一元二次方程的应用(利润问题)

一元二次方程解利润问题举例：某百货大楼服装柜在销售者发现：“某”牌童装平均每天可售出20件，每件利润40元为了迎接国庆节市场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加利润。

条件：如果每件降价4元，那么平均每天多售出8件。

求：要想平均每天销售这种童装盈利1200元那么每件童装应降价多少？解：设每件童装应降价x元，则每件的利润为(40-x)元，平均每天多售出8×x/4=2x件，实际平均每天售出(2x+20)件，平均每天利润为(40-x)(2x+20)元；根据题意，可列方程：(40-x)(2x+20)=1200(40-x)(x+10)=60040x+400-x²-10x=600x²-30x+200=0(x-10)(x-20)=0x-10=0 或x-20=0x1=10 , x2=20答：要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价10元或降价20元。

一元二次方程的应用：一、百分率变化问题增长率的问题在实际生活普遍存在，有一定的模式，若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)=b。

在解题过程需要注意总量和增长后达到的量的区别，需要注意“增长了”和“增长到”的区别。

二、传播问题“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播。

解决此类问题的关键步骤是明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。

需要注意的是疾病传播问题和某种植物分支的区别和联系，疾病传播问题中传染源将参与下一轮传播，而树分支则是树干不参与下一次分支。

三、互送礼物和单循环比赛问题n(n≥2) 个人之间互送礼物，礼物总数=n(n-1)；n(n≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行1/2n(n-1)场比赛。

四、商品销售利润与定价问题用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润。

一元二次方程应用利润问题(1)姓名____________ 班级___________【例1】：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存。

商场决定采取适当的降价措施：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?【变式1】：某商场销售一种商品，每件进价60元，每件售价110元，每天可销售50件，每销售一件需要支付给商场管理费3元。

6月份该商品搞“减价促销”活动。

市场调查发现，售价每降低1元，每天销售量增加2件。

若某一天销售该商品共获利2590元,求该商品降价多少元?【例2】：今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本。

已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元。

请解答以下问题:（1）填空：每天可售出书_______本(用含x的代数式表示)（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【变式1】：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。

调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。

为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？一元二次方程--利润问题(2)姓名____________ 班级____________【例1】：为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天可售出500个，并且售价每上涨1元，其每天的销售量就减少100 个。

若物价部门规定该品牌粽子的售价不能超过进价的200%，则该超市将每个粽子的售价定为多少元时，才能使每天的利润为800元?【变式1】：因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次。

文本解读新课程NEW CURRICULUM一元二次方程应用———利润问题鲍丽丽（河北省承德市兴隆县蘑菇峪中学）利润是与生活实际联系极其密切的问题，我们知道商品的价格直接影响销售数量，商家会根据实际情况作出价格的上调与下降，那么销售数量也会随之降低与增加，从而经常会利用一元二次方程解决生活中的利润问题，这类题型都会出现的关键词“每涨x元或降x元，就减少y件或增加y件”，我们称这类问题为“每增每降”问题，举例说明：例：某商店将进价为20元/盒的百合，在参考价28-38元范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可出售40盒。

经调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，平均每天就多卖10盒，要使利润达到750元，应将每盒下调多少元？解：设应将每盒售价下调x元，由题意得：（36-x-20）（40+10x）=750解方程，得：x1=1，x2=11（不合题意，舍去）答：应将每盒售价下调1元。

解决“每增每降”问题要抓住“五个量、两个等量关系式、两个变化过程和一个关键句”，找出五个量即进价、售价、单利润、数量、总利润和一个关键句“每…每…”，根据“单利润=售价-进价、总利润=单利润×数量”两个等量关系列出方程。

在解出方程后一定要注意是否舍根。

变式1：某商店将进价为20元/盒的百合，在参考价28-38元范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可出售40盒。

经调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，平均每天就多卖10盒，要使利润达到750元，应将每盒定价多少元？这里我们要注意的问题是“每盒定价多少元？”我们可设每盒定价x元，根据题意，得：（36-x-20）［40+10（36-x）］=750，那么方程复杂了，解方程增加了难度，如果我们按上面的问题设应将每盒售价下调x元就简单了，因此我们解题时最好设变化量来解决问题。

变式2：某商店将进价为20元/盒的百合，在参考价28-38元范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可出售40盒。

一元二次方程的应用（利润类）1.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？2.某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？4.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加一株，平均单株盈利就减少0.5元．(1)如果每盆花苗(假设原来花盆中有3株)增加a株，则每盆花苗有_____株，平均单株盈利为_____元；(2)要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？5..某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？7.山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?8.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？9..果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．10.满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？11.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？12.电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？13.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？14.某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？（2）若书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？15.某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？（2）若书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？16..每件商品的成本是120元，在试销阶段，发现每件售价与商品的日销量始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利却不一样。

一元二次方程应用题（利润问题）1、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．2．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？3、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?4、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？5、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。

在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价。

6、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元？7、将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。

