2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第二阶段考试数学试题Word版含答案

2023-2024学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（下）第二次学情调研数学试卷一、选择题（第1-8题每题5分，第9-11题每题6分，共58分）1.已知平面向量a =(2,x−1)，b =(6,2−x)，若向量a 与b 共线，则x =( )A. −2B. 54C. 2D. 52.复数i 1−i +(1−i )2的虚部为( )A. 32B. 32iC. −32D. −32i 3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊂α，n//α，则m ，n 为异面直线；②若α//γ，β//γ，则α//β；③若m ⊥β，m ⊥γ，α⊥β，则α⊥γ；④若m ⊥α，n ⊥β，m//n ，则α⊥β．则上述命题中真命题的序号为( )A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若2acosB =c ，则该三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5.已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为−x ，方差为s 2，数据3x 1−1，3x 2−1，3x 3−1，…，3x n −1的平均数为−x 1，方差为s 21，则( )A. −x 1=3−x ，s 21=9s 2 B. −x 1=3−x ，s 21=9s 2−1C. −x 1=3−x−1，s 21=9s 2 D. −x 1=3−x−1，s 21=9s 2−16.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取( )件．A. 24B. 18C. 12D. 67.已知如图所示的几何体中，底面ABC是边长为4的正三角形；侧面AA1C1C是正方形，平面AA1C1C⊥平面ABC，D为棱CC1上一点，CD=1CC1，且BB1=34CD，则B1D与平面AA1C1C所成角的正弦值为( )A. 35B. 105C. 255D. 1558.某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为( )①a的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A. 1B. 2C. 3D. 49.已知直线l，m，平面α，β，则下列说法错误的是( )A. m//l，l//α，则m//αB. l//β，m//β，l⊂α，m⊂α，则α//βC. l//m，l⊂α，m⊂β，则α//βD. l//β，m//β，l⊂α，m⊂α，l∩m=M，则α//β10.已知向量a=(−1,3),b=(x,2)，且(a−2b)⊥a，则( )A. b=(2,1)B. |2a−b|=25C. 向量a与向量b的夹角是45°D. 向量a在向量b上的投影向量坐标是(1,2)11.设z1，z2为复数，则下列命题正确的是( )A. 若z1+z2>0，则z2=−z 1B. 若z1z2=0，则z1=0且z2=0C. 若|z1|=|z2|，则z21=z22D. 若|z−z1|=|z−z2|，且z1≠z2，则z在复平面对应的点在一条直线上二、填空题（共20分）12.某连锁超市在A，B，C三地的数量之比为2：m：4，现采用分层抽样的方法抽取18家该连锁超市进行调研，已知A地被抽取了4家，则B地被抽取的数量是______．13.已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3且半径为3的扇形，则该圆锥的侧面积为______．14.设锐角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=2，bsinA=3，c=3，则b= ______．15.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为1，侧棱AA1的长为2，E、F分别为A1B1和AC中点，则直线EF与平面ABC所成角的余弦值为______，异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为______．三、解答题（共72分）16.已知函数f(x)=2cosx(3sinx+cosx)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若∃x∈[0,π2]，使得关于x的不等式f(x)≥m成立，求实数m的取值范围．17.已知2−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，其中i为虚数单位．(1)求m+2n的值；(2)记复数z=m+ni，求复数−z1+i的模．18.如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，M为AC的中点，MB1⊥AB．(1)证明：MC1⊥AB．(2)若AB=BC=2,BB1=4,MB1=14，求直线B1C与平面MB1C1所成角的正弦值．19.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．20.如下图，四棱锥P−ABCD的体积为2，底面ABCD为等腰梯形，BC//AD，AB=CD=2，3AD=3BC=3，PD=5，PO⊥AD，O是垂足，平面PAD⊥平面ABCD．(1)证明：PB⊥AD；(2)若M，N分别为PD，PC的中点，求二面角O−MN−B的余弦值．答案1.B2.C3.C4.A5.C6.B7.D8.D9.ABC10.CD11.D12.613.3π 14. 7 15. 1717 71016.解：(Ⅰ)因为f(x)=2cosx( 3sinx +cosx)=2 3sinxcosx +2cos 2x= 3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，故函数f(x)的最小正周期T =2π2=π；(Ⅱ)当0≤x ≤π2时，π6≤2x +π6≤7π6，故当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x )max =3，若∃x ∈[0,π2]，使得关于x 的不等式f(x)≥m 成立，则f(x )max ≥m ，即m ≤3，故实数m 的取值范围为{m|m ≤3}．17.解：(1)∵2−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，∴(2−i)2+m(2−i)+n=0，即4−4i+i2+2m−mi+n=0，∴3+2m+n−(4+m)i=0，则3+2m+n=0，4+m=0，解得：m=−4，n=5，得m+2n=6；(2)z=−4+5i，−z=−4−5i，∴−z1+i=−4−5i1+i，则|−z1+i|=|−4−5i1+i|=|−4−5i||1+i|=(−4)2+(−5)212+12=412=822．18.解：(1)证明：取AB的中点N，连接NB1，NM，因为M为AC的中点，所以NM//BC，又AB⊥BC，所以AB⊥MN，因为B1C1//BC，所以B1C1//MN，所以M，N，B1，C1四点共面，因为AB⊥MN，MB1⊥AB，MB1∩MN=M，所以AB⊥平面MNB1C1，所以MC1⊥AB．(2)因为AB⊥平面MNB1C1，所以AB⊥NB1．又AB=BC=2，BB1=4，所以NB1=15，因为MN=BC2=1,MB1=14，所以B1M2+MN2=B1N2，则B1M⊥MN，由题设知AB⊥MB1，因为MN∩AB=N，所以MB1⊥平面ABC，所以MB1⊥MC，且B1C=14+2=4，设C到平面MB1C1的距离为d，因为BC//平面MB1C1，所以d=BN=1，设直线B 1C 与平面MB 1C 1所成的角为θ，所以sinθ=d B 1C =14． 19.解：(1)由题意可知：{10a +10b =0.310(0.045+0.020+a)=0.7，解得{a =0.005b =0.025，可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数等于50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，因为0.05+0.25=0.30>0.25，设第25百分位数为x ∈[55,65)，则0.05+(x−55)×0.025=0.25，解得x =63，第25百分位数为63；(2)设第二组、第四组的平均数与方差分别为−x 1,−x 2,s 21,s 22，且两组频率之比为0.250.20=54，成绩在第二组、第四组的平均数−x =5×62+4×809=70，成绩在第二组、第四组的方差为：s 2=59[s 21+(−x 1−−x )2]+49[s 22+(−x 2−−x )2] =59[40+(62−70)2]+49[70+(80−70)2]=4003，故估计成绩在第二组、第四组的方差是4003． 20.解：(1)证明：连接OB ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面PAD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥AD ，由题意可知，等腰梯形ABCD 的高为1，故等腰梯形ABCD 的面积为：S =12×(1+3)×1=2，∴V P−ABCD =13×2×PO =23，∴PO =1，在Rt △POD 中，PD = 5，PO =1．∴OD=2，即AO=1，∴O为AD的三等分点，∴BO⊥AD，又∵PO∩BO=O，BO⊂面POB，PO⊂面POB，∴AD⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴PB⊥AD．(2)取OD出点E，连接BE，则四边形BCDE为平行四边形，∴BE//CD．∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN//CD，∴MN//BE，∴M，N，B，E四点共面，连接OC交BE于F，连接NF，则二面角O−MN−B即二面角O−MN−F，∵PO⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PO⊥CD，易知四边形BCEO为正方形，则OC⊥BE，∵BE//CD，∴OC⊥CD，又PO∩OC=O，PO⊂平面POC，OC⊂平面POC，∴CD⊥平面POC．∵MN//CD，∴MN⊥平面POC，∵NO⊂平面POC，NF⊂平面POC，∴MN⊥NO，MN⊥NF，∴∠ONF是二面角O−MN−B的平面角，在Rt △NFO 中，NF =12PO =12，OF =12OC = 22，∴ON = 32，∴cos ∠ONF =NF ON = 33，∴二面角O−MN−B 的余弦值为 33．。

辽宁省沈阳市高一下学期数学第二次月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020·安徽模拟) 某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为 120°，并在扇形弧上正面 等距安装 7 个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为 30 厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A . 58 厘米B . 63 厘米C . 69 厘米D . 76 厘米2. （2 分） sinα＞cosα，α∈（0，2π），则 α 的范围是（ ）A.（ ， ） B . （0， ）C.（ ， ） D . （﹣ ， ）3. （ 2 分 ） 已 知 向 量 满 足， 其夹角为， 则 的最大值与最小值之差为（ ）A.1， 若对任意向量 ， 总有B.C.D.第 1 页 共 11 页4. （2 分） (2020 高一下·大丰期中) 如果 A. B.，那么的值是（ ）C. D. 5. （2 分） 已知 =（1，-2） =（3，4），则 在 方向上的投影是（ ） A.1 B . -1 C. D.6. （2 分） (2016 高二上·东莞开学考) 计算 sin43°cos13°﹣sin13°cos43°的值等于（ ） A.B.C.D. 7. （2 分） (2017·淄博模拟) 设向量 =（1，﹣2）， =（a，﹣1）， 标原点，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则 + 的最小值为（ ）=（﹣b，0），其中 O 为坐A.4B.6第 2 页 共 11 页C.8 D.9 8. （2 分） (2018 高一上·北京期末) 同时具有性质“①最小正周期为 π；②图象关于直线 x= 对称；③ 在[ ， ]上是增函数”的一个函数是（ ）A.B.C.D. 9. （2 分） 如图是函数 f（x）=sin2x 和函数 g（x）的部分图象，则 g（x）的图象可能是由 f（x）的图象（ ）A . 向右平移 个单位得到 B . 向右平移 个单位得到 C . 向右平移 个单位得到 D . 向右平移 个单位得到 10.（2 分）(2020 高一下·沈阳期中) 对于锐角 α，若 sin第 3 页 共 11 页＝ ，则 cos＝（ ）A. B.C.D.－ 11. （2 分） (2019 高二下·浙江期中) 已知，则（）A.B.C.D.12. （2 分） (2016 高一下·内江期末) 若 cos（ ﹣α）= ，则 sin2α=（ ）A.B.C.﹣D.