--+++---++-，所以，()()()()()234511111x x x x x -----的展开式中各项的指数之和为15141310987652190++++++++++=，展开式中各项系数乘以各项指数之和为1514131098765210--+++---++=， 因此，所求结果为90090-=. 故选：C.2．（2021·山东高三专题练习）已知()20121nn n px b b x b x b x -=+++⋅⋅⋅+，若123,4b b =-=，则p =（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】C【分析】()1npx -展开式的通项为：()()()11n rrrr rr n n T C px C px -+=⋅⋅-=⋅-，故()113n b C p pn =⋅-=-=-，()2222142n n n b C p p -=⋅==，解得9n =，13p =. 故选：C.3．（2021·山东高三专题练习）2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种 C ．22种 D ．24种【答案】B【分析】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有33A +122210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B4．（2021·全国高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为()1,2,,6i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A 处的所有不同走法共有（ ）A．21种B．22种C．25种D．27种【答案】D【分析】由题意，正方形ABCD的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，①点数之和为8的情况有：1,1,6；1,2,5；1,3,4；2,2,4；2,3,3，排列方法共有13311 3333321C A A C C++++=种；②点数之和为16的情况有：4,6,6；5,5,6，排列方法共有11336C C+=种.所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所有不同走法共有21627+=种.故选：D.5．（2021·山东高三专题练习）已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（）A．240种B．360种C．480种D．600种【答案】C【解析】：用分类讨论的方法解决：如图中的6个位置：①当领导丙在位置1时：不同的排法有55120A=种：：当领导丙在位置2时：不同的排法有143472C A=种：：当领导丙在位置3时：不同的排法有2323233348A A A A+=种：：当领导丙在位置4时：不同的排法有2323233348A A A A +=种：：当领导丙在位置5时：不同的排法有143472C A =种：：当领导丙在位置1时：不同的排法有55120A =种：由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种： 故选C：6．（2021·山东高三专题练习）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种 B ．288种 C ．192种 D ．216种【答案】D【详解】最前排甲，共有55A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D ．7．（2020·全国高三专题练习（理））某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ） A ．72种 B ．48种 C ．36种 D ．24种【答案】C【分析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有336A =种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有236A =种排法，则后六场开场诗词的排法有6636⨯=种， 故选：C.8．（2020·全国高三专题练习（理））为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程､20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】D【分析】记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类 分别为事件i A ，i B ，i C ，1,2,3i =.由题意，事件i A ，i B ，i C ，1,2,3i =相互独立，则301()602i P A ==，201()603i P B ==，101()606i P C ==，1,2,3i =， 故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是331111()62366i i i P A P A B C ==⨯⨯⨯=.故选：D.9．（2020·全国高三专题练习（理））在()()()()()2345111111x x x x x ++++++++++的展开式中，含2x 项的系数是（ ） A ．10 B ．15 C ．20D ．25【答案】C【分析】解法一：()21x +中含2x 的项为222C x ，()31x +中含2x 的项为223C x ，()41x +中含2x 的项为224C x ，()51x +中含2x 的项为225C x ，则含2x 项的系数为2222234520C C C C +++=．故选：C ．解法二：由等比数列求和公式知：()()()()()()6234511111111x x x x x x x+-++++++++++=，()31x +中含3x 的系数为3620C =，∴原式含2x 项的系数为20.故选：C .10．（2020·全国高三专题练习（理））若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝（ ） A ．284 B ．356 C ．364 D ．378【答案】C【分析】令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ② ①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，再令x ＝0，则a 0＝1， 所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364. 故选：C.11．（2020·山西高三月考（理））如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621m x nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．15B ．-15C ．1354D ．1354-【答案】A【分析】：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，所以圆柱的体积23122V R R R ππ=⨯=，球的体积3243V R π=，所以313223423V R m V R ππ===.又圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=⨯+=，球的表面积为224S R π=，所以21226342S R n S R ππ===，1m n =，662211m x x nx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式的通项()123161rr rr T C x-+=-，令1230r -=，解得4r =，其常数项为()42426115C x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：A12．（2020·江西吉安市·白鹭洲中学高三期中（理））已知随机变量()2~1,X N σ，且()()0P X P X a ≤=≥，则()43221ax x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．40B ．120C ．240D ．280【答案】D【分析】根据正态曲线的性质可知，012a +=⨯，解得2a =，()312x +的展开式的通项公式为132rr rr T C x +=⋅，{}0,1,2,3r ∈，422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()243814422s s s s s s s s T C x c x -+--++=⋅=⋅，{}0,1,2,3,4s ∈， 令两式展开通项之积x 的指数为382r s -+=，可得33r s =⎧⎨=⎩或02r s =⎧⎨=⎩，∴()432212x x x ⎛+⋅⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为333300223434222225624280C C C C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=，13．（2020·湖南长沙市·高三月考）某单位有6名员工，2020年国庆节期间，决定从6人中留2人值班，另外4人分别去张家界､南岳衡山､凤凰古城､岳阳楼旅游.要求每个景点有1人游览，每个人只游览一个景点，且这6个人中甲､乙不去衡山，则不同的选择方案共有（ ） A ．120种 B ．180种 C ．240种 D ．320种【答案】C【分析】以人为对象，分类讨论：甲不值班乙值班：31343372C C A =；甲值班乙不值班：31343372C C A =；甲乙都不值班；21342372C C A =；甲乙都值班；4424A =.故不同的选择方案72727224240N =+++=. 故选：C14．（2020·全国高三专题练习（理））中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种 B ．50种 C ．60种 D ．90种【答案】B【分析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1121020C C ⋅=若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1131030C C ⋅=所以共有203050+=种 故选B15．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三其他模拟（理））2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北，某地有3名医生、6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（ ） A ．16B ．12C ．18D ．13【答案】D【分析】3名医生平均分成3组，有1种分法，6名护士平均分成3组有226433156156C C A ⨯==种分法，3名医生、6名护士分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士的分配方法有333315540A A ⨯⨯=（种），医生甲和护士乙分到同一家医院的分配方法有211224532222180C C C A A A ⨯⨯⨯=（种），则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为18015403=. 故选：D .16．（2020·全国高三其他模拟（理））公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.141592631415927π<<．，为纪念数学家祖冲之在圆周率研究上的成就，某教师在讲授概率内容时要求学生从小数点后的6位数字1，4，1，5，9，2中随机选取两个数字做为小数点后的前两位（整数部分3不变），那么得到的数字大于3.14的概率为（ ） A ．15B ．17C ．45D ．67【答案】D【分析】由题意从小数点后的6位数字中随机选取两个数字做为小数点后的前两位，可分为以下情况：①选出两个1，共可组成1个数字；②选出一个1，共可组成12428C A ⋅=个不同数字；③没有选出1，共可组成2412A =个不同数字；所以共可组成181221++=个不同的数字；其中小于等于3.14的数字有：3.11、3.12、3.14，共3个，则大于3.14的数字个数为18， 故所求概率186217P ==. 故选：D.17．（2020·全国高三专题练习（理））某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）. A ．444种 B ．1776种 C ．1440种 D ．1560种【答案】B【分析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有14C 4=（种）.对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有114244192C C A =（种）；第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有133C =（种），语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有14C 4=（种），其他三科可以全排列，有()12332334252C A A +=（种）.综上，共有()41922521776⨯+=（种）. 故选：B18．（2020·全国高三专题练习）函数261()()=-f x x x的导函数为()f x '，则()f x '的展开式中含2x 项的系数为（ ） A ．20 B ．20-C ．60D ．60-【答案】D【分析】函数()f x 导函数为25211()6()(2)f x x x x x '=-+， 则251()x x-的展开式的通项公式为251031551()()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 令1031r -=，则3r =，此时含x 项为335(1)10C x x -=-，再令1034r -=，则2r，此时含4x 项为22445(1)10C x x -=，所以含2x 的项为4221(10210)660x x x x x -⨯+⨯⨯=-， 故含2x 项的系数为60-， 故选：D ．19．（2020·湖南郴州市·高三二模（理））中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408 B ．120 C ．156 D ．240【答案】A【分析】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有66720A =（种），当“乐”排在第一节有55120A =（种），当“射”和“御”两门课程相邻时有2525240A A =（种），当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有242448A A =（种），则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408--+=（种），故选：A ．20．（2020·全国高三专题练习）6331x x ⎛⎫⎫⎪⎪⎭⎭展开式中的常数项为（ ） A ．66- B ．15C ．15-D ．66【答案】C61x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()363216611rrrr rrr T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，而3323323x x x---=-，故要想产生常数项，则333122r r -=⇒=或33302r r -=⇒= ，则所求常数为()106621315C C ⨯⨯--⨯=-. 故选：C ．。