人教版九年级上册——利润问题教学目的1. 使学生能快速利用利润问题的公式算出利润和数量。

2.使学生掌握如何用一元二次方程解决利润问题。

教学重点销售量的计算。

教学过程一、复习公式利润问题的数量关系：①利润=售价—进价②利润=利润率x进价③总利润=单件利润x总销量二、新授1．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．〔1〕当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为万元；〔2〕假设该店方案平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】〔1〕根据销售价减去进价等于利润，单件的利润乘以销售量即可求解；单件利润=22-15=7，销售量=8+〔25-22〕x2=14,总利润=7x14=98〔2〕根据销售利润等于单件利润乘以总销售量即为总利润．设售价为x万元，那么单件利润=x-15，销售量=8+2〔25-x〕,所以总利润=〔x﹣15〕［8+2〔25-x〕］解：〔1〕根据题意，得〔22﹣15〕X ［8+2X〔25-22〕］＝98．〔2〕设每辆汽车售价为x万元，根据题意，得〔x﹣15〕［8+2〔25-x〕］＝90整理，得x2﹣44x+480＝0，即〔X-22〕2=4解得x1＝24，x2＝20．为了尽快减少库存，x＝20．答：每辆汽车的售价为20万元．2．某商场销售一批衬衫，每件本钱为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫应提价多少元？〔1〕设这种衬衫应提价x元，那么这种衬衫的销售价为元，销售量为件．〔2〕列方程并完成此题的解答．【分析】〔1〕根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；〔1〕设这种衬衫应提价x元，那么这种衬衫的销售价为〔60+x〕元，销售量为〔800﹣5xX100〕＝〔800﹣20x〕件．〔2〕根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．解：〔1〕设这种衬衫应提价x元，那么这种衬衫的销售价为〔60+x〕元，销售量为〔800﹣5xX100〕＝〔800﹣20x〕件．故答案为〔60+x〕、〔800﹣20x〕．〔2〕根据〔1〕得：〔60+x﹣50〕〔800﹣20x〕＝12000整理，得x2﹣30x+200＝0解得：x1＝10，x2＝20．为使顾客获得更多的优惠，所以x＝10，60+x＝70，800﹣20x＝600．答：这种衬衫应提价10元，那么这种衬衫的销售价为70元，销售量为600件．。

（完整版）一元二次方程应用题之利润问题问题描述：某公司生产和销售某种商品，已知该商品的定价为每件x元，每件商品的制造成本为200元，销售每件商品所需的费用为10元。

该公司希望通过调整销售价格来最大化利润。

现在需要确定一个一元二次方程，以确定的销售价格为自变量，利润为因变量。

请求解这个问题。

解决方法：设销售价格为p元，销售商品的数量为q件。

由此可得以下关系：收入 = 销售价格 ×销售数量 = p × q成本 = 制造成本 ×销售数量 = 200 × q总费用 = 成本 + 销售费用 = 200 × q + 10 × q = 210 × q利润 = 收入 - 总费用 = p × q - 210 × q = q(p - 210)根据问题描述可知，一元二次方程的自变量是销售价格p，因变量是利润。

设方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待确定的系数。

由上述推导可得：y = q(p - 210)即 y = q(p - 210) = q(210 - p)将y与x对应：y表示利润，x表示销售价格p。

根据问题描述，已知a=0，b=q，c=q×210，因此方程可以写成：y = q(210 - p)这是一个一元二次方程，通过求导可以找到该方程的极值点。

方程的极值点对应的销售价格就是能够使利润最大化的价格。

因为a=0，所以只需要求二次项的系数b即可。

结论：根据上述分析，该公司应将销售价格定为210元时，利润最大化。

注意事项：本文档中所述方程为一种简化模型，只考虑了制造成本和销售费用，没有考虑其他因素对利润的影响。

在实际情况中，可能还需要考虑市场需求、竞争对手的定价等因素，并进行综合分析来确定最优销售价格。

因此，读者在实际应用中应谨慎对待该模型的结果，结合具体情况做出决策。

二次函数的应用------利润问题复习目标：能根据实际情况建立一次函数、二次函数模型，研究、解决生活中的实际问题。

能根据自变量的取值范围确定函数的最值一、基本知识检测1、抛物线y=ax2+bx+c，当a>0时，抛物线开口向上，当x=-b/2a 时,y最小值= (4ac-b2)/4a时，当a<0，抛物线开口向下，当x=-b/2a 时，y最大值= (4ac-b2)/4a .2、利润= 售价- 进价=单件利润×销售数量=进价×利润率3、某商店购买一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件．如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？二、例题讲解一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？（3）物价部门规定，该种茶叶售价不高于180元/kg，商家要想获得较高利润，该怎样定价？此时最大利润是多少？（4）在（3）的情况下，商家每天销售获得不低于6400元的利润，该怎样确定该茶叶的售价x的取值范围？三、运用1、学案96页当堂检测第四题2、中考链接某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x 元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为少？四、小结1、解这类题目的一般步骤（1）列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.2、今天我们共同探讨了哪些内容？你有什么收获？五、作业复习导引P35第7题。