第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。
薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。
薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。
1850年，G .R.Kirchhoff 除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。
这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。
当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§5.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。
变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。
由Kirchhoff 假设，可以得到xwzz y x u ∂∂-=),,(，y w z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （5-1）并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为22x w z x ∂∂-=ε，22ywz y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （5-2）其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即0=εz ，0=γxz ，0=γyz （5-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。
这里要注意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中面宽度内的内力，它们的因次是千克力/米。
弯矩、扭矩和剪力的正方向如图5-1所示。
平衡方程为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂),(y x q y Q x Q Q y M x M Q y M x M y x y y xy x xyx （5-4） 在薄板弯曲理论中，剪力x Q ,y Q 不产生应变，因而也不作功，因此可以从（5-4）式中消去x Q ,y Q ，得到0),(22222=+∂∂+∂∂+∂∂y x q yM y x M x M y xy x（5-5） 以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是指（5-5）式而言。
而内力x Q ,y Q 不再作为独立的量看待。
上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及到板的材料性质。
与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率xy y x k k k ,,，在小挠度弯曲理论中，它们与挠度w 的关系为22x w k x ∂∂-=，22ywk y ∂∂-=，y x w k xy ∂∂∂-=2 （5-6）内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度U ~表示出来，若将U ~表示为xy y x k k k ,,的函数，则有xx k UM ∂∂=~，y y k U M ∂∂=~，xy xy k U M ∂∂=~21 （5-7） 这种关系式对于线性或非线性材料都成立。
对于线性的弹性体，U ~是xy y x k k k ,,的正定的图5-1 弯矩、扭矩和剪力的正方向二次齐次函数。
在各向同性的情况下，U ~的算式为)])(1(2)[(21~22xy y x y x k k k k k D U -μ--+= （5-8）将（5-8）式代入（5-7）式，然后再将（5-6）式代入，得到内力矩与挠度的关系式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂∂μ--=∂∂μ+∂∂-=∂∂μ+∂∂-=y x w DM x w y w D M y w x w D M xy y x 222222222)1()()( （5-9）以上各式中)1(1223μ-=Et D 称为板的弯曲刚度，其中t 为板的厚度，μ为材料的泊松系数。
如果我们定义}{κ为广义应变，{}M 为广义应力，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂-=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=κxy y x xy y x M M M M y x w y w x w k k k }{22}{22222（5-10）则有}]{[}{κ=D M （5-11）式中的][D 为弯曲刚度矩阵。
（5-8）式可以写为}]{[}{21~κκ=D U T （5-12）余应变能密度*~U 看作是内力矩x M ,y M ,xy M 的函数，其值定义为U k M k M k M U xy xy y y x x ~2~*-++= （5-13）并且有x x M U k ∂∂=*~，y y M U k ∂∂=*~，xyxy M U k ∂∂=*~2 （5-14） 同样，对于线性的弹性体，*~U 是x M ,y M ,xy M 的正定的二次齐次函数。
