广东省高考数学适应性考试试题文(全国卷,含解析)-精

适应性考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B =I （ ）A ．[3,1]--B ．(,3][1,0)-∞--UC ．(,3)(1,0]-∞--UD ．(,0)-∞ 【答案】B【解析】(,3][1,)A =-∞--+∞U ，(,0)B =-∞， ∴(,3][1,0)A B =-∞--I U ．2．若(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则7i 1ia a +=+（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1- 【答案】C【解析】∵z为纯虚数，∴a =∴7i 3i i 1i 3a a +-====-+． 3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ） A ．3(32)nn- B ．32n+ C ．3nD ．132n -⋅【答案】C【解析】1111223(1)23(1)2a S a a a a ⎧==-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，1239a a =⎧⎨=⎩，经代入选项检验，只有C 符合．4．执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ）A ．0.95B ．0.98C ．0.99D ．1.00 【答案】C 【解析】111112233499100x =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111199(1)()()()2233499100100=-+-+-+⋅⋅⋅+-=．5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A2πBπC2πDπ【答案】B 【解析】()sincos 2cossin 2cos 266f x x x x ππ=-+31cos 222sin 2)22x x x x ==-)6x π=+，故选B ．6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】D【解析】11=2(2+1)2232V ⨯⨯⨯⨯=正四棱锥．7．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题， 那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题 【答案】D8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．76 【答案】A【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率27317P C ==． 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵(2)⊥-a a b ，∴(2)0⋅-=a a b ， ∴21122⋅==a b a ，∴||+==a b==10．62)21(xx -的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．1615【答案】D【解析】2612316611()()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1230r -=，解得4r =．∴常数项为446115()216C -=． 11．（ 广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y xB ．122=-x y C ．222=-y x D ．222=-x y【答案】D【解析】∵椭圆的端点为(0,，离心率为2，依题意双曲线的实半轴a =2c =，b =D ．12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)cos sin (23x x x y --=；③1+=xe y ；④⎩⎨⎧=≠=000||ln x x x y ，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】∵1122()()x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>， ∴1212()[()()]0x x f x f x -->，∴)(x f 在R 上单调递增．①231y x '=-+， (x ∈-∞，0y '<，不符合条件；②32(cos +sin )=3)04y x x x π'=--+>，符合条件；③0xy e '=>，符合条件；④()f x 在(,0)-∞单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H 函数”是②③．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】(,2)-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C ,∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴64264a a a +<⎧⎨+<⎩，解得2a <-．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．【答案】4【解析】223()162p p+=，∴4p =． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2n a 成等差数列，则=n a ． 【答案】n【解析】∵n a ，n S ，2n a 成等差数列，∴22n n n S a a =+当1n =时，2111122a S a a ==+ 又10a > ∴11a =当2n ≥时，2211122()n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，∴2211()()0n n n n a a a a ----+=，∴111()()()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， 又10n n a a -+>，∴11n n a a --=， ∴{}n a 是等差数列，其公差为1，∵11a =，∴*(N )n a n n =∈．16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．【答案】2【解析】直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴， ∴(2)()f x f x -=，(4)()f x f x -=，∴(2)(4)f x f x -=-，∴)(x f y =的周期2T =． ∴(4)(10)(0)(0)2f f f f +=+=．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值；（2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 【解析】（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，∴2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+， ∴2sin cos sin()A A B C ⋅=+，∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=， ∴2sin cos sin A A A ⋅=．∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴2cos 1A =，∴1cos 2A =．（2）由1cos 2A =，得sin A =，由2sin aA=，得2sin a A ==． ∵2222cos a b c bc A =+-， ∴222431bc b c a =+-=-=，∴11sin 2224ABC S bc A ∆==⋅=．（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$，x b y aˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值． 【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2．