专题24计数原理应用计数原理是解决随机现象的一种计数手段,由于要解决大量繁杂社会经济现象中的计数问题,其分析问题的思路与其他代数、几何的思路都不尽相同,需要的逻辑分析成分与智慧因素增多,在高考数学试题中成为考生的拦路虎,在平时学习中痛点频繁,必须寻找排除痛点的有效途径.解决任何复杂的社会经济现象中的计数问题,首先要明确做的是什么事,然后知道做此事需要具有什么条件,分析此条件是分类解决还是分步解决,一旦搞不清楚就形成痛点.复杂的计数问题一般都需要分类解决,如果不知如何制定分类标准,或制定的分类有漏洞,计数就可能出错,于是产生卡壳点.计数方法中重要的策略有:(1)制作球与盒子模型的策略;(2)特殊元素优先安排的策略;(3)合理分类和准确分步的策略;(4)排列、组合混合问题先选后排的策略;(5)正难则反、等价转化的策略;(6)相邻问题㧽绑处理的策略;(7)不相邻问题揷空处理的策略;(8)定序问题除法处理的策略;(9)分排问题直接处理的策略;(10)“小集团”排列问题先整体后局部的策略.一、精于计数基而分析方法问题1:有4名男生、5名女生,全体排成一行,则下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间也不在两端;(2)甲、乙两人必须排在两端;(3)男生、女生分别排在一起;(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定.【解析】卡壳点:计数的基本分析方法缺失导致思维受阻.应对策略:党抂球与盒子的计数分析方法是基本功,它是各种具体方法的基础,元素可重复排列是易错情形,借助此基本功可以降低出错概率.问题解答:(1)解法1(元素分析法)先排甲,有6种,其余有种,故共有种排法.解法2(位置分析法)中间和两端有种排法,包括甲在内的其余6人有种排法,故共有种排法. 解法3(等机会法)9个人的全排列数有种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间及两端的排法总数是种. 解法4(间接法)种. (2)先排甲、乙,再排其余7人,共有种排法.(3)(捆绑法)种.(4)(揷空法)先排4名男生有种方法,再将5名女生揷空,有种方法,故共有种排法. （5）解法1(等机会法)9人共有种排法,其中甲、乙、丙三人有种排法,因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法,故共有种排法. 解法种.【反思】解决有限制条件的计数应用题,分析时主要按优先原则,即优先安排特殊元素或优先满足特殊位置,要充分运用元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、捆绑法、等机会法、揷空法等方法来寻我解题的突破口.88A 886241920A ⋅=38A 66A 3686A A 336720241920⋅=⨯=99A 996A 2419209⨯=988988A 3A 6A 241920-⋅==2727A A 10800⋅=245245A A A 5760⋅⋅=44A 55A 4545A A 2880⋅=99A 33A 99A 33A 9933A 60480A =36962C A 60480⋅=二、抓住关键词精准分类计数在计数问题中,有许多关键词制约着问题分类标准的制定,比如,“至少”“至多”“恰好”“不小于”“不大于”“奇偶”等,要抓住问题中的关键词(不论此关键词是明显的,还是隐藏的)进行分类考虑,而每一类问题都要利用球与盒子模型进行分析,以保证所求的排列和组合种数既不重复也不遗漏.问题2:某中学将招聘来的4名教师安排在高中三个年级任教,其中高一年级至少要安排1人,高二年级必须安排但至多只能安排2人,那么不同的安排方案共有多少种?【解析】卡壳点:不知道“至少”“至多”在计数中的处理方法.应对策略:计数中,“至少”“至多”这两个关键词对分类的影响显示智慧.问题解答:首先建立球与盒子模型:将4名教师视为“球”,三个年级视为“盒子”;其次考虑特殊元素与特殊位置,因为高一年级(记为)至少要安排1人,高二年级(记为)必须安排但至多只能安排2人,将高三年级记为C.分类如下:,共有种；,共有种；,共有种;,共有种；,共有种.故共有46种方案.【反思】(1)此题中既有“至少”又有“至多”,可先根据极端情形分类,然后根据计数原理进行计数.(2)遇到有关奇数与偶数,或奇函数与偶函数的计数时,球与盒子模型也是非常好的分析方法.A B A 1,B 1,C 2===43112⨯⨯=A 1,B 2,C 1===43112⨯⨯=A 2,B 1,C 1===62112⨯⨯=A 2,B 2,C 0===6116⨯⨯=A 3,B 1,C 0===4114⨯⨯=三、遇到障碍时联想出奇招计数问题中有许多难题,不知如何下手,但通过联想类似问题可以找到解题思路.问题:记表示有限集合中元素的个数,现有集合,集合 (I)(II)对任意,将中所有元素相乘,乘积记为,现将所有的相加,其和记为,则【解析】卡壳点:第(II)问审题时找不到分析思路.应对策略:计数中面对熟悉的结构需要联想找到思路.问题解答:(I). (II)此时真是“山重水复疑无路”,“从数集中任意选取若干个数相乘,再将所有可能的乘积相加”这样的条件似曾相识,这可是高考和模拟试卷中屡见不鲜的条件,比如2013年北京朝阳区高三二模填空的最后一题:数列的前项组成集合,从中任取)个数,所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记,例如,当时,; 当时,;当时,试写出此题第一空为63,第二空可以用不完全归纳的方法得出结果是. 3:()card A A 111,,,23100S ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(){}*card 2,T A SA k k =⊆=∈N ∣()card T =i A T ∈i A i m i m M M =249898999999C C C 21+++=-{}21n -n 1,3,7,,21n -{}*1,3,7,,21,n n A n =-∈N n A (1,2,,k k n =k k T 12n n S T T T =+++1n ={}1111,1,1A T S ===2n ={}2121,3,13,13137A T S ==⨯=++⨯=3n =3S =n S =()1221n n +-可是不完全归纳法总让人觉得差点意思,有没有更加“给力”的方法?观察,根据乘法法则,此式即为第二空的答案,是不是很“给力”?这一招是处理“从数集中任意选取若千个数相乘,再将所有可能的乘积相加”这类条件的利器,大家一定要学会.现在回到原题,假如这道题求的是集合的每个子集中元素乘积的总和,那就好办了,答案是,可是现在要求的是集合的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和,刚才这招并不能立即见效,再一次“山重水复疑无路”.再想想,以前有没有解决过类似的问题?比如第(I)小题那个结论如何证明?于是“似曾相识燕归来”!求的值,令,在二项展开式中,取得,取得,故.利用具有对偶性的两个代数式解决问题,此思路可帮助找到求解原题的思路: 记为集合的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和,记为集合的每个元素个数为奇数的子集中元素乘积的总和,, , 所以. 【反思】(1)对问题中结构模型的联想是找到问题求解思路的智慧点,许多时候,联想是启动思维的发动机.(2)善于积累上述智慧点,为解决更加复杂的问题奠定基础.(3)求某些特殊集合中元素个数的计数方法多样,注意正确选择.()()()()1113171211n ⎡⎤++++--⎣⎦S 111991*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭S 024C C C n n n +++024135C C C ,C C C n n n n n n A B +++=+++=1x =2n A B +=1x =-0A B -=12n A -=M S N S 111991*********M N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11199111123100100M N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4851200M =四、抓住分类本质减少分类层次计数中先进行分类,然后分别计算每一类中的方法数.由于分类标准的确定是一个难点,有必要引导学生关注分类时思考的方向,即抓住问题本质,从而减少分类的层次.问题4:在某次数学考试中,学号为的同学的考试成绩,且满足,则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有多少种?【解析】卡壳点:分类标准制定没有抓住问题本质.应对策略:减少分类的种数需要抓住分类的本质.问题解答:第一种分类:考虑下列8种情形.(1),有种; (2),有种; (3),有种; (4),有种; (5),有种; (6),有种; (7),有种; (8),有种. 故可能的情况共有种. ()1,2,3,4i i =(){}85,87,88,90,93f i ∈()()()()1234f f f f ()()()()1234f f f f <<<45C ()()()()1234f f f f =<<35C ()()()()1234f f f f <<=35C ()()()()1234f f f f =<=25C ()()()()1234f f f f <=<35C ()()()()1234f f f f ==<25C ()()()()1234f f f f <==25C ()()()()1234f f f f ===15C 43215555C 3C 3C C 70+++=第二种分类:在连接的“”或“=”中,考虑“”的个数的各种情形.(1)三个连接符号中含0个“=”,有种可能;(2)三个连接符号中含1个“,有种可能;(3)三个连接符号中含2个“=”,有种可能;(4)三个连接符号中含3个",有种可能.故可能的情况共有种. 一般地,在某次考试中,学号为的.同学的考试成绩,且满足,这位同学的考试成绩的所有可能的情况有多少种?分析:在连接的“<”或“=”中,考虑“=”的个数的各种情形.(1)个连接符号中含0个“=”,有种可能; (2)个连接符号中含1个“=”,有种可能;(3)个连接符号中含2个“=”,有种可能;个连接符号中含个“=”,有种可能.故可能的情况共有种.【反思】 (1)第一种分类的情况比较多, 没有抓住问题的本质; 第二种分类简洁, 抓住比较 4 个数大小的关 键, 即“=”与 “ < ”的个数. ()()()()1,2,3,4f f f f <=0435C C ”=1335C C 2235C C "=3135C C 0413223135353535C C C C C C C C 70+++=()1,2,3,4,,i i m =(){}123123,,,,,n n f i a a a a a a a a ∈<<<<()()()()123f f f f m m ()()()()()1,2,3,4,,f f f f f m 1m -01C C m m n -1m -111C C m m n --1m -221C C m m n --()1m m -1m -111C C mm n --01122111111C C C C C C C C m m m mm n m n m n m n -------++++（2）如何计算 C m−10C n m +C m−11C n m−1+C m−12C n m−2+⋯+C m−1m−1C n 1 呢?方法一 设计一个模型: 设一个袋子中有 (n +m −1) 个球, 其中红球有 n个, 黄球有 m −1 个, 现从中任 取 m 个, 则共有 C n+m−1m 种不同取法.另外, 用分类的方法考虑这个问题, 可分成 m 类: 第 1 类, 有 m 个红球, 0 个黄球; 第 2 类, 有 m −1 个红 球, 1 个黄球; 第 3 类, 有 m −2 个红球, 2 个黄球; ⋯; 第 m 类, 有 1 个红球, m −1 个黄球.于是取法总数为 C m−10C n m +C m−11C n m−1+C m−12C n m−2+⋯+C m−1m−1C n 1 种.以上两种算法结果应是相等的, 所以有 C m−10C n m +C m−11C n m−1+C m−12C n m−2+⋯+C m−1m−1C n 1=C n+m−1m .方法二 从结构上看, 联想到二项式定理, 由 C m−10+C m−11+C m−12+⋯+C m−1m−1, 考虑 (1+x)m−1, 由 C n m + C n m−1+C n m−2+⋯+C n 1, 考虑 (1+x)n , 因此考虑 (1+x)m−1(1+x)n =(1+x)n+m−1. 考虑展开式中 x m 项的系 数,左边为 C m−10C n m +C m−11C n m−1+C m−12C n m−2+⋯+C m−1m−1C n 1, 右边为 C n+m−1m .故 C m−10C n m +C m−11C n m−1+C m−12C n m−2+⋯+C m−1m−1C n 1=C n+m−1m .五、计数中分类时抓住现象本质问题 5 : 设集合 A ={(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)∣x i ∈{−1,0,1},i =1,2,3,4,5}, 则集合 A 中满足条件 1⩽|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|⩽3 的元素个数为 .【解析】卡壳点:目标中数据的特点把握不准.应对策略: 计数中分类抓住现象本质,非零个数分类思考.问题解答: 满足条件 1⩽|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|⩽3 的 x i 非零是本题的本质, 因此抓住这一 点进行分类是关键.当 x i ≠0 时, |x i |=1, 要满足题中不等式的条件, x i 中不是零的数只能有 1,2,3 个.以此分三种情况去讨论:(1) 如果不是 0 的数有 1 个, 则这个数可以取 1 或 −1, 满足条件的元素的个数为 C 51×21=10;(2) 如果不是 0 的数有 2 个, 则这 2 个数中每个都有 2 种取法, 满足条件的元素的个数为 C 52×22=40;(3) 如果不是 0 的数有 3 个, 则这 3 个数中每个都有 2 种取法, 满足条件的元素的个数为 C 53×23=80.故所有元素个数为 10+40+80=130.一般模型设集合 A ={(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,⋯,x n )∣x i ∈{−1,0,1},i =1,2,3,4,5,⋯,n }, 则集合 A 中满足条件 1⩽|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+⋯+|x n |⩽m,m ⩽n 的元素个数为 .解析 : 当 x i ≠0 时, |x i |=1, 要满足题中不等式的条件, x i 中不是零的数只能有 1,2,3,⋯,m 个. 以此分 m 种情况去讨论:（1）如果不是 0 的数有 1 个, 则这个数可以取 1 或 −1, 满足条件的元素的个数为C n 1×21;(2) 如果不是 0 的数有 2 个, 则这 2 个数中每个都有 2 种取法, 满足条件的元素的个数为 C n 2×22;(3) 如果不是 0 的数有 3 个, 则这 3 个数中每个都有 2 种取法, 满足条件的元素的个数为 C n 3×23;(4) 如果不是 0 的数有个, 则这 n 个数中每个都有 2 种取法, 满足条件的元素的个数为 C n m ×2m .故所有元素个数是 C n 1×21+C n 2×22+C n 3×23+⋯+C n m ×2m .当 m =n 时, 由于 (1+x)n =∑i=0n C n i x i , 令 x =2, 得 3n =∑i=0n C n i x i , 上式的值为 3n −1.【反思】 (1) 本题中 x i 的取值是零还是非零是本质的, 需要讨论是 1 还是- 1 是非本质的, 不需要讨论, 看 出这一点, 就可以有效地减少讨论.(2) 掌握分析方法, 拓展一般模型, 积累解决一类问题的模型.(3) 一般模型中计数结果的简化, 运用的思想方法与二项式定理有关:六、读懂集合寻找计数辅助方法问题 10 : 设 A 6={(x 1,x 2,x 3)∣x i =1,2,3,4,5,6,i =1,2,3 且 6∣x 1x 2x 3}, 求A 6#, 即 card⁡(A 6). 【解析】卡壳点: 读不懂集合语言, 读懂后应用计数方法效果不佳.应对策略: 联想集合语言的实际意义, 如求一枚骰子连续投三次出现的点数之积能被 6 整除的个数.问题解答: 用集合运算来思考, A6=A2∩A3,card⁡(A6̅̅̅)=card⁡(A2̅̅̅∪A3̅̅̅)=card⁡(A2̅̅̅)+card⁡(A3̅̅̅)−card⁡(A2̅̅̅∩A3̅̅̅),card⁡(A2̅̅̅)=33, 即x1,x2,x3只能取1,3,5,card⁡(A3̅̅̅)=43, 即x1,x2,x3可以取1,2,4,5,card⁡(A2̅̅̅∩A3̅̅̅)=23, 即x1,x2,x3可以取1,5 ,card⁡(A6̅̅̅)=card⁡(A2̅̅̅∪A3̅̅̅)=33+43−23=83个, card⁡(A6)=63−83=133个.【反思】一是读懂要做一件什么事, 即计算A6中元素的个数;二是读懂题设条件, 即对“ 6∣x1x2x3” 的理解与挖掘: 含5 及至少有1 个偶数;三是读懂目标要求, 求“ A6#”即求集合中符合条件的3 个元素的个数;四是选择正确思路, 计数中合理选用“列举法” “分类讨论法” “补集法” “列举＋分类法” “反面+分类法”等思路;五是选择计数方法, 合理选择使用加法原理、乘法原理、球与盒子模型法、优限法、特殊元素法等。