如果以广义应力}{M 表示余应变能密度，则有}]{[}{21~*M C M U T = （5-15）式中1][][-=D C 。
（5-12）式与（5-15）式都是以后经常要用到的表达式。
注意，对于线弹性薄板，应变能密度与余应变能密度在数值上是相等的，即*~~U U =。
将（5-9）式代入（5-5）式，得到以挠度表示的各向同性薄板的平衡方程为),()2(4422444y x q ywy x w x w D =∂∂+∂∂∂+∂∂ （5-16） 或),(22y x q w D =∇∇ （5-16/）在处理具体问题时，经常遇到坐标旋转而引起的变换。
如果坐标由oxy 转变为ξηo ，如图5-2所示，则两个坐标系中坐标的关系为⎭⎬⎫θ+θ-=ηθ+θ=ξθη+θξ=θη-θξ=cos sin ,sin cos cos sin ,sin cos y x y x y x （5-17）对于挠度w ，有),(),(ηξ=w y x w ，从而⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫θ∂∂+θ∂∂-=η∂∂θ∂∂+θ∂∂=ξ∂∂cos sin sin cos y wx w w yw x w w （5-18） 及二阶偏导为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫θθ∂∂+θ-θ∂∂∂+θθ∂∂-=η∂ξ∂∂θ∂∂+θθ∂∂∂-θ∂∂=η∂∂θ∂∂+θθ∂∂∂+θ∂∂=ξ∂∂sin cos )sin (cos sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2cos 22222222222222222222222222y w y x wxw w y w y x w x w w y w y x w x w w （5-19） 弯矩、扭矩的变换公式为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫θθ+θ-θ+θθ-=θ+θθ-θ=θ+θθ+θ=ξηηξsin cos )sin (cos sin cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2cos 222222y xy x y xy x y xy x M M M M M M M M M M M M （5-20）剪力的变换公式为图5-2 坐标转换⎭⎬⎫θ+θ-=θ+θ=ηξcos sin sin cos y x y x Q Q Q Q Q Q （5-21）在板的弯曲问题中，有三种典型的边界条件，简述如下。
设Ω为板在xy 平面上的定义域，板的边界为C ，令n 为沿边界外向法线的方向，s 为边界的切线，（n ,s ）的转向与（x ,y ）的转向是一致的，如图5-3所示。
第一种边界为固支边界1C ，在这种边界上，其挠度与法向斜率均为给定的，即有n nww w φ=∂∂=,（在1C 上） （5-22） 第二种边界为简支边界2C ，在这种边界上，其挠度与法向弯矩为给定的，即有n n M M w w ==,（在2C 上） （5-23）第三种边界为自由边界3C ，在自由边界上，作用在边界上的力为给定的。
从内力和力矩看，在边界上共有三个，即n ns n Q M M ,,，但其中并不完全独立，因为从作功角度来看，ns M 和n Q 并不完全独立。
事实上，若边界上的挠度有一变分w δ，则n ns Q M ,在w δ上所作之功w δ是s w Q swM w C n nsd ]δδ[δ3⎰+∂∂-= （5-24） 利用分部积分，上式又可以写成33|δd δ)(δC ns C n nsw M s w Q sM w -+∂∂=⎰ （5-25）由（5-25）式可见，切向扭矩ns M 可以分解为沿着周边边界3C 的分布载荷sM ns∂∂及作用于3C 两端的集中力||ns M ，而3C 两端是支座（不是固支边便是简支边）。
从实际板的受力来分析，可以看到集中力||ns M 为作用在角点上，一般是影响到支座上的力，而对板的变形无影响。
因此，分布载荷sM ns∂∂与剪力n Q 构成沿自由边界3C 上的分布力，这部分边界力的虚功为s w Q s M C n nsd δ)(3⎰+∂∂与w δ相对应的广义力为n nsQ sM +∂∂，自由边的边界条件应取为 )(,s q Q sM M M n nsn n =+∂∂= （在3C 上） (5-26))(s q 为已知的作用在3C 上的线分布载荷。
图5-3 板的边界§5.2 虚功原理和功的互等定理力学上，可能位移是指满足位移连续条件的位移。
在薄板弯曲问题中只有一个广义位 移),(y x w ，因此，),(y x w 可能作为可能位移的条件是：yw x w w ∂∂∂∂,,是x ,y 的连续可导 函数，并且在边界上满足连续条件：⎪⎭⎪⎬⎫=φ=∂∂=上）（在上）（在21,C ww C nww w n （5-27） 同样，由可能位移w 也可得到相应的可能曲率。
可能内力是指与某种外力保持平衡关系的内力。
在薄板弯曲问题中，内力有x M ,y M , xy M ，这三个内力组成一组可能内力的条件是：在板的内部满足平衡方程（5-5）式，在板的边界上满足条件⎪⎭⎪⎬⎫=+∂∂==上）（在上）（在32)(,C s q Q s M M M C M M n nsn n n n （5-28） 根据能量守恒定理，外力在可能位移上所作的功等于可能内力在可能应变上所作的功，通常把这一关系叫做虚功原理。