﹣二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一下·福建期中) 函数 y=+14. （1 分） (2018 高二下·鸡西期末) 给出下列四个命题：的定义域为________．①半径为 2，圆心角的弧度数为的扇形面积为②若第 4 页 共 11 页为锐角，，则③是函数为偶函数的一个充分不必要条件 ④函数称轴是其中正确的命题是________．的一条对15. （1 分） (2019 高一上·西城期中) 设函数的定义域为 D，如果存在正实数 m，使得对任意都有，则称 为 D 上的“m 型增函数”，已知函数 是定义在 R 上的奇函数，且当．若为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是________．， 时，16. （1 分） 若是 R 上的偶函数，当时，，则三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） ABC 中 D 是 BC 上的点，AD 评分 BAC，BD=2DC的解析式是________．（1） (I)求 （2） （II）若=60 ,求 B18. （10 分） 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，f（x）= • ﹣（2m+ ）•| |；A、B、C三点满足满足 =+．（Ⅰ）求证：A、B、C 三点共线；（Ⅱ）已知 A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），的最小值为﹣ ，求实数 m 的值．19. （10 分） 已知向量 =（ sin（ ﹣ ）， cos ），向量 =（ sin（ + ）， 2sin ），函数 f（x）= • ．（1） 求函数 f（x）的对称轴方程及单调递增区间；（2） 在锐角△ABC 中，若 f（A）= ，求 cosA 的值．20. （10 分） (2018 高一下·衡阳期末) 已知函数.（1） 当时，求的值域；第 5 页 共 11 页（2） 当时，函数的图象关于对称，求函数的对称轴．（3） 若图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 1 个单位可得的图象，又知的所有正根从小到大依次为，且，求的解析式．21. （10 分） 已知 =（1，5，﹣1）， =（﹣2，3，5）．（1） 求与 的夹角的余弦值；（2） 若（k）∥（ ﹣3 ），求实数 k 的值；（3） 若（k）⊥（ ﹣3 ），求实数 k 的值．22. （10 分） 某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（ωx+φ）+B，A＞0，ω＞0，|φ|＜ 期的图象时，列表并填入了部分数据，如表：在某一个周ωx+φ0π2πxx1x2x3Asin（ωx+φ）+B000﹣（1） 请求出上表中的 x1 ， x2 ， x3 ， 并直接写出函数 f（x）的解析式；（2） 若 3sin2 ﹣ mf（ ﹣ ）≥m+2 对任意 x∈[0，2π]恒成立，求实数 m 的取值范围．第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、 17-2、18-1、第 8 页 共 11 页19-1、19-2、 20-1、20-2、20-3、第 9 页 共 11 页21-1、 21-2、第 10 页 共 11 页21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。

辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高一数学下学期第二阶段考试试题第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知a >b ，则下列各式一定成立的是A.2-a >1b -B.1+a >1-bC.2018a <2018bD.2018a ->2018b - 2.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A.向左平移6π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向右平移3π个单位 3.sin 585的值为C.D.4.在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是A.矩形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.梯形 5.在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 6.某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则 A.x =a ＋b2B.x ≤a ＋b2C.x >a ＋b2D.x ≥a ＋b27.设变量,x y 满足约束条件：34,|3|2y xx y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为A.10B.8C.6D.48.若A 是三角形ABC ∆中的最小内角，则sin cos A A -的取值范围是A.[B.1(1,)2- C.1[1,]2- D.1(1,]2- 9.对一切实数x ，若不等式x 4+(a -1)x 2+1≥0恒成立，则a 的取值范围是 A.a ≥-1 B.a ≥0 C.a ≤3 D.a ≤1 10.函数sin 2(1tan 2tan )y x x x =+⋅的最小正周期为 A.2π B.π C.23πD.2π11.已知平面内，0AB AC ⋅=，||||1AB AC ⋅= ，且4AB AC AP ABAC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于A.13B.15C.19D.2112.已知函数)(x f 满足下列条件：①定义域为[)+∞,1；②当21≤<x 时)2sin(4)(x x f π=；③)2(2)(x f x f =. 若关于x 的方程0)(=+-k kx x f 恰有3个实数解，则实数k 的取值范围是 A.)31,141[ B.]31,141( C.]2,31( D.)2,31[第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13.已知||1a =，||2b =，,60a b <>=，则|2|a b += . 14.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图，则()OA OB AB +⋅= .15.已知0>x ，0>y ，22x y xy +=，则y x 2+的最小值为 .16.设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=.（Ⅰ）求sin()αβ+； （Ⅱ）求2αβ+.18．（本小题满分12分）解关于x 的不等式2(21)20mx m x +-->．19．（本小题满分12分）已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点． （Ⅰ）AC BC ⋅＝－13，求sin 2θ的值；（Ⅱ）若OA OC +=7，且θ∈(－π,0)，求OB 与OC 的夹角．20．（本小题满分12分）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()0450<<θ的C 处，135=AC ．在离观测站A 的正南方某处E ，13132cos -=∠EAC . （Ⅰ）求θcos ；（Ⅱ）求该船的行驶速度v （海里/小时）.21．（本小题满分12分） 如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设BAD α∠=，sin α=. （Ⅰ）求sin BAC ∠和sin C ； （Ⅱ）若28BA BC ⋅=，求AC 的长.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 为平面上任一点，A ，B ，C 三点满足1233MC MA MB =+uuu r uuu r uuu r ．（Ⅰ）求||||BA BC uu r uu u r 的值； （Ⅱ）已知A (1,sin x )、B (1+sin x ,sin x )，M (1+23sin x ,sin x )，x ∈(0,π)，且函数 2()(2)||3f x OA OM m AB =⋅+-uu r uuu r uu u r 的最小值为12，求实数m 的值．BBACDC BBDAB AD13.14..615. 416. [2,27]17.（本小题满分10分）已知，为锐角，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.（1）（2）18．（本小题满分12分）解：关于x的不等式mx2+（2m﹣1）x﹣2＞0等价于（x+2）（mx﹣1）＞0；当m=0时，不等式化为x+2＜0，解得解集为（﹣∞，﹣2）；当m＞0时，不等式等价于（x﹣）（x+2）＞0，解得不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；当m＜0时，不等式等价于（x﹣）（x+2）＜0，若﹣＜m＜0，则＜﹣2，解得不等式的解集为（，﹣2）；若m=﹣，则=﹣2，不等式化为（x+2）2＜0，此时不等式的解集为∅；若m ＜﹣，则＞﹣2，解得不等式的解集为（﹣2，）． 综上，m=0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）； m ＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）； ﹣＜m ＜0时，不等式的解集为（，﹣2）； m=﹣时，不等式的解集为∅；m ＜﹣时，不等式的解集为（﹣2，）． 19．（本小题满分12分）已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点． （Ⅰ）＝－31，求sin 2θ的值；（Ⅱ）若=，且θ∈(－π,0)，求与的夹角．解：(1)∵→AC＝(cos θ，sin θ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)，→BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)，→AC ·→BC ＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(si n θ－2)＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－31∴sin θ＋cos θ＝32， ∴1＋2sin θcos θ＝94， ∴sin 2θ＝94－1＝－95.(2)∵→OA ＝(2,0)，→OC＝(cos θ，sin θ)， ∴→OA ＋→OC＝(2＋cos θ，sin θ)，∴|→OA ＋→OC |＝＝，即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7， ∴4cos θ＝2，即cos θ＝21. ∵－π＜θ＜0，∴θ＝－3π， 又∵→OB ＝(0,2)，→OC＝3，∴cos 〈→OB ，→OC 〉＝|OC ＝23＝－23，∴〈→OB ，→OC 〉＝65π. 20．（本小题满分12分）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与相距20海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东的C 处，．在离观测站A 的正南方某处E ，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求该船的行驶速度v （海里/小时）；解：（1）（2）利用余弦定理该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，该船的行驶速度（海里/小时21．（本小题满分12分）如图，在中，，角的平分线交于点，设，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若，求的长.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M为平面上任一点，A，B，C三点满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知A(1,sin x)、B(1+sin x,sin x)，M(1+sin x,sin x)，x∈(0,π)，且函数的最小值为，求实数m的值．解：（Ⅰ）证明：由=+，得﹣=2（﹣），∴=2，且、有公共点C，∴A，B，C三点共线，如图所示；∴===3；（Ⅱ）A（1，sinx）、B（1+sinx，sinx），M（1+sinx，sinx），x∈（0，π），∴=（1，sinx）=（1+sinxsinx）=（sinx0）∴函数f（x）=•+（2m﹣）•||=（1+sinx）+sin2x+（2m﹣）•sinx=sin2x+2msinx+1；设sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1），∴y=t2+2mt+1=（t+m）2+1﹣m2；讨论﹣m＜0即m＞0时，此时y没有最小值；当0≤﹣m≤1即﹣1≤m≤0时，当t=﹣m有y min=1﹣m2=，解得m=﹣；当﹣m＞1即m＜﹣1时，此时y没有最小值；综上，得m=﹣．。