152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为∴()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=． （3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，21()2.250.250.25 2.255nii x x =-=+++=∑，41()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，121()()7 1.45()niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑$，ˆˆ5 1.4 2.5 1.5ay b x =-=-⨯=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元．如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．【解析】（1）证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,23)F ． ∵224BF AB AF =+=，3PF =，∴33(,0,)2P ，(2,0,23)FB =-u u u r ， (0,2,0)AC =u u u r ，33(,0,)2AP =u u u r ．∵0FB AC ⋅=u u u r u u u r ，∴FB AC ⊥u u u r u u u r． ∵0FB AP ⋅=u u u r u u u r ，∴FB AP ⊥u u u r u u u r ．∵FB AC ⊥，FB AP ⊥，AC AP A =I ， ∴FB ⊥平面APC ．（2）∵(2,0,0)AB =u u u r ，33(,2,)22PC =--u u u r ， 记AB u u u r 与PC uuur 夹角为θ，则337cos =27AB PC AB PC θ⋅-==u u u r u u u r u u u r u u u r ．PCABE F【方法2】（1）4FB =,3cos cos 2PFA BFA ∠=∠=， 222cos PA PF FA PF FA PFA =+-⋅⋅∠91223233/23=+-⋅⋅⋅=．∵2223912PA PF AF +=+==， ∴PA BF ⊥．∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF I 平面ABC AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面ABEF ．∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC BF ⊥． ∵PA AC A =I ，∴BF ⊥平面PAC ．（2）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC ．32PN MB ==，32AN =， 2252NC AN AC =+=，22BC =， 227PC PN NC =+=，2235MC MB BC =+=， 13573744cos 11427272MPC +-∠===-⋅⋅． ∴异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为37．已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段21P P 、43P P 的中点分别为1M 、2M ．（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程． 【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，设直线12P P 的方程为(1)y k x =-，0k ≠． 联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得22222(2)0k x k x k -++=．（*）22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>．设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则21222(2)k x x k ++=． 设111(,)M M M x y ，则1112122222(1)M M M x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩． 类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M kx k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩．∴1||FM ==2||2||FM k == 因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+． ∵1||2||k k ≥+，∴124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （2）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-．设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；（3）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=．令()0f x '=，得210x mx -+=．当240m ≤∆=-，即02m ≤<时，()0f x ≥'，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增．当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得12m x =，22m x +=，且120x x <<，在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．（2）由（1）可知，当02m ≤<时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点．又∵1()(2)ln 2f x x x m x =-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <； 当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点．当2m >时，∵()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且211(()()ln 2222m m m m f x -=+-ln =+22204m m -+-<<，4014<=<=（∵2m >），∴1()0f x <，由此知21()()0f x f x <<，又∵当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点． 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点．（3）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mxx +-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）．（*）记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x -'=-=，令()0g x '=，解得1x =．当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥．由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，»»AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．【解析】（1）连接FC ，OF ，∵»»AB AF =，OB OF =， ∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥． ∵BC 是O e 的直径，∴CF BF ⊥． ∴//OG CF ．∴AOB FCB ∠=∠，∴90,90DAO AOB FBC FCB ∠=︒-∠∠=︒-∠， ∴DAO FBC ∠=∠．（2）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中， 由（1）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，∴OAD ∆≅OBG ∆，于是OD OG =． ∴AG OA OG OB OD BD =-=-=． 在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中， 由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， ∴AGE ∆≅BDE ∆，∴AE BE =．