公差带分析基础上的理论公差叠加分析E.E.林和H.-C.张德克萨斯理工大学工业工程学系拉伯克德州美国摘要在本文中，在一维，二维，三维空间中，尺寸公差叠加和形位公差叠加都是从理论上进行分析的。
在这项研究中的公差分析是建立在公差带分析的基础上。
制造误差分为两种基本类型：定位误差和加工误差。
本文对公差叠加的一般公式进行了探讨。
最后对一个三维几何公差叠层的仿真例子予以说明。
关键词：尺寸；公式化；几何；公差叠加；公差带1.介绍1.1本文研究目的本文的目的是如下：1.公差叠加分析常被用于一维方向上的尺寸公差，由此产生的最终公差始终是组件公差的总和[1]。
相对于几何公差，尺寸公差的分析和控制都比较完善[2]。
而几何公差叠加通常被忽略或被组件公差叠加所取代。
在本文中，尺寸公差和几何公差在一维，二维，三维空间中的情况都将被考虑。
2.数值表示是尺寸和公差的特性[3]。
HB Voelcker预测在未来十年中在几何形位公差领域的最重要进展之一将会是“一个或多个几何形位公差的公式化的方法将产生，一个生成的公式化将比目前的方法更普遍但应包含当前特殊情况下的尺寸链的描述。
这种公式化方法应该是在工科院校中传授，因为它会基于对基本的数学原理的小部分的运用[4]。
本文对于生成的几何形位公差的公式化方法做出贡献。
1.2公差叠加与误差叠加公差是允许尺寸的变动量，它是最大极限尺寸和最小极限尺寸之差[5]。
误差（的变化）是一个特征（几何元素，表面或线）偏离其基本尺寸或形状[6]，因此公差是用于（标定，表达）对处理加工中的误差进行控制。
而叠加误差用于处理虚拟变量，在本文中，公差叠加的分析是基于误差的叠加分析，公差叠加和误差叠加的数学公式与公差变量和误差变量相吻合。
1.3公差独立性原则在误差和公差分析中，同时考虑尺寸公差和形位公差是复杂的。
国际标准委员会ISO / TC10/SC5“技术图纸，尺寸和公差”和ISO/TC3“极限与配合”在ISO8015表示，独立原则是基本公差原则。
它的含义如下：“图样上给定的尺寸公差与形位公差相互独立，除非有特别关系被指定如最大实体要求，最小实体要求或包容要求。
”本研究遵循公差独立原则。
1.4公差带蔡斯等人，考虑到在机械装配公差分析中的几何特征变化[7]，将公差带视为特征变化的限制。
在这项研究中的公差分析建立在公差带分析的基础上，henzold讨论了各种公差带，这些公差带可归纳为典型的类型，如图 1所示。
图1.典型公差带.(a)一维，(b)二维，(c)三维公差带图2.公差带的投影关系公差带的大小通常是特征尺寸的10-3到10-5，在下面的数据中，为了说明，公差带被放大。
t表示公差值。
有三种典型的公差带：1.一维公差带2.二维公差带3.三维公差带类型1，类型2和3的尺寸公差带参考几何公差带。
在直角坐标系，三维公差带可以投射到二维公差带，二维公差带可以投射到到一维公差带，如图2所示。
大多数的公差带都是三维的，然而公差链和公差分析通常都是在二维或一维的环境中进行的。
1.5制造误差的分类K. Whybrew和G. A. Britton为以下加工中的八个项目归纳出二十七个加工误差源[4]：机床、刀具、夹具、工件、冷却液、操作者、环境条件、过程变量上述误差源的各个方面在精密制造过程中都值得具体研究，这些误差可以分为两大类：一类是随机的、不可预测和无法控制的，另一类是固有的、随时间变化或者能被控制的。
固有误差是代数相加，随机误差是算术相加，一个由此产生的误差可以由下列公式（1）计算： ))((12m 1∑==+Σ=Δnj j j i i i θβφα （1） 其中：Δ:合成误差αi(i=1,2,3……m ): 固有误差分量的权重。
Φi(i=1,2,3……m ): 固有误差分量。
βi(i=1,2,3……m ): 随机误差分量的权重。
θi(i=1,2,3……m ): 随机误差分量。
βi 的值取决于随机误差分量的分布状况和由此产生的误差的几何关系。
还有许多工作需要建立公式的权重和误差分量。
然而，在这项研究中探索具体的定位误差和加工误差来源是不必要的。
在这项研究中，所有类型的误差源进行分类根据自己的定位功能和在线部分的加工功能的几何位置的影响。
因此，有两种类型误差，是直接关系到零件精度：1.定位误差：实际基准特征对理想基准特征在位置上允许的变动量。
定位和夹紧工件后已设置误差保持不变，除非工件从夹具中移除。
因此，在每一个设置之内定位误差都是确定。
2.加工误差：实际加工特征对理想加工特征在位置上允许的变化量。
加工误差是随机误差。
定位误差和加工误差都是系统误差和随机误差的结果2.尺寸公差叠加如图1所示，尺寸的公差带是严格一维的，因此生成的的尺寸公差叠加是相对简单的。
假设在一个空间中，由此产生的尺寸与元件尺寸的关系如下： ),,,,,,,(212,121n m l z z z y y y x x x f d = （2） 其中：d : 合成尺寸x i (i=1,2,3......l ):组件在X 坐标上的尺寸y i (i=1,2,3......l ):组件在X 坐标上的尺寸z i (i=1,2,3......l ):组件在X 坐标上的尺寸从理论上说，在最坏的情况下：∑∑∑===Δ∂∂+Δ∂∂+Δ∂∂=Δn k k k m j j j l i i i z z f y y f x x f d 111 （3）其中：Δd :合成尺寸的变化量x i ，y j ，z k ：组件尺寸的变化量在数理统计的情况下：∑∑∑===Δ∂∂+Δ∂∂+Δ∂∂=Δn k k k l i m j j j i i z z f y y f x x f d 12121122])()()([ （4）在下面的文本，只有最坏的情况下被处理，统计情况和最坏情况可以用来得出在定性分析中的类似结论。