2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才外国语学校高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．2. 中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（）.A． B. C. D.参考答案：D3. 棱台上、下底面面积比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( ) A．1∶7 B．2∶7 C．7∶19 D．5∶ 16参考答案：C4. 函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）参考答案：C【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间．【解答】解：∵函数f（x）=3x+2x﹣3在R上单调递增，∴f（0）=1+0﹣3=﹣2＜0，f（1）=3+2﹣3=2＞0，∴f（0）f（1）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间是（0，1），故选：C．5. 已知f（x）=满足对任意x1≠x2都有＜0成立，那么a的取值范围是( )A．（0，1）B．C．D．参考答案：C考点：分段函数的应用；函数恒成立问题．专题：函数思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可得f（x）在R上为减函数，分别考虑各段的单调性，可得2a﹣1＜0，0＜a＜1，注意x=1处的情况，可得2a﹣1+3a≥a，求交集即可得到所求范围．解答：解：对任意x1≠x2都有＜0成立，即有f（x）在R上为减函数，当x＜1时，y=（2a﹣1）x+3a，递减，即有2a﹣1＜0，解得a＜，①当x＞1时，y=a x递减，即有0＜a＜1，②由于x∈R，f（x）递减，即有2a﹣1+3a≥a，解得a≥，③由①②③，可得≤a＜．故选C．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，注意定义的运用，属于中档题和易错题．6. a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是（）A. 过A有且只有一个平面平行于a、bB. 过A至少有一个平面平行于a、bC. 过A有无数个平面平行于a、bD. 过A且平行a、b的平面可能不存在参考答案：D7. 圆的圆心坐标是（）A.(2，3)B.(－2，3)C.(－2，－3)D.(2，－3)参考答案：D8. 一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D略9. 如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B∵点位于第四象限，∴，∴角所在的象限是第二象限．故选：B．10. 函数在上是增函数，则实数的取值范围是或参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则_____________.参考答案：略12. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为参考答案：13. 函数的定义域为___________.参考答案：14. 若偶函数在内单调递减，则不等式的解集是参考答案：略15. 已知定义在上的单调函数满足对任意的，都有成立．若正实数满足，则的最小值为___________．参考答案：,故应填答案.考点：函数的奇偶性及基本不等式的综合运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知运用函数的奇偶性可得,再将变形为,从而使得问题获解.16. 如图，给出幂函数在第一象限内的图象，取四个值，则相应于曲线的依次为_ ．参考答案：17. 空间不共线的四个点可确定个平面；参考答案：一个或四个略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年学校高一第二学期期中数学试卷一、选择题1．cos （−23π3）的值是（ ） A ．12B ．−12C ．√22D ．−√322．已知向量a →=（cos θ，sin θ），b →=（1，√2），若a →与b →的夹角为π6，则|a →+b →|＝（ ） A ．2B ．√7C ．√2D ．13．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，b =√2，∠C ＝45°，则∠A ＝（ ） A ．150°B ．60°C ．45°D ．30°4．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝1，若|3a →+2b →|=√7，则向量a →与b →的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．把函数y ＝sin （2x −π3）的图象向左平移π3后，所得函数的解析式是（ ） A ．y ＝sin2xB ．y =sin(2x +2π3)C ．y =sin(2x +π3)D ．y ＝﹣sin2x6．已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的一条对称轴为x =π3，一个对称中心为(π12，0)，则ω有（ ） A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值17．已知向量a →，b →满足|a →|＝4，b →在a →上的投影的数量为﹣2，则|a →−2b →|的最小值为（ ） A ．4√3B ．10C ．√10D ．88．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1B．−725C．725D．−24259．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tan C＝（）A．34B．43C．−43D．−3410．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为75°的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点）．则△ABC周长的最小值是（）A．√6+12B．√6+√22C．2√6+14D．2√6+√2411．函数f（x）＝cos（2x+π6）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=π6B．x=5π12C．x=1112πD．x=−2π312．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb＜cos A，则△ABC不可能为（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量|a →|＝3√2，|b →|=√2，若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ． 14．已知函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则ω＝ ，φ＝ ．15．cos π5•cos 25π=16．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC =√7，BC ＝3，则AO →•BC →的值为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知tan α＝2，（1）求3cos 2α+2sin 2α的值；（2）求cos(π−α)cos(π2+α)sin(α−3π2)sin(3π+α)sin(α−π)cos(π+α)的值．18．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=（1，2），b →=（﹣2，4），c →=（﹣2，m ）．（1）若a →⊥（b →+c →），求|c →|；（2）若k a →+b →与2a →−b →共线，求k 的值．19．已知sin （π3−α）+sin α=12，cos β=13且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos （α+2β）的值．20．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A =√3a cos B ． （1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求△ABC 的周长．21．已知函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)+12．（1）求f(π3)的值；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π6后得到函数y ＝g （x ），若x ∈[0，π2]时，不等式c ＜g （x ）＜c +2恒成立，求实数c 的取值范围．22．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设小型生态园，点M ，N 分别在边AB ，AD 上 （1）当点M ，N 分别时边AB 中点和AD 靠近D 的三等分点时，求∠MCN 的余弦值； （2）实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN 的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN 是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1-10题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，11-12为多选题.1．cos （−23π3）的值是（ ） A ．12B ．−12C ．√22D ．−√32【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．解：cos （−23π3）＝cos （﹣8π+π3）＝cos π3=12． 故选：A ．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．2．已知向量a →=（cos θ，sin θ），b →=（1，√2），若a →与b →的夹角为π6，则|a →+b →|＝（ ） A ．2B ．√7C ．√2D ．1【分析】利用向量数量积运算性质、模的计算公式即可得出．解：∵向量a →=（cos θ，sin θ），b →=（1，√2），∴|a →|=√cos 2θ+sin 2θ=1，|b →|=√12+(√2)2=√3．∵a →与b →的夹角为π6，∴|a →+b →|2=a →2+b →2+2a →•b →=1+3+2×1×√3cos π6=7，解得|a →+b →|=√7． 故选：B ．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝1，b=√2，∠C＝45°，则∠A ＝（）A．150°B．60°C．45°D．30°【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，利用等腰三角形的性质可求A的值．解：∵a＝1，b=√2，∠C＝45°，∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+2﹣2×1×√2×√2，解得：c＝1，2∴A＝C＝45°．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．已知平面向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝1，若|3a→+2b→|=√7，则向量a→与b→的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】由题意利用两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，求得向量a→与b→的夹角的余弦值，可得向量a→与b→的夹角．解：∵平面向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝1，若|3a→+2b→|=√7，设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0°，180°]，则有(3a→+2b→)2=7，即9a→2+12a→•b→+4b→2=7，即9+12•1•1•cosθ+4＝7，求得cosθ=−12，∴θ＝120°，故选：D．【点评】本题主要考查两个向量数量积的定义，求向量的模，属于基础题．5．把函数y＝sin（2x−π3）的图象向左平移π3后，所得函数的解析式是（）A．y＝sin2x B．y=sin(2x+2π3 )C．y=sin(2x+π3)D．y＝﹣sin2x【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数y＝sin（2x−π3）的图象向左平移π3后，所得函数的解析式是y＝sin[2（x+π3）−π3]＝sin（2x+π3），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．6．