EFG COABBDAOCG FE23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45o．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为,A B ． （1（2【解析】（1）∵直线过点(1,2)P -，且倾斜角为45o ．∴直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩oo（t 为参数），即直线l 的参数方程为1222x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（2）∵2sin 2cos ρθθ=，∴2(sin )2cos ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =，∵1222x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴2(2)2(1)-=，∴240t -+=，∴124t t =24．（本小题满分10分）选修4-5设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴5315x x x ≤+++， ∴13x +≤，∴24x -≤≤．∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-． （2）若1x ≥-时，有()0f x ≥， ∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-，∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥． ∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞U ．。

姓名座位号(在此卷上答题无效)2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1已知集合A ={x |-5<x 3<5}，B ={-3,-1,0,2,3}，则A ∩B =A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}2若2z -1=1+i ，则z =A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i 3已知向量a =0,1 ，b =2,x ，b ⊥b -4a ，则x =A.-2B.-1C.1D.24已知4cos a +β =m ，tan a tan β=2，则cos a -β =A.-3mB.-m3 C.m3 D.3m5已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为A.23πB.33πC.63π，D.93π6已知函数为f x =-x 2-2ax -a ，x <0e x +x +1 ln ,x ≥0 在R 上单调递增，则a 的取值范围是A.-∞,0 B.-1,0 C.-1,1D.0,+∞ 7当x ∈0,2π 时，曲线y =x sin 与y =23x -π6sin 的交点个数为A.3 B.4C.6D.88已知函数f x 的定义域为R ，f x >f x -1 +f x -2 ，当x <3时，f x =x ，则下列结论中一定正确的是A.f 10 >100B.f 20 >1000C.f 10 <1000D.f 20 <10000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

广东省阳江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD 【答案】C 【解析】 【分析】对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立， ∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '<当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n nm n f m n e ++≥=Q 11(,)n nf m n e+-'=令110n ne+-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e=故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.2．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ） A ．(625,)+∞ B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)【答案】C 【解析】 【分析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象， 如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点； 当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.4．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos 3α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.5．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.6．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.7．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】A 【解析】先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23BP AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，故可计算λμ+的值．【详解】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，那么G 为ABC ∆的重心．8．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A BC ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可得227a b ab +-=，结合2=1a b +可得a ，b ，再利用面积公式计算即可. 【详解】由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-，由22721a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以，11sin 232222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12B ．16C ．20D ．8【解析】 【分析】先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【详解】先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有23326A =⨯=种，所以共有2612⨯=种. 故选：A 【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.10．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r2||b b ⋅=r r而2cos ,2||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r所以,a b rr 夹角为4π故选：B 【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.11．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．231,⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=()12242PF a b a c ∴=+>+所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >所以22243c e a =>所以23e >，即23,3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.12．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31π-B ．34C ．3π D ．