故选：C．
2．【答案】B
【解析】从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队有
C61
C51
C42
65
43 2
180
种选法，服务队中没有女生的选法有
C41 C31 C22 4 31 12 种，所以要求服务队中至少有 1 名女生，
不含 的共有
，
正偶数因数的个数有
个，
即
的正偶数因数的个数是 ，故选 A.
12．【答案】B
【解析】
故选：B
13．【答案】C
【解析】若 颜色相同，先涂 有 种涂法，再涂 有 种涂法，再涂 有 种涂法， 只有一种涂法，共有
种；若颜色 不同，先涂 有 种涂法，再涂 有 种涂法，再涂 有 种涂法，当 和 相同时，
种排法，所以满足条件的共有
种排法，故选 A.
【解析】 根据题意，组成四位数的百位数字为 5，分 2 步进行分析： ①组成四位数的千位数字不能为 0，则千位数字有 4 种选法，
②在剩下的 4 个数字中选出 2 个，安排在是十位、个位，有 A42 12 种选法， 则符合条件的四位数有12 4 48 个；
种。
故答案选 A。 4．【答案】C 【解析】由题可分两种情况讨论：
①甲可能在 A 组，组内分到其他四人中的 1 人,2 人或 3 人，则有 C41 C42 C43 14 种分法；
②甲可能在 B 组，组内分到其他四人中的 1 人,2 人或 3 人，则有 C41 C42 C43 14 种分法； 一共有14 14 28 种分法。
故选 C. 5．【答案】A
【解析】根据题意，先将 4 项工作分成 3 组，有 C42=6 种分组方法， 将分好的三组全排列，对应 3 名志愿者，有 A33=6 种情况， 则有 6×6=36 种不同的安排方式； 故选：A． 6．【答案】C

班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A.16 种
B.18 种
C.37 种
D.48 种
3、现有 个不同小球，其中红色，黄色，蓝色，绿色小球各 个，从中任取 个，要求这 个
小球不能是同一颜色，且红色小球至多 个，不同的取法为 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、将 个黑球、 个白球和 个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色
每个分厂至少 1 人，则不同的分配方案种数为（ ）
A.
B.
C.
D.
16、某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节
课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（ ）
A.
B.
C.
D.
17、记者要为 名志愿者和他们帮助的 位老人拍照，要求排成一排， 位老人相邻但不排在两
计数原理专题拓展版
姓名:
班级:
一、选择题(每小题 5 分,共 20 小题 100 分)
1、某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 5 名教师去 3 个边远地区支教（每地至少 1 人），其中甲和
乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（ ）种．
A.27
B.30
C.33
D.36
2、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每
D.
20、为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了 种不同的精美卡片,每袋食品随机装入 张卡片,集齐 种卡片可获奖,现购买 袋该食品,则获奖的概率为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题 5 分,共 20 小题 100 分)

专题03计数原理--高二数学专题解析知识点一：分类加法计数原理一、单选题1．将4封不同的信投入3个不同的信箱，且4封信全部投完，则不同的投法有（）A ．81种B ．64种C ．24种D ．4种【答案】A【分析】利用分步乘法计数原理进行分析，即可求得信的投法总数．【详解】由题意可知，每封信都有3种投法，根据分步乘法计数原理可知，不同的投法有：43333381⨯⨯⨯==种，故选A ．2．有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（）A．3种B．12种C．60种D．不同于以上的答案【答案】B【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算作答.【详解】依题意，计算不同取法种数有3类办法：取一本中文书有5种方法，取一本数学书有4种方法，取一本英语书有3种方法，++=（种）.由分类加法计数原理得：每次取一本，不同的取法有54312故选：B3．某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB 型血的有3人．从4种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为（）A．1200B．600C．300D．26【答案】A【分析】由分步计数原理即可求解.【详解】分四步：第一步，选O型血的人有10种选法；第二步，选A型血的人有5种选法；第三步，选B型血的人有8种选法；第四步，选AB型血的人有3种选法．故共有10×5×8×3＝1200（种）不同的选法．故选：A4．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（）A．8B．16C．24D．32【答案】C【分析】利用分类加法原理即可求解.【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有16个，若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有8个，所以梯形的个数是16+8=24，故选：C.5．某商场共有4个门，若从一个门进，另一个门出，不同走法的种数是（）A．10B．11C．12D．13【答案】C【分析】利用分步乘法原理即可得解.【详解】分两步完成，第一步：从4个门中选择一个门进有4种方法，第二步：从余下的3个门中选一个出有3种方法，⨯=种.根据分步计数乘法原理，共有4312故选：C6．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种【答案】B【详解】第一步，把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，故选B．二、填空题7．某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有______种不同的走法【答案】25【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理计算作答.【详解】依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步计数乘法原理知，从上山到下山方法共⨯=种，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法.有5525故答案为：258．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成__________个四位数号码？．【答案】10000【分析】用分步乘法原理计算即可求解.【详解】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第1步，有10种拨号方式，第2步，有10种拨号方式，第3步，有10种拨号方式，第4步，有10种拨号方式，⨯⨯⨯=个四位数的号码.根据分步计数原理，共可以组成1010101010000故答案为：10000.9．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有___________个．【答案】12【分析】分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4，4种情况，分别求得满足题意“好数”个数，根据分类加法计数原理，即可得答案．【详解】当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况．当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种，当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果．-表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成10．如图，设点P为正四面体A BCD的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有________个.【答案】10【分析】根据分类计数原理求解即可．【详解】符合条件的点P有两类：一，六条棱的中点；二，四个面的中心；+=个．集合M中有且只有2个元素，符合条件的点P有4610故答案为：1011．整数3528有______个不同的正因数.【答案】36【分析】先对3528进行分解，找到3223528237=⨯⨯，再根据分步相乘计数原理求解.【详解】3223528237=⨯⨯，3528的正因数必为237a b c ⨯⨯的形式，{}0,1,2,3a ∈，{}0,1,2b ∈，{}0,1,2c ∈，所以3528共有43336⨯⨯=个不同的正因数.故答案为：36.12．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有__________种.【答案】24【分析】分游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况讨论，然后利用分类加法原理求解即可【详解】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有2232C A 6=种，当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有122332C C A 18=种，由分类加法原理可知共有61824+=种，故答案为：2413．A 、B 、C 、D 、E 五人按顺时针方向围成一圈玩传球游戏，要求每次只能传给不与自己相邻的人．游戏开始时，球在A 手里，则经过5次传球，传到D 手中，不同的传球方案共有__________种．【答案】10【分析】先结合题意列出前两次传球与后三次传球的情况，从而列出所有满足的传球方案，由此得解.【详解】依题意，由于球只能不与自己相邻的人，所以推得第二次传球后，球只能在①，②，③，④情况中的一种；又第五次传球要传到D 手中，故后三次传球仅能在⑤，⑥，⑦，⑧情况中的一种；由于球只能传给不相邻的人，故只有①⑤，①⑥，①⑧，②⑤，②⑦，②⑧，③⑤，③⑥，③⑧，④⑥，共10个组合可传球，所以不同的传球方案共有10种.故答案为：10.三、解答题14．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？【答案】(1)9；(2)20；(3)94【分析】（1）分析题意，这是一个分类问题，分两种情况讨论，即分别从第一个和第二个信封中取信，由分类加法计数原理计算可得答案（2）分析题意，这是一个分步问题，分两步进行，先从第一个信封中取信，再从第二个信封取信，由分步乘法计数原理计算可得答案（3）将信封投入邮筒，是分步问题，每封信都有4种不同的方法，由分步乘法计数原理计算可得答案【详解】（1）任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，是分类问题，从第一个口袋中取一封信有5种情况，从第二个口袋中取一封信有4种情况，则共有549+=种．（2）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能完成这件事，是分步问题，应分两个步骤完成，第一步，从第一个口袋中取一封信有5种情况；第二步，从第二个口袋中取一封信有4种情况，由分步乘法计数原理，共有5420⨯=种．（3）第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信投入邮筒有4种可能，L ，第九封信投入邮筒有4种可能，由分步乘法计数原理可知，共有94种不同的投法．【反思】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的运用，解题时，注意分析题意，认清是分步问题还是分类问题，这是解题的关键．15．为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码．在某网站设置的邮箱中，(1)若密码为4位，每位均为0〜9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？(2)若密码为4〜6位，每位均为0〜9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？【答案】(1)10000(2)1110000【分析】（1）根据分步乘法原理即可计算；（2）分密码为4位、5位、6位三种情况分别用分步乘法原理计算，再将所得结果相加即得结果.【详解】（1）设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0〜9这10个数字中任取1个，有10种取法．根据分步计数原理，4位密码的个数是1010101010000⨯⨯⨯=．（2）设置的密码为4〜6位，每位均为0〜9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类．其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为410，510，610．根据分类计数原理，设置由数字0〜9组成的4〜6位密码的个数是4561010101110000++=．故满足条件的密码有1110000个．16．已知集合}2{32101M =---，，，，，，(,)P a b 表示平面上的点(,a b M ∈)．问：(1)(,)P a b 可表示平面上多少个不同的点?(2)(,)P a b 可表示平面上多少个第二象限的点?【答案】(1)36；(2)6【分析】（1）采用分步乘法计数原理，即可求出结果；（2）根据分步乘法计数原理和第二象限点的横坐标和纵坐标的特点，即可求出结果．P a b可分两步完成：【详解】（1）确定平面上的点(,)第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法．⨯=；根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6636（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，∴有3种不同的确定方法；第二步，确定b，由于0b>，∴有2种不同的确定方法．⨯=．根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为32617．（多选题）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法【答案】ABC【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，逐项计算，即可求解.【详解】对于A中，从国画中选一副有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中选一副有7种不同的选法，++=种不同的选法，所以A正确；由分类计数原理，共有52714对于B中，从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，⨯⨯=种不同的选法，所以B正确；根据分步计数原理，共有52770⨯=种不同的选法；对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有5210⨯=种不同的选法；若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有5735若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有2714⨯=种不同的选法，++=种不同的选法，所以C正确；由分类计数原理，可得共有10351459对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，⨯=种不同的选法，所以D错误.根据分步计数原理，不同挂法的种数是542018．（多选题）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（）A ．选1人为负责人的选法种数为30B ．每组选1名组长的选法种数为3024C ．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335D ．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种【答案】ABC【分析】利用加法计数原理判断选项A ；利用乘法计数原理判断选项B ；利用乘法及加法计数原理判断选项C ；利用间接法并结合乘法计数原理判断选项D.【详解】对于A ，选1人为负责人的选法种数：678930+++=，故A 正确；对于B ，每组选1名组长的选法：67893024⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ，2人需来自不同的小组的选法：676869787989335⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；对于D ，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有44种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有：434337-=，故D 错误；故选：ABC.19．（多选题）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（）A ．18B ．19C ．24D ．26【答案】AB 【分析】先求出每一条线路单位时间内传递的最大信息量，再由分类加法原理求解即可【详解】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6．因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为346619+++=，【答案】4 13【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出的概率公式计算可得【详解】依题意分22．将圆分成()*2,n n n ≥∈N 个扇形，每个扇形用红、黄、蓝、橙四色之一涂色，要求相邻扇形不同色，设这n 个扇形的涂色方法为n a 种，则n a 与1n a -的递推关系是______．【答案】1143n n n a a --=⨯-（3n ≥）【分析】假设第1个扇形与第n 个扇形不相邻，对这两个扇形颜色相同和不同进行分类计算即可.【详解】如上图所示，由题意，将圆分成()*2,n n n ≥∈N 个扇形，涂色方法有n a 种，若假设第1个扇形与第n 个扇形不相邻，如下图所示：则为第1个扇形涂色，有4种方法，为第2个扇形涂色，有3种方法，为第3个扇形涂色，有3种方法，…，为第n 个扇形涂色，有3种方法，故由分步乘法计数原理，涂色方法共有143n -⨯种，其中，包括了第1个扇形与第n 个扇形颜色不同的方法n a 种，与第1个扇形与第n 个扇形颜色相同的方法x 种，即143n n a x -⨯=+，而第1个扇形与第n 个扇形颜色相同的涂色方法x 种，可以看作将第1个扇形与第n 个扇形合并为一个扇形，如下图所示：即n 1-个扇形的涂色方法1n a x -=（为使1n a -满足题意，需使12n -≥，即3n ≥），综上所述，1143n n n a a --⨯=+（3n ≥），∴n a 与1n a -的递推关系是1143n n n a a --=⨯-（3n ≥）.故答案为：1143n n n a a --=⨯-（3n ≥）.【点睛】本题解题的关键，是将环形涂色问题断开，转换为带形涂色问题进行解决.23．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A ，B 两人中安排一人，第四节课只能从A ，C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有______种．（用数字作答）【答案】36【分析】按第一节上课的老师分成两类，利用分步乘法计数原理计算出每一类安排上课方法数，然后将两类方法数相加即得.【详解】不同的安排方案有两类办法：第一类，第一节课若安排A ，则第四节课只能安排C ，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4312⨯=种排法；第二类，第一节课若安排B ，则第四节课可安排A 或C ，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有24324⨯⨯=种排法，因此不同的安排方案有122436+=种.故答案为：3624．某新闻采访组由5名记者组成，其中甲､乙､丙､丁为成员，戊为组长.甲､乙､丙､丁分别来自A B C D 、、、四个地区.现在该新闻采访组要到A B C D 、、、四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有___________种.【答案】44【分析】通过分类计数原理将问题分成甲，乙，丙，丁都不到自己的地区和甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区两类进行讨论，然后通过分步计数原理得到每一类的答案，最后求和即可.【详解】分两类：①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有()3311436⨯⨯⨯⨯=；②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有()21148⨯⨯⨯=.所以总数36844+=.故答案为：44.25．用4种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D 四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色．(1)有多少种不同的涂法？(2)若相邻区域不能涂同一种颜色，有多少种不同的涂法？【答案】(1)256；(2)48【答案】(1)9(2)24【分析】（1）利用分类相加计数原理即可得解；（2）利用分步相乘计数原理即可得解.【详解】（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类，从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数为4329++=.（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.⨯⨯=.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为43224。