已知ω＞0，函数f（x）＝cos（ωx+π3）的一条对称轴为x=π3，一个对称中心为(π12，0)，则ω有（）A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1【分析】由函数f（x）＝cos（ωx+π3）的﹣条对称轴为x=π3，求得φ＝3k﹣1 ①．再由﹣个对称中心为(π12，0)，求得ω＝12n+2 ②．综合①②可得，ω的最小值为2．解：由已知ω＞0，函数f（x）＝cos（ωx+π3）的﹣条对称轴为x=π3，可得ω×π3+π3=kπ，k∈z，求得φ＝3k﹣1 ①．再由﹣个对称中心为(π12，0)，可得ω×π12+π3=nπ+π2，n∈z，解得ω＝12n+2 ②．综合①②可得，ω的最小值为2，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A cos（ωx+φ）的对称性的应用，属于中档题．7．已知向量a→，b→满足|a→|＝4，b→在a→上的投影的数量为﹣2，则|a→−2b→|的最小值为（）A．4√3B．10C．√10D．8【分析】由b→在a→上的投影的数量为﹣2，可得|b→|cos＜a→，b→＞=−2，|b→|=−2cos＜a→，b→＞，可得﹣1≤cos＜a→，b→＞＜0，∴|b→|≥2，利用数量积运算性质展开(a→−2b→)2，即可得出．解：∵b→在a→上的投影的数量为﹣2，∴|b→|cos＜a→，b→＞=−2，∴|b→|=−2cos＜a→，b→＞，∴﹣1≤cos＜a→，b→＞＜0，∴|b→|≥2，∵(a→−2b→)2=a→2−4a→•b→+4b→2=42﹣4×4×（﹣2）+4|b→|2=48+4|b→|2≥48+4×22＝64．∴|a→−2b→|的最小值为8．故选：D．【点评】本题考查了向量的投影、数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1B．−725C．725D．−2425【分析】求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得（cosθ﹣sinθ）2的值，判断出cosθ＞sinθ求得cosθ﹣sinθ的值，然后求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）2的进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案．解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ，∵小正方形的面积是125，∴（cosθ﹣sinθ）2=125又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ∴cosθ﹣sinθ=1 5又∵（cosθ﹣sinθ）2＝1﹣2sinθcosθ=1 25∴2cosθsinθ=24 25∴1+2sinθcosθ=49 25即（cosθ+sinθ）2=4925∴cosθ+sinθ=7 5∴sin2θ﹣cos2θ＝（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=−15×75=−725故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系．考查了学生综合分析推理和基本的运算能力．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tan C＝（）A．34B．43C．−43D．−34【分析】首先由三角形面积公式得到S △ABC =12ab ⋅sinC ，再由余弦定理，结合2S ＝（a +b ）2﹣c 2，得出sin C ﹣2cos C ＝2，然后通过（sin C ﹣2cos C ）2＝4，求出结果即可．解：△ABC 中，∵S △ABC =12ab ⋅sinC ，由余弦定理：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，且 2S ＝（a +b ）2﹣c 2，∴ab sin C ＝（a +b ）2﹣（a 2+b 2﹣2ab cos C ）， 整理得sin C ﹣2cos C ＝2，∴（sin C ﹣2cos C ）2＝4．∴(sinC−2cosC)2sin C+cos C=4，化简可得 3tan 2C +4tan C ＝0．∵C ∈（0，180°），∴tan C =−43， 故选：C ．【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C 的范围，属于中档题．10．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75°的扇形，点A ，B ，C 分别是半径OP ，OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O ，P ，Q 三点）．则△ABC 周长的最小值是（ ）A ．√6+12B ．√6+√22C ．2√6+14D ．2√6+√24【分析】先根据对称性将边BC ，边AC 转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答．解：作点C 关于线段OQ ，OP 的对称点C 1，C 2．连接CC 1，CC 2． 则C △ABC ＝C 1B +BA +AC 2≥C 1C 2．又∵C1C2=√OC12+OC22−2OC1⋅OC2⋅cos∠C1OC2而∠C1OC2＝∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2＝2（∠QOC+∠POC）＝2∠QOP＝150°∴C1C2=12+12−2×1×1×(−32)=√2+√3=√8+434=√(√6+√2)24=√6+√22．∴△ABC的周长的最小值为√6+√22．故选：B．【点评】本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是：三边转成一线时三角形周长最小．11．函数f（x）＝cos（2x+π6）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=π6B．x=5π12C．x=1112πD．x=−2π3【分析】由余弦函数的性质，令2x+π6=kπ，k∈Z，解得：x=kπ2−π12，k∈Z，讨论即可求解．解：令2x+π6=kπ，k∈Z，则解得：x=kπ2−π12，k∈Z，当k＝1时，x=5π12，当k＝2时，x=11π12．故选：BC．【点评】本题主要考查了余弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb＜cos A，则△ABC不可能为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得B为钝角，进而可判断．解：由正弦定理可得，cb =sinCsinB＜cos A，整理可得，sin C＜sin B cos A，所以sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＜sin B cos A，故sin A cos B＜0，因为sin A＞0，所以cos B＜0即B为钝角，则△ABC为钝角三角形．∴△ABC不可能为直角三角形或等边三角形．故选：BD．【点评】本题主要考查了利用正弦定理及和差角公式判断三角形的形状，属于基础试题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量|a→|＝3√2，|b→|=√2，若（a→+λb→）⊥（a→−λb→），则实数λ＝±3．【分析】由已知结合向量数量积的性质进行转化即可求解．解：若（a→+λb→）⊥（a→−λb→），则（a→+λb→）•（a→−λb→）=a→2−λ2b→2=0，∴18﹣2λ2＝0，∴λ＝±3，故答案为：±3【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．14．已知函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则ω＝ 2 ，φ＝4π3．【分析】由函数f （x ）的部分图象，求出最小正周期T 得ω；由f （5π6）＝0，结合φ的范围，由正弦函数的图象和性质可求出φ的值．解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，12T =5π6−π3=π2， ∴T ＝π，∴ω=2πT =2； 又f （5π6）=√3sin （2×5π6+φ）＝0， ∴由正弦函数的图象和性质可得：φ＝2k π+π−5π3，k ∈Z ， 且0＜φ＜2π，∴φ=4π3． 故答案为：2，4π3．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想，属于基础题． 15．cos π5•cos 25π=14【分析】利用三角函数公式化简即可求出结果．解：cos π5•cos 25π=2sin π5⋅cos π5⋅cos2π52sinπ5=sin2π5⋅cos 2π52sinπ5=2sin2π5⋅cos 2π54sinπ5=sin4π54sinπ5=14，故答案为：14．【点评】本题主要考查了运用三角函数公式化简求值，是基础题．16．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC =√7，BC ＝3，则AO →•BC →的值为32．【分析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ．可得AD →=12（AB →+AC →），BC →=AC →−AB →，代入AO →•BC →，化简整理即可得出． 解：取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ．AD →=12（AB →+AC →），BC →=AC →−AB →，∴AO →•BC →=（AD →+DO →）•BC →=AD →•BC →+DO →•BC →=AD →•BC →=12（AB →+AC →）（AC →−AB →）=12（AC →2−AB →2）=12[(√7)2−22]=32， 故答案为：32．【点评】本题考查了向量三角形与平行四边形法则、数量积运算性质、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知tanα＝2，（1）求3cos2α+2sin2α的值；（2）求cos(π−α)cos(π2+α)sin(α−3π2)sin(3π+α)sin(α−π)cos(π+α)的值．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．解：（1）∵tanα＝2，∴3cos2α+2sin2α＝2+cos2α＝2+cos2αsin2α+cos2α=2+1tan2α+1=2+15=11 5．（2）cos(π−α)cos(π2+α)sin(α−3π2)sin(3π+α)sin(α−π)cos(π+α)=−cosα⋅(−sinα)⋅cosα−sinα⋅(−sinα)⋅(−cosα)=−cotα．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．18．已知a→，b→，c→是同一平面内的三个向量，其中a→=（1，2），b→=（﹣2，4），c→=（﹣2，m）．（1）若a→⊥（b→+c→），求|c→|；（2）若k a→+b→与2a→−b→共线，求k的值．【分析】（1）先分别求出向量的坐标，然后根据向量数量积的性质的坐标表示可求；（2）根据向量平行的坐标表示即可直接求解．解：（1）因为b→=（﹣2，4），c→=（﹣2，m），所以b→+c→=（﹣4，4+m），若a→⊥（b→+c→），则a→•（b→+c→）＝﹣4+2（4+m）＝0，解可得，m＝﹣2，c→=（﹣2，﹣2）所以|c→|＝2√2，（2）由已知可得k a→+b→=（k﹣2，k+4），2a→−b→=（4，0），所以0×（k﹣2）＝4（2k+4），所以k＝﹣2．【点评】本题考查了向量平行及垂直的坐标表示，属于基础试题．19．已知sin（π3−α）+sinα=12，cosβ=13且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos（α+2β）的值．【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数公式化简已知可得sin（α+π3）=12，求得α+π3的范围，可求α+π3的值，进而可得α的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：sin(π3−α)+sinα=√32cosα+12sinα=sin(α+π3)=12，…因为：α∈（0，π），所以：α+π3∈(π3，4π3)，所以：α+π3=5π6，所以：α=π2．…（2）因为：cosβ=13＞0，β∈(0，π)，所以：β∈(0，π2 )，所以：sinβ=2√23，所以：cos(2β+α)=cos(2β+π2)=−sin2β=−2sinβcosβ=−4√29．…【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A=√3a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的周长．【分析】（1）由题意利用正弦定理求得tan B的值，可得B的值．（2）由题意利用余弦定理求得a的值，可得c的值，从而求得△ABC的周长a+b+c的值．解：（1）△ABC中，∵b sin A=√3a cos B，由正弦定理得sin B sin A=√3sin A cos B，∴tan B=√3，B=π3．