14【答案】A 【解析】 【分析】求出满足条件的正ABC ∆的面积，再求出满足条件的正ABC ∆内的点到顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．【详解】满足条件的正ABC ∆如下图所示：其中正ABC ∆的面积为23443ABC S ∆== 满足到正ABC ∆的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分区域的面积为21222S ππ=⨯⨯=. 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是31143P π==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届广东省高三适应性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则A B =（ ）A ．()(),10,-∞-+∞B ．(]2,4C ．()0,2D ．(]1,4-【答案】B【解析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}， B ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0＜x ≤4}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}＝（2，4]． 故选：B ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则（ ）A ．B ．13C D ．5【答案】B【解析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解． 【详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根， 则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13． 故选：B ． 【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．已知实数x，y满足约束条件133xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=-+的最小值为( ）A．-6 B．-4 C．-3 D．-1【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最小值．【详解】由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由330x yx y+=⎧⎨--=⎩，解得A（3，0）．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝﹣6，即目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣6．故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4．如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确．．．的是（）A ．与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长B ．2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省C ．2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元 【答案】C【解析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系. 【详解】由2018年第一季度五省情况图，知：在中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的总量均实现了增长，正确；在中，2018年第一季度增速由髙到低排位第5的是浙江省，故正确；在中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故不正确；在中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故正确，故选C. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.5．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A ．14n n a a b b --=B ．14n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=-D ．14n n a a b b -=-【答案】B【解析】由已知求得等比数列{b n }的通项公式，作比即可得到14n n a a b b -=．【详解】∵等差数列{a n }的公差为2，数列{b n }是公比为﹣2的等比数列，∴11(2)n n b b -=⋅-，∴11111121111(2)(2)(2)(2)4(2)(2)n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b ---------⋅--===-=-=⋅--． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．6．如图，先画一个正方形ABCD ，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH ，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．116【答案】C【解析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12．则四边形的面积构成公比为12的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到. 【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12，四边形的面积构成公比为12的等比数列，∴第n 个正方形的面积为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，即第四个正方形的面积31128⎛⎫= ⎪⎝⎭ .∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P ＝11818= ，故选：C ． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.7．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若60NFR ∠=︒，则NR =（ ）A ．2BC ．D ．3【答案】A【解析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF 为等边三角形，求出其边长，进而在Rt △FMR 分析可得答案． 【详解】根据题意，如图所示：连接MF ，QF ，抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为（1，0），准线x ＝﹣1， 则FH ＝2，PF ＝PQ ，又由M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，则MN ∥QF ， 又PQ ＝PF ，∠NRF ＝60°， 且∠NRF ＝∠QFH ＝∠FQP ＝60°，则△PQF 为边长为4等边三角形，MF ＝在Rt △FMR 中，FR ＝2，MF ＝， 则MR ＝4， 则NR 12=MR ＝2， 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析△PQF 为等边三角形，属于综合题． 8．已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=，则（ ） A ．0OM BC ∙= B ．0OM AB ∙= C ．//OM BC D ．//OM AB【答案】D【解析】由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 【详解】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，230OA OB OC ++=，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+40OM =， 即2（OA OB -）+120OM =， 可得AB =6OM ， 即OM ∥AB ， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．9．