高考数学计数原理大题解析计数原理是高考数学中的一个重要概念，考查学生对于排列组合和概率等知识的理解和运用能力。

本文将通过对高考数学计数原理大题的解析，帮助同学们更好地掌握该知识点。

一、排列组合（Permutation and Combination）排列组合是计数原理的基础，主要讲解不同元素之间的排列和组合方式。

在高考中经常涉及到求解不同条件下的排列组合问题，具体题型包括：从n个元素中取出r个元素进行排列、组合的情况。

例如：某班有8个男生和5个女生，要从中选出3个代表参加演讲比赛，请问有多少种不同的选择方式？解析：这是一个典型的组合问题，从13个学生中选择3个参加演讲比赛。

根据组合的定义，可以利用组合公式C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)进行计算。

代入n=13，r=3，得到C(13,3) = 13! / (3! * (13-3)!) = 286。

因此，共有286种不同的选择方式。

二、排列（Permutation）排列是指从n个元素中取r个元素进行排列，不同的排列顺序被视为不同的结果。

在高考数学中，经常涉及到排列的题目，需要理解并掌握排列的计算方法。

例如：有5个人参加马拉松比赛，其中前三名将获得奖牌，请问共有多少种不同的获奖排名方式？解析：这是一个排列问题，从5个人中选择3个进行排列。

根据排列的定义，可以利用排列公式A(n,r) = n! / (n-r)!进行计算。

代入n=5，r=3，得到A(5,3) = 5! / (5-3)! = 60。

因此，共有60种不同的获奖排名方式。

三、多重计数原理（Multinomial Principle）多重计数原理是计数原理的扩展，适用于一次抓取多个元素的排列组合问题。

在高考数学中，多重计数原理常常应用于计算拆分和分组问题。

例如：某班有8个男生和5个女生，要从中选出5人组成一个小组进行活动，请问有多少种不同的组合方式？解析：这是一个组合问题，从13个学生中选择5个组成一个小组。

计数原理专项练习一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）1. 从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A. 224B. 112C. 56D. 282. A ，B ，C ，D 四位妈妈相约各带一名小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一位大人和一名小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 妈妈或D 妈妈的车的概率是()A.13B.12C.59D.233. 袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是()A.B.C.D.4. 已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为A.B.C.D.5.2.5PM 是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，数0.0000025用科学计数法表示为() A. 72510-⨯ B. 62.510-⨯ C. 50.2510-⨯ D. 72.510-⨯6. 若集合1A ，2A 满足12A A A =，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合12{,}A a a =的不同分拆种数是()A. 8B. 9C. 16D. 187. 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则9a 等于()A. 10B. 10-C. 20D. 20-8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前项之和为，则的值为()A. 361B. 295C. 153D. 669. 设2012(1)n x a a x a x -=+++…nn a x +，若12||||...||127n a a a +++=，则展开式中二项式系数最大的项为A. 第4项B. 第5项C. 第4项或第5项D. 第7项10. 二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则()n =A. 4B. 5C. 6D. 711. 二项式的展开式中二项式系数最大的项为()A. 第 3 项B. 第 6 项C. 第 6 、 7 项D. 第 5 、 7 项12. 甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是A.B.C.D.13. 212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，展开式中的所有项的系数和是()A. 0B. 256C. 64D.16414. 9.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A. 66种B. 65种C. 63种D. 60种15. 102012(2)x a a x a x -=+++ (10)10.a x +则123a a a +++…10()a +=A. 1B. 1-C. 1023D. 1023-16. 腾冲第八中学数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的90、91、92三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()A. 30种B. 90种C. 180种D. 270种17. 从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是()A. 590B. 570C. 360D. 21018. 若*n N ∈，且521235n n n C A ---=，则n 的值为()A. 8B. 9C. 10D. 1119. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有()A. 28个B. 21个C. 35个D. 56个20. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()种.A. 252B. 112C. 20D. 56二、单空题（本大题共10小题，共50.0分） 21. 如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行()2n 第2个数是________22. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是__________.23. 二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为______.24. 已知4男3女排队，每名男生至多与一名女生相邻，共有______ 种不同的排法．(结果用数值表示)25. 被4除，所得的余数为________.26. 若22242n C A =，则!3!3!n n =-________.27. 2015年世博会在意大利米兰举行，其中某大学要从6名男生和2名女生中选出3人作为奥运会的志愿者，若男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有__________________________种(结果用数字表示).28. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为____________29. __________.30. 已知3828128(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则6a 的值为_____.答案和解析1.【答案】B试题分析：根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：.2.【答案】D解： 记A ，B ，C ，D 四位妈妈的小孩分别为a ，b ，c ，d ， 由于孩子都不坐自己妈妈的车， 假设A 与b 一辆车，则有3种情况，同理A 与c 一辆车及A 和d 一辆车，都有3种情况， 所以不同的坐车方式有3339++=种，而A 的小孩a 坐C 妈妈或D 妈妈的车的情况有336+=种情况， 所以所求概率为62.93P == 3.【答案】B解：至少有1个黑球，包括1个黑球、2个黑球，其方法数为 11205353C C C C +袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，∴共有方法数为 28C∴至少有1个黑球的概率是1120535328C C C C C +.4.【答案】A解：因为函数的最小值为，即.展开式的通项公式为，由，得，所以，即项的系数为15.5.【答案】B6.【答案】B解：12A A A =，对1A 分以下几种情况讨论：①若1A =∅，必有212{,}A a a =，共1种拆分；②11{}A a =，则22{}A a =或12{,}a a ，共2种拆分；同理12{}A a =时，有2种拆分； ③若112{,}A a a =，则2A =∅、1{}a 、2{}a ，12{,}a a ，共4种拆分；∴共有12249+++=种不同的拆分．7.【答案】D 8.【答案】A解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式.n 为偶数时，，n 为奇数时，02221c C ==，12333C C ==，246C =，325510C C ==，….然后求前21项和，偶数项和为75， 奇数项和为最后.9.【答案】C解：令0x =，可得01a =，令1x =-，可得0122n n a a a a ++++=，所以1221127n n a a a +++=-=，解得7n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，第5项.10.【答案】C因为(1)nx +的展开式中2x 的系数为2n C ，即215n C =，亦即230n n -=，解得6(5n n ==-舍).11.【答案】C解：，在二项式的展开式中二项式系数最大的项为第 6 、 7 项，12.【答案】A解：依题意，甲、乙、丙3人的相对顺序共有人种，其中甲位于乙、丙前面的共有种，因此所求的概率为，13.【答案】D解：根据21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 得展开式中项数是2417⨯-=，716n ∴=-=；令1x =，得展开式中的所有项的系数和是611(1).264-=14.【答案】A解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有1=种结果，当取得4个奇数时，有5=种结果， 当取得2奇2偶时有61060=⨯=∴共有156066++=种结果，15.【答案】D解：令1x =代入二项式102012(2)x a a x a x -=+++…1010a x +，得1001(21)a a -=++…101a +=，令0x =得1002a =，10122a a ∴+++…101a +=，12a a ∴++…101023a +=-，16.【答案】B解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215C C C A =种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，17.【答案】A解：直接法：3名语文、1名数学和1名英语，有31134520C C C =种， 1名语文、3名数学和1名英语1名，有13134560C C C =种， 1名语文、1名数学和1名英语3名，有113345120C C C =种， 2名语文、2名数学和1名英语1名，有22134590C C C =种，1名语文、2名数学和2名英语1名，有122345180C C C =种， 2名语文、1名数学和2名英语1名，有212345120C C C =种，共计206012090180120590+++++=种18.【答案】B解：*n N ∈，且521235n n n C A ---=，()()05122(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n n n ⎧⎪--⎪∴-⎨⎪----⎪⋅=--⨯⨯⨯⎩， 即()()5(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n ⎧⎪----⎨⋅=⨯--⎪⨯⨯⨯⎩，因此5(1)(4)40n n n ⎧⎨--=⎩，即255360n n n ⎧⎨--=⎩，解得9n =， 所以n 的值为9.19.【答案】B解：因为1146++=，1236++=，2226++=，0156++=，0246++=，0336++=，0066++=， 所以可以分为7类，当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，当三个位数字为1，2，3时，三位数有336A =个，当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个， 当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个， 当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个， 当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个， 当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，根据分类计数原理得三位数共有361442121.++++++=20.【答案】B解：分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，第一种是：一组2人，另一组5人，有2721C =种分法；第二一种是：一组3人，另一组4人，有3735C =种分法；第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，第一种有222A =种分配方法，第二种也有222A =种分配方法；最后，把两步方法数相乘，共有22327272212352112C A C A +=⨯+⨯=种方法.21.【答案】222n n -+解：设第(2)n n 行的第2个数构成数列{}n a ，则有322a a -=，433a a -=，544a a -=，…，11n n a a n --=-，相加得()()2122123(1)(2)22n n n n a a n n +-+--=+++-=⨯-=， 则()()21222.22nn n n n a +--+=+=22.【答案】19400解：设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A 、B 相互独立， 停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率13433()(1)(1)45480P P A B A =⋅⋅=-⨯-⨯=， ②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率234341()(1)(1)(1)4545100P P A B A B =⋅⋅⋅=-⨯-⨯-⨯=， 故停止射击时甲射击了两次的概率12311980100400P P P =+=+=， 23.【答案】80解：二项式51(2)x x+的展开式的通项公式为5552155(2)2r r r r r r r T C x x C x ----+=⋅⋅=⋅⋅， 令523r -=，1r =，故展开式中3x 的系数为 415280C ⋅=，24.【答案】2304解：第一类，把4男生捆绑在一起，插入到3名女生排列所形成的4个空的1个空中，故有431434576A A A =种，第二类，把4男生平均分为2组，分别插入到3名女生排列所形成的4个空的2个空中，故有232434864A A A =种，第三类，把4男生分为(3,1)两组，把把1名男生插入到3名女生排列所形成的4个空的头或尾，把在一起的3个男生插入到剩下的3个空中的1个，故有1133124333864A A A A A =种，根据分类计数原理得，5768648642304++=25.【答案】0解：显然能被4整除，余数为0.26.【答案】35解：222(1)42n C A n n =-=，解得7n =，或6(n =-舍去)，337!353!(3)!n n C C n ∴===-， 27.【答案】36解：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，，男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有， 28.【答案】0.6解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A ，(A 共有22326C A =种不同排法)，剩下一名男生记作B ，将A ，B 插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有22233243432C A A A =种，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为664324320.6.720P A === 29.【答案】40-解：，30.【答案】28解：3(1)x +展开后不会出现6x ， 又88(2)[(1)1]x x -=--， 所以6a 表示6(1)x -的系数， 所以6268(1)28.a C =-=。

