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1.3.2杨辉三角与二项式定理的性质

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“杨辉三角”与二项式系数的性质

“杨辉三角”与二项式系数的性质

第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 1
1
1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
探 究 ４
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
1，1，2，3，5，8，13，21， 34，．．．此数列{an}满足, a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2 (n≥3) 这就是著名的 斐波那契数列．
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二 卷． 其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日
本等国均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》 一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
二.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子出生的第 个月长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生 一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问 一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
分析:设第 n 行的第 2 个数为 an ,则a2 = 2 ,
an+1 - an =n
n2 n 2 ∴ an = 2 + 2 + 3 +…+ ( n-1)= 2
人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件


„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
1.3
1.3.2
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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杨辉三角和二项式定理

杨辉三角和二项式定理

杨辉三角和二项式定理杨辉三角和二项式定理是数学中经典的基本概念和定理，被广泛应用于组合数学、数理统计、微积分等领域。

本文将介绍杨辉三角和二项式定理的定义、性质以及应用。

一、杨辉三角杨辉三角是一种数学图形，是由数字排列成三角形的形式，数字排列的规律性很强，主要是由二项式系数的各个项的系数构成的，又称为帕斯卡三角。

杨辉三角的构造方法如下：1.第一行写上数字1；2.从第二行开始，每相邻的两个数字都是上一行数字的相邻两个数字之和；例子：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1二、二项式定理二项式定理是代数学中的基本定理，它阐述了将一个二项式求幂的基本方法。

二项式定理的全称为“任意实数a和b以及非负整数n，有：(a+b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + … + C(n, n)b^n”其中C(n, k)为组合数，在组合数学中有明确的定义，即从n个不同元素中选取k个元素的不同组合数。

组合数用符号C(n, k)表示，其计算公式为：C(n, k) = n! / [k! (n-k)!]这样，我们就得到了二项式定理的定义。

三、杨辉三角和二项式定理的联系和应用二项式定理中的系数C(n, k)可以在杨辉三角中找到，这也是杨辉三角的一个重要应用。

具体来说，杨辉三角的第n行第k个数就是C(n, k)。

另外，杨辉三角还可以用来计算排列组合中的一些问题。

例如，需要在n个元素中选取m个元素的不同组合数，这就可以通过杨辉三角中的组合数来解决。

杨辉三角和二项式定理还可以应用于微积分中的泰勒公式、数理统计中的二项分布等问题。

在统计学中，二项分布是一个离散的概率分布，用来计算在n个独立的是/非试验中成功k次的概率。

杨辉三角和二项式定理在数学中属于基本概念和基本定理，对于理解和应用数学知识是非常重要的。

通过了解杨辉三角和二项式定理的定义和性质，可以更好地应用它们来解决实际问题。

1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。

结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。

二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。

二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。

发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。

二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。

二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。

每一行的系数具有对称性。

师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。

(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。

师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。

“杨辉三角”与二项式系数的性质

“杨辉三角”与二项式系数的性质

0 8
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习目标】
1．结合“杨辉三角”体会二项式系数的性质． 2．会求二项展开式中二项式系数最大的项． 3. 会对n
b a )(+中的b a ,赋值解决和的问题.
【复习】
1. 二项式定理：
2. 二项展开式的通项： 公式中的r n
C 叫做 【探究活动与知识点梳理】
（三）、二项式系数的性质：
①性质1： ，即
直线 将函数r n
C r f =)( ,},,2,1,0{n r ∈的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. ②性质2：
当 时，二项式系数是逐渐增大的；
当 时，二项式系数是逐渐减小的；
当n 是偶数时，第 项的二项式系数最大；
当n 是奇数时，第 项的二项式系数最大.
③性质3： ， 即
④ ，
即
【例题及练习】
例1. 画出函数r
C r f 6)(= ,}6,543,2,1,0{，，r ∈的图象.
例2. 试证明：在n
b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习：
1. 当n 为偶数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
当n 为奇数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
2. =+++1111311111C C C
3. =+++++++++++++1
1
221101210n n n n n n
n
n n n C C C C C C C C
4. =++++n n n n n C C C C 420。