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101xx e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01x x e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数的奇偶性判断函数的对称性； 4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象 10．如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．D ．【答案】D【解析】建立坐标系，求出M 的轨迹，得出M 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【详解】解：以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则P （0，0，2），C （4，4，0），D 1（0，4，4）， 设M （a ，0，b ），则（a ，﹣4，b ﹣4），（﹣4，﹣4，2），∵D 1M ⊥CP ，∴4a +16+2b ﹣8＝0，即b ＝2a ﹣4．取AB 的中点N ，连结B 1N ，则M 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ．又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ，∴S △BCM 的最小值为S △QBC ．故选：．【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了空间向量的运算，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题.11．已知函数()()()2sin 10,f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是（ ） A ．513,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B ．713,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．212,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．112,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【答案】A【解析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据直线6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，得出(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，由此求出,,k nω的关系式，进而得到ω的最小值与对应ϕ的值，进而得到函数()f x 的解析式，从而可求出它的单调增区间． 【详解】∵函数()f x 的一个零点是3x π=，∴2sin 103ωπϕ⎛⎫+-=⎪⎝⎭， ∴1sin 32ωπϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴236k ωππϕπ+=+，或()5236k k Z ωππϕπ+=+∈．① 又直线6x π=-是()y f x =的图像的一条对称轴，∴(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，②由①②得()()222,?,3k n k n Z ω=-±∈， ∵0,,k n Z ω>∈， ∴min 23ω=； 此时252,296k n k ππϕπ+=+=， ∴()11218k k Z πϕπ=+∈，∵ϕπ<， ∴1118πϕ=，∴()2112sin 1318f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 由()2112223182k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得()53336k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈．∴()f x 的单调增区间是513,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦．故选A ． 【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．12．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，(,0),(,0)(0)A t B t t ->，斜率为13的直线过A 点且与双曲线交于,M N 两点，若2OD OM ON =+，0BD MN ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） ABCD【答案】A【解析】联立方程组消元，根据根与系数的关系和中点坐标公式得出D 点坐标，根据BD k ＝﹣3列方程得出a ，b 的关系，从而可得出双曲线的离心率． 【详解】直线MN 的方程为y 13=（x +t ）， 联立方程组()2222131y x t x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消元可得：（9b 2﹣a 2）x 2﹣2a 2tx ﹣a 2t 2﹣9a 2b 2＝0， 设M （11,x y ），N （22,x y ），则由根与系数的关系可得：12x x + 22229a tb a=-， ∵2OD OM ON =+，∴D 为MN 的中点，∴D （2229a t b a-，()222339a t t b a +-）， ∵0BD MN ⋅=，∴BD ⊥MN ，∴k BD ＝﹣3，即()22222233939a t t b a a ttb a +-=---，化简可得222495a b a =-， 即b 2a =，∴e 2c aa ===故选：A ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．二、填空题13．已知函数()(,)x f x ae b a b R =+∈在点(0,(0))f 处的切线方程为21y x =+，则a b -=_______．【答案】3【解析】由f （x ）＝ae x+b ，得f '（x ），因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1，故（0，f （0））适合方程y ＝2x +1，且f ′（0）＝2；联立可得结果． 【详解】由f （x ）＝ae x+b ，得f '（x ）＝ae x，因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1，所以()()01'02f a b f a⎧==+⎪⎨==⎪⎩解得a ＝2，b ＝﹣1．a ﹣b ＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题．14．已知函数)3()log2f x x x =+，若()7()f a a R =∈，则()f a -=_______．【答案】7【解析】求出f （x ）的定义域，然后判断f （x ）的奇偶性，根据奇偶性可得答案． 【详解】f （x ）的定义域为R ，关于原点对称， 又f （﹣x）)3()2x logx =-+32x log ⎛⎫=-+)32x logx =+=f （x ），∴f （x ）是R 上的偶函数， ∴f （﹣a ）＝f （a ）＝7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，关键是对对数式的真数分子有理化，属基础题． 15．已知点A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，且2AB AC ==，BC =锥A BCD -的体积为3，球心O 恰好在棱AD 上，则这个球的表面积为_______. 【答案】16π【解析】根据条件可知球心O 是侧棱AD 中点.利用三棱锥的体积公式，求得设点D 到平面ABC的距离h =，又由球的性质，求得2R =，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，ABC ∆满足2,AB AC BC ===ABC ∆为直角三角形， 根据条件可知球心O 是侧棱AD 中点. 设点D 到平面ABC 的距离为h，则112232h ⨯⨯⨯⨯=，解得h =又由球的性质，可得球O 半径为R ，满足()((2222R =+，所以2R =，所以这个球的表面积2416S R ππ==.