高三数学总复习专题11 计数原理方法点拨1．11--=r r n n nC C r(其中*1,n r n r >≥∈N 、)2．二项式系数的有关性质：①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即13502412-+++=+++=n nn n n n n C C C C C C ；②若()2012=++++n n f x a a x a x a x ，则()f x 展开式中的各项系数和为()1f ， 奇数项系数和为()()024112+-+++=f f a a a ， 偶数项系数之和为()()135112--+++=f f a a a ． 3．排列组合解题思路（1）求解排列组合问题应遵循先特殊后一般、先选后排、先分类再分步的原则． （2）若排列、组合问题中有特殊的元素或位置对元素有特殊要求应先满足这些特殊元素或特殊位置的要求，然后再安排其他的元素或位置．（3）对于含有附加条件较多的排列组合问题，要注意分析附加条件的特征，根据其特征构建相应的模型，常见模型有：相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、有序分配、无序分组法、至多至少问题间接法、先分组后分配法等．试题汇编一、选择题．1．（四川省成都市石室中学2021届高三一模）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个．A ．242610A B ．242610A AC ．()2142610CD ．()2142610C A 2．（江苏省南通市学科基地2021届高三一模）某班级要从5名男生、3名女生中选派4人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案有（ ）A．20种B．30种C．35种D．65种3．（2010-2011年陕西省西安市华清中学高三一模）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共（）A．24种B．18种C．12种D．6种4．（四川省资阳市2020-2021学年高三一模）2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有（）种．A．120 B．96 C．48 D．245．（安徽省池州市2021届高三一模）2020年12月17日，嫦娥五号返回器携带1731克月球土壤样品在内蒙古四王子旗预定区域安全着陆，至此我国成为世界上第三个从月球取回土壤的国家．某科研所共有A、B、C、D、E、F六位地质学家他们全部应邀去甲、乙、丙三所不同的中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，其中地质学家A被安排到甲中学，则共有（）种不同的派遣方法．A．180 B．162 C．160 D．1266．（江苏省盐城中学2021届高三一模）扶贫结对中，5名爸爸各带1名孩子去农村参加帮扶和体验生活(5个孩子中3男2女)．村委会需要安排1名爸爸带3个孩子去完成某项任务，要求男孩小亮和爸爸有且仅有1人前往，男孩小明和爸爸始终在一起，且2个女孩中至少要选1个女孩，则不同的安排方案的种数是（）A．12 B．24 C．36 D．487．（宁夏银川唐徕回民中学2021届高三一模）地图涂色是一类经典的数学问题．如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（ ）种． A ．84B ．72C ．48D ．248．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试）5()()-+x y x y 的展开式中，24x y 的系数为（ ）A ．10-B ．5-C ．5D ．109．（安徽省池州市2021届高三一模）在()()()()()3456711111+++++++++x x x x x 展开式中2x 的系数是（ ） A ．45B ．53C ．54D ．5510．（广东省2021届高三一模）若214=+y x b ()()20+>x a a 的展开式中4x 的系数为3，则=a （ ） A ．1B ．12CD ．211．（江西省九江市2021届高考一模）()2+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该项系数是（ ） A ．280 B ．240 C ．192 D ．160二、填空题．12．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）512⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 展开式中3x 项的系数为________（用数字作答）13．（广西柳州市2022届高三一模）已知二项式n的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是_______．(用数字作答)14．（江西省新八校2020-2021学年高三一模）()321212⎛⎫--+ ⎪⎝⎭x x x 的展开式中的常数项是_______．15．（福建省泉州市2021届高三一模）()62+x 展开式中，二项式系数最大的项的系数为___________．（用数字填写答案）16．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）已知()()311++ax x 的展开式中3x 的系数为7，则=a ________．参考答案一、选择题． 1DCBBAAABDCD 二、填空题． 12．【答案】80-【解析】512⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 展开式的通项公式为()()()5155255212----⋅⋅-=-⋅⋅⋅r r r r r r rC x x C x ， 令523-=r ，得1=r ，所以展开式中3x 项的系数为()14151280-⋅⋅=-C ，故答案为80-．13．【答案】20【解析】由题意可得264=n ，可得6=n ，所以6展开式通项为()116322166C C ---+==r r r r rr T x x x ， 令3=r 可得常数项为306C 20=x ，故答案为20． 14．【答案】26-【解析】原式33321112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x x ，展开式中的常数项是2121122333112(2)2(1)226⎛⎫⎛⎫⋅+-⋅⋅+-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x C x C x x ，故答案为26-． 15．【答案】160【解析】因为()62+x 展开式的通项为6162-+=r r r r T C x ，依题意，二项式系数最大项为3333462160==T C x x ，其系数为160， 故答案为160． 16．【答案】2【解析】因为()3231133+=+++x x x x ，所以，()()311++ax x 的展开式中3x 的系数为137+=a ，解得2=a ， 故答案为2．。

专题10 计数原理1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，故选：B2．【2022年北京】若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（）A．40B．41C．−40D．−41【答案】B【解析】【分析】利用赋值法可求a0+a2+a4的值.【详解】令x=1，则a4+a3+a2+a1+a0=1，令x=−1，则a4−a3+a2−a1+a0=(−3)4=81，=41，故a4+a2+a0=1+812故选：B.)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用3．【2022年新高考1卷】(1−yx数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】(1−yx )(x+y)8可化为(x+y)8−yx(x+y)8，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为(1−yx )(x+y)8=(x+y)8−yx(x+y)8，所以(1−yx )(x+y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6−yxC85x3y5=−28x2y6，(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-28故答案为：-284．【2022年浙江】已知多项式(x+2)(x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=__________，a1+a2+a3+a4+a5=___________．【答案】8−2【解析】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出a0，再令x=1即可得出答案．【详解】含x2的项为：x⋅C43⋅x⋅(−1)3+2⋅C42⋅x2⋅(−1)2=−4x2+12x2=8x2，故a2=8；令x=0，即2=a0，令x=1，即0=a0+a1+a2+a3+a4+a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=−2，故答案为：8；−2．1．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）62x⎫⎪⎭展开式中的常数项为（）A．60B．64C．－160D．240【答案】A【解析】【分析】先得到二项式的通项公式，再令x 的指数为0得到项数，从而得到常数项大小． 【详解】解：62x ⎫⎪⎭的二项展开式的通项公式为()()62213666C 22C r r r rr r r rT x x x---+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅．令630r -=，解得2r =，所以展开式的常数项为()2262C 60-⋅=． 故选：A ．2．（2022·江苏无锡·模拟预测）二项式()()()237121212x x x ++++++的展开式中，含2x 项的二项式系数为（ ） A ．84 B ．56 C ．35 D ．21【答案】B 【解析】 【分析】易知展开式中，含2x 项的二项式系数为222222234567C C C C C C +++++，再利用组合数的性质求解. 【详解】解：因为二项式为()()()237121212x x x ++++++，所以其展开式中，含2x 项的二项式系数为：222222234567C C C C C C +++++，3222244567=C C C C C ++++，32225567=C C C C +++，322667=C C C ++，3277=C C +，38=C 56=.故选：B3．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）将5名志愿者分配到4个不同的社区进行抗疫，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．360种 D ．480种【答案】B 【解析】 【分析】将5名志愿者分为4组，每组的人数分别为2、1、1、1，再将这4组志愿者分配到4个不同的社区，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将5名志愿者分为4组，每组的人数分别为2、1、1、1，再将这4组志愿者分配到4个不同的社区，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为2454C A 240=.故选：B.4．（2022·吉林·三模（理））对于91x ⎛- ⎝的展开式，下列说法不正确的是（ ）A ．有理项共5项B ．二项式系数和为512C ．二项式系数最大的项是第4项和第5项D ．各项系数和为1- 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式与二项式系数的性质求解判断. 【详解】91x ⎛- ⎝的展开式的通项公式为 (939219912rr rr rr r T C C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当0,2,4,6,8r =时，展开式的项为有理项， 所以有理项有5项，A 正确；所有项的二项式系数和为92512=，B 正确； 因为二项式的展开式共有10项，所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C 错误； 令1x =，所有项的系数和为()9121-=-，D 正确. 故选：C5．（2022·全国·模拟预测（理））为帮助用人单位培养和招聘更多实用型、复合型和紧缺型人才，促进高校毕业生更高质量就业，教育部于2021年首次实施供需对接就业育人项目．某市今年计划安排甲、乙、丙3所高校与5家用人单位开展供需对接，每家用人单位只能对接1所高校，且必有高校与用人单位对接．若甲高校对接1家用人单位，乙、丙两所高校分别至少对接1家用人单位，则不同的对接方案共有（ ） A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．80种【答案】C 【解析】 【分析】将方案分为乙、丙高校各对接2家用人单位和乙、丙高校其中一所对接1家用人单位，另一所对接3家用人单位两种情况，根据分组分配的方法可计算得到每种情况对应的方案数，加和即可求得结果. 【详解】若乙、丙高校各对接2家用人单位，则对接方案有125430C C ⋅=种；若乙、丙高校其中一所对接1家用人单位，另一所对接3家用人单位，则对接方案有131252C C C 40=种；综上所述：不同的对接方案共有304070+=种. 故选：C.6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++-，则3a =（ ）A ．280B ．35C ．35-D ．280-【答案】A 【解析】 【分析】将()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++-化为()727012721t a a t a t a t -=++++，利用展开式的通项求解即可.【详解】()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++-，令1=x t -，则=1x t + ∴()727012721t a a t a t a t -=++++，()721t -展开式的通项为：()717C (2)1rrr r T t -+=-， 令4r =，可得()3437C 2280t t =，所以3280a =.故选：A.7．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）()251(1)x x x -+-的展开式中4x 的系数为（ ）A ．25-B ．25C ．5-D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据题意()2525551(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -+-----=+，借助二项展开式通项得5(1)x -的展开式为()5151C ,0,1,2, (5)k kk T x k -+=-=，分析求解． 【详解】∵()2525551(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -+-----=+5(1)x -的展开式为()()55155C 11C ,0,1,2,...,5k kk k k kk T x x k --+=-=-=，令3k =，得()332251C 10x x -=-，则224(10)10x x x -=-，令2k =，得()223351C 10x x -=，则34(10)10x x x -=-， 令1k =，得()14451C 5x x -=-，∵()251(1)x x x -+-的展开式中4x 的系数为()()()1010525-+-+-=-.故选：A ．8．（2022·全国·模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222321231112220=+++=+++．设222225a b c d =+++，其中a ，b ，c ，d 均为自然数，则满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是（ ） A ．28 B ．24 C ．20 D ．16【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解 【详解】显然a ，b ，c ，d 均为不超过5的自然数，下面进行讨论． 最大数为5的情况：①2222255000=+++，此时共有144A =种情况；最大数为4的情况：②2222254300=+++，此时共有2412A =种情况；③2222254221=+++，此时共有2412A =种情况．当最大数为3时，222222223322253321+++>>+++，故没有满足题意的情况． 综上，满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是4121228++=． 故选：A9．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知21nn a =+，则关于()()()()()()123456x a x a x a x a x a x a ------的展开式，以下命题错误的是（ ）A ．展开式中系数为负数的项共有3项B ．展开式中系数为正数的项共有4项C ．含5x 的项的系数是126-D ．各项的系数之和为212 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式各项的系数判断其正负即判断选项ABC 的真假；求出各项的系数之和即可判断选项D 的真假. 【详解】解：原式=()()()()()()359173365x x x x x x ------，所以6x 的系数为1，是正数；5x 的系数为3591733651320------=-<，4x 的系数为35+39+317+333+365+59++33650⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯>，3x 的系数为(3)(5)(9)(3)(5)(17)(17)(33)(65)0---+---++---<，2x 的系数为3591791733650⨯⨯⨯++⨯⨯⨯>，x 的系数为(3)(5)(9)(17)(33)+(5)(9)(17)(33)(65)0-----+-----<，常数项为3591733650⨯⨯⨯⨯⨯>，所以展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB 正确，选项C 错误.设()()()()()()()359173365f x x x x x x x =------，所以2345621(1)2222222f =⋅⋅⋅⋅⋅=.所以各项的系数之和为212，所以选项D 正确. 故选：C10．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值为（ ）A ．761B ．697C ．518D ．454【答案】D 【解析】 【分析】由()1121n n a a ++=+，结合等比数列的定义和通项公式可求出21nn a =-，结合二项式定理可求出012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值. 【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，又11a =，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++()01223344556012345555555555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+++++又01223344556555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552C 2C 2C 2C 2C 2C 2=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()5212486=⨯+=，0123455555555C C C C C C 232+++++==，所以012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++48632454=-=， 故选：D11．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）某地区安排A ，B ，C ，D ，E ，F 六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A ，B 两人安排在同一个社区，C ，D 两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（ ） A ．72 B ．84 C ．90 D ．96【答案】B 【解析】 【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB 两人一组去一个社区，AB 加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果. 【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE 一组，DF 一组，或CF 一组，DE 一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有332A 12=种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB 两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C 或D 为一组，有1323C C 种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有133233C C A 12=种分配方法；当AB 加上另一人三人去一个社区，若选择的是C 或D ，则有12C 种选择，再将剩余3人分为两组，有1232C C 种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有11232323C C C A 36=种分配方法；若选择的不是C 或D ，即从E 或F 中选择1人和AB 一起，有12C 种分配方法，再将CD 和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有13232C A 24=种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式 故选：B12．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（ ）种. A ．108 B ．136 C ．126 D ．240【答案】C 【解析】 【分析】对甲收集的方案种数进行分类讨论，结合分组分配原理以及分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：①若甲只收集一种算法，则甲有3种选择，将其余4种算法分为3组，再分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为23433C A 108=种；②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2种，其余3种算法分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为2333C A 18=种.综上所述，不同的收集方案种数为10818126+=种. 故选：C.13．（2022·广东佛山·模拟预测）“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种． 【答案】72 【解析】 【分析】由于《诗经》、《春秋》分开排，先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，然后再把《诗经》、《春秋》插入到4个空位中即可得到答案 【详解】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有33A 种排法再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有24A 种排法所以满足条件的情形共有3234A A 72=种．故答案为：7214．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知二项式623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则其展开式中3x 的系数为____________． 【答案】540- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()621231663C C 3r r rr r rr T x x x --+⎛⎫=⨯⨯-⨯ =-⨯⎪⎝⎭，令1233r -=，解得3r =.所以二项式623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为()()363C 27205034=-=-⨯⨯-.故答案为：540-.15．（2022·吉林·三模（理））为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”．【答案】27 【解析】 【分析】运用加法分类计数原理，结合组合的定义进行求解即可. 【详解】当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为2333C C 3⋅=；当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为1221323333C (C C C C )2(3331)24⋅+⋅=⨯+⨯=， 所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为32427+=， 故答案为：2716．（2022·湖南·模拟预测）()()5321x x -+的展开式的中4x 的系数是______．【答案】5 【解析】 【分析】 由()()()()5553321211xx x x x -+=+-+，则分别求出()51x +中的4x 与x 的系数即可求解．【详解】()()()()5553321211x x x x x -+=+-+，所以展开式中4x 的系数是14552C 1C 5⋅-⋅=．故答案为：517．（2022·江苏无锡·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有________种． 【答案】54 【解析】 【分析】根据甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，分甲是第5名和甲不是第5名分类求解. 【详解】解：因为甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名， 当甲是第5名时，则乙可以为第2，3，4名，有3种情况，剩下的3人全排列有33A 6=种，此时，由分步计数原理得共有1863=⨯种情况；当甲不是第5名时，则甲乙排在第2，3，4名，有23A 6=种情况， 剩下的3人全排列有33A 6=种，此时，由分步计数原理得共有6636⨯=种情况；综上：甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有18+36=54种情况， 故答案为：5418．（2022·山东泰安·模拟预测）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99）.则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是___________.【答案】30 【解析】 【分析】所有四位数的回文数中要能被3整除，这四个数的和是3的偶数倍数，分类讨论即可. 【详解】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数.满足条件的回文数分为以下几类： 和为6的回文数：1221+++，3003+++，此时有1213⨯+=个.和为12的回文数：3333+++，2442+++，1551+++，6006+++，此时有2226⨯+=个.和为18的回文数：1881+++，2772+++，3663+++，4554+++，9009+++，此时有4219⨯+=个.和为24的回文数：3993+++，4884+++，5775+++，6666+++，此时有3217⨯+=个.和为30的回文数：7887+++，6996+++，此时有224⨯=个. 和为36的回文数：9999+++，此时有1个. 故共有36974130+++++=个. 故答案为：30.19．（2022·辽宁沈阳·三模）若()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则012345a a a a a a +++++=_______．【答案】243##53【解析】 【分析】根据二项展开式可得012345012345a a a a a a a a a a a a +++++=-+-+-，令1x =-，即可得解. 【详解】解：()512x -的展开式得通项为()()155C 22C r rr r rr T x x +=-=-， 则012345012345a a a a a a a a a a a a +++++=-+-+-，令1x =-，则50123453243a a a a a a -+-+-==，即012345243a a a a a a +++++=. 故答案为：243.20．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）． 【答案】44 【解析】 【分析】应用分类分步计数，结合排列组合数及插空法求左侧的男员工前面一定有女员工的排法数. 【详解】先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形：第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共22A 2=种，将女生插空时又分两种情形：先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计22A 2=种；空位两侧共排一名女生时计111222C C C 8=种，共计()2211122222A A +C C C 20=种；第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共41222C A =种，将女生插空共1123C C 6=种，共计12112223C A C C 24=种，综上，共计()221111211222222223A A C C C C A C C 44++=种．故答案为：44。

