市北资优七年级分册 第11章 11.18 a3+b3+c3-3abc的因式分解+张来

11.2 幂的乘方思考一个正方体的边长是10²cm ，则它的体积是多少？这个列式非常简单：（10²）³＝100×100×100＝1 000 000.如果让你写下100个410的乘积，有没有简单的写法呢？根据乘方的意义，100个410相乘，可以写成4100(10).你会计算吗？（1）3233336(2)2222+=⨯==； （2）3[(3)]-＝_________＝___________＝____________；（3）343333()a a a a a =＝___________＝____________.问题根据上述的计算，完成下面的填空：()m n a a=（　），()()n m m n m mm m m m mn n a a a a a a +++===个个，有()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.值得注意的是：1.这里的底数、指数可以是数，也可以是字母，也可以是单项式和多项式.2.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于，一个是“指数_______”，一个是“指数_______”.例1 计算下列各式，结果用含幂的形式表示：（1）45()x ；（2）76[()]x -；（3）2332()()a a --；（4）8236()()()p p p ---；（5）2332[(2)][(2)]a b b a --分析 运算顺序应遵循先乘方后乘法.解 （1）原式＝45()x ＝20x .（2）原式＝674242()()x x x ⨯-=-=（3）原式＝23326612()()a a a a a -=-=-.（4）原式＝1423142320()()()p p p p p --=-=-.（5）原式＝6612(2)(2)(2)a b b a a b --=-.例2 计算：（1）38462332264()7()2()()()x x x x x ++ ；（2）4224223322)()()()()()x x x x x x x x +-----（.解：（1）原式＝2424661224242424472472x x x x x x x x x -+=-+=-.（2）原式＝58433488880x x x x x x x x x x x x +--=+--=.例3 如果2228162n n =，求n 的值.解：34347128162(2)(2)2222n n n n n n n +===，那么7n ＋1＝22,7n ＝21，n ＝3，即n 的值为3. 例4 已知10a ＝5，10b ＝6，求（1）231010a b +的值；（2）2310a b +的值.解：（1）231010a b +＝23(10)(10)a b +＝5²＋6³＝25＋216＝241.（2）2310a b +＝23231010(10)(10)a b a b =＝5²×6³＝25×216＝5400.例5 比较5553，4444，3335的大小.解 5553＝5111111(3)243=，44441111114(4)256==，33331111115(5)125==，而111111111256243125>>，因此444555333435>>.练习11.21.计算：32[()]y -＝_______；1333()()()x x x ---＝___________.2.若n a ＝3，则3n a ＝_____________.3.计算243332()()a a a a -.4.计算322323[()][()]2()(()[()]a b a b a b a b a b +-+-+--+.5.计算：342324525()()2[()]()p p p p -+--.6.若n 是正整数，a ＝－1时，221()n n a +--为（ ）A.1B.－1C.0D.1或－17.等式()n n a a -=-（a ≠0）成立的条件是（ ）A.n 是奇数B.n 是偶数C.n 是正整数D.n 是整数8.下列计算中，正确的有（ ）（1）x ³·x ³＝2x ³ （2）33336x x x x ++==（3）33336()x x x +== （4）23239[()]()()x x x -=-=-A.0个B.1个C.2个D.4个9.已知2a m =，2b n =，求222a b +的值.10.比较753与1002的大小.练习11.2答案1. 6y ，22x -2. 273. 04. 82()a b +5. 183p -6. A7. A8. A9. m ²n ²10. 7510032>11.2《幂的乘方》练习练习11.21.（1）123(2()32()()(()a a a ==== ) ) . （2）2()393m = .（3）33m y =，9m y ＝__________.（4）21()m a +＝________.（5）32()[()]()a b b a -=- .（6）若948162m m =，则m ＝________.（7）若1216x +=，则x ＝_________.2.计算.（1）522(1)[(3)]--（2）223()()()a a a --.（3）2332[()()]x x -.（4）2332()[()]x x +-.（5）32342224()()4()x x x x x x -+-+.（6）2322(32)(23)[(23)]a b b a b a --+-.3.（1）如果28(9)3n =，则n 的值是（ ）.A.4B.2C.3D.无法确定 （2）若436482n ⨯=，则n 的值是（ ）A.11B.18C.30D.334.若22m m x x =（m 为正整数），求9m x 的值.5.（1）若2228162n n =，求正整数n 的值.（2）若1216(9)3m +=，求正整数m 的值.6.已知33m a =，32n b =（m 、n 为正整数），求233242()()m n m n m n ab a b a b +-的值.7.比较1002与753的大小.8.已知1103m -=，1102n +=（m 、n 为正整数），求23110m n ++的值.答案 练习11.21. （1）4,6,9，4a ，6a （2）2＋2m （3）27 （4）22m a + （5）6 （6）1 （7）x ＝32. （1）43- （2）9a - （3）18x （4）62x （5）84x （6）(23)(231)b a b a --+3. （1）B （2）D4. 98m x =5. （1）n ＝3；（2）m ＝36. －77. 1007523<8. 72。

【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】单元测试卷一、选择题1.计算a ·的结果为( ) A. 1 B.0 C.1 D.a2.下列计算正确的是（ ）A.(a 2)3＝a 5B.2a －a ＝2C.(2a )2＝4aD.a ·a 3＝a 4 3. =( )4.计算的结果是（ ） A. B. C. D.5.如果关于x 的多项式(2)x m -与(+5)x 的乘积中，常数项为15，则m 的值为（ ） A.3 B.－3 C.10 D.－l06. （2015·山东青岛中考）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001 s ，把0.000 000 001 s 用科学记数法可以表示为（ ） A ．80.110s -⨯ B ．90.110s -⨯ C ．8110s -⨯ D ．9110s -⨯7.下列说法中正确的有（ ）（1）当m 为正奇数时，一定有等式(4)4m m =--成立； （2）式子(2)m m =--2，无论m 为何值时都成立；（3）三个式子：236326236(),(),[()]a a a a a a ==-=---都不成立；（4）两个式子：34343434(2)2,(2)2m m m m n n n n x y x y x y x y =-=---都不一定成立． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列运算结果为a 6的是（ ） A ．32a a +B ．23a aC ．(－a 2)3D ．a 8÷a 29. 现规定一种运算a b ab a b =+-※，则()a b b a b +-※※等于（ ）A.2a b -B.2b b -C.2bD.2b a -10. 如图，图中残留部分墙面（只计算一面）的面积为（ ）A.4xB.12xC.8xD.16x二、填空题11.计算：a ·=__________. 12.现在有一种运算：，可以使，，如果，那么___________.13. 若2()(2)5x a x x x b ++=-+，则a = ，b = ． 14. 如果210a a --=，那么5(3)(4)a a +-= ． 15.计算下列各式，然后回答问题．(4)(3)a a ++= ；(4)(3)a a +-= ； (4)(3)a a -+= ；(4)(3)a a --= ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式的结果． ()()x a x b ++= ．（2）运用上述结论，写出下列各式的结果． ①( 2 012)( 1 000)x x +-= ； ②( 2 012)( 2 000)x x --= ． 16.若互为倒数，则的值为_________.17. 若与的和是单项式，则=_________.18. 定义运算a ⊗b ＝a (1－b )，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2⊗(－2)＝6； ②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝0，则(a ⊗a )＋(b ⊗b )＝2ab ； ④若a ⊗b ＝0，则a ＝0． 