杨辉三角的规律以及推导公式

杨辉三角的规律以及推导公式

精心整理杨辉三角的规律以及定理二项式定理与杨辉三角1与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

2的展开式来探讨。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)222此代数式的系数为：121由上式得出：(a+b)+2ab+b＝由此可发现，此代数式的系+3+b+3ab(a+b 的展开式是什么呢？答案为(a+b的展开式。

为133但似乎没有什么规律，所以让我们再来看b2+4a展开式为由此又可发现，代数式的系数为+4+b+6464似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1)1(1)11(112) 121(113) 1331(114) 14641(115) 15101051(116) 1615201561(11）1,4,6,4,1,（,1,2,1）（1,3,3,1）1,杨辉三角形的系数分别为：（1,1）,（：所以（）,1,7,21,35,35,21,7,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,17642547765233(a+b)=ab+7ab+21a+bb+35a+7abb+35a。

b+21a n的次数依次上b-n，n-n 等于a的次数依次下降、n-1、2...n由上式可以看出，(a+b) (2)方。

系数是杨辉三角里的系数。

、、升，01 杨辉三角的幂的关系2 精心整理．精心整理首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)…相加得到的数136…刚好，6，…次幂，即杨辉三角行个数之和等n-次杨辉三角中斜行和水平行之间的关(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20精心整理．精心整理把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。

“杨辉三角”与二项式系数的性质(一)

“杨辉三角”与二项式系数的性质(一)

7 2 7
变式: 设1 - 2 x a0 a1 x 1 a2 x 1 a7 x 1 ,
求a1 a3 a5 a7的值.
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1 37 2
No.16/18
课时小结
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
一般地,(a+b)n展开式的二项式系数有 如下性质：
0 1 2 3 4 5 n n [问题拓展] 你能求cn cn cn cn cn cn ........ (1) cn 吗 ?
1 n r n r r n n 由 (a b)n Cn0 a n Cn a b Cn a b Cn b (n N )
n k 1 k
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No.8/18
二项式系数的性质
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
（2）增减性与最大值
当n为偶数时,中间一项的二项式 系数Cn 取得最大值.
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn , Cn 相等, 且同时取得最大值.
n-1 2 n 1 2
n 2
n k 1 k 1 C C 所以 相对于 n 的增减情况由 决定． k
由 n k 1 1 k n 1 k 2 n 1 k 可知，当 时，二项式系数是逐渐 2 增大的，由对称性可知它的后半部分是 逐渐减小的，且中间项取得最大值.
n! (k 1)!(n k 1)!
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No.6/18
问题探究
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
观察:图像增减性与最大值.
n r 2
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No.7/18
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思

杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思

杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思1. 引言1.1 介绍杨辉三角和二项式定理的概念杨辉三角是中国古代数学家杨辉创制的一种数字图形，它是通过不断累加上一行两个数字得到下一行中间的数字，形成一个三角形状的数字图案。