专题13计数原理1．【 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2）（ 1+x ） 4 的睁开式中x 3 的系数为A ．12B ． 16C ． 20D ． 24【答案】A 【分析】由题意得x 3 的系数为C 342C 144 812 ，应选A ．【名师点睛】此题主要观察二项式定理，利用睁开式通项公式求睁开式指定项的系数．2．【 2019 年高考浙江卷理数】在二项式( 2 x)9的睁开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是 __________．【答案】 16 2 5【分析】由题意，(2 x)9 的通项为 T r 1 C 9r ( 2) 9 r x r (r 0,1,2 L 9) ，当 r 0 时，可得常数项为T 1 C 90( 2)9 16 2 ；若睁开式的系数为有理数，则r = 1,3,5,7,9 ，有 T 2 ,T 4 ,T 6,T 8 ,T 10 共 5 个项．故答案为： 16 2 ， 5．【名师点睛】 此类问题解法比较明确， 首要的是要正确记忆通项公式， “”特别是 幂指数 不可以记混， 其次，计算要仔细，保证结果正确．3．【 2019年高考江苏卷理数】设(1 x)n a 0 a 1 x a 2 x 2 L a n x n , n 4, n N * ．已知 a 32 2a 2 a 4 ．（ 1）求 n 的值；（ 2）设 (13) n a b 3 ，此中 a, b N * ，求 a 2 3b 2 的值．【答案】（ 1） n 5 ；（ 2） 32 ．【分析】（ 1）因为 (1 x)nC n 0C 1n x C n 2 x 2 L C n n x n ，n 4 ，所以 a 2C n 2n(n 1), a 3 C n 3n( n 1)(n 2) ，26a 4 C n 4 n( n 1)(n 2)( n 3) ． 24因为 a 32 2a 2 a 4 ，所以 [n(n1)(n2)] 2 2 n(n 1) n( n 1)(n 2)(n 3) ，62 24解得 n 5．（ 2）由（1）知，n 5 ．(1 3) n (1 3) 5C50 C15 3 C52( 3)2 C53 ( 3)3 C54( 3)4 C55( 3)5a b 3 ．解法一：因为 a, b N *，所以 a C50 3C52 9C54 76, b C51 3C35 9C55 44 ，进而a2 3b2 762 3 442 32 ．解法二：(1 3)5 C50 C51( 3) C52 ( 3)2 C53( 3) 3 C54( 3)4 C55 ( 3)5C50 C15 3 C52 ( 3)2 C53 ( 3)3 C54 ( 3)4 C55( 3)5．因为a, b N*，所以 (1 3) 5 a b 3 ．所以 a2 3b2 ( a b 3)( a b 3) (1 3) 5 (1 3) 5 ( 2)5 32 ．【名师点睛】此题主要观察二项式定理、组合数等基础知识，观察剖析问题能力与运算求解能力．1 n4．【山东省郓城一中等学校2019 届高三第三次模拟考试】已知二项式2x ( n N*) 的睁开式中第x2 项与第3 项的二项式系数之比是 2︰ 5，则x3的系数为A．14 B．14 C． 240 D．240【答案】 Cn r 1 r【分析】二项睁开式的第r 1 项的通项公式为T r 1 C n r 2x ，x由睁开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是2︰ 5，可得：C1n : C n2 2: 5．即2n 2 ，n(n 1) 5解得 n 6 或 n 0 （舍去）．所以T r 1C6r26 rr 6 3 r，1 x 2令 6 3r 3，解得r = 2，所以 x3的系数为C62 26 2 1 2 240．应选C．2【点睛】此题主要观察了二项式定理及其睁开式，观察了方程思想及计算能力，还观察了剖析能力，属于中档题．5．【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（ 6 月）】已知(1a)(2x 1)5 的睁开式中各项系数xx的和为 2，则该睁开式中常数项为A ．80B ．40C ． 40D ． 80【答案】 D【分析】令 x1a )(2 151 a ，，得睁开式的各项系数和为(1)111 a2 ， a = 1 ，55512 x51 a 2x 1 1 12x1 2 x 11 ， x xxxxx x1 5所求睁开式中常数项为2x的睁开式的常数项与 x 项的系数和，x1 5r5 rr 1 rr 5 rr 5 2 r2 x睁开式的通项为 T r(2 x) ( 1) ) ( x 1C 5 (1) 2C 5 x，x令 5 2r 1得 r = 2 ；令 5 2r 0 ，无整数解，∴睁开式中常数项为 8C 5280 ，应选 D ．【点睛】此题主要观察二项睁开式定理的通项与各项系数和，属于中档题． 二项睁开式定理的问题也是高考命题热门之一，对于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（ 1）观察二项睁开式的通项公式 TC r a n r b r2 ）观察各项系数r 1n；（能够观察某一项，也可观察某一项的系数）（ 和和各项的二项式系数和；（3）二项睁开式定理的应用．6．【山东省淄博市 2019 届部分学校高三阶段性诊疗考试一试题数学】1 8睁开式的常数项为xx 3A ． 56B ． 28C ． 56D ． 28【答案】 D181 )r8 4x睁开式的通项公式为 T r 1 C 8rx 8 rC 8r ( 1)r r【分析】( x 3 ，3x3x令 8 4 r 0 ，得 r6 ，∴所求常数项为： C 86 ( 1)6 28 ，应选 D ．3【点睛】此题观察二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．7．【河南省濮阳市2019 届高三 5 月模拟考试】安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共 6名义工照料甲，乙，丙三位老人，每两位义工照料一位老人，考虑到义工与老人地址距离问题，义工A 不安排照料老人甲，义工 B 不安排照料老人乙，则安排方法共有A ．30 种B ．40 种C ．42 种D ．48 种【答案】 C【分析】 6 名义工照料三位老人，每两位义工照料一位老人共有：C 26 C 24 90 种安排方法，此中 A 照料老人甲的状况有：C 15C 24 30 种，B 照料老人乙的状况有：C 15C 24 30 种，A 照料老人甲，同时B 照料老人乙的状况有：C 14 C 1312 种，∴切合题意的安排方法有：90 30 30 12 42 种，应选 C ．【点睛】此题观察利用摆列组合解决实质问题， 对于限制条件许多的问题，往常采纳间接法来进行求解．8．【上海市浦东新区 2019 届高三放学期期中教课质量检测（二模）数学试题】二项式(2 x1)6 睁开式2x的常数项为第 _________项． 【答案】 4【分析】由二项式睁开式的通项公式得：T r +1C 6r （ 2x ） 6–r （1 ） r ＝ C 6r （ –1）r 26 –2r x 6–2r ，2x令 6–2r ＝ 0，得 r ＝ 3，∴ T 4 为常数项，即二项式 (2 x1)6 睁开式的常数项为第 4 项，故答案为： 4．2x【点睛】此题观察了二项式睁开式的通项，属基础题．9．【河北省唐山市 2019 届高三第二次模拟考试】将六名教师分派到甲、乙、丙、丁四所学校任教，此中甲校起码分派两名教师，其他三所学校起码分派一名教师，则不一样的分派方案共有 _________ 种．（用．数字作答 ） ．．．．【答案】660【分析】若甲校2 人，乙、丙、丁此中一校2 人，共有C 26C 24 A 33 种，若甲校3 人，乙、丙、丁每校1 人，共有C 36 A 33 种，则不一样的分派方案共有C 26C 24A 33 + C 36A 33660 种，故答案为： 660．【点睛】此题观察摆列组合，分类议论思想，对每个学校人数议论是重点，是基础题．10．【上海市交大附中2019 届高三高考一模试卷数学试题】已知（1 x ）（1 23（1 na 1x a 2x 2n*），且x ） （1 x ）x ） a 0 a n x （n Na0 a1 a2 a n 126 ，那么（1 nx ）的睁开式中的常数项为 _________．x【答案】–20【分析】∵（12 3（1na1 x a2 x2 n *，x）（1 x）（1 x）x） a0 a n x（ n N ）令 x 1 ，可得 a0 a1 a2 a n 2 22（2n）2 ，∴2n 1 2 126 ，∴n 6 ，2n2 1 2n 11 2（ x 1 n 1 6 r 1 r r 3 r）（ x ） 6（1） x ，那么x ，即x 的睁开式的通项公式为 T C令 3 r 0 ，求得 r 3 ，可得睁开式中的常数项为 C 63 20 ，故答案为：–20．【点睛】此题主要观察二项式定理的应用，赋值法，求睁开式的系数和，项的系数，正确计算是重点，属于基础题．11．【江西省南昌市南昌外国语学校2019 届高三高考适应性测试数学试卷】设m 为正整数，2m x y展开式的二项式系数的最大值为a，x y 2 m 1b ，若 15a 8b ，则m睁开式的二项式系数的最大值为_________．【答案】 7【分析】x y 2 m 睁开式中二项式系数的最大值为 a C2m m，2m 1b C2m m 1x y 睁开式中二项式系数的最大值为 1 ，因为 15a 8b ，所以15C2m m 8C 2m m1 1，即 15 (2 m)!8 (2m1)!，解得 m 7 ．m! m! m!( m 1)!【点睛】此题观察了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的重点是要能正确计算出二项式系数的最大值．12．【北京市国都师范大学隶属中学2019 届高三一模数学试题】若（x 2 1 nx）睁开式中的二项式系数和为64，则n等于 _________ ，该睁开式中的常数项为_________．【答案】 6 15x21 n 64，可得2n【分析】由睁开式中的二项式系数和为64 ，解得 n 6 ，xx 21nx 21xx6的睁开式的通项公式为T r 1 C 6r x 12 2r x rC r 6 x 12 3r ，令 123r 0 ，解得 r 4 ，故该睁开式中的常数项为C 46 C 26 15 ，此题正确结果为： 6， 15．【点睛】此题主要观察二项式定理的应用，二项睁开式的通项公式，求睁开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13．【广东省 2019 届高三六校第一次联考数学试题】若 a ( 2sinx cosx)dx ，则 a6（ x ）的睁开式中x常数项为 _________． 【答案】 240【分析】 Q a(2sinx cosx)dx( 2cosx sinx) |0(2 0) ( 20) 4，446 rr3 r6r6 rrr6x4（x ）睁开式的通项公式为 T r 1C 6x（ 1）C 6 x 2，x令3r-6 0 ，即 r4 ．24 6 6 44 4=240 ，故答案为 240．（x ）的睁开式中，常数项是 4 （1）C 6x【点睛】此题观察定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项睁开式的通项公式求睁开式中某项的系数是解题重点．n14．【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次结合质量测评】 二项式 axb 0， b 0 的睁开式中，ax设 “全部二项式系数和 ”为 A ， “全部项的系数和 ”为 B ， “常数项 ”值为 C ，若 AB 256，C 70 ，则含 x 6 的项为 _________．【答案】 8x 6【分析】依题得 2n256 ，所以 n=8，在 ax bxn的睁开式中令 x=1 ，则有 a b8，所以 a+b =2，256又因为axbxn8 rb r8 r睁开式的通项公式为rrr8 2 r ，令Tr 1axxC 8 xC 8 a b8 2r 0 r 4 ．所以获得 C 84a 4b470 ab 1， ab1（舍），当ab1时，由a b2得a b1．所以令8 2r 6 r 1，所以T 2 C 18 x 68x 6，故答案为： 8x 6．【点睛】求二项睁开式相关问题的常有种类及解题策略：（ 1 ）求睁开式中的特定项．可依照条件写出第r＋ 1 项，再由特定项的特色求出r 值即可．（ 2 ）已知睁开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋ 1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数．15．【山东省烟台市 2019 届高三 5 月适应性练习（二）】设2|sin x | dx 在，则 1 2 (1 x)n睁开n0 x式中 x2的系数为 _________．【答案】 8【分析】由题意， n2| sin x |dx 2 sin xdx 2 sin x)dx | sin x |dx | sin x |dx (0 0 0cos x 0 cos x 2 4 ， (1 x) 4的通项公式为 T r 1 C4r 14 r x r C 4r x r ，当 r = 2 时，T3C42x2 6x2，当r 3时，T4 C 43 x3 4 x3，故1 2 (1 x) n睁开式中x2的系数为 4 ( 2) 6 8 ．故答案为：8 ．x【点睛】此题观察了定积分的计算、二项式定理，正确求出n 值，是解题的重点．16．【湖南省师范大学隶属中学2019 届高三考前操练（五）】总书记在湖南省湘西州十八洞村观察时初次提出“精确扶贫”观点，精确扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合精确扶贫战略，某省示范性高中安排 6 名高级教师（不一样姓）到基础教育单薄的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校起码 1 人，因工作需要，此中李老师不去甲校，则分派方案种数为_________．【答案】 360【分析】方法1：依据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校起码 1 人，可分四种状况：（ 1）甲校安排 1 名教师，分派方案种数有1 1 42 23 2；C（5 C5 C4A 2 C5 C3A 2） 150（ 2）甲校安排 2 名教师，分派方案种数有2 13 2 2 2C（5 C4C3A 2 C4C2） 140 ；（ 3）甲校安排 3 名教师，分派方案种数有C53 C13C22A 22 60 ；（ 4）甲校安排 4 名教师，分派方案种数有C54 C12C11 10 ；由分类计数原理，可得共有150 140 60 10 360（种）分派方案．方法 2：由 6 名教师到三所学校，每所学校起码一人，可能的分组状况为4，1，1； 3，2，1； 2，2，2，（ 1）对于第一种状况，因为李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C12种，其他5名分红一人组和四人组有C45A 22种，共 C54A 22C12 20（种）；李老师分派到四人组且该组不去甲校有C35C12 A 22 40（种），则第一种状况共有2040 60（种）；（ 2）对于第二种状况，李老师分派到一人组有C35C22A 22 C12 40 （种），李老师分派到三人组有C25 C22C12A 22 120 （种），李老师分派到两人组有C15 C12C34C22 80 （种），所以第二种状况共有40 80120 240 （种）；（ 3）对于第三种状况，共有C15C12C24 C22 60 （种）；综上所述，共有60 240 60360 （种）分派方案．【点睛】此题主要观察了分类计数原理，以及摆列、组合的综合应用，此中解答中仔细审题，合理分类议论是解答的重点，侧重观察了剖析问题和解答问题的能力，属于基础题．17．【上海市复旦大学隶属中学2019 届高三高考 4 月模拟试卷数学试题】袋中装有 5 只大小同样的球，编号分别为 1，2，3，4，5，若从该袋中随机地拿出 3 只，则被拿出的球的编号之和为奇数的概率是_________ （结果用最简分数表示）．【答案】25【分析】从 5 只球中随机拿出 3 只，共C53 10 种状况，而拿出的 3 只球的编号之和为奇数，有 2 偶 1 奇和 3 只全为奇数两种状况，若拿出 3 只球中有 2 只偶数 1 不过奇数，则有C13C22 3 种状况，若拿出的 3 只球中有 3 不过奇数则有C33 1 种状况，所以拿出的球的编号之和为奇数的概率为C13C22 C33 4 2C53 ．10 5故答案为：2 ．5【点睛】此题观察概率的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．18．【河北省衡水市2019 届高三四月大联考数学试题】现有一圆桌，周边有标号为1， 2， 3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一同商讨一个数学课题，每人只好坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不可以相邻，则全部选座方法有_________种．（用数字作答）【答案】 8【分析】先按排甲，其选座方法有C14种，因为甲、乙不可以相邻，所以乙只好坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个地点的坐法有 A 22 种，所以共有坐法种数为 C14 A 22 4 2 8 种．故答案为：8．【点睛】摆列、组合问题因为其思想方法独到、计算量大，对结果的查验困难，所以在解决这种问题时就要按照必定的解题原则，如特别元素、地点优先原则，先取后排原则，先分组后分派原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时一定考虑周到，做到不重不漏，正确解题．。