其中正确结论的序号是 (填上你认为所有正确的结论的序号)．三、解答题19.计算：（1）2(1)(1)x x x -++；（2）225(21)(23)(5)x x x x x -+++---； （3）(3)(3)(3)(43)x y y x x y x y -+-+-．20.（1）先化简，再求值．22322(1)(2102)x x x x x x x -+-+-，其中12x =-．（2）先化简，再求值．1(912)3(34)n n n n x x x x x ++---，其中3x =-，2n =． （3）已知,m n 为正整数，且63(5)35m x x x nx +=+，则m n +的值是多少？ 21.解下列方程：（1）23(26)3(5)0x x x x ---=-； （2）(24)3(1)5(3)80x x x x x x -+--+=-．22.已知32x =-，能否确定代数式(2)(2)(2)(4)2(3)x y x y x y y x y y x -++--+-的值？如果能确定，试求出这个值．23.某中学扩建教学楼，测量长方形地基时，量得地基长为2 m a ，宽为(224) m a -，试用a表示地基的面积，并计算当25a =时地基的面积． 24.一块长方形硬纸片，长为22(54) m a b +，宽为46 m a ， 在它的四个角上分别剪去一个边长为3 m a 的小正方形，然后 折成一个无盖的盒子，请你求出这个无盖盒子的表面积．25.李大伯把一块L 型的菜地按如图所示的虚线分成面积相等的两个梯形，这两个梯形的上底都是 m a ，下底都是 m b ，高都是()m b a -，请你算一算这块菜地的面积是多少，并求出当10 m a =，30 m b =时这块菜地的面积．26.阅读材料并回答问题： 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：22(2)()23a b a b a ab b ++=++就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1） （2） （3）（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式： ；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示为22()(3)43a b a b a ab b ++=++；（3）请仿照上述方法另写一个含有,a b 的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．参考答案1. C 解析：根据同底数幂的乘法的运算法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可得：a ·===1；或者利用负整数指数幂的性质：a ·=a ·=1也可.2. D 解析：(a 2)3=a 6，2a －a =(2－1)a =a ，(2a )2=4a 2， a ·a 3=a 1+3=a 4，故选项A ，B ，C 均错误，只有选项D 正确.3. D 解析：·.4.B 解析：，故选B ．5.B 解析：2(2)(5)2105x m x x x mx m -+=+--，∵ 常数项为15，∴ 515m =-， ∴ 3m =-．故选B ．6. D 解析： 90.000 000 001110-=⨯. 7.B 解析：（1）正确.（2）当m 是偶数时，(2)2m m =-，故此说法错误.（3）236()a a =--，326()a a =-成立，236[()]a a =---，故此说法错误.（4）当m 是偶数时，3434(2)2m m m m x y x y =-，错误；当m 是奇数时，34(2)m x y -=342m m m x y -．故第一个式子不一定成立，所以此说法正确．同理第二个式子也不一定成立．故此说法正确．所以（1）（4）正确，故选B ． 8. D 解析：A 选项中的a 2与a 3不是同类项，所以不能合并；B 选项中利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得23a a ＝5a ；C 选项中综合运用积的乘方和幂的乘方可得 (－a 2)36a -；D 选项中利用同底数幂相除，底数不变，指数相减可得a 8÷a 26a .故选项D 是正确的.9. B 解析：2()()()a b b a b ab a b b a b b a b ab a b b ab +-=+-+-⨯+-=+-+-+※※- 2b a b b b --=-，故选B ． 10.B11.a 3 解析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得2a a ⋅=a 1+2=a 3. 12. 解析：因为，且，，又因为，所以， 所以．13. -7 -14 解析：∵ 2()(2)5x a x x x b ++=-+， ∴ 22225x x ax a x x b +++=-+，∴ 25a +=-，2a b =，解得7a =-，14b =-． 14. -55 解析：∵ 210a a -=-，∴ 21a a =-，∴ 225(3)(4)55605()60a a a a a a +-=--=--. 当21a a -=时，原式516055=⨯-=-.15.2712a a ++ 212a a +- 212a a -- 2712a a -+ （1）2()x a b x ab +++ （2）①2 1 012 2 012 000x x +- ②2 4 012 4 024 000x x +-解析：2(4)(3)a a a ++=712a ++；(4)(3)a a +-=212a a +-；(4)(3)a a -+=212a a --；(4)(3)a a --=2712a a -+．（1）()()x a x b ++=2()x a b x ab +++．（2）①( 2 012)( 1 000)x x +-=2 1 012 2 012 000x x +-； ②( 2 012)( 2 000)x x --=2 4 012 4 024 000x x +-． 16.1 解析：因为互为倒数，所以，所以=.17. 解析：由题意知，与是同类项，所以，所以所以. 18. ①③ 解析：2⊗()=2，所以①正确； 因为⊗=⊗=,只有当时，⊗⊗，所以②错；因为⊗+⊗=+=+=[2]=2,所以③正确； 若⊗==0，则，所以④错．19.解：（1）原式=31x -；（2）原式=32325105(102153)x x x x x x ----+- =32325105102153x x x x x x ---+-+ =32771515x x x ---；（3）原式=22229(43129)x y x xy xy y --+-- =2222943129x y x xy xy y ---++ =22589x y xy ++．20.解：（1）22322(1)(2102)x x x x x x x -+-+- =432432222(2102)x x x x x x -+--+ =38x .把12x =-代入，得原式3318812x ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭.（2）1(912)3(34)n n n n x x x x x ++--- =211912912n n n n n x x x x x +++--+ =2n x .把3,2x n =-=代入， 得原式222(3)81n x ⨯==-=. （3）∵ 63(5)35m x x x nx +=+， ∴ 1631535m x x x nx ++=+， ∴ 16m +=，155n =. 解得5m =，3n =， ∴ m n +的值是8．21.解：（1）去括号，得2236183150x x x x ---+=. 合并同类项，得9180x -=. 移项，得918x =.系数化为1，得2x =.（2）去括号，得222243351580x x x x x x -+--++=． 合并同类项，得880x +=. 移项，得88x =-. 系数化为1，得1x =-.22.解：原式=222224(284)26x y xy x y xy y xy -+--++- =22222428426x y xy x y xy y xy -+--++- =24x -.当32x =-时，原式23492⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭．23.解：根据题意，得地基的面积是222(224)(448)(m )a a a a -=-. 当25a =时，2224484254825 1 300(m )a a -=⨯-⨯=． 24.解：纸片的面积是2246422(54)6(3024)(m )a b a a a b +=+； 小正方形的面积是3262() (m )a a =，则无盖盒子的表面积是6426642230244(2624)(m )a a b a a a b +-⨯=+． 25.解：根据题意，得菜地的面积是2212 ()()2a b b a b a ⨯+-=-.当10 m a =，30 m b =时， 原式2223010800(m )=-=． 所以这块菜地的面积为2800 m .26.解：（1）22(2)(2)252a b a b a ab b ++=++； （2）答案不唯一，如图（1）所示（1） （2）（3）恒等式是22(2)()32a b a b a ab b ++=++，如图(2)所示．（答案不唯一） 16台． 中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