杨辉三角的特点是每个数字等于它上方两个数字之和。

这个数学工具不仅可以用来展示数字规律，还可以用来解决各种数学问题。

而二项式定理是代数学中的一个基本定理，它描述了两个数之和的幂被展开成一系列的多项式的规律。

简而言之，二项式定理即为幂的展开公式。

利用二项式定理，我们可以简单地计算高次幂的展开式，也可以帮助解决各种代数问题。

杨辉三角和二项式定理之间有着密切的联系。

在杨辉三角中，每行的数字可以视为二项式系数，而每一行之间的关系可以通过二项式定理来解释。

结合杨辉三角和二项式定理可以帮助学生更好地理解数学规律，提高他们的数学思维能力。

在教学实践中融入二项式定理，可以帮助学生更加直观地理解抽象的代数概念，激发他们对数学的兴趣和学习动力。

1.2 阐述融入二项式定理的重要性融入二项式定理是杨辉三角教学中至关重要的环节。

二项式定理是高中数学重要的概念之一，它可以帮助学生理解和运用数学知识，提高他们的数学思维能力和解题技巧。

将二项式定理融入杨辉三角教学中，可以更好地帮助学生理解数学概念，从而更深入地掌握知识点。

通过将杨辉三角和二项式定理进行结合教学，可以帮助学生建立起数学知识之间的联系，深化他们对数学概念的理解。

这种教学方法也可以激发学生对数学的兴趣，提高他们学习数学的积极性。

融入二项式定理对于杨辉三角教学的重要性不言而喻，它可以有效提升教学效果，让学生在学习过程中获得更多的知识和启发。

2. 正文2.1 教学实践一：引导学生观察杨辉三角的规律杨辉三角是数学中一种十分有趣且具有规律性的数列图形，它展示了组合数学中的一些重要概念。

在教学实践一中，我们要引导学生通过观察杨辉三角的结构和特点来理解其中的规律。

让学生观察杨辉三角的每一行数字是如何生成的。

1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质(一)

1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质(一)


Cn0 Cn2 C1n Cn3
C
0 n
C2n
C1n
C3n

2n 2
2n1
特例法 赋值法
知识对接测查3
1.C110 C120 L

C 10 10
2_1_0__1_; 1023
2 1024 C111

C131
每行两端都是1从第二行起每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和这个表叫做二项式系数表也称杨辉三角类似上面的表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了这个表称为杨辉三角
1.3.2 “杨辉三角” 与二次项系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
二项式系数最T大r1的 T项r2为第11项,即
C10 20
由所此以确它定们r的的取比值是
C2102 28312 C2100
5 27 313 11
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
3、若
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

第一章
计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
栏 目 链 接

1．掌握二项式系数的性质． 2．会运用二项式系数的性质解决相关的问题．
栏 目 链 接

栏 目 链 接

基 础 梳 理
1．二项式系数的性质．

自 测 自 评 解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选 B. 答案：B
栏 目 链 接

栏 目 链 接

题型一
“杨辉三角”的变形及引申问题用
例1 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从
1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
栏 目 链 接

变 式 训 练
2n 2．(1)(2013· 哈尔滨高二检测)若x＋x 的展开式中各项系
数和为 99－n，则展开式中系数最大的项为( A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项
)
栏 目 链 接
(2)(2x－1)10 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为( 310－1 1－310 A. B. 2 2 1－210 210－1 C. D. 2 2
13 n 14 n
栏 目 链 接
解得 n 34 . 答案：34

题型二 例2
求展开式的系数和
已知(1－2x)7＝a0＋a1 x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
栏 目 链 接
(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解析：(1)令x＝0，则a0＝17＝1； 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. (2)令x＝－1，则

2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2课件新人教A版选修2-3


＝ ( C 2 2 ＋ C 1 2 ＋ C 1 3 ＋ … ＋ C 1 9 － C 2 2 ) ＋ ( C 3 3 ＋ C 3 2 ＋ … ＋ C 9 2 ) ＝ C120＋ C130－ 1＝ 164.
(2)由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3,即
二项展开式的第14项和第15项的系数比为
C.0
D.2
(2)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,(n∈N*),且a2=60. ①求n的值;
②求
的值.
a21a 22 2a 23 3 1na 2n n
【解题指南】(1)对x赋值1,即可求得.
(2)①由a2=60,求出n的值.
②令x=0,求出a0,再令x=-1 即可求得. 2
这C 正0 n 1 好C 是1 n第C nn 2 +1 2C 条3 n 细2 斜C 4 n 线 3 上… 各数之和.
类型二 求展开式中的系数和
【典例2】(1)(2017·济宁高二检测)如果(1-2x)7=a0+
a1x+a2x2+…+a7x7,那么a0+a1+…+a7的值等于 ( )
A.-1
B.-2
【解题指南】(1)该数列从第3项开始每隔一项等于前 两项的和,解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的 位置,把各项还原为各二项展开式的二项式系数,然后利 用组合数的性质求和. (2)可联系对应二项式系数的位置求解.
【解析】(1)选C.由图知,数列中的首项是
C
,第2 2项
2
是 ,第3项是
项是C 12 ,
答案:7
C
6 13
6.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求a0+a1+a2+…+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|. (3)求a1+a3+a5.

