当前位置：文档之家 › 高等数学(上册)第四章

高等数学(上册)第四章

  • 格式：ppt
  • 大小：2.93 MB
  • 文档页数：1

下载文档原格式

  / 1

合集下载

第四章《高等数学(上册)》课件

第四章《高等数学(上册)》课件

性质4 f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx ．
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
四、基本积分公式
（1） kdx kx C
（3）

1 x
高等数学
第四章
不定积分
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
第四章
不定积分
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
一、原函数和不定积分的概念
定义1 设f(x)是定义在区间(a,b)上的已知函数，如果存在一个 函数F(x)，使得在(a,b)上的任意一点x有
02 换元积分法 03 分部积分法
三、不定积分的性质
性质1


f
( x)dx

f
(x)
或
d
f (x)dx

f (x)dx ．
性质2 F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C ．
性质3 af (x)dx a f (x)dx (a 0) ．
积分常数．
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
例1 求 3x2dx ．
解 由于 (x3) 3x2 ，所以，x3是3x2的一个原函数，因此

2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习

2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习

（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .

高等数学(上册)第4章习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_理工类

高等数学(上册)第4章习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_理工类

x2 ★★(6) 1 x2 dx
思路:注意到
x2 x2 1 1 1 1 2 2 1 x 1 x 1 x2
， 根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项， 分别积分。
2
解：
x2 1 1 x2 dx dx 1 x2 dx x arctan x C.
课后习题全解
习题 4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
1
★(1)
x
dx
2
x
1 x2 x
5 2
思路: 被积函数
x

5 2
，由积分表中的公式（2）可解。
解：
x
(
dx
2
2 x dx x 2 C 3 x
cos 2 x
1
1
2
x
dx
1 1 sec2 xdx tan x C. 2 2
★ (17)
思路:不难，关键知道“ cos 2 x cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x) ” 。
2 2
解：
cos x sin xdx (cos x sin x)dx sin x cos x C. cos
第4章
名称 不 定 积 分 的 概 念 设
不定积分
主要内容
内容概要
f ( x) ， x I ，若存在函数 F ( x) ，使得对任意 x I 均有 F ( x) f ( x) f ( x)dx ，则称 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数。

高等数学第四章课件-矩阵的逆

高等数学第四章课件-矩阵的逆

( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
ห้องสมุดไป่ตู้

《高等数学(上)》不定积分(全)

《高等数学(上)》不定积分(全)

23
第二讲 第一换元积分法
例3
求不定积分 cos3 xsin5 xdx.
解
cos3 xsin5 xdx cos2 xsin5 xdsin x
(1 sin2 x)sin5 xd sin x
sin5 xdsin x sin7 xdsin x
1 sin6 x 1 sin8 x C.
接积分法和第一换元法计算的题目.
31
第二讲 第二换元积分法
例 1 求 a2 x2 dx (a 0).
解
令x a sin t( π t π),则dx a costdt,于是有 22
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos2 tdt a2 1 cos 2tdt 2
类似可得
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
a a
x x
|
C.
20
第二讲 第一换元积分法
例2
求 csc xdx.
解法一
csc
xdx
sin
x
dx
sin
x
sin
xdx
cos
d x
cos
x
利用例结论，得
原式 ln cos x cos x
C ln
( cos x) cos x
C
ln cos x C ln | csc x cot x | C sin x
1
3.
1dx x
ln
|
x
|
C;
6. sin xdx cos x C;
12
五、基本积分公式
7. cos xdx sin x C;
11. cot x csc xdx csc x C;

《高等数学》 课件 高等数学第四章

《高等数学》 课件 高等数学第四章

例6 已知曲线y f (x)上任意一点M (x，y)处的切线斜率为k 2x，且曲线
通过原点(0，0，) 求该曲线的方程．
解 由导数的几何意义知：k f (x) 2x，则切线斜率为2x的全部曲线为，
y 2xd x x2 C，
又知曲线通过坐标原点(0，0，) 将条件y x0 0代入上式，得C 0．于是所求曲
这种方法称为直接积分法．
例7 求不定积分 x (x2 5)d． x
5
1
5
1
解 x (x2 5)d x (x2 5x2 )d x x2 d x 5 x2 d x
2
7
x2
5
2
3
x2
C
2
x3
7
3
7
x 10 x x C.
1 3 不定积分的概念与性质
高等数学 第四章. 第一节
第 17 页
例4
求
1
2
x x
2
d ． x
解 2x d x 1 d(x2 ) 1 d(1 x2 ) ln |1 x2 | C ln(1 x2 ) C.
1 x2
1 x2
1 x2
2 换元积分法
高等数学 第四章. 第二节
第 26 页
常用凑微分公式：
（1）d x 1 d (a x) 1 d(ax b)
3
3
x2 d x 1 x3 C．
3
例2 求不定积分 sin xd． x
解 因为( cos x) sin x，所以
sin xd x cos x C．
1 不定积分的概念与性质
高等数学 第四章. 第一节
第8 页
例3 求不定积分 ex d． x
解 因为(ex ) e， x 所以 ex d x ex C．