第一节 整式的乘法11.1 整式的乘法11.1同底数幂的乘法思考1：a n 表示的意义是什么？其中a 、n 分别叫做什么？a n ＝a ×a ×a …×a几个相同因数a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数，a 的n次乘方的结果叫做a 的n 次幂．例如(－3)2、(－32)2、(32)2、(x ＋y )6、(－x －y )6． 注意⑴底数a 可以是任何有理数，也可以是单项式，多项式． ⑵一般地，n 为偶数时，(x －y )n ＝(y －x )n ；n 为奇数时，(x －y )n ＝－(y －x )n ．思考2：式子103×102这个式子中的两个因式有何特点？103×102＝(10×10×10)×(10×10)＝( )＝10( )；(－3)4×(－3)2＝_______＝( )＝(－3)()；(a )4×(a )2＝______×_______＝( )＝a ( )．请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？103×102＝10( )；(－3) ×(－3)2＝(－3)( )；a 4×a 2＝a ( )．猜想a m ·a n ＝？(m 、n 都是正整数)a m ·a n ＝(a ·a ·a ·……·a )·(a ·a ·a ·…·a )＝(a ·a ·a ·……·a )＝a m ＋n同底数幂相乘的法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 都是正整数)．例1计算下列各式，结果用含幂的形式表示．⑴(－8)×(－8)5； ⑵(－12) ·(－12)2·(－12)3·(－12)4； ⑶－x 2·(－x )6； ⑷a 3m ·a 2m －1(m 是正整数)；⑸(a －b )3·(b －a )6； ⑹(a －2b )·(2b －a )2·(2b －a )3． n 个a ( )个10 ( )个10 ( )个10 ( )个-3 ( )个-3 ( )a ( )a ( 个am 个a n 个a m +个a解：⑴(－8)12×(－8)5＝(－8)12＋5＝(－8)17．⑵(－12) ·(－12)2·(－12)3·(－12)4＝(－12)1＋2＋3＋4＝(－12)10． ⑶－x 2·(－x )6＝－x 2·x 6＝－x 2＋6＝－⑷a 3m ·a 2m －1＝a 3m ＋2m －1＝a 5m －1． ⑸(a －b )3·(b －a )6＝(a －b )3·(a －b )6 ⑹(a －2b ) ·(2b －a )2·(2b －a )3＝－(a －2b ) ·(a －2b )2·(a －2b )3＝－(a －2b )1＋2＋3＝－(a －2b )6．另解：(a －2b )·(2b －a )2·(2b －a )3＝－(2b －a )·(2b －a )2·(2b －a )3＝－(2b －a )1＋2＋3＝－(2b －a )6． 例2计算：⑴x 3·x 3·x 2－2·x 5·x 3＋x 4·x 4－3·x 8；⑵b 2·b m －2＋b ·b m －1－b 3·b m －5·b 2．解：⑴x 3·x 3·x 2－2·x 5·x 3＋x 4·x 4－3·x 8＝x 8－2x 8＋x 8－3x 8＝－3x 8．⑵b 2·b m －2＋b ·b m －1＋b 3·b m －5·b 2＝b 2＋m －2＋b 1＋m －1－b 3＋m －5＋2＝b m ＋b m －b m ＝b m ．例3求下列各式中的x :⑴a x ＋3＝a 2x ＋1(a ＞1)； ⑵p x ·p 6＝p 2x (p ＞1)解：⑴x ＋3＝2x ＋1，x ＝2．⑵x ＋6＝2x ，x ＝6．例4已知x 2m －n ·x 2n －m ＝x 13(x ＞1)，y m －1·y －1－n ＝y (y ＞1)，求m ，n 的值．解：因为x 2m －n ·x 2n －m ＝x 13，所以2m －n ＋2n －m =13，即m ＋n ＝13；又因为y m －1·y －1－n ＝y ，所以m －1＋(－1－n )＝1，即m －n ＝3；所以⎩⎨⎧m ＋n ＝13m －n ＝3，得⎩⎨⎧m ＝8n ＝5．练习11.11．x 3·x 5＝_________．2．y 2·y 6＝____·y 4＝y ·____＝_________．3．104×10＝________；3×32×33＝____________．4．(－x )2·x 3＝_________；(－a 2) ·(－a )3＝________．5．x 2n ＋1·x n ＋3＝_______；(b －a )3·(b －a )4＝_________．6．计算：(－2)×(－2)3×(－2)5．7．计算：100×103×102．8．计算：－(－a )2·(－a )5·(－a )3．9．计算：3a 2·a 4＋2a ·a 2·a 4－4a 5·a 2．10．x 3m ＋3可以写成( )．(A )3x m ＋1 (B )x 3m ＋x 3 (C )x 3·x m ＋1 (D )x 3m ·x 311．a m ＝2，a n ＝3，则a n ＋m ＝( )．(A )5 (B )6 (C )8 (D )912．已知n 为正整数，试计算(－a )2n ＋1×(－a )3n ＋2×(－a )．13．已知x 2·x 6n －10＝x 5n －6(x ＞1)，求n 的值．14．已知x ＞1，y ＞1，x a －b ·x 2b －1＝x 8，y a －1·y 5－b ＝y 7，求a 、b 的值．参考答案练习11.11．x 82．y 4，y 7，y 83．105，364．x 5，a 55．x 3n ＋4，(b －a )76．(－2)97．107＝10 000 0008．－(－a )10(或－a 10)9．3a 6－2a 710．D11．B12．(－a )5n ＋413．n ＝2 14．⎩⎨⎧a ＝6b ＝3．分析:由题意得⎩⎨⎧a －b ＋2b －1＝8a －1＋5－b ＝7；即⎩⎨⎧a ＋b ＝9a －b ＝3，得⎩⎨⎧a ＝6b ＝3．11.1《整式的乘法》练习11.1同底数幂的乘法练习11．11．⑴10m ＋1×10n －1＝______；－64×(－6)5＝______．⑵x 2·x 5＝_______；a n ·a 6＝_______．⑶－a ·(－a )2＝_______；a ·a 2·a 3＝_________．⑷x 2·____＝x 6；(－y )2·_____＝y 5．⑸(x －y )2n －1·(x －y )2n ＝__________；(x ＋y )2·(x ＋y )5＝______．⑹x 2·x 3＋x ·x 4＝_________；103×100×10＋100×100×100－10 000×10×10＝______．⑺若a m ＝a 3·a 4，则m ＝_______；若x 4·x a ＝x 16，则a ＝_______．⑻若x ·x 2·x 3·x 4·x 5＝x y ，则y ＝_______；若a x ·(－a )2＝a 5，则x ＝______．2．⑴下面计算正确的是( )．(A)b3·b2＝b6 (B)x3＋x3＝x6 (C)a4＋a2＝a6 (D)m·m5＝m6⑵若x≠y，则下面多项式不成立的是( )．(A)(y－x)2＝(x－y)2 (B)(y－x)3＝－(x－y)3(C)(－x－y)2＝(x＋y)2 (D)(x＋y)2＝x2＋y2⑶下列说法中正确的是( )．(A)－a n和(－a)n一定互为相反数(B)当n为奇数时，－a n和(－a)n相等(C)当n为偶数时，－a n和(－a)n相等(D)－a n和(－a)n一定不相等3．计算下列各题：⑴(x－y)2·(x－y)3·(y－x)2·(y－x)3．⑵(a－b－c)·(b＋c－a)2·(c－a＋b)3．⑶(－x)2·(－x)3＋2x·(－x)4－(－x) ·x4．⑷x·x m－1＋x2·x m－2－3·x3·x m－3．4．已知1km2的土地上，一年内太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108kg煤所产生的能量，那么我国9.6×106km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少kg？5．若a*b＝x a·x b．⑴试求5*6和3*9的值；⑵比较(a*b)·(c*d)的值与(d*b)·(a*c)的值的大小，并说明理由．参考答案练习11.11．⑴10m＋n，69 ⑵x7，a n＋6 ⑶－a3，a6 ⑷x4，(－y)3 ⑸(x－y)4n－1，(x＋y)7⑹2x5，106＝1 000 000 ⑺m＝7，a＝12 ⑻y＝15，x＝32．2．⑴D⑵D⑶B3．⑴－(x－y)10 ⑵－(a－b－c)6 ⑶2x5 ⑷－x m4．1.248×1015千克6．⑴x11，x12⑵相等，因为(a*b)(c*d)＝x a·x b·x c·x d＝x a＋b＋c＋d，(d*b)(a*c)＝x d·x b·x a·x c＝x a＋b＋c＋d，所以相等．。

