弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K

第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。

薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。

薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。

1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。

这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。

用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。

当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。

本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。

§6.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。

变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。

由Kirchhoff 假设，可以得到xwzz y x u ∂∂-=),,(，y w z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1）并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为22x w z x ∂∂-=ε，22ywz y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （6-2）其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。

第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移和应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移和薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。

薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。

薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。

根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。

因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。

然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。

对于薄板问题，边界条件的处理和弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。

二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。

§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。

薄板主要几何特征是板的中面和厚度。

首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。

对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。

薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。

根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期使用于工程问题的分析。

§4-2 空间等参数单元的数学分析在进行空间等参数单元的力学分析时，需要用到（1） 各个形函数对整体坐标的导数（求应变）；（2） 局部坐标系中微分体的体积及微分面的面积（载荷移置、刚度矩阵）； （3） 局部坐标面的法向余弦（载荷移置）。

现在来分别导出这些参数的表达式。

一、形函数对整体坐标的导数● 由复合函数的求导法则，有xN x N x N x N i i i i ∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂=∂∂ζζηηξξ (x,y,z)不过，由上节(4-17)和(4-18)式知，等参数单元的形函数N i 及x,y,z 均只是局部坐标ξ，η，ζ的显函数，所以，利用上式无法求出形函数N i 对整体坐标x,y,z 的导数。

● 我们如将Ni 理解为局部坐标ξ，η，ζ的复合函数，则有ξξξξ∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂=∂∂yy N y y N x x N N i i i i （ξ，η，ζ） 等等，所以有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂z N y N x N J z N y N x N z y x z y x z yx N N N i i i i i i i i i ][ζζζηηηξξξζηξ (4-19) 从而有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂-ζηξi i i i i i N N N J z N y N x N 1][ (4-20) 这里⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=ζζζηηηξξξz y x z y x z yxJ ][ (4-21)称为雅可比矩阵。

将(4-18)式代入上式。

于是得⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∑∑∑======ni n i i i ni ni ii ni n i ii N N N N N N x N x Nx N J 212121111111][ζζηηξξζηξ● 能够保证式(4-20)● 0°〈θ〈180°，一般应尽量控制在● 在单元内的任一点P ，沿局部坐标ξ、ζ的方向分别作微分矢量a 、b 、c 对应局部坐标的d ξ，d η，d ζ)，间形成一平行六面体(图4-9)。

薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。

薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。

薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。

根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。

因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。

然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。

对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。

二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。

§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。

薄板主要几何特征是板的中面和厚度。

首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。

对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。

根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。

薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。

根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。

第五章薄板弯曲问题有限元讲义第五章薄板弯曲问题有限元法第⼀节薄板弯曲问题的有关概念⼀、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平⾏的表⾯所构成的⽚状结构，其间距称为板厚。

同时，定义等分板厚的⾯为中⾯，当中⾯为平⾯时，称为平板，当中⾯为曲⾯时则称为壳体。

2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪⼒）作⽤下，发⽣弯扭⽽使薄板中⾯上各个点沿垂直中⾯⽅向发⽣的横向变形称为挠度，记为w。

3．薄板的两类问题：（1）平⾯应⼒板问题，载荷作⽤于板⾯内—（薄膜单元）；在拉、压⼒和⾯内切⼒作⽤下，板内将产⽣薄膜内⼒，从⽽使板产⽣⾯内变形。

（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) ⼏何尺⼨：板的厚度远较长与宽的⼏何尺⼨为⼩(⼀般厚度与板⾯最⼩尺⼨之⽐⼩于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中⾯的横向载荷作⽤。

c) ⼩挠度条件；即挠度与板厚之⽐值较⼩，⼀般为w/t ≤1/5。

研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中⾯为xoy平⾯，厚度⽅向为z轴⽅向，3．板的⼀般问题：⼀般情况下，板既可承受横向载荷作⽤，也可同时承受平⾏于板中⾯的膜载荷作⽤。

(1) 薄板：在⼩挠度情况下，当两种载荷同时作⽤时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作⽤可按平⾯应⼒问题进⾏处理，⽽横向载荷的作⽤则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内⼒和弯曲内⼒的叠加便是⼀般载荷综合作⽤的结果。