同济高等数学第六版上册第四章ppt

目录 上页 下页 返回 结束
5. 求下列积分: dx ; (1) 2 2 x (1 x ) 提示:
dx ( 2) 2 . 2 sin x cos x
(1)
1 1 (1 x 2 ) x 2 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
arcsin u C
(直接配元)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
2 12 C C 1
因此所求曲线为 y x 1
2
O
x
目录
上页
下页
返回
结束
从不定积分定义可知: d f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx
( 2)
F ( x) dx F ( x) C k dx
第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章
目录
上页
下页
返回
结束
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f ( x ) 在区间 I 上连续 , 则 f ( x ) 在 I 上 (下章证明) 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
x x e d x e C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
目录
上页
下页
返回
结束
dx 例2. 求 3 . x x

高等数学第4章


第四章 微分方程
y
3
2 (1,2)
1
O
x 一阶微分方程的概念
图4-1
x 1时, y 2 , 简记为 y |x1 2 (称为初始条件) (2)
5
第四章 微分方程
例 1 一曲线通过点 (1, 2) (见图 4-1), 且在该曲线上任一点 M (x, y) 处的切线的斜率 为 2x , 求该曲线的方程
F ma , 若取物体降落的铅垂线为 x 轴, 其正向朝下, 物
体下落的起点为原点, 并设开始下落的时间是 t 0 , 物体
下落的距离 x 与时间 t 的函数关系为 x x(t) (见图 4-2), 则
可建立起函数 x(t) 满足的微分方程
d2x dt 2
g
其中 g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.
17
第四章 微分方程
4､微分方程的初值问题: 许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解, 此时, 这类附加条件就可 以用来确定通解中的任意常数, 这类附加条件称为初始条件. 例如, 条件(2)和(5) 分别是微分方程(1)和(4)的初始条件. 带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.
18
第四章 微分方程
Advanced mathematics
高等数学
第四章 微分方程
第四章
微分方程
人民邮电出版社
1
第三章
第四章 微分方程
内容导航
第一节 微分方程的概念 第二节 一阶微分方程 第三节 二阶微分方程 第四节 微分方程的实际案例
2
课前导读
微积分研究的对象是函数关系, 但在实际问题中, 往往很难直接得到所研究
F (x,(x),(x),(x), (n) (x)) 0, 则称函数 y (x) 为微分方程(10)在区间 I 上的解.

高等数学第四章


1 不定积分的概念与性质
高等数学 第四章. 第一节
第 10 页
三、不定积分的几何意义
例6 已知曲线y f (x)上任意一点M (x，y)处的切线斜率为k 2x，且曲线
通过原点(0，0， ) 求该曲线的方程．
解 由导数的几何意义知：k f (x) 2x，则切线斜率为2x的全部曲线为，
3
3
x2 d x 1 x3 C． 3
例2 求不定积分 sin xd． x
解 因为( cos x) sin x，所以
sin xd x cos x C．
1 不定积分的概念与性质
高等数学 第四章. 第一节
第8 页
例3 求不定积分 ex d． x
解 因为(ex ) e， x 所以 ex d x ex C．
性质1还可以推广到有限个函数的代数和的积分，即
1 f1 (x) f2 (x) fn (x)d x f1 (x)d x f2 (x)d x fn (x)d． x 不定积分的概念与性质
高等数学 第四章. 第一节
第 13 页
性质2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号前面，即
高等数学 第四章. 第一节
第4 页
一、原函数的概念 定义1 设已知函数f (x)在某区间上有定义，若存
在函数F (x， ) 对于该区间内任意一点x都有F (x) f (x) 或dF (x) f (x)d x，则称F (x)是f (x)在区间(a，b)内的一
个原函数．
1 不定积分的概念与性质
一般地，若F (x)是f (x)的一个原函数，那么在几何 上y F (x)所表示的曲线称为f (x)一条积分曲线．由于