（2）∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，又b2＝a2+c2﹣2ac•cos B，B=π3，b＝3，∴9＝a2+4a2﹣2a•2a•cosπ3，∴a=√3，c＝2√3．∴△ABC的周长为a+b+c＝3+3√3．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．21．已知函数f(x)=cosx(√3sinx−cosx)+1 2．（1）求f(π3)的值；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移π6后得到函数y ＝g （x ），若x ∈[0，π2]时，不等式c ＜g （x ）＜c +2恒成立，求实数c 的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． （2）直接利用平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的值域和恒成立问题的应用求出结果．解：（1）f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12=√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6)，所以f(π3)=1．（2）g(x)=f(x +π6)=sin[2(x +π6)−π6]=sin(2x +π6)，由于x ∈[0，π2]，所以2x +π6∈[π6，7π6]，则sin(2x +π6)∈[−12，1]，由c ＜g （x ）＜c +2在[0，π2]恒成立，所以{c +2＞1c ＜−12，整理得−1＜c ＜−12， 所以实数c 的取值范围为(−1，−12)．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 22．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设小型生态园，点M ，N 分别在边AB ，AD 上 （1）当点M ，N 分别时边AB 中点和AD 靠近D 的三等分点时，求∠MCN 的余弦值； （2）实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN 的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN 是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）根据题意计算tan∠DCN和tan∠MCB的值，求出tan（∠DCN+∠MCB）的值，即得∠MCN，再求cos∠MCN；（2）设AM＝x，AN＝y，利用余弦定理求出xy、再计算tan∠DCN、tan∠MCB，从而求得tan（∠DCN+∠MCB），得出∠MCN为定值．解：（1）当点M，N分别是边AB中点和AD靠近D的三等分点时，tan∠DCN=13，tan∠MCB=12，如图所示；所以tan（∠DCN+∠MCB）=13+121−13×12=1，所以∠DCN+∠MCB=π4，所以∠MCN=π4，所以cos∠MCN=√22；（2）设AM＝x，AN＝y，则MN2＝x2+y2＝（1.2﹣x﹣y）2，可得xy＝1.2（x+y）﹣0.72，又tan∠DCN=0.6−y0.6，tan∠MCB=0.6−x0.6，所以tan（∠DCN+∠MCB）=0.6−y0.6+0.6−x0.61−0.6−y0.6×0.6−x0.6=0.72−0.6(x+y)0.6(x+y)−xy，将xy＝1.2（x+y）﹣0.72代入上式，计算得tan（∠DCN+MCB）＝1，所以∠DCN+∠MCB=π4，所以∠MCN=π4为定值．【点评】本题考查了三角形中边角关系应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．。

2019-2020学年辽宁省沈阳二中高一下学期期末考试数学试题说明：1．测试时间：120分钟，总分：150分2．客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2(2)(2)()1a a z a a i a R a ++++∈=-为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1a ≠B ．0a =C ．0a =或2a =-D ．2a =-2．如果α的终边过点(2sin,2cos )66ππ-，则sin α的值等于（ ）A ．12 B ．12-C ．2-D ．3-3．若向量()1,1a =，()2,5b =，()3,c x =，满足条件()824a b c -⋅=，则x 等于（ ）A ．6B ．2C ．4D ．34．关于直线m ﹑n 与平面α﹑β，有下列四个命题，其中真命题的序号是（ ）①//m α，//n β且//αβ，则//m n ； ②m a ⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③m a ⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥； ④//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n ． A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③5．在ABC 中，2()||BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形6．设函数6cos y x =与5tan y x =的图像在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图像于点B ，则线段AB 的长度为（ ）A ．5B ．352C ．1459D ．257．已知ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量sin (3,sin )A m B =，co s ()s co ,3B n A =．若1cos m n ⋅=+()A B +，则C =（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．40039．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ） A ．4B ．2C ．0D ．2-10．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC 的外接圆的面积为3π，且2cos A22cos cos 13sin sin B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为（ ）A ．2B ．3C 3D ．2311．在四面体P-ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P-ABC 外接球表面积为（ ） A ．12πB ．25πC ．809πD ．32411π12．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75︒的扇形．点A ，B ，C 分别是半径OP ，OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O ，P ，Q 三点），则ABC 周长的最小值是（ ）A ．61+ B ．62+ C ．261+ D ．262+ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若z C ∈，且221z i --=，则22z i +-的最小值为_________． 14．如图．在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=_________．15．已知ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABDADCSS=，1AD =，12DC =，则AC =_________．16．已知：平面l αβ⋂=，A l ∈，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数()3sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和ϕ的值； （2）若32()()263f αππα=<<，求sin()3a π+的值． 18．（本小题满分12分）如图．甲船以每小时302乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？19．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中,1)(2a =． （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||2b =，且()(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角θ． 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ． 21．（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3cos sin b A C a =+． （I ）求A 的值：（Ⅱ）若3a =，点D 在边BC 上．且2BD DC =，求AD 的最大值． 22．（本小题满分12分）如图所示的圆锥，顶点为O ，底面半径是5cm ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm ，这个平面与母线OA 交于点B ，线段AB 的长为10cm ．（提示：本题的数据有长度单位） （1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段AB 的中点M 开始到点A ，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度； （3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？2019—2020学年度下学期期末考试高一试题数学参考答案及评分标准一、选择题： BCBDD CCBCCDB二、填空题： 13．3 14315．3216．543三、解答题：17．解析：（1）因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=， 从而22Tπω==． 又()f x 的图像关于直线3x π=对称，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈⨯．因为22ππϕ-≤<，所以0k =．所以2236πππϕ=-=-． （2）由（1）得3()3sin(2)226f ααπ=⋅-=， 所以1sin()64πα-=由263ππα<<，得062ππα<-<， 所以22115cos 1sin 16644ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 15sin sin cos 36264ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 18．【解析】解法一：如图，连接12A B ，由已知，22102A B =，122030210260A A == ∴1222A A AB =，12218012060A A B ∠=︒-︒=︒ 又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒．∴122A A B 是等边三角形，1212102A B A A == 由已知，1120A B =．1211056045B A B ∠=︒-︒=︒在121A B B 中，由余弦定理，得：33212121111122cos45B B A B A B A B A B =+-⋅⋅︒，22220(102)2201022002=+-⨯⨯⨯=． ∴12102B B = 因此乙船的速度的大小为1026030220⨯=（海里/h ）． 答：乙船每小时航行302海里． 解法二：如图，连结2A B ．由已知1220A B =．122030210260A A ==112105B A A ∠=︒， ()cos105cos 4560cos45cos60sin45sin60︒︒︒︒︒︒︒=+=-2(13)-=()sin105sin 4560sin45cos60cos45sin60︒︒︒︒︒︒︒=+=+2(13)+=在211A A B 中，由余弦定理，得22221111211122cos105A B A B A A A B A A ︒=+-⋅⋅222(13)(102)202102204=+-⨯⨯100(43)=+．∴2110(1A B =. 由正弦定理，得1112111221sin sin A B A A B B A A A B ∠=⋅∠42+==． ∴12145A A B ∠=︒，即122604515B A B ︒︒︒∠=-=．cos15sin1054︒︒+==．在122B A B 中，由已知，22A B = 由余弦定理，得22212212221222cos15B B A B A B A B A B ︒=+-⋅⋅22210(1210(12004+=++-⨯+⨯=．∴12B B =6020⨯=海里/h ．答：乙船每小时航行19．解：（1）由于a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1a =，若||25c =，且//c a ，可设()2,c a λλλ=⋅=．