（2）厚板：当1⼆．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中⾯的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲⾯，且法线线段没有伸缩，板的厚度⽆变化。

这样，垂直于中⾯的正应变便可忽略，即εz=0根据⼏何⽅程，可得因此挠度只是x,y的函数，表⽰为w=w(x,y)，也即薄板中⾯上法线的各点都有相同位移。

2．正应⼒假设在平⾏于中⾯的截⾯上，应⼒分量ζz、τzx及τyz远⼩于其他三个应⼒分量，可忽略不计。

3．⼩挠度假设板中⾯只发⽣弯曲变形⽽没有⾯内变形，即中⾯内各点没有平⾏于中⾯的位移，表⽰为：在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应⼒都可⽤挠度w表⽰。

第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理 对连续体来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微分方程），并在一定的边界条件下求得其解，这种解析方法，实际做起来往往遇到很大的困难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，满足不了实际需要。

自从五十年代直刚法问世以来，利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决，这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。

有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革，随着理论探讨上的深入及计算机性能的不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具，无论对结构问题（如静力学、动力学）、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。

有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论，本章不再赘述。

变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。

本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。

在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。

§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。

第三章 薄板弯曲的变分原理及有限元素法3.1 基本问题基本认识：板作为承力的结构元件，主要通过弯曲起作用。

如果垂直于板面的挠度与板的厚度相比很小的话1<<Hw，则由弯曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，这是所谓的小挠度问题，一般认为4.0<H w以下。

反之，Hw越大，弯曲引起的中面拉伸的影响越来越大，就不能忽略不计，导致所谓大挠度问题。

除板的弯曲变形之外，还伴随有剪切变形，剪切作用的影响一方面取决于材料的剪切模量，另一方面取决于厚度/跨度（l H ）之比，即横向剪切随l H 的增大而增大。

通常把不考虑剪切作用（横向剪应变无穷大）的板理论叫做薄板理论，把考虑剪切作用的板理论叫做厚板理论。

本章仅考虑小挠度薄板问题。

基本假设：取板的中面为xy 平面，取z 轴与y x ,轴垂直，设板的厚度为h ，可以是()y x ,的函数。

① 变形假设：变形前垂直于中面的直线段在变形后没有伸缩，并且继续垂直变形后的中面。

由此得： ② 内力假设：板内应力的6个分量的大小不是同一量级，一般xy y x τσσ,,最大，yz xz ττ,约小一个量级，而z σ又小一个量级；在静力学分析中，0=z σ。

控制方程（内力平衡方程及物理方程）① 由弹性力学方法，对于均质材料构成的薄板，应力分量yz xz xy y x τττσσ,,,,可用5个内力()()()()()y x Q y x Q y x M y x M y x M y x xy y x ,,,,,,,,,表示，即：x x zM h 312=σ y y zM h 312=σ xy xyzM h 312=τ （矩定义为单位宽度上的矩） Note ：上述的弯距及剪力代表单位宽度上的，而不是整个板侧面的。

② 用内力表示的平衡方程：0=+∂∂+∂∂p yQ x Q yx ()y x p p ,= 分布的横向载荷 在薄板理论中，内力y x Q Q ,不产生应变，因而也不做功，可在以后的分析中不计算它们，在上式中消去y x Q Q , 即得：③ 几何关系： ④ 物理关系：（各向同性体）点应力应变关系：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v v v E εεετσσ2100010112内力与应变关系：注意： ()v E G +=12 ()23112v Eh D -=⑤ 单位面积上的应变能及余应变能（密度）应变能密度（曲率作为自变量）变分：[]xy xy y y x x k M k M k M U δδδδ2++= ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=x w x k x (单位长度上转角的变化) ∴ x x k UM ∂∂=y y k U M ∂∂= xyxy k U M ∂∂=21（这也是一种物理关系） 代入关于内力矩的物理关系，有：注意：上式中都是关于曲率的二次项，而且从物理上对于任意的曲率U >0，故U 称为正定的二次齐次函数。

第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。

荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。

横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。

中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。

薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。

放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。

只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。

（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。

弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。