11．18 a3＋b3＋c3—3abc的因式分解试一试如何对a3＋b3十c3－3abc进行因式分解？例1分解因式：x3＋y3＋z3—3xyz．分析这是一个三元三次多项式，根据题目结构的特点并由配方的联想，将原多项式的某些项配成完全立方，并使得配成完全立方的式与其余的项能用分组分解法分解因式．解原式＝x3＋y3＋z3－3xyz＝x3＋3xy (x＋y)＋y3—3xy (x＋y)＋z3－3xyz＝(x＋y)3＋z3－3xy(x＋y＋z)＝[(x＋y)＋z][(z＋y)2一(x＋y)2＋z2]－3xy(x＋y＋z)＝(x＋y＋z)(x2＋2xy＋y2－xz－yz＋z2)－3xy (x＋y＋z)＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)．例2 分解因式：(x－1)3＋(z－2)3＋(3－2x)3．解设a＝x－1，b＝x－2，c＝3－2x，则a＋b＋c＝0，由公式a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)知此时a3＋b3 ＋c3＝3abc，所以原式＝3(x－1)(x－2)(3－2x)．例3 分解因式：(2x＋3y)3—8x3—27y3．解(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2z＋3y)3＋(一2x)3＋(一3y)3,因为2x＋3y＋(－2x)＋(－3y)＝0，所以(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2x＋3y)3＋(－2x)3＋(－3y)3＝3(2x＋3y)(一2x)(一3y)＝18xy(2x＋3y)．练习11．181．分解因式：(x2＋y2)3＋(z2－x2)3－(y2＋z2)3．2．求(b＋c－2a)3＋(c＋a－2b)3＋(a＋b－2c)3—3(b＋c－2a) (c＋a－2b)(a＋b－2c)的值．3．分解因式：x6＋64y6＋12x2y2—1．4．设a＋b＋c＝3m，求(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b) (m－c)的值．5．三个整数a、b、c的和是6的倍数，那么它们的立方和被6除，得到的余数是多少？参考答案练习11．181．原式＝3(x2＋y2)( y2＋z2)(x＋z)(x—z)2．由(b＋c－2a)＋(c＋a－2b)＋(a＋b—2c)＝0，得原式＝03．x6＋64y6＋12x2y2—1＝(x2)3＋(4y2)3＋(－1)3－3x2·4y·(－1)＝(x2 ＋4y2－1)(x4＋16 y4＋1－4x2y2＋x2 ＋4y2)4．令p＝m－a，q＝m－b，r＝m—c，则p＋q＋r＝(m－a)＋(m－b)＋(m—c)＝3m－(a＋b＋c)＝0．①又(m－a)3＋(rn－b)3＋(m－c)3－3(m－a)(m－b)(m－c)＝p3＋q3＋r3－3pqr＝(p＋q＋r)(p2＋q2＋c2－pq－qr－rp)．②由①，②可知(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b)(m－c)＝05．因为a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c) (a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)，所以a3＋b3＋c3＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＋3abc，又a、b、c为整数且a＋b＋c是6的倍数，所以a、b、c中至少有一个为偶数，否则a＋b＋c为奇数，从而3abc被6整除，因此a3＋b3＋c3被6除昀余数为011．18 a3＋b3＋c3－3abc的因式分解、练习11．181．分解因式：x3＋y3＋3xy－1．2．分解因式：(x—y)3＋(y—x－2)3＋8．3．分解因式：(ax－by)3＋(by－cz)3一(ax－cz)3．4．分解因式：(a－b)3＋(b－c)3＋(c—a)3．5．已知x＋y＋z＝3，x2＋y2 ＋z2＝29，x3＋y3＋z3＝45，求xyz的值．参考答案1．原式＝x3＋y3＋(－1)3－3xy(－1)＝(x＋y－1)(x2＋y2＋1＋x＋y－xy)2．原式＝－6(x－y)(x－y＋2)．提示：由于(x－y)＋(y—z一2)＋2＝0，所以原式＝3(x－y)(y－x－2) ·2＝6(x－y)(y－x－2) ．3．原式＝－3(ax－by)(by－cz)(ax－cz)．提示：由于(ax－by)＋(by－cz)＋[－(ax－cz)]＝0，所以原式＝3(ax－by)(by－cz)[一(ax－cz)]＝一3(ax－by)(by－cz)(ax—cz)4．原式＝3(a一b)(b一c)(c一a)5．由(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz十zx)，x3＋y3＋z3—3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx),32—29＋2(xy＋yz＋zx)，所以23292(xy yz zx) 4533[29()] xyz xy yz zx ì=+++ïí-=-++ïî所以xy＋yz＋zx＝－10，从而15－xyz＝29＋10，即xyz＝－24。

11.12 拆项与添项法【观察】多项式x4＋2x3＋3x2＋2x＋1可以拆成x4＋x3＋x3＋x2＋x2＋x2＋x＋x＋1．又例如代数式ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)，添项后可变形为ab(a－b)＋bc［(b－a)＋(a－c)］＋ca(c －a)．把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．在代数式中添加两个相反项，叫做添项．拆项和添项都是代数式的恒等变形．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的整式变形．在多项式乘法中有时需要合并同类项，与之相反的变形则为拆项与添项．对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，把某些被合并的同类项恢复原状，创造使用提取公因式或运用公式进行分组分解的条件，使原式的某些项之间能建立起联系，便于进行因式分解．【例1】分解因式：x4＋x3－3x2－4x－4．【分析】原式中x4，x3的系数都等于1，一次项系数与常数项都等于－4，因此把中项－3x2拆成x2－4x2即可分组分解．【解】原式＝x4＋x3＋x2－4x2－4x－4＝x2(x2＋x＋1)－4(x2＋x＋1)＝(x2＋x＋1)(x2－4)＝(x2＋x＋1)(x＋2)(x－2) ．【例2】分解因式：x2－2(a＋b)x－ab(a－2)( b＋2)．【分析】原式中前两项x2－2(a＋b)x可进行配方，添上(a＋b)2－(a＋b)2即可分组分解．【解】原式＝x2－2(a＋b)x＋(a＋b)2－(a＋b)2－ab(a－2)( b＋2)＝［x－(a＋b)］2－［(a＋b)2＋ab(ab＋2a－2b－4)］＝(x－a－b)2－［(a＋b)2－4ab＋2ab(a－b)＋a2b2］＝(x－a－b)2－［(a－b)2＋2ab(a－b)＋(ab)2］＝(x－a－b)2－(a－b＋ab)2＝(x－a－b＋a－b＋ab)( x－a－b－a＋b－ab)＝(x－2b＋ab)(x－2a－ab) ．补充说明：原式是一个关于x的二次三项式，如果将常数项－ab(a－2)( b＋2)变形为(2b－ab)(2a＋ab)，即可用十字相乘法对原式进行因式分解．【例3】分解因式：2x4－15x3＋38x2－39x＋14．【分析】先把多项式的第二项－15x3拆成－2x3和－13x3，把第三项38x2拆成13x2和25x2，把第四项－39x 拆成－25x和－14x，分组提取公因式，在拆项即可解得．【解】原式＝2x4－2x3－13x3＋13x2＋25x2－25x－14x＋14＝2x3(x－1)－13x2(x－1)＋25x(x－1)－14(x－1)＝(x－1)(2x3－13x2＋25x－14)＝(x－1)(2x3－7x2－6x2＋21x＋4x－14)＝(x－1)［(2x3－7x2)－(6x2－21x)＋(4x－14)］＝(x－1)［x2 (2x－7)－3x (2x－7)＋2(2x－7)］＝(x－1)(2x－7)(x2－3x＋2)＝(x－1)(2x－7)(x－1)(x－2)＝(x－1)2(x－2)(2x－7) ．补充说明：在因式分解中，经常出现在同一题的解题过程中一种方法多次使用，或几种方法交替或同时使用，本题先后使用了拆项、分组、提取公因式，再拆项、分组、提取公因式，最后应用了十字相乘法．可见因式分解是一套培养和训练学生思维能力的最好的数学体操之一．【例4】分解因式： x 8＋x ＋1．【解】原式＝x 8－x 5＋x 5－x 2＋x 2＋x ＋1＝(x 8－x 5)＋(x 5－x 2)＋(x 2＋x ＋1)＝x 5(x 3－1)＋x 2(x 3－1)＋(x 2＋x ＋1)＝x 5(x 3－1)＋x 2(x 3－1)＋(x 2＋x ＋1)＝x 5(x －1)(x 2＋x ＋1)＋x 2(x －1)(x 2＋x ＋1)＋(x 2＋x ＋1)＝(x 2＋x ＋1)(x 6－x 5＋x 3－x 2＋1)．练习11.121．分解因式：x 4＋x 3＋4x 2＋3x ＋3．2．分解因式：x 5＋x ＋1．3．分解因式：6x 4＋7x 3－36x 2－7x ＋6．练习11.12答案1．解法一：原式＝x 4＋x 3＋x 2＋3x 2＋3x ＋3＝x 2(x 2＋x ＋1)＋3(x 2＋x ＋1)＝(x 2＋x ＋1)(x 2＋3)解法二：原式＝x 4＋3x 2＋x 3＋3x ＋x 2＋3＝x 2(x 2＋3)＋x (x 2＋3)＋(x 2＋3)＝(x 2＋3)(x 2＋x ＋1)2．分析：因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)，所以原式添上－x 2＋x 2，再进行分组分解即可得解．原式＝x 5－x 2＋x 2＋x ＋1＝x 2(x 3－1)＋(x 2＋x ＋1)＝x 2(x －1)(x 2＋x ＋1)＋(x 2＋x ＋1)＝(x 2＋x ＋1)(x 3－x 2＋1)3．解法一：原式＝6(x 4＋1)＋7x (x 2－1) －36x 2＝6［(x 2－1)2＋2x 2］＋7x (x 2－1) －36x 2＝6(x 2－1)2＋7x (x 2－1) －24x 2＝6(x 2－1)2＋7x (x 2－1) －24x 2＝()()22213318x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⎣⎦⎣⎦＝(2x 2－3x －2)(3x 2＋8x －3)＝(2x ＋1)( x －2)(3x －1)(x ＋3) 解法二：原式＝222116736x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令t ＝1x x -，则221x x+＝t 2＋2．