则由||2c ==，可得2λ=±，∴()4,2c =，或()4,2c =--．（2）∵5||b =，且2a b +与a b -垂直， ∴()()22220a b a b a a b b +-=+⋅-⋅=，化简可得52b a ⋅=-，即cos 5θ⨯=-， ∴cos 1θ=-，故a 与b 的夹角θπ=．20．证明：（1）设AC BE O ⋂=，连结OF ，EC ，由已知可得：//AE BC ，AE AB BC ==， 四边形ABCE 是菱形，O 为AC 中点， 因为F 为PC 中点，所以//OF AP ，//AP 平面BEF ，OF ⊂平面BEF所以AP ∥平面BEF ．（2）由题意知，//ED BC ，ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形． 因此//BE CD ． 又AP ⊥平面PCD ．所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形． 所以BE AC ⊥．又AP AC A ⋂=，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC ．21．（1）由已知及正弦定理得sin cos 3s s n n i i A C C A B =+． 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠， ∴tan 3A =0A π<<，即3A π=．（2）解法一：设ABC 外接圆的圆心为O ，半径为R ，则由正弦定理得3322sin sin 3a A R π===⨯如图所示，取BC 的中点M ，在Rt BOM 中，322BC BM ==， 222233(3)()22OM OB BM =-=-=；在Rt DOM 中，12OM BD BM =-=， 222231()()122OD OM DM =+=-=． 31AD OD OD O R A +=+=≤，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号， 所以AD 31+．解法二：在ABC 中，由正弦定理得：sin sin 3cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以tan 3A =又因为0A π<<，所以3A π=；由正弦定理得：in 23b B =，in 23c C =，在ABD 中，222224cos 24BA BD AD c AD B BA BD c +-+-==⨯在ABC 中，2222292c 6os BA B BC BC AC c b BA c +-+-==⨯所以222244946c D c b c c+-+-=，整理得22221233AD b c =+-， 所以22221(23)(23)233sin sin AD B C =+- 228sin 4sin 2B C =+-44cos22cos2B C =--144cos22cos(2)3B B π=-+- 43sin 23cos2B =+-423sin(2)3B π=+-， 当sin(2)13B π-=，即512B π=时，2AD 取得最大值423+． 所以AD 的最大值为31+．22．（1）作出圆锥的轴截面和侧面展开图，如下图由底面半径是5cm ，上底半径为2.5cm ，可得：10OB =所以，圆锥的高为：515387515c 8m V =，侧面积为：275cm S π=． （2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10π，所以，侧面展开图的圆心角为2π，MA ，所以最短时候，绳长为25cm 在直角三角形MOA中可得25cm（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是O到直线AM的距离减OB长．解得：2cm．。

辽宁省沈阳市东北育才学校2019-2020学年高一下学期期中数学试题一、单选题(★) 1. 的值是（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知向量，，若与的夹角为，则（）A．2B．C．D．1(★) 3. △ ABC的内角、、的对边分别为、、,若, , ,则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知平面向量满足，若，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．(★) 5. 把函数的图象向左平移后，所得函数的解析式是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为点，则有（）A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1(★★★) 7. 已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为（）A．B．10C．D．8(★★) 8. 在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则( )A．B．C．D．(★★★) 9. 已知在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，且，则（）A．B．C．D．(★★★★★) 10. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 11. 函数 f（ x）＝ cos（2 x ）的图象的一条对称轴方程为（）A．x B．x C．xπD．x(★★★) 12. 在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若，则△ ABC 不可能为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形三、填空题(★★★) 13. 设向量，，若，则实数= ___________ . (★★★) 14. _____(★★★★)15. △ ABC的外接圆的圆心为 O， AB＝2， AC ， BC＝3，则• 的值为_____.四、双空题(★★★) 16. 已知函数的部分图象如图所示，则_______ ， _________ ．五、解答题(★★★) 17. 已知．（1）求的值；（2）求的值．(★★) 18. 已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，求；（2）若与共线，求的值.(★★★) 19. 已知，，，，（1）求的值；（2）求的值.(★★★) 20. 设的内角的对边分别为,且.（1）求角的大小;（2）若,求的周长.(★★★) 21. 已知函数.（1）求的值；（2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 22. 如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上.（1）当点分别时边中点和靠近的三等分点时，求的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.。

2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（下）第二次段测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1．向量=（3，4），=（x，2），若•=||，则实数x的值为（）A．﹣1 B．C．D．12．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如图所示茎叶图，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是12；②众数是85；③中位数是84；④平均数是85，正确的是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④3．设集合A，B，则A⊆B是A∩B=A成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（）A．0 B．C．D．5．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（）A．B．C．D．6．如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若 f（x1）=f（x2），有，则（）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数7．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题8．设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），=k（+）（k∈R）．若cos∠BAC=，则k=（）A．B．C．D．9．设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（）A．B．C．D．10．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．511．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的（）A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心 D．AB边的中点12．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数是（）①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题，则其否定是．14．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C= ．15．设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则= ．16．给出下列命题，其中所有正确命题的序号为①②若③函数是偶函数④x=的一条对称抽方程⑤若α，β是第一象限的角且，α＞β，则sinα＞sinβ⑥．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．18．某校为了了解高一年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：（1）这次共抽调了多少人？（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？19．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠B；（2）求函数的值域及单调递减区间．20．某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率．21．在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．如图，已知等边△ABC的边长为2，圆A的半径为1，PQ为圆A的任意一条直径．（1）判断的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由．（2）求的最大值．2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（下）第二次段测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1．向量=（3，4），=（x，2），若•=||，则实数x的值为（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】9R：平面向量数量积的运算；93：向量的模．【分析】利用向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵，，∴， =5．又，∴3x+8=5，解得x=﹣1．故选A．2．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如图所示茎叶图，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是12；②众数是85；③中位数是84；④平均数是85，正确的是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④【考点】BA：茎叶图．【分析】根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：极差是91﹣78=13①是错误的；众数是83，②是错误的；中位数是=84，∴③是正确的；=85，∴④是正确的．错误的是③④；故选D3．设集合A，B，则A⊆B是A∩B=A成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据子集的概念，交集的概念以及充要条件的概念，即可找出正确选项．【解答】解：若A⊆B，则A的元素都是集合B的元素，∴A∩B=A；∴A⊆B是A∩B=A的充分条件；若A∩B=A，则A的元素都是集合B的元素，∴A⊆B；∴A⊆B是A∩B=A的必要条件；∴A⊆B是A∩B=A成立的充要条件．故选：C．4．一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（）A．