高二数学杨辉三角和二项式系数性质

k n
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定． k
k n
k 1 n
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由：n k 1 1 k n 1
k 2
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最 章 算 术 》
杨 辉
杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 n 律 (a b) 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 (a b) 2 (a b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a b) 4 (a b) 1 4 6 4 1 5 (a b) 1 5 10 10 5 1 6 (a b) 1 6 15 20 15 6 1
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内容小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“赋值法”，它是解决有 关二项展开式系数的问题的重要手段。
； /hskjr/ 黄生看金融 ；
n 0 n n 1 n n r n r r n n n n
(a b) C a C a b C a b C b (n N )
a 1, b 1
(1 1) C C C C (1) C
n 0 n 1 n 2 n 3 n n
n n
赋 0 (C0 C 2 ) (C1 C3 ) n n n n 值 法C 0 C 2 C1 C3 n-1
C C C C 2

“杨辉三角”与二次项系数的性质


杨辉三角的性质与特点
杨辉三角每一行的数字和等于2的n次方减1，其 中n为行数。
杨辉三角中的数字有一定的规律，例如对称性、增减 性等。
杨辉三角每一行的数字个数等于上一行的数字 个数加1。
杨辉三角中的每个数字都是二项式系数，可以表 示为C(n, k)，其中n为行数，k为该数字所在的列 数。
02 二次项系数简介
02
在欧洲，杨辉三角类似成果的 发现者是法国数学家帕斯卡， 大约在1650年前后。
03
杨辉三角的完善和推广对后世 数学的发展产生了深远的影响 ，特别是在组合数学和二项式 系数的研究方面。
杨辉三角的定义与结构
杨辉三角是一个数字三角形，其结构如下 第二行有两个数1和1。
第一行只有一个数1。
第三行开始，每个数等于它正上方的数与左上方的数之 和。
式系数的性质进行证明和推导。
杨辉三角与二次项系数在数学中的共同应用
杨辉三角和二次项系数在数 学中有广泛的应用，特别是 在组合数学、概率论和统计
学等领域。
在解决一些数学问题时，利 用杨辉三角和二次项系数的 性质可以简化计算过程，提
高解题效率。
杨辉三角和二次项系数的性 质在数学中具有普遍性和通 用性，对于理解数学概念和 解决数学问题具有重要意义 。
中 n 是多项式的次数。
二次项系数还具有递推性， 即 a(n+1)=b*n+c*n-1 和
c(n+1)=b*n+a*n-1。
二次项系数还具有组合数性质， 即 C(n,k)=C(n,k-1)+C(n-1,k1)，其中 C(n,k) 表示从 n 个 不同项中选取 k 个的组合数。
二次项系数在数学中的应用
组合数学的基础