例如：在一个平面上的三个孔的三维关系如图3所示。
为简化分析水平尺寸被省略。
图3.一个平面上的三个孔的尺寸关系加工步骤和加工要求：第一步，将平面A 作为加工基准面钻孔1，孔1到平面A 的垂直尺寸是a 。
第二步，将平面A 和孔1作为基准钻孔2，孔2到平面A 的垂直尺寸是b 。
孔1与孔2的连线与水平线之间的角度为θ。
第三步，将平面A 作为基准钻孔3，孔3到平面A 的垂直尺寸是b'。
由此产生的尺寸为尺寸C 和C'。
对于尺寸C'，它的尺寸链如图4所示：c'= b'-a （5）图4. C'的尺寸链在最坏的情况下： ''''''ΔΔΔ∂∂Δ∂∂Δb a b b c a a c c +=+= （6）C'的尺寸链是一维的，它也是尺寸链通常的状况。
在一维的状况下，可变的公差叠加量独立于组件的尺寸值。
，对于尺寸C ，有一个如图5所示的尺寸链。
θsin -a b c = （7）图5.C 的尺寸链在最坏的情况下： Δθθsin θcos )-(Δθsin 1Δθsin 1Δθ∂θ∂Δ∂∂Δ∂∂Δ2a b b a c b b c a a c c ++=++=（8） C 的尺寸链是二维的，从公式(6)可以看出，二维公差叠加不仅独立于组件的尺寸公差而且还独立于组件的基本尺寸。
尺寸公差叠加分析通常用公差图来表示。
对于回转体零件来说，每个工件的单一图表都足以控制沿工件轴的公差，所以没有可能发生径向的公差叠加。
对于棱柱形零件，为了控制公差叠加每个工件至少要给出两个尺寸和三个图表。
这些图表在一般情况下是不独立的，因为一些表面的公差可能出现在多个图表中。
图表通过共同的表面联系在一起[8]。
3.形位公差叠加3.1一维形位公差叠加分析一维形位公差叠加分析应用于组件公差类型相同与基本尺寸不影响公差叠加的情况。
作为一个例子；图表6给出了一个有五个相同平行槽的零件.平面A 、B 、C 、D 、E 分别被设置为加工平面B 、C 、D 、E 、F 的基准平面，如图6所示。
图6.一维形位公差叠加分析以下是用于公差叠加分析的表示法：C B A M M ，，=Γ 定位平面相对于理想垂直面的平行度，也称为定位误差 C B A M M ，，=λ 加工平面相对于理想垂直面的平行度，也称为加工误差 C B A MN MN ，，=Τ 平面M 与平面N 的平行度在图6中平行度公差叠加可以简述如下：B A AB λ+Γ=Τ （9）C B B A CB AB AC λλλ++Γ+Γ=+Γ+Τ=Τ （10）D C B C B A DC AC AD λλλλ+++Γ+Γ+Γ=+Γ+Τ=Τ （11）E C C B D C B A ED AD AE λλλλλ++++Γ+Γ+Γ+Γ=+Γ+Τ=Τ （12）F E D C B E D C B A FE AE AF λλλλλλ+++++Γ+Γ+Γ+Γ+Γ+Γ+Τ=Τ （13）显然，在一维情况下，由此产生的公差始终是等于组件公差的总和。
编号几何公差的情况的种类是有限的。
一维几何公差叠加的一些典型案例的公差带分布图如图7所示。
图6情况属于图7中的(a)情况。
图7.一维公差叠加的公差带分布图在图6中的零件的加工方法是将平面A 作为加工的基准面并且以同样的基准加工平面A 、B 、C 、D 、E 、F 。
这中加工方法在数控机床中很常见。
在这种情况下，调刀基准、设计基准和定位基准是同一平面-A ,因此没有误差叠加。
误差关系如下：()F E D C B N A M N M MN ，，，，，，==+Γ=Τλ （14） 3.2二维几何公差叠加分析图8显示出了平面B 的公差带的二维视图。
图8.零件面B 的二维公差叠带图9.平面B 平移的影响从图8可以看到，公差带表示出了零件的两个可能的最大变动量：大小为 B Δ的水平的平行移动和大小为θ的转角。
假设平面B 被作为加工基准面来加工平面D 和平面C 并且平面B 的误差带等于它的公差带。
平面D 的误差通常认为与平面B 的平移变化量相等（如图9所示）：B D Δ=Δ （15） 平面B 的平移对平面C 的误差没有影响，平面B 的误差对平面C 的影响通过转角θ来体现，如图10所示。
图10.面B 转动的影响从图10可知：13tan L L C B Δ≈Δ≈θ （16） B C L L Δ=Δ31 （17）然而，有两个问题：1. 在这里θ是否是最大的旋转角度？2. 如果L 3≠L 3'公式14是否仍然正确？对于第一个问题答案是否定的。
一个实际的特征可能大于或者小于转角θ此外，在实际的定位和夹紧过程中，其他定位平面和夹紧面都可能影响旋转角度。
然于，对于理论分析，θ可以充分表示旋转角度的平均值。
对于第二个问题，如果L 3≠L 3'，公式14应该改为： B c L L Δ=Δ3'3 （18）也就是说，它也受到旋转角度θ的影响。