故 原式＝()2262736x t t ⎡⎤++-⎣⎦＝x 2(6t 2＋7t －24)＝x 2(2t －3)(3t ＋8) ＝2112338x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝(2x 2－3x －2)(3x 2＋8x －3)＝(2x ＋1)( x －2)(3x －1)(x ＋3)11.12 拆项添项法练习11.121．分解因式：bc(b＋c)＋ca(c―a)―ab(a＋b) ．2．分解因式：x5―1．3．分解因式：x4＋y4＋(x＋y) 4．4．分解因式：(1＋y)2―2x2(1＋y2)＋x4(1―y)2．练习11.12答案1．原式＝bc(b＋c)＋ca(c―a)―ab［(b＋c)―(c―a)］＝［bc(b＋c)―ab(b＋c)］＋［ca(c―a)＋ab (c―a)］＝b(b＋c)(c―a)＋a(c―a)( c＋b)＝(b＋c)(c―a)(a＋b)2．原式＝x5―x4＋x4―x3＋x3―x2＋x2―x＋x―1＝x4(x―1)＋x3(x―1)＋x2(x―1)＋x(x―1)＋(x―1)＝(x―1)( x4＋x3＋x2＋x＋1)3．原式＝(x2＋y2)2―2x2y2＋(x2＋y2＋2xy)2＝(x2＋y2)2―2x2y2＋(x2＋y2)2＋4xy(x2＋y2)＋4x2y2＝2(x2＋y2)2＋4xy(x2＋y2)＋2x2y2＝2［(x2＋y2)2＋2xy(x2＋y2)＋x2y2］＝2 (x2＋y2＋xy) 24．原式＝(1＋y)2＋2(1＋y)x2(1－y)＋x4(1―y)2―2(1＋y)x2(1－y)－2x2(1＋y2) ＝［(1＋y)＋x2(1－y)］2―2x2＋2x2y2－2x2－2x2y2＝［(1＋y)＋x2(1－y)］2－(2x)2＝［(1＋y)＋x2(1－y) ＋2x］［(1＋y)＋x2(1－y)－2x］＝［(x2＋2x＋1)＋y－yx2］［(x2－2x＋1)＋y－yx2］＝［(x＋1)2＋y(1－x2)］［(x－1)2＋y(1－x2)］＝(x＋1)［(x＋1)＋y(1－x)］(x－1)［(x－1) －y(x＋1)］＝(x－1) (x＋1) (x＋1＋y－xy)(x－1－yx－y)。

11.21 单项式除以单项式问题1一颗人造地球卫星的速度是1.5×108米/时，一架飞机的速度是3×105米/时，问人造地球卫星的速度是飞机的几倍？分析：这是一个除法运算：（1.5×108）÷（3×105）.利用去括号法则和乘法法则：（1.5×108）÷（3×105）＝1.5×108÷3÷105＝（1.5÷3）×（108÷103）＝0.5×103＝500（倍）问题2计算：12a5c2÷3a2.根据除法的意义，上式就是要求一个单项式，使它与3a2相乘的积等于12a5c2.由于（4a3c2）·3a2＝12a5c2，那么12a5c2÷3a2＝4a3c2.两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.例1计算：（1）24a3b2÷3ab2；（2）－21a2b3c÷13 ab；（3）（6xy2）2÷3xy.解：（1）21a3b2÷3ab2＝（24÷3）×（a3÷a）×（b2÷b2）＝8a3－1×1＝8a2.（2）－21a2b3c÷13 ab＝（－21÷13）a2－1b3－1c＝－63ab 2c . （3）（6xy 2）2÷3xy ＝36x 2y 4÷3xy ＝12xy 3.例2 计算：（1）（4×104）3÷（－2×106） （2）7x 3y 2÷[（－7x 5y 2）2÷49x 8y 3]；（3）27x 4y 4z 3÷（－3xyz ）－（－4x 6y 3z 3）÷（－2x 3z ）.解：（1）原式＝（64×1012）÷（－2×106）＝－32×106＝－3.2×107.（2）原式＝7x 3y 2÷（49x 10y 4÷49x 8y 3）＝7x 3y 2÷x 2y ＝7xy .（3）原式＝－9x 3y 3z 2－2x 3y 3z 2＝－11x 3y 3z 2.例3 已知2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++-+⎛⎫-⋅=÷ ⎪⎝⎭，且正整数x 、z 满足123x z -⋅＝72，求m 的值.解：m ＝2223421111533n n n n x y z x y z xyz ++-+⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭，那么m ＝35xz ，又正整数x 、z 满足123x z -⋅＝72，所以123x z -⋅＝72＝23×32，所以x ＝3，z ＝3，所以m ＝35xz ＝275.练习11.211. ____________÷2ab ＝6ab 2. 2. ____________÷（－5xy 2）＝15xy . 3. 125a 2x 3÷____________＝5a . 4. 24a 3b 2÷____________＝－3ab . 5. x 6y 3z 2÷3x 3y 3＝____________.6.（2×108）÷（5×105）＝____________. 7. 8（x ＋y ）2÷2（x ＋y ）＝____________. 8. 64m 2n 2÷____________＝16mn . 9. ____________÷2a 2b ＝7ab 2.10. 18a 3（m ＋n ）2÷[3a 2（m ＋n ）]＝____________.11. 下雨时，常常是“先见闪电，后闻雷声”，这是由于光速比声速快的缘故.已知光在空气中的传播速度约为3×108米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×102米/秒.请计算一下，光速是声速的多少倍？（结果保留两个有效数字） 12. 某长方体体积为16a 3b 2c ，长为2a 2b ，宽为14ab ，求此长方体的高. 13. 计算：[（a －b ）3]2÷[（b －a ）2]3. 14. 计算：24325221(2)52ax a x y a xy ⎛⎫⎛⎫⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.15. 计算：4232512963a b c abc abc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16. 计算：()()2323225a b c ab c -÷-.17. 计算： （－3x 3y 2）3·（－4x 2y 3）2÷（－6x 4y 4）.18. 计算：3a 2b －（－2a 2）·（－2b ）＋（4a 3b 2）2÷（－2a 4b 3）.19. 先化简再求值：（－2a 2b ）2－（3a 3b 2）2÷6a 2b 2＋7a 9b 6÷2a 5b 4，其中a ＝－1，b ＝23.练习11.21参考答案1. 12a2b32. －75x2y33. 25ax34. －8a2b5. 13x3z26. 4007. 4x＋4y8. 4mn9. 14a3b310. 6a（m＋n）11. 8.8×10512. 1 3 c13. 114. 165ax415. 5a216. －25ac17. 72x9y818. ―9a2b19. 6a4b2＝8 311.21 单项式除以单项式练习11.211.（1）下列计算错误的是（）.（A）（a2）3·a4＝a10（B）（a4）2÷a4＝a2（C）（－a3b）3÷（12a2b2）＝－2a7b（D）10a3b3÷（－2a）＝－5a2b3（2）下列计算中正确的是（）.（A）a2·（xy3）2·ax2y＝a3x4y8（B）（x2y4）3÷（x2y）2＝x4y10（C）（－2x2）2·2（x2）2·（2x2）2＝32x12（D）（3y3）2÷（－3y2）2＝－y2 2.（1）____________÷（－3xy2）＝6xy.（2）（6×108）÷（－1.5×103）＝____________（用科学记数法表示）. （3）6ab2÷（2ab）＝____________.（4）－36a2b4c÷（6ab）＝____________.（5）2（m＋n）4（n－m）3÷[2（m＋n）（n－m）]＝____________.3.计算：（1）（4ab）2·（－14a4b3c2）÷（－4a3b2c2）.（2）－32a4b5c÷16ab4·（－38a5b5）.（3）（－2a2x3）5÷（－2a3x4）3·（x2＋1）0.（4）（2a2x3）3÷（4ax4）2÷（12 ax）.（5）（3x3y2）4÷（6x2y）2－（－13x3y2）2·（12xy）2.。

11.14 换元法换元法：“换元”就是“字母代式”，即用新的“元”去代替原式中的式子，使得原式变成含新“元”的式子，然后对含新“元”的式子按要求求出结果，再将其所代替的式子代回，求出原式的结果。

换元法的作用：换元法是数学中的一种重要方法，它可以使不熟悉的问题转化为熟悉的问题；使复杂的问题转化为简单的问题，从而用熟悉或较简单的方法来解决问题，在解题或证明中换元法常常起着桥梁和杠杆的作用。

换元法又称辅助未知数法，它是字母表示数这一数学思想的延续和发展，以前在乘法公式的推导、整式化简、提取公因式及运用公式法等常用方法分解因式时，已包括或运用这一重要数学思想，只不过那时解题过程比较简单，层次比较清楚，虽然没有将引进的新的变元写出，也不会引起混乱，而对一些比较复杂的问题则必须将引进的新的变元写出，否则会引起混乱。