I ．题源探究·黄金母题【例1】随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，三个数字也必须合成一组出现，那么这种方法共能给多少汽车上牌照？【解析】将汽车牌照分为两类，即字母组合在左．字母组合在右边.字母在左时，分6步确定一个牌照的字母与数字: 第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法； 第2步，从剩余的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩余的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法； 第5步，从剩余的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩余的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法；根据分步计数原理，字母组合在左的牌照个数为 26×25×24×23×10×9×8=11232000. 同理，字母组合在右的牌照个数也为11232000.所以，根据分类计数原理，共能给 11232000+11232000=22464000. 辆汽车上牌照.精彩解读【试题来源】人教版A 版选修2-3第9页例9． 【母题评析】本题考查利用分类计数原理与分步计数原理计算简单的计数问题．【思路方法】认真阅读试题，探究需要分类还是需要分步，还是既要分类又要分步，然后按分析计算每类（或每步）的不同的方法数，再根据相应的计数原理计算出总的方法数．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（）（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【答案】C【解析】由题意，得必有1a=，81a=，则具体的排法列表如下：0 1 1 1110 1 110 11 010 1 110 11 01 00 11 01 00 1 110 11 01 00 11 0求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．【例3】【2013年高考山东，理】用0,1,2,...9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为A.243B.252C.261D.279【答案】B【命题意图】本类题问题主要考查利用分类计数原理和分步计数原理解决计数问题，考查考生运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查利用两个计数原理解决实际问题的能力．【难点中心】解答此类问题的关键是认证阅读试题，弄清需要分类还是需要分步还是既要分类又要分步，判定方法是一种方法是否能独立完成任务，若能，若完成任务的方法类型不同，则需要分类，否则不需要分类，分类时要做到不重不漏；若一种方法不能独立完成任务，需要几步完成都完成才能完成，则需要分布．III ．理论基础·解题原理考点一 分类加法计数原理（加法原理）一般形式：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N=1m +2m +……+n m 种不同的方法. 考点二 分步乘法计数原理(乘法原理)一般形式：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N=12n m m m ⨯⨯⨯…种不同的方法.考点三 两个原理的区别1.“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.2.“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题或古典概型、随机变量分布列大题的形式出现，小题难度中等偏下，大题为中档难度，有时也会与平面几何、立体几何等知识交汇． 【技能方法】1.计数问题中应用计数原理判定方法：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4.用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． 【易错指导】1.分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．2.分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．V ．举一反三·触类旁通 考向1 分类计数原理应用【例1】【2016届四川泸州市高三教学诊断性考试三数学（理）】某学校一共排7节课（其中上午4节，下午3节），某教师某天高三年级1班和2班各有一节课，但他要求不能连排2节课（其中上午第4节和下午第1节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能的排法种数共有（ ）A ．16B ．15C ．32D ．30 【答案】C【解析】运用分类计数原理求解：若第一节排课，则有5种排课方式；若第二节排课,则有4种排课方式；若第三节排课,则有3种排课方式；若第四节排课,则有3种排课方式；若第五节排课,则有1种排课方式.由分类计数原理共有32)13345(2=++++种排课方式.故应选C. 【方法指导】对只有一个限定条件的排列问题，可以用分类计数原理计算. 【跟踪训练】【2015-2016学年广西宾阳中学高二3月月考理】从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有__________种不同的走法． 【答案】11【解析】直接从甲地到丙地有三种走法,经过乙地到丙地有248⨯=种走法,所以合计有3811+=种走法考向2 分步计数原理应用【例】【2015-2016学年福建师大附中高二下期末数学（理）】如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A ，若灯A 不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（ ）A.12B.28C.54D.63 【答案】D【思路点睛】每个电阻都有断路与通路两种情况，图中从上到下有3条支线，分别记为a 、b 、c ，支线a 、b 中，至少有一个电阻断路的情况有3种，c 中至少有一个电阻断路的情况有23-1=7种，再根据分步计数原理求得结果． 【跟踪训练】【2015-2016学年海南文昌中学高二下期末理】2008年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A ．48种B ．36种C ．18种D ．12种 【答案】B【解析】先安排后两项工作，共有32⨯种方案，再安排前两项工作，共有32⨯种方案，故不同的选派方案共有3232=36⨯⨯⨯种方案，选B.考向3 分类计数原理与分步计数原理的综合应用【例3】【2016届四川省成都市石室中学高三5月一模理】从9名高三年级优秀学生中挑选3人担任年级助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A ．20 B ．36 C ．49 D ．56 【答案】B【解析】第1类，甲、乙恰有1人入选，第1步在甲、乙中选1人，有2种不同方法，第2步，在除过甲、乙、丙外6人中选2人有26C 种方法，根据分步计数原理，有262C =30种不同方法；第2类，甲乙都入选，在除过甲、乙、丙外6人中选1人有6种不同方法，根据分类计数原理，不同选法数为30+6=36，故选B.【方法指导】对计数问题，要分析是需要分类还是需要分步，在每类或每步中在考虑分类或分步. 【跟踪训练】【2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高二下期中理】某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ） A ．14 B ．16 C ．20 D ．48 【答案】B考向4 住店问题【例4】【2016届湖南省高考冲刺卷（理）（三）数学卷】某校高一开设4门选修课, 有4名同学, 每人只选一门, 恰有2门课程没有同学选修, 共有 种不同的选课方案．(用数字作答) 【答案】84【解析】先确定同学选修的2门：246C =,再确定4名同学选法42214-=，共有61484⨯=种不同的选课方案.【方法指导】对于“住店”问题，首项要分析清楚谁选谁的问题，然后逐个安排，然后用分类计数原理计算. 【跟踪训练】【2015-2016学年山西省怀仁一中高二下期末理科数学试卷】四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中的一项，不同报名方法共有（ ）A ．12B ．64C ．81D ．7 【答案】C【解析】对于三项活动来讲，每名同学都能选报，因此有813333=⨯⨯⨯种报名方法，应选C.考向5 染色问题【例5】【2017届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上入学摸底】用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为92,1 的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种A ．18B ．36C ．72D ．108 【答案】D【解析】3(1222)(1222)⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+108=．故选D ． 【名师点睛】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 （1）弄清完成一件事是做什么.（2）确定是先分类后分步,还是先分步后分类. （3）弄清分步、分类的标准是什么. （4）利用两个计数原理求解. 【跟踪训练】【2015-2016学年江西省于都三中高二第三次月考理】用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为92,1 的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种A ．18B ．36C ．72D ．108 【答案】D。