“杨辉三角”与二项式系数的性质


合作学习
思维聚焦
1.二项式系数的性质既可以通过观察杨辉三角得到，也可 以通过逻辑推理直接得到：
由组合数性质“Cnm＝Cnn－m”可得到对称性，即 Crn＝Cnn－r. 由 Ckn＝nn－1n－2k…－1n－！k·＋k 2n－k＋1＝n－kk＋1Ckn－1 可知，Cnk相对于 Ckn－1的增减情况将由n－kk＋1与 1 的大小关系 决定．
二项式系数表与杨辉三角中每行的数值对应相同吗？
提示：不相同．二项式系数表第一行是两个数，而杨 辉三角的第一行只有一个数，事实上，二项式系数表中的 第 n 行与杨辉三角中的第 n＋1(n∈N*)行对应数值相等．
如图所示，在杨辉三角中，第 n 条和 第 n＋1 条细斜线上各数之和与第 n＋2 条细斜线各数之和的关系如何？并证 明你的结论．
(3)由(2)得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1① 令 x＝1，y＝－1，
得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝59② ①＋②得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－2 1， 即所有奇数项系数之和为59－2 1.
(4)Tr＋1＝Cr9(2x)9－r(－3y)r ＝(－1)rCr9·29－r3rx9－ryr， 因此当 r＝1,3,5,7,9 时，Tr＋1 的系数小于 0. 即 a1，a3，a5，a7，a9 均小于 0， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝a0－a1＋a2＋…＋a8－a9＝59.
时取得最大值．
(3)各二项式系数的和： (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于__2_n ____， 即⑪___C_0n_＋__C_1n_＋__C_2n_＋__…__＋__C_rn_＋__…__＋__C_nn_＝__2_n____.
(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项
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1
C
n n
1
1
2020/4/13
8
Cmm
Cm m1
Cm m2
...
Cm n2
Cm n1
C m1 n
0行
1
1行
1C10 C111
2行
1C
0 2
C221
C122
3行
1C
0 3
C331
C332 C313
4行
C140
C4
1 4
C642
C4
3 4
C144
5行
n-1行 n行
… … C150
5C
1 5
1C052
34行行的和为2n。
1
1 +
+ 4
3 +
+ 6
3 +
+ 4
1 +
= 1
23 = 24
5行
1 + 5 + 10 + 10 + 5 +1 = 25
6行
1 6 15 20 15 6 1
7行
1 7 21 …35… 3…5 …21 7 1
n行
2020/4/13
1+
C
n1+C
2 n
+………+…C
nr…+ ………+
1
11
1 21
13 31
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
2020/4/13
1
二项式展开
(a+b)0=1 (a+b)1=1a+b 1 (a+b)2=1a2+2a2b+b2 1 (a+b)3=1a3+3a32b+33ab2+b13 (a+b)4=1a4+4a43b+66a2b2+44ab31+b4 (a+b)5=a15+5a54b+10a3b12+010a52b3+51ab4+b5
n-1行 1
C C 1 n 1
2…
n 1
C C C r 1 r … n2
n1 n1
n 1
1
n行
1
C
1 n
C
2 n
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… ……
C…nr …
…
C n1 n
1
6
性质探究1: 各行数字和有何特点?
0行
1
1行 杨辉三角的各1 行+ 数1 字= 的21和等于与
2行之对应的(a+b)n的1 +展2开+式1 的= 各22个系数
2行个数字之和，
3行
即1Cnr
2Cnr111
Cr n1
13 3 1
4行(2)对称性：Cnr1 C4nnr 6 4 1
5行(3)最值：当1n是5偶数10时,中1间0 的一5 项1取最大 6行值;当n是1奇数6 时1,中5 间的20两项1相5 等,6且同1时取
7行最大值1. 7 21 …35… 3…5 …21 7 1
C
n n
1
+
1 =2n
7
性质探究2:
与左斜边平行的直线所经过的数字之和？
0行
1 +
1行
1 +1
2行
121
+
3行
13 3 1
4行
1 4+ 6 4 1
5行
n-1行 n行
1 5 10 10 5 1
……
… … 1 C C1 2 n1 n1
… … 1
C
1 n
C
2 n
Cr n 1
C
r n
C r 1 n
C n2 n 1
赋值法
小结：
1. 杨辉三角与二项式系数 2.杨辉三角的主要性质
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11
杨辉三角与二项式系数
Cn0
+
Байду номын сангаас
C
1 n
+C
2 n
+
…+
C
r n
+
…
+
C
n n
1+
Cnn
=2n
2020/4/13
12
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5
C1053 C554 C155
… … 1 C C1
2
n1 n1
… … 1
C
1 n
C
2 n
Cr n 1
C
r n
C r 1 n
C n2 n 1
1
C n1 n
1
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9
题型一 奇数项与偶数项的二项式系数的关系
例1 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
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2
杨辉三角
《 详 解 九 章 算 法杨 》辉 中 记 载 的 表
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3
杨辉，南宋杭州钱塘人，中国著名的 数学家．著作甚多，共有５部21卷，著名 的有《详解九章算法》、《日用算法》、 《乘除变通本末》等。在朝鲜、日本等国 均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在《详解九章算法》 一书中，杨辉三角的发现要比欧洲早500多 年，我国古代数学的成就是非常值得自豪 的。
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4
1.杨辉三角与二项式系数
0行 杨辉三角的第n1行中的数对应于 二12行行项式(a+b)n展开1 1式2的1系1数
3行
13 3 1
4行
14 6 4 1
5行
1 5 10 10 5 1
…………
n行
Cn0
C
1 n
…
C
r n
C …
C n1 n
n n
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5
0行(1２)基杨本辉性三质角：的杨主辉要三性角质1形的两条斜边上的 1行数字都是1，而其余各1数都1等于它肩上的两