例1 分解因式：2222（x +4x+8)+3x(x +4x+8)+2x解：设248x x y ++= ，则原式＝2232()(2)y xy x y x y x ++=++22222=48)(482)(58)(68)(58)(2)(4)x x x x x x x x x x x x x x ++++++=++++=++++（例2 分解因式：261)(21)(31)(1)x x x x x ----+（ 解：原式＝222671)(651)x x x x x -+-++（ ，令2671x x t -+= ，则26512x x t x -+=+ 原式＝222222(2)2()(661)t t x x t tx x t x x x =++=++=+=--例3 分解因式：22(54)(2)72x x x x -+---解：原式=1)(4)(2)(1)72x x x x --++-（[(1)(2)][(4)(1)]72x x x x =---+-2222(32)6(32)72(38)(5)(2)x x x x x x x x =-+--+-=-+-+练习11.14（1）1、分解因式：22(33)(34)8x x x x ++++-2、分解因式：22(32)(483)90x x x x ++++-3、分解因式：2(27)(25)(9)91x x x -+--4、分解因式：16(61)(23)(31)(1)25x x x x --+-+5、分解因式：2(67)(31)(1)6x x x +++-例4 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-解：令：,a b x ab y +== ，则原式＝222(2)(2)+1-22412x y x y x xy x y y y --=--++-+（） ＝222-2xy+y 2()1()2()1(1)x y x y x y x y --+=---+=--2x＝2221)(1)(1)a b ab a b +--=--（ 例5 分解因式：44(1)(3)272x x +++- 解：令1322x x y x +++==+， 则 原式＝444242(1)(1)2(61)2722(6135)y y y y y y -++=++-=+-＝2222(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y -+=+-+＝42x+5)(x-1)(x 419)x ++（对于形如432Ax Bx Cx Dx E ++++ 的四次多项式，其中A ＝E ，｜B ｜＝｜D ｜，在提取x 2后，可以构造1x x± 的二次多项式 例6 分解因式：43271471x x x x ++++ 解：原式＝22271(714)x x x x x++++ ＝22211[()7()14]x x x x x++++ ＝222221111[()7()12](3)(4)(31)(41)x x x x x x x x x x x x x x++++=++++=++++ 练习11.14（2）1、分解因式：22222)4()x xy y xy x y ++-+（ 2、分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+- 3、分解因式：222(23)(43)3x x x x x ++++-4、分解因式：44(5)(3)82x x +++-5、分解因式：432653856x x x x +-++6、分解因式：432673676x x x x +--+参考答案练习11.14（1）1、设23x x y += ，原式＝2(1)(4)(38)x x x x -+++2、原式＝22253)(252)90x x x x ++++-（ 令2252y x x =++ ，原式＝2(1)(27)(2512)x x x x -+++3、原式＝22(221)(215)91x x x x ----- ，令22x x y -= 原式＝2(28)(4)(27)x x x x ---+5、原式＝22(24163)x x --6、原式＝2(35)(32)(122819)x x x x ++++练习11.14（2）1、令,x y a xy b +==原式＝22222(2)()a b x xy y -=-+2、设,xy a x y b =+=原式＝(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b x y x y +++-=++--3、令233a x x =++原式＝22(3)(53)x x x x ++++4、设4y x =+ 原式＝22(6)(2)(826)x x x x ++++5、原式＝2211[6()5()50](2)(21)(3)(31)x x x x x x x x x+++-=--++ 6、原式＝2211[6()7()24](21)(2)(31)(3)x x x x x x x x x-+--=+--+。

11.6 完全平方公式问题1同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，请计算下列四个小题． 2(23)m n +=_______________________, 2(23)m n --=_________________________, 2(23)m n -=_______________________, 2(23)m n -+=_________________________.问题2你能总结出计算结果与多项式中两个单项式的关系吗？222(23)4129m n m mn n +=++, 222(23)4129m n m mn n --=++, 222(23)4129m n m mn n -=-+, 222(23)4129m n m mn n -+=-+. 2()a b +=_____________________.问题3222()2a b a ab b +=++正确吗？如何说明？方法1：从整式乘法运算的角度考虑， 2()()()()()a b a b a b a a b b a b +=++=+++22222a ab b ab a ab b =+++=++方法2：从图形面积的角度考虑， 2212322S S S S a ab b =++=++ 2()S a b =+所以222()2a b a ab b +=++．思考1根据下图如何来说明 222()2a b a ab b -=-+bba由此，我们有了：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．即 222()2a b a ab b +=++， 222()2a b a ab b -=-+． 这两个公式叫做完全平方公式．例1 计算：(1) 2(23)x y + (2) 2(53)x y - (3) 2(3)a b -+ (4) 2(53)c -- 解 (1) 22222(23)(2)2(2)(3)(3)4129x y x x y y x xy y +=++=++ (2) 22222(53)(5)2(5)(3)(3)25309x y x x y y x xy y -=-+=-+ (3) 22222(3)(3)2(3)96a b a a b b a ab b -+=-+-+=-+ (4) 2222(53)(5)2(5)3325309c c c c c --=---+=++注意在应用公式的时候，要明确公式中的字母，可以表示具体的数，也可以表示单项式，甚至多项式．同时要确认式子中的符号.例2 计算： (1) 2()a b c ++ (2) (2)(2)x y x y +--+解 (1) 2222()[()]()2()a b c a b c a b a b c c ++=++=++++ 222222a ab b ac bc c =+++++ 222222a b c ab bc ac =+++++(2) 22(2)(2)[(2)][(2)](2)x y x y x y x y x y +--+=+---=-- 2222(44)44x y y x y y =--+=-+-练习11.61．判断下列各式的计算是否正确，如有错误请改正．(1) 222()a b a b -=- (2) 222(2)24a b a ab b +=++ (3) 222(2)44a b a ab b -=-- (4) 22(7)49a a -=-2．计算：(1) 2(35)x + (2) 2()23x y-(3) 2(2)xyz --(4) 22(23)(49)(49)(23)m n m n m m m n +--++- (5) 2()a b c +- (6) (21)(21)x y x y -++-3. 写出下列等式从左到右的运算过程．(1) 222(1)(2)(3)(4)(5)10(5)24x x x x x x x x ----=-+-+ (2) 222(1)(1)(2)(4)(3)2(3)8x x x x x x x x -+--=----4．在边长为a cm 的正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，再把它折成一个无盖的小盒子，则这个盒子的容积用代数式表示是_______________________.练习11.6答案 1.(1) 错, 正确答案应为222a ab b -+ (2) 错, 正确答案应为2244a ab b ++ (3) 错, 正确答案应为2244a ab b -+ (4) 错, 正确答案应为24914a a -+ 2.(1) 22(35)93025x x x +=++(2) 222()23439x y x xy y -=-+(3) 2222(2)44xyz x y z xyz --=++(4) 2222(23)(49)(49)(23)899m n m n m m m n m n +--++-=-+ (5) 2222()222a b c a b c ab bc ac +-=+++-- (6) 22(21)(21)421x y x y x y y -++-=-+-(1) 22222(1)(2)(3)(4)(54)(56)(5)10(5)24x x x x x x x x x x x x ----=-+-+=-+-+ (2) 22222(1)(1)(2)(4)(32)(34)(3)2(3)8x x x x x x x x x x x x -+--=-+--=---- 4. 2223(2)44x a x a x ax x -=-+《练习册》练习11.61．计算：(1) 222(4)b a + (2) 2(23)m n --(3) 2[(21)(21)]x x +- (4) (23)(23)x y x y +--+(5) 232()43x y - (6) ()()a b c a b c +---(7) 2222(1)(1)(1)x x x +-+ (8) (1)(1)x y x y ++--2．己知23x x a -+为完全平方式, 求a .3. 当M 为什么代数式时, 2942x xy M ++是完全平方式.4. 已知13a a +=,求221a a+的值.5. 按图中所示的方式分割正方形, 你能得到什么结论？（1） （2）练习11.6答案1. (1) 422486b a b a ++ (2) 224129m mn n ++(3) 421681x x -+ (4) 224129x y y -+- (5)2294169x xy y -+ (6) 2222a b ac c --+ (7) 8421x x -+ (8) 2212x xy y --- 2. 2.25 3. 249y 4. 75. (1) 22S a ab ab b =+++ 2()S a b =+ (2) 2()S x y =+ 2()4S x y xy =-+。