专题14计数原理考纲解读三年高考分析1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.3.二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.排列组合的运用和二项式定理是考查的重点，解题时常用到二项式展开式的通项公式，排列数和组合数的计算，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题为主，中等难度.以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.1．【2019年新课标3理科04】（1+2x2）（1+x ）4的展开式中x3的系数为（）A．12 B．16 C ．20 D ．24 【解答】解：（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为：1212．故选：A．2．【2018年新课标3理科05】（x2）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．80 【解答】解：由二项式定理得（x2）5的展开式的通项为：T r+1（x2）5﹣r（）r，由10﹣3r＝4，解得r＝2，∴（x2）5的展开式中x4的系数为40．故选：C．3．【2017年新课标1理科06】（1）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【解答】解：（1）（1+x）6展开式中：若（1）＝（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r＝2时，可得展开式中x2的系数为．可知r＝4时，可得展开式中x2的系数为．（1）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15＝30．故选：C．4．【2017年新课标2理科06】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【解答】解：4项工作分成3组，可得：6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：636种．故选：D．5．【2017年新课标3理科04】（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：T r+1（2x）5﹣r（﹣y）r＝25﹣r（﹣1）r x5﹣r y r．令5﹣r＝2，r＝3，解得r＝3．令5﹣r＝3，r＝2，解得r＝2．∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数＝22×（﹣1）32340．故选：C．6．【2019年天津理科10】（2x）8的展开式中的常数项为．【解答】解：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：T r+1（2x）8﹣r•28﹣r•（）r•x8﹣r•（）r•（﹣1）r28﹣4r•x8﹣4r．∴当8﹣4r＝0，即r＝2时，T r+1为常数项．此时T2+1•（﹣1）228﹣4×2＝28．故答案为：28．7．【2019年浙江13】在二项式（x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．【解答】解：二项式的展开式的通项为．由r＝0，得常数项是；当r＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：，5．8．【2018年江苏06】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52＝10种，其中全是女生的有C32＝3种，故选中的2人都是女同学的概率P0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P0.3，故答案为：0.39．【2018年新课标1理科15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，故答案为：1610．【2018年浙江14】二项式（）8的展开式的常数项是．【解答】解：由．令0，得r＝2．∴二项式（）8的展开式的常数项是．故答案为：7．11．【2018年浙江16】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．（用数字作答）【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，可以组成720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．12．【2018年上海03】在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1•x r，令r＝2，得展开式中x2的系数为21．故答案为：21．13．【2018年天津理科10】在（x）5的展开式中，x2的系数为．【解答】解：（x）5的二项展开式的通项为．由，得r＝2．∴x2的系数为．故答案为：．14．【2017年浙江13】已知多项式（x+1）3（x+2）2＝x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4＝，a5＝．【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2＝x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4＝3×4+1×4＝16；a5＝1×4＝4．故答案为：16；4．15．【2017年浙江16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21＝40种，这4人选2人作为队长和副队有A42＝12种，故有40×12＝480种，第二类，先选2女2男，有C62C22＝15种，这4人选2人作为队长和副队有A42＝12种，故有15×12＝180种，根据分类计数原理共有480+180＝660种，故答案为：66016．【2017年上海02】若排列数6×5×4，则m＝．【解答】解：∵排列数6×5×4，∴由排列数公式得，∴m＝3．故答案为：m＝3．17．【2017年天津理科14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54＝120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41＝40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44＝24种顺序，则有40×24＝960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960＝1080个；故答案为：1080．18．【2019年江苏24】设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C，a3＝C，a4＝C，a 32＝2a 2a 4，可得（）2＝2••，解得n ＝5；（2）方法由于a ，b ∈N *，可得a ＝C 3C 9C 1+30+45＝76，b ＝C 3C 9C 44，可得a 2﹣3b 2＝762﹣3×442＝﹣32； 方法（1）5＝CC （）+C （）2+C（）3+C（）4+C（）5＝CCC（）2﹣C（）3+C （）4﹣C（）5，由于a ，b ∈N *，可得（1）5＝a ﹣b，可得a 2﹣3b 2＝（1）5•（1）5＝（1﹣3）5＝﹣32．1．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查】若二项式61nx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，则n 的值可以是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】C 【解析】二项式61nx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的第1r +项为：33(45)6221()(1)()(1)n r r n r r r r r r n n T C x x C x ---+=⋅-⋅=⋅-⋅，由题意可知含有常数项，所以只需450n r -=，对照选项当10n =时，8r =，故本题选C. 2．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（ ） A ．20 B ．15C ．10D ．5【答案】D 【解析】由题意知的展开式的各项系数和为32，即，解得，则二项式的展开式中的项为，所以的系数为5，故选D 。

第04练计数原理（7种题型过关练+能力提升练+拓展练）1.分类加法计数原理概念：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法（也称加法原理）特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏”2.分步乘法计数原理概念：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么，完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法（也称乘法原理）特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”3.两个原理的联系与区别⑴.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.⑵区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n 类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n 个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复4、计数原理的解题步骤(1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n 类”还是“分n 步”；(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数；(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；(4)作答。

5、从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数n m m m m =⋅⋅⋅⋅。

位值原理例题讲解：板块一：基础题型1．一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数．答案：54解析：设十位为a ，各位为b ，则10a+b=（a+b ）x6，解得a=5，b=42．今年是2008年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”．请问：小王今年多大？答案：23岁或5岁解析：假设在2000年后的200A 年出生，则2008-200A=2+0+0+A,解得A=3，即2003年，现在5岁；若在2000年前出生，则应该介于1980年至1989年之间，设为198B 年出生，则1+9+8+B=2008-198B ，解得B=5，即23岁3．用3个不同的数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求6个三位数中最小的一个．答案：139解析：一共可以组成6个不同的三位数，且每个数字在百位、十位、个位上共出现6次，设这三个数为\a 、b 、c ，（a+b+c ）x2x111=2886，a+b+c=13，最小的一个数位1394．有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得到一个三位数；在它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数，已知得到的三个数总和为3600，求原来的两位数．答案：14解析： 3 a ba b 3+ 3 a b 33 6 0 0通过上面竖式，可知a=1，b=45．有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为35，B 的各位数字之和为26，且两数相加时进位三次，求A+B 的各位数字之和．答案：34解析：用假设法，A=9990224，B=6776，满足要求，A+B=9997000,9+9+9+7+0+0=346．有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各位数字之和的31，求所有这样的三位数． 答案：117,108和207解析：数字和减少，肯定有进位，进一位数字和减少6，设三位数为abc ，（a+b+c-6）x3= a+b+c ，可得（1.1.7），（1,0,8）（2,0,7）三组解。

对应计数基础知识・1.人类｛早使用的计数方法，不是枚举，不是排列组合，也不是递推，而是对应。

2.对应的目的：化繁为简，通过简单的计数问题解决复杂的计数问题。

3•对应的常用思路：从整体观察问题，发现问题所对应的本质，不拘泥于其屮细微的步骤。

4.常见对应方法：插板对应、方向对应、儿何对应。

5.插板法：把/〃个相同的球放入刀个不同的篮了里不得为空：X ;每个间隔至多插一个板子；板子不得相邻，不得插在两端。

允许为空：: /?个篮子就要补/?个球，然后转变为每个篮子不得为空。

例1.小高妈妈每天让小高吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么小高吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？思考：具体的考虑每天的选择，发现后面的种数会受到前面的影响，那么从整体考虑呢？具体的吃法和什么是对应的？其实，只要小高妈妈列出一个吃蛋的安排，事情就变得很简单了。

【答案】70【解答】列出这8天的安排，4个“鸡”和4个“鸭”排成一列，这样的排法就对应着这8天的吃法。

所以，共有=70 （种）例2. 5枚相同样式的华杯赛奖章颁发给3名学生，每个学牛至少一枚，则有多少种颁奖方式？思考：在低年级，这类问题枚举就可以解决。

但是如果数字更大，枚举就很麻烦了。

所以，我们可以从本题中寻找更一般的方法。

想象这样一种场景，老师把这5枚奖章排成一列，然后在间隔中划上两道竖线分割成三部分，于是奖章就分好了。

【答案】6【解答】实际上，根据前而的思考，我们发现，把5枚奖章排成一列后，从它们的4个间隔中选2个，插入两块板，奖章就被分为了3个部分，我们可以规定最左边的就给学生A,中间的给学生B,最右边的给学生C,于是这两块板的插法就对应着奖章的分法：C^ = 6（种）什么是插板法把/〃个相同的球放入n个不同的篮了里不得为空：c仁;：每个间隔至多插一个板子；板子不得相邻，不得插在两端。

例3. 10个相同的桔子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1个，一共有多少种不同的放法？【答案】36【解答】显然本题也是用插板法对应起来，共有=36 （种）。