高等数学第四章课件.ppt

例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1). 将有 a2 x2 , x2 a2 三角代换 : x a sin t, a tan t, a sec t 2). 分母中有x的幂, 令x 1
t
3). 有根式设根式 u,有ex设ex u
第二节 换元积分法
例
求
sin 2
dx x cos2
. x
解
原式
sin2 sin
F (x)称为 f (x)的原函数.
原函数的性质:1) F (x)是偶函数 f (x) 是奇函数
[F(x)] F(x) f (x), 而[F(x)] F(x) f (x)
2) F (x) 是奇函数 f (x) 是偶函数
[F(x)] F(x) f (x), 而[F(x)] F(x) f (x)
2
2
cos cos 2 cos cos
2
2
cos cos 2sin sin
2
2
第二节 换元积分法
求不定积分的方法 1.观察法（即凑微分法）：
f [(x)](x)dx f [(x)]d(x)
2.换元法
例求
例求
解

1 a2
dx 解
1

(
x a
)
2
令u x ,则du 1 d x
a
a

1 a
1 duu
2
1 arctan u C a
dx
a
1

(
x a
)
2

d
(
x a
)
1

(
x a
)
2
第二节 换元积分法
例求
解

1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
sec2xdx tan x C
cos xdx sin x C
csc2xdx cot x C
sec x tan xdx sec x C
xdx 1 x1 C
1
csc x cot xdx csc x C
1
axdx ax C ln a
第二节 换元积分法
例求 解

sin xdx cos x


dcos x cos x
类似

cos x dx sin x
•不定积分: 设F(x) f (x) 则称F(x) C 为 f (x) 的不定积分:
记为 f (x)dx F(x) C
"" 是积分号 " x" 是积分变量
" f (x)dx" 是被积表达式
第一节 不定积分的概念及性质
•常பைடு நூலகம்基本积分公式:
sin xdx cos x C

dx arcsin x C arccos x C 1 x2
exdx ex C
1

dx arctan x C arc cot x C 1 x2
第一节 不定积分的概念及性质
例
1 dx
1
1
x 2dx 2x2 C 2
x C

1dx x

ln
x
C
x
x
第一节 不定积分的概念及性质
•不定积分的性质
1) f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
2) kf (x)dx k f (x)dx
例求
解 原式 = [(2e)x 5 2x )dx (2e)x dx 5 2x dx
x
7 x 3dx


3
4
x3
C
4
1 x2
dx


1 x

C
adx ax C
0dx C
x 0时，（ln x)

1
注:
f x dx f x C

f
(x)dx

F(x) C

f
(x)
x
x 0时，ln（ x) 1 1 1
3) F (x)是周期函数 f (x)是周期函数 F(x T ) F(x) f (x T) f (x)
第一节 不定积分的概念及性质
4) 设 F(x) f (x) , (x) f (x) 则 [F (x) (x)] f (x) f (x) 0 故 F (x) (x) C 即 F (x) (x) C
1
(
1

1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a


dx xa


dx xa


1 2a


d(x a) xa
d(xxaa)
1
2a
ln
xa
ln
xa
C
1 ln x a C 2a xa
(2e)x 5 2x ln(2e) ln 2
C

2x

ln
ex 2 1

5 ln 2


C
第二节 换元积分法
求不定积分
凑微分 恒等变形
dsin x cos xdx d cos x sin xdx d ln x 1 dx dx2 2xdx
x
sec2 x 1 tan 2 x
第四章 不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f (x)
互逆运算
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念及性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 有理函数的积分 积分表的使用
第一节 不定积分的概念及性质
•不定积分的概念
原函数： F'(x) f (x) x I
1 sin 2 x cos2 x
1 cos 2x 2 cos2 x
csc2 x 1 cot 2 x
sin 2x 2sin x cos x
1 cos 2x 2sin 2 x
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2sin cos
x cos2 x 2 x cos2 x dx

1 cos2
dx x

dx sin2 x
tan x cot x C
例
求
x4 1 x2 dx.
解 原式 x4 11dx 1 x2

(x2 1)dx
1 1 x2dx

1 3
x3

x

arctan
x

C
第二节 换元积分法