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的组合体的应用，其中解答中正确认识组合体的结构特征，合理利用球的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16．已知数列{}n a 满足()*12(1)2(1)1(1)3n n n n n a a n n N +⎡⎤⎡⎤--++-=+-⨯∈⎣⎦⎣⎦，则251a a -=____． 【答案】300【解析】由[2﹣（﹣1）n ]a n +[2+（﹣1）n ]a n +1＝1+（﹣1）n×3n ，当n ＝2k （k ∈N ），可得：a 2k +3a 2k +1＝1+6k ，n ＝2k ﹣1（k ∈N ），可得：3a 2k ﹣1+a 2k ＝1﹣6k +3，于是a 2k +1﹣a 2k﹣1＝4k ﹣1，利用“累加求和”方法与等差数列的前n 项和公式即可得出．【详解】∵[2﹣（﹣1）n ]a n +[2+（﹣1）n ]a n +1＝1+（﹣1）n ×3n ， ∴n ＝2k （k ∈N ），可得： 221316k k a a k ++=+ n ＝2k ﹣1（k ∈N ），可得： 2213163k k a a k -+=-+ ∴，212143k k a a k +--=- ∴()()()2525232321311a a a a a a a a =-+-++-+＝（4×12﹣1）+（4×11﹣1）+…+（4×1﹣1）+1a ()1212142⨯+=⨯-12+1a ＝300+1a ．则251a a -=300， 故答案为：300． 【点睛】本题考查了数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,2b c A B ===. （1）求a 的值； （2）求cos(2)6A π+的值.【答案】（Ⅰ） （Ⅱ.【解析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理可得22222a c b a b ac+-=⋅，代入边长求解a 的值即可；(Ⅱ)由余弦定理可得：1cos 3A =-，则sin A =，利用二倍角公式和两角和差正余弦公式求解cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】(Ⅰ)由2A B =可得sin sin 22sin cos A B B B ==，结合正弦定理可得：2222cos 22a c b a b B b ac +-==⋅，即：21962a a a+-=⨯，据此可得212,a a ==.(Ⅱ)由余弦定理可得：22291121cos 22313b c a A bc +-+-===-⨯⨯，由同角三角函数基本关系可得sin A ==故227cos 2cos sin 9A A A =-=-，sin 22sin cos A A A ==cos 2cos 2cos sin 2sin 666A A A πππ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，两角和差正余弦公式，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为等腰直角三角形，2AB BC ==，13AA =，P 为11B C 的中点，Q 为1BB 的三等分点（靠近1B ）点.（1）求三棱锥P AQC -的体积；（2）在线段11A C 上找点M ，使得1//B M 平面APQ ，写出作图步骤，但不要求证明. 【答案】(1) 43P AQC V -=(2)见解析 【解析】（1）把三棱锥P ﹣AQC 转化为A ﹣PQC ，容易求解；（2）首先过B 1作平面与平面APQ 平行，该平面与A 1C 1的交点M 即为所找的点． 【详解】(1)由题知11AB B C CB ⊥面 依题意得11422333P AQC A PQC PQC V V S AB --∆==⨯⨯=⨯⨯= (2) 如图，在平面11ABB A 内，过点1B 作1//B E AQ 交1AA 于点E ，连结1A P ，在1P AA ∆中，作//EF AP 交1A P 于点F ，连结1B F 并延长交11A C 于点M ，则1B M 为所求作直线.【点睛】此题考查了转化法求体积，面面平行，熟记定理准确推理是关键，难度适中．19．随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值,如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数,其余意义相同),得到如下数据:（1）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测2020年该小区的私家车数量；(2)小区于2018年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位,为解决小区车辆乱停乱放的问题,加强小区管理,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区,由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期一年,竞拍方案如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定,竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后,将所有申请的业主报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价,则以提出申请的时间在前的业主成交,为预测本:次竞拍的成交最低价,物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查,统计了他们的拟报竞价,得到如下频率分布直方图：（ⅰ）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；（ⅱ）如果所有符合条件的车主均参与竞拍,利用样木估计总体的思想,请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功?(精确到整数) 参考公式:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ,其回归直线ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑ ，a y bx =-$$【答案】（1）310（2）（i ）12（ii ）974【解析】（1）利用回归直线方程方程计算公式，计算出回归直线方程，令7x =求得预测值.（2）（i ）根据频率分布直方图计算出不低于1000的频率，由此计算出人数. （ii ）先求得能够竞拍成功的比例为59，用510000.31009⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭求得竞拍成功的最低报价. 【详解】解：（1）由表中数据，计算得，()11234535x =⨯++++=， ()134951241812161305y =⨯++++=，()()()()()()222229613501512862101ˆ2b -⨯-+-⨯-++⨯+⨯=-+-+++ 4504510==， 130453ˆ5ˆay bx =-=-⨯=-， 故所求线性回归方程为ˆ455y x =-， 令7x =，得ˆ310y=， 所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆.（2）（i ）由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为()0.250.0510.3+⨯=，共抽取40位业主，则400.312⨯=，所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人. （ii ）由题意，12052169=， 所以竞价自高到低排列位于前59比例的业主可以竞拍成功， 结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为5877010000.310097499⎛⎫--⨯=≈ ⎪⎝⎭元.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查频率分布直方图的有关计算，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.【答案】（1）2212x y +=（2）证明过程详见解析【解析】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b ，利用离心率求出a ，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）依题意可知直线l 斜率存在，设l 方程为()2y k x =-，代入2212x y +=整理得()222128k xk x +- 2820k +-=， l 与椭圆有两个交点，0∴∆>.