0 B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】程序运行的功能是求S=sin+sin+sin+…+sin的值，利用三角函数的周期性与诱导公式求得S的值．【解答】解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=sin+sin+sin +…+sin的值，∵sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin﹣sin﹣sin﹣sin﹣sin=0，2020=8×251+6，∴S=251×0+sin+sin+sin+sin+sin+sin=．故选：B．5．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P=．故选A．6．如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若 f（x1）=f（x2），有，则（）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求得a+b=﹣φ，再根据f（a+b）=2sinφ=，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：由函数图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x==对称，∴a+b=x1+x2．由五点法作图可得2a+φ=0，2b+φ=π，∴a+b=﹣φ．再根据f（a+b）=2sin（π﹣2φ+φ）=2sinφ=，可得sinφ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．在上，2x+∈（﹣，），故f（x）在上是增函数，故选：C．7．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=sin y”的逆否命题为真命题【考点】2J：命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．8．设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），=k（+）（k∈R）．若cos∠BAC=，则k=（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，取BC的中点D，连接PD，AD．可得PD⊥BC，．由满足=k（+）（k∈R），可得，A，P，D三点共线，得到AB=AC．因此cos∠BAC=cos ∠DPC===．即可得出．【解答】解：如图所示，取BC的中点D，连接PD，AD．则PD⊥BC，，∵满足=k（+）（k∈R∴，∴A，P，D三点共线，∴AB=AC．∴cos∠BAC=cos∠DPC===．∴．∴，解得k=．故选：A．9．设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，可以画出其可行域，目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，从而进而求解；【解答】解：集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，可以若x＞0，﹣x≤y≤x；若x＜0可得，x≤y≤﹣x M=A∩B，可以画出可行域M：目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，由上图可知：z在点A或C可以取得最小值，即圆心（0，1）到直线y=x的距离的平方，z min=d2=（）2=，z在点B或D处取得最大值，z max=|0B|2=（）2+（）2=，∴≤z≤，故选A；10．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．5【考点】7F：基本不等式．【分析】已知式子可化为=1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（）++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1，即=1，∴3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2=5当且仅当=即x=1且y=时取等号，∴3x+4y的最小值为：5故选：D11．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的（）A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心 D．AB边的中点【考点】L%：三角形五心．【分析】根据O是三角形的重心，得到三条中线上对应的向量的模长之间的关系，根据向量加法的平行四边形法则，求出向量的和，根据共线的向量的加减，得到结果．【解答】解：设AB 的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，∴=（+2）∵∴==∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选B．12．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数是（）①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】7F：基本不等式．【分析】题目给出了两个和为常数2的正数a，b，我们可以借助于基本不等式及其变形式直接推导出其中①③⑤是正确的，②④可以通过举反例说明不正确．【解答】解：由a＞0，b＞0，a+b=2，则（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，①正确；由，所以，，所以，，所以，②正确；由=（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，③正确；若a=b=1，满足a＞0，b＞0，a+b=2，但a3+b3=13+13=2＜3，所以，④不正确；因为，而，则，所以（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，⑤正确．所以，正确的是①②③⑤．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题，则其否定是存在x0∈R使≤0 ．【考点】2J：命题的否定；2H：全称命题．【分析】根据全称命题和特称命题、命题的否定的定义，求出命题的否定．【解答】解：根据“命题的否定”的定义，若命题，则它的否定为：存在x0∈R使≤0，或x02+x0+1=0，故答案为存在x0∈R使≤0．14．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C= ．【考点】HR：余弦定理；96：平行向量与共线向量．【分析】通过向量的平行的坐标运算，求出S的表达式，利用余弦定理以及三角形面积，求出C的正切值，得到C的值即可．【解答】解：由∥，得4S=（a2+b2﹣c2），则S=（a2+b2﹣c2）．由余弦定理得cosC=，所以S=又由三角形的面积公式得S=，所以，所以tanC=．又C∈（0，π），所以C=．故答案为：．15．设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则= 10 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知中E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，我们可以以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系，分别求出向量，的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．【解答】解：以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系∵AB=3，AC=6，则A（0，0），B（3，0），C（0，6）又∵E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，则E（2，2），F（1，4）则=（2，2），=（1，4）∴=10故答案为：1016．给出下列命题，其中所有正确命题的序号为③④⑥①②若③函数是偶函数④x=的一条对称抽方程⑤若α，β是第一象限的角且，α＞β，则sinα＞sinβ⑥．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合二倍角的正弦公式和正弦函数的值域，即可判断①；由向量共线的坐标表示和辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可判断②；运用诱导公式和余弦函数的奇偶性，即可判断③；由代入法，求得最值，即可判断④；可令α=390°，β=30°，求出正弦值，即可判断⑤；由两角和的正切公式，结合条件，即可判断⑥．【解答】解：对于①，由=（sinα，1），=（cosα，﹣1），⊥，可得•=sinαcosα﹣1=0，即sin2α=2，不成立，故①错；对于②，由=（2，2），=（sinα﹣1，﹣cosα），∥，可得2（﹣cosα）=2（sinα﹣1），即有sinα+cosα=，由sinα+cosα=sin（α+）≤，可得α不存在，故②错；对于③，函数=﹣cosx是偶函数，故③对；对于④，由sin（2×+）=sin=﹣1，为最小值，则x=的一条对称抽方程，故④对；对于⑤若α，β是第一象限的角且α＞β，可令α=390°，β=30°，则sinα=sinβ，故⑤错；对于⑥，若α，β∈（，π），tanα＜，则tanα＜0，tanβ＜0，即为＜0，可得tanαtanβ﹣1＞0，tan（α+β）=＞0，由α，β∈（，π），可得π＜α+β＜2π，结合tan（α+β）＞0，可得π＜α+β＜π，故⑥对．故答案为：③④⑥．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．【考点】HR：余弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先由已知条件圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，连接对角线然后由边长求得夹角的度数，再分别求得三角形的面积，再求解即可得到答案．【解答】解：如图：连接BD，则有四边形ABCD的面积，．∵A+C=180°，∴sinA=sinC．∴=．由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=22+42﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，在△CDB中 BD2=CB2+CD2﹣2CB•CDcosC=62+42﹣2×6×4cosC=52﹣48cosC，∴20﹣16cosA=52﹣48cosC∵cosC=﹣cosA，∴64cosA=﹣32，，∴A=120°，∴．故答案为．18．某校为了了解高一年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：（1）这次共抽调了多少人？（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据题意：结合各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1；易得第二组的频率0.08；再由频率、频数的关系频率=；可得总人数．（2）根据题意：从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，和（1）的结论；容易求得各组的人数，这样就能求出优秀率．（3）由中位数的意义，作答即可．【解答】解：（1）第一组的频率为1﹣0.96=0.04，第二组的频率为0.12﹣0.04=0.08，故总人数为=150（人），即这次共抽调了150人；（2）第一组人数为150×0.04=6（人），第三、四组人数分别为51人、45人，这次测试的优秀率为×100%=24%；（3）前三组的人数为69，而中位数是第75和第76个数的平均数，所以成绩为120次的学生至少有7人．19．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠B；（2）求函数的值域及单调递减区间．【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（1）已知等式右边变形后，利用余弦定理化简，整理求出sinB的值，根据B为锐角，求出B的度数；（2）把sinB的值代入f（x）解析式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出值域，利用正弦函数的单调性求出f（x）的递减区间即可．【解答】解：（1）∵cosB=，即=，代入已知等式得：tanB=，即=，∴sinB=，∵△ABC是锐角三角形，∴B=；（2）把sinB=代入得：f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+cosx=2sin（x+），∵x∈[0，]，∴x+∈[，]，∴≤sin（x+）≤1，即1≤2sin（x+）≤2，∴f（x）的值域为[1，2]，∵+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，∴+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，当k=0时，≤x≤，又0≤x≤，∴f（x）在x∈[0，]上的单调减区间为[，]．