因式分解与思维能力的培养因式分解是初中教学的重要内容之一，也是代数中重要的恒等变形．熟练掌握和灵活应用因式分解的各种方法，是进一步学好数学的前提．是迅速而正确进行代数运算的必要条件，不仅在稍后的分式通分、约分中有着直接的应用，而且在解方程（组），求二次函数的解析式，二次根式的运算与化简，三角恒等变形中经常用到．因式分解也是培养学生各种思维能力的极好材料．1.通过因式分解的概念，培养学生的逆向思维能力因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式的乘法运算的过程是互逆的．因式分解是恒等变形，在因式分解时首先要保证因式分解前后的值不变，无论采用什么方法进行因式分解，结果均可用整式乘法运算来检验，其次要注意因式分解的目的：使多项式最终化为几个整式的积的形式．例1．已知)2)(1(2+-=+-xxnmxx，求m和n的值．解：因为已知式从左到右是因式分解，所以上式从右到左是整式乘法，由2)2)(1(2-+=+-xxxx，知1=-m，且2-=n．所以1-=m，且2-=n，通过因式分解的概念教学，应着力培养学生的逆向思维能力．2．培养学生的观察分析能力因式分解最基本的方法有四种，可归纳为：一“提”，二“套”，三“十字”，四“分组”．在因式分解时，一般先考虑是否有公因式可提，再考虑用公式法，十字相乘法，最后是分组分解法．用顺口溜可表达为：首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，分组分解要合适，以上方法反复试，结果必是连乘式．尽管在新课标中，对十字相乘法和分组分解法已不作要求，但是，无论哪一种方法的运用都需要学生有较强的观察、分析、尝试能力．如在提取公因式时，应先引导学生通过观察、分析、比较，明确得出公因式是多项式的各项系数的最大公约数，相同因式的最低次幂的乘积．在运用公式法对多项式因式分解时，应先引导学生观察分析各公式的结构待征，如观察平方差公式))((22bababa-+=-的特征，左边是二项式，每项都具有平方形式，且符号相反；右边是两数的和与差的积，但学生往往搞不清，右边的两数是指哪两数？通过观察，右边的两数是左边平方后的两个底数．观察完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±的特征．左边是三项式，首平方加上末平方，首末两倍加减中间放，右边是首平方与末平方下的底数的和或差的平方．通过观察、分析、掌握了公式的结构特征，就不会把平方差公式误用完全平方公式．从而为正确应用公式法分解因式打下坚实的基础，提取公因式法中的公因式和公式法中的字母可以代表数，也可代表单项式和多项式．特别是代表多项式时，更需要敏锐的观察能力，灵活应用整体（或换元）的思想．3．培养学生的思维的深刻性在多项式的因式分解中，学生应善于灵活应用四种基本方法，把一个多项式分解因式，从中可以培养学生的思维深刻性．(1)对于二项式，通常可考虑是否可用平方差、立方和（差）公式．使用这些公式时，一般先把多项式化为可用公式的形式．在教学中，必须教会学生通过观察，进行类比．例如：))(()(22222224c b a c b a c b a c b a -+=-=- (2)对于三项式，通常考虑是否可用完全平方公式．应强调公式中字母有时表示多项式．例2．把xy y x y x -+-352分解因式． 解xy y x y x -+-352 )12(24+--=x x xy （提取公因式）22)1(--=x xy （完全平方公式）2)]1)(1[(-+-=x x xy （平方差公式）22)1()1(-+-=x x xy （积的乘方）许多学生把多项式分解到第二步以后，就再也不能分解下去，此时可引导学生观察12-x 有什么特征？可以应用什么公式分解因式？从而把这个多项式分解到不能再分解为止，通过类似的训练，可逐渐培养学生的思维的深刻性．第3课时百分率问题【知识与技能】1.会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题.会用二元一次方程组解决实际问题.2.通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，体会数学化的过程，提高分析和解决问题的能力.培养学生的探索精神和合作意识.【过程与方法】经历二元一次方程组解决实际问题的过程，知道列二元一次方程组解决实际问题的具体方法.【情感态度】针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.【教学重点】重点是会用列方程组解决百分率问题.【教学难点】难点是在实际问题中找等量关系、列方程组.一、情境导入,初步认识【情境】实物投影，并呈现问题：玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%.根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2t原料中，石英砂和长石粉各多少吨？【教学说明】通过列二元一次方程组解决实际问题，总结出列方程组解应用题的方法.情境中可以通过列表帮助我们理清数量关系：设需石英砂x t，长石粉y t.由所需总量，得①x+y得②99%x+67%y=70%×3.2.解方程①②组成的方程组，得0.32.9. xy=⎧⎨=⎩，答：在3.2t原料中，石英砂0.3t，长石粉2.9t.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.三、运用新知，深化理解1.（安徽省蚌埠市怀远县期末）已知A种盐水含盐15%，B种盐水含盐40%，现在要配制500克含盐25%的盐水，需要A，B两种盐水各多少克？若设需要A种盐水x克，B种盐水y克，根据题意可列方程组为（）2.“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70％销售）和九折（按售价的90％销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，问：这两种商品的原销售价分别为多少元？【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对列二元一次方程组解应用题有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.C2.解：设甲种商品原销售价为x元，乙种商品原销售价为y元，根据题意得答：甲种商品原销售价为320元，乙种商品原销售价为180元.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第110、111页“练习”和教材第112页“习题3.4”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.这节课充分利用学生身边的实际问题，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性，强调学生的动脑思考和主动参与，通过集体讨论、小组活动，以合作学习促进学生的自主探究.在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程组解决实际问题的意识和能力，在实际问题的解决中，进一步提高学生解方程组的能力.同时，利用列表、画线段图等手段能帮助学生提高分析问题和解决问题的能力.13.1 三角形（第二课时）1.判断正误：两条边的和大于第三边就能组成一个三角形。