设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AF ，BF 的斜率分别为1k ，2k ，利用韦达定理证明120k k +=即可. 【详解】解：（1）依题意可设圆C 方程为222x y b +=， 圆C与直线0x y -+=相切，1b ∴==.221a c ∴-=，由c a =解得a = ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）依题意可知直线l 斜率存在，设l 方程为()2y k x =-，代入2212x y +=整理得()222128k xk x +- 2820k +-=，l 与椭圆有两个交点，0∴∆>，即2210k -<.设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AF ，BF 的斜率分别为1k ，2k则2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+. ()1,0F 12121211y y k k x x ∴+=+-- ()()12122211k x k x x x --=+--1211211k k x x ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭ ()121212221x x k k x x x x ⎛⎫+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭2222228212282811212k k k k k k k k -+=---+++ 22422021k k k k -=-=-，即PFM PFB ∠=∠. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力． 21．已知函数2()ln 31f x x x ax =+++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】（1）讨论a 的范围，得出f ′（x ）＞0和f ′（x ）＜0的解集，得出f （x ）的单调性；（2）求出f （x ）的极大值，判断极大值小于0，根据f （x ）的单调性得出f （x ）的零点个数． 【详解】（1）21231()23(0)x ax f x x a x x x++'=++=>，令2()231u x x ax =++，其对称轴为034ax =-，令22310x a x ++=，则298a ∆=-.当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，对称轴为0304ax =->，若2980a ∆=-≤，即0a ≤<，()0u x ≥恒成立，所以()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；若3a <-时，设()0u x =的两根1x =，2x =当1(0,)x x ∈时，()0u x >，所以()0f x '>，所以()f x 在1(0,)x 上单调递增， 当12(,)x x x ∈时，()0u x <，所以()0f x '<，所以()f x 在12(,)x x 上单调递减， 当2(,)x x ∈+∞时，()0u x >，所以()0f x '>，所以()f x 在2(,)x +∞上单调递增，综上所述：当3a ≥-时， ()f x 在(0,)+∞上单调递增；若a <时， ()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增；（2）当1a <-时，由（1）知()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，下面研究()f x 的极大值21111()ln 31f x x x ax =+++，又2112310x ax ++=，所以2221111111()ln 231ln f x x x ax x x x =+++-=-，令2()ln g x x x =-，则212()x g x x -'=（0x >），可得()g x 在(0,2上单调递增，在)+∞上单调递减，且()g x 的极大值1ln 02g =-<，所以()0<g x ，所以1()0f x <，当1(0,)x x ∈时， ()f x 单调递增，所以1()()0f x f x <<当12(,)x x x ∈时， ()f x 在12(,)x x 上单调递减，所以21()()()0f x f x f x <<< 当2(,)x x ∈+∞时， ()f x 单调递增，且222(4)ln(4)16121ln(4)41(1)f a a a a a a a -=-+-+=-++<-，2()(4)0f x f a ⋅-<，所以存在2(,4)x x a '∈-，使得()0f x '=，又当2(,)x x ∈+∞时， ()f x 单调递增，所以()f x 只有一个零点x '，综上所述，当1a <-时，()f x 在(0,)+∞上只有一个零点.【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数极值、单调性与函数零点的个数判断，属于难题．22．（选修4-4：极坐标与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.P 是曲线1C 上的动点，将线段OP 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0M ，求MAB ∆的面积.【答案】（I ）1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，2C 的极坐标方程为2cos (0)ρθρ=≠；（II ）3.【解析】（1）先求得1C 的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程.设出Q 点的极坐标，由此表示出P 点的极坐标，代入1C 的极坐标方程，化简后得出曲线2C 的极坐标方程.（2）将3πθ=代入1C ，2C 的极坐标方程求得,A B 两点的极坐标，利用MAB MOA MOB S S S ∆∆∆=-求得三角形MAB 的面积.【详解】解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()2211x y +-=，即2220x y y +-=，故1C 的极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=.设点()(),0Q ρθρ≠，则由已知得,2P πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得2sin 2πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 即()2cos 0ρθρ=≠.（2）将3πθ=代入1C ，2C的极坐标方程得3A π⎫⎪⎭，1,3B π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又∵()4,0M ，所以1sin 323MOA S OA OM π∆=⋅=，1sin 23MOB S OB OM π∆=⋅=∴3MAB MOA MOB S S S ∆∆∆=-=.【点睛】本小题主要考查参数方程化为极坐标方程，考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的计算，属于中档题.23．（选修4-5：不等式选讲）已知函数()()230f x x m x m m =--+>.（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}31x x -≤≤- (2) 605m << 【解析】(1)先由1m =，将原函数变为()123f x x x =--+，将函数写出分段函数的形式，解不等式即可；(2)先由题意可知，对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-，进而可求出结果.【详解】（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++- 因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立， 所以()min 213t t ++-=因为0m >时，()23f x x m x m =--+= 34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以当32m x =-时，()max 3522m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以532m <， 所以实数m 的取值范围605m <<. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式解法，以及不等式恒成立问题，属于中档试题.。