20．某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图和直方图可知分数在[50，60）的频数为4人，可得频率为0.08，进而可得参数人数为50，计算50﹣（4+14+8+4）可得；（2）可得人数分别为5、2、1，分别记为1、2、3、4、5，a、b，A，列举可得总的基本事件共28个，其中恰有一名成绩位于[70，80）分数段的有15个，由概率公式可得．【解答】解：（1）由茎叶图和直方图可知分数在[50，60）的频数为4人，故频率为0.008×10=0.08，故参数人数为=50，∴分数在[70，80）之间的频数为50﹣（4+14+8+4）=20；（2）按分层抽样三个分数段的频数之比为5：2：1，可得人数分别为5、2、1，分别记为1、2、3、4、5，a、b，A，从中任选2人进行交流有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，a）（1，b）（1，A）（2，3）（2，4）（2，5）（2，a）（2，b）（2，A）（3，4）（3，5）（3，a）（3，b）（3，A）（4，5）（4，a）（4，b）（4，A）（5，a）（5，b）（5，A）（a，b）（a，A）（b，A）共28个，其中恰有一名成绩位于[70，80）分数段的有（1，a）（1，b）（1，A）（2，a）（2，b）（2，A）（3，a）（3，b）（3，A）（4，a）（4，b）（4，A）（5，a）（5，b）（5，A）共15个，故交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率P=．21．在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据两个向量垂直，利用向量积的运算和正弦定理求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用余弦定理求得ac，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】（Ⅰ）∵⊥，∴cosB•（2a+c）+cosC•b=0∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosB=0，整理得cosB=﹣，∠B=，∵y=sin2A+sin2C=2sin（）cos（）=2sin（A+C）cos（A﹣C）=2sinBcos（A ﹣C）=cos（A﹣C），∵0＜∠A=﹣∠C＜，＞∠C＞0∴﹣＜﹣C＜∴＜cos（A﹣C）≤1∴＜y≤．Ⅱ）由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB，∴13=a2+c2+ac=（a+b）2﹣2ac+ac=16﹣ac，∴ac=3，∴S△ABC=acsinB=×3×=22．如图，已知等边△ABC的边长为2，圆A的半径为1，PQ为圆A的任意一条直径．（1）判断的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由．（2）求的最大值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）将，利用平面向量基本定理化简成：﹣ 2+•，再结合向量的数量积公式即可得出不会随点P的变化而变化，值为1；（2）先结合图形利用平面向量基本定理将向量，分别用向量+， +表示，再利用题中条件化成1+2cosθ，最后结合三角函数的性质求的最大值．【解答】解：（1）由于=（﹣）•（﹣）﹣•（﹣），=﹣．=（﹣）•（﹣﹣）﹣•（﹣）=﹣2+•=﹣1+2×2×=1．所以=1，即不会随点P的变化而变化，值为1．（2）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×2×+•（﹣）﹣2=2﹣1+•=1+1×2cosθ（其中θ为，的夹角）所以θ=0时，取最大值3．。

2024届辽宁沈阳市东北育才学校高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A ．B ．2C ．3D ．2．已知扇形的半径为4，圆心角为45︒，则该扇形的面积为（ ） A ．2πB ．πC ．43π D ．83π3．已知数列{}n a 满足：()*122,n n a a n n n N-=+≥∈，17a=-，则该数列中满足311n a ≤≤的项共有（ ）项A ．0B ．1C ．2D ．54．若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行 ，则a 的值为（ ） A ．1B ．1或2C ．-2D ．1或-25．已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,cos )b α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b ⊥，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．223D ．223-6．在等差数列{}n a 中，已知14a =，数列的前5项的和为50，则10a =（ ） A ．27B ．29C ．31D ．33A ．1B ．2C ．3D ．48．设a ，b ，c 为ABC 的内角所对的边，若()()3a b c b c a bc +++-=，且a =那么ABC 外接圆的半径为( ) A ．1BC ．2D ．49．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．－1 B． 1 C ．2D ．210．在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为sin sin A B a b ++等于( ) A ．14B ．13C．6D．18二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年下学期高一年级第二次阶段性考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：高一数学组一、选择题：（每题5分，满分60分） 1.与sin 2016最接近的数是（ ）A ．211 B ．21- C ．22 D ．1-2.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为52，则实数k 的取值范围为（ ）A. [)16,64B.[)32,64 C. [)16,32 D. ()32,64 3．设向量a 、b 、c 满足0=++c b a ，且0=⋅b a ，4||,3||==则||的值为（ ）A. 7B. 5C. 7D. 54.某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生人数为( ) A. 2700 B. 2400 C. 3600 D. 30005. ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若222a c b -=，且s i n 6c o s s i n B A C =⋅，则b 的值为 （ ）A ． 4 B. 3 C. 2 D. 16.已知C B A 、、是平面上不共线三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=，则P 一定为ABC ∆的（ ）A ．AB 边中线的三等分点（非重心）B ．AB 边的中点C ．AB 边中线的中点D ．重心7. 已知,31)tan(,54sin ,20-=-=<<βααπα则=βtan （ ）A. 3-B. 3C.31D.31-8. 如图，ABC ∆的AB 边长为2，P Q ，分别是AC BC ，中点，记AB AP BA BQ m ⋅+⋅=，AB AQ BA BP n ⋅+⋅=，则( )A. 31m n ==，B.24m n ==，C. 26m n ==，D.3m n =，但m n ，的值不确定9.在4,2,1中任取两个不同的数作为坐标构成的平面向量的集合为M ，对M 中的每一个向量，作与其大小相等且数量积为零的向量，构成向量集合V ，分别在向量集合M 、V 中各任取一个向量，其满足0<⋅的概率是（ ）A.61 B.125 C.187 D. 3613 10.在ABC Rt ∆中，C ∠是直角，4,3==CA CB ，ABC ∆ 的内切圆交CB CA ,于点E D ,，点P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界），若y x +=，则y x +的值可以是 A.1 B.2 C.4 D.8 11.下列四个命题：①函数|1cos 2|)(2-=x x f 的最小正周期是π； ②函数)232sin(π+=x y 是偶函数； ③函数x b x a x f cos sin )(-=的图象的一条对称轴为直线4π=x ，则0=+b a ；④函数)4sin()(π+=x x f 在]2,2[ππ-上单调递增。

东北育才学校2020学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知=-=⋅==b a b a x b a ρρρρρρ则且,10)4,(),2,1(（ ）A ．–10B ．10C ．5-D ．5 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为112,6n n S a -=⋅+则a 的值为 （ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．123．在ABC ∆中，3B π∠=，三边长a ，b ，c 成等差数列，且6ac =，则b 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．64. .已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且2212424n n S S a --+=，*n N ∈，则1n a +等于( )A ．125B ．168C ．202D ．2125. 若AB C ∆的三个内角A 、B 、C 满足C B A sin 3sin 4sin 5==，则AB C ∆（ ） A .—定是锐角三角形 B .—定是直角三角形 C .—定是钝角三角形 D .可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 6．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，其公比1q ≠，若111111,,a b a b ==则（ ）A ．66a b > B ．66a b = C ．66a b < D ．D ．6666b a b a ><或7.如图所示，已知,,,,2c OC b OB a OA BC AB ρρρ====则下列等式中成立的是（ ）（A ）a b c ρρρ2123-=（B ）a b c ρρρ-=2 （C ）b a c ρρρ-=2（D ）b a c ρρρ2123-=8．在等差数列{}n a 中，1479112()3()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和13S 为( )A ．13B ．26C ．52D ．1569.如图给出的是计算0101614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A ．. i<＝100B ．i>100C ．i>50D ．i<＝5010．已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，恒有|,|||AC BC k OB OA ≥--则ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则 992212,....,2,2a a a 中最大的是（ ）12a A ）（55a B 2）（ 66a C 2）（ 99a D 2）（ 12. 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（ ） (A).(B).(C). 3 (D).二、填空题: （每小题5分，共20分）13．若向量a v 与b v 满足：||2,||2,||2a b a b ==+=v v v v ，则a v 与b v的夹角弧度数为________14. 等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若21214n n S n T n ++=+，则36b a ________ .15.设F E ,分别是ABC Rt ∆的斜边BC 上的两个三等分点，已知6,3==AC AB ,则AE AF ⋅=u u u r u u u r________ .16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，数列{}n b ，63-=n b n若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，则实数k 的取值范围是三．解答题（共六道题，满分70分） 17．（本小题满分10分）已知(,1),(sin ,cos ),()a m b x x f x a b ===⋅r r r r 且满足() 1.2f π=（1）求函数()y f x =的解析式及最小正周期； （2）在锐角三角形ABC 中，若()2sin ,12f A π=且AB=2，AC=3，求BC 的长。