11.11分组分解法想一想如何将多项式am＋an＋bm＋bn因式分解？分析：很显然，多项式am＋an＋bm＋bn加中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于am＋an＝a(m＋n)，bm＋bn＝b(m＋n)，而a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．这样就有：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．试一试：把下列各式分解因式：(1)20(x＋y)＋x＋y；(2)p－q＋k(p－q)；(3)5m(a＋b)－a－b；(4)2m－2n－4x(m－n)．例1：分解因式：a2－ab＋ac－bc．分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a－b，这样就可以继续提公因式．a2－ab＋ac－bc解：a2－ab＋ac－bc＝(a2－ab)＋(ac－bc)＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)．例2：分解因式：2ax－10ay＋5by－bx．分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与－b，这时另一个因式正好都是x－5y，这样就可以继续提公因式．解：2ax－10ay＋5by－bx＝(2ax－10ay)＋(5by－bx)＝2a(x－5y)－b(x－5y)＝(x－5y)(2a－b)．思考：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试．如果能，请你看一下结果是否相同？例3：分解因式：(xy－1)2＋(x＋y－2)(x＋y—2xy)．解：原式＝x2y2－2xy＋1＋(x＋y)2－2(x＋y)—2xy(x＋y)＋4xy＝[x2y2－2xy(x＋y)＋(x＋y)2]＋[2xy－2(x＋y]＋1＝(xy－x－y)2＋2(xy－x－y)＋1＝(xy－x－y＋1)2＝(x－1)2(y－1)2．归纳：注意分组时要选择分组方法，要保证分组后各组有公因式．练习11．111．分解因式：x2－y2－x－y．2．分解因式：1－a2＋2ab－b2．3．分解因式：a4－2a3＋a2－9．4．分解因式：x2－x－9y2－3y．5．分解因式：(x＋2)(x－2)－4y(x－y)．6．分解因式：x2(x＋1)－y2(y＋1)．7．分解因式：4a2－4(ab＋4)＋b2．答案：练习11．111．原式＝(x＋y)(x－y)－x－y＝(x＋y)(x－y)－(x＋y)＝(x＋y)(x－y－1) ．2．原式＝1－(a2－2ab＋b2)＝1－(a－b)2＝(1－a－b)(1－a＋b) ．3．原式＝(a2－a－3)(a2－a＋3) ．4．原式＝(x－3y－1)(x＋3y) ．5．原式＝(x－2y－2)(x－2y＋2) ．6．原式＝(x－y)(x2＋xy＋x＋y＋y2) ．7．原式＝(2a－b＋4)(2a－b－4) ．11．11分组分解法练习11．11分解因式1．x3－xyz＋x2y－x2z．2．x2－ax－ay－y2．3．4a2－4－4ab＋b2．4．ax－bx－a2＋2ab－b2．5．4x3－8x2y－xy2＋2y3．6．x2－4xy＋4y2－6x＋12y＋9．7．a3＋b3＋(a＋b)3．8．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3．9．x2n＋x n－19y2＋14．答案：练习11．111．x(x－z)(x＋y)．2．(x＋y) (x－y－a)．3．(2a－b＋2) (2a－b－2)．4．(a－b) (x－a＋b)．5．(2x＋y) (2x－y) (x－2y)．6．(x－2y－3)2．7．(a＋b)(2ª2＋ab＋2b2)．8．3(a＋b)(b＋c)(c＋a)．9．11113232 n nx y x y⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。

11.10 运用公式法想一想因式分解与整式乘法有什么区别和联系？思考1224()x =； 2225()m =；4236()a =； 220.49()b =； 6281()n =； 22264()x y =；422100()p q =． 思考2 整式乘法与因式分解是互逆关系？由乘法公式可得22()()a b a b a b +-=-，反过来可得22()()a b a b a b -=+-，这个公式叫做因式分解的平方差公式．归纳如果把乘法公式从右向左用，就可以用来把某些符合条件的多项式分解因式，我们把这种多项式的分解方法叫做运用公式法．引出因式分解平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．特征：公式左边是两个数的平方差，右边是两个因式积的形式，这两个因式分别为这两个数的和及这两个数的差，利用这个公式，可以把具有平方差特征的多项式分解因式．试一试下列多项式可不可以用平方差公式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，说明为什么？ 22x y +；22x y -+；22x y +；22x y --；42a b -．能用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件：1．式子可分为两部分．2．这两部分可写成整式（数）的平方形式．3．两部分符号必须相反．例1 把下列各式分解因式（1）2125b -；（2）222x y z -；（3）2240.019m n -．解 （1）原式(15)(15)b b =+-．（2）原式()()xy z xy z =+-． （3）原式220.10.133m n m n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 例2 把下列各式分解因式：（1）22()()x p x q +-+；（2）2216()9()a b a b --+．解 （1）原式[()()][()()]x p x q x p x q =++++-+(2)()x p q p q =++-．（2）原式[4()3()][4()3()]a b a b a b a b =-++--+(7)(7)a b a b =--．例3 用简便方法计算：229991001-．解 原式(9991001)(9991001)=+-4000=-．归纳（1）能写成22()()-的式子，可以用平方差公式分解因式．（2）公式中的a ，b 可以是单独的数字、字母，也可以是单项式、多项式．（3）分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止．练习11.10（1）1．分解因式：241a -．2．分解因式：22x y -+．3．分解因式：22()a b c --．4．分解因式：42x x -．5．分解因式：44x y -．6．分解因式：22()()a x y b y x -+-．7．分解因式：2()()n n a b a b +---．想一想1．前面学习了公式法进行因式分解，用的是哪个公式？2．除了平方差公式之外，还有哪些公式？完全平方公式左边是两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，右边是这两个数的和（或者差）的平方的形式，利用这个公式，可以把具有完全平方特征的多项式分解因式．由乘法公式中的完全平方式：222()2a b a ab b ±=±+，反过来可得，2222()a ab b a b ±+=±． 这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子（或数）的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式．例4 下列多项式是否为完全平方式？为什么？（1）269x x ++；（2）22x xy y ++；（3）4225101x x -+；（4）2161a +．解 （1）是，原式2(3)x =+．（2）不是，xy 改为2xy ±即可．（3）是，原式22(51)x =-．例5 按照完全平方公式填空（1）2212()()a a -+=； （2）2216()9()b -+=； （3）22()44()xy ++=； （4）22()6()()()x y x y -+-+=．解 （1）36，6a -．（2）24b ，34b -．（3）xy ，2xy +．（4）9，3x y -+．例6 分解因式：（1）4225101x x ++；（2）4221a a -+．解 （1）原式22(51)x =+．（2）原式22(1)a =-2[(1)(1)]a a =+-22(1)(1)a a =+-．例7 分解因式：（1）2221218ax axy ay -+；（2）2()8()16x y x y ++++． 解 （1）原式222(69)a x xy y =-+22(3)a x y =-．（2）原式2(4)x y =++．归纳1．首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解，有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解．2．题目中往往会出现不像完全平方式的形式，需要通过一定的变形才能化成标准形式，关键是抓住完全平方式的本质．练习11.10（2）1．分解因式：22(2)2(2)(2)(2)a b a b a b a b ++++++．2．分解因式：244()()x y x y --+-．3．分解因式：222a ab b -+-．4．分解因式：21221(1)2(1)(1)n n n a a a -+-+-+-．5．分解因式：44244()4p q p q +-．6．分解因式：22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m m n +-+-+-．7．分解因式：3223(1)6(1)3(1)p x y p x y p x +++++．由乘法公式中的立方和与立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+；2233()()a b a ab b a b -++=-；把过来可得3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++；这两个公式叫做因式分解的立方和与立方差公式．例8 分解因式：（1）381x +；（2）3364x y -；（3）6311827a b --． 解 （1）原式2(21)(421)x x x =+-+．（2）原式22(4)(164)x y x xy